Permutation & Combination One Shot | JEE Main & Advanced🔥

0:22 गुड आफ्टरनून बच्चे। हां जी। तो आज हम परम्यूटेशन एंड कॉम्बिनेशंस कर रहे हैं। कोऑर्डिनेट ज्योमेट्री से थोड़ा सा ब्रेक ले रहे हैं बीच में ताकि हम जब वापस कोऑर्डिनेट ज्योमेट्री पे जाएं एज आई मेंशंड बिफोर हमारा एक रिवीजन भी हो जाए। वरना एक बारी में कर लेंगे तो उस टाइम तो याद रहता है फिर भूल जाते हैं। प्लस पीएनसी की डिमांड भी ज्यादा थी। काफी सारे बच्चे बोल रहे थे कि मैम पीएनसी में दिक्कत आ रही है हमें। तो अब करते हैं फुल डिटेल्ड पीएनसी परमटेशंस एंड कॉम्बिनेशंस पूरा ए टू जी हर टाइप के क्वेश्चंस हर टाइप की टेक्निक्स। पीएनसी बच्चे स्पेशली मेरा फेवरेट टॉपिक रहा है हमेशा से जब मैं पढ़ रही थी और अब जब मैं पढ़ा भी रही हूं तब थी। दिस इज़ वन ऑफ़ माय फेवरेट टॉपिक्स ऑफ़ द एंटायर सिलेबस। व्हिच इज़ व्हाई आई फील कि मैं आप

1:10 लोगों की हेल्प कर सकती हूं। बिकॉज़ एज अ स्टूडेंट मैंने भी फेस की है वही सारी प्रॉब्लम्स कि मैम सोचने में दिक्कत आती है। वही मेरे को भी आती थी कि यहां पे किसी भी डायरेक्शन में चला जाता है। कुछ भी हो सकता है। कैसे सोचना है, कैसे समझना है। आई विल टेल यू एग्जैक्ट सारी टेक्निक्स इन दिस लेक्चर कि किस तरह से क्वेश्चन को देख के हमें समझना है। रटना नहीं है, समझना है। बट बिफोर वी स्टार्ट बच्चे एआईएमटी ऑल इंडिया मॉक टेस्ट। इट्स अ फ्री मॉक टेस्ट दैट इज़ अह वी हैव दिस ऑन 16 दिस संडे। सो फ्री है। एनरोल करो, प्रैक्टिस करो इस टाइम डे के बच्चे स्पेशली आप लोगों के लिए ही है ये टेस्ट। बिल्कुल मेंस के लेवल का है। जितने मॉक टेस्ट दे सकते हो इस टाइम पे दो।

1:56 अंडरएस्टीमेट नहीं करना। तैयारी है या नहीं है। टेस्ट देते रहो। ट्रस्ट मी इट बिल्ड्स द एंटायर परफॉर्मेंस आप लोगों की। हाय बच्चे। हेलो। चलिए कॉम्बिनेटोरिक्स जो यह फील्ड होती है मैथ्स की दैट इज कॉम्बिनेटोरिक्स। कॉम्बिनेटोरिक्स बहुत ही सिंपल सी एक मैथ्स की फील्ड है जिसमें हम काउंटिंग करते हैं। कॉम्बिनेटोरिक्स में वो वाली ब्रांच है मैथमेटिक्स की कॉम्बिनेटोरिक्स जिसमें हम ऑब्जेक्ट्स को काउंट करते हैं। लिटरली दैट्स सिंपल। यह फील्ड परम्यूटेशन एंड कॉम्बिनेशन जो वर्ड बहुत हैवी हेवी लगते हैं। एनपीआर एनसीआर एक्चुअल में बेसिक से समझते हैं कि हम सिर्फ काउंट करना चाह रहे हैं कि कितने तरीके हैं,

2:43 कितने पॉसिबल आउटकम्स हैं एंड सो ऑन। राइट? फॉर एग्जांपल अगर हम वो बचपन में मल्टीप्लिकेशन में एक क्वेश्चन करते थे कि अगर हमारे पास फाइव रोज़ ऑफ़ चेयर्स हैं एंड हर रो में सेवन चेयर्स हैं तो टोटल चेयर्स कितनी होंगी? 35 5 * 7 बेसिक सा वर्ड प्रॉब्लम होता था मल्टीप्लिकेशन का। इवन दिस फॉल्स अंडर कॉम्बिनेटोरिक। जब भी हम काउंट कर रहे हैं कि कितने तरीके हो सकते हैं, कितने ऑब्जेक्ट्स हैं, कितने डिफरेंट तरीके हैं करने के या कितने डिफरेंट नंबर्स आएंगे ऐसे एटसेट्रा एटसेट्रा ऑल ऑफ़ दैट फॉल्स अंडर कॉम्बोनेटोरियल। इस चैप्टर को हमने इस तरह से डिवाइड किया है। वी विल स्टार्ट विद बेसिक फैक्टोरियल।

3:29 उसके बिना तो हम इस चैप्टर में आगे बढ़ नहीं सकते। तो पहले समझेंगे फैक्टोरियल होता क्या है? फैक्टोरियल से रिलेटेड प्रॉब्लम्स जो आती हैं वो कैसे करनी है? देन वी विल मूव ऑन टू फंडामेंटल प्रिंसिपल ऑफ काउंटिंग फिर परम्यूटेशन कॉम्बिनेशन एंड डिफरेंट कैटेगरीज़ ऑफ़ क्वेश्चंस। हर कैटेगरी को कैटेगरी की तरह नहीं समझना। इसको हमने समझना है हर चीज़ को बस एक सिंपल इमेजिनेशन से। व्हाई इज़ दिस चैप्टर डिफरेंट? पीएमसी इतना दिक्कत क्यों करता है? बाकी सारे चैप्टर्स भी मुश्किल हैं। लेकिन ये चैप्टर थोड़ा टेढ़ा है। व्हाई? बिकॉज़ यहां पे फार्मूला नहीं है कोई। दो चार फार्मूला होंगे बट गारंटी नहीं होती कि वो लगा सकते हैं या नहीं लगा सकते। तो मोर और

4:16 लेस हमें सोचना पड़ता है, लॉजिक लगाना पड़ता है। दैट इज व्हाई बच्चे पीएसी में बहुत ज्यादा जरूरी है। आप हर चीज बहुत समझ के करें। दिस इज नॉट वन ऑफ दोस चार्ट जहां पर आपके पास क्वेश्चन देखा आपको दिखा दिख रहा है कि nथ टर्म पूछी है AP की तो आप फार्मूला लगा सके आपसे अगर पूछा है कि दो लाइंस का पॉइंट ऑफ इंटरसेक्शन क्या होगा हमें पता है कैसे निकालना है यहां पर उतना स्ट्रेट फॉरवर्ड नहीं होता व्हिच इज़ व्हाई फार्मूलाज़ मत रटो यहां पर वी हैव टू अंडरस्टैंड ठीक है सो सबसे बड़ी दिक्कत कहां आती है जब हमें सोचना पड़ता है विजुअलाइज़ करना पड़ता है। तो अभी से पहले क्वेश्चन से ही आदत डालो कि हर चीज़ सोच रहे हो। इवन फ़ैक्टोरियल में भी

5:04 फैक्टोरियल की प्रॉब्लम्स में भी फार्मूला नहीं रटना। रट भी रहे हो कि स्पीड बढ़ जाए। बट समझना है वो क्यों हो रहा है। क्योंकि स्पेशली अगर एडवांस हमारा टारगेट है। एडवांस के क्वेश्चंस में वही सारे कांसेप्ट वो अंडरस्टैंडिंग ही टेस्ट होती है। तो वही सारी चीजें घूम के पूछी जाती हैं। वेरी वेरीेंट। आई विल कीप रिपीटिंग दिस अंडरस्टैंड इस चैप्टर को स्पेशली हर क्वेश्चन को इमेजिन करो कि चल क्या रहा है क्या पूछा गया है क्या दिखा लिखा हुआ है क्या हो रहा है कौन से केस ये तो सेम ही बात है चाहे इधर से देखें इधर से देखें ये तो सेम बात है। ऐसे टाइप की चीज़ें दिमाग चला। तो आज की क्लास में हम रटने वाली चीज़ को बिल्कुल साइड करेंगे। मुश्किल से चार

5:50 फ़ूला होंगे जो हमें रट के फायदा होगा। उसके अलावा हर चीज़ हमें समझ के करनी है। नाउ दी मोस्ट इंपॉर्टेंट पार्ट ऑफ़ दिस चैप्टर इज़ कोई केस स्किप नहीं करना। कोई केस रिपीट नहीं करना। हम हर क्वेश्चन में ऑलमोस्ट एव्री क्वेश्चन में हम कुछ केसेस बनाएंगे कि इस केस में क्या होगा? इस केस में क्या होगा? एंड सो ऑन। हमें एनश्योर करना है कि हम सारे केसेस लिख तो रहे हैं बट कोई ओवरलैपिंग भी ना हो। कोई केस रह भी ना जाए। तो उसके लिए एक टिप है कि कुछ ऑर्डर फॉलो करो। आई विल शो यू कि व्हाट दैट मीन्स एक्जेक्टली। बट माइंड में बिठा के रखो। जब भी कोई केस काउंट करने हैं हमने ऑर्डर में करने हैं। ये नहीं ये भी हो सकता है। अरे वो भी तो हो सकता है।

6:36 नहीं एक ऑर्डर में चलेंगे कि हां सबसे पहले जीरो वाले कितने होंगे? फिर वन वाले कितने होंगे? एंड सो ऑन। ठीक है? रेडी? जिन भी बच्चों को 11th क्लास में अभी तक लग रहा है कि वो कॉन्फिडेंस नहीं आ रहा। 11थ वेस्टेड वाली फीलिंग आ रही है। पहली बात तो बच्चे आप अकेले नहीं हैं। 11थ वेस्टेड जैसा कुछ नहीं होता। 11थ मास्टर जैसा भी कुछ नहीं होता। सबकी तैयारी बीच में कहीं होती है। बट स्टिल इफ यू फील कि हां मोस्ट चैप्टर्स में दिक्कत आ रही है। एक बार फिर से हमें अच्छे से करना चाहिए। देन वी हैव आवर बैच दैट इज़ ऑलरेडी रनिंग। 31 अक्टूबर को स्टार्ट हो गया है। द इनिशियल चैप्टर्स हैव बीन कवर्ड। अभी तो अगर मोस्ट बच्चों का मुझे पता है कि

7:23 इनिशियल चैप्टर्स फिर भी थोड़े ढंग से पढ़े होते हैं। आगे सारा बैकलग पे बैकलग बनता जाता है। सो इफ यू आर स्ट्रगलिंग बच्चे दिस इज़ अ कंप्लीट बैच अंटिल योर जेई 2027 के जेई के लिए ये बैच बनाया गया है कि आप अभी अच्छे से रिवीज़ कंप्लीट करें। देन हमारे साथ अपने फेवरेट टीचर्स के साथ 12th करें। बिल्कुल जल्दी स्टार्ट करके अच्छे से हम डिटेल में करेंगे साथ में। सो दिस इज अ कंप्लीट बैच अल्टीमेट बैच फॉर ऑल दोज़ स्टूडेंट्स जो अभी भी उतने कॉन्फिडेंट नहीं फील कर रहे बट टॉप रैंक एम तो कर रहे हैं। सो लिंक इज़ इन द डिस्क्रिप्शन चेक इट आउट द फर्स्ट थिंग द फर्स्ट टॉपिक ऑफ़ दिस चैप्टर इज़ फैक्टोरियल एंड उससे रिलेटेड क्वेश्चन। नाउ बिफोर वी स्टार्ट आप लोगों

8:11 के पास अपनी नोटबुक, अपना पेन, अपना पानी होना चाहिए। सिर्फ सुनने कहानी नहीं आए हो आप। जब तक आप मैथ्स में हाथ नहीं चलाएंगे, कुछ समझ नहीं आएगा, समझ आ भी गया तो याद तो पक्का नहीं रहेगा। सो नोट्स बनाने हैं, क्वेश्चन साथ-साथ सॉल्व करने हैं। ओनली देन यू विल बी एबल टू एक्चुअली अंडरस्टैंड एज वेल एज रिटेन ऑल दी इनेशन। रेडी? परफेक्ट। लेट्स गो। सो फैक्टोरियलरियल किसी नेचुरल नंबर का अगर हम डिफाइन करते हैं तो उसका मतलब बहुत सिंपल होता है। वन से लेके उस नेचुरल नंबर तक के सारे नंबर्स को मल्टीप्लाई कर दो। सारे नेचुरल नंबर्स को मल्टीप्लाई कर दो। फॉर एग्जांपल अगर हम

8:58 5ोरियल बोल रहे हैं तो 1 * 2 * 3 * 4 * 5 120 4 बोल रहे हैं तो 4 * 3 * 2 * 1 लिखें या 1 * 2 * 3 * 4 सेम बात है 24 इस तरह से हम सारे नंबर्स किसी भी नंबर का फैक्टोरियल थ्योरेटिकली निकाल सकते हैं। जितना बड़ा नंबर होगा उतनी बड़ी वैल्यू होती जाएगी। बट फ़ैक्टोरियल का कॉन्सप्ट क्लियर है। सारे नेचुरल नंबर वन से लेके n तक के मल्टीप्लाई करने हैं। सारे के सारे प्रोडक्ट लेने हैं। एंड वी विल हैव द फैक्टोरियल। नाउ इफ वी नोटिस हियर यहां पे ये 4 * 3 * 2 * 1 ये दोनों तो सेम सेम है। बस एक 5 एक्स्ट्रा हो गया। दैट मींस 5 को

9:44 हम लिख सकते हैं 5 * 4 इसको भी हम इसी तरह से लिख सकते हैं। 4 * 3 एंड सो ऑन। तो इन जनरल nोरियल को हम लिख सकते हैं n * n - 1ोरियल। क्या रटने वाली चीज है? बिल्कुल भी नहीं। nोरियल में वन से n तक के नंबर्स मल्टीप्लाई कर दिए। अगर मैंने n हटा दिया तो वन से n - 1 का प्रोडक्ट अभी भी बचा है। दैट इज़ नथिंग बट n - 1ोरियल। तो ऐसे टाइप की चीजें ये फैक्टोरियल को समझना बहुत जरूरी है। बहुत सारी कैलकुलेशंस में स्पेशली बायनॉमियल थ्योरम में भी हमने ये सारी चीजें यूज़ करी थी। तो इट्स वेरीेंट कि आप लोग इसको अंडरस्टैंड करें।

10:30 फैक्टोरियल से घबराना नहीं है। वेरी सिंपल थिंग। वेरी सिंपल ऑपरेशन। मोर ओवर अगर मैं इसको उल्टा लिखूं कि 4 इज नथिंग बट 5ोरियल में से मैंने फाइव हटा दिया। इसी तरह से 3ोरियल को भी मैं लिख सकती हूं कि मैंने 4ोरियल में से फोर हटा दिया। बाकी बचा 3ोरियल। इसी तरह से 2ोरियल है उससे एक बड़े वाला नंबर का फैक्टोरियल डिवाइडेड बाय वही बड़े वाला नंबर। 1ोरियल को भी मैं इस तरह से लिख सकती हूं। वि मींस इवन दो यह नेचुरल नंबर्स के लिए डिफाइंड है। बट हमें कई बार जरूरत पड़ती है 0ोरियल की। तो 0ोरियल को बाय सेम लॉजिक

11:18 हम लिख सकते हैं 1ोरियल बाय 1 1ोरियल इज 1 सो दिस बिकम्स वन। एंड दैट इज व्हाई 0 एक स्पेशल केस है जिसकी वैल्यू होती है वन। ठीक है? सो किसी भी नंबर को किसी भी नंबर केोरियल को हम इस तरह से लिख सकते हैं। एक बड़े नंबर काोरियल डिवाइडेड बाय वही बड़ा नंबर रटना नहीं है। बहुत सिंपल अंडरस्टैंडिंग है। उसी लॉजिक से 0ोरियल की भी हमने वैल्यू निकाल ली। नाउ जो एक क्वेश्चन मेंस में काफी बार हर साल हम देख ही लेते हैं कहीं ना कहीं कभी ना कभी इज़ किसी भी प्राइम नंबर की पावर

12:04 कितनी होती है इन nोरियल nोरियल बहुत ही बड़ा नंबर होगा जैसे-जैसे n बढ़ता जाएगा मल्टीप्लाई करते जा रहे हैं हम अगर हम उसकी प्राइम फैक्टराइजेशन देखें फॉर एग्जांपल मेरे पास 5ोरियल है दैट इज़ 5 * 4 * 3 * 2 * 120 इसको मैं इस तरह से लिख सकती हूं। टू की कितनी पावर है? वन यहां से आई टू यहां से आई तो 2 पावर 3 * 3 * 5 तो अगर मैं पूछना चाहूं कि 5ोरियल में टू जो एक प्राइम नंबर है उसकी पावर कितनी है? जब मैं प्राइम फैक्टराइजेशन इसकी लिख रही हूं तो टू की एक्स्पोनेंट कितना आएगा? टू की पावर कितनी आएगी? यहां पर तो हम निकाल सकते हैं थ्री बट

12:50 जैसे-जैसे यह नंबर बढ़ता जाएगा हमारे पास दिक्कत आती जाएगी। तो इसको निकालने के लिए हमारे पास सबसे पहले एक फार्मूला है। बिकॉज़ हम हर बार लॉजिकली इसको सोच नहीं सकते। तो हम फार्मूला तो याद करेंगे बट सिर्फ याद नहीं करेंगे। हम समझेंगे भी कि ये कहां से आ रहा है? यही क्यों आ रहा है। समझेंगे बिल्कुल समझेंगे। लेकिन फार्मूला याद भी करना है। डायरेक्ट एप्लीकेशन आ जाती है मेंस में तब हम टाइम वेस्ट नहीं करेंगे सोचने में। राइट? सो फार्मूला क्या है? हम पहले डिवाइड करेंगे 5ोरियल में अगर हमें टू की पावर चाहिए तो हम लिखते कैसे हैं इसको? टू की एक्स्पोनेंट चाहिए हमें इन 5ोरियल। तो P

13:36 है हमारा 2, M है 5 हमने पहले 5 / 2 किया एंड उसका ग्रेटेस्ट इंटीजर लिया। कितना आया? 2.5 का ग्रेटेस्ट इंटीजर टू। फिर हमने फाइव ऊपर फाइव ही रखेंगे। ऊपर वही n रखेंगे। नीचे टू की पावर बढ़ाते जाएंगे। 2 की पावर वन रखी। अब 2 की पावर टू रखेंगे। 2 की पावर 2 यानी कि 4 5 / 4 इज 1.25 उसका ग्रेटेस्ट इंटजर वन फिर अगला करेंगे 5 / 2 अब 5 / 8 तो 0 समथिंग हो गया 0 समथिंग एट बड़ा है तब 0 समथिंग का ग्रेटेस्ट इंटीजर

14:23 ज़ीरो फिर अगली 2 की पावर 4 करी 5 / 16 अगेन ज़ीरो अब तो टू की पावर बढ़ती ही जाएगी तो ये सारे ही 0 पॉइंट समथिंग आएंगे हर का ग्रेट ग्रेटेस्ट इंटीजर ज़ीरो तो हम यहीं पे रुक जाएंगे। तो ये कितनी वैल्यू आ गई? थ्री। ठीक है? तो इस तरह से हम कोई भी नंबर में किसी भी नंबर के फैक्टोरियल में किसी भी प्राइम नंबर की एक्स्पोनेंट निकाल सकते हैं। रिमेंबर ये फार्मूला सिर्फ और सिर्फ प्राइम नंबर्स के लिए है। ठीक है? सो अगर हमें 5 का एक्सप्पोनेंट निकालना है इन 100 तो हम कहां से स्टार्ट करेंगे?

15:10 100 / 5 20 ठीक है? फिर अगला 100/5² 100/ 25 इज 4 फिर 100/5q 100 / 5 दैट इज़ 125 100 / 125 तो 0 समथिंग हो गया तो हम यहीं रुक जाएंगे। प्लस 0 है तो बस हमारा आंसर आ गया 24 राइट। सो इस तरह से हम डायरेक्ट यह फार्मूला लगा सकते हैं फॉर एनी एंड एनी प्राइम नंबर। इमेजिन 100ोरियल वन से लेके 100 तक के सारे नंबर्स का प्रोडक्ट इट्स अ ह्यूज

15:57 नंबर। उसमें भी हमने सीधा-सीधा निकाल लिया कि फाइव की पावर कितनी होगी। अब बिफोर वी मूव ऑन बहुत जरूरी है हम ये समझें कि ये फार्मूला आता कहां से है। नॉट फॉर दिस क्वेश्चन पर वो थिंकिंग एबिलिटी बनाने के लिए। वेरी गुड बच्चों। थिंकिंग एबिलिटी बनाने के लिए हमें बहुत जरूरी है कि हम सोचें। इस चैप्टर में बहुत जरूरी होता है हमें वही चीजें इमेजिन कर पाना। फॉर एग्जांपल हम कर क्या रहे हैं? वापस प्रॉब्लम स्टेटमेंट पे चलें। अगर बिल्कुल समझते हैं कि हो क्या रहा है। हमने यहां पे 5ोरियल चलो 100ोरियल भी लिख लें। अगर पूरा नहीं लिखेंगे। डोंट वरी। 99

16:42 इस तरह से सारे नेचुरल नंबर्स अप टू 100 का प्रोडक्ट राइट यहां पे अगर हमें फाइव चाहिए फाइव कहां-कहां से आएगा जहां से भी आएगा वो पावर बनती जाएगी तो फाइव आएगा यहां पे एक फाइव आया होगा तो 10 आया होगा उसमें भी एक फाइव आता है 15 आएगा उसमें भी फाइव आता है 20 में फाइव आता है 25 में तो दो फाइव आते हैं राइट तो इस तरह से अगर अगर मुझे चेक करना है कि 100ोरियल में कितने फाइव आ रहे हैं। एक-एक फाइव तो हर फाइव का मल्टीपल देगा। राइट? फाइव के कितने मल्टीपल्स हैं? 20 मल्टीपल्स हैं। 100 / 5 * 1 एंड 5 * 2 5 * 20 तक यहां पर है। तो 20

17:30 मल्टीपल्स ऑफ़ फाइव हैं। ठीक है? तो उतनी फाइव की पावर 20 तो आएगी लेकिन 25 जैसे नंबर भी तो हैं जहां पे दो फाइव हैं। उन्होंने अपना एक फाइव दे भी दिया तो भी उनके पास अभी भी फाइव बचा है और फाइव बचे हैं अभी 100ोरियल में। अब हम जाएंगे उन सारे नंबर्स के पास जहां पे फाइव की मल्टीपल पावर्स हैं। तो अब नेक्स्ट हम चलेंगे कि कितने फाइव स्क्वायर हैं हमारे पास। कितने फाइव स्क्वायर हैं हमारे पास? 25 के कितने मल्टीपल्स हैं यहां पे? 25 * 1, 25 * 2, 25 * 3 एंड 25 * 4 तो फोर

18:16 मल्टीपल्स हैं हमारे पास 25 के। अब 25 के फोर मल्टीपल्स का मतलब ये नहीं है कि इनसे दो आएंगे क्योंकि एक वो ऑलरेडी ले चुके हैं। या तो हम देखते कि यहां पे 25 के ना हो। पर हमने तो सारे मल्टीपल ले लिए थे। तो यहां से आया एक फाइव। फिर जिनके पास अभी भी फाइव देने को बचे थे उन्होंने और फाइव दे दिया। अब इसके अलावा कोई बचेगा क्या? अब भी अगर किसी के पास फाइव बचा है मतलब उनके पास तीन फाइव थे। एटलीस्ट तीन फाइव मतलब 125 तो कम से कम होना चाहिए। 12500 से बड़ा है। तो हम यहीं पे रुक जाएंगे। दैट इज़ हाउ यू थिंक। यह 20 कहां से आ रहा है? 20 आ रहा है कि यहां पर कितने फाइव के मल्टीपल्स हैं। वो कितने फाइव के मल्टीपल्स हैं? 20 इज़ 100 /

19:04 5 का ग्रेटेस्ट इंटजर। फोर इज़ 100 / 5² का ग्रेटेस्ट इंटीजर। तो इस तरह से इन जनरल nोरियल में p कहां-कहां से आएगा? एक तो आएगा सारे p के मल्टीपल से। फिर आएगा p² के सारे मल्टीपल से, p के सारे मल्टीपल से। जब तक हमारी p की पावर n से बड़ी ना हो जाए। इन अदर वर्ड्स n / p की वो पावर का ग्रेटेस्ट इंटीजर ज़ीरो ना हो जाए। राइट? थोड़ा सा फील आ गई चैप्टर की। इससे ऊपर ही जाना है। सोचना है। मैम आपको सुचवाएंगी लेकिन दिमाग खुद का चलाते रहना है। दैट इज हाउ यू मास्टर दिस चैप्टर।

19:52 सो फार्मूला क्लियर है? चलिए अब इसके और आगे के क्वेश्चंस करते हैं। अगर हमें कोई प्राइम की जगह कोई कॉम्पोजिट नंबर दे दिया। 15 की कितनी पावर? कुछ आएगी थ्री की पावर कुछ आएगी 5 की पावर। है ना? अगर हमारे पास e5 तो आ गया था हमारे पास 100 में। कितने 5 थे? 24 3 कितने हैं? थ्री की कितनी पावर आएगी? जल्दी से निकालो। 15 की कितनी आएगी? वो बाद में देखेंगे। लेकिन पहले थ्री की निकालते हैं कि थ्री के एक्स्पोनेंट कितना आएगा 100ोरियल में। तो फार्मूला लगाएंगे जल्दी-जल्दी। 100 / 3

20:42 100 / 3² 100 / 3 कितना-कितना आ रहा है? 100 / 3 33 समथिंग ग्रेटेस्ट इंटीजर 33 100 / 9 ग्रेटेस्ट इंटीजर 11 100 / 27 ग्रेटेस्ट इंटीजर थ्री 100 / 3 की पावर 4 यानी कि 100 / 81 ग्रेटेस्ट इंटजर वन फिर 3 की पावर 5 243 100 से क्रॉस कर गया वहां पे जीरो हो जाएगा हम रुक जाएंगे य सिंपल अब 44 + 48 यही आ रहा है।

21:46 हां जी। सो दैट मींस कि हमारे पास 100 कुछ इस तरह से दिख रहा है। 3 की पावर है 48, 5 की पावर है 24 एंड बाकी जो भी सारे प्राइम नंबर्स हैं टू की कुछ पावर होगी, से की कुछ पावर होगी। इस तरह से चलते जाएंगे हमारे। है ना? पर हमें 15 बनाने हैं। 15 बनाने के लिए एक थ्री चाहिए, एक फाइव चाहिए। जितने हम 3 * 5 के पेयर्स बनाते जाएंगे उतने 15 बनते जाएंगे। यहां पर हम कितने 15 बना सकते हैं जो भी हमारे पास कम है। फाइव कम है हमारे पास। तो ये 24 3 तो मिल जाएंगे हमें लेकिन 48 फाइव नहीं मिल सकते। तो यहां पे 3 की पावर 24

22:32 अलग रह जाएगा एंड 15 की पावर 24 मिल जाएगी। तो 15 का एक्स्पोनेंट कितना बन गया? 20 फोर जितना फाइव का था। तो हमें बस देखना है कम किसकी पावर होगी। उसकी पावर जितनी होगी इनमें से सबसे मिनिमम जिसकी पावर होगी वही हमारा आंसर होगा। अब थोड़ा सा लॉजिकली सोचो। हमारे पास फाइव आएंगे फाइव फाइव के जंप पे। 5 10 15 इस तरह से। थ्री कितने आएंगे? थ्री आएंगे छोटे-छोटे जंप पे। 3 6 9 12 15 18 इस तरह से बार-बार थ्री मिलेंगे। इसलिए हमें छोटे प्राइम नंबर ज्यादा बार मिलेंगे क्योंकि उनका छोटे-छोटे जंप पे हमें ज्यादा मिल रहे

23:18 हैं। टोटल तो 100 तक ही जा रहे हैं नंबर्स हमारे सारे। तो छोटा प्राइम नंबर हमें हमेशा ज्यादा बार मिलता है। कभी भी इस तरह का क्वेश्चन आए तो हम दोनों नहीं निकालेंगे। हम देखेंगे सबसे बड़ा प्राइम नंबर इसके प्राइम फैक्टराइजेशन में जो आ रहा है उसको उसकी बस एक्सप्पोनेंट निकालेंगे। दैट विल बी आर आंसर। तो हमें थ्री निकालने की नीड ही नहीं है। हमें पता है कि फाइव ही कम आएगा। थ्री तो ज्यादा ही आएगा फाइव से। राइट? अब अगर इसी तरह से नंबर ऑफ़ ज़ीरोज़ पूछे जाए। नंबर ऑफ़ ज़ीरोज़। इस तरह से 10 की कितनी पावर है? राइट? नंबर ऑफ जीरो मतलब एक्स्पोनेंट ऑफ

24:06 10 तो सिंपली क्या करना है ई 10 एंड 100ोरियल 10 क्या होता है 10 इज़ 2 * 5 टू नेचुरली थ्री से भी ज्यादा आएंगे करके देख लो भले टू तो और भी ज्यादा बाहर आएंगे 2 4 6 8 इस तरह से तो 50 तो ऐसे ही आ जाएंगे मल्टीपल से तो हम सिर्फ सिर्फ बड़े वाले प्राइम नंबर का देखेंगे जो हम निकाल चुके हैं 24। सो 100ोरियल के अंदर 24 तो लास्ट में डिजिट जीरो ही है। दैट्स हाउ क्यूज दिस नंबर इज़। उसके अलावा बहुत सारे उससे पहले डिजिट्स आएंगे। राइट?

25:46 हां जी वॉइस स्लो आ रही है। आई वास जस्ट चेकिंग द सिस्टम कि अगर किसी को मेरे ऑडियो में मेरा तो यूजुअल सिस्टम है। यूजुअल सेटअप है तो कोई बात नहीं लेट मी स्टिल लुक इंटू दिस मीन वाइल क्लियर तो है हम राइट एप्रोक्समेट लेंथ ऑफ़ द क्लास कितनी देर चलेगा रफली बच्चे ब्रेक्स इंक्लूडेड फाइव आवर्स चलेगा 9:00 pm तक हम रफली ये वाली क्लास रन करेगी ऑफ कोर्स बीच में थोड़ा ब्रेक तो लेना होता है तो ब्रेक्स के साथ ठीक है अब अगर हमें 24 निकालना हो 24 की एक्स्पोनेंट निकालनी हो तो क्या करेंगे? 24 होता है 8 * 3 यानी कि 2 * 3

26:32 अब यहां पे हमें 2 क्यूब देखना है कितनी बार आएगा। एट कितने आएंगे? टू कितने आएंगे ये नहीं। 2 पावर 3 कितने आएंगे? हमें यह चेक करना है। राइट। तो अब क्या करें? एक्सप्पोनेंट ऑफ़ 3 हमने निकाल लिया था 100ोरियल में 48 एक्स्पोनेंट ऑफ़ टू कितना होगा? एक्स्पोनेंट ऑफ़ थोड़ा सा इधर से शुरू कर लेते हैं। लंबा जाएगा। एक्सप्पोनेंट ऑफ 2 इन 100 विल बी 100/ 2

27:19 100/्व साथ-साथ लिखते जाओ ताकि पता चलता जाए कि हां कितना-कितना आ रहा है हमारा कब जाके ये ज़ीरो हो रहा है। तो 100/2 50 100/2² 100 / 4 25 100 / 2 100 / 8 का ग्रेटेस्ट इंटीजर दैट इज 12 फिर 100 / 2 पावर 4 100 / 16 ठीक फिर 100 / 2 की पावर 5 100 / 32

28:08 थ्री फिर 100 / 64 भी है। कितने हैं? एक ही है। फिर 128 तो क्रॉस कर जाता है। एंड 100 / 2 पावर 7 2 7 128 क्रॉस कर गया। सो दिस इज़ योर फाइनल काउंट। कितना आ रहा है? 75 87 93 92 97 तो अब इसका मतलब 100ोरियल कुछ इस तरह से दिख रहा है। 2 ^ 97 3 ^ 48 5 ^ 24 एंड बाकी सारे प्राइम नंबर्स हमें बनाना है 2 क्यूब * 3 ऐसे ग्रुप्स कितने बन रहे हैं?

28:54 तो 2 क्यूब * 3 थ्री तो हमारे पास 48 है। 2 क्यूब्स कितने हैं? 2 क्यूब है हमारे पास 32 96 है। फिर एक टू बच गया। एंड 3 के पास 48 है। तो 32 तो है ही। 3 की पावर 16 और है बाकी सारे प्राइम नंबर्स। तो अगर हम इसको और इसको कंबाइन करें तो हमारे पास कितने आएंगे? 24 32 तो यहां पे यस 2 क्यूब बड़ा था तो 2 क्यूब कम आए हमारे पास। 2 क्यूब था लिमिटिंग फैक्टर। थ्री हमारे पास 48 थे। बहुत सारे थे। लेकिन एट एट के लिए तो बड़े-बड़े जंप

29:40 लग रहे हैं। एट हमारे पास सिर्फ 32 थे। तो इसलिए हमने एट वाला ही नंबर यूज़ किया। बट ये हर बार रूल नहीं होता बच्चे। हमें देखना पड़ता है कि कितना डिफरेंस है इनमें। तो इसलिए ऐसे केसेस में दोनों निकाल लो। जस्ट टू बी श्योर दोनों निकाल लो। यहां पे हमें एट देखने हैं, थ्री देखने हैं। अगर और कोई भी होता तो हम वो भी चेक करते। तो फाइनल आंसर इज़ 32। वेरी गुड। सो वि दिस वी आर डन विद दिस एंटायर टॉपिक। बस यही इसी से रिलेटेड क्वेश्चंस आते हैं। प्रैक्टिस सेशन में हम इसके ही और थोड़े

30:25 ट्विस्टेड करेंगे। जब दो तीन प्राइम नंबर्स अलग-अलग पावर में मल्टीप्लाई हो रहे हैं। तो कितना एक्सप्पोनेंट आएगा? ऐसे नंबर का एक्सप्पोनेंट कितना आएगा? बट लॉजिक सेम है। ठीक है? अब चलते हैं हमारे पीएसी के एक्चुअल फर्स्ट टॉपिक पे वि इज फंडामेंटल प्रिंसिपल ऑफ काउंटिंग। लिटरली नाम में है फंडामेंटल प्रिंसिपल। काउंट कैसे करते हैं? दो हमारे फंडामेंटल प्रिंसिपल होते हैं। पहला है एक मल्टीप्लिकेशन वाला प्रिंसिपल ऑफ़ काउंटिंग। मल्टीप्लिकेशन कब करी जाती है? जब भी बच्चे हमारे पास एक जॉब को करने के एक काम को करने के एम तरीके हैं। लेट्स से चार तरीके हैं। एंड चाहे उन चार में से कोई भी तरीका यूज़ करो।

31:13 दूसरी जॉब करने के कुछ n तरीके हैं। लेट्स से दो तरीके हैं। तो टोटल यहां पे करने के चार तरीके। यहां पे इस चीज को करने के दो तरीके। हमें करने दोनों हैं। दिस एंड दिस यह भी करना है एंड यह भी करना है। इसमें से कोई भी करे इसके लिए दो ही तरीके आएंगे। फॉर एग्जांपल अगर हमारे पास एक जॉब को करने के फोर वेज़ हैं। दूसरी जॉब को करने के दो तरीके हैं। नो मैटर ये पहले वाली हमने कैसे करी? कौन सी वाली करी? इसमें से फर्स्ट तरीका चूज़ किया, सेकंड तरीका चूज़ किया, थर्ड चूज़ किया या फोर्थ चूज़ किया। किसी भी हाल में इसको करने के दो ही तरीके रहेंगे। मतलब हर के लिए हम दो तरीके कर रहे हैं। तो टोटल सिंपल मैथ से

31:59 सिंपल वो थर्ड क्लास की मल्टीप्लिकेशन वाली वर्ड प्रॉब्लम से दिस बिकम्स 4 * 2 ये कर सकते हैं चार तरीके से। ईच ऑफ़ दीज़ कैन बी विल टेक अस टू जॉब B व्हिच कैन बी डन इन टू। तो टोटल तरीके कितने हैं? चार यहां से दो यहां से मल्टीप्लाई इन जनरल जब भी आपके टास्क में एंड है कि यह भी करना है एंड ये भी करना है तब हम करेंगे मल्टीप्लाई बहुत सिंपल सा फंडामेंटल सा प्रिंसिपल है बट बहुत एप्लीकेशनेशंस इनफाइनाइट एप्लीकेशनेशंस वी विल सॉल्व ऑल द क्वेश्चंस रिलेटेड टू दिस डोंट वरी बहुत सारी एप्लीकेशनेशंस होती हैं बट हमेशा याद

32:45 क्या रखना है एंड एंड है अगर तो हमें मल्टीप्लाई करना है। ये भी करना है एंड ये भी करना है तो मल्टीप्लाई। एग्जांपल देखें। एक कॉन्फ्रेंस हॉल है जिसके 10 गेट हैं। बड़ा सा कॉन्फ्रेंस हॉल है जिसके 10 गेट हैं। इसी तरह से क्वेश्चन में इमेजिन करना होता है। ठीक है? क्वेश्चन जैसे ही आप पढ़ो तो दिमाग में चलना चाहिए। अच्छा ठीक है। एक कॉन्फ्रेंस हॉल है। बड़ा सा 10 गेट हैं उसके। ठीक है? उसके बाद कितने तरीकों से एक पर्सन एंटर कर सकता है एक गेट से। फिर एग्जिट दूसरे से करना है। एक है उसका उसको चूज़ करना है एंट्री वाला गेट। एक उसे चूज़ करना है एग्जिट वाला गेट। एंट्री गेट के लिए लेट से उसके पास कितने

33:32 ऑप्शन हैं? 10 में से कोई भी चूज़ कर सकता है। राइट? तो इसके उसके पास 10 चूज़ करने के तरीके हैं। एक बार ये चूज़ कर लिया। इनमें से कोई भी चूज़ किया। लेट से ए गेट चूज किया, सेवंथ गेट चूज किया, फोर्थ गेट चूज किया, कोई भी चूज किया। हर हाल में एग्जिट के लिए कितने ऑप्शन बचेंगे? नाइन। क्योंकि डिफरेंट गेट से जाना है। सेम गेट से नहीं जा सकते। तो उस गेट के अलावा बाकी नाइन बचेंगे। चाहे नाइन हर बार अलग-अलग होंगे। लेकिन यह एक बार चूज़ कर लिया। चाहे कोई भी किया हो। इसके लिए हर केस में नाइन ही बचेंगे। तो अगर ऐसा हो रहा है हर केस में इसके लिए नाइन ही बच रहे हैं। देन एंड

34:19 हमें यह दोनों चूज़ करने हैं। ये भी चूज़ करना है एंड ये भी चूज़ करना है। सो वी मल्टीप्लाई एंड दैट इज़ हाउ वी गेट 90 वेज़ ऑफ़ सेलेक्टिंग अ गेट फॉर एंट्री एंड अनदर गेट फॉर एग्जिट। बेसिक सा फंडा है। इसकी एप्लीकेशन इनफाइनाइट है। बट इस तरह से देखना है। इसमें से हर केस में इसके लिए नाइन ही ऑप्शन बच रहे हैं। तो वी मल्टीप्लाई नाइन एंड नॉट 10 एग्जिट के लिए वैसे 10 ऑप्शन है। लेकिन जब एंट्री चूज़ कर लिया तो हमारे पास सिर्फ नौ ऑप्शन है। तो 90 वेरी गुड बच्चों। वेरी गुड। चलो थोड़ा सा ऊपर चलते हैं। अब हमारे पास आठ फ्लैग्स हैं। अलग-अलग कलर्स। वी हैव एट

35:07 डिफरेंट फ्लैग्स ऑफ डिफरेंट कलर्स। वी हैव टू मेक अ सिग्नल जिसमें फाइव फ्लावर्स फाइव फ्लैग्स यूज़ होते हैं। राइट? फाइव फ्लैग यूज़ करके एक सिग्नल बनता है। ऐसे कितने सिग्नल बना सकते हैं? तो एक सिग्नल बनाने के लिए हमें इस तरह से फाइव फ्लैग्स चाहिए। अच्छा बच्चे ऐसे टाइप के सारे क्वेश्चन में इफ यू नोटिस मैम क्या कर रही हैं? एक प्लेस होल्डर बना रही हैं। चाहे ब्लैंक बनाओ, बॉक्स बनाओ या इस तरह से ट्रे बनाओ पर एक जगह है जिसको हमें फिल करना है। ये इस तरह से आप इमेजिन करेंगे तो ये बहुत क्लेरिटी देती है। मुश्किल से मुश्किल कॉम्प्लिकेटेड से कॉम्प्लिकेटेड क्वेश्चंस में। दिस एनश्योर्स कि आपका मेथड परफेक्ट है। आपका

35:53 आंसर सही आ रहा है। तो यूज़ समथिंग लाइक दिस। नाउ फाइव फ्लैग्स के कलर्स हमें चूज़ करने हैं। पहले के लिए हमारे पास कितने ऑप्शन हैं? एट ऑप्शन है। लेकिन अब अगले वाले में कितने ऑप्शन है? हमें कहीं यह तो नहीं बोला कि एक बार अनलिमिटेड है। हमारे पास तो सिर्फ एक ही फ्लैग्स हैं। एक ले लिया तो अब बचे सेवन। अब सेवन में से यहां पे कोई भी सेवन यूज़ कर सकते हो। अब एक और ले लिया। सिर्फ सिक्स बचे। इस तरह से यहां पे सिर्फ फाइव बचे एंड यहां पे सिर्फ फोर बचे।

36:39 नॉट 8ोरियल बचे। सिर्फ फाइव फ्लैग्स यूज़ करने हैं हमने। 8 * 7 * 6 * 5 * 4 क्योंकि ये सारे फ्लैग चूज़ करने हैं। एंड वाली सिचुएशन है। इसको भी भरना है। इसको भी भरना है। इसको भी भरना है। तो इसको भरने के आठ तरीके थे। जब इसको भर दिया फिर इसके लिए सिर्फ सात बचे। जब इन दोनों को भर दिया इसके लिए सिर्फ सिक्स बचे एंड सो ऑन। इस तरफ से भी स्टार्ट कर सकते थे। आंसर सेम ही आएगा। तो यह जो भी वैल्यू आएगी हम कैलकुलेट कर सकते हैं। वी विल गेट आवर आंसर। नाउ सबसे इंपॉर्टेंट इसकी एप्लीकेशन होती है नंबर फॉरमेशन। इस टाइप के बहुत सारे क्वेश्चन बन सकते हैं जो हम बहुत सारे क्वेश्चंस अभी प्रैक्टिस करेंगे। सो नंबर

37:26 फॉरमेशन सबसे बड़ी एप्लीकेशन है फंडामेंटल प्रिंसिपल। मल्टीप्लिकेशन प्रिंसिपल ऑफ़ काउंटिंग की। लेट्स सी वो कैसे लगती है यहां पे। हमारे पास ये डिजिट्स हैं। यह डिजिट्स नहीं है विदाउट यूजिंग दिस डिजिट्स। हमारे पास टोटल डिजिट्स कितने होते हैं? जीरो से लेके नाइन तक 10। वी हैव 10 डिजिट्स। 0 1 2 3 4 5 6 7 8 एंड 9 हमें अलाउड नहीं है। ये ज़ीरो अलाउड नहीं। टू अलाउड नहीं। 3 4 5 6 ये भी अलाउड नहीं है। अलाउड कौन-कौन से हैं? 1 7 8 एंड न। बस ये चार रिमेनिंग डिजिट्स हमें अलाउड

38:13 है। हमें बनाना है एक थ्री डिजिट नंबर। थ्री डिजिट नंबर मतलब हमें तीन डिजिट्स भरने हैं। तो हमने तीन ट्रेज़ बना ली। पहले के लिए कितने ऑप्शन हैं? फोर। अब अगले के लिए कितने ऑप्शन हैं? एक बार इसको भर दिया। मान लो सेन से से भर दिया तो अभी भी अगले वाले में चार ऑप्शन बचेंगे। से फिर से आ सकता है। ऐसा तो नहीं है कि हमें यह सेवन एक ही बार यूज़ करना है। हमें तो बस देखना है कितने नंबर बन सकते हैं। सेवन रिपीट भी हो सकता है। अगर रेपीटीशन अलाउड है। अगर कुछ नहीं लिखा मतलब ऑफ कोर्स कितने नंबर हो सकते हैं? नंबर्स में तो रिपीट होती है डिजिट्स। तो हम यहां पे भी चार ऑप्शन। यहां पे भी चार

38:59 ऑप्शन। तो टोटल 4 * 4 * 4 4 क्यूब 64 अगर डिजिट अलग-अलग ही होने थे तो हमारे पास एक कम ऑप्शन बचता बट हमें जब काउंट करना हो कि कितने टोटल नंबर हैं? सोचना है रटना नहीं। कितने टोटल नंबर हैं? नंबर में क्या रेपीटीशन हो सकती है? हां बिल्कुल हो सकती है। यहां पे फोर ऑप्शन से पहले के लिए कोई भी भरो अगले वाले के लिए भी फोर ऑप्शन रहेंगे। एंड सो ऑन बट अगर बोल दिया जाए इफ ऑल डिजिट्स आर डिस्टिंक्ट तो मतलब अब क्या सेम है? पहले वाले के लिए

39:44 चार ऑप्शन है। लेकिन जैसे ही कोई भी चूज़ कर लिया। सेवन किया, एट किया, नाइन किया, वन किया, जो मर्ज़ी चूज़ किया। बाकी जो भी तीन बचेंगे वही ऑप्शन बचेंगे हमारे अगले प्लेस के लिए। राइट? वो वाला नहीं आ सकता। अब सेम एज वो एंट्री एग्जिट गेट कि कौन से नौ बच रहे हैं वो अलग बात है। यहां पर भी कौन से तीन बच रहे हैं वो चेंज होता रहेगा। लेकिन हर ईच ऑफ दी फोर केसेस में हमारे पास तीन ऑप्शन ही बचेंगे यहां पे। इसी तरह से अब दो यूज़ हो गए हैं। दो ही बचे हमारे पास ऑप्शन। अब आएगा 4 * 3 * 2 दैट इज 24।

40:31 सो इट्स वेरीेंट टू सी कि सारे डिजिट्स डिस्टिंक्ट है या सेम है। कोई रटना नहीं है विद रिपीटीशन विदाउट रेपेटीशन। ऐसे बहुत तरह अलग-अलग तरीके से क्वेश्चन में लिखा हो सकता है। हमें सोचना है कि क्या इनको अलग होना है? क्या ये रिपीट हो सकते हैं? कितने ऑप्शन बच रहे हैं? चलिए अब हाउ मेनी नंबर्स आर देयर बिटवीन 100 एंड 1000 इन व्हिच ऑल डिजिट्स आर डिस्टिंक्ट। तो बिटवीन 100 एंड 1000 का मतलब है कि 100 और 1000 इंक्लूडेड नहीं है। बिटवीन जब भी है अगर मेंशंड हो अनलेस तब तक नहीं मेंशंड अगर तो हम अस्यूम करेंगे कि 100 और 1000 इंक्लूडेड नहीं है। मतलब 1001 से लेके 99

41:18 तक कितने डिजिट्स का नंबर है? इन ईच ऑफ़ दिस केस इट्स अ थ्री डिजिट नंबर। बट क्या हमने सारे थ्री डिजिट नंबर इंक्लूड करे हैं? क्या सारे थ्री डिजिट नंबर हम कंसीडर कर रहे हैं? नहीं। हम 100 नहीं कर रहे। बाकी सारे थ्री डिजिट नंबर्स हमारे ऑप्शन है। 100 नहीं है। पर अगर हम कंडीशन पे वापस जाए। कंडीशन थी क्या हमारी कि ऑल डिजिट्स आर डिस्टिंक्ट। 100 में तो वैसे भी यह डिजिट रिपीट हो रहा है। जीरो जीरो रिपीट हो रहा है। तो 100 वैसे भी सेटिस्फाई नहीं करता। तो अगर हम सारे थ्री डिजिट नंबर कंसीडर कर भी लें तो भी हमारा आंसर सेम ही आएगा। सारे डिस्टिंक्ट डिजिट वाले नंबर हमें चाहिए।

42:06 ठीक है? अब टोटल डिजिट्स कितने होते हैं? ज़ीरो से नाइन तक 10 डिजिट्स। लेकिन जब भी एक डिजिट नंबर की बात हो रही है उस केस में पहले में जीरो नहीं आ सकता क्योंकि जैसे ही जीरो आया पहला डिजिट वो तीन डिजिट का नंबर नहीं रहेगा वो तो दो डिजिट का ही रह जाएगा 0 3 2 मान लें तीनों डिजिट अलग है लेकिन 0 3 2 तो इस रेंज में आता ही नहीं है इट्स नॉट अ थ्री डिजिट नंबर एक्चुअली तो हम ऐसे केस में ज़ीरो नहीं कंसीडर करते बाकी जो भी हमारे पास नाइन डिजिट्स है वो उनमें से कुछ भी आ सकता है। तो यहां पे हमारे पास सिर्फ नाइन ऑप्शन बचे। नॉट 10 नाइन। अब जैसे ही हमने

42:53 ये पोजीशन फिल कर दी। अब कितने ऑप्शन बचेंगे? 10 डिजिट्स थे टोटल। एक डिजिट चला गया। अब जीरो भी आ सकता है। अब जीरो को भी काउंट कर रहे हैं हम अपनी लिस्ट में। तो कोई एक चला गया। बाकी 10 में से एक चला गया तो बाकी न बचेंगे। तो अब यहां पर भी नाइन ऑप्शंस हैं। एंड अब दो चले गए 10 में से तो यहां पर एट ऑप्शंस हैं। तो कितने डिजिट कितने तरीके हैं थ्री डिजिट नंबर विद ऑल डिस्टिंक्ट डिजिट्स बनाने के? 9 * 9 * 8 जितनी भी ये वैल्यू आ रही है 81 * 8 48 गुड।

43:53 ठीक है? अब थोड़े और कंडीशन देखते हैं। कितने ऐसे नंबर हैं बिटवीन 100 एंड 1000 सच दैट सेवन इज़ इन द यूनिट्स प्लेस। फिर वही बात 100 से 1000 यानी कि 1001 से ले 999 एक 100 नहीं हमने लिस्ट में इंक्लूड किया पर क्या 100 में से आता है यूनिट्स प्लेस में नहीं आता तो वो करें या ना करें एक ही बात है तो इसका मतलब हमारे पास ये नंबर है जिसके यूनिट्स प्लेस में तो सेवन फिक्स कर दिया अब कितने ऐसे नंबर हैं डिजिट्स डिस्टेंस नहीं बोला गया है नंबर्स कितने कितने एक्सिस्ट करते हैं? तो रेपटीशन अलाउड है। यहां पे भी सेवन आ सकता है। यहां पे भी सेवन आ सकता है। फॉर

44:38 एग्जांपल अगर 777 भी बात करें उसमें भी तो सेवन यूनिट्स प्लेस में है। दैट शुड आल्सो बी कंसीडर्ड। तो इस तरह से सोचना है हमने। तो यहां पे अब हमारे पास अभी भी 10 ऑप्शंस हैं। यहां पर अभी भी 10 ऑप्शंस हैं। क्या 10 ऑप्शन है यहां? नो। ज़ीरो तो अभी भी नहीं आ सकता मैम। तो यहां पर नाइन ऑप्शन है। यहां पर 10 ऑ हैं। टोटल 90 तो 90 ऐसे नंबर्स हैं जिसके यूनिट्स प्लेस में सेवन आता है। राइट? अब थोड़ी और कंडीशंस लगाते हैं। हमारे पास सिर्फ अवेलेबल डिजिट्स ये ज़ीरो से फाइव तक है। सिर्फ ये सिक्स डिजिट्स हैं। हमारे

45:25 पास 7 8 न यूज़ करना अलाउड नहीं है। अब ऐसे कितने फाइव डिजिट नंबर हम बना सकते हैं। इसमें से फाइव डिजिट नंबर बनाना है। तो सबसे पहले फाइव डिजिट नंबर। ये इस तरह से मेरे पास पांच डिजिट्स हैं। पांच जगह भरनी है। पहले वाले के लिए मेरे पास सिर्फ पांच ऑप्शन है। इवन दो आई हैव सिक्स डिजिट्स। जीरो अलाउड नहीं है यहां पे क्योंकि मुझे फाइव डिजिट नंबर बनाना है। अगर इन जनरल पूछा जाता कि कितने नंबर बन सकते हैं? कितने भी डिजिट के लेस देन फाइव डिजिट या जैसे भी तो हम सोचते थोड़ा कि जीरो आ सकता है नहीं आ सकता बट फाइव डिजिट होते ही पहले पे तो जीरो नहीं आ सकता अब क्या और कोई कंडीशन है क्या डिस्टिंक्ट होने चाहिए डिजिट्स

46:12 नहीं हमें तो ऐसा कुछ नहीं बोला हमें तो बोला है कि बस इनको यूज़ करना है तो हम यहां पर अब सिक्स ऑप्शंस यूज़ कर सकते हैं। टोटल कितना हो गया? 5 * 6 पावर 4 जो भी वैल्यू आएगी। इन जनरली बच्चे कैलकुलेशंस करने की आदत रखो। पीएमसी के क्वेश्चंस मेंस में एडवांस दोनों में बहुत लंबे-लंबे बड़े-बड़े नंबर्स आते हैं। कैलकुलेट करने पड़ते हैं। कैलकुलेटर अलाउड तो है नहीं। तो हमें अभी से आदत डालनी है। मैम का फिर भी चलता है। बट आप लोगों ने कैलकुलेशन फास्ट कैलकुलेशन करने की आदत डालनी है। ठीक है? चलिए अब आगे क्या कंडीशन है? हाउ मेनी ऑफ

46:58 द फाइव डिजिट नंबर्स एंड विद जीरो? तो अब एंड विद जीरो है। यानी कि फाइव डिजिट नंबर है। यहां पे जीरो फिक्स कर दिया। यहां जीरो आ नहीं सकता। तो यहां पे कितने ऑप्शन बचे? फाइव ही है। यहां पे सिक्स ही है। एंड यह तो फिक्स हो गया। सो टोटल कितना हुआ? 5 * 6q जैसे ही यूनिट्स डिजिट फिक्स कर दिया हमने तो हमारे पास हमारे पास यहां पे बाकी डिजिट भरने के ऑप्शंस बचे। लेकिन यहां पर एक ही ऑप्शन बचा है। इसके लिए एक ही ऑप्शन है। अब थर्ड

47:47 केस देखते हैं। थर्ड कंडीशन क्या है? कि फाइव डिजिट नंबर्स में ओड डिजिट ओड प्लेसेस पे हो। ऑड डिजिट ऑड प्लेस पे हो। इसका मतलब ऑड प्लेस कौन सी है? पहले ये देखते हैं। 1 2 3 4 5 तो ये है फर्स्ट प्लेस। यह है सेकंड, यह है थर्ड, यह है फोर्थ और यह है फिफ्थ। ऑड प्लेस दिस वन, दिस वन एंड दिस वन। तो, यहां पे आने चाहिए ऑड डिजिट्स। बाकी दोनों पे आने चाहिए इवन। अब बच्चे देयर इज़ अ कैच हियर। यहां पे

48:32 हमारे क्वेश्चन के इंटरप्रेट करने पे लिखा होता है। हमारे ऊपर डिपेंड करता है। आइडियली क्वेश्चन शुड बी कंप्लीट। यहां पर या तो मेंशन होना चाहिए कि क्या हमारे पास इन डिजिट्स को मल्टीपल टाइम्स यूज करने की परमिशन है? क्योंकि हमने तो मल्टीपल टाइम्स यहां पे यूज़ किया है। है ना? हमने तो यहां पे कोई भी डिजिट रिपीट करने की परमिशन ले रखी है। इसका मतलब अगर हमने यहां पे सिर्फ ऑड डिजिट्स रखने हैं। ये तो नहीं बोला कि इवन प्लेसेस पे इवन डिजिट्स होने हैं। बट इफ वी आर नॉट अलाउड टू यूज़ दी डिजिट्स मोर देन वंस। देन इन दैट केस हमें यहां पर बचे हुए डिजिट्स करने होंगे। तो इट्स लिटल कॉम्प्लिकेटेड। लेकिन अगर हम

49:18 अभी के लिए अस्यूम कर रहे हैं कि हमें मल्टीपल टाइम्स यूज़ करना अलाउड है। तो हमारे पास कितने ऑड डिजिट्स हैं? वन टू एंड थ्री। थ्री ऑड डिजिट्स हैं। हम रिपीट करना अलाउड मान रहे हैं। तो यहां पे भी थ्री ऑप्शन। यहां पे भी थ्री ऑप्शन। यहां पे भी थ्री ऑप्शन। अब दोबारा रीड करते हैं क्वेश्चन। ठीक है? समझते हैं। हाउ मेनी ऑफ द फाइव डिजिट नंबर्स हैव द ऑड डिजिट्स इन ऑड प्लेसेस। दी ऑड डिजिट्स ये दी में सारी ये द जो लगा हुआ है ना इसने सारी गेम्स को चेंज किया। द ऑड डिजिट्स इन ऑड प्लेसेस। मतलब जो भी ऑड डिजिट्स इसमें आ रहे हैं वो इसके ऑड प्लेसेस पे ही आ रहे हैं। तो यहां पे इवन ही होने पड़ेंगे। इवन कितने हैं? यह भी

50:07 थ्री है। अब अगर हमें लेट से इसको तो इसका आंसर कितना आया? 3 5 राइट? क्योंकि जीरो यूज़ करने की परमिशन हमें टू और 4 पे तो है ही। तो ये ठीक है। अब इसी पूरे क्वेश्चन को अगर हम इस तरह से करें।

50:57 अगर डिजिट्स हमारे एक-एक बार में यूज़ हो सकते हैं। अगर हमने वन को यूज़ कर लिया तो वो अब नहीं बचा हमारे पास। लेट्स से ये कंडीशन हमारे क्वेश्चन में गिवन है। अब फिर से इन इसी प्रॉब्लम को देखते हैं। कितने फाइव डिजिट नंबर बन सकते हैं अब। अब यहां पे फिर से जीरो तो नहीं आ सकता। बाकी पांच ऑप्शन है। लेकिन जैसे ही एक डिजिट यूज़ हो गया। अब नहीं हम यूज़ कर सकते उसको। तो अब टोटल सिक्स में से एक चला गया। बाकी पांच बचे। सिक्स में से दो चले गए। चार ऑप्शन बचे। तीन ऑप्शन बचे। दो ऑप्शन बचे। सो दिस इज़ 5 * 5 * 4 * 3 * 2 दैट इज़ 5 * 5 इज़ 600 तो इट डिपेंड्स कि हम रिपीट कर सकते हैं

51:45 या नहीं कर सकते। ऑफ कोर्स अगर रिपीट करना अलाउड है तो ज्यादा पॉसिबिलिटीज़ हो जाएंगी। अगर रिपीट करना अलाउड नहीं है तो हमारे पास कम पॉसिबिलिटीज होंगी। इसी तरह से अगर हम डिजिट रिपीट नहीं कर सकते तो कितने ऐसे नंबर हैं जो एंड होते हैं जीरो से? जीरो तो यहां पे यूज़ हो गया। बाकी पांच में से ऑप्शन बच रहा है। तो यहां पे हैं पांच ऑप्शन। फिर बाकी चार ऑप्शन यहां, तीन यहां, दो यहां। तो दिस इज 5 सिर्फ 120 नंबर्स बचे ऐसे जिसमें लास्ट डिजिट जीरो है। एंड लास्टली

52:30 अब है इन पांच इन छह डिजिट को यूज़ करके हमने ऐसे नंबर देखने हैं जिसमें ऑड प्लेस पे ऑड डिजिट है। इवन प्लेस पे इवन डिजिट है। तो ऑड डिजिट कितने थे हमारे पास? 1 3 और 5 तीन डिजिट्स थे। यहां पे मेरे पास तीन ऑप्शन एक चला गया लेकिन अब ऑप्शन तो अब दो ही दोनों चले गए तो एक ही ऑप्शन बचा। लेट से मैंने वन यहां पुट किया, फाइव यहां पुट किया। तो अब सिर्फ एक ही ऑप्शन बचा थ्री। तो जो भी चूज़ किया है हर केस में एक ही ऑप्शन बचेगा वहां के लिए। अब बाकी बची बात तीनों इवन डिजिट्स को पुट करने की। तो तीनों इवन डिजिट्स में यहां पे मेरे पास तीन ऑप्शन है। एक चला गया तो दो ऑप्शन है।

53:18 क्योंकि जीरो आ सकता है यहां पे। तो मेरे पास तीनों ऑप्शन है यहां पे। एक चला गया तो यहां पर दो ऑप्शन राइट तो टोटल प्रोडक्ट 3 * 3 * 2 * 2 * 1 9 * 4 36 तो इस तरह से हम कर सकते हैं और देखते हैं हाउ मेनी नंबर्स ग्रेटर दन 7 * 10 रे टू पावर 5 कैन बी फॉर्म्ड फ्रॉम द डिजिट दिस अगर रेपेटीशन अलाउड है या नहीं है अगेन दोनों केस देखते हैं। पहली बात 7 * 10 टू पावर 5 से बड़े बनाने हैं। बट इसी को यूज़ करके 7 * 10 रेज़ टू पावर 5

54:09 ये नंबर है हमारा। इससे बड़ा होना चाहिए। कितने डिजिट का नंबर है ये? सिक्स डिजिट का। अब सिक्स डिजिट का अगर हम अस्यूम कर रहे हैं। यहां पर भी हमारे पास सिक्स डिजिट्स हैं। वी आर गोइंग टू अस्यूम कि सिक्स डिजिट नंबर की ही बात हो रही है। बिकॉज़ अदरवाइज इनफाइनाइट नंबर होते हैं 7 * 10 टू पावर 5 से तो बड़े। तो हम अस्यूम करेंगे यहां पे क्वेश्चन में मिसिंग है सिक्स डिजिट। डोंट वरी बच्चा आपके जेई के पेपर में या इवन आपके मॉक टेस्ट में भी ऐसी चीज मिसिंग नहीं होगी क्वेश्चन में। अगर सिक्स डिजिट नंबर्स की बात कर रहे हैं ऐसे कितने नंबर हम बना सकते हैं 7 * 10 टू पावर 5 से बड़े दैट मींस हमें जो ये सिक्स प्लेसेस भरनी है 1 2 3 4 5

54:59 एंड सिक्स यहां पे पहले पे सेवन हो अगर तो बाकी सारे ज़ीरो नहीं होने चाहिए। अगर बाकी सारे जीरो हो गए तब यही नंबर आ जाएगा। उसके अलावा कोई भी केस हो एक भी डिजिट नॉन जीरो हो गया तो इससे बड़ा आएगा। लेकिन अगर यहां से से छोटा नंबर है लेट्स से सिक्स है तो ये नंबर ही इससे छोटा होगा। तो हमें यहां पे क्या-क्या ऑप्शन है? या तो सेवन डालें या एट डालें या नाइन डालें। राइट? 0 5 6 में से कुछ नहीं डाल सकते। तो हमारे पास है थ्री ऑप्शंस यहां के लिए। अब अगर

55:45 रेपीटेशन अलाउड है तो बाकी सारे ये जो सिक्स डिजिट्स हैं सिक्स के सिक्स यहां पर आ सकते हैं। यहां पर भी आ सकते हैं। राइट? तो 3 * 6 की पावर 5 लेकिन इनमें एक ऐसा केस भी तो काउंट कर लिया हमने जब हर पे जीरो आ गया। हमने तो देखे ऐसे कितने केसेस बन पा रहे हैं। लेकिन इसमें एक ऐसा केस भी देख लिया हमने जब यहां पे भी जीरो है। यहां भी जीरो, यहां भी ज़ीरो, यहां पे जीरो, यहां पे भी जीरो एंड यहां पे सेवन। वो एक ऐसा केस है जो हमें काउंट नहीं करना। बिकॉज़ हमें इससे स्ट्रिक्टली ग्रेटर दैन चाहिए। तो वो एक केस हम हटा देंगे।

56:33 एंड अगर रेपेटिशन अलाउड नहीं है इफ रेपेटिशंस आर नॉट अलाउड। तो जैसे ही हमने यहां पर एक डिजिट भरा तो सिक्स में से एक ऑप्शन चला गया। बाकी बचे यहां पे फाइव। दो ऑप्शन चले गए। 4 3 2 एंड 1 तो कितना आया? 3 * 5 गुड। नाउ फाइंड द नंबर ऑफ़ थ्री डिजिट नंबर्स। थ्री डिजिट नंबर्स चाहिए हमें। यानी कि तीन डिजिट्स को भरना है इन वि ऑल द डिजिट्स आर डिस्टिंक्ट।

57:18 सब रेपीटेशन तो अलाउड नहीं है। ठीक है? सारे डिजिट्स ऑड भी हैं। ऑड कितने डिजिट्स होते हैं? 10 में से पांच ऑड होते हैं। पांच इवन होते हैं। अल्टरनेट ऑड इवन ऑड इवन चलता है। तो पांच ऑड पांच इवन। तो हमारे पास फाइव ऑप्शंस हैं टोटल। अब नंबर इज अ मल्टीपल ऑफ फाइव। जब भी बच्चे ऑलवेज रिमेंबर जब भी आपको ऐसा कोई कंडीशन लिखी हुई दिखे कि टू का मल्टीपल है, फोर का मल्टीपल है, 25 का मल्टीपल है, कुछ भी मल्टीपल वाली चीज है या इट्स अ 25 इज़ अ फैक्टर ऑफ़ दिस। सेम ही बात है। डिफरेंट तरीके से बोल रहे हैं। ऐसी कोई भी कंडीशन दिखे तो सबसे पहले इसको सेटिस्फाई करवाना

58:04 है। सबसे पहले देखना है इसको सेटिस्फाई कराने के लिए हमें क्या-क्या करना पड़ेगा। फिर बाकी सारे भी माइंड में रखते हो। तो फॉर एग्जांपल इन दिस केस हमारे पास है कि नंबर इज़ अ मल्टीपल ऑफ़ फाइव। यहां पर सिर्फ ऑड डिजिट्स अलाउड है। यानी कि 1 3 5 7 9 यही पांच डिजिट अलाउड है हमें यूज़ करना। ऑड ही अलाउड है। इवन नहीं कर सकते। फाइव का मल्टीपल होने के लिए लास्ट डिजिट या फाइव हो सकता है या ज़ीरो हो सकता है। ज़ीरो तो अलाउड नहीं है। तो यहां पे तो फाइव ही आना पड़ेगा। एंड एज़ सून एस वी पुट अ फाइव देयर हमारी ये कंडीशन सेटिस्फाई हो गई। अब हम बाकी कंडीशंस पर देखेंगे। अब सारे ऑड ही आने हैं एंड डिस्टिंक्ट आने हैं। यह

58:51 चला गया डिस्टिंक्ट है। तो बाकी चार ऑप्शन बचे यहां के लिए तीन ऑप्शन बचे यहां के लिए। तो टोटल 12 ठीक है? तो हमारे पास टोटल पांच में से चार ही बचे यहां पे भरने के लिए। तीन ही बचे यहां भरने के लिए। तो टोटल 3 * 4 यहां तो सिक्स है ही। एक ही ऑप्शन है इसको भरने का। तो टोटल देखिए टोटल थ्री डिजिट नंबर्स आर 12। वेरी गुड। नाउ हाउ मेनी सेवन डिजिट नंबर्स आर देयर व्हिच रीड दिस सेम वे फ्रॉम इदर साइड? सेवन डिजिट। ठीक है? हमें भरने कितने हैं?

59:38 सेवन डिजिट नंबर्स। तो से ट्रेज बना लेते हैं। 1 2 3 4 5 6 7 ठीक है? अब कंडीशन क्या है? दोनों साइड से सेम होने चाहिए। मतलब पैेंड्रोम होना चाहिए। पहले डिजिट पे जो है लास्ट पे भी वही होना चाहिए। सेकंड पे जो है वही सेकंड लास्ट पे होना चाहिए। थर्ड और थर्ड लास्ट पे सेम होना चाहिए। लेकिन फोर्थ पे कुछ भी हो सकता है। फोर्थ के लिए कोई कंडीशन नहीं है। अब कहीं पे भी हमारे हमें ये नहीं दिया कि डिस्टिंक्ट होने चाहिए। राइट? हमें तो बस ये बोला है कि पैेंड्रोम होना चाहिए। रेपेटीशन करनी है करो नहीं करनी नहीं करो। तो हम स्टार्ट करेंगे। यहां के लिए हमेशा सेवन डिजिट है तो ज़ीरो

1:00:24 तो आ नहीं सकता। बाकी नाइन पॉसिबिलिटीज हैं। जैसे ही यह भर दिया मैंने एस सून एस दिस इज फिल्ड आई हैव ओनली वन ऑप्शन फॉर दिस क्योंकि ये सेम होना पड़ेगा। जैसे ही मैंने नाइन वेज़ से इसको भरा एनी ऑफ़ दीज़ वेज़। इसका वैल्यू फिक्स हो गई। फिर अब 10 में से कोई भी डिजिट आ सकता है। रेपेटेशन तो अलाउड होती है नंबर्स में इन जनरल। तो 10 वेज़ अभी भी हैं इसके पास। जैसे ही यह भरा इसके लिए एक ही ऑप्शन बचा। फिर 10 ऑप्शंस इसके लिए यहां पे फिर एक ही ऑप्शन बचा। एंड यहां पे 10 ऑप्शन तो टोटल आंसर 9 * 10 9000

1:01:14 वेरी गुड। सिंपल लॉजिक से सोचोगे बहुत आसान है। रटने की कोशिश करोगे क्वेश्चन देख के लगेगा कि ऐसा क्वेश्चन तो हमने किया नहीं। वहीं पे क्वेश्चन लूज़ कर जाओगे। तो करना क्या है? सोचना है। इमेजिन करना है। चल क्या रहा है? किस टाइप का क्वेश्चन है? यह क्या-क्या इसमें कंडीशन ट्रू होनी चाहिए? चलिए। हाउ मेनी फोर डिजिट नंबर्स आर देयर? व्हिच कंटेन नॉट मोर देन टू डिफरेंट डिजिट्स ऐसे कितने फोर डिजिट नंबर्स हैं जिसमें दो से

1:02:02 ज्यादा अलग डिजिट नहीं है। राइट? थोड़ा सा यह करते हैं इसके लिए यहां पे अब हमने देखा था कि एंड वाली सिचुएशन हो जब दो टास्क हमें करने हैं एंड दोनों करने हैं। एक करने के m तरीके दूसरे करने के n मैटर पहले में से कौन सा चूज़ किया। तो दोनों को अगर करना ही है तो m * n होंगे। लेकिन अगर ऐसे ही हम देखें कि दो टास्क हैं। एक को करने के n दूसरे को करने के n बट इनमें से चूज़ करना है। या तो ये करो या ये करो। तो बेसिकली या तो m तरीके होंगे या n होंगे।

1:02:50 टोटल कितने हुए? m + n इन टोटल m + n में से कोई भी तरीके से इनमें से एक जॉब हो जाएगी। तो सिंपली जब है हमारे पास और वाली सिचुएशन तो हम करते हैं प्लस। अगर एंड है तो मल्टीप्लाई और है कि यह करना है या यह करना है तो हम इसके कितने तरीके m इसके कितने तरीके n टोटल m + n अब यहां देखते हैं नॉट मोर देन टू डिफरेंट डिजिट्स क्या-क्या हो सकता है या तो सारे डिजिट्स सेम हो जीरो डिफरेंट डिजिट्स यानी कि जीरो डिफरेंट डिजिट्स अब याद है लास्ट फर्स्ट स्लाइड में मैम ने एक बताया था कि

1:03:36 जब भी हम देखते हैं केस बना रहे हैं केस में एक ऑर्डर फॉलो करना है राइट तो जीरो डिफरेंट डिजिट तो हो नहीं सकता एक तरह से हम बोलेंगे वन डिफरेंट डिजिट इस तरह से एक ऑर्डर में चलेंगे कि कितने डिफरेंट डिजिट्स हो सकते हैं। वन डिफरेंट डिजिट का मतलब एक ही डिजिट है जो सारे जगह पे है। कितने डिजिट्स का नंबर है? फोर डिजिट का नंबर है। तो जो भी डिजिट है ऑल फोर आर सेम। या क्या कंडीशन है? या क्या हो सकता है कि दो अलग-अलग डिजिट्स हो। टू डिजिट्स यूज़

1:04:22 हुए हो। लेट्स से D1 एंड D2 राइट अब D1 एंड D2 के केस में हमारे पास या तो B1 तीन बार आया हो एंड B2 एक बार आया इसके अंदर भी फदर केस बन रहे हैं या D2 तीन बार आया हो। चलो हमने तो नहीं बोला कि कौन सा बड़ा कौन सा छोटा तो हम बोल रहे हैं कि D1 आया है तीन बार D2 आया है एक बार या फिर

1:05:10 D1 दो बार और D2 भी दो बार। बेसिकली दो नंबर हमारे दो डिजिट्स हैं जो दोनों दो-दो बार हमारे नंबर में दिख रहे हैं। कुछ इस तरह से है। तो ये तीन इंडिपेंडेंट केसेस हैं। क्या इसमें कुछ भी ओवरलैप हो रहा है? यहां पे सारे डिजिट सेम आ रहे हैं। यहां पे तीन सेम है, एक अलग है। यहां पे दो सेम है, दो अलग है। हमने यह भी देख लिया कि दो से ज्यादा हमें अलग डिजिट नहीं चाहिए। तो यही सारे केसेस बनेंगे। हमने कोई छोड़ा नहीं एंड कोई रिपीट नहीं कर रहे। इसमें कोई ओवरलैपिंग नहीं है। तो दैट इज व्हाट आई मेंट व्हेन आई सेड डोंट स्किप

1:05:58 एनी केस एंड डोंट रिपीट एनी केस। यहां पर हमने पहले एनश्योर किया कि कोई और रह तो नहीं गया। फिर हमने देखा कि इसमें कोई ओवरलैप तो नहीं हो रहा। दैट इज दी अल्टीमेट गोल। पीएमसी के हर क्वेश्चन में ये याद रखना है कि हम ना कोई मिस करें ना कोई रिपीट करें। चलिए कमिंग बैक हियर। अब चारों सेम है। ज़ीरो तो हो नहीं सकता। राइट? ज़ीरो तो पहला डिजिट हो नहीं सकता। सारे जीरो हो गए तो वो फोर डिजिट नंबर नहीं रहेगा। तो बाकी नाइन डिजिट्स अलाउड है। अब जैसे ही पहला डिजिट फिक्स किया इस केस में बाकी तीनों

1:06:46 डिजिट फिक्स हो गए। जो भी यहां पर है वही यहां पर होगा। तो ये आ गया नाइन। अब दो डिजिट हैं। एक है D1, एक है D2। लेकिन एक इन चार में से एक अलग है। कौन सा कौन सा डिजिट अलग है यहां पर? कौन सी पोजीशन पे है वो जो अलग है? या तो वो पहली जगह पे हो सकता है। या तो ये है एक D2 एंड ये तीन है D1। तो D2 चूज़ करने के लिए कितने तरीके हुए हमारे पास? D2 चूज़ करने के लिए हमारे पास है नाइन तरीके। अब d1 d2 भी इक्वल नहीं हो सकता। इसको अलग होना है। तो

1:07:32 इसको अलावा बाकी न कोई भी कर सकते हैं हम। जैसे ही D1 चूज़ कर लिया यहां के लिए हमारे पास एक ही ऑप्शन बचा। तो ये केस में आए हमारे पास 81। अब फर्दर और केस देख रहे हैं हम। और क्या केस है? कि D2 यहां पे ना होके सेकंड पोजीशन पे है। D1 है यहां पे। D2 एंड देन D1 एंड D1 तो D1 चूज़ करने के लिए अब नाइन तरीके हैं। राइट? जैसे ही D1 चूज़ हुआ वन वन। अब D2 चूज़ करने के लिए कितने तरीके हैं? इस एक को हटा दो।

1:08:17 बाकी नाइन अलाउड है तो फिर से 81 अब इसी तरह से हमें कोई फर्क नहीं पड़ता कि d2 यहां था या यहां था या यहां था हर केस में 81 ही आएगा तो इस तरह से एक 81 यहां के लिए आएगा जब d2 यहां था एक केस आएगा जब लास्ट डिजिट अलग है पहले तीन सेम है तो + 81 + 81 ठीक है सो अभी तक हमारे इस केस को करने के तरीके कितने हुए? न इस केस को करने के तरीके 81 * 4 324 तो यहां पे है हमारे पास 324 यहां पर है न। अब लास्ट केस देखते हैं। d1

1:09:05 d1 d2 d2 दो डिजिट अलग दो डिजिट अलग। कौन से दो अलग है? पहला जो भी डिजिट है कैन बी एनीथिंग वह दोबारा कहीं रिपीट हो रहा है। राइट? मेरे पास इसको भरने के नाइन तरीके हैं। राइट? अब बाकी तीन में कोई तो D1 ही है। कौन से हैं? इनमें से कोई भी तीन हो सकते हैं। तो हमने पहले चूज किया कि तीन तरीकों से हम चूज़ कर सकते हैं। कौन से वाले में D1 ही आना है। लेट से यह है या ये है या ये है। जैसे ही वो चूज़ कर लिया

1:09:51 हमने तीन तरीकों से। अब उसको तो भर देंगे। एक ही तरीका है उस वाले को भरने का। अब बाकी दो भी फिक्स हो गए। बाकी दो कि कौन से बाकी दो आएंगे? D2 आएंगे। तो जैसे ही मैंने ये तीन तरीकों से फिक्स किया। लेट्स से मैंने D1 फिक्स कर दिया। अब यह भी फिक्स हो गया कि D2 कहां आ रहे हैं। एंड D2 को चूज़ करने के लिए भी कितने तरीके हैं। बस इस एक को चूज़ मत करो। बाकी 10 में से नौ ऑप्शन जो हैं उनमें से कोई भी चूज़ कर लो और वही दोनों में भर दो। सो दिस इज़ हाउ यू गेट 81 * 3 243। अब क्या मेन चीज थी? या तो ये हो सकता था या ये या ये दिस और

1:10:40 दिस और दिस और का मतलब प्लस सो हमें अल्टीमेटली 9 + 324 + 243 करना है। सो द आंसर इज़ 576 करेक्ट। कैलकुलेशनंस एक बार चेक कर लेना बच्चे। बट दिस इज हाउ यू अप्रोच सच अ प्रॉब्लम। डिजिट के केस में नंबर्स के केस में हमें बहुत ज्यादा ध्यान रखना है कि पहला डिजिट जीरो ना हो जाए। वहीं पे प्रॉब्लम आ जाती है। ओके नाउ हाउ मेनी थ्री डिजिट नंबर्स x y z कैन बी फॉर्म सच दैट x भी y से छोटा है और z

1:11:28 भी y से छोटा है। मतलब हमारे पास जो यह तीन डिजिट्स हैं। इसको अगर हम x बोले, इसको, y बोले, इसको z बोले तो x भी y से छोटा है, z भी y से छोटा है। ऐसे कितने नंबर बन सकते हैं? ऐसा कैसे सोचे हम? अब केस बनाते हैं। जब कंफ्यूज्ड हो, जब नहीं समझ में आ रहा कि कैसे हम कर सकते हैं? केस लेना शुरू करो। y क्या-क्या हो सकता है? y से दोनों को छोटा होना है। x z में कौन सा बड़ा कौन सा छोटा उसके लिए कोई भी कंडीशन नहीं है। बस y अगर लेट्स से ज़ीरो है तो x क्या हो सकता है? कुछ भी नहीं हो

1:12:14 सकता। है ना? क्योंकि स्ट्रिक्टली छोटा होना है। ज़ीरो से स्ट्रिक्टली छोटे होने के लिए तो नेगेटिव डालना पड़ेगा। नेगेटिव तो कोई डिजिट नहीं होता। तो यह पॉसिबल नहीं। यानी कि इसके लिए जीरो केस बनेंगे। जीरो पॉसिबल नंबर्स ऐसे जिसमें बीच वाला नंबर बीच वाला डिजिट हो जीरो। अब अगला चलते हैं। ऑर्डर में चलना है हमेशा ताकि कोई भी रह ना जाए। अगला चला हमने वन। वन में यहां पे दोनों में एक-एक ही ऑप्शन बचेगा। छोटा नंबर छोटा डिजिट दोनों को जीरो होना पड़ेगा। बट जैसे ही हमने यहां पर जीरो डाला वैसे ही यह थ्री डिजिट की जगह टू डिजिट बन गया। अगेन नॉट पॉसिबल। तो ये भी

1:12:59 जीरो सच नंबर्स पॉसिबल। अब अगर हम टू पे चल टू के केस में यहां पे अगर हमने टू रख दिए तो यहां पे कितने पॉसिबल है? बस एक वन ही आ सकता है। यहां पे वन या जीरो कुछ भी आ सकता है। राइट? तो हमारे पास यहां पे एक ही ऑप्शन बचा। यहां पे एक ही ऑप्शन है। जैसे ही हमने इसको फिक्स किया यहां पे लेकिन दो ऑप्शन है। तो टोटल कितने तरीके हुए ये करने के? टू। इस तरह से अगर हम थ्री पे चलें। थ्री को थ्री के बाद यहां पे या वन

1:13:44 आ सकता है या टू आ सकता है। तो टू ऑप्शंस। यहां पे 2 1 या 0 तीनों आ सकते हैं। तो 2 * 3 सिक्स वेज़ ऑफ़ फिलिंग दिस इन दिस केस। तो इन जनरल अगर हम एक जनरल केस देखें कि y है कुछ k कैन बी वेल ज़ीरो और वन तो नहीं हो सकता। टू से न तक कुछ भी हो सकता है। तो लेट्स से टू से न तक कुछ भी हो सकता है। उस केस में

1:14:30 ये तो K हो गया। यहां पे वन से लेके K - 1 तक कुछ भी आ सकता है। तो टोटल कितने तरीके हो गए? K - 1। यहां पे 0 से लेके K - 1 तक कुछ भी आ सकता है। तो ये हो गए टोटल K तरीके। तो जैसे ही हमने बीच में K फिक्स किया तो उस केस में कितने नंबर बन रहे हैं? k - 1 * k दैट इज k² - k अब ये केस है अगर टू है तो कितना थ्री है तो कितना क्या ये फार्मूला हमारा वन के लिए भी सेटिस्फाई कर रहा है अगर हम वन

1:15:17 डालें यहां पे k की जगह वन डालें तो 1 - 1 0 ये भी तो सेटिस्फाई कर रहा है वन के केस में ज़ीरो ही वन बन रहे थे। टू के केस में 4 - 2 2 थ्री के केस में 9 - 3 6 तो यस सेटिस्फाई हर केस में कर रहा है ये। तो हमें बस 1² - 1 + 2² - 2 + 3² - 3 इस तरह से हर केस का टोटल नंबर प्लस करना है। बिकॉज़ इट्स एन ऑड सिचुएशन। या तो ये होगा या ये होगा या ये होगा या ये होगा। इसको हम डायरेक्टली लिख सकते हैं σ k² - k k गोज़ फ्रॉम 1 टू 9 तो σ k²

1:16:09 व्हेन n इज़ 9 σ r² व्हेन n इज़ 9 वन से n वही ये सीक्वेंसेस एंड सीरीज़ वाले सिग्मा वाले समेशन वाले फार्मूला n + 1 2n + 1 / 6 - σ K कितना होता है? σ k इज़ nn + 1 / 2 यहां पे सिंपलीफाई कर लेंगे। लेफ्ट विद 19 - 3 दैट इज 9 * 10 * 16 / 6 सिंपल कैलकुलेशन बची है। अब 4

1:16:55 वेरी गुड बच्चों जिनजिन बच्चों ने 240 लिखा है चैट में वेरी गुड देखो सिंपल मल्टीप्लाई करना तो हम सीख जाते हैं बट जेई के क्वेश्चन नहीं हो पाते क्योंकि ऐसी प्रैक्टिस हम कम करते हैं। ऐसा सोचना हम कम सीखते हैं। सो केस बनाने हैं। नहीं भी अगर ये थोड़ा कॉम्प्लिकेटेड भी लगता है या खुद दिमाग में नहीं आता तो भी चलेगा। यहां पे सिंपली हर के लिए लिखते जाओ। फोर के लिए कितने बन रहे हैं? यहां पे तीन ऑप्शन है। 1 टू थ्री यहां पे जीरो से थ्री चार ऑप्शन तो 12 इस तरह से सारे नाइन तक लिख के प्लस कर लो। थोड़ा सा टाइम ही तो ज्यादा लगेगा। बट आंसर फिर भी आ ही

1:17:40 जाएगा। तो इसलिए तरीके बहुत सारे होते हैं पीएनसी में। अनदर वेरीेंट थिंग टू लर्न हियर इज़ कि पीएनसी में बच्चे यू विल फाइंड अ लॉट ऑफ़ मेथड्स। जब आप प्रैक्टिस भी कर रहे होंगे तब भी या अभी क्लास में भी आपके माइंड में बहुत सारे तरीके आएंगे कोई भी चीज को सॉल्व करने के। सारे करके देखो। बहुत इंपॉर्टेंट है। सारे करके देखो। आंसर अगर मैच करे, आंसर सही आए तो डिसाइड करो वहीं पर कि कौन सा तरीका बेटर लग रहा है। कौन सा फास्टर है और ये कैसे हमें पेपर के टाइम याद रखना है कि कौन सा फास्टर मेथड कब कौन से केस में कौन सा फास्टर मेथड होता है। एंड अगर मैच ना करें बहुत इंपॉर्टेंट। तब बैठ के सोचो कि क्या मिस हो गया या क्या रिपीट हो गया। क्या गलत

1:18:28 किया। यह प्रैक्टिस दिस वन थिंग विल एक्चुअली हेल्प यू मास्टर दिस एंटायर चैप्टर। तो जब भी माइंड में बहुत सारे तरीके आ रहे हो कि ऐसे भी कर सकते हैं। अरे लेकिन वो भी तो कर सकते हैं। करके देखो चाहे क्वेश्चंस कम प्रैक्टिस करो लेकिन इस मेथड से आपके बहुत ज्यादा अच्छी स्किल्स डेवलप होंगी। थोड़े और करें। गिवन द डिजिट्स वन टू से हाउ मेनी फोर डिजिट नंबर्स विद ऑल डिस्टिंक्ट डिजिट्स कैन बी फॉर्म हमारे पास से पॉसिबल डिजिट्स हैं। इनमें से चार यूज़ करके हमें एक फोर डिजिट नंबर बनाना है। सबसे पहले 1

1:19:15 2 3 4 सेवन है ज़ीरो दिया ही नहीं है। तो यहां पे सेवन ऑप्शन सिक्स ऑप्शन 5 एंड 4 7 * 6 * 5 * 4 जितना भी ये आया उतने हमारे ऑप्शन आ जाएंगे उतने हमारे नंबर आ जाएंगे। क्लियर इजी? अब देखते हैं क्या कंडीशन है। कंडीशन है कि इनमें से हाउ मेनी ऑफ़ दीज़? हाउ मेनी ऑफ दी मतलब डिजिट्स को डिस्टिंक्ट तो होना ही है। इनमें से ही यह कंडीशन लगानी है कि ग्रेटर दन 3400 ऐसी चीज बिल्कुल लॉजिकल चलेंगे हम। पहला डिजिट क्या-क्या हो सकता है?

1:20:01 केस वन पहला डिजिट वन या टू तो हो नहीं सकता। जैसे ही वन या टू रखा इससे छोटा हो जाएगा। तो अब हम पहला डिजिट रख देंगे थ्री। अब आगे सेकंड डिजिट भी देखना पड़ेगा। तो हम सेकंड डिजिट फोर से छोटा रख नहीं सकते। 33 समथिंग 3300 समथिंग थ्री से छोटा होगा। तो यहां पे हम स्टार्ट करते हैं फोर से। लेट्स से। तो अब अगर यह पहला केस है हमारा कि पहला डिजिट थ्री है, दूसरा डिजिट फोर है। बाकी कितने भी कोई भी डिजिट डाल लें हम 3400 से बड़ा होगा। जीरो अलाउड नहीं है। जीरो दिया नहीं है हमें। तो बाकी जो भी डिजिट डालेंगे

1:20:48 3400 से तो बड़ा ही नंबर बनेगा। कितने बन रहे हैं? से में से थ्री और फोर यूज़ नहीं कर सकते। रिमेंबर डिस्टिंक्ट तो होना ही है। ये वाली कंडीशन तो सेटिस्फाई होनी ही चाहिए। तो अब यहां पे सेवन में से दो चले गए। फाइव ऑप्शंस यहां है। फोर ऑप्शंस यहां है। तो टोटल 20 ऑप्शंस हैं। आगे बढ़ते हैं। केस टू है कि अब पहला डिजिट तो थ्री है लेकिन यहां पर या फाइव है या सिक्स है या से है। फोर नहीं है। क्यों? क्योंकि फोर हम ऑलरेडी देख चुके हैं। वरना ओवरलैप हो जाएगा। 5 6 7 हमने देखा ना 1 2 3 तो हो

1:21:33 नहीं सकता। 5 6 7 हम अब टैकल कर रहे हैं। तो यहां पे हमारे पास थ्री ऑप्शन है। अब जैसे ही ये दो चूज़ कर लिए। अब 5 67 में से कुछ भी करें 3400 से तो बड़ा होगा। करेक्ट? तो इसका मतलब हम सारे पॉसिबल नंबर्स ले सकते हैं। तो यहां पर तीन ऑप्शन है। अब दो डिजिट चूज हो गए सेवन में से। यहां पे फाइव ऑप्शन, यहां पे फोर ऑप्शन। तो 3 * 5 * 4 16। फिर आगे बढ़ते हैं। अब हमने ये निपटा लिया है। थ्री निपटा लिया। ऐसे इस तरह से ऑर्डर में चलते हैं कि एक-एक करके इंक्रीजिंग ऑर्डर में हम देख रहे हैं नंबर्स को। अब हमने 3000 समथिंग वाले सारे नंबर निपटा लिए।

1:22:19 सारे कंसीडर कर लिए। आगे बढ़ते हैं। अब वी हैव पहली जगह पे थ्री के अलावा 4 5 6 7 इसमें से कुछ भी आ जाए तो 3400 से तो बड़ा ही होगा। तो यहां पर है हमारे पास चार ऑप्शन। अब यहां पर कुछ भी आए वी विल गेट 3400 से बड़ा। तो यहां पे से में से एक डिजिट चूज़ हो गया। बाकी सिक्स ऑप्शंस अवेलेबल बाकी फाइव ऑप्शंस अवेलेबल। बाकी फोर ऑप्शन अवेलेबल। सो 4 * 6 * 5 * 4 कितना होता है? 480। सो टोटल अब या तो ये होगा या ये होगा या

1:23:06 यह होगा। और वाली सिचुएशन है तो प्लस करेंगे। 20 + 60 + 480 56 तो 560 ऐसे नंबर्स हैं जो वन से लेके से तक के डिजिट से ही बन सकते हैं। गिवन सारे डिजिट्स डिस्टिंक्ट होंगे। फोर डिजिट का नंबर होगा और नंबर जो 3400 से बड़ा होगा। तो ये सारी कंडीशन सेटिस्फाई हम इस तरह से कराते हैं। क्लियर? और देखते हैं इसी का ही दूसरा पार्ट है। 3400 वाली चीज अब गई। अब है कि ये डिस्टिंक्ट डिजिट वाले नंबर्स में से कितने डिविज़िबल बाय टू हैं। 3400 वाली चीज अब वो पहला पार्ट है। अगला

1:23:52 है कि डिस्टिंक्ट डिजिट होने चाहिए। चार एंड डिविज़िबल बाय टू होना चाहिए। तो अभी हमने थोड़ी देर पहले डिस्कस किया था कि जैसे ही हमें डिविजिबिलिटी दिखे तो हम क्या करते हैं? हम पहले वो चीज सेटिस्फाई करवाते हैं। उसके बाद कुछ भी और सोचते हैं। सो डिविजिबल बाय टू होने के लिए क्या कंडीशन होती है? यूनिट्स डिजिट इवन होना चाहिए। करेक्ट? सो यूनिट्स डिजिट अगर हमारे पास इवन होना चाहिए। इसका मतलब क्या-क्या ऑप्शन है? टू, 4 या सिक्स। तो यहां पर या टू होगा या फोर होगा या सिक्स होगा और कुछ हुआ तो ऑड नंबर बनेगा।

1:24:38 तो यहां पर वी गेट थ्री ऑप्शन इनमें से कुछ भी फिक्स किया ये कंडीशन सेटिस्फाई। अब बस हमें चेक करना है कि बाकी डिस्टिंक्ट डिजिट्स होने चाहिए। तो यहां पे एक ऑप्शन भर दिया तो बाकी छह ऑप्शन यहां बचे। पांच ऑप्शन यहां बचे। चार यहां 6 * 5 * 4 * 3 कितना हुआ? वेरी गुड। और देखते हैं। अब डिविज़िबल बाय 25। फिर से वही डिविज़िबिलिटी पहले हम अप्लाई करेंगे। फिर सोचेंगे। डिविज़िबिलिटी बाय 25 का रूल सोचना होगा पहले।

1:25:24 इसके लिए लास्ट टू डिजिट्स होने क्या चाहिए? लास्ट टू डिजिट्स होने चाहिए या तो 0 या 25 या 5 या 75। ये है जनरल 25 की डिविजिबिलिटी का रूल कि लास्ट के दो डिजिट यही होने चाहिए। वरना नॉट पॉसिबल। अब यहां पर जीरो हमारे पास है नहीं ऑप्शन तो यह वाला नहीं पॉसिबल यह वाला नहीं पॉसिबल 2 5 और 7 5 पॉसिबल है इसका मतलब हमारे पास जो फोर डिजिट नंबर बनेगा उसका लास्ट डिजिट तो फाइव ही होगा यहां पे टू या से हो सकता है तो यहां के लिए एक ही ऑप्शन है यहां के

1:26:12 लिए दो ऑप्शन है जैसे ही ये दो डिजिट फिक्स हो गए बाकी बाकी पांच में से कोई भी यहां पुट कर लो। बाकी चार में से कोई भी एक यहां पुट कर लो। तो टोटल कितने हुए? 40। बहुत अच्छे बच्चे। बहुत अच्छे। अब करते हैं फोर से डिविजिबिलिटी। फोर से डिविजिबिलिटी को थोड़ा हम पहले डिविजिबिलिटी को अच्छे से स्टडी करेंगे। इसके डिविजिबिलिटी रूल को हमें यह तो पता है कि डिविजिबिलिटी रूल क्या होता है कि लास्ट के दो डिजिट से जो नंबर बन रहा हो वो फोर से डिविजिबल होना चाहिए। बचपन में देखा था। है ना? कि अगर हमारे पास कोई भी

1:26:59 बड़ा सा नंबर है अगर उसके लास्ट के दो डिजिट से जो नंबर बन रहा है वो फोर से डिविजिबल है तो पूरा बड़ा सा नंबर फोर से डिविजिबल होगा। ये तो हमने पढ़ लिया था। ये हमें याद है पर अगर नंबर दिया ही नहीं है हमें बनाना है तो कैसे करेंगे उस चीज को थोड़ा सा समझते हैं कम सो डिविजिबिलिटी बाय फोर यहां के लिए रूल वही है लास्ट टू डिजिट वाला नंबर डिविजिबल होना चाहिए बाय फोर इसका मतलब इवन तो होना ही चाहिए। ऑड तो नहीं हो सकता। तो लास्ट डिजिट जो ये लास्ट

1:27:45 टू डिजिट्स है इस तरह से होंगे। इन जनरल इस वाले केस को अभी थोड़ी देर के लिए साइड में रखते हैं। जनरली सीखते हैं कि डिविजिबिलिटी बाय फोर हम कैसे करते हैं। अगर ऐसा कोई भी क्वेश्चन आ जाए हमारे पास तो हम इसको कैसे टैकल करेंगे। सो यहां पर हमारे पास ऑप्शन क्या है? 0 2 4 6 8 है ना? 0 2 4 6 8 इनके अलावा कोई भी डिजिट आया ऑड बन जाएगा नंबर वो इंक्लूडेड नहीं है। सो अब हम इसको दो तरह से डिवाइड करेंगे।

1:28:31 यहां पर लिखेंगे यूनिट्स डिजिट एंड यहां पे लिखेंगे 10्स डिजिट यूनिट्स डिजिट क्या-क्या हो सकता है? 0 2 4 6 8 10 डिजिट क्या हो सकते हैं? ज़ीरो के साथ ज़ीरो के साथ अगर हमने वन रख दिया 10 बन जाएगा। 10 तो फोर से डिविज़िबल नहीं है लेकिन 20 रखा तो

1:29:19 जीरो फोर से डिविज़िबल है। इसी तरह से 30 रखेंगे तो नहीं होगा। 40 रखेंगे तो डिविजिबल है, 60 भी डिविजिबल है, 80 भी डिविजिबल है एंड जीरो जीरो भी डिविजिबल है। तो इसके साथ 10्स डिजिट इवन आना पड़ेगा। इसी तरह से टू के साथ 0 टू नॉट डिविज़िबल बाय फोर। लेकिन 1 2 12 इज़ डिविज़िबल बाय फोर। फिर 2 इज़ नॉट 3 2 इज़। तो यहां पे सिर्फ ऑड डिजिट आ सकते हैं। इसी तरह से फोर के साथ फिर से सिर्फ इवन ही आ सकते हैं। ऑड के साथ नहीं बनेगा। सिक्स के साथ फिर से ऑड ही आ सकते हैं।

1:30:06 एंड एट के साथ इवन ही आ सकते हैं। सो हमारे पास फोर से डिविजिबिलिटी के लिए यह रूल होता है कि या तो इवन वाला अगर 0 2 सॉरी 0 4 या 8 है तो यहां पे इवन आना पड़ेगा और अगर यहां पर टू या सिक्स है तो यहां पर ऑड आना पड़ेगा। दिस इज़ योर अल्टीमेट डिविजिबिलिटी बाय फोर वाला रूल। जब हमें नंबर गिवन है तो हम डिविजिबल है या नहीं चेक कर सकते हैं। पर अगर हमें बनाना है इफ वी हैव टू फॉर्म अ नंबर तो वी हैव टू

1:30:51 रिमेंबर दिस कि अगर लास्ट डिजिट है 0 2 0 4 और 8 तो यहां पे इवन आना चाहिए। अगर टू या सिक्स है तो यहां पे ऑड आना चाहिए। क्लियर? अब आते हैं वापस क्वेश्चन पे। क्वेश्चन है कि हमारा नंबर फोर से डिविज़िबल होना चाहिए। सारे डिजिट्स डिस्टिंक्ट होने चाहिए। राइट? रिमेंबर डिस्टिंग डिजिट्स भी रखना है। सो पहला केस लेते हैं। अब इवन डिजिट्स क्या-क्या है हमारे पास? टू है, फोर है और सिक्स है। ना जीरो है, ना एट है। तो पहला केस लेते हैं फोर वाला। तो अब फोर के साथ इवन आने पड़ेंगे।

1:31:37 इवन या तो टू या सिक्स। फोर तो ऑलरेडी लिख चुके हैं। फोर फिर से आ नहीं सकता। तो यहां पे या टू आ सकता है या सिक्स आ सकता है। तो ओनली टू ऑप्शंस। नाउ जैसे ही हमने ये दो भर दिए तो यहां पे कितने ऑप्शंस रहेंगे? दो भर दिए हमने सेवन में से यहां पे फाइव यहां पे फोर। तो 5 * 4 * 2 40 अब केस टू है जब यहां पर है टू या सिक्स ये वाला केस तो अब यहां पर आना पड़ेगा कोई ऑड डिजिट ऑड डिजिट कितने हैं हमारे पास 1 3 5 7 चार ऑप्शन है चारों में से कोई भी रख के देख

1:32:24 लो सेटिस्फाई करेगा फोर से डिविज़िबल होगा तो हम चार ऑप्शंस हैं यहां पे। अब इन दोनों को भर दिया। फोर से डिविजिबिलिटी एनश्योर हो गई। अब यहां पे कुछ भी भरो बस डिस्टिंक्ट एनश्योर करते हुए। तो दो भर चुके हैं। बाकी पांच में से कोई भी एक बाकी चार में से कोई भी एक। तो हमारे पास कितना आया? 160 40 + 160 200 क्लियर एंड विथ दिस वी आर डन विद द एंटायर

1:33:10 फंडामेंटल प्रिंसिपल ऑफ़ काउंटिंग। स्पेशली यहां पे नंबर फॉरमेशंस पे इनफाइनाइट पॉसिबल क्वेश्चंस होते हैं। इसलिए तसल्ली से हमने इसकी भी प्रैक्टिस कर ली। अब एक छोटा सा ब्रेक लेंगे। फिर आके परम्यूटेशंस एंड कॉम्बिनेशंस पढ़ेंगे जो एक्चुअली हमारे चैप्टर का नाम है। राइट? सो वी आर टेकिंग अ ब्रेक अंटिल सिक्स एंड देन वी विल कंटिन्यू विद दिस। थोड़ा सा फ्रेश हो लो। थोड़ा सा रेडी होके आओ। ब्रेक के बाद पानीानी पी के कुछ स्नैक लेके ताकि वी आर रेडी टू अब्सॉर्ब मोर इनेशन एंड उससे भी ज्यादा वी आर रेडी टू

1:33:57 यूज़ आवर ब्रेन। दिमाग फटना नहीं चाहिए। चलिए

1:56:01 हां जी करेक्ट। चलिए अब चलते हैं पहली डेफिनेशन परम्यूटेशंस पे जो नाम है चैप्टर का परम्यूटेशन एंड कॉम्बिनेशन तो वो एक्चुअली होता क्या है? परम्यूटेशन का मतलब क्या है? अ वेरी सिंपल थिंग टू रिमेंबर इज़ परम्यूटेशन मींस अरेंजमेंट। कितनी परम्यूटेशन का मतलब कितनी अरेंजमेंट पॉसिबल है। ठीक है? तो अगर पूछा जाए कि हाउ मेनी परम्यूटेशंस आर पॉसिबल दैट मींस कि कितनी अरेंजमेंट पॉसिबल है। अब बात करते हैं कि अगर हमारे पास कुछ n डिस्टिंक्ट चीजें गिवन है। कुछ n डिस्टिंक्ट चीजें गिवन है। उनमें से कुछ

1:56:47 लेकर उनको अरेंज करना है। हमारे पास n डिस्टिंक्ट चीजें हैं। हमने उनमें से कुछ सेलेक्ट करी। कैन सेलेक्ट जीरो, कैंसिलेट वन, कैंसिलेट ऑल ऑफ देम। पर उनमें से कुछ चूज़ करी और उनको अरेंज किया किसी ऑर्डर में। वो ऑर्डर हमेशा हम एक तरह से एक लाइन में अस्यूम करते हैं। एक के बाद एक के बाद एक ऑर्डर है। आगे पीछे है, साइड में है, जो भी है पर एक लीनियर ऑर्डर है। इसलिए हम इसको लीनियर परम्यूटेशन भी बोलते हैं। एंड जब हम एक ले रहे हैं तो हमारे पास ऐसा

1:57:34 नहीं है कि एक टाइप की अनलिमिटेड है। हमारे पास n चीजें पड़ी हैं। उनमें से हमने कुछ सेलेक्ट करके अरेंज करी हैं। एक को एक ही बार ले सकते हैं। ले लिया तो वो खत्म हो गई वहां पे। इस तरह से ये सारी बेसिक एजम्पशनंस हमारे माइंड में क्लियर होनी चाहिए। अब अगर ऐसी सिचुएशन है फॉर एग्जांपल हमारे पास है n चीजें n अलग-अलग चीजें हैं। n डिस्टिंक्ट चीजें हैं। उनमें से हमने r उठाई एंड उनको अरेंज किया। एक तरह से हमारे पास आर पोजीशन है जहां जिन्हें हमें भरना है। है ना? पहली पोजीशन पे कितने ऑप्शंस हैं? n। एक बार एक चूस कर लिया n में से कोई भी

1:58:22 तो बाकी n - 1 ही बचेंगे भरने के लिए। फिर n - 2 बचेंगे। इस तरह से करते-करते n में से क्या सबट्रैक्ट कर रहे हैं हम? थ्री से एक छोटा नंबर, टू से एक छोटा नंबर, वन से एक छोटा नंबर। तो यहां पे आएगा n - r - 1 वि इज n - r + 1 तो इस तरह से npr npr का मतलब यही है कि n चीजें अलग-अलग डिस्टिंक्ट चीजें हमें गिवन है। उनमें से हमने r सेलेक्ट करी कोई एंड उन्हें अरेंज किया किसी ऑर्डर में। तो ऐसे कितने डिफरेंट अरेंजमेंट्स मिलेंगी हमें? कितनी डिफरेंट परम्यूटेशंस मिलेंगी r ऑब्जेक्ट

1:59:08 की इन n में से दैट इज़ npr दैट इज़ कैलकुलेटेड विद दिस फार्मूला। सिंपल है। n * n - 1 अप टू n - r + 1 अगर इसके साइड में मैं n - r n - r - 1 इस तरह से वन तक मल्टीप्लाई कर दूं। ऑफ कोर्स मेरी मर्जी तो है नहीं कि मैं मल्टीप्लाई कर दूं। मुझे डिवाइड भी करना पड़ेगा। तो यह नीचे क्या बन रहा है? n - r n - r - 1 से 1 तक। दिस इज़ नथिंग बट n - rोरियल एंड ऊपर क्या है? ऊपर n से लेके 1 तक सारे नेचुरल नंबर्स का प्रोडक्ट है। सो दिस इज़

1:59:56 नथिंग बट nोरियल। n / n - r का दैट इज एनपीआर इन जनरल बच्चे एनपीआर हम जब सारी चीजें पढ़ लेंगे तो हम मैक्सिमम जगहों पे एनपीआर यूज़ करेंगे ही नहीं पर हमें पता होना चाहिए एनपीआर क्या है लेकिन अल्टीमेटली वी विल नॉट यूज़ एनपीआर हम इंस्टेड एनपीआर के टर्म्स में मैक्स मैक्सिमम चीजें लिखेंगे। वी विल गेट टू दैट बट एट द सेम टाइम पता तो होना चाहिए क्योंकि सीधा-सीधा कई बार एनपीआर भी लिखा हुआ आ जाता है आपके ऑप्शंस में। तो हमें समझ तो आना चाहिए अच्छे से कि ये होता क्या है? नाउ तो npr का

2:00:43 फार्मूला क्लियर है। n / n - rोरियल। अब कंडीशन क्या है? कंडीशन है कि n क्या होना चाहिए? हमारे पास कुछ चीजें पड़ी हैं। वो चीजें कितनी हो सकती हैं? वन हो सकती है, टू हो सकती है, थ्री हो सकती है। इस तरह से कुछ नेचुरल नंबर ही होगी। अब उनमें से हम R पिक कर रहे हैं। कुछ R पिक कर रहे हैं। तो R क्या-क्या हो सकता है? R 0 हो सकता है, वन हो सकता है, टू हो सकता है, अप टू N हो सकता है। R भी इंटीजर है, n भी इंटीजर है। बट r के लिए ज़ीरो से n ही वैल्यूज़ हो सकती हैं। n में से हम n

2:01:31 + 1 नहीं ले सकते। इन अदर वर्ड्स, यू कैन आल्सो सी इट दिस वे कि अगर ये n से बड़ा हो गया, तो n - r नेगेटिव हो जाएगा। नेगेटिव नंबर का फैक्टोरियल हम डिफाइन नहीं करते। सो दैट इज व्हाई दिस इज द रिक्वायर्ड कंडीशन फॉर एनसीआर। फाइंड द डोमेन ऑफ़ डेफिनेशन ऑफ़ द फंक्शन x इसमें पुट करें। तो हम npr का

2:02:23 nआ का डोमेन हम याद रखेंगे। 7 - x 7 - x इज़ n r इज़ x - 9 तो हमारे पास क्या-क्या कंडीशन होनी चाहिए? n होना चाहिए नेचुरल नंबर तो दिस शुड बी ग्रेटर दैन इक्व 1 दैट मींस x < = 6 और क्या ट्रू होना चाहिए r होना चाहिए ग्रेटर दैन इक्व 0 दैट मींस x इज़ > = 3 और क्या ट्रू होना चाहिए r शुड बी लेस < = n मतलब x - 3 शुड शुड बी लेस दैन इक्वल टू 7 - x.

2:03:08 सो 2x शुड बी लेस दैन इक्वल टू 10. x शुड बी लेस दैन इक्वल टू फाइव। तो ये तीनों का इंटरसेक्शन ये भी ट्रू होना चाहिए। ये भी ट्रू होना चाहिए। ये भी ट्रू होना चाहिए। आंसर कितना आएगा? x बिलोंग्स टू थ्री से फाइव। एंड दैट इज़ योर डोमेन। अब क्या 3 से 5 सारे रियल नंबर्स आएंगे? नो। सो एक्चुअली x बिलोंग्स टू 3 4 5 सिर्फ ये तीन नंबर्स पॉसिबल हैं। और कोई भी x पुट करके देख लो। कुछ ना कुछ कंडीशन सेटिस्फाई नहीं होगी। अब पूछा है सेट ऑफ

2:03:54 इट्स वैल्यूस इन अदर वर्ड्स। हमसे पूछी है रेंज कितनी है इसकी? तो निकाल लेंगे। F3, F4 एंड F5 डोमेन की सारी डिस्क्रीट वैल्यूस के लिए हम पॉइंट निकाल लेंगे। उसकी रेंज आ जाएगी। क्या-क्या आ रहा है? थ्री पुट किया तो वी गेट 4p 0 फार्मूला पुट करेंगे। 4 / 4 - 0 4 / 4 कैंसिल हो गया। 1 f पुट किया 3p 1 3 / 3 - 1ोरियल

2:04:41 3 / 2 दैट इज़ 3 एंड f जब 5 पुट करेंगे 7 - 5 2 एंड 5 - 3 2 तो 2 / 2 - 2रियल 2ोरियल / 0 दैट इज़ टू तो डोमेन है इसका 3 4 एंड 5 रेंज है 1 2 एंड थ्री इजी

2:05:36 अब कुछ स्पेशल केस देखते हैं। जब हमारे पास npn है एकदम लॉजिक लॉजिक को साइड में रखना ही नहीं है हमने इस चैप्टर के लिए। npn का मतलब है कि हमने n ऑब्जेक्ट्स हमें जो गिवन है उनमें से सारे के सारे लेके उनको अरेंज करना है। हमारे पास अल्टीमेटली हमें कोई छोड़ने नहीं है। उन्हीं को बस रिअरेंज करना है। तो रिअरेंज करने के लिए ये हमारे पास सारी n पोजीशंस हैं। पहले पे n ऑप्शन दूसरे पे n - 1 ऑप्शन। तीसरे पे n - 2 ऑप्शन। इस तरह से लास्ट में एक ही ऑप्शन बचेगा। सारे

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