0:04 Esto que ves es lo que vamos a construir en este video: un enfoque visual para comprender una idea fundamental en matemáticas: la Transformada de Fourier. Para quienes no sepan lo que es, mi objetivo principal acá es que este video sea una introducción al tema. Pero, incluso para quienes ya estén familiarizados con el concepto, aún creo que hay algo especial y enriquecedor en ver cómo funcionan todos sus componentes de una manera visual. El ejemplo central para comenzar va a ser el clásico, descomponer las frecuencias de un sonido. Pero después de eso, también quiero mostrar cómo esta idea se extiende mucho más allá del sonido y la frecuencia hasta otras áreas de las matemáticas y la física. De verdad, es increíble lo universal que es esta idea. Empecemos.
0:50 Este sonido que estás escuchando es la nota La, cuatrocientas cuarenta oscilaciones por segundo, es decir, si midieras la presión del aire justo al lado de tus audífonos o tus parlantes como una función del tiempo, oscilaría hacia arriba y abajo de su equilibrio habitual en una onda que sube y baja cuatrocientas cuarenta veces cada segundo. Una nota mas grave, como Re, tiene la misma estructura, pero con menos pulsos por segundo. Y cuando suenan en simultáneo, ¿cómo creés que se va a ver el gráfico de presión en función del tiempo? Bueno, en cualquier instante de tempo dado, esta diferencia de presión va a ser la suma de lo que sería para cada una de esas notas por separado, lo cual, siendo sinceros, es complicado de imaginar. En algunos puntos, los picos coinciden, y resultan en una presión muy alta.
1:38 Y en otros, se cancelan mutuamente. En total, lo que nos queda es un gráfico que se parece un poco a una onda, pero no es una sinusoidal pura, es algo más complicado. Y a medida que agregás más y más notas, la onda se vuelve cada vez más complicada. Por ejemplo ahora es solo una combinación de cuatro frecuencias puras, así que se ve demasiado complicada si pensás en la poca información que le pusimos. Un micrófono que graba sonido sólo detecta la presión del aire en distintos momentos, solo capta la suma final. Así que nuestra pregunta clave es ¿cómo podríamos tomar una señal como esta y separarla en las frecuencias puras que la conforman? Muy interesante, ¿no? Sumar esas señales en realidad las mezcla todas, separarlas de nuevo sería algo así como separar distintos colores de pinturas
2:27 que fueron mezcladas. La estrategia general va a ser construirnos una máquina matemática que trate a las señales de una frecuencia dada de una manera distinta a las demás. Para empezar, considerá una señal pura, digamos, con solo tres oscilaciones por segundo, para poder graficarla fácilmente. Y limitémonos a observar a una porción finita de este gráfico, en este caso, la porción entre cero y cuatro coma cinco segundos. La idea clave va a ser tomar este gráfico y hacer algo así como envolverlo alrededor de un círculo. Más concretamente, me refiero a esto. Imaginate un vectorcito que rota, y que en cada momento, tiene una longitud igual a la altura de nuestro gráfico en ese momento.
3:14 Así que los puntos altos del gráfico corresponden a una mayor distancia desde el origen, y los puntos bajos terminan más cerca del origen. Ahora mismo lo estoy dibujando de forma que avanzar dos segundos en el tiempo corresponda a una rotación completa alrededor del círculo. Nuestro vectorcito que dibuja este gráfico está rotando a medio ciclo por segundo. Y esto es importante, hay dos frecuencias en juego acá. Está la frecuencia de nuestra señal, que sube y baja tres veces por segundo, y por otro lado, está la frecuencia con la que estamos envolviendo el gráfico alrededor del círculo, que ahora mismo es media vuelta por segundo. Pero esa segunda frecuencia podemos ajustarla como queramos. Quizás queremos envolverla más rápido. O quizás envolverla más lento.
4:03 Y esa elección de la frecuencia a la que envolvemos determina cómo se ve nuestro gráfico enrollado. Algunos de los dibujos que quedan pueden ser bastante complejos, y son muy lindos, pero es importante tener en mente que lo único que estamos haciendo acá es envolver la señal alrededor de un círculo. Las líneas verticales que dibujo arriba son solo una forma de indicar la distancia en el gráfico original que correspondería a una vuelta completa alrededor del círculo. Así que si las líneas están espaciadas por uno coma cinco segundos, se tarda uno coma cinco segundos en hacer una vuelta completa. Y en este punto, quizás tengamos la idea de que algo especial va a ocurrir cuando la frecuencia a la que enrollamos coincida con la frecuencia de nuestra señal, tres pulsos por segundo. Porque todos los puntos altos de la gráfica ocurren a la derecha del círculo,
4:50 y todos los puntos bajos, a la izquierda. ¿Pero de qué forma precisa podríamos aprovechar esto en nuestro intento de construir una máquina que separe frecuencias? Bueno, imaginá que este gráfico tiene algún tipo de masa, como un alambre de metal. Este puntito va a representar el centro de masa de ese alambre. Al cambiar la frecuencia, el gráfico se enrolla de distintas formas, y ese centro de masa se mueve un poco. Y para la mayoría de las frecuencias a las que enrollamos, los picos y los valles están dispersos alrededor del círculo de tal forma que el centro de masa está bastante cerca del origen. Pero cuando la frecuencia a la que enrollamos coincide con la de nuestra señal, en este caso, tres ciclos por segundo, todos los picos están a la derecha, y todos los valles haca izquierda, así que el centro de masa está inusualmente lejos
5:38 hacia la derecha. Para captar esto, hagamos algún gráfico que registre donde está el centro de masa para cada frecuencia a la que enrollamos. Por supuesto, el centro de masa es algo bidimensional, hacen falta dos coordenadas para describirlo, pero por ahora, solo miremos la coordenada x. Para una frecuencia cero, cuando todo está amontonado a la derecha, la coordenada x es bastante alta. A medida que sube esa frecuencia, y el gráfico se va equilibrando alrededor del círculo, la coordenada x del centro de masa se acerca a cero, y tiende a tambalearse un poco alrededor del origen.
6:26 Pero después, a tres pulsos por segundo, hay un pico, porque todo se alinea a la derecha. Esto de acá es el concepto central, así que resumamos lo que vimos hasta ahora. Tenemos el gráfico original de intensidad contra tiempo, y luego tenemos una versión enrollada de eso en un plano bidimensional, y por último, tenemos un gráfico de cómo la frecuencia a la que envolvemos influye en el centro de masa de ese gráfico. Y de hecho, miremos mejor esas frecuencias muy bajas cerca del cero. Este pico grande cerca del cero en nuestro gráfico de frecuencias solo corresponde al heco de que que toda la onda original está corrida hacia arriba.
7:16 Si yo hubiera elegido una señal que oscilara alrededor del cero, bajando hasta valores negativos, al jugar con varias frecuencias de enrollado, este gráfico de frecuencia contra centro de masa solamente tendría un pico en el valor de tres. Pero los valores negativos son un poco complicados de pensar, sobre todo para un primer ejemplo, así que mejor sigamos pensando en términos del gráfico corrido hacia arriba. Solo quiero que entiendas que ese pico alrededor de cero únicamente corresponde al desplazamiento. Para lo que nos interesa, nuestra atención solo tiene que estar en ese pico en tres. A todo este gráfico lo voy a llamar la "casi Transformada de Fourier" de la señal original. Hay un par de diferencias pequeñas entre esto y la Transformada de verdad, y las vamos a ver en unos minutos, pero quizás ya puedas ver cómo
8:03 esta máquina nos permite identificar la frecuencia de una señal. Solo para experimentar un poco más, tomemos una señal diferente, digamos de una frecuencia más baja, de dos oscilaciones por segundo, y hagamos lo mismo. La enrollamos alrededor de un círculo, consideramos las posibles frecuencias para envolverla, y mientras lo hacemos, vamos viendo dónde queda el centro de masa del gráfico. Luego graficamos la coordenada x del centro de masa al cambiar la frecuencia de enrollado. Al igual que antes, surge un pico cuando la frecuencia a la que envolvemos es igual a la frecuencia de la señal, es decir, igual a dos ciclos por segundo. El punto clave, lo que hace que esta máquina sea tan fascinante, es cómo nos permite tomar una señal compuesta de múltiples frecuencias y distinguir cuáles son.
8:49 Imaginá tomar las dos señales que acabamos de ver, con frecuencias de dos y tres oscilaciones por segundo, y sumarlas. Como dije antes, ya no obtenemos una onda sinusoidal pura, es algo un poco más complicado. Pero imaginate poniendo esto en nuestra máquina de enrollar. Claramente a medida que enrollemos esta señal, se ve mucho más complicada, vemos caos y caos y caos, hasta que de repente, ¡zas!, todo se alinea muy bien a dos ciclos por segundo. Y luego continuamos, y vemos más caos, más caos, más caos, y de repente ¡zas!, de nuevo, todo se alinea bien a tres ciclos por segundo. Y como dije antes, el gráfico enrollado puede verse más complejo, pero todo se reduce a la idea bastante simple de enrollar el gráfico alrededor de un círculo. Solo es un gráfico un poco más complicado.
9:36 Lo que está pasando acá con los dos picos es lo siguiente. Si fueras a tomar dos señales y les aplicaras esta casi Transformada de Fourier por separado, y luego sumaras los resultados, obtendrías lo mismo que si sumaras las señales y luego aplicaras esta casi Transformada de Fourier. Y los espectadores atentos podrían pausar acá y reflexionar para convencerse de que lo que acabo de decir es cierto. Es una buena forma de chequear si uno mismo tiene en claro qué es lo que esta máquina de enrollado está midiendo exactamente. Ahora esta propiedad nos es muy útil, porque la transformada de una frecuencia pura es casi cero en todas partes excepto por un pico alrededor de esa frecuencia. Así que al sumar dos frecuencias puras, el gráfico de la transformada solo muestra picos en las frecuencias que agregamos.
10:26 Así que esta máquina matemática hace exactamente lo que queríamos. Extrae las frecuencias originales de una suma mezclada, separa los colores del balde de pintura. Y antes de seguir con la matemática que describe esta operación, veamos un contexto donde esto es útil: la edición de sonido. Supongamos que tenemos una grabación que tiene un molesto, un tono agudo que te gustaría eliminar. Bueno, al principio la señal es una función de varias intensidades a lo largo del tiempo, diferentes voltajes que se envían a tus parlantes cada milisegundo. Pero queremos pensarla en términos de frecuencias. Asi que, al tomar la Transformada de Fourier de esa señal, el molesto tono agudo va a aparecer como un pico en alguna frecuencia alta. Si la eliminamos aplastando el pico, lo que se ve es la Transformada de Fourier de
11:15 un sonido que es tal cual nuestra grabación, solo que sin esa frecuencia aguda. Por suerte, también hay una noción de transformada de Fourier inversa, que nos indica qué señal habría producido esto como su Transformada. Voy a hablar en más sobre esa inversa en el próximo video, pero en resumen, aplicar la Transformada de Fourier a la Transformada de Fourier, te devuelve algo cercano a la función original. Más o menos. Esto es un poco mentira, pero va en la dirección correcta. Y digo que es un poco mentira porque todavía tengo que contarte cuál es la Transformada de Fourier verdadera, porque es un poco más compleja que esta idea de la coordenada x del centro de masa. Retomando este gráfico enrollado y observando su centro de masa, la coordenada x es solo la mitad de la historia, ¿verdad?
12:02 Está en dos dimensiones, también tiene una coordenada y. Y como es típico en matemáticas, cuando tratamos con algo bidimensional, es elegante pensarlo como el plano complejo, donde el centro de masa va a ser un número complejo que tiene una parte real y una parte imaginaria. La razón para hablar en términos de números complejos, en vez de decir que solo tiene dos coordenadas, es que los números complejos se prestan a descripciones muy elegantes de todo lo que tenga que ver con rotaciones. Por ejemplo, la fórmula de Euler, famosamente nos dice que si tomás e elevado a algún número por i, llegás al punto que obtendrías si caminaras esa cantidad de unidades sobre de un círculo unitario en sentido antihorario, empezando por la derecha.
12:47 Así que imaginate que querés describir una rotación a una velocidad de un ciclo por segundo. Podrías tomar la expresión e elevado a dos pi por i por t, donde t es la cantidad de tiempo, porque para un círculo de radio uno, dos pi describe la circunferencia completa. Y ver esto te puede marear un poco porque es muy rápido, así que tal vez quieras describir una frecuencia diferente, una frecuencia más baja, y para eso multiplicarías ese tiempo t en el exponente por una frecuencia f. Por ejemplo, si f fuera un décimo, este vector da una vuelta completa cada diez segundos, porque tiempo t tiene que aumentar hasta diez antes de que el exponente completo vuelva a ser dos pi i.
13:34 Tengo otro video que da algunas intuiciones de por qué este es el comportamiento de e^x para entradas imaginarias, pero por ahora simplemente lo vamos a dar por hecho. Pero ahora, ¿por qué te estoy contando esto? Bueno, nos ofrece una linda forma de expresar la idea de enrollar el gráfico en una única fórmula compacta. La convención en el contexto de las transformadas de Fourier es pensar en rotar en el sentido horario. Así que simplemente vamos a poner un signo menos ahí en el exponente. Ahora, tomá alguna función que describa la intensidad de una señal contra el tiempo, como esta onda que teníamos antes, y llamémosla g de t. Si multiplicás esta expresión exponencial por g de t, significa que el número complejo que gira se va escalando,
14:19 haciéndose más grande o más chico según el valor de esta función. Así que podés pensar que ese vector giratorio de longitud cambiante va dibujando el gráfico enrollado. Pensalo, esto es genial, esta expresión tan pequeña es una manera elegante de encapsular toda la idea de enrollar un gráfico alrededor de un círculo con una frecuencia variable, f. Y no olvides que lo que queremos hacer con estre gráfico enrollado es seguir su centro de masa, así que pensá en qué fórmula podría capturar eso. Bueno, para aproximarlo al menos, podrías muestrear muchos momentos de la señal original, ver dónde terminan esos puntos en el gráfico enrollado, y luego calcular un promedio, sumándolos como números complejos, y luego dividiendo por la cantidad de muestras.
15:09 Esto se va a volver más preciso si muestreás más puntos que estén más juntos entre sí. Y en el límite, en lugar de mirar la suma de muchos de puntos dividida por su cantidad, usamos la integral de la función dividida por la longitud del intervalo de tiempo que observamos. Ahora, integrar una función de valores complejos es algo raro, quizás intimidante si no estás seguro en cálculo, pero el significado subyacente no requiere ningún conocimiento cálculo. La expresión entera simplemente es el centro de masa del gráfico enrollado. Así que, genial, paso por paso construimos esta fórmula quizás complicada, pero la verdad, muy compacta, que conlleva toda la idea de nuestra máquina de enrollar, y ahora solo hay una última deferencia que tengo que aclarar entre esto y la
15:55 Transformada de Fourier cien por ciento verdadera, simplemente no dividas por el intervalo de tiempo. La Transformada de Fourier solo es la parte integral. Esto hace que en vez de observar el centro de masa, lo escalamos por alguna cantidad. Si la porción que usamos del gráfico original abarcaba tres segundos, esto multiplicaría el centro de masa por tres. Si abarcaba seis segundos, multiplicaría el centro de masa por seis. Físicamente, esto significa que si una cierta frecuencia persiste durante mucho tiempo, la magnitud de la Transformada de Fourier en esa frecuencia aumenta cada vez más. Por ejemplo, lo que vemos acá es que si tenemos una frecuencia pura de dos oscilaciones
16:41 por segundo y la enrollamos a dos ciclos por segundo, el centro de masa se queda en el mismo lugar, porque solo estamos trazando la misma forma. Pero mientras más persista esa señal, mayor será el valor de la Transformada de Fourier en esa frecuencia. Pero para otras frecuencias, incluso si solo aumentamos esta un poco, esto se cancela, porque para intervalos de tiempo más largos, le damos al gráfico enrollado más chances de equilibrarse alrededor del círculo. Bueno, estas son muchas partes en movimiento, así que está bueno dar un paso atrás y resumir lo que tenemos. La Transformada de Fourier de una función de intensidad contra tiempo, como g de t, es una nueva función, que no tiene al tiempo como entrada sino que toma una frecuencia, la que estuvimos llamando frecuencia de enrollado.
17:28 Respecto a notación, la convención común es llamar a esta función g sombrero, con un acento circunflejo encima. El resultado de esta función es un número complejo, un punto en el plano bidimensional que corresponde a la fuerza de una frecuencia en la señal original. El gráfico que estuve haciendo para la Transformada de Fourier solo es la parte real de esa salida, la coordenada x, pero también podrías graficar la componente imaginaria si quisieras una descripción completa. Y todo esto está dentro de la fórmula que construimos. Y sí, fuera de contexto, ver esta fórmula podría parecer abrumador, pero si entendés que las exponenciales corresponden a rotaciones, que multiplicar por la función g de t es trazar una versión enrollada del gráfico,
18:14 y que la integral de una función a valores complejos puede interpretarse con la idea de un centro de masa, entonces podés ver el significado profundamente intuitivo que conlleva todo esto. Ah, y un comentario más antes de terminar. Aunque en la práctica, como por ejemplo en la edición de sonido, integramos sobre un intervalo de tiempo finito, la teoría de las transformadas de Fourier se puede expresar con una integral cuyos límites son menos infinito e infinito. Esto significa es que consideramos esta expresión para los intervalos de tiempo finitos, y nos preguntamos cuál es el límite de esto a medida que el intervalo crece hasta el infinito. Y hay tanto más que decir. Mucho más, tanto que no quiero darlo por terminado acá. La transformada se extiende hacia zonas de las matemáticas
19:01 mucho más allá de extraer frecuencias de una señal. En el próximo video va a hablar un poco de eso, y ahí es donde las cosa se pone interesante. Así que suscribite para enterarte de las novedades, u otra opción, hacete una buena maratón de videos de 3Blue1Brown para que el algoritmo sea más propenso a mostrarte cuando sale algo nuevo. La elección es tuya.
