Resumen Breve
Este video explica varias propiedades de la transformada de Fourier, incluyendo el corrimiento en frecuencia, el corrimiento en el tiempo, la simetría y las funciones periódicas. Se proporcionan ejemplos y explicaciones detalladas para ilustrar cada propiedad, junto con aplicaciones prácticas y demostraciones en Matlab.
- Corrimiento en frecuencia: Multiplicar una función por $e^{iat}$ genera un corrimiento en la frecuencia en la transformada de Fourier.
- Corrimiento en el tiempo: Trasladar una función en el tiempo equivale a multiplicar su transformada de Fourier por $e^{-ia\omega}$.
- Simetría: Aplicar la transformada de Fourier dos veces, intercambiando $\omega$ y $t$, regresa a la función original multiplicada por $-t$.
- Funciones periódicas: La transformada de Fourier de una función periódica resulta en deltas en los puntos de frecuencia.
Corrimiento en la Frecuencia
La propiedad de corrimiento en la frecuencia establece que multiplicar una función $f(t)$ por $e^{iat}$ resulta en un corrimiento en la frecuencia de su transformada de Fourier. Matemáticamente, esto significa que la transformada de Fourier de $f(t) \cdot e^{iat}$ es $F(\omega - a)$, donde $F(\omega)$ es la transformada de Fourier de $f(t)$. Este corrimiento se visualiza como una traslación de la transformada de Fourier a lo largo del eje de frecuencia ($\omega$) en $a$ unidades.
Ejemplo de Corrimiento en la Frecuencia
Para calcular la transformada de Fourier de $f(t) = \sin(2t)$ utilizando la propiedad de corrimiento en la frecuencia, primero se expresa $\sin(2t)$ en términos de exponenciales complejos usando la identidad de Euler: $\sin(2t) = \frac{e^{i2t} - e^{-i2t}}{2i}$. Luego, se aplica la transformada de Fourier a esta expresión, utilizando la propiedad de corrimiento. Esto resulta en deltas de Dirac en $\omega = 2$ y $\omega = -2$, lo que indica que la función tiene componentes de frecuencia en estos puntos. Gráficamente, esto se representa como picos en el espectro de frecuencia en $\omega = 2$ y $\omega = -2$.
Transformada Inversa de Fourier y Delta de Dirac
La transformada de Fourier de la función delta de Dirac, $\delta(t)$, es igual a 1. Esto implica que la transformada inversa de Fourier de 1 es $\delta(t)$. De manera similar, la transformada inversa de Fourier de $\delta(\omega)$ es $\frac{1}{2\pi}$. Aplicando la transformada de Fourier a $\frac{1}{2\pi}$ se obtiene $\delta(\omega)$. Este resultado es crucial para entender cómo las funciones periódicas se representan en el dominio de la frecuencia.
Corrimiento en el Tiempo
La propiedad de corrimiento en el tiempo establece que si una función $f(t)$ se traslada en el tiempo por una cantidad $a$, su transformada de Fourier se multiplica por $e^{-ia\omega}$. Es decir, si la transformada de Fourier de $f(t)$ es $F(\omega)$, entonces la transformada de Fourier de $f(t - a)$ es $F(\omega) \cdot e^{-ia\omega}$. Esto implica que un corrimiento en el tiempo introduce un factor de fase en el dominio de la frecuencia.
Ejemplo de Corrimiento en el Tiempo
Para determinar la transformada de Fourier de $g(t - 2)$, donde $g(t) = e^{-t}$ para $t \geq 0$ y $0$ para $t < 0$, se utiliza la propiedad de corrimiento en el tiempo. Primero, se conoce que la transformada de Fourier de $g(t)$ es $\frac{1}{1 + i\omega}$. Luego, aplicando la propiedad de corrimiento, la transformada de Fourier de $g(t - 2)$ es $\frac{e^{-2i\omega}}{1 + i\omega}$. Este resultado se verifica utilizando Matlab, ajustando los límites de integración para tener en cuenta el corrimiento en el tiempo.
Propiedad de Simetría
La propiedad de simetría establece que si se toma la transformada de Fourier de la transformada de Fourier de una función, intercambiando $\omega$ y $t$, se obtiene la función original multiplicada por $2\pi$ y evaluada en $-t$. Matemáticamente, si $F(\omega)$ es la transformada de Fourier de $f(t)$, entonces la transformada de Fourier de $F(t)$ es $2\pi f(-\omega)$. Esta propiedad demuestra una dualidad entre el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia.
Ejemplo de la Propiedad de Simetría
Para determinar la transformada de Fourier de una función utilizando la propiedad de simetría, se considera $f(t) = e^{-t^2}$. La transformada de Fourier de $f(t)$ es $\sqrt{\pi} e^{-\frac{\omega^2}{4}}$. Reemplazando $\omega$ por $t$ y aplicando la transformada de Fourier nuevamente, se obtiene $2\pi e^{-t^2}$, lo que demuestra la propiedad de simetría. Este resultado se verifica con Matlab.
Transformada de Fourier de Funciones Periódicas
La transformada de Fourier de una función periódica se expresa en términos de la serie de Fourier compleja. Si $f(t)$ es una función periódica con coeficientes de Fourier $c_n$, entonces su transformada de Fourier es una suma de deltas de Dirac ponderadas por estos coeficientes. Matemáticamente, la transformada de Fourier de $f(t)$ es $\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n \cdot 2\pi \delta(\omega - n\omega_0)$, donde $\omega_0$ es la frecuencia fundamental de la función periódica.
Ejemplo de Transformada de Fourier de Funciones Periódicas
Para determinar la transformada de Fourier de la función periódica $h(t) = e^{-t}$ en el intervalo $[-\pi, \pi]$, primero se expresa $h(t)$ en términos de su serie de Fourier compleja. Luego, se calcula los coeficientes de Fourier $c_n$ utilizando la fórmula $c_n = \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} h(t) e^{-i\frac{n\pi t}{L}} dt$. Finalmente, se aplica la propiedad de la transformada de Fourier de funciones periódicas para obtener la transformada de Fourier de $h(t)$ como una suma de deltas de Dirac ponderadas por los coeficientes $c_n$.
