0:01 Bien, tercera propiedad. Esta propiedad se refiere a ver el efecto de multiplicar una función cualquiera por ebler a la i a t. ¿Y qué pasaría con esa función en la transformada de furier? Sí, si a es una constante real. Entonces, ¿qué quiero hacer? Quiero tomar la función f(t), multiplicarla por un euler a la i a t y sacarle la transforma de furier. Entonces, si yo meto esto en la definición de la transforma de furier, lo que va a pasar es que este euler y este euler van a ser base común, entonces me va a quedar y voy a poder simplificarlos así. Esto me quedaría algo así, me quedaría
0:48 euler a la piat menos pi omega t. Si ustedes se dan cuenta, esto es euler a la menos IT - IT * positivo para que me quede negativo con este menos de acá. y el otro me quedaría - a para que me quedara positivo. Menos por menos me da más y at. Entonces me queda esta expresión que está acá. Si ustedes se dan cuenta, ahorita estoy sacando la transformada de furia respecto a omega - a, ya no a omega. Entonces, por eso me queda acá la función f de omega - a. ¿Y qué quiere decir esto? que cuando yo agarro la función ft
1:36 y la multiplico por euler a la iat, esto me genera en la transformada de furier un efecto de corrimiento en la frecuencia. Es decir, si yo tengo una función en el tiempo t y ft y la función hace esto, ¿sí? Entonces ahora esta función digamos que está centrada en cero, digamos, ¿cierto? Cuando yo muevo esta función, cuando yo multiplico a ft, perdón, cuando yo multiplico a ft
2:21 por el exponencial, lo que estoy haciendo en la transformada de furier. Eh, IAT, perdón, IAT. Lo que estoy haciendo en la transformada de Furier es ahora corriendo la transformada de furier a unidades con respecto a omega, al eje X. Y eso es lo que me termina pasando acá. Por eso esta propiedad se llama corriento en la frecuencia porque se traslada la transformada furial. Vamos a hacer un ejemplo del corriento en la frecuencia. Entonces, calcular la transformada de furier de la siguiente función utilizando la propiedad de corrimiento en la frecuencia
3:07 e interpretar gráficamente. Me dan una pista, me dice, "Us la identidad de Euler para definir la función trigonométrica." Miren, me dan esta función ft es igual a seno de 2t. Y me piden hallar la transforma de furier, pero utilizando corrimiento en la frecuencia. es decir, esta propiedad cita que está acá. Entonces, recordemos que Ebler a la eh 2 t va a ser igual al coseno de 2t + i por el seno de 2t. y euler a la -2 t va a ser igual al
3:55 coseno de 2t. Este es el complejo conjugado del de arriba. Entonces acá me va a quedar - i por el seno de 2t. Entonces, si ustedes se dan cuenta, si yo resto estos dos valores, me va a quedar eer a la 2 t - euler a la -2 va a ser igual a coseno menos coseno da 0 y men - i. Entonces este menos con este menos me da más. Entonces, acá me va a quedar 2i por el seno de 2t. Si ustedes se dan cuenta, yo puedo despejar de acá el seno de 2t. El seno de 2t va a ser igual a euler a la 2 t
4:42 -uler a la -2 dividido 2i. Entonces, cualquier función seno se puede escribir en términos de estos eulers. Entonces, ya hice la primera parte que me hice utilizar la identidad Ebuler para definir la función. Ya hice eso, mírenlo acá. Y ahora lo que voy a hacer es hallar la transformada de furier de la función f(dt. Esto no es nada más y nada menos que resolver esta integral de menos infinito infinito de f(dt) por euler a la - i om t por dt, ¿cierto? Esto es lo mismo que tener la integral desde menos infinito infinito. Ft es
5:28 seno de 2t multiplicado por euler a la - i omega t * dt. Pero resolver esta integral es muy difícil. Entonces, lo que voy a hacer es hallar la transforma de furier de la función f(dt) como si la expresara en términos de euler. Entonces, no voy a utilizar seno de 2 t, sino que voy a utilizar esta expresioncita que acabé de colocar acá. Euler a la 2it - euler a la -2 dividido 2i multiplicado por euler a la - i omega t rt. Entonces esta es la integral que tengo que resolver. Sí, voy a destruir,
6:17 voy a sacar este 2i como factor común. Me va a quedar 1 sobre 2i por la integral desde menos infinito hasta infinito de euler a la 2 t - euler a la -2. Sí, que multiplica a euler a la - i omega t * dt. Fíjense que lo que voy a hacer es multiplicar este por este y este por este. Entonces vamos a seguir acá. Transforma de furier de la función f(t) nueva va a ser igual a qué? Va a ser igual a 1 sobre 2i que multiplica a. Entonces, fíjense que acá puedo utilizar la propiedad
7:03 distributiva. Este euler por este euler por dt y me queda una integral. E a la 2 por e a la - i omeg t euler a la 2it por euler a la i omeg t. Uy perdón. Por la integral desde menos infinito hasta infinito ddt menos por este menos de acá. Entonces, menos por más da menos. E a la -2 e a la menω t -2 * euler a la - i om t. todo esto. Okay. Acá viene otra integral
7:49 desde menos infinito hasta infinito por dt. Bien. Y lo que quiero que presten atención acá, bueno, es a lo siguiente y es que esta función euler a la 2 tá. Esto es una función multiplicado por e a la i t. O sea, este término de acá es lo mismo que yo tener ft multiplicado por euler a la i a t, donde si ustedes prestan atención, a en este caso es igual a 2 y ft es 1 porque no hay ningún coeficiente que esté multiplicando acá. Sí, fíjense que en la
8:36 propiedad queda f(t) multiplicado por e a la IT y el euler a la IM t, que es este de acá, euler a la men i omeg t, es propio de la transformada de furier. Entonces yo solamente quiero analizar, o sea, que tengo acá f(t) = 1, ¿sí? O sea, tengo 1 multiplicado por e a la e i2. Entonces esta primera integral de acá es como si yo tuviera la transformada de furier de la función 1 multiplicado por euler a la 2 t. Sí, esta primera integral de acá es lo mismo que tenerla transformada de furier de 1 multiplicado por e a la 2 y tá
9:27 si esto es como si yo tuviera qué tuviera la transformada de furier de la función 1 multiplicado por e a la - 12t. ¿Sí? Entonces, si ustedes se dan cuenta, acá hay algo interesante y es que yo puedo resolver esta transformada de furier utilizando la propiedad de la transformada de furier, pero necesitaría saber cuánto es la transformada de furier de la función uno y esa no la sé. Pero en la clase anterior ustedes resolvieron un ejercicio relacionado con la transformada de furier de una función muy interesante que se llama la función delta de Irak,
10:14 que la función delta de Irak es una función que vale 0 para e t diferente de 0 y vale infinito para t = 0. Entonces es como un impulso grande en t = 0. Y ustedes hallaron que la transforma de furier de esta función delta de t delta de ir es igual a 1. ¿Sí? ¿Y qué podría yo decir entonces acá? Que si yo le saco la transformada inversa de furier a la transformada de la delta de t, ¿sí? Esto es lo mismo que tener la transformada inversa de
11:00 furier de uno. ¿Sí? Entonces, a ver, ¿qué es lo que quiero mostrarles acá? Lo que quiero mostrarles acá es que si la transformada furier de la función delta es igual a 1, ¿cierto?, Yo podría sacar, podría definir la función delta de omega y sacarle la transformada inversa de furier a la función delta de omega. Esto es lo mismo que tener la integral, perdón, 1 sobre 2 pi, la definición de la transformada inversa de furier, que es esta de acá, mírenla. Esta es la
11:47 transformada inversa de furier 1 sobre 2 pi, la integral de la función por ebler a la i omega t de omega. Eso es lo que vamos a hacer acá. Entonces acá lo que voy a hacer es voy a definir la 1 sobre 2 pi la integral de menos infinito infinito de f de omega que es delta de omega por ebler a la i omega t * d. Sí, si ustedes se dan cuenta, esta función delta solamente está definida para el valor omega = 0. Para el resto de valores la función vale cer. Entonces eso va a ser que omega el único valor que puede tomar es cerros valores la función va a valer cero.
12:34 Entonces la transformada inversa de furier de la función delta de omega va a ser igual a 1 sobre 2 pi por euler a la 0 es 1. Entonces me va a quedar acá la integral desde menos infinito infinito de delta de omega por de omega y esto es uno por definición se acuerdan que la función delta de Irak tiene un área de uno, o sea, esto es igual a sobre 2 pi. ¿Sí? ¿Y esto qué quiere decir? Que la transformada inversa de fier de la función delta de omega es igual a 1 sobre 2 pi. Sí. es igual a 1 sobre 2 pi. Bien.
13:26 Y si yo le saco la transformada de furier a esto que está acá, le saco la transformada de furier a este lado y le saco la transformada de furier a este lado. Sí, esto me va a quedar que la transformada furial con la transformada inversa se van a cancelar. Entonces, acá me queda delta de omega y acá me va a quedar la transformada de furial de 1 sobre 2 pi, pero 1 sobre 2 pi es constante, lo puedo sacar de la transformada de furier por la propiedad de la linealidad y me queda esto. O sea, que la transformada de furier de la función 1 es igual este 2 pi que está dividiendo, lo paso a multiplicar a 2 pi por delta de omen.
14:12 Si la transforma de furier de la función 1 es 2 pi por delta de omega. Entonces ya tengo la transforma de furior de la función uno. Vuelvo a mi problema original. ¿Qué necesito hallar acá? Necesito hallar la transformada de furier de la función 1 multiplicado por euler a la 2 y t utilizando la propiedad de corrimiento en la frecuencia. Entonces, cuando yo multiplico una función por euler a la IAT T, es como agarrar la transformada de furier y desplazarla a unidades. O sea, esto va a ser igual a la transforma de furier de la función 1, pero en omega -2 porque a vale 2.
15:00 Y esto es lo mismo que tener 2 pi* delta de omega - 2. ¿ Sí? Y esta es la transformada furior de esa función. Y la transformada de furior de la función 1 por euler a la -2 t, que es esta de acá, va a ser lo mismo, va a ser la transforma de furier, pero de omega + 2, porque ahora vale -2 y menos por menos da más. O sea, esto va a ser igual a 2 pi * delta de omega + 2. Básicamente estas dos integrales que ustedes ven acá, entonces se van a resumir en lo siguiente. La transforma de furial de la función seno va a ser igual a 1 sobre 2i que
15:45 multiplica al primer término de la integral que es este de acá. 2 pi * delta de omega - 2 menos el segundo término que es este de acá y que da cuenta de esta segunda integral que es 2 pi por delta de omega + 2. Y esto es una magia hermosísima. Les voy a contar por qué. Porque acabamos de demostrar, voy a poner otra diapositiva acá. Acamos de mostrar algo hermosísimo. Perdón, esto no era. Acabamos de demostrar algo hermosísimo
16:34 y es lo siguiente. Resulta que si yo tengo una función periódica f(t) igual al seno de 2t, fíjense que este 2 es la frecuencia angular, o sea, omega es ig a 2. ¿Sí? Y esto es lo mismo que tener 2 pi * f, o sea, que la frecuencia es 1 sobre piers, ¿cierto? Y la gráfica de esta función pues es una función así, una función semplice. Cuando yo le aplico la transformada de furier a esta función, me da este
17:20 resultado que acabamos de hallar 1 sobre 2i, que básicamente me está diciendo que la función es imaginaria multiplicada por, fíjense, este 2 pi y este 2 pi lo puedo sacar como factor común. Entonces me queda acá 2 pi de omega - 2 - delta de omega + 2. Entonces, fíjense esta cosa tan maravillosa. Voy a graficar esta función en el plano complejo. Voy a graficar acá la transformada de furier f de omega en función de omega. Voy a marcar acá el 2 y acá el -2. Entonces, ¿qué me están diciendo estas
18:07 funciones? Miren, delta de omega - 2 es una función que me dice que vale infinito si omega es ig a 2. O sea, cuando este término de acá se va a cer y vale 0 si omega es diferente de 2 y delta de omega + 2 me dice que la función vale infinito cuando esto vale 0. O sea, cuando omega vale -2 y vale 0 si es diferente a -2. O sea, que si yo grafico esta función, bueno, esto se me va la parte imaginaria, me va a quedar un pi por acá, no pasa nada. Pi multiplicado por delta. La función va a ser
18:54 0 para omega diferente de 2 y diferente de -2. Pero en 2 la función va a valer omega - 2 va a valer infinito para omega = 2. O sea, aquí la función va a valer infinito, va a tender hacia arriba hacia el infinito. Y omega va a valer -2 acá. La función va a valer menos infinito. Menos infinito para omega = -2. O sea, la función va a ser esto acá. Entonces, si ustedes se dan cuenta, me va a dar una función pico con un pico en omega = 2 y con un pico en omega = -2. Y
19:39 resulta que 2 es la frecuencia angular de la función. O sea, que para funciones periódicas la transformada de furier me va a dar picos en los puntos de la frecuencia. Entonces, imagínense que ustedes están captando una señal, una onda, y quieren saber la frecuencia, pues, ¿qué le hacen a esa señal? Le sacan la transformada de Furier y la transformada de Furier les va a decir la frecuencia la cual están oscilando. Entonces, ahora piénsenlo en su proyecto, la señal que ustedes van a registrar le van a sacar la transformada en Furier. ¿Para qué? para obtener la frecuencia o las frecuencias a las cuales se está oscilando esa función. No se les olvide, propiedad de corrimiento en la frecuencia es este. Bien, vamos
20:24 con la siguiente propiedad, se llama corrimiento en el tiempo. Esta propiedad básicamente lo que nos dice es qué pasa, qué efecto tiene el corrimiento en el tiempo de una función en su transformada fuler. Entonces, yo tengo una función y y t. Tengo esta función, ¿sí? Tengo una función cualquiera. Voy a graficarla así por facilidad y esta va a ser ft. T. ¿Cierto? Lo que vamos a hacer ahora es graficar esta misma función
21:09 trasladada a unidades en el eje T. Y esta va a ser ft - a. Y lo que quiero ver es qué le pasa a la transforma de fugir de la función cuando yo la traslado en el eje x a unidades. ¿Sí? Y básicamente lo que va a pasar es lo siguiente. Voy a tener la función ya trasladada. Sí, voy a utilizar la definición de la transformada furia, la función multiplicado por el exponencial y voy a hacer una sustitución. Voy a decir que u es = a t - a. Y de acá sale que du es igual a dt, ¿cierto? Y de acá puedo despejar t va a ser igual a qué? A u + a. Entonces,
21:55 miren lo que va a pasar. La integral va a seguir con los mismos límites, no tiene problema. Ya no va a ser f de t- a sino fu. Multiplicado por euler a la menos I omega. Y ya no va a ser t, sino que va a ser u + a. por dt, pero dt es de du. Entonces va a quedar du y esto va a ser igual a la integral desde menos infinito hasta infinito de fdu por euler a la Iega U-mea por du.
22:41 Entonces, la transformada furier de la función ft - a va a ser igual a la integral desde menos infinito hasta infinito de fdu que multiplica a euler. Fíjense que acá hay una resta de dos términos en un euler. Esto es lo mismo que tener euler a la - i omega u por euler a la - i omega a * du. Si ustedes se dan cuenta, este término de acá es constante. Este término no depende de u. Entonces, lo puedo sacar de la integral. Me va a quedar que la transforma de furier de la función ft - a va a ser igual a euler a la pi omega a por la integral desde menos infinito infinito
23:28 de fdu que multiplica a euler a la i omega u* du. Y esta integral que está acá es la transformada de furier de la función ft. Entonces, al contrario que en el corrimiento en la frecuencia, fíjense que en el corrimiento en la frecuencia lo que hicimos fue multiplicar la función por una exponencial. En el corrimiento en el tiempo pasa lo contrario. Es decir, cuando yo hago un corrimiento en el tiempo, la transformada de furier se multiplica por este euler a la men a i omega, ¿sí? Que es el valor que que estábamos trabajando. Entonces, esto es algo particular. Un corrimiento en el
24:14 tiempo es como multiplicar la transformada de furier por euler a la menos ai omega. ¿Dónde está? Es esta. y un corrimiento en la frecuencia es tomar la función original y multiplicarla por ese mismo sí. Entonces ahí habla de un tema de simetría en la serie de furiar. Entonces vamos a resolver el siguiente ejercicio. ¿Qué nos está pidiendo este ejercicio? Vamos a determinar la transformada de furier. Sí, de la siguiente función de la siguiente función
25:02 utilizando la propiedad de corrimiento en el tiempo. Fíjense que ahí les estoy diciendo la propiedad que tienen que utilizar. Entonces ahí está la propiedad de corrimiento en el tiempo. Si yo tengo una función original y conozco su transformada de furier, entonces la transformada de furier de la nueva función es la original multiplicado por Euler. Básicamente es eso. Entonces, fíjense la función que me dan. Me dan gt - 2. Acuérdense que GDT nosotros la habíamos definido acá. GDT es esta función de acá. que es exponencial a la men t para t mayor que 0 y 0 en otro caso. Entonces vamos a escribir eso acá. Voy a escribir
25:53 Sí, voy a escribir acá escribir eh ta ta ta la transforma de furier de perdón, voy a escribir GDT primero. Primero porque siempre necesito la función original. Entonces, gt es igual a euler a la - t si t es mayor o igual que 0 y vale 0 si t es menor que 0. Entonces esta es la función original y también habíamos visto la transformada de furior de la función GDT. Ya la habíamos calculado, ¿no? La tenemos que volver a calcular. La transforma de furias de la función GDT es
26:40 esta de acá. A ver, acá 1 sobre 1 + omega i 1 sobre 1 + omega i. Mirenla ahí. Sí, esta es la transforma de la función GDT. Pero ahora tengo la función es GDT. corrida dos unidades en el tiempo. Esto es lo mismo que tener Euler a la menos t - 2 si t es mayor o igual que 0 y 0 si t es menor que 0 cer. Entonces ahí ya tengo la función corrida en el tiempo y quiero hallar la
27:26 transformada furier de la función gt - 2 corrida en el tiempo. Acuérdense que esta es f de omega g de omega, perdón, la función original, la transformada furi de la función original. Entonces, según la propiedad de corrimiento respecto al tiempo, la transformada furi de gt - 2 va a ser igual a g de omega, la transformada furior de la función original por euler a la menos a cuánto vale acá. Sí, si ustedes se dan cuenta, a es igual a 2. Sí. Entonces acá me va a quedar e a la menos 2 i
28:14 omega, este de acá y g de omega dijimos que era 1 sobre 1 + omega i por euler a la -2i omega. O sea, que la transforma de furier de la función g de t - 2 es igual a euler a la -2i omega dividido 1 + omega i sí. Y aquí está la transformada de furier sin hacer operaciones matemáticas nuevas, sin resolverla completamente. Entonces, básicamente voy a demostrarlo acá utilizando
29:03 eh maldap. Sí, voy a definir la función. Dijo que la función G es igual a exponencial de - T. exponencial de - t, ¿cierto? Y la transformada de furier de la función G va a ser igual a No, tengo las integrales aquí escritas abajo. Voy a aprovechar que ya las tengo escritas acá. Transforma de furier de la función G va a ser igual a la integral de G multiplicado por el exponente a la -1 J t para t desde hasta infinito, ¿cierto? Entonces ahí me queda el resultado como
29:51 tal y vamos a ver. Ah, okay. Pero esto es t - 2, ¿cierto? Esto va a ser t - 2. A ver cómo nos queda esta integral. Fíjense acá dice exponencial de 2 dividido 1 + omega e mm ta. Y este límite de acá que va a dar cero. Este límite de acá va a dar cero. Va a pasar lo mismo que nos pasó ahora, ¿cierto? 2 i omega exponencial.
31:02 Ah, perdón, es que la integral acá no, la integral está Bien. Integrales con respecto al tiempo. Ajá. T - 2. Sí G. T para t e infinito. Hicimos un corrimiento. Acá será desde dos hasta infinito. Miremos a ver. Ah, sí, señor. El límite también se corre. Esto es algo interesante. Sí. Y es que si yo corro T, tengo que correr
31:48 acá también. Sí. Entonces todos los t, incluyendo los intervalos, se van a correr o si no no tendría sentido. Entonces voy a organizar esto acá porque los intervalos también se tienen que correr, ¿cierto? Entonces, esto nos va a quedar si tor o igual que 0, sino que si es mayor o igual a 2 y t menor o que 2. Entonces, ahorita sí nos queda la función corrida en el tiempo. Entonces, ahorita sí nos va a dar el mismo resultado, que es este de acá. Mírenlo ahí. sería exponencial de -
32:34 omega * 2i, que es este de aquí arriba, dividido 1 + omega i y este límite de acá, pues va a tender a cero. Entonces, sí nos queda ese resultado y con eso ya queda comprobada la propiedad de corrimiento respecto al tiempo. Sí, van las cuatro propiedades. Propiedad de la linealidad, propiedad de dilatación, propiedad de corrimiento en la frecuencia, propiedad de corrimiento en el tiempo. Sí. Y ahora vamos a ver una propiedad que se llama la propiedad de la simetría. Sí, queremos ver qué
33:22 pasa si le saco la transformada de furier a la transformada de furi de una función. Entonces, fíjense en esto. Yo tengo una función ft a la que le saco la transformada y me da f de omega. ¿Sí? Entonces, lo que voy a hacer ahora es un cambio de variable. Voy a definir ft, o sea, es decir, ft significa que voy a reemplazar donde haya omega por t. Sí. Y esa función ft, sí, esa función ft es a la que le voy a sacar la transformada furial. Sí, esta función ft es a la que le voy a volver a sacar la transformación furial. Pero
34:07 antes de eso, recordemos que ft es igual a la transformada inversa de fωega. O sea, si yo agarro ft, ft es lo mismo que tener la transformada inversa de furier de f de omega. Si yo a f de omega le saco la transformada inversa, obtengo ft. Tomada inversa se define como 1 sobre 2 pi la integral de menos infinito infinito de la función multiplicada por el euler, ¿cierto? Entonces, este 2 pi que está acá dividiendo, lo paso acá multiplicar y me queda esta expresión que ustedes ven acá. Y lo que voy a hacer ahora es reemplazar t * - t. Entonces, si reemplazo t * - t, esto queda igual,
34:53 pero este euler va a quedar negativo, que acá es positivo. ¿Sí? Y lo que voy a hacer ahora es reemplazar la t por omega. ¿Sí? O sea, donde haya t lo voy a intercambiar por omega y donde haya omega la voy a intercambiar por t. Entonces, fíjense que acá me queda f de - y acá me queda ft y acá me queda igual porque si cambio omega por t, a t lo cambio por omega, entonces me queda igual. Y acá en vez de d omega queda dt, ¿sí? Y esta expresión que
35:38 ustedes ven acá es igual a la transformada de furier de ft. T. O sea, esta función la transformada de furier, sí me queda. Entonces, como que la transformada de furier es una operación cíclica. En otras palabras, si yo tengo una función ft a la que le saco la transforma de furiera y me da f de omega, entonces si ahora le saco la transforma de furiera ft reemplazando omega * t, ¿sí? y le vuelvo a sacar la transforma de furier. Esto es igual a dos veces la función, pero evaluada en - sí, básicamente eso es lo que nos dice la propiedad de la simetría.
36:23 Sí, eso es lo que nos dice la propiedad de la simetría. Entonces, fíjense en lo siguiente. Vamos a hacer determinar la transformada furier de la siguiente función utilizando la propiedad de la simetría. Entonces primero esta es la función que me dan. ¿Sí? Esta es la función que me dan. Entonces, lo que voy a hacer es muy sencillo. Voy a decir, miren, esta función de acá sale de yo considerar ft igual a euler a la men t cuad. Si yo le saco la transformada de furier a la función f(t), esto me va a dar raíz de pi
37:09 por euler la - omega al cuad sobre 4. Y lo que voy a hacer ahora, este es f de omega. Voy a reemplazar acá omega por t y miren, me queda esta función que está acá. ¿Sí? Y ahora lo que voy a hacer es sacarle la transformada de fiert. T utilizando la propiedad de la simetría. La transformada de la función f(d) va a ser igual a 2 pi por la función f de - pero la función original f es esta de acá. Euler a la men t cuad. O sea, esto es 2 pi por euler a la menos - omega al
37:58 cuadrado. O sea, esto es igual a 2 pi por euler a la - omega². Y esta es la transformada de furier de la función ft que está allá. Si utilizando la propiedad de la simetría. Fíjense que no tuve que resolver integrales ni nada. Entonces, vamos a verlo acá. Vamos a demostrarlo acá en maldap. Sí, voy a definir la función f igual a pi a la 1/2 pi a la 1/2
38:45 por euler, que es exponencial de menos t²ad dividido 4, que es esta expresioncita que está acá, t cuad sobre 4 y le voy a sacar la transforma de furier a esa función. Entonces, le voy a sacar la transformar, decir furier de f mayúscula. A ver qué nos da. Bien, acá nos dieron unos valores hermosísimos. A ver si lo dejo solo con P. A ver cómo no lo tira. A verlo acá. Entonces me dice que esto es igual a 2 *
39:31 pi a la 1/2 por pi a la 1/2. Pi a la 1/2* pi a la 1/2 pues me da pi, ¿cierto? raíz de pi* pi me da pi, o sea, 2 pi, vanlo acá, por el exponencial de - omega cuadrado. Entonces, ahí se comprueba el resultado de esta propiedad de la simetría. ¿Listo? Bien. Linda, linda esa propiedad de la simetría. Propiedad de la simetría. Básicamente lo que me está diciendo es que si yo le saco la transforma de furier y vuelvo a sacar la transforma de furier, regreso a la función original multiplicada por - pi. Y eso última propiedad finally. La última propiedad
40:16 se llama la propiedad de las funciones periódicas. Transforma de Fulier de una función periódica. Entonces, si ustedes se acuerdan de esto, esto de acá es la serie de Furier compleja. Serie de Furier compleja de una función. Esta es la versión compacta de la serie de Furier. Entonces, la serie de Furier compleja de una función representa una función periódica. Y básicamente lo que nos está diciendo esto es lo siguiente. Vamos a sacarle la transforma de furier a esta función periódica que se expresa con esta serie de furiera. ¿Sí? Entonces si yo le saco la transforma de furiera f(t),
41:02 pues es lo mismo que tener la integral desde menos infinito infinito de la sumatoria de f(t. T. ft es esta sumatoria con n desde infinito hasta infinito. Es su n por euler a la n pi t * i dividido l por dt. Okay, perdón, esa es la función. Esta es ft. Todo esto que escribía acá es ft. Y esto hay que multiplicarlo por ebler a la i om t * por dt. Y esta es la transformada furial. Esto es una integral, esto es una sumatoria, las puedo intercambiar. C subn es una constante, la puedo sacar de la integral. Entonces, la transforma de
41:47 folier de la función f(t) va a ser igual a la sumatoria con n desde infinito hasta infinito de la integral de ese sub n, perdón, de la integral de menos infinito infinito de euler a la n * t * i dividido n por euler a la - i om t por dt. Entonces, si ustedes se dan cuenta, esto es lo mismo que yo sacarle la transformada de furier a esta función que es una función multiplicada por ebler a la men d. Entonces, por eso la transforma de furia de la función ft que
42:34 a la sumatoria se suben por la transforma de furia de esta función de acá. Y si ustedes se acuerdan, esto es lo mismo que tener 1 * e a la i a t, donde la constante a eso. Y la transformada furiar de la función 1 es 2 pi por delta. Transforma furi de la función 1 es 2 pi por delta de Irak. Sí. Y esto es corrimiento en el en el en la frecuencia. Entonces, si yo multiplico una función 1 por e o es la i a t, entonces me va a quedar su n por 2 pi.
43:21 Es 2 pi, perdón, 2 pi por delta de omega - n pi sobre l, que es a. Este es el corrimiento en la frecuencia. Entonces, cualquier función periódica me va a dar una delta con un máximo en el corrimiento de la frecuencia. Lo que se haya corrido la frecuencia, ¿sí? O sea, la frecuencia porque este a es la misma frecuencia sí, natural de vibración del sistema. Entonces, la transforma de furi me sirve para eso y me piden entonces ahora determinar la transforma de furier de la siguiente función periódica utilizando la propiedad de la transformada de una función periódica. Me dicen ht es igual
44:07 a eer a la - t. Entonces, tengo que expresar esta función que va desde - pi hasta pi en términos de eh en términos de de la serie compleja de furier. Y ahí repasamos la serie compleja furier. Entonces, HDT yo la puedo escribir como la sumatoria con n desde infinito está infinito. Entonces, un n por euler a la n t por i sobre m. Sí. Y lo que tengo que hallar es su n.
44:53 Entonces c por definición es 1 sobre 2 pi, perdón, 1 sobre 2L. 1 sobre 2L porque bueno, periodo es 2 pi y esto es 2L, o sea, que L es igual a pi de la integral desde - L hasta L de la función ht que multiplica a euler a la - n pi t pi sobre l que es pi. Pi con pi se cancela y esta integral en respecto a dt. Entonces vamos a resolverlo con más lámina esta integral.
45:42 Resolviendo esta integral con malabo acá, tuun voy a mi código de integrales. Si es esto, está bien. Entonces voy a definir esa función. Voy a borrar esto. Sí. Y voy a definir esa función. C no lo voy a borrar, lo voy a dejar ahí porque me sirve en algún momento, pero sí lo voy a comentar para que no interfiera con el resultado del programa. Y acá entonces lo que voy a hacer es lo siguiente, definir h igual a exponencial de - t.
46:29 Sí, esta es la función que voy a hallar. Voy a hallar su n, que es el coeficiente de furier, va a ser igual a eh ah, tengo que definir L. Entonces, voy a decir que el periodo es 2* pi. Acuérdense que yo no uso pi, uso p y voy a decirle que l es igual al periodo dividido 2. Voy a hallar c sub n. se suben es 1 dividido 2 * L. Perfecto. multiplicado por la integral por la integral de exponencial de perdón htal
47:18 de h por el exponencial de - n por t * i 1 j, perdón, que es la unidad imaginaria más lá. Esta integral va a ir en términos de t y va a ir desde - l hasta l. Creo que esto es lo que quiero que resuelva. Sí, vamos a darle clic acá. Y bien, acá ya nos entregó el resultado. Esto es lo que vale el coeficiente C. Después de resolver esa integral. Control V.
48:07 O sea, acá ya tenemos el resultado. Bien entonces la integral va a ser igual a menos el exponente de pi de menos pi, perdón, que multiplica al exponente de menos a ver otra vez menos euler a la - pi por euler la n pi por i por euler
48:54 a la 2 pi por euler. Este es este de acá es este. Este de acá es este, este de acá es este y este de acá es este. Exponencial de n pi por 2i. Entonces acá este por este, los dos primeros se multiplican y aquí viene un paréntesis así. Mm.
49:41 Todo esto por i, que sería este de acá, menos pi, cierro paréntesis. Todo esto dividido 2 pi por n - 1 n- i. Sí. Bien, este es el resultado. Todo esto dividido 2 pi* n - i. Sí, esta es la transforma de furier.
50:30 Eh, perdón, este es el coeficiente C de esa función. que estamos trabajando nosotros ahí. Bien. Y bueno, este es su n. Si este es su n, entonces eh HDT básicamente es la sumatoria con n desde infinito hasta infinito de c sub n, que es todo este coeficiente por ebler a la n. Bueno, pi vale l vale pi. Entonces acá simplemente va a quedar n * t.
51:17 Y esta va a ser la serie de furial. Entonces ahora lo que el problema nos está pidiendo es hallar la transformada furiar de ht de esa función periódica. La transformada furiar de esa función HDT, básicamente por la propiedad de la transformada de funciones periódicas va a ser c * 2 pi* delta, o sea, la transforma de furier de la función ht va a ser igual a 2 pi por delta de omega a - N pi sobre L, que es pi,
52:02 n pi sobre L, que es este de acá. Ah, y su sub n, perdón, multiplicado por su sub, o sea, va a ser omega men exactamente. Y ese es el resultado final. Esta es la transformada furier de la función. HDT. Me costó más calcularse su N que calcular la transformada de la función. ¿Listo? Entonces, con esto ya tenemos todas las propiedades de la transformada furier y ya podemos trabajar. Nos vemos en clase.
