Resumen Breve
Este video es una recopilación de varios videos sobre cómo resolver ecuaciones cuadráticas. Cubre ecuaciones completas e incompletas (cuando b=0 o c=0), el uso de la fórmula general y la completación de cuadrados.
- Ecuaciones cuadráticas completas e incompletas.
- Resolución mediante factorización, fórmula general y completación de cuadrados.
- Ejemplos prácticos y demostraciones.
Bienvenida
El video es una recopilación de varios videos en los que se explica cómo resolver ecuaciones cuadráticas completas e incompletas, utilizando la fórmula general y completando cuadrados.
Introducción
Una ecuación cuadrática se expresa como ax² ± bx ± c = 0, donde a, b y c son coeficientes (números o letras) y x es la variable. Es importante que a sea diferente de cero. Si b y c son distintos de cero, la ecuación es completa; si b o c son iguales a cero, la ecuación es incompleta. Si b=0, no existe el término con solo x; si c=0, no existen términos sin la variable.
Ecuaciones completas
Para resolver ecuaciones cuadráticas completas, se factoriza el trinomio. Por ejemplo, para x² - 6x + 8 = 0, se factoriza como (x - 4)(x - 2) = 0. Luego, se iguala cada factor a cero y se despeja x, obteniendo x = 4 y x = 2. Para comprobar, se sustituyen estos valores en la ecuación original para verificar la igualdad. En otro ejemplo, 3x² + 2x = 5, primero se iguala a cero (3x² + 2x - 5 = 0). Se multiplica y divide por el coeficiente de x² (en este caso, 3) para facilitar la factorización, resultando en (3x + 5)(x - 1) = 0. Se iguala cada factor a cero y se despeja x, obteniendo x = -5/3 y x = 1.
Ecuaciones incompletas c=0
Las ecuaciones cuadráticas incompletas donde c = 0 se resuelven sacando factor común. Por ejemplo, en 4x² + 7x = 0, el factor común es x, resultando en x(4x + 7) = 0. De aquí se obtienen dos ecuaciones: x = 0 y 4x + 7 = 0. Despejando, se encuentra que x = 0 y x = -7/4. En otro ejemplo, 3x² = 18x, primero se iguala a cero (3x² - 18x = 0). El factor común es 3x, resultando en 3x(x - 6) = 0. De aquí se obtienen 3x = 0 y x - 6 = 0, dando como soluciones x = 0 y x = 6.
Ecuaciones incompletas b=0
Para ecuaciones cuadráticas incompletas donde b = 0, se despeja la variable. Por ejemplo, en x² - 25 = 0, se factoriza como una diferencia de cuadrados: (x + 5)(x - 5) = 0. Esto da como soluciones x = -5 y x = 5. Alternativamente, se puede despejar directamente: x² = 25, entonces x = ±5. En otro ejemplo, 2x² - 8 = 0, se despeja x²: x² = 4, entonces x = ±2. Si al despejar se obtiene un número negativo dentro de la raíz cuadrada (por ejemplo, x² = -25), la ecuación no tiene solución en los números reales, pero sí en los números complejos (x = ±5i).
Fórmula general
La fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas es x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a. Esta fórmula se aplica a cualquier ecuación cuadrática, ya sea completa o incompleta. Para usarla, primero se identifican los valores de a, b y c en la ecuación. Por ejemplo, en 2x² - 5x + 3 = 0, a = 2, b = -5 y c = 3. Se sustituyen estos valores en la fórmula y se simplifica para obtener las soluciones. En el ejemplo dado, las soluciones son x = 1 y x = 3/2. En otro ejemplo, 3x² - 7x = -4, primero se ordena la ecuación como 3x² + 7x - 4 = 0. Aquí, a = 3, b = 7 y c = -4. Al sustituir en la fórmula, se obtienen dos soluciones: x = (-7 - √97)/6 y x = (-7 + √97)/6, que pueden aproximarse a decimales usando una calculadora.
Completación de cuadrados
Para resolver ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado, primero se asegura que el coeficiente de x² sea 1. Luego, se traslada el término constante al segundo miembro. Se divide el coeficiente de x entre 2 y se eleva al cuadrado, sumando este valor a ambos lados de la ecuación. Esto crea un trinomio cuadrado perfecto en el primer miembro, que se factoriza como un binomio al cuadrado. Finalmente, se saca la raíz cuadrada a ambos lados y se resuelve para x. Por ejemplo, en x² + 12x + 27 = 0, se reescribe como x² + 12x = -27. Se divide 12 entre 2 (resultando en 6) y se eleva al cuadrado (36), sumando 36 a ambos lados: x² + 12x + 36 = -27 + 36. Esto se factoriza como (x + 6)² = 9. Sacando la raíz cuadrada, se obtiene x + 6 = ±3, dando como soluciones x = -9 y x = -3. Si el coeficiente de x² no es 1, se divide toda la ecuación por ese coeficiente antes de continuar.
