Resumen Breve
Este video de Matemóvil explica cómo calcular el valor esperado (media) y la varianza de una variable aleatoria que sigue una distribución de Bernoulli. El video utiliza un problema de un examen de práctica del MIT para ilustrar los conceptos. Los puntos clave son:
- La media de una distribución de Bernoulli es igual a la probabilidad de éxito (p).
- La varianza de una distribución de Bernoulli es igual a p * (1 - p), donde (1 - p) es la probabilidad de fracaso.
- Se presenta una tabla para organizar los valores y probabilidades de la variable aleatoria.
- Se utilizan fórmulas específicas para calcular la media y la varianza de manera eficiente.
Introducción
Jorge de Matemóvil presenta un problema del examen de práctica del curso de probabilidad y estadística del MIT. El problema número 10 pide calcular el valor esperado y la varianza de una variable aleatoria de Bernoulli con parámetro p. El examen estará disponible para su descarga en la descripción del video.
Definición de la Variable Aleatoria y la Tabla de Probabilidades
Se define la variable aleatoria discreta X que sigue una distribución de Bernoulli con parámetro p. Se construye una tabla donde X toma el valor de 0 para el caso de fracaso y 1 para el caso de éxito. La probabilidad de éxito (P(X=1)) es p, y la probabilidad de fracaso (P(X=0)) es 1-p.
Cálculo de la Media (Valor Esperado)
Se explica cómo calcular la media o valor esperado de X utilizando la fórmula: E(X) = Σ(x * f(x)). Se aplica la fórmula a la tabla, multiplicando cada valor de X por su respectiva probabilidad y sumando los resultados: (0 * (1-p)) + (1 * p) = p. Por lo tanto, la media de la distribución de Bernoulli es igual a p.
Cálculo de la Varianza
Se explica cómo calcular la varianza (σ²) de la variable aleatoria. Se presenta una fórmula simplificada: V(X) = Σ(x² * f(x)) - μ², donde μ es la media. Se aplica la fórmula: ((0² * (1-p)) + (1² * p)) - p² = p - p². Se factoriza la expresión para obtener V(X) = p * (1 - p).
Resultado Final y Aplicación
Se resume el resultado: la varianza de una variable aleatoria de Bernoulli es igual a p * (1 - p), donde p es la probabilidad de éxito y (1 - p) es la probabilidad de fracaso. Se menciona que si en un ejercicio se da el valor de p, simplemente se reemplaza en las fórmulas para calcular la media y la varianza. Se invita a ver más clases del curso de estadística en el canal.
