Resumen Breve
Este video ofrece una introducción a la ecuación de Schrödinger, una de las ecuaciones más importantes en la física cuántica. Se explora la historia de Erwin Schrödinger, el desarrollo de la ecuación, sus componentes y cómo se utiliza para entender el comportamiento de las partículas a nivel cuántico. También se discute la interpretación probabilística de la función de onda y se aplica la ecuación a un ejemplo concreto: una partícula en una caja.
- Historia de Erwin Schrödinger y su camino hacia la ecuación.
- Explicación de la ecuación de Schrödinger y sus componentes.
- Interpretación probabilística de la función de onda.
- Aplicación de la ecuación a un sistema simple: la partícula en una caja.
Introducción
El video presenta la ecuación de Schrödinger como un pilar fundamental de la mecánica cuántica, esencial para comprender el universo a nivel atómico y subatómico. El objetivo es proporcionar una visión general que prepare al espectador para abordar textos más avanzados sobre mecánica cuántica.
La Historia de Schrödinger
Erwin Schrödinger nació en Viena en 1887 y demostró talento en matemáticas y física desde joven. Después de obtener su doctorado en 1910 y servir en la Primera Guerra Mundial, ocupó varios puestos en universidades europeas antes de establecerse en Zúrich. En 1925, a los 37 años, Schrödinger comenzó a cuestionarse si lograría hacer una contribución significativa a la física.
El Nacimiento de la Ecuación de Schrödinger
En 1925, Schrödinger se inspiró en un artículo de Einstein que mencionaba la tesis de Louis de Broglie sobre la dualidad onda-partícula. De Broglie propuso que las partículas, como los electrones, también pueden comportarse como ondas, asociando una longitud de onda y frecuencia a cada partícula. Schrödinger, motivado por esta idea, buscó una ecuación de onda que describiera el comportamiento de estas ondas de materia, lo que lo llevó a desarrollar la ecuación de Schrödinger.
Repaso de las Ondas Clásicas
Se revisan las propiedades de las ondas clásicas, describiendo una onda progresiva simple con una función coseno, donde la función de onda y(x,t) representa el desplazamiento en la posición x y el tiempo t, A es la amplitud, k es el número de onda (2π/λ) y ω es la frecuencia angular (2πf). Esta función es una solución a la ecuación de onda general, y se verifica sustituyendo la función coseno en la ecuación y demostrando que se cumple la relación v = fλ.
La Ecuación de Schrödinger
Schrödinger buscó una ecuación de onda para las partículas, inspirándose en la dualidad onda-partícula de De Broglie. Asumiendo que las partículas en movimiento libre pueden describirse con una onda progresiva, se enfrenta al desafío de que la longitud de onda cambia si actúa una fuerza sobre la partícula. Schrödinger buscó una ecuación que determinara la función de onda basándose en la energía potencial asociada a la fuerza que actúa sobre la partícula.
Construyendo la Ecuación
Para construir la ecuación de onda cuántica, se establecen varios supuestos: debe ser consistente con las relaciones de De Broglie-Einstein, la ecuación de energía (E = p²/2m + V), ser lineal en la función de onda ψ para permitir la superposición e interferencia, y tener soluciones de onda sinusoidal para potenciales constantes. Usando estos principios, se manipulan las ecuaciones de energía y las relaciones de De Broglie-Einstein para llegar a una forma de ecuación diferencial que podría describir el comportamiento de las partículas cuánticas.
Resolviendo la Ecuación
Se intenta construir la ecuación de Schrödinger, partiendo de la relación de energía y las relaciones de De Broglie-Einstein. Se busca una ecuación diferencial que contenga derivadas segundas con respecto al espacio y primeras con respecto al tiempo, además de un término con la función de energía potencial. Se introduce una función de onda general y se ajustan constantes para asegurar la consistencia con las relaciones de De Broglie-Einstein, lo que lleva a la introducción de números imaginarios y finalmente a la forma de la ecuación de Schrödinger.
La Ecuación Final de Schrödinger
La ecuación de Schrödinger obtenida satisface los supuestos iniciales y se postula que es válida en general, incluso cuando la energía potencial varía con el tiempo y el espacio. Esta ecuación permite calcular la función de onda asociada al movimiento de una partícula bajo la influencia de fuerzas descritas por la función de energía potencial.
¿Qué Significa la Ecuación?
La ecuación de Schrödinger permite determinar la estructura de la función de onda asociada a una partícula, especificando primero la función de energía potencial y luego resolviendo la ecuación diferencial parcial correspondiente. Sin embargo, surge la pregunta de qué representa exactamente la función de onda y cómo se relaciona con la partícula.
Números Complejos y la Función de Onda
La función de onda es una función compleja, lo que implica que no se le puede asignar una existencia física directa como a las ondas de agua. Se explica que un número complejo tiene una parte real y una imaginaria, y que la función de onda cuántica especifica simultáneamente dos funciones reales. Se introduce el concepto del conjugado complejo y el módulo al cuadrado de un número complejo, que siempre es un número real no negativo.
Interpretación Probabilística de Born
Max Born propuso que el módulo al cuadrado de la función de onda representa la probabilidad de encontrar una partícula en una ubicación específica en el espacio. Esta interpretación introduce una indeterminación en la mecánica cuántica, ya que solo ofrece información estadística sobre los posibles resultados de las mediciones.
Resolviendo la Ecuación de Schrödinger: Separación de Variables
Se introduce la técnica de separación de variables para resolver la ecuación de Schrödinger, buscando soluciones donde la función de onda se escribe como el producto de una función de la posición y una función del tiempo. Este método es válido si la energía potencial es independiente del tiempo. La separación de variables transforma la ecuación diferencial parcial en dos ecuaciones diferenciales ordinarias, una para la posición y otra para el tiempo.
Resolviendo la Ecuación Dependiente del Tiempo
Se resuelve la ecuación diferencial para la parte temporal de la función de onda, encontrando que la solución es una función exponencial compleja. Se utiliza la ecuación de Euler para reescribir la función exponencial en términos de funciones trigonométricas, mostrando que la función temporal es oscilatoria. Se identifica la constante de separación como la energía del sistema, lo que lleva a una expresión para la función temporal en términos de la energía.
La Ecuación de Schrödinger Independiente del Tiempo
Se sustituye la solución temporal en la ecuación general, lo que lleva a la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Las soluciones de esta ecuación determinan la dependencia espacial de la función de onda y se denominan funciones propias (eigenfunctions). La función de onda completa se obtiene multiplicando la función propia por el factor temporal.
Ejemplo: Partícula en una Caja
Se aplica la ecuación de Schrödinger a un ejemplo específico: una partícula confinada en una caja unidimensional de ancho a. Se define la energía potencial como cero dentro de la caja e infinita fuera de ella, lo que implica que la función de onda debe ser cero fuera de la caja. Se busca la forma de la función de onda dentro de la caja resolviendo la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo.
Resolviendo la Ecuación Dentro de la Caja
Dentro de la caja, donde la energía potencial es cero, la ecuación de Schrödinger se simplifica. La solución general a esta ecuación es una combinación lineal de funciones seno y coseno. Se aplican las condiciones de contorno, que requieren que la función de onda sea continua en los bordes de la caja, lo que lleva a la cuantización de la energía y a la determinación de las funciones propias.
Cuantización de la Energía
La aplicación de las condiciones de contorno revela que la energía de la partícula está cuantizada, es decir, solo puede tomar ciertos valores discretos que dependen de un número entero n. La energía más baja posible no es cero, sino un valor mínimo determinado por la confinación de la partícula. Se combinan los resultados para obtener la función propia y la función de onda completa para la partícula en la caja.
Normalización de la Función de Onda
Se determina el valor de la constante A en la función de onda asegurando que la probabilidad total de encontrar la partícula dentro de la caja sea igual a uno. Este proceso se conoce como normalización de la función de onda. Se calcula la integral del módulo al cuadrado de la función de onda y se iguala a uno, lo que permite encontrar el valor de A.
Estados Estacionarios y Densidad de Probabilidad
Se explica que la función de onda obtenida describe un estado estacionario, donde la densidad de probabilidad no depende del tiempo. Se grafican las densidades de probabilidad para diferentes valores de n, mostrando cómo cambia la probabilidad de encontrar la partícula en diferentes ubicaciones dentro de la caja. Se observa que a medida que n aumenta, el comportamiento cuántico se acerca al comportamiento clásico.
Teoría de la Probabilidad
Se introduce una breve revisión de la teoría de la probabilidad, incluyendo conceptos como la probabilidad de un evento, el valor esperado (promedio), la varianza y la desviación estándar. Se explica cómo estos conceptos se aplican tanto a variables discretas como continuas.
Teoría de la Probabilidad en Mecánica Cuántica
Se muestra cómo los resultados de la teoría de la probabilidad se traducen a la mecánica cuántica, donde el módulo al cuadrado de la función de onda se interpreta como la función de densidad de probabilidad. Se calcula el valor esperado de la posición de una partícula en el estado fundamental del pozo cuadrado infinito.
Valor Esperado de la Posición
Se calcula el valor esperado de la posición de la partícula en el estado fundamental del pozo cuadrado infinito, mostrando que es igual a a/2, es decir, el centro de la caja. Se destaca que este valor es constante y no depende del tiempo, lo cual es una característica de los estados estacionarios.
Estados Estacionarios y Energía Definida
Se explica que los estados estacionarios tienen una energía definida, lo que significa que la incertidumbre en la energía es cero. Se introduce el operador hamiltoniano y la ecuación de autovalores de la energía, mostrando que las funciones propias del hamiltoniano describen estados con una energía bien definida.
Resumen de Conceptos Clave
Se resumen los conceptos clave cubiertos hasta el momento, incluyendo la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, la separación de variables, la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, el operador hamiltoniano, los estados estacionarios, los autovalores de energía y las funciones propias.
Superposición Lineal de Estados Cuánticos
Se explica que, debido a la linealidad de la ecuación de Schrödinger, cualquier combinación lineal de funciones de onda también es una solución. Esta combinación lineal se conoce como superposición de estados cuánticos. Se discute cómo normalizar una función de onda general que es una superposición de estados propios.
Significado Físico de los Coeficientes
Se calcula el valor esperado de la energía y la energía al cuadrado para una función de onda general que es una superposición de estados propios. Se demuestra que el módulo al cuadrado de los coeficientes en la superposición representa la probabilidad de medir un valor particular de energía.
Ejemplo Concreto: Superposición de Estados
Se considera un ejemplo específico donde una partícula en el pozo cuadrado infinito tiene una función de onda inicial que es una mezcla uniforme de los dos primeros estados estacionarios. Se normaliza esta función de onda y se calculan los coeficientes de la superposición.
Incertidumbre en la Energía
Se calcula la incertidumbre en la energía para el ejemplo de la superposición de estados, mostrando que no es cero. Se explica que los estados cuánticos con energía incierta se denominan estados no estacionarios y tienen propiedades observables que cambian con el tiempo.
Densidad de Probabilidad Dependiente del Tiempo
Se calcula la densidad de probabilidad para la superposición de estados, mostrando que oscila en el tiempo. Esto implica que la ubicación donde es más probable encontrar la partícula también cambia con el tiempo. Se calcula el valor esperado de la posición, mostrando que también oscila alrededor del centro de la caja.
Conexión con el Modelo de Bohr
Se establece una conexión entre el análisis de la partícula en la caja y el modelo de Bohr del átomo. Se explica cómo la oscilación de la densidad de probabilidad en la superposición de estados corresponde a la emisión de radiación cuando un electrón hace una transición entre dos niveles de energía.
Estabilidad de los Átomos
Se discute cómo la mecánica cuántica resuelve la paradoja de la estabilidad de los átomos. En el estado fundamental, la distribución de carga del electrón es estática y no emite radiación. Sin embargo, cuando un electrón hace una transición entre estados excitados, la distribución de carga oscila y emite radiación con una frecuencia que coincide con la predicha por el modelo de Bohr.
Conclusión
Se concluye el video, destacando que se han cubierto algunos de los conceptos más importantes en un curso introductorio de mecánica cuántica. Se anuncia un próximo video sobre el túnel cuántico. Se finaliza con una cita de Schrödinger sobre la dificultad de expresar el pensamiento a través de las palabras.
