Análisis Estructural 1 - Conceptos Básicos

0:15 Buen día a todos. Mi nombre es Josep Quispe. Soy Bachiller en Ingeniería Civil de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Conmigo vamos a ver el curso de Análisis Estructural 1. Para empezar, En esta primera semana vamos a tocar algunos conceptos básicos que hay que conocer y bueno, antes que todo una breve introducción al diseño y análisis de estructuras. Vamos a ver las etapas. que intervienen en el análisis y diseño de una estructura.

1:03 Primero, como datos iniciales, debemos conocer el tipo de estructura, el cual vamos a analizar, que puede ser un puente, puede ser una edificación destinada a cualquier uso, oficinas, viviendas, otro tipo de estructura puede ser tanques elevados, reservorios, presas, todo ello. Ahora, conociendo esto, debemos saber cuál es el material predominante que vamos a utilizar, que... que vale de que debemos conocer las propiedades también físico-mecánicas de cada material, ¿no? Y eso nos va a servir también para poder conocer el peso total de la estructura, ¿no? Conociendo su peso volumétrico. Luego de esto debemos realizar una investigación de cargas. Es decir, aparte de que nosotros ya conociendo el peso volumétrico de cada uno de los elementos... Podemos determinar el peso propio, pero también debemos incluir otro

1:52 tipo de cargas, como son las cargas vivas. Que eso depende primero del tipo de estructura el cual vamos a analizar y también el uso al que está destinado. No es lo mismo la carga viva de una vivienda que la carga viva de una oficina, por ejemplo. Ahora, también podemos considerar cargas ambientales que dependen del área geográfica donde se encuentra la estructura. De repente ahí influye la nieve que hay, la lluvia, si es una zona muy lluviosa, pues, ¿no? Y también el viento. Ahora también podemos incluir, pues, cargas dinámicas, como son, pues, los sismos, como son las explosiones, impacto y todo eso. Incluso también los cambios térmicos, ¿no? Porque de repente estamos en una zona muy calurosa o muy fría, ¿no? Y eso va a

2:39 influir también. Ahora, luego debemos establecer el predimensionamiento, que se refiere a determinar cuáles son las medidas exactas de cada uno de los elementos estructurales. Por ejemplo, en el caso de concreto armado, para determinar el peral de una viga o el largo y ancho de una columna, entonces tenemos como referencia el código de ASI, que nos da criterios para predimensionar. Sin embargo, esto también puede... puede influir también la experiencia que tenga el diseñador estructural. De repente ya, como tiene tantos años de experiencia, entonces ya por simple inspección ya puede terminar el predimensionamiento. Ahora, una vez que predimensionamos todo eso y con todos esos datos que ya obtuvimos, realizamos la estructuración. Es decir, la configuración de elementos estructurales dentro de toda la estructura en

3:27 conjunto, donde voy a ubicar cada uno, ¿no? Y eso va del criterio de que nosotros no podemos colocar los elementos así por así. De repente tenemos que tener simetría de elementos estructurales respecto a ambos ejes X y Y. También debemos considerar que la rigidez de cada piso no puede variar mucho con respecto al piso siguiente. Deben ser parecidos por ahí. Y así, más criterios que vamos a ver más adelante. Ahora, cuando yo realicé mi investigación de cargas y todo eso, entonces nosotros debemos conocer el valor numérico exacto ya de cada una de las cargas para poder insertarlos en nuestra estructura. Entonces, con todo esto pasamos a la idealización, al modelado. Es decir,

4:18 una vez que yo conozco el valor numérico de mis cargas y conozco también dónde ubico cada uno de mis elementos, yo ensamblo todos esos elementos, ¿no? Dentro de mi modelo. Y así obtengo el modelado de toda la estructura en general. Y a eso yo le voy a insertar los valores de las cargas. Entonces. Una vez obtenido eso. Procedo al análisis estructural. Que es lo que nosotros vamos a ver en el curso. Por eso es importante. Con el análisis estructural. Nosotros vamos a determinar la respuesta de la estructura. Es decir. Determinamos desplazamientos. deflexiones, esfuerzos, y esto nosotros tenemos que analizar, bueno, propiamente dicho, debemos analizarlo, ver si esos valores están dentro de lo

5:06 permitido, por ejemplo, ¿qué pasaría si, o sea, realizo todo mi análisis y me resultan momentos muy elevados? Entonces, hay algo que está mal ahí, ¿no? Entonces, si no está bien eso, entonces debemos pasar un reanálisis, o sea, de repente estoy haciendo un mal cálculo, ¿no? Entonces tengo que volverlo a hacer. Pero si yo veo que todo está conforme, si mis momentos están dentro de lo normal, están aceptables, ¿no? Si mis esfuerzos también están bien, entonces yo paso al diseño. O sea, como pueden ver, el análisis estructural no es el fin de todo esto. En realidad es un medio para llegar al diseño, que es mi objetivo final. Entonces, en el diseño yo debo verificar la seguridad, resistencia y servicio de la estructura. Ahí ya coloco, por ejemplo, ¿no?

5:52 cuánto de acero voy a colocar, ahí también, también debo determinar si es que son de estructuras de acero, por ejemplo, los tipos de perfiles que voy a utilizar y todo eso. Entonces, una vez que yo ya he diseñado, que yo ya sé más o menos dónde colocar cada uno de mis refuerzos y todo eso, entonces debo elaborar mis planos. Estos planos van a pasar pues a los... A la empresa, no, en este caso, supongamos, ¿no? Una empresa que va a realizar el proyecto, que va a construirlo. Entonces, nosotros debemos ser capaces de, en esos planos, brindarle todas las especificaciones técnicas, todos los detalles de cada uno de los elementos para que lo puedan entender bien y no existan problemas. Entonces, finalmente, cuando nosotros entregamos los planos, viene la parte de la elaboración del presupuesto, o sea,

6:42 del costo, con su metrado, ¿no? Y todo eso. Entonces, Aquí quiero detenerme porque al último cuando en los costos se observa de que es muy elevado. O sea, dentro de los costos se establece un ratio. Que es decir, el precio por metro cuadrado de edificación. Entonces, si observamos que el ratio de todo el diseño que hemos elaborado es muy elevado. Entonces quiere decir que algo está mal. Quiere decir, oye, de repente he sobredimensionado mi estructura. O sea, de repente yo, en mi inseguridad, hice unas dimensiones muy elevadas cuando no era necesario, era necesario menos. O de repente yo coloqué demasiado acero cuando tampoco era necesario. Entonces ahí me van a observar y yo tengo entonces que volver a diseñar. Vuelvo a esa

7:28 etapa. Entonces en el diseño, yo de repente me doy cuenta que algo ha salido mal. Entonces... ¿Qué puede haber pasado? Entonces, de repente es el caso del modelado, ¿no? Entonces, de repente debemos realizar una modificación ahí. Algo debe estar mal ahí. De repente no he colocado bien, no he ensamblado bien mis... Mis elementos. O también puede ser ya tema incluso de la estructuración. O sea, tengo que volver a reestructurar. Porque de repente, ¿no? Las condiciones en que yo he colocado mis elementos no son aptas, ¿no? Como les mencioné, o sea, debemos establecer una simetría. ¿No? Para colocar los elementos. Entonces, pero si no se cumple

8:13 esa simetría, entonces eso se va a ver reflejado en los valores, ¿no? Que voy a obtener al final dentro de la respuesta de la estructura. Puedo obtener... Por culpa de ello puedo tener valores muy grandes de los desplazamientos laterales. Entonces a eso voy. Entonces si todo está correcto, o sea si vuelvo a estructurar, idealizo mi modelo, realizo mi análisis y cuando realizo mi diseño me doy cuenta que está todo bien. Correcto, cumple todo y determina mi costo y es un costo aceptable con respecto al resto de edificaciones globales que ha habido dentro de la localidad o de la región. Entonces está todo correcto y he elaborado bien mi diseño estructural.

9:05 Ahora vamos a ver las cargas que actúan sobre las estructuras. Tenemos primero las cargas estáticas, que se les llama así porque no presentan variaciones considerables con respecto al tiempo. O sea, su magnitud prácticamente no va a variar considerablemente, ¿no? Para que la respuesta final sea variable. O sea, la respuesta final que yo tenga como resultado, en este caso, pues deformaciones, esfuerzos, van a tener un único valor. Entonces, primero tenemos las cargas muertas, que a esto se refiere pues con el peso propio de la estructura, que... Eso lo determinamos fácilmente conociendo las propiedades físico-mecánicas de cada uno de los elementos que tenemos dentro de la estructura. De ahí tenemos las cargas vivas. Eso se refiere al tránsito de personas, equipos, mobiliarios.

9:53 O sea que normalmente varían, ¿no? Pero ahora van a decir que si varían, entonces ¿por qué lo consideras dentro de cargas estáticas? Lo que pasa es que para casos prácticos, una normativa de referencia, en este caso la norma E020... establece un valor único, asumiendo como si ese fuese el valor máximo que pudiese haber, ¿no? Como carga viva. Porque en algún momento, en una edificación, ¿no? Pueden haber más personas y en otras circunstancias puede haber menos. Sin embargo, la normativa establece un valor único. para casos más prácticos. Y después tenemos las cargas ambientales. Esto depende del área geográfica en que se encuentra la estructura, por algo se le llama ambientales, o sea, responden al ambiente en el que está. Y dentro de estas

10:40 podemos encontrar primero el viento. Más que todo esto se utiliza para estructuras altas, para edificios bastante elevados, entonces ahí el viento va a ejercer una presión considerable que debe ser analizada. Después tenemos la nieve en zonas donde hace bastante frío, donde las temperaturas son bastante bajas. Entonces como se puede observar ahí ven que ese techo está cubierto de nieve. Entonces ahí va a tener un peso que debe ser considerado dentro del análisis. Y por último tenemos la lluvia. Se observan ese techo está inundado de agua. Entonces existen zonas donde por la geografía y por el clima son bastante lluviosos. Entonces llegan momentos en que los

11:26 techos están completamente cubiertos de agua y eso va a generar un peso considerable dentro de la estructura. Ahora vemos las cargas dinámicas. Se llaman así porque éstas sí presentan variaciones considerables en su magnitud con respecto al tiempo, variaciones que pueden ser rápidas. Entonces, entre éstas tenemos, por ejemplo, las cargas de impacto. Como pueden ver en la figura, bueno, ese es un auto y es que está circulando por un puente. Lo que sucede es que en... Para el diseño de puentes se consideran estas cargas debido a que el frenado brusco de los automóviles en simultáneo puede ocasionar cargas que deben ser tomadas en cuenta para el análisis. También tenemos las explosiones. Esas generan cargas dinámicas porque lógicamente al

12:13 inicio de una explosión se produce una carga muy fuerte. Sin embargo, conforme avanza el tiempo se vuelve menor. Y tenemos equipos mecánicos. En estructuras que están hechas para sitios donde hay bastantes equipos mecánicos en funcionamiento, entonces estos pueden ocasionar vibraciones. Vibraciones que pueden afectar la estructura. Entonces, estos tienen que considerarse para el diseño también. Y la última... y quizá la más importante para el tema de la ingeniería civil, es porque las cargas por sismo, se realiza todo un análisis completo de estos. Bueno, se detecta en base a los

13:01 acelerogramas que podemos obtener de los sismos, luego que ocurren, podemos determinar un espectro de respuesta de una estructura, que eso ya lo vemos en cursos como ingeniería sismo resistente. Entonces estas son todas las cargas que actúan sobre las estructuras, las cargas dinámicas. Continuando con las cargas tenemos también los asentamientos diferenciales. Como pueden ver ahí tenemos toda una estructura y abajo pues su cimentación. Entonces ¿qué sucede cuando se produce un asentamiento? Que la parte de una cimentación, la parte baja entonces se baja un nivel. Entonces eso produce un asentamiento diferencial delta y también una rotación relativa. Entonces, ¿qué sucede después de esto? Que produce esfuerzos adicionales dentro de la estructura. Y a veces cuando falla, pues ocurre

13:51 esto, que se vuelca. También tenemos cambios térmicos. Como pueden observar, aquí tenemos una barra suponiendo a temperatura ambiente normal. Pero ¿qué sucede cuando hay más calor? Miren, se expande. Entonces, esos cambios térmicos también pueden afectar en el cálculo de las estructuras, ocasionando esfuerzos adicionales. Veamos entonces cómo es que funciona el esquema general de una estructura. Primero tenemos las solicitaciones, por ejemplo las cargas estáticas, las cargas dinámicas, los asentamientos y los cambios térmicos. Todo ello ya lo mencionamos antes, que son los tipos de carga. Ahora, ¿cuál es la respuesta que va a obtener la estructura? Deformaciones,

14:39 desplazamientos En base a eso es que nosotros vamos a estudiar la estructura, porque nosotros debemos comparar si por ejemplo los desplazamientos cumplen con la normativa de referencia, si cumplen el desplazamiento máximo permitido. Las deformaciones, si la deformación por deflexión por ejemplo en una viga cumple con la normativa de referencia, si el esfuerzo es el esfuerzo máximo permitido, algo así. Así es como funciona todo esto. Continuamos entonces con las hipótesis que vamos a tener en cuenta para el análisis estructural. Ahora vamos a ver las hipótesis sobre la geometría. Primero tenemos los desplazamientos pequeños. ¿En qué consiste esto? Si tenemos una estructura simple de dos barras, una de 10

15:28 metros, otra de 8 metros, que juntas forman un ángulo alfa, y bueno, enumeramos cada uno de los puntos, y si aplicamos una carga P en el punto 3... Lógicamente esto se va a deformar de la siguiente forma. Ahora tenemos un desplazamiento delta que nosotros desconocemos. Y tenemos un ángulo que también desconocemos. ¿Cierto? De... Que forman estas barras luego de deformarse. Entonces, lógicamente, si yo quisiera aplicar... Resolver mi ecuación de equilibrio luego de que se han deformado... Esto afectaría esta nueva geometría porque... Si yo calculo, por ejemplo, el momento de P respecto al punto 2, y para poder resolverlo mi sumatorio de

16:18 momento es igual a 0, entonces con esto hallaría la fuerza en 1, 3, ¿cierto? Y esto se vería afectado porque ya al cambiar los ángulos que forman esto y la posición de las barras, yo tendría que descomponer la fuerza P. Pero, ¿qué sucede? Mira... Entonces le llamamos a esto un ángulo alfa prima. Y ahora en la figura delta está en la escala 1.100. O sea, quiere decir que yo te he puesto un gráfico exagerado de la deformación para que por métodos prácticos tú lo puedas observar. Y siempre vas a observar en todas las estructuras, en todos los problemas resueltos, una gráfica exagerada de la deformación. Porque así no es. Pues te lo ponen en una escala mucho mayor para que tú por métodos didácticos lo puedas ver. Entonces si es tan pequeña en comparación al resto de elementos. Entonces

17:07 es que nosotros consideramos alfa' igual alfa. O sea quiere decir que prácticamente no va a variar en casi nada. Y yo puedo tomar entonces mis ecuaciones de equilibrio. Con la geometría inicial. Continuando las hipótesis sobre la geometría. Ahora vamos a ver la compatibilidad. Vamos a suponer que. Una estructura como esta, un pórtico. Un pórtico en que sus bases están empotradas. Ahora, ¿qué sucede si yo aplico un momento M? O sea, lógicamente tiene que haber una deformación, un ángulo de giro, a ver ahí, ¿cierto? Entonces, ahí ya hemos determinado nuestro ángulo de giro de esta barra, 2, 3. ¿Verdad?

17:53 Pero, ¿y qué sucederá con la otra barra, 1, 2? Porque se supone que ambas deberían girar, porque a este momento que como estoy aplicando este nudo 2 debe afectar a ambas. Entonces, sucede que el ángulo de giro de 2, 1, es decir, de la barra que está a la izquierda, debe ser el mismo que de la barra 2, 3, ¿cierto? Entonces, eso nos lleva a la siguiente conclusión. Ahora, como podemos observar, entonces debe cumplirse esto. Que el ángulo de giro es el mismo para ambos. Entonces aquí es que nosotros estamos hablando de una compatibilidad de giro en ese nudo. Ahora veamos otro ejemplo. Por ejemplo esta barra. Ahora imagínense que yo aplico una carga vertical en el nudo 3.

18:42 Una carga P cualquiera. Entonces lógicamente eso se va a deformar. Y va a quedar algo como esto. En rojo tenemos la figura de la deformada. Entonces, aquí ya tengo, primero aquí ya tengo mi deformada delta, ¿cierto? Y luego que tengo acá, en este nudo 2, tengo mis ángulos de giro, ¿cierto? Bueno, del ejemplo anterior ya puedo guiarme que el ángulo de giro debe ser el mismo, ¿cierto? Para ambos tramos, o sea, del tramo 2-3 es el mismo ángulo de giro que el tramo 2-1. Entonces, tenemos compatibilidad de giro en el nudo 2. Ahora, si nos vamos al nudo 3, en esa rótula, ahí tenemos una deformación, ¿cierto? Pese a que, en teoría, al ser

19:31 estructuras independientes por estar conformadas por una rótula, el ángulo de giro sería diferente, ¿cierto? Pero la deformación no. Entonces, debe existir compatibilidad de desplazamiento en el nudo 3. Quiere decir que la deformación... del tramo 3 a 2 y es igual a la deformación del tramo 3 a 4. La deflexión debe ser la misma y ahí es que estamos hablando de compatibilidad en desplazamiento. Ahora veamos las hipótesis sobre las cargas. Primero tenemos el equilibrio estático. ¿En qué consiste eso? A ver, si tenemos una estructura simple, ¿no? Como este pórtico y a eso le aplicamos una carga P, Nosotros asumimos que esa carga se aplica gradualmente desde cero hasta su valor inicial. Como pueden ver ahí, se movió de

20:22 forma lenta. Y... Entonces... Su configuración deformada queda ahí. Es decir, el desplazamiento no va a variar después de que yo aplico esa carga. A eso se refiere esta hipótesis. Y bueno, luego que... se deformó y luego que adopta su configuración deformada, el estado final es el reposo. Quiere decir que la sumatoria de fuerzas y de momentos en todos los puntos va a ser igual a cero. En todos los elementos también la sumatoria de fuerzas y momentos tiene que ser cero. Continuamos ahora con las condiciones de contorno. ¿A qué se refiere esto? Que lógicamente para que nosotros podamos resolver una estructura, para poder hallarnos los datos finales, la respuesta, nosotros necesitamos Datos

21:11 iniciales. ¿Cierto? Entonces. Para yo. Poder saber. Eso. Eso. No. Para yo poder resolver la estructura. Necesito conocer. En este caso. Una carga. ¿No? Puede ser un dato inicial. Ahora. También podríamos tener como dato inicial. Los desplazamientos. Nada más. O sea. Se refiere a que. Para yo. Para poder. Realizar mi análisis. Yo necesito tener datos iniciales. Siempre. No puedo. Si. Si no me dan nada. O sea. Si no me dan ni desplazamientos. Ni fuerzas. Entonces. No puedo resolverlo. No puedo hallar la respuesta de esa estructura porque ese es el objetivo final. Ahora veamos las hipótesis sobre el material. Primero tenemos la homogeneidad. Quiere decir que las propiedades físico-mecánicas en todos los puntos de una estructura hecha por un mismo material van

21:58 a ser las mismas. Como pueden observar en un material homogéneo, como se ve en la figura, entonces su distribución es igual, es equitativa. O sea, no hay ningún área de esa región en el que las propiedades sean distintas. Y también tenemos el rango elástico lineal. Esto sí es importante porque si nosotros hacemos el diagrama esfuerzo de formación, bueno, en el eje ordenada tenemos el esfuerzo, en el eje de abscisas la deformación unitaria, esto se realiza mediante ensayos con probetas, ¿cierto? Entonces, al tener este diagrama, Nosotros observamos en la curva de azul que existe una zona que parece una línea oblicua, pero en realidad tiene tendencia lineal. Sin

22:47 embargo, ya en cierto punto empieza a tonarse curvo. Entonces, ¿qué quiere decir esto? Primero, sabemos que el módulo de Young es el esfuerzo entre la deformación unitaria. Entonces, si nosotros analizamos hasta la recta que está en rojo, hasta ahí aproximadamente es el rango elástico lineal. ¿Qué quiere decir? Porque si nosotros calculamos el módulo de Ion mediante esa división, va a ser el mismo, ¿cierto? O sea, va a ser constante. Eso es lo que nos importa. ¿Qué es lo que nos importa? considerar un módulo de John constante. Ya después de ese punto, ya vienen deformaciones considerables, o sea, deformaciones grandes, y lo cual ya no podríamos considerar que el módulo

23:38 de John va a tener el mismo valor. Y ya eso no abarca en el curso de análisis estructural. Nosotros solamente vamos a analizar el rango lineal de los materiales. Seguimos con la indeterminación cinemática que se refiere al cálculo de grados de libertad. Si definimos rápidamente qué son los grados de libertad, una definición rápida y simple sería, pues son los números de aplazamientos independientes en cada nudo. Por ejemplo, si definimos un ejemplo bien básico tendríamos empotramientos. O sea, definiendo los apoyos tendríamos primero un empotramiento. Ahí tenemos el grado de libertad porque los empotramientos no admiten ni giros ni desplazamientos en ningún eje. Después tenemos apoyo fijo. Aquí tenemos un

24:28 grado de libertad porque los apoyos fijos admiten giros más no desplazamientos en ningún eje. Después tenemos el apoyo móvil y aquí hay dos grados de libertad porque como pueden ver esas rueditas de abajo permiten el desplazamiento alrededor del eje X y además admite un giro. Pero no permite el desplazamiento en el eje Y. Ahora si vemos una estructura completa. Por ejemplo una estructura de barras llamadas armaduras. Vamos a definir ahora sus grados de libertad. Aquí esto es importante porque las armaduras solamente tienen dos grados de libertad en cada nudo. ¿Por qué? Porque las armaduras solamente trabajan a tracción y compresión. Más no a flexión. O sea flexión quiere decir que no admite ningún ángulo de giro. Entonces por ejemplo... En el primer grado de libertad que definí, yo

25:16 puedo desplazar esta barra aquí. Entonces aquí notarán que la barra, bueno, se ha alargado. O sea, quiere decir que ha trabajado a tracción. Por el contrario, si yo defino mi grado de libertad hacia abajo, entonces esta barra se ha vuelto más pequeña. Quiere decir que ha trabajado a compresión. A eso se refiere. Por eso es que como trabajan a... tracción y compresión, entonces en ningún punto se define un ángulo de giro, eso no se admite. Entonces, en todos los demás puntos, libres claro, definimos solamente dos grados de libertad, vertical y horizontal. Ahora, en el caso del apoyo, definimos únicamente un grado de libertad, el desplazamiento hacia el eje X. ¿Por qué

26:02 no consideré el ángulo de giro como hice en el primer ejemplo? Lo que pasa es que, Al ser esto una estructura de barras y no admite giro, entonces es que ningún apoyo se permite eso. Entonces, si contamos esto, serían 7 grados de libertad. Y como pueden ver, en el apoyo de la izquierda, en este apoyo aquí, no considere ningún grave libertad, porque a pesar de que admite giro, bueno, en las armaduras no consideramos eso. Recuerden, importante, no se consideran giras en los apoyos. Y bueno, tenemos 7 grados de libertad. Ahora vamos a ver cómo es que se mueve la estructura. ¿Ven? Bastante dinámico. Como pueden ver en la parte baja el apoyo solamente se mueve

26:49 alrededor del eje X. Y bueno, en los otros lugares se mueve en coordinación, ¿no? En los ejes X y en los ejes Y. Ya. Continuamos. Tenemos estructuras aporticadas. Por ejemplo, este es un pórtico simple con un empotrado de apoyo y en el otro un empotrado de apoyo fijo. Ahora, vemos el primer grado de libertad sería desplazamiento horizontal. Después tenemos un desplazamiento vertical. Desplazamiento horizontal también en el otro nudo. Y desplazamiento vertical. Y finalmente, aquí sí consideramos los ángulos de giro. ¿Cierto? Entonces... Esto es lo importante en estructuras aporticadas. Aquí

27:36 como trabaja en la flexión. Si se admiten giros. Y finalmente abajo. Como tenemos un apoyo fijo. Entonces tendríamos un grado de libertad adicional. Porque si permite no giros. Pero no desplazamientos en ninguno de los ejes. Entonces contando tendríamos 7 grados de libertad. Y ahora. Vamos a ver como es que se mueve otra vez. La estructura. Para ser más didácticos. Bueno, aquí como pueden ver, no, se desplaza alrededor de los... Aquí admite giro, ¿cierto? Se puede observar, ¿no? Y también el desplazamiento alrededor de los... Y eso sería todo. Ahora vamos a ver el grado de hiperestaticidad de una estructura. Ahora una breve introducción. O sea, en estática

28:26 bastaba con utilizar las ecuaciones de equilibrio para poder resolver un problema, ¿cierto? Y ahí se acababa todo. Pero ahora a partir del curso de resistencia de materiales. Nos damos cuenta que el número de incógnitas es mayor que el número de ecuaciones disponibles. Entonces ¿qué hacemos ante ello? Necesitamos introducir ecuaciones adicionales obviamente. ¿Y estas cuáles son? Pues simplemente ahora vamos a considerar giros y desplazamientos en puntos específicos. Porque va a haber... Puntos donde nosotros ya vamos a conocer cuáles son los giros, cuáles son los desplazamientos. Por ejemplo, en los empotramientos no hay ni desplazamientos en ningún eje ni giro. ¿Cierto? Entonces así es

29:12 como nosotros vamos a poder resolver problemas de este tipo. Ahora veamos las ventajas de la hiperestaticidad. Primero que vamos a tener menores momentos, flectores. Y lógicamente pues con eso vamos a tener menos de flexión, menos deformaciones. Observemos una estructura... una barra a la que le aplicamos una carga distribuida Q, su longitud es L, y fíjense en sus apoyos, es una viga simplemente apoyada, y su momento máximo es QL cuadrado entre 8. Ahora, imaginémonos el mismo caso, la misma barra, la misma longitud, a la misma carga distribuida aplicada, pero ahora sus apoyos son empotrados, y fíjense que ahora el momento máximo ha bajado a la

29:58 tercera parte, es QL cuadrado entre 24. Claro, ahora existen momentos en sus extremos que ahora sería QL cuadrada entre 12. Pero de esta forma yo he reducido momentos y con eso ¿qué he logrado? Que haya menor deflexión en el punto central. Entonces, si hay menos deflexión, entonces quiere decir que va a haber menos refuerzo. ¿Cierto? O sea, en vez de utilizar esta gran cantidad de acero que yo utilizaría, si es que tuviese momentos muy grandes... Ahora la voy a reducir por poquito. Y eso que me va a traer. Me va a traer un ahorro económico. Y el gerente de la empresa se va a poner feliz con mi diseño. Ahora.

30:47 Existen desventajas. Por ejemplo en cimentaciones poco favorables. Donde los suelos son digamos expansivos. Entonces a veces existen asentamientos diferenciales. Entonces si hay desventajas. asentamientos diferenciales, eso va a comprometer partes de la estructura, en la cimentación sobre todo. Entonces, imaginemos una estructura isostática. Como podemos ver, al medio he colocado una rótula. Entonces, si hay un asentamiento diferencial, ¿cierto? Entonces, ambas barras se mueven como una estructura aparte, ¿cierto? Pero, ¿qué sucede ahora si tengo una estructura estáticamente indeterminada? Pues, ¿cuándo? se aplica el asentamiento diferencial, existe un pandeo porque toda la barra es continua. Entonces,

31:37 al existir ese pandeo y al someterlo a deformaciones muy grandes, eso puede ocasionar mayores esfuerzos, mayores momentos. Entonces, en algunos casos, cuando los asentamientos diferenciales van a ser muy grandes, es conveniente quizás utilizar una estructura histostática para poder controlar el esfuerzo que va a existir. Como pueden ver, bueno, eso va a ocasionar esfuerzos elevados. Que más conveniente me resulta con una estructura isostática. Y ahora vamos a ver el cálculo del grado de hiperestaticidad de una estructura. Entonces, primero definimos a B el número total de barras. N el número total de nudos que, ojo, incluye apoyos de

32:23 cualquier tipo. Y a Pi el número total de restricciones que hay en los apoyos. En esto quiero hacer un hincapié, ¿por qué? Por ejemplo, en un empotrado tenemos tres restricciones. Como pueden ver, esto no puede ni girar ni desplazarse en ninguno de los ejes. Ahora tenemos un apoyo fijo. En este caso tenemos dos restricciones, dado que no se puede desplazar ningún eje, pero sin embargo esto sí puede girar. Y por último tenemos un apoyo móvil con solamente una restricción. Esto es debido a que solo se puede plazar en cualquiera de los ejes que el problema establezca que es móvil. En este caso, establece que es móvil en el eje X. Entonces, hacia el eje Y es que va a existir la restricción.

33:11 Y bueno, simplemente que para armaduras, en general, el grado de hiperestaticidad total es B más pi menos 2N. Esa sería la fórmula, simplemente. Ahora... Veamos el caso de pórticos. Bueno, primero que tenemos el caso 1 que es pórtico con rótulas. El número de ecuaciones especiales le denominamos E, pero esto solamente es cuando existan rótulas. Entonces, el grado de hiperestaticidad total va a estar dado por esa fórmula. 3B más pi menos 3N menos E. Claro, los valores de B, pi y N ya los hemos definido anteriormente. Entonces, La pregunta es ¿qué son ecuaciones especiales? ¿A qué se refiere con esto? Veamos algunos casos.

33:58 A ver, aquí por ejemplo tenemos una barra y tenemos una rótula en medio. Entonces nosotros vamos a establecer únicamente una ecuación especial porque ese nudo divide a dos barras, a una sola barra en dos estructuras independientes. Ahora, acá tenemos otra vez una rótula donde confluyen dos barras. O sea, Como pueden ver, no importa la forma como confluyan las barras, simplemente si confluyen en una misma rótula, el número de ecuaciones especiales va a ser igual al número de barras menos 1. Aquí como pueden ver, confluyen 4 barras, entonces el número de ecuaciones especiales va a ser 3, 4 menos 1. Ahora, observen este caso. Como pueden ver, aquí hay una barra que no confluye, ¿cierto? Que quiere

34:46 decir que las rótulas están apoyadas en esa barra. Para estas barras que están a la izquierda y a la derecha. Entonces, en ese caso en particular, nosotros vamos a considerar únicamente la cantidad de ecuaciones especiales, el número de barras que tienen como apoyo. El número de rótulas que tienen como apoyo. Aquí también, como pueden observar, no confluye esta barra vertical. esta barra que está a la derecha, entonces aquí también hay una ecuación especial porque solamente una barra confluye en la rótula. Y acá en cambio como confluyen tres barras en una misma rótula, entonces el número de ecuaciones especiales es 3 menos 1, 2. Y aquí, bueno, este es un caso ya más especial

35:34 donde confluyen 5 barras en una sola rótula, entonces ahí tenemos 4 ecuaciones especiales. Entonces, observen bien, cuando tienen barras que confluyen en una sola rótula, el número de ecuaciones especiales va a ser el número de barras que confluyen menos 1. Sin embargo, cuando tenemos, puede haber casos en que no todas las barras se unan a una rótula. Entonces, ahí tú solamente debes considerar cada rótula por separado. En este caso acá tenemos 2, ¿cierto? 1, 2. Y acá tenemos solamente 1. Y eso sería 2. Ahora vamos a ver el caso, el segundo caso, de un pórtico continuo sin rótulas. Entonces, bueno, simplemente que aquí yo consideraría E igual a 0, ¿cierto? Y ahí no habría nada. Pero acá hay algo en particular. Miren esto. Podemos considerar N el número

36:22 de segmentos de la estructura porticada cuya área está completamente cerrada. Bueno, en una figura lo vamos a ver mejor. Aquí pueden ver, ¿no? Aquí tenemos tres áreas cerradas. No importa qué tipo de polígono formen estas áreas cerradas. Aquí hay un triángulo, acá hay un cuadrado y un rectángulo. En realidad, eso no importa. Lo importante es que el área esté completamente cerrada en todos los extremos. Entonces, ¿esto para qué me sirve? Me sirve para que yo pueda calcular el grado de hiperestaticidad interno. Entonces, en un pórtico continuo sin rótulas que tenga este tipo de áreas cerradas, entonces yo también puedo calcular, aparte, ¿no?, el grado de hiperestaticidad interno, solamente multiplicando el número de áreas cerradas por 3. Claro que el grado de hiperestaticidad total se aplica directamente con la

37:11 fórmula que está arriba, en el cuadro donde dice caso 2, aquí. Aquí. Esa es la fórmula que yo debo aplicar para el grado de hiperestaticidad total. Simplemente. Pero si el problema me pidiese. Calcular. Aparte el grado interno y externo. Entonces yo lo puedo hacer. Porque primero que el grado interno. Está dado por una fórmula. Entonces conociendo esto. Yo puedo calcular el grado de hiperestaticidad externo. Aplicando una simple REST. Eso sería todo. Para este caso. Y una observación también. Para el caso de. O sea. ¿Qué hay? como clasificamos las estructuras según su grado de hiperestaticidad. Si el grado de hiperestaticidad es cero, la estructura es hisostática. Si es mayor a cero, entonces

37:58 la estructura es hiperestática o estáticamente indeterminada. Y si el grado de hiperestaticidad es menor a cero, la estructura es hipostática o inestable también. Ahora vamos a ver lo que estaban esperando los problemas. Vamos a ver el tema de problemas. En este caso vamos a ver el problema 1. ¿Qué nos dice? Determinar el grado de hiperestaticidad de la siguiente estructura y en caso sea hipostática explicar cómo se puede isostatizar. O sea, quiere decir que, por ejemplo, si el grado de hiperestaticidad me sale un número negativo, explicar qué es lo que debo hacer para volverlo positivo o simplemente volverlo cero. En este caso, como me piden, isostatizar sería volverlo cero. Primero, observamos que es una estructura de un pórtico Con dos rótulas en sus nudos. Entonces aquí tendría que aplicar el primer caso. Que es el caso de pórtico con rótulas. Tendría

38:47 que hallar para este caso. Ecuaciones especiales. Pero vamos a contar primero las barras. Tenemos entonces. Tres barras. Después contamos las restricciones. En el primer apoyo. Pues tenemos simplemente dos restricciones. En el segundo apoyo. Tendríamos también dos restricciones. En total tendríamos cuatro. Ahora. Vamos a contar el número de nudos. Que también es sencillo. Tendríamos en total 4. Recuerden que los nudos considera todo. Apoyos, rótulas, todo tipo. No restringe nada. Entonces tendríamos en total 4 nudos. Ahora vamos a contar las ecuaciones especiales. En este caso observamos primero esta rótula de aquí. Como pueden ver. Aquí

39:35 me encuentro con el caso en el que dos barras corresponden. se unen mediante una rótula. Entonces cuando pasa esto, simplemente, como son barras unidas a una sola rótula, entonces el número de ecuaciones especiales simplemente sería el número de barras menos 1. O sea, sería pues solamente una ecuación especial. Listo. Y en el siguiente caso pasa lo mismo. En el caso de la rótula que tenemos aquí, también hay dos barras que se unen en una sola. Entonces aquí tendríamos igualmente una ecuación especial. Entonces, en conclusión, tendríamos dos ecuaciones especiales. Listo, entonces lo único que quedaría sería aplicar la fórmula. Y me doy cuenta que esto pues sale negativo. O sea, quiere decir que es

40:23 una estructura hipostática. Entonces, el problema me ha dicho que si sale así, tendríamos que explicar cómo se puede sostatizar. O sea, quiere decir que esto de acá lo volvamos positivo. Entonces, yo he planteado dos soluciones. Primero, convertir el apoyo móvil en empotrado. ¿Por qué? Porque si nos damos cuenta, a ver, cualquiera de los apoyos móvil. Vamos a ver, por ejemplo, este de acá, si lo volvemos un empotrado, un empotrado perfecto. Entonces, antes tenía solamente dos restricciones, ¿cierto? Dos restricciones, acá y arriba también. Pero, si yo le añado un empotrado, entonces tendría una restricción más. Tendría acá el giro, ¿cierto? Eso impide el giro. Entonces, acá en el número de restricciones que lo he definido como pi, entonces tendría

41:09 una restricción más. Entonces, en total tendría 5. Ah, ya, entonces eso quiere decir que en mi ecuación, cuando yo reemplace, este 4 se va a convertir en 5. Entonces, el resultado final me va a dar 0 porque añadí 1. Y listo. Y de esa forma ya la volví isostática. Aplicando la fórmula nuevamente, entonces es que yo he convertido mi estructura en isostática. Ahora, ¿alguna otra alternativa? Claro que la hay. A ver, si nosotros eliminamos la rótula, entonces ahí lo que va a cambiar va a ser el número de ecuaciones especiales. Como pueden ver acá, bueno,

41:57 acá de lo que antes era 2... Ahora se volvió 1. ¿Por qué? Porque yo al eliminar esto, bueno, no se ha afectado en nada ningún nudo. O sea, sigue siendo un nudo. Siguen habiendo el mismo número de barras. Solamente que las ecuaciones especiales aquí disminuirían. O sea, acá... ya no tendría 2, sino tendrías únicamente una ecuación especial. Entonces quiere decir que en la fórmula ese menos 2 ahora lo reemplazo por menos 1, quiere decir que le voy a restar menos. Entonces eso hace que el resultado final me dé 0. O sea, como pueden darse cuenta, lo que en realidad está haciendo que la estructura se vuelve hipostática, más que todo son estas rótulas y los apoyos, ¿cierto? Entonces en realidad los apoyos es que han vuelto la estructura inestable en este caso, ¿no? La forma de cómo se estatizar es eliminar

42:43 esas rótulas y volverlo todo una estructura continua. Bueno, vamos a continuar con el problema, seguimos con el problema 2. Entonces, bueno, al igual que el problema anterior, nos piden solamente determinar el grado de hiperestaticidad, y en el caso que sea hipostática, o sea, inestable, tenemos que explicar cómo se puede se estatizar. Esperemos que no salga estable, pues, a ver... Como pueden ver esta es una estructura de armaduras. De barras. Una armadura bastante compleja. Pero bueno vamos a analizar rápido cada uno de los elementos. Primero vamos a contar las barras. Tenemos entonces. Ahí estoy contando cada una de ellas.

43:35 En total hay 25 barras. Ahora, hay que tener un poco de cuidado cuando nosotros observemos intersecciones. Por ejemplo, en este caso, observen este nudo de aquí y este nudo de aquí. O sea, algunos dirán, ¿por qué no has considerado estas dos barras? O sea, porque en la barra 6 pareciera que existieran dos barras. Incluso en la barra 4 pareciera que existieran dos porque hay un nudo prácticamente ahí. Ya. Te explico cómo es. Lo que sucede es que aquí no están unidos estos nudos. O sea, es como si estas barras estuvieran una encima del otro. Entonces, al no estar unidos, cuando no se representa el símbolo de

44:21 esta unión, de esta rótula prácticamente, entonces es que nosotros no podemos considerar eso como una barra aparte. Entonces, hay que tener cuidado y hay que analizar cada barra observando, Cada uno de los nudos. Entonces este nudo de acá. No podría considerarse. Como una separación de barras. Incluso más adelante. Cuando contemos ahorita los nudos. Tampoco va a ser tomado en cuenta. Por eso hay que tener cautela con ello. A ver ahora. Bueno tenemos el total. Número de barras 25. Ahora vamos a contar. Las restricciones que hay en cada uno de los apoyos. Acá tenemos por ejemplo un apoyo móvil. Tenemos una restricción únicamente. Acá tenemos dos

45:09 restricciones. Acá tenemos una restricción del apoyo móvil. Una restricción vertical hacia arriba. Ahora vamos a contar. Bueno en total tenemos cuatro restricciones. Ahora vamos a contar el número de nudos. Bueno y ahí automáticamente nos estamos contando. Nuevamente esa intersección de barras yo no la he tomado en cuenta. La que les mencioné anteriormente. No se tomó en cuenta porque es como si una barra estuviera encima de la otra. Tenemos en total 14 nudos. Y bueno, finalmente tendríamos que aplicar la fórmula simplemente. Entonces nos resulta 25 más 4 menos 2 por 14. Bueno, nos resulta 1. Resultado final. Felizmente no. Nos salió una estructura de un grado

45:59 de hiperestaticidad. Fin del problema. Ya vamos a ver el último problema. Según la estructura que nos da. Nos dicen. Determinar el grado de hiperestaticidad interno y externo de la siguiente estructura. Y en caso no sea isostática. Explicar cómo isostatizarlo. O sea. Acá ya no nos dicen que sea hipostática precisamente. Sino que simplemente si sale un grado de hiperestaticidad diferente a cero. Entonces nosotros debemos volverlo cero. Así sea positivo o negativo. El resultado final. Entonces. Acá podemos observar que tenemos una estructura de. Una estructura totalmente aporticada. Entonces sería el segundo caso. Y que tenemos áreas cerradas, que eso nos va a facilitar también el cálculo del grado de hiperesteticidad interno. Y que todos sus apoyos son empotrados. Entonces, vamos a ver cómo resolvemos esto. Primero, contamos las barras. Acá tendríamos, en total, 9

46:49 barras. Ahora, vamos a contar también el número de apoyos. Acá tenemos en total 8 barras. Y ahora las restricciones. Bueno, en realidad como todos son empotrados, pues deduzco fácilmente que todos tendrían tres restricciones. Y como tengo también áreas cerradas, entonces esas también las voy a contabilizar. En este caso serían dos simplemente. Entonces aplico la fórmula y me sale como resultado dos. Y ese es un grado de hiperestaticidad bastante elevado. O sea, eso... Quizás podría complicarse un poco más que el caso anterior porque salía un grado de hiperestaticidad. Bueno, salía negativo, pero salía un valor más fácil de isostatizar. Bueno, pero vamos a continuar entonces hallando el grado de hiperestaticidad interno. Simplemente sería 3 por 2, según la

47:38 fórmula. 3 por un número de áreas cerradas y sería 6. El grado de hiperestaticidad externo es la diferencia del total menos el interno, que sería 6. Entonces, ¿cómo volvemos a la estructura isostática? Acá hay que tener en consideración... ¿Qué factores intervienen en el cálculo? Si nosotros observamos, acá tendríamos que las barras se multiplican por 3. Entonces, si yo eliminase una barra, entonces ahí ya tendría 3 menos, y eso me ayudaría bastante. Y en el caso de los nudos hay que tener cuidado, porque debo eliminar barras pero no nudos, porque los nudos están restándole. Entonces, si yo elimino nudos, de nada me va a servir que yo elimine barras. Entonces lo conveniente es restar barras donde confluyan Varias barras no además Y para que yo no siga eliminando nudos Entonces vamos a ver Ya, primero eliminamos barras y yo

48:28 seleccioné esta ¿Por qué? Porque imagínense, yo selecciono esta barra de acá para eliminar Este nudo de acá quedaría eliminado Entonces eso no me va a convenir, ¿cierto? Igual, mire, si yo elimino esta barra de acá Quedaría eliminado este nudo, ¿cierto? Entonces eso no me va a convenir Y ahora, si elimino esta barra, bueno, no, pues no puedo eliminar estas barras que están en la base porque están apoyadas. Entonces, yo creo que he hecho la elección correcta en este caso, ¿no? Y de esta forma yo no afecto el número de nudos que hay, porque sigue habiendo este nudo ahí superior, inferior en la barra. Entonces, de ahí, una buena alternativa es colocar rótulas. Lo que conviene es colocar rótulas donde haya... Bastantes nudos, porque como nosotros sabemos, las rótulas definen el número de ecuaciones especiales. Entonces, las ecuaciones especiales se restan.

49:18 Si acá yo tuviese que restar, supongamos, acá me resulta 6 ecuaciones especiales. Entonces, eso me ayudaría a quitarle más hiperestaticidad. Entonces, yo escogí nudos que tengan varias... bastante afluencia de barras, que en este caso, estos son estos tres nudos, que tienen tres barras que concurren, ¿no? Claro, eliminando esto de acá. Entonces, aquí tendría, ya debemos recordar, que cuando confluyen tres barras, o cuando confluyen, en general, varias barras en una sola rótula, entonces, las ecuaciones especiales serían el número de barras menos uno. Entonces, en este caso tendríamos dos, en este caso también tendríamos dos, y aquí tendríamos dos, ¿no? Claro, porque aquí hemos eliminado esta barra y nos quedarían tres. Entonces, tendríamos... 6 ecuaciones especiales para restar. Y ya con eso de 12 le hemos

50:07 quitado 6. Eso ya es un gran avance. Y... Por último, y bueno, lo más rápido, ¿no? Es eliminar estos empotramientos y convertirlos en apoyos fijos. Claro, algunos dirán que de repente esto podía eliminarlo y directamente ya elimino 3 ecuaciones, ¿no? Pero no puedo, ¿no? Porque esa es la base de la estructura y eso no es conveniente. Entonces, yo he eliminado, ¿no? Todo... Los empotramientos y al convertirlos en apoyos fijos, cada uno tendría dos restricciones, por lo que el resultado final sería 6. Entonces, finalmente, me quedaría esto. 3 por 8 más 6 menos 3 por 8 menos 6. O sea, lo he puesto en colores según lo que he modificado. El número de nudos no se ha visto afectado. Entonces, con esto, tendría el grado de hiperestaticidad igual a 0. Y con eso, ya terminaríamos

50:57 este problema. Y bueno, eso ha sido todo por esta semana. Bueno, un gusto, un gusto, ¿no? Y bueno, nos veremos la otra semana con otro tema. Hasta luego.