Cálculo Integral Clase #25: Sucesiones y series | Definiciones y conceptos

0:00 1 hola a todos bienvenidos a este curso de cálculo integral en vivo en esta ocasión vamos a estudiar lo que son las sucesiones y series de las asociaciones vamos a estudiar lo que son el límites de sucesiones vamos a ver lo que son las series numéricas y el concepto de la suma telescópica en la descripción del vídeo podrás encontrar el minuto a minuto por si deseas ir directamente a algunos de los subtemas de este vídeo como título muchachos entonces copiamos ahí como título sucesiones vamos a recordar que exceso de las sucesiones en clases anteriores podemos venir estudiando de algunas aplicaciones de las integrales y ya nos vamos a enfocar en un caso una situación particular para dentro de las aplicaciones de anv y de

0:46 las integrales que son las sucesiones y series entonces primero que todo tenemos de entender el concepto recordar el concepto de sucesiones sucesiones que es una es eso de las sucesiones les copiamos como la definición la definición formal de sucesiones que es una sucesión entonces una sucesión es una seco una secuencia de términos es una secuencia de términos muchachos la secuencia de términos en donde cada uno de ellos si cada uno de ellos está asociado a un número natural gn entonces en otras palabras un número natural gn de gene recordemos los números naturales cuáles son los números naturales son el

1:32 1 el 2 el 3 el 4 el 5 es como si fuera una función cánulas como una función a su n o adn a su adn cierto aquí en donde n aquí la variable n corresponde a los números naturales o sea que el dominio de esta función son los números naturales dominio de esta función si lo que queremos expresar de esta manera entonces apuntamos a hija surgen e igual a de y la función este a su n es como si fuera lo que se llama un término enésimo o adn coloquemos la terna el término enésimo describe así término

2:19 enésimo una función cita en términos de n pero solo que n toman un valores naturales los números naturales ejemplos podemos decir como directamente por ejemplo tenemos digamos tenemos esta sucesión a su n igual 1 sobre n algunos autores la denotan como en tres llaves 1 sobre n 3 cuál es el procedimiento entre llavecitas el procedimiento es el siguiente 1 va reemplazando la n por diferentes números naturales del 1 el 2 por el 3 por el 4 por 5 etcétera ya que por ejemplo aquí la sucesión esta sucesión 1 sobre n corresponde a 1 sobre uno o sea 1,1 sobre 2,1 sobre 3 y voy

3:10 reemplazando la n por uno por dos por tres por 4.5 porque ese 13 314 como hasta dónde sucesivamente infinitas veces hasta el infinito y hasta el infinito porque es todos los números naturales este es el concepto de una gesta es una sucesión el concepto de sucesión viene así donde a cada alimento cada término se le asocia un número natural y para n igual a 1 para n igualados para n igual a 3 para el nivel a 4 etcétera etcétera etcétera así es sencillo antes por ejemplo digamos cuál es la sucesión correspondiente a n cuadrado entonces en el cuadrado simplemente los números naturales al cuadrado 1 al

3:56 cuadrado es 1,2 al cuadrado es 4,3 al cuadrado es abajo mediante este es también muchachos que 9 que sigue 4 al cuadrado 16 cierto 5 al cuadrado 25 36 de etcétera etcétera cierto la idea es que a cada elemento de esta asociación se le dé le corresponde un número natural en este ejemplo n igual a 1 n igualados n igual a 3 123 en igual a 4 exc 37 etcétera básicamente este es el

4:42 concepto de una sucesión que la idea es identificar los elementos de la asociación por ejemplo unas asociaciones ya k como particulares por decir algo este tipo de sucesión digamos lo que es que de pronto se van a encontrar diferentes ejercicios tenemos la sucesión menos 1 a la n -1 a la gente a ver cómo sería entonces entonces yo ay reemplazando la n por uno por dos por tres por cuatro por cinco puntos etc etc y voy mirando a ver qué se me va generando acá por ejemplo menos uno a la parada en e iguala una paralela

5:30 igual a uno cuánto me dará esto menos uno de elevado a la 1 nos da menos 1 como ahora para él igual a 1 vamos a n igualados menos 1 al cuadrado aquí recordemos que una cantidad negativa eleva a una potencia par da positivo o sea que el siguiente número sería 1 cierto luego cual seguiría menos 1 al cubo elevado una potencia impar menos uno le da una potencia y par da menos uno coma como seguir antes de la secuencia es como para que usted empiezan a participar muchachos que seguir acá entonces participe en muchachos que seguirán

6:15 después de esto quien me dice a ver muchachos por aquí por estar también si quieren participar 1 seguirá que 1 - 1 si me están escuchando positivo o negativo positivo y negativo cierto esa es la secuencia en algunos seguir si usted lo van a encontrar 1 - 1 1 - 1 etcétera etcétera y así sucesivamente hasta el infinito cierto positivo o negativo positivo o negativo esto lo vamos a encontrar por aquí también está partido por el chat muy bien eso perfecto muy bien entonces estas son las características ahora la idea es por ejemplo qué sucede si nos

7:02 dieran la secuencia por ejemplo al revés nos dieran la secuencia de números por ejemplo digamos 0 3,8 15 24 35 etcétera etcétera ahora nuestro reto es esta secuencia a qué números oa qué fórmula o término enésimo corresponde en términos de n con qué fórmula podré generar esto entonces aquí es de observación que es de observación muchachos miren que por ejemplo la secuencia que vimos ahorita la de 14 9 16 25 36 etcétera etcétera

7:53 ésta correspondía a cuál paquete a que funciona en términos de n si recuerdan el vidente dicen los apuntes está correspondían a cual genética n cuadrado exactamente por lo tanto en esta secuencia original 0 38 15 24 desde observaciones test en algunos seguido van a tener que aprender a hacer eso esto corresponde a los cuadrados de los números naturales tiene cuadrado pero menos uno ya que la formulita para éste sería n cuadrado menos uno así bueno estos son casos particulares cierto para que tengan en cuenta ahí por ejemplo a 20 observación cuál podría ser la

8:40 fórmula el término general para 18 1 18 27 64 125 bueno aquí si no sabría decir a ver qué es el cálculo de esta secuencia si ustedes observan este es 4 1 por 1 1 por 1 4 por 2 9 por 3 16 por 4 25 por 5 ya que es n cuadrado por n ya que esto lo que equivale a decir n al cubo es una secuencia para que tengan en cuenta ahí

9:26 sí que nos dan la secuencia obtener la fórmula enésima en cada caso de esta manera entonces dependiendo del ejercicio en algunos casos podemos aumentar la fórmula hallar la fórmula o en algunos casos hallar la secuencia depende del ejercicio algunos casos ya situaciones como particulares son por ejemplo de pronto no sé si usted recuerdan lo que se llama el concepto de la progresión una progresión aritmética progresión geométrica recordemos entonces esos con esos dos casos particulares de sucesiones es como un subtítulo de muchachos progresión animal progresión progresión aritmética la

10:15 progresión aritmética que se caracteriza porque cada término tomándote muchachos cada término sin cada término de la sucesión se obtiene sumándole un valor fijo r r llamado razón cada término de la asociación se obtiene sumándole un valor fijo r al término inmediatamente anterior al anterior sí esa es la característica al término inmediatamente anterior se va a sumar una cantidad constante una cantidad fija llamada razón r la fórmula la fórmula general digamos tratemos de decirlo así digamos que el primer término es exprimir el término

11:02 que se hace desde el siguiente va a ser de máster y el siguiente r 0 a 0 2 r el siguiente tema será será sumando r se mas 3r y más otra rc4 de ere y así sucesivamente este 13 37 de esta manera es como la fórmula general para una progresión aritmética aritmética es para cuando al sumarle en términos de su modelo anterior la suma del sumando obtengo la expresión de esta manera una secuencia tres ejemplos digamos por

11:48 ejemplo hay progresiones aritméticas clásicas digamos 12 n 12 n que sigue sembrando la n por 12 por 12 la de hoy sólo hay sumando aquí 2 2 más 2 4 4 y 2 6 6 y 2 son 8 construidos son 10 2 4 6 8 10 cierto 10 sigue 12 si le voy sumando un valor constante el valor constante es r la razón la razón aquí es 2 se va sumando valor constante esto es un ejemplo los números pares son un ejemplo de progresión aritmética una progresión aritmética particular así ya

12:35 la otra la de los números impares se escribe de esta manera 12 ene 21 12 de menos 1 vaya sembrando la n por 1 entonces es 1 cierto luego sigue voy sumando le da 2 también suman de 1 2 3 3 y 2 son 5 5 y 2 son 7 7 y 21 9 le voy sumando y sumando 22 2 9 11 si la de los números impares que es otra progresión aritmética progresión es cierto creciendo bueno esta sería con los casos particulares pero veamos por ejemplo por ejemplo ya un caso más general de profesión aritmética y tratemos de deducir cuál podría ser el

13:22 término enésimo lo que llamamos el término enésimo si tienen alguna pregunta bien pueden entrar me van indicando ahí veamos cuánto este otro ejemplo tratemos de deducir cómo sería la fórmula enésima el término el décimo para esta secuencia digamos 5,8 coma 11 coma 14,17 como adversidad y sharon a ver si ustedes me ayudan aquí cuál será el término que sigue acá a ver si ustedes miren esta es la observación perseguir

14:08 cuál será la secuencia cuál seguir acá abc que más llevan por el chat o si quieren activar el micrófono bien pueda cual creen que si ya acá en esta secuencia usted usted analysis observación y razonamiento 5 sigue el 8 sigue el 11 y el 14 sigue el 17 a ver quién me dice smith 20 eso muy bien y cuál sigue después del 20 vamos a ver si vamos a ver segundo intento a ver a ver ayuda en la edil también a ver cuál cree que es y acá vamos vayan mirando a ver la secuencia cuál será después del 20 que seguirá miren a ver muchachos cual seguirá 23

14:57 cierto sí 23 a ver si se la están fijando estoy indignado y se ha corregido muy bien 23 luego entonces por lo tanto consigue haber ayuden a ayudarle a hervir 26 cierto 26 y estuve muy bien valentina puntos suspensivos de la idea es deducir ustedes décimo algo más inductivo sep de deductivo digo perdón de deducir cuál será cualquiera aquí marca cuál será la fórmula en función de n lo que se llama el término enésimo que me permite generar esto eso me dio en 26 29 perfecto entonces miren que cuanto si

15:42 suceda nos está aquí fuimos sumando de a cuánto en esta progresión aritmética fui sumando de a tres cierto sumando de tres en tres más tres 14 317 más 3 y 20 más 3 y así sucesivamente entonces la secuencia es 3 n 3 veces n sí pero tengo que sumarle o restarle un valor constante acá de tal manera 3 n más algo de tal manera que con para n igual a 1 para n igual a 1 me dé como resultado 5 para él igual a 1 me dé como resultado 5 para n igualados me dio como resultado 8 para n igual a 3 me dio como resultado

16:28 11 de un 3 concentrémonos en para n igual a 1 para n igual a 1 me tiene que dar 5 por lo tanto aquí tengo que sumarle 3 n más si n valiera 1 cuánto tendría que sumarle aquí para que me dé 5 que es el primero sería cuánto ayuda de ustedes muchachos a ver cuál sea el valor que le tendría que sumar acá 3 cn + 2 cierto 3 n 2 exactamente por qué porque 3 por 1 325 de espada en e igual a 1 se cumple esta primera el primer valor para n igualados comprobemos a ver 3 x 2 6 y 2 son 8 muy bien para an igualados para n igual a 3

17:16 3 por 3 99 y 211 de las que ustedes aprendan a deducir deducir estas fórmulas agregamos este otro ejemplo a ver cómo nos va con este otro traten de hacer ustedes también y los que están viendo este vídeo también 1,59 13 17 coma 21 a ver si ya están diciendo cual ayúdeme cual se deberá seguir acá 2025 y luego aquí 929 esto ya éste les pillaron cierto entonces esta progresión aritmética tratemos de deducir por lo

18:02 tanto como será la fórmula enésima el término enésimo para esta progresión aritmética entonces la clave es mirar de a cuánto hubo que sumar acá hubo que sumar para cada término 4 es cierto así como andrés político pues sumando 41 más 45 49 4 13 44 más 440 o sea que la fórmula es 4 n desde 4 desde las de la razón booklist es humano más o menos habría que mirar acá más o menos había que mirar a casi que sumarle o restarle aquí de tal manera que el primer término aquí más algo menos algo el tema que el

18:49 primer término para en iguala 1 1 con el primer término en el primer término me genere el 1 de la clave entonces por aquí como tendría que ser entonces está tan deducir que ustedes a ver 4 n y si n vale 1 esta sería 4 pero necesito que empiece con una noticia no le tengo que sumar sino que le tengo que restar cuánto agració en ustedes de su valentina por aquí están participando en el chat 4 n -3 cierto para que para él igual a 194 por una 4 - 3 me de 1 luego cuando n igualados 16 ya se deduce cuando en igualados 4 por 28 menos 3 nos da el

19:34 siguiente 5 y así sucesivamente para el nico a la 345 etcétera etcétera esa la idea que ustedes deduzcan aprendan a deducir de una secuencia de términos cuál podría ser nuestro término enésimo de la sucesión este caso para el caso de progresiones aritméticas se llaman progresiones aritméticas por qué a cada término le voy sumando para generar el siguiente el suman un valor para generar siguiente y así se amen un valor constante otro tipo de profesiones que son también sucesiones son las progresiones geométricas progresión geométrica lo que mueve como un título muchachos son subtítulo progresión geométrica

20:21 una progresión geométrica es análogo a la progresión aritmética progresión progresión geométrica en la progresión geométrica similar el concepto en la progresión rimet y cara a cada término le suma un valor para obtener el siguiente 7 lewis sumando y sumando y sumando en la progresión geométrica ya no voy sumando sino que voy multiplicando entonces conviene a cada término si a cada término a cada término le voy multiplicando y acá tenemos lo y multiplicando un valor fijo r ese valor se llama razón la razón de la progresión geométrica r

21:07 pues multiplicando en un término r para obtener el siguiente y así sucesivamente y cada término se obtiene multiplicando por el inmediatamente anterior es este ya es multiplicando multiplicando así que por ejemplo digamos que tengo unas sucesión que empieza con una constante una primera constante entonces el siguiente voy a multiplicarlo por entes cr el siguiente cr r sanz e r al cuadrado y así sucesivamente multiplicamos otra vez por r entonces queda henry cuadrado por el real con coma

21:53 r por el poder de poder de la cuerda y multiplicando por r ya no es su madre sino multiplicando por el de la cuarta etcétera etcétera etcétera puntos suspensivos si lo quisiéramos expresar en forma de en forma de términos le decimos que sería como c por r a la n 1 así por ere a la gn 1 porque porque aquí es para n iguala 1 1 - 1 del real a 0 que es uno me da para n igual a bolivia colocando una idea jito para n igual a burro me da c para el igualados 2 - 1 r 1 cr para el igual a 3 se r al

22:43 cuadrado y así sucesivamente vayan hablando la n por tres por cuatro por cinco que es como la fórmula general pero la característica de una progresivamente que es que cada término se genera multiplicando por un valor constante el anterior fue multiplicando x el valor fijo razón es ya como casos particulares cierto por ejemplo por ejemplo nos dicen de dos a la n esta es una progresión geométrica particular simplemente vayamos vamos rentando la n por 1 por 2 3 por 4 3 esta progresión geométrica sería 2 a la 1 2 2 por 2 4 por 2 8 por 2 16 por 2 de

23:34 que 32 y así sucesivamente cada elemento se ha obtenido multiplicando por dos multiplicó multiplicó en cambio en la teoría sumando sumando y sumando si así éste sería entonces este sería un caso particular de progresión geométrica o por ejemplo si fuera también puede ser con fracciones digamos un tercio a la n un tercio de la n este sería un tercio a la n un tercio al abono pues es un tercio como un tercio al cuadrado ese 1-1 al cuadrado sobre tres al cuadrado es de cuadrados 9,1 tercio al cubo uno

24:20 al cubo sobre tres al cubo tres al q3 porque nueve por del 27 cierta coma 11 a la cuarta uno a la cuarta sobre tres a la cuarta buena dice así de ustedes muchachos 27 por 327 aquí voy multiplicando por un tercio con y tercio por un tercio por tercio cuanto me da siendo ustedes con sus calculadoras veintisiete por tres para el cual sigue acá y miren a ver dime 7 por 3 21 7 por 28 81 181 cierto así como y así sucesivamente las secuencias y actuamos de lengua la

25:08 secuencia sí correspondiente muy bien esto sería en donde cada término multiplicado por un tercio por un tercio por un tercio y se van generando la secuencia de una progresión geométrica vamos a tratar de hacer lo contrario en el cual sería la el término enésimo para esta progresión geométrica para esta sucesión que corresponde una buena visión geométrica como sería por ejemplo la secuencia o el término enésimo para esta asociación al entenderse de ustedes yo tengo acá dos tercios coma cuatro novenos coma 827 aus

25:55 coma 30 de 216 81 y así sucesivamente entonces cuál será como mi término enésimo ustedes miren que aquí cada elemento lo voy multiplicando por dos tercios este por dos tercios dos tercios arriba por dos la baja por tres arriba por dos abajo por tres cardio por dos abajo por tres o sea que esto es el dos tercios dos tercios simplemente que elevado a la n así arriba por 12 abajo por 3 arriba por 2 y así sucesivamente entonces dos tercios elevado en la n va

26:42 generando esta secuencia bueno la idea es que ustedes ya aprendan a hacer esto por observación para que tengan en cuenta y cada ejercicio ya vamos a ir practicando varios ejemplos 6 para que tratemos de dominarlo ese sería como el concepto un concepto de sucesiones de sucesiones desbancado particular están las progresiones aritméticas hasta las progresiones geométricas y ahora veamos lo que es el concepto el límite límite de una sucesión vamos a ir como subtítulo límite de una sucesión miremos qué cuántos términos hay en una sucesión 1 2 3 4 5 6 7 8 infinitos infinitos términos

27:29 que sucede ahora ya alejos lejos por allá en el infinito que sucederá con el comportamiento de la sucesión en el infinito eso es lo que se llama el límite de una sucesión entonces calculamos sea l igual el límite cuando n tiende a infinito sea el lema muchachos para que lo practicamos en el e igual el límite límite cuando el extiende infinito de una sucesión azul tiene por ejemplo así dependiendo del tipo de sucesión es posible que la sucesión sea convergente o sea divergente entonces se dice que los apuntó no hay se dice que es

28:15 convergente tu mente en la teoría se dice que es convergente sí que converge convergentes y el límite existe simplemente si tiene un valor fijo un número real si el límite si l existe si el límite existe sin convergente de lo contrario se dice que es divergente simplemente o converge o divertido se dice que es divergente divergentes y el límite sigue l no existe no existe es que tiende a infinito por ejemplo que crezca que es que crezca mucho crezca tanto crezca tanto que que se disparó y se dice que

29:02 el límite no existe y es divergente sí o no converge a un valor fijo hay por ejemplo veámoslo con los ejemplos de cuando es que convergen cuando es que diverge digamos digamos que tenemos así sencillita digamos que la tenemos la sucesión uno como un medio vamos apuntando allí como ejemplo ejemplo vamos a analizar esta sucesión 1 como un medio como un tercio como un cuarto como un quinto un sexto etcétera etcétera etcétera cuál sea el término enésimo para esta sucesión a ver cómo para que ustedes también entren a

29:48 participar ahí muchachos como es el término enésimo para esta asociación a ver qué me dicen pongan a pongan a volar su mente su imaginación a un razonamiento que fórmula me permitirá generar esto va a mirar por estar también si quieren aquí por si no quieren utilizar el micrófono sí que utiliza el micrófono bien pueda muchachos que fórmula me permite generar esta secuencia de términos en el numerador por ejemplo tienen que todos los números hagan de cuenta que esto es 1 sobre 1 así que me dicen a ver muchachos participen en el numerador 111 11 sobre y el denominador 1 2 3 4 5 6 2

30:38 ante el denominador es n 1 sobre n ésta es la secuencia ese es el término que me permite generar esta secuencia de números que esta asociación ahora la pregunta es esta sucesión converge o divergen entonces para eso amarc alc u la el l l que sea igual al límite cuando n tiende a infinito de 1 sobre la sucesión éste viene en la sucesión 1 sobre gene bueno tengan en cuenta que 1 sobre el es irreemplazable n por un número muy grande 1 sobre infinito esto tiende a que a ver entonces si ya saben miren a ver esto

31:24 recordando límites y si no en sus calculadoras comparte miren a ver cuanto ahora por ejemplo aquí hasta aquí era un sexto cierto pero si fuera por ejemplo un 10º 11º cuanto en la calculadora un décimo por ejemplo en realidad médicos es calculadores muchachos a ver los que trajeron calculadora todo con sus celulares también en mil 94 undécimo por ejemplo 1 / 10 en decimal en desigual como la hora de saber cuánto daría con sólo 0.1 cierto muy bien apuntó 1 listo y si fuera un centésimo por ejemplo como no salta que tiende a cada vez más grande

32:11 otro 0.01 es cierto y si fuera un milésimo como sería un toque se vayan temprano w01 6.001 y así sucesivamente cada vez son números más y más pequeños es que sucederán en el infinito hacia que tiene esto si nosotros observamos a 1 sobre infinito su infinito 0 esa gracia 0 cierto esto andrés felipe tiende a cero prácticamente porque es 30.000 000 infinitos 0 saca cierto 0 1 por ejemplo eso ya que uno sobre infinito cuando lo

32:57 tengamos ustedes se tiende a cero eso vale cero muy bien por lo tanto como eso es un número real el cero es un número real decimos que la en esta sucesión convergen de esta manera sencillo aceptó es sencillo el concepto si tiene un número constante convertir de lo contrario divergen por ejemplo a ver por ejemplo la de los esta otra la criamos visto ahorita pensemos en este 11 que tenido 14 9 16 25 36 etcétera etcétera etcétera si ésta es la de los naturales cierto los

33:44 números naturales al cuadrado está la de n cuadrado así que sucede si n tiende a infinito l igual el límite cuando n tiende a infinito de n guardado mientras hemos la n por infinito es k infinito al cuadrado infinito elevado al cuadrado esto es infinito si usa porque qué significa esto que estos números a medida que vamos ascendiendo ascendiendo se va creciendo creciendo creciendo entonces esto no es un número que tú no es muy realmente sino que crece crece crece por lo tanto el límite no existe y se dice que la sucesión divergen de esta manera aquí y ver que todo el límite no

34:30 existe existe si lo encontraste en sus talleres no existe o que el límite ibérico o que la asociación la sucesión divertida así cuando nos dé de esta manera tratemos de hacer esto otro ejemplo a ver ustedes con sus habilidades y destrezas a ver con lo que hasta el momento hemos aprendido por ejemplo nos dan esta sucesión primero hay que tratar de sacar el término enésimo nos dan esta tres quintos coma cuatro séptimos coma cinco no ve los coma 611 a vos 7 13 a vos como a ver si algunos días

35:18 las telas y yo como dicen aquí en colombia y cuál será el siguiente numerito que siyaka cuál será la siguiente fracción a ver si ustedes las pillaron cuál cree que será la siguiente el siguiente fraccionario acá después de este arenal son muy bien exactamente 8 15 a vos cierto eso ya se fijaron cierto muy bien eso 8 y luego sigue el 9 sobre 17 perfecto entonces ahora la idea es tratar de deducir cuál será tu ya 67 cuál sea una

36:04 fórmula en términos de n pues esto es una fracción ya que a que hay que definir una fórmula para el numerador y una fórmula para el denominador cierto esto por aquí valentina ya está diciendo algo no sabe qué dice traten de deducir ejemplo la del numerador la del numerador voy sumando le dé a uno excepto tres cuatro cinco seis siete ocho nueve ya que esto es n simplemente la de numerador pero más algo más agua que como será la del numerador traten de deducir las de saber n más entonces tengan en cuenta que el primer término es con n iguala 1 1 n igual a 13 que tendré que sumarle

36:51 aquí para que contiene igual a 1 me deje este numerador me del 3 que aparece acá debes traté de decirle usted es saber para que aquí en el numerador me dé 1 p perdone de 3 eso muy bien y de valentina tiene más 2 cierto para que uno más 293 con el igual a un muy bien y en el denominador en el denominador miremos a ver en el denominador es 5 7 9 11 que se fue fuera fuimos sumando de a 2 sep top 5 + 2 729 más 2 más 2 más 2 saque abajo es 12 n 12 l si posee por supuesto

37:37 sumando de a 2 de a dos lados pero hay que mirar aquí más algo de tal manera que de tal manera que para n igual a 1 obtenga este 5 que tengo acá 12 n para generar el 5 es que el numerito se tendrá que vendrá acá con el igual a 1 con el igual a 12 por una 23 de eso muy bien valentina 2 cl más 3 así sería exactamente este es mi término éste es mi término enésimo el término máximo de la sucesión ahora la pregunta es converge o diverge convergió diverge cierto entonces aquí es donde tenemos que calcular el límite digamos que él

38:24 sea el igual límite cuando n tiende a infinito de n 2 sobre 12 n 3 en este caso si yo siempre habla l por infinito directamente materia infinito + 2 sobre infinito más 32 político está infinito es un infinito sí pero para resolver esta indeterminación de tipo infinito sobre infinito 1 lo normalmente lo que hacía era dividir todo por la mayor potencia de la incógnita adquirir todo por n en este caso ya que esto es lo mismo que el límite cuando feli tiende a infinito de n sobre gm más 2 sobre gm cada término de estos voy a decirlo por en cada uno

39:12 de estos elementos acá de estos términos el numerador y en el denominado pueda vivirlo por el saldo cn sobre n 3 sobre n de esta manera así para que me quede de la siguiente forma límite cuando l tiende a infinito d n sobre en esto me da 1 + 2 sobre n de las indicadas y abajo me quedan dos en eso de nm datos + 3 sobre n 3 sobre que si yo rentable n por infinito en estas nuevas expresiones me quede así 12 sobre infinito sobre dos más tres

39:58 sobre infinito 2 sobre infinito habíamos dicho ahorita que se tiende a cero y tres sobre infinitos que tiende a cero o sea que esto a la final cuanto medio numerador medio uno y en el denominador medio dos un medio un medio como es un número como es un valor fijo constante un medio ese es el valor del límite y por lo tanto que se dice con bermejo diverge que dice ustedes en ustedes muchachos a ver como para que participen también cuando nos da un medio cuando nos da un número fijo un valor constante un número real es su valentina convergen muy bien cierto convert que por lo tanto esta sucesión esta sucesión con bergé todo

40:44 esto sistema de banda ka tiende cada vez más y más a un medio estos numeritos que tengo acá si ustedes van a ser calculando el valor decimal en decimales de estos números están apareciendo a consecuencia en secuencia van a acercarse más y más y más a un medio si ese es el concepto de convergencia o divergencia de una sucesión muy bien listo es miren a ver si tiene alguna pregunta hasta aquí sobre sus sesiones esta es la parte teórica sobre sucesiones porque ahora vamos a entrar al tema de el concepto de series series copiamos hay como un título muchachos series numéricas veamos qué es eso de series numéricas o

41:31 simplemente series así ustedes lo van a encontrar también en sus en sus libros en su bibliografía en su teoría series o serie numéricas series series con temas y series numéricas numéricas o simplemente series qué es una serie una serie numérica no es más que una suma de una asociación así es sencillo es la suma de una sucesión o sea que lo mismo que antes pero sumando los términos sumando los términos del general después digamos que las asociaciones a su n así las asociaciones a sub en la serie la serie

42:20 numérica o simplemente serie es la sumatoria como las y con por ejemplo con k como para variar de índice con k desde uno hasta infinito porque son infinitos términos desde una sucesión su material con cada desde uno hasta infinito de azúcar así azúcar antes decir navarrete grandes a su uno más asuntos más a sus tres más 4 etcétera etcétera etcétera etcétera es sumar los términos de una asociación la suma de los tramos de una asociación esto es una serie sumar los elementos y sumar todos los elementos de una sucesión vales conviene definir también aquí la normalmente esta suma tiene infinitos

43:06 términos esta suma tiene infinitos términos pero a veces nos conviene sumas pedacitos de sumas lo empleas está cierta parte aquí usted eso es lo que llaman suma parcial así suma para si algún pedacito de la suma total realmente esta suma tiene infinitos términos pero podemos queremos calcular por alguna razón un pedacito de la suma entonces se llama suma parcial que vamos a denotar lo como de la siguiente manera s sub n con la letra g s de suma este subgénero es igual a sumatoria con k igual 1 hasta un mediano hasta infinito denostan viene de azúcar así se ponen rojas uno más

43:54 asuntos más etcétera etcétera hasta un valor determinado a su que le saque ya no sea que no abarque todos los términos sino hasta un valor específico y éste suma parcial si yo hago tender en el infinito ay defino el valor de toda la serie la suma de la serie completa entonces la sumatoria como fuera como fórmula y para que la tenga el presente con taiwán 1 hasta l d desde el conca igual uno hasta infinito perdón la similitud de azúcar es igual al límite cuando l tiende a infinito cuando n tiende a infinito de sumatoria conca

44:41 igual uno está n de azúcar tome nota como fórmula y la suma de una serie de la suma completa si la suma de todos los términos de una sucesión la serie completas se calcula mediante este límite en el caso que podemos definir una fórmula dita para el la sumatoria los azúcar tomen como fórmula para tenerla en cuenta y ya dependiendo el ejercicio a veces puede ser sencillo obtener esta sumatoria oa veces puede ser complicado y si necesitaríamos criterios que son los que vamos a utilizar para definir si este límite existe entonces si este límite existe supongamos que esto nos dio un l tenemos acá esta serie si es lo mismo

45:27 que vimos ahorita esto puede ser que converge puede ser que convertía con o diversa es cierto que converge o diversificó lo que le ayudaba en la teoría para que lo tengan en cuenta esto puede ser que con o diversa cierto para que tengan en cuenta y puede que converja jope de libertad entonces dependiendo de cada ejercicio puede ser que exista esta serie así que valores hacer exista o que no exista dependiendo del ejercicio es el equipo no paramos mirando una como casos particulares casos situaciones particulares por ejemplo digamos una la serie correspondiente a una progresión aritmética como los ya con casos particulares de series series de sumas

46:17 sucesión son los elementos y series la suma de los elementos de la sucesión que tengan claro esos dos conceptos diferencias entre sucesión y serie entonces caso particular por ejemplo digamos que tenemos el caso de una de una serie serie de una progresión aritmética coloquemos así como subtítulo serie de progresiones aritméticas progresiones aritméticas cómo sería series de progresiones aritméticas pero por ejemplo digamos como en su fórmula general no tengo nada recordemos que una

47:02 progresión aritmética en una progresión aritmética se van sumando términos cierto por ejemplo lo que habíamos visto ahorita 2 n 3 aritmética y si yo quiero hacer la sumatoria entonces vamos a dar ya la correspondiente sumatoria de estos términos a la serie la serie correspondiente a esta sumatoria ese vial perdón a esta sucesión sería sumatoria con acá igual 1 hasta infinito de dos camas 3 simplemente cambio en la n por 3 sumatorio conca igual 1 hasta infinito de dos camas 3 así si yo voy reemplazando entonces miremos a ver qué sucede con esto por ejemplo esto es

47:51 si yo voy reemplazando esto lo mismo que por ejemplo con cuánto acá vale 12 por 12 y 35 más cuando acá vale 22 puntos 4 más 37 voy sumando la idea 27 sumémosle 27 y 29 sumémosle 2 11 sumémosle 2 13 cierto voy sumando son los números impares a partir del 5 acá 5 7 más 9 más 11 13 más 15 más que sucederá si yo sigo y sigo y sigo sumando términos 55 77 99 más 11 913 más

48:37 15 aquí por observación por simple observación ustedes qué opinan con esto convergió divergen que dice que me dice mucha sustancia por por intuición digámoslo así si es que dicen esto convergentes diverge es que si crece crece y crece y tiende a un valor muy grande en exceso a su sumando subiendo subiendo y subiendo cierto entonces se espera que libertad pero vamos a comprobarlo vamos a comprobar la k de la siguiente manera vamos a definir un s sub n igual sumatoria con taiwán 1 hasta n un valor n cualquiera de dos camas 3 para eso

49:22 vamos a recordar fórmulas fórmulas por asia queremos en en clases anteriores recordemos algunas fórmulas y propiedades de las sumatorias miren que estas son valores en particular eso es lo que llama una suma parcial para que tengan en cuenta suma parcial entonces cómo sería esta suma parcela en particular vamos a utilizar propiedades de las sumatorias no sé si recuerdan estas propiedades que vimos alguna vez en alguna ocasión dos camas 3 esto se descompone de la siguiente manera 2 sumatoria con k igual 1 hasta l de k + sumatoria con k igual uno hasta n de 3 estas fórmulas en alguna ocasión lo

50:10 habíamos trabajado en alguna ocasión bueno sería bueno por allá a revisar en sus apuntes busquen busquen buscando a ver a ver si recuerdan está la sumatoria de los números naturales del 1 hasta el n horas ya no deben de tener ustedes en su subconsciente vienen a ver qué fórmula corresponderá a ésta a ver si alguien la tiene en su mente de pronto la recordarán muchachos alguien decorada tienen contraída por allá en sus apuntes buscando buscando miren a ver a ver si les suena esta fórmula n n 1 sobre 2 si no se acuerdan por allá recordando

50:55 recordando bueno por allá de tener ustedes poner en su mente cierto y si no me ha tocado colocarles una tarjeta para recordar voy a recordar por allá que los tiempos más a ver qué más tenemos por acá sumatoria de desde acá igual unos hasta en de una constante de una constante a ver qué recuerdan ustedes por allá atrás hace mucho tiempo en alguna ocasión por allá en inicios del curso a principios del curso esto era una constante por se acuerdan desde uno está en era constante por n la constante por n 3 sería un secado la

51:41 constante estrés por n usa 3 n así sitúa en un plato para tocar le ponemos a estudiar nuevamente algunas fórmulas por allá dejé del principio del curso ya que esto nos quedaría bueno vamos a hacerlo y vamos a hacerlo poco a poco y vamos refrescando los conocimientos 2 y 2 se cancela multipliquemos a que a gente por n n cuadrado más tiene por una n más 13 n esto me quedaría en el cuadrado más tiene 34 n así esta sucesión esta es la suma parcial esta fórmula permite que una suma hasta cierta cantidad de esta cierta parte para el

52:28 igual a 1 para el igualados y como 7 para en igual a 3 miguel a 4 entonces para la serie completa para la serie completa entonces vamos a hacer el límite límite entonces límite cuando n tiende a infinito de ese sub n para la serie completa límite cuando uno tiende a infinito de ese sub n esto es igual al límite cuando n tiende a infinito de n al cuadrado más 4 n así en el cuadrado más 4 y precisión empleo a la n por infinito esto me queda infinito al cuadrado más 4 por infinito infinito es un número muy grande más otro infinito

53:13 es infinito sé que osea que esta sumatoria aquí ya lo hemos comprobado analíticamente tiende a infinito y por lo tanto que se dice convergió divers que a ver muchachos para que ustedes también participen participen ya gran parte del acto que me dicen es que se concluye una progresión es aritmética en general exactamente divergen muy bien divergen y eso es general para cualquier progresión aritmética la progresión aritmética normalmente divergen divergen porque porque son sumas que hoy sumándole sumando y sumándole y hasta que ex explota digámoslo así crece crece

53:59 crece y crece crece crece si crees que la caracteriza de progresiones aritméticas a diferencia de las prohibiciones geométricas entonces con lo que no hay como aparte analicemos un poquito sobre serie de progresiones geométricas están en condiciones aritméticas ahora veamos el coste en el caso de serie de progresiones geométricas como lo de las progresiones geométricas recordemos que es con progresiones geométricas cuando los multiplicando quizá dependes de la multiplicación veamos cómo sería se de la serie de progresiones geométricas de progresiones geométricas ya que en las que voy

54:45 multiplicando multiplicando multiplicando geométricas como a generalizar lo digamos que tenemos la serie es la siguiente cuando es una progresión geométrica de la formulita es ce por r a la n-1 hay una historia y está cierto entonces la progress la serie geométrica la serie geométrica sería apunten a y sumatoria con k igual uno hasta infinito su madre con k igual en esta infinito de c por r a la k menos 1 así como fórmula como fórmula para que la tengan en cuenta estos ejercicios se hacen por el

55:30 ere al acame los 1 de dónde provendrá que éste se podemos sacarlo como constante ustedes constantes sumatoria con k igual uno está infinito de r al acame las 1 así ahora esto tiene una fórmula hay una fórmula conocida para la serie de provisiones geométricas cómo utilizar la fórmula de la siguiente manera para las sumas ya no está infinito es un gran suma parcial les colocamos las y suma parcial salvo un pedacito de suma para no sumar pero tengan en cuenta que más serie una serie es una suma de infinitos términos todos infinitos infinitos en donde al sumar los puede convertir o divertir entonces vamos a basarnos en la suma parcial un

56:15 pedacito de la suma la suma digamos que es la suma parcial ese día ya no hasta infinito sino hasta un valor can llamémosla gs su pene esa es buena igual c sumatoria con k igual uno hasta n de r al menos uno así el real a menos uno desde es cambiar el infinito por una n si eso me pareció lo queremos la agrupación como con las integrales impropias cierto que era cambiar el infinito por un valor por una por una letra cierto algo así algo similar es lo que se hace cuando vamos a calcular suma parcial cambiar el infinito por una n en este caso y

57:01 ahorita hacemos en cuanto que cuando n tienda hay delito esto tiene su fórmula y ésta tiene una fórmula que es la fórmula las materia para una prohibición geométrica se les voy a dar de una vez cierto es la demostración estable la pueden encontrar los libros y todo pero esto es c x esta sumatoria equivale a decir ere a la n iv con henna k menos 1 sobre r - 1 esta fórmula que nos permite calcular cualquier suma cualquier pedacito es suma de una serie geométrica esta es el pedacito usted ya dependiendo del valor de ere del valor de rd podemos decir si la serie geométrica con bergé o

57:47 divergentes zapayán apunta todas las fórmulas para que la tengan en cuenta para sus ejercicios y para todos para sus talleres sé por qué real en el -1 sobre r - 1 es decir que colocan los y entre paréntesis para que no se confundan dependiendo del valor de r entonces ya es como en particular sí c.r tengan apunten ahí para que tengan en la teoría si eres menor que oro es como un fraccionario y menor que 10.1 es lógicos bueno positivo excepto porque para negativo esto tiene un categoría especial para series alternantes puntos por lo que marx y si 0 menor que era menor que 1

58:32 así este ere que lo que llamamos la razón está entre 0 y 1 sound es un número decimal 0.1 0.2 la fracción entre 0 y 1 la serie aquí está al calcular el límite la serie converge para que tengan en cuenta la serie convergen ahorita miramos un ejemplo particular ahora sí r es mayor que 1 si este ere es un número muy grande aquí 2 3 4 5 mayor que 1 la serie la serie divergen de esta manera esta es como la teoría general para series de progresiones

59:18 geométricas cuando tengamos un producto cuando tengamos un producto en números pequeños para que para analizar a lo malo con ejemplos para que ustedes miren cómo se aplicaría esta fórmula de cr a la n menos 1 sobre r menos uno para serie de progresiones geométricas así cambiaremos con ejemplos ya particular digamos nos dan esta serie nos dan esta serie ejemplo y nos dicen analizar la sumat la analizar esta serie obtener el valor hacia el que tiene esta serie undécimo más un centésimo más un milésimo

1:00:03 + 110 milésima más etcétera etcétera etcétera etcétera etcétera etcétera etcétera así de esta manera nos pregunta calcular esta suma de esa manera de ver que a de gracia que tiende cierto hace que tiende ese valor entonces y como primero observó que se trata de una progresión geométrica la progresión geométrica porque este es un décimo el siguiente término lo estoy multiplicando un décimo por un décimo de un centésimo el siguiente un décimo por un décimo el siguiente por un décimo más por un décimo de todos los denominado por 10 10 por 10 100 por 10 y un mil por

1:00:50 10 diez mil días y así por 10 x 10 x 10 es cierto que si no te lo vamos a expresar lo como sumatoria esto lo mismo que la sumatoria vamos a aumentar esta fórmula para que la tica presente para para deducir esta fórmula está suma entonces primero es de observar cuál sería la secuencia ya está es lo mismo que sumatoria conca igual esto es hasta infinito con k igual uno hasta infinito porque eso hasta infinito de miren que esto es un décimo sí porque es undécimo public décimo por un 25 por un décimo a la k así un décimo alacant éste es este es

1:01:40 como la fórmula general para esta sumatoria que tenemos acá porque porque voy multiplicando de un décimo undécimo desmond smith desmond es éste sería mi r&r este undécimo esta es mi r para la fórmula que vamos a aplicar ahorita apunte no hay un ladito este es el valor de r con la razón ere igual un décimo de esta manera y queremos calcular queremos analizar bueno 11º esto es lo mismo que en decimal uno dividido después de 0.1 cierto y eso es menor que 1 menor que uno entonces según la teoría que les acabe de dictar la labor de acá es que esta serie convergió divertido

1:02:25 ver como para que ustedes participen también qué opinan de esta serie según la teoría que vimos ahorita cuando eres menor que uno cuando eres menor que uno que me dicen ustedes muchachos gustan 3 0 y 1 cierto se espera que convenga cierto exactamente en este caso la serie converge se tuvo la teoría que vimos ahorita pronto es la pregunta es hacia qué valor converge con ver que esta serie es para eso vamos a utilizar la formulita que vimos ahorita del s sub n ese sub n es igual en este caso ese es el primer término se es el primer término en las materias comunidades y les doy para que tengan en

1:03:11 cuenta que este es el valor de c en la fórmula que teníamos la que va a contar la por acá para que la tengan en cuenta de todos modos ese su pene ese por ere a la n 1 a la que como decimos a y ccr a la n menos 1 cierto cr a la n sobre rm 1 así está la formulita que vamos a aplicar acá donde se es el primer término para que tengan en cuenta el primer término de las de la serie acá y de la asociación undécimo entonces vamos reemplazando un décimo por ere a la n-1 ere perro pero ere es

1:03:57 11º porque es un décimo por un décimo pregúntese muy pronto o sea que sería un décimo a la gn undécimo colocamos así como un 47 en oslo para que no nos conjuntamos un décimo a la n menos 1 sobre un 10º - 1 undécimo menos unos ya que aquí todo r es undécimo r es el valor por el que se va multiplicando acá eres un décimo por un décimo por un décimo por un décimo por un décimo proyección usted es el valor de r un décimo a la n21 sobre n menos uno bueno aquí de hacer y hacer las operaciones miremos a ver cómo quedaría entre esta

1:04:43 la fórmula para que tengan en cuenta sus ejercicios en sus talleres y miremos cómo quedaría entonces acá esto me quedaría vamos a realizarlo esto quedaría un décimo arriba por un décimo a la enee esto es un décimo 1 sobre 10 a la n 1 de la m sobre 10 a la n menos 1 sobre y abajo este es un décimo menos uno colabore médico más calculador es saber o hagamos carita feliz acá undécimo menos 1 sobre 11 por 11 menos 10 menos un 10

1:05:28 una vez está bien cuánto les da abajo entonces esto me quedaría 10º en el numerador y en el denominado oración médico las calculadoras esto quedaría ese su n igual un décimo por esto queda igual 1 sobre 10 a la n menos 1 todo sobre esto quedó menos nueve decimos cierto menos nueve décimos que simplificado simplificamos acá días con 10 desde acá y ley de la oreja es omitida 1 sobre

1:06:13 menos 1 sobre menos 9 menos uno ve lo menos un noveno de 1 sobre 10 a la n menos 1 así y ese es cuando quiero calcular un pedacito de sumas de esa suma de un décimo más su centésimo más un milésimo más etcétera etcétera vamos a calcular el límite en el límite cuando n tiende a infinito de esa expresión a ver cuánto me da en el límite cuando entiende infinito límite de llámelo l igual límite cuando n tiende a infinito de ese sub n a de sieso convergió divertido 3 1 sobre n 1 sobre 9 perdón por 1 sobre 10 a la

1:07:02 infinito así 10 al infinito menos 110 a la infinito esto es una cantidad muy grande 1 sobre infinitos y 1 sobre pero uno sobre infinito 1 y da una cantidad gigante hayamos visto que esto tiende a cero ya que todo esto tiende a cero o sea que al final todo esto medio y menos por menos da más un noveno está el valor de la sucesión betsy de la suma de la sucesión de una de esta progresión geométrica que teníamos acá o sea que este es es como si yo sumáramos a que por lo tanto un décimo más un centésimo más un milésimo y más con diezmilésimos más de cdc 13

1:07:51 hasta el infinito esto da es igual a un novena y sería bueno comprobar la calculadora por ejemplo haber colabora media y muchas dosis con la calculadora en decimales cuánto me da 1 / 9 aproximados la calculadora 1 / 9 con todos los decimales posibles en sus calculadoras a ver colaboraremos muchachos por favor en su calculadora 1 / 9 decimal con tono no cierto 0.11 11 11 11 cuentas o los infinitos 1 cierto esto valentín ahora que también está colaborando por actividad y es porque miren que un

1:08:39 décimo es como sumar 0.1 un centésimo es como sumar 0.01 un milésimo estos más 0.001 un destino 0.0001 y así sucesivamente es cierto estoy sumándole cada vez más punto 1.0 1.001 por eso es que entonces decimos que esta serie esta serie converge y para este caso particular así es como ustedes van a utilizar entonces el criterio para analizar cuando tengo una serie geométrica una serie de una progresión geométrica utilicen este criterio esta forma lista para definir cuál es el valor hacia el que converge que la serie esta suma touring mitad de esa manera para que pueda suscribirse es bueno y para

1:09:26 finalizar ya este tema este vídeo de la clase de hoy vamos a ver el concepto de una suma telescópica para aplicarlos ya a series de fórmulas que se pueden generar a través de lo que llama la suma telescópica entonces si ustedes lo habían visto en alguna ocasión por allá en sus cursos anteriores el concepto de copyright como un título y subtítulo suma telescópica telescópica telescópicas y de lado la suma telescópica la característica de una suma telescópica en general que les corresponde a una suma como su nombre lo indica que la suma entonces copiamos

1:10:12 como la para que lo tengan en la teoría mente lewis recalcando acá una suma telescópica es que a un término a un término están corriendo ahí a un término les sumó el término inmediatamente anterior en una sumatoria entonces por ejemplo digamos a un tema el perdón del summa no le restó el resto a un temió le reste este mínimo y detente anterior si a un término a un término le resto le restó el término inmediatamente anterior término anterior inmediatamente antes o el término

1:10:59 siguiente o término siguiente términos siguiente que será una secuencia términos siguiente para que tengan en cuenta entonces en notación general sería de la siguiente manera digamos que yo tengo sumatoria con cada igual uno hasta n así por ejemplo en este caso azúcar menos siempre es con restas con resta se le restan los soles más mis leves menos ya sea el término inmediatamente anterior azúcar -1 así ésta es un tipo de suma telescópica para que tengan en cuenta este lo que se de nuevo si esto es una primera suma telescópica así en

1:11:46 este caso el término el término mayor aquí en este caso es azúcar al psuv cast el término de mayor digámoslo así y azúcar -1 es el término menor por el camino es 1 entonces el término mayor lo reemplazó por el límite superior a su pene y el término menor lo rentado por el límite inferior qué hacen y uno por ejemplo estamos me quedaría de la siguiente manera este es hasta acá pero acá vale n pm - y con el que iguala unos de árbol o azul 01 - 10 para reemplazar la cara por

1:12:32 n y la k por 11 10 vamos a dar un ejemplo como para entenderlo la otra opción de suma telescópica apunten adif es acá igual uno hasta g n de azúcar menos asuka más uno que es el término siguiente azúcar más uno está es igual a aquí con forma aquí de grammy está el términos siguientes a su camas 1 aquí este es su cama su no lo voy a reemplazar por n el que lo voy a retirar por gene y en el término anterior en azúcar pudiera reemplazar la cal la voy

1:13:19 a reemplazar por 1 de esta manera o sea que la suma telescópica esto equivale a decir a su 1 1 - a su n1n1 apunten a las fórmulas ya vamos a deducir las para entender vamos a decir cuerpo de esta que la que como utilizar al psuv cam sumatoria desde acá igual uno está en la idea - a su camas 1 una diferencia de un término menos el término siguiente es hace uno menos a su n 1 veamos como ustedes como ustedes de estas fórmulas hagamos la está para este autocar su pib para el segundo caso que se llama utilizar tenemos

1:14:05 tenemos si yo hago la secuencia tomas la secuencia acá por ejemplo sumatoria con acá igual uno hasta n de azúcar menos azúcar más uno vamos a hacerlo así para que entiendan de dónde es que sale está participada que tenemos acá azúcar - a su cama azul para acá igual a uno para acá igual a uno tenemos para que igual a uno tendríamos a su uno menos ácidos así más eso porque es una sumatoria esto para acá igual a uno van copiando la y para que vayan entendiendo esto para acá igual a uno ahora vamos a

1:14:54 hacer acá igual a dos para cada igualados que sucede con acá igualados entonces a sub 22 - con cada igualados 2 1.3 seguimos con k igual a tres con caigo 3 veamos cómo queda con que igual a 3 han tomando nota para entrar para comprender esta fórmula con k igual a 3 queda a sub 13 sub 3 3 + 1 454 si a un término estoy restando el término siguiente también les tiré stand y se me el siguiente más el

1:15:41 siguiente y así sucesivamente sería aquí era uno menos 212 más asuntos menos a sus tres más a sus términos de su 4 más a su 4 menos a sus 5 más etcétera etcétera etcétera etcétera etcétera cierto hasta que al final al final en el último en el último término tendríamos con n quedaría a su n - a su n 1 n 1 y adivinen qué pasa con todos los términos intermedios miren que por ejemplo aquí tengo a su 1 - asuntos pero aquí quedó azul 2 - 2 3 entonces menos a sus dos más ácidos se

1:16:27 nos cancela - azul 3 más de 3 se nos cancela menos a su 4 más a su cuarto se les cancela y así sucesivamente se cancelan casi todos los términos exceptuando cuales se cancelan casi todos exceptuando el primero a su cuna y el último a su n 1 es por eso que esta suma al final final me queda de esta manera me queda a su 1 que es el primer término menos el último término que es a su n 1 así es como la deducción de una solo que llama una suma telescópicas del caso es que vamos a trabajar ahorita esta es

1:17:14 suma telescópica para que le den los talleres los ejercicios lo reduzcan telescópica ésta es la suma telescópica es simplemente cuando tengamos una suma telescópica de esta manera un término menos el término siguiente apliquen esta fórmula ya no tienen que hacer todo este procedimiento es lo que aplicamos esta fórmula tenemos acá para que la tengan en cuenta en sus ejercicios en sus talleres vamos a un ejemplo algunos ejemplos acá para que aprendamos a aplicar esta fórmula este ejemplo así sencillo bueno vamos a ver qué tan sencillo es que tanto se las pillan la robla así como completó un ejercicio así como completo de suspicacia y de habilidad

1:17:59 para aplicar esta fórmula pues la tienen ahí ha notado cierto entonces dice así y dice nos dicen analizar la siguiente serie se conoce bien calcular el ejemplo nos dicen está suma un medio más un sexto más un doceavo más un veinteavo más un 30 ago más un 42 más etcétera etcétera etcétera bueno es tesis de mucha observación pistas pistas aquí para tratar de deducir cómo sería esta fórmula pistas

1:18:45 descompongan miren como es el 2 como si fuera uno por dos pescando hay de vaquita de dos como si fuera uno por dos este 6 como 2 por 3 2 por 3 este 12 como 3 por 4 este 20 como lo podríamos de saber si ustedes traten de decirlo traten de hacer la deducción cuál sería la la secuencia aquí para el 20 cómo podríamos mirarlo como lo descompondría mos para observar tienen que aquí es 1 por 2 2 por 3 3 por 4 este como será 4 por 5 muy bien valentina es súper equipo de ex al 4 por 5 este cómo será

1:19:31 5 x 6 d es lo que ustedes tienen que aprender a reducir en cada ejercicio cierto 42 es 6 por 7 cierto y así sucesivamente o sea que esto en forma de sumatoria como una serie nos piden que al definir cuál es el valor de esa serie este sumatoria con k igual 1 hasta el infinito sumatoria con k igual uno está infinito de unos sobre entonces aquí es donde venimos pero aquí es 1 por 2 2 por 3 3 por 4 4 o 5 o sea que este la sumatoria acá por el siguiente camas una sumatoria con cada igual uno este

1:20:17 infinito de 1 sobre caborca más 1 de esta manera que está la sumatoria está la sumatoria que queremos analizar esta es la serie que queremos analizar unasur y acá porque amazon resulta que aquí para poder descomponer esto en una serie una suma telescópica necesitamos hacer lo que se llama acciones parciales muchachos fracciones parciales a que toca recordar horas ya también aquellos tiempos de las fracciones parciales para poder hacer la suma telescópica aquí que tanto recuerdan de fracciones parciales por allá acordando el método de está para con el dedo el método los dos métodos si vamos a

1:21:03 aplicarlo acá factor lineal factor lineal recordando dónde vamos a estar separamos aquí y eliminemos aquí la parte de la sumatoria y traemos concentrémonos en las fracciones parciales para ver cómo sería entonces sería de la siguiente manera uno sobre cada por cada uno esto es igual a se acuerdan factores lineales un factor y lineales fracciones parciales de la forma a sobre k más ve sobre cada uno aquí sino que las variables que trabajamos antes eran diferentes y que había un método inmediato para obtener el valor de a y el valor debe sacar donde el método de tapar el factor con un dedo y reemplazar

1:21:51 y reemplazando aquí por ejemplo acá los valores que anulan los denominadores sus factores lineales son acá igual a cero y acá iguala a que menos uno acá igual acerca igual a menos uno tú vamos reemplazarlos por ejemplo aquí para acá igual a cero kayden plasma aquí para hallar el valor de a conca igual a cero y para hallar el valor debe con acá igual a menos uno de los valores que anulen toca recordar por allá muchas cositas del pasado para que tengan en cuenta acá igual a cero acá igual a menos uno entonces con k igual a cero voy a obtener este valor de a a es igual a a es igual a tapar el

1:22:37 factor con un dedo te vamos a tapar el factor con el dedo y me quedaría me quedaría la siguiente manera como quedaría entonces contra igual a cero tapar el factor de cáncer para que reemplacemos la k por 0 1 sobre a es igual 1 sobre con que iguala 0-0 uno de uno hasta que cada uno sobre el ser humano que ustedes como para indicarlo tapando el k con el dedo acá es uno que tengo el valor de a quiero hacer el valor de b quiero hacer el valor debe con k igual a menos 1 entonces tapan del -1 k -1 kaká elevando la ca por menos 11 sobre menos

1:23:23 11 sobre menos 11 sobre igual a menos 1 eso a menos 1 ya tengo los valores de beta pando al factor con un dedo recordando fracciones parciales o sea que ahora siento la sumatoria de esta me va a quedar de la siguiente manera esta sumatoria me va a quedar igual a sumatoria con k igual uno hasta infinito de 1 sobre k por camacho no voy a reemplazarlo por esta suma que tengo acá a sobre cada más beso de cama solo pero pero pero pero la a la reemplazó por uno

1:24:09 a medio o no o sea 1 sobre k más ve sobre camas 1 pero ve medio menos 1 sexto mete a la final menos 1 sobre camas 1 así que sí que coloquemos la que un corchete y resulta que esta es una suma telescópica por qué porque es un término 1 sobre k le restó el término siguiente 1 sobre camas 1 es una suma telescópica test coloquen lea y suma telescópica y a la suma telescópica le podemos aplicar la formulita que vimos ahorita telescópica entonces con dos ante él escópica para que las detecten es 1 - del término inmediatamente

1:24:54 siguiente sí o un no menos de la mitad anterior pues una resta para que tengan en cuenta son bueno aquí toca que refresquen muchos conceptos que habíamos visto y en en ocasiones anteriores en clases anteriores y listo entonces la suma telescópica pero antes vamos a calcular así como segura una de las 5 cambiando el caso particular para aunque estés en una suma parcial tenemos la que se sub n es igual a la sumatoria con k igual uno hasta n de uno sobre k menos uno sobre camas uno calcula primero la suma parcial en

1:25:40 función de n y luego que aclama el límite cuando en este infinito pareció a bloqueos para allá también la cuarta ocasión de integrales y profes entonces según la teoría la telescópica el proceso para reemplazar ese siguiente el el límite superior este límite superior lo va a reemplazar en el término superior en este acá y el límite inferior la n la en el abba reemplazar acá y el límite inferior uno lo ha declarado en el término inferior en este ya parece que el acá la escala va a entrar por uno y la cala va a reemplazar por gm ya que esto a la final me quedo me quedo ya a desglosar la sumatoria

1:26:26 como uno sobre uno - 1 sobre n 1 si cambiando la cap por 1 y cambiando la k por n es a la propiedad la suma telescópica porque se acuerdan sino en parental todos los términos de la mitad es que se cancelan todos los términos de toda la mitad sean cancelan desde canciones de canciones que sólo sobreviven los más extremos que serían estos 2 1 sobre 1 - 1 sobre el 1 o sea que esto sería así 1 1 - 1 sobre n 1 jaguares yo creo que aquí ya podemos aplicar aplicar límite así como está ya para calcular la suma

1:27:13 telescopic la serie completa hasta infinito descargaremos el igual límite cuando n tiende a infinito de ese sub n pero s sufre menos de este límite cuando n tiende a infinito de uno menos uno sobre n uno si se reemplazó ante esto queda uno menos 1 sobre infinito más 1 pues si milito más uno es infinito y uno sobre infinito esto lo que tiende a cero y por lo tanto está telescópica que tenemos acá esta suma telescópica tiende a 1 - 0 1 es el valor es el valor hacia el que tiende esta suma que tenemos acá si yo

1:27:58 voy sumando un medio más un sexto más antes de agua 20 más y voy sumando más y más y más y más términos se lo pueden comprobar sus calculadoras que está suma a medida que voy sumando más y más y más términos tiende a 1 de esta manera bueno muchachos por el momento entonces vamos a dejar ahí en este vídeo sería que ustedes practiquen sus ejercicios en sus talleres por momentos es todo en este vídeo podrás encontrar este vídeo y próximas clases en mis clases con el madrid punto.com también en youtube o en facebook como mis clases confirma drid no olvides suscribirte activar la campanita de notificaciones y regalar mi me gusta comparte este vídeo para que otros también aprendan nos vemos en una

1:28:44 próxima clase