Coordenadas Polares ¿Qué son? EXPLICACIÓN COMPLETA

0:00 hola y bienvenidos a otro vídeo de mate fácil en este vídeo vamos a ver el tema de coordenadas polares voy a explicar desde el principio qué son estas coordenadas cómo se grafican y cómo podemos transformar las coordenadas rectangulares que nosotros conocemos en coordenadas polares y viceversa pero antes de empezar con el tema los invito a que descarguen mi aplicación mate fácil la cual se encuentra disponible en android y ios en esta aplicación pueden ustedes encontrar los principales cursos de mi canal todos ordenados y divididos por secciones y en cada una de las secciones pueden encontrar ejercicios tipo examen de opción múltiple con los cuales ustedes pueden practicar los temas que hayan visto en la sección entonces es una aplicación bastante buena para que ustedes practiquen diversos temas desde aritmética álgebra

0:46 hasta derivadas integrales límites etcétera entonces los invito a que descarguen la aplicación de esa forma me apoyan bastante bueno vamos a empezar entonces con el tema y para esto vamos a recordar un poco el sistema que nosotros ya conocemos que es el sistema de coordenadas rectangulares o también coordenadas cartesianas es lo mismo en este sistema nosotros tenemos dos ejes el eje horizontal que llamamos eje x que también se le llama eje de las abscisas y el eje vertical que es el eje o el eje de las ordenadas nosotros podemos localizar puntos en el plano mediante dos coordenadas que son la coordenada xy la coordenada ye o sea la abscisa y la ordenada por ejemplo si queremos localizar el punto cuyas coordenadas son 2,3 esto significa el

1:35 primer número va a ser la coordenada xy entonces en x nos movemos hasta el 2 y luego el segundo número es el elche entonces en el que nos movemos hasta el 3 así que aquí justamente donde la coordenada x estos y la coordenada y estrés ahí va a estar el punto con coordenadas 2 3 y si nosotros tenemos cualquier punto en el plano por ejemplo este punto de aquí nosotros le podemos asignar unas coordenadas mediante dos números que son sus coordenadas x y coordenadas de la siguiente manera a este punto nosotros le dibujamos una línea vertical y nos fijamos cuál es la intersección con el eje x y una línea horizonte y nos fijamos cuál es la intersección con el eje y esas son sus coordenadas entonces este punto tiene coordenada x menos 3 y coordenada 74 por lo cual sus

2:21 coordenadas son menos 3,4 este es el sistema que nosotros ya conocemos bastante bien coordenadas rectangulares o cartesianas ahora vamos a ver el sistema de coordenadas polares en este sistema también vamos a localizar puntos en el plano mediante dos números pero ahora estos números representan geométricamente diferentes cosas ya no son proyecciones este sobre el eje xy sobre el eje y sino que ahora vamos a tener un punto el cual se denomina polo o también origen así como en el origen del sistema anterior bueno ese va a ser el punto de partida del polo o el origen y tenemos un eje que es un rayo o sea una recta que generalmente se dibuja hacia la derecha y que representaría al eje x positivo en

3:09 el sistema de coordenadas rectangulares pero bueno en el de coordenadas polares a este eje se le denomina eje polar esto es lo que tenemos en el sistema de coordenadas polares un punto y un eje que apunta hacia la derecha y para localizar puntos en el plano nosotros vamos a dar dos cantidades esto vamos a verlo de la siguiente manera si tenemos un punto por ejemplo este punto de aquí nosotros vamos a medir la distancia que hay desde este punto hasta el polo o el origen o sea esta distancia de aquí a esta distancia vamos a llamarle r esa va a ser una de las coordenadas la distancia que hay desde el origen hasta el punto y la otra de las coordenadas va a ser el ángulo que forma esta línea la línea que une el origen con el polo y el eje polar este ángulo que vamos a

3:56 representar como theta es la segunda coordenada de esa manera las coordenadas de un punto en el sistema de coordenadas polares son r teta o sea la distancia al origen y el ángulo que se forma desde el eje polar generalmente los ángulos los medimos en el sentido contrario de las manecillas y son positivos pero también podemos medir los en el mismo sentido de las manecillas y en ese caso los ángulos serán negativos vamos a ver algunos ejemplos para que todo esto quede bastante más claro pero antes de ver los ejemplos observen que en el sistema de coordenadas rectangulares nosotros solemos escribir aquí números para irnos guiando más fácil y poder localizar puntos fácilmente en el plano e incluso dibujamos cuadrículas como estas de aquí las cuales son de bastante ayuda al momento de localizar puntos algo similar

4:42 podemos hacer en el sistema de coordenadas polares aunque en este caso no vamos a hacer una cuadrícula porque no nos serviría de mucho en este caso lo que sirve es dibujar círculos y dibujar rayos de esta manera cada uno de los círculos nos dice las diferentes distancias que hay hacia el polo y cada uno de los rayos nos dice los diversos ángulos en este caso son ángulos medidos de 30 en 30 aunque se podría hacer de otras maneras podría ser de 45 en 45 o de 15 en 15 pero lo usual es hacerlo de 30 grados en 30 grados entonces por ejemplo si nosotros tenemos un punto digamos este punto de aquí será suficiente con contar el ángulo que se forma que son 30 más 30 60 grados y con

5:31 contar la distancia desde el polo hasta el punto fijándonos en estas circunstancias la primera es la distancia 1 luego 2 3 y 4 eso significa que el punto se encuentra una distancia de 4 unidades desde el origen y forma un ángulo de 60 grados por lo cual sus coordenadas polares son 4,60 grados también es muy usual utilizar en lugar de grados radiales y es algo a lo que se deben acostumbrar porque se utiliza bastante en cálculo entonces en lugar de 60 grados podemos escribirlo como pi sobre 3 radiales aquí simplemente recuerden que pi son 180 grados entonces si nosotros dividimos 180 entre 3 obtenemos 60 por eso aquí es pi entre tengo videos en los cuales muestro como

6:18 transformar grados en radiales y radiales en grados les voy a dejar en la descripción el enlace a la lista de geometría elemental que es donde explico esas transformaciones de grados a radiales y viceversa bueno entonces de esa manera nosotros podemos localizar puntos fácilmente en el plano con ayuda de bueno pues esta retícula en la cual tenemos aquí pues círculos y rayos bueno vamos a ver entonces algunos otros ejemplos vamos a localizar este punto el punto que tiene coordenadas polares 5,150 grados bueno sabemos que se debe encontrar en el círculo que se encuentra a cinco unidades del polo es decir en este círculo de aquí que está en el 5 todo este círculo de en alguna parte de

7:04 este círculo va a estar el punto pero debe formar 150 grados así que lo más recomendable es primero localizar el ángulo primero vamos a localizar el ángulo entonces son 30 60 90 120 y 150 recordemos que va de 30 en 30 entonces va a estar en este rayo de aquí aquí va a estar el punto y va a estar en el círculo que tiene radio 5 entonces va a ser 1 2 3 4 5 aquí va a estar el punto y ahí lo tenemos localizado ese es el punto con coordenadas polares 5,150 grados otro ejemplo ahora con un ángulo negativo para que vean la diferencia entre tener ángulo negativo y positivo en los ángulos

7:50 positivos observen que siempre estuvimos midiendo en el sentido contrario de las manecillas es decir hacia arriba del eje polar cuando medimos hacia arriba del eje polar es positivo y cuando medimos hacia abajo del eje polar es negativo pueden recordarlo por ejemplo con con el eje y recuerden que el eje hacia arriba es positivo hacia abajo es negativo bueno pueden así utilizarlo para recordar estos ángulos hacia arriba son positivos hacia abajo son negativos entonces en este caso son menos 30 grados significa medir 30 grados hacia abajo entonces como cada una de estas divisiones son 30 grados significa que va a estar aquí luego luego en esta primera división allí va a estar el punto y debe encontrarse a una distancia 4 desde el origen entonces contamos 1234

8:37 aquí va a estar el punto ahí lo tenemos localizado ahora aquí algo muy importante es que en el sistema de coordenadas polares podemos tener diferentes coordenadas para representar un mismo punto hay infinitas coordenadas que representan un mismo punto eso no ocurre con las coordenadas rectangulares pero sí en las polares por ejemplo este mismo punto que yo acabo de dibujar aquí podemos también darle otras coordenadas si en lugar de medir el ángulo hacia abajo lo hubiéramos medido hacia arriba observen que si medimos el ángulo hacia arriba tendríamos que medir todo este ángulo de aquí todo este entonces contando pero pues sería 36 9 12 15 18 21 24 27 30 33 osea 330 grados o también

9:26 podríamos haberlo hecho más fácil si tomamos en cuenta que todo el giro completo son 360 y si le quitamos estos 30 pues nos quedan 330 grados entonces serían 330 grados positivo porque empezamos midiendo hacia arriba y la distancia sigue siendo 4 por lo cual otras coordenadas polares para este mismo punto son 4 330 grados positivos pero igual podemos incluso dar giros completos y sumarle 360 grados cada vez que hacemos un giro completo por ejemplo en este mismo caso si primero hacemos todo un giro de 360 grados y luego otro ángulo de 330 terminamos justamente aquí simplemente estamos añadiéndole otros 360 con lo

10:12 cual a estos 330 les sumamos 360 y nos queda entonces 690 grados o sea que este punto también tiene como coordenadas 4 690 y podríamos sumarle otros 360 y otros 360 y así infinitas veces por eso vemos que un mismo punto puede tener infinitas coordenadas polares ahora también eso aplica para ángulos negativos ya habíamos visto que en el ángulo negativo eran menos 30 hacia acá pero si a esos menos 30 les sumamos otros menos 360 grados significaría que primero hacemos un giro completo en el sentido de las manecillas o sea hacia abajo todo un giro completo y luego otros 30 grados entonces nos quedaría un

10:59 ángulo de menos 390 que es a 360 sumarle los 30 son 390 negativos porque estaríamos midiendo hacia abajo bueno en todos estos ejemplos hemos visto que la coordenada r o sea la distancia desde él desde el polo es positiva vean que en todos los casos tenemos un 4 positivo ahora una pregunta que surge podríamos tener un valor de r negativo y bueno la respuesta es que sí pero para entender esto vamos a hacerlo con este mismo punto para ver cómo sería un r negativo bueno ahí lo que hay que tomar en cuenta es que cuando nosotros medimos un ángulo nos estamos quedando con un rayo que es justo donde termina el ángulo el rayo que une el polo hacia

11:45 bueno pues en el lado del ángulo no desde el polo hacia el lado del ángulo si nosotros en lugar de medir el la distancia en ese mismo rayo lo medimos hacia el sentido opuesto al rayo estaremos teniendo un valor de rd negativo por ejemplo para este punto tendríamos que medir no este rayo este rayo de aquí sino el que está de este otro lado osea tendríamos que medir esto de aquí este rayo de acá el ángulo que se forma aquí son 30 60 90 120 150 150 grados hasta llegar a este rayo pero nosotros no estamos ubicando el punto directamente sobre este rayo sino en el sentido opuesto al rayo de este lado entonces cuando es en el sentido opuesto al rayo es que tenemos un valor de r negativo o sea que en este

12:32 caso son menos 4 para un ángulo de 150 grados así que otras coordenadas polares para este mismo punto son menos 4 150 grados casi siempre vamos a utilizar valores de r positivos pero en algunos casos resulta útil también tomar esto en cuenta que r puede ser negativo siempre y cuando estemos midiendo pues el punto en el sentido opuesto al rayo en el cual termina el ángulo bueno entonces así ya queda un poquito más claro vamos a ver más ejemplos en próximos vídeos pero antes de terminar con este vídeo vamos a ver de qué manera se relacionan las coordenadas rectangulares y las polares o sea cómo podemos transformar coordenadas rectangulares en polares y viceversa para esto vamos a empezar con nuestro

13:19 sistema de coordenadas rectangulares ubicamos un punto cualquiera en este este plano este punto tiene unas coordenadas x en el sistema de coordenadas rectangulares esto significa que si nosotros dibujamos una línea vertical y una línea horizontal la distancia desde el origen hacia aquí va a ser x esta distancia mide x y esta distancia mide y eso es lo que sabemos de las coordenadas rectangulares ahora este mismo punto tiene unas coordenadas polares que son rt está aquí vamos a suponer que el origen sigue siendo este mismo de aquí y que el eje polar es el eje x positivo entonces eso significa que la distancia desde el origen al punto es r y que el ángulo que se forma con el eje

14:06 polar este está este ángulo de aquí queremos ver de qué manera se relacionan estas cuatro cantidades entre sí observen que aquí se forman un triángulo rectángulo que tiene un ángulo de 90 aquí justamente y podemos utilizar trigonometría para ver de qué manera se relacionan las cantidades para eso voy a dibujar este mismo triángulo pero por acá más grande para que se vea más claro aquí tenemos nuestro ángulo de 90 este ángulo de aquí es el que estamos diciendo que éste está sabemos que este lado de aquí es r siguiente este de aquí sabemos que este lado de aquí abajo mide x y este lado de aquí me deje por que observen que esto de aquí es y esto de aquí es un rectángulo entonces los lados opuestos miden lo mismo este lado de aquí mide lo mismo que éste de acá y este de acá es este de aquí entonces

14:52 miren entonces aplicando trigonometría podemos pues encontrar relaciones entre estas cantidades lo primero que podemos utilizar aquí de hecho es el teorema de pitágoras el cual nos dice que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos en este caso vean que la hipotenusa es r que es la que está frente al ángulo de 90 y los catetos son xy entonces r al cuadrado es igual a x al cuadrado más y al cuadrado ahí tenemos ya una relación entre x y r si nosotros conocemos las coordenadas x podemos conocer la coordenada r simplemente sustituyendo aquí los valores xy y luego tomando la raíz cuadrada en este caso podemos tomar

15:37 la raíz cuadrada positiva o negativa dependiendo si queremos un valor de r positivo o negativo y también podemos utilizar aquí la función trigonométricas tangente que recordemos que es el cateto opuesto entre el cateto adyacente en este caso es tangente de teta entonces el cateto opuesto es el que está frente al ángulo teta ósea y el cateto adyacente es el que está junto al ángulo teta que es x así que tangente de teta es de entre x entonces observen que si conocemos las coordenadas x osea las coordenadas rectangulares podemos conocer el ángulo a partir de esta expresión solamente hay que tener un poco de cuidado porque hay que localizar bien ese ángulo en el cuadrante que corresponda y también dependiendo si

16:23 elegimos el valor de reposición negativo porque ya vimos que dependiendo de eso el ángulo puede cambiar bueno esto lo iremos viendo con más claridad en próximos ejemplos bueno de esta manera si nosotros conocemos las coordenadas rectangulares podemos obtener las coordenadas polares entonces estas ecuaciones transforman de rectangulares en polares pero como podemos transformar de polares a rectangulares bueno pues para eso ahora vamos a utilizar las funciones senos y cosenos en este triángulo el seno recordemos que es cateto opuesto entre hipotenusa entonces el cateto opuesto a teta ya habíamos dicho que era el que está frente al ángulo teta y la hipotenusa ese ere como dijimos así que el seno de teta va a ser entre r de aquí podemos

17:08 despejar esta r que está dividiendo pasa multiplicando nos queda que r por el seno de teta es igual a ye lo cual podemos escribir al revés que es igual a r por el seno de teta entonces ya tenemos la coordenada y si conocemos r y te estás simplemente sustituimos aquí sus valores y ya tenemos el valor de ch y para obtener el valor de x vamos a utilizar el coche no el coseno del ángulo es cateto adyacente entre hipotenusa el cateto adyacente es este de aquí que está junto al ángulo teta que tiene valor x así que nos va a quedar x entre la hipotenusa que ese ere de nuevo despejamos la repasa multiplicando queda que r por coseno beteta es x o lo que es lo mismo x es r poco seno de teta entonces si conocemos las coordenadas polares ere y te está

17:53 sustituyendo aquí obtenemos las coordenadas rectangulares xy así que estas ecuaciones transforman de dólares en rectangulares bueno ahora unos ejercicios para ustedes que resolver en los próximos vídeos graficar los siguientes puntos en coordenadas polares estos 10 puntos el siguiente ejercicio es transformar las coordenadas polares a coordenadas rectangulares y de nuevo son los mismos 10 puntos estos 10 puntos hay que transformarlos aquí están en coordenadas polares hay que escribirlos en sus coordenadas rectangulares y finalmente transformar de las coordenadas rectangulares a polares para éstas tendrán que utilizar las fórmulas que vimos al final todos estos ejercicios 2 y 3 resolviendo en los próximos vídeos

18:39 así que los invito a que los vean quiero agradecer infinitamente a todos los miembros y patrones de este mes que con su apoyo hacen posible que el proyecto mate fácil siga adelante muchas gracias a todos ustedes