Resumen Breve
Este video explica cómo calcular la ecuación de una circunferencia, tanto cuando su centro está en el origen del plano cartesiano como cuando está fuera de él. Se revisan los elementos del plano cartesiano, se introduce la ecuación canónica para circunferencias con centro en el origen y la ecuación ordinaria para circunferencias con centro fuera del origen. Además, se resuelven ejercicios prácticos para aplicar estas ecuaciones y se muestra cómo transformar la ecuación ordinaria a su forma general.
- Ecuación canónica: centro en el origen (0,0).
- Ecuación ordinaria: centro fuera del origen (h,k).
- Transformación de la ecuación ordinaria a la forma general mediante el desarrollo de binomios al cuadrado.
Introducción al Plano Cartesiano y la Circunferencia
El plano cartesiano está compuesto por dos ejes: el eje x (horizontal) y el eje y (vertical), que al cruzarse forman cuatro cuadrantes. En el primer cuadrante, tanto x como y son positivas; en el segundo, x es negativa e y es positiva; en el tercero, ambas son negativas; y en el cuarto, x es positiva e y es negativa. El punto de cruce de los ejes se llama origen, con coordenadas (0,0). Se presentan dos tipos de circunferencias: una con su centro en el origen y otra con su centro fuera del origen.
Ecuación de la Circunferencia con Centro en el Origen
Para calcular la ecuación de la circunferencia, se utiliza la fórmula de distancia entre dos puntos. En este caso, los puntos son el centro de la circunferencia y cualquier punto en la circunferencia. La distancia entre estos dos puntos es el radio (r). Si el centro está en el origen (0,0), la fórmula se simplifica a x² + y² = r². Esta es la ecuación canónica de la circunferencia.
Ecuación de la Circunferencia con Centro Fuera del Origen
Cuando el centro de la circunferencia está fuera del origen, sus coordenadas se representan como (h,k), donde h es la coordenada x del centro y k es la coordenada y del centro. La ecuación de la circunferencia en este caso es (x - h)² + (y - k)² = r². Esta es la ecuación ordinaria de la circunferencia.
Ejercicio 1: Ecuación con Centro en el Origen y Radio Conocido
Se pide encontrar la ecuación de una circunferencia con centro en el origen y radio igual a 10. Utilizando la ecuación canónica x² + y² = r², se sustituye el valor del radio, obteniendo x² + y² = 100.
Ejemplos Adicionales con Centro en el Origen
Se muestran ejemplos adicionales para reforzar el concepto de la ecuación canónica. Si el radio es 4, la ecuación es x² + y² = 16. Si el diámetro es 12, el radio es 6 (diámetro/2), y la ecuación es x² + y² = 36.
Ejercicio 2: Ecuación a Partir de la Gráfica
Se presenta una gráfica de una circunferencia y se pide encontrar su ecuación. Observando los puntos donde la circunferencia cruza los ejes, se determina que el centro está en el origen (0,0) y el radio es 5. Por lo tanto, la ecuación es x² + y² = 25.
Ejercicio 3: Ecuación con Centro Fuera del Origen y Radio Conocido
Se pide encontrar la ecuación de una circunferencia con centro en (4, -2) y radio igual a 8. Utilizando la ecuación ordinaria (x - h)² + (y - k)² = r², se sustituyen los valores de h, k y r, obteniendo (x - 4)² + (y + 2)² = 64.
Transformación a la Forma General
Se explica cómo transformar la ecuación ordinaria a su forma general. Esto implica desarrollar los binomios al cuadrado y simplificar la ecuación. En el ejemplo, (x - 4)² + (y + 2)² = 64 se transforma en x² + y² - 8x + 4y - 44 = 0. Se enfatiza la importancia de tener cuidado con los signos durante el proceso.
