Resumen Breve
El video explica cómo encontrar las ecuaciones simétricas y paramétricas de una recta en el espacio tridimensional, dados dos puntos que pertenecen a la recta. Se define cómo obtener las ecuaciones paramétricas utilizando un punto conocido y el vector director, y cómo derivar las ecuaciones simétricas a partir de estos elementos.
- Ecuaciones paramétricas: x = x1 + at, y = y1 + bt, z = z1 + ct
- Ecuaciones simétricas: (x - x1)/a = (y - y1)/b = (z - z1)/c
- El vector director se calcula restando las coordenadas de los dos puntos dados.
Introducción al Problema
Se plantea el problema de encontrar las ecuaciones simétricas y paramétricas de una recta en el espacio tridimensional, dados dos puntos P(5, -7, 9) y Q(-1, 5, -3). Se recuerda que, al igual que en dos dimensiones, dos puntos definen una recta en tres dimensiones. En álgebra lineal, estas rectas se expresan comúnmente mediante ecuaciones paramétricas o simétricas.
Definición de Ecuaciones Paramétricas
Las ecuaciones paramétricas de una recta se definen como x = x1 + at, y = y1 + bt, y z = z1 + ct, donde (x1, y1, z1) es un punto conocido de la recta (ya sea P o Q), y a, b, y c son los números directores del vector que define la dirección de la recta. Se destaca la importancia de poder definir un vector director a partir de los dos puntos dados.
Definición de Ecuaciones Simétricas
Las ecuaciones simétricas se definen como (x - x1)/a = (y - y1)/b = (z - z1)/c, donde (x1, y1, z1) es un punto conocido de la recta, y a, b, y c son los números directores del vector director. El objetivo es encontrar los valores de a, b y c para definir completamente estas ecuaciones.
Cálculo del Vector Director
Para encontrar los números directores a, b y c, se define un vector director b como la diferencia entre las coordenadas de los puntos Q y P (vector PQ). El vector PQ se calcula como (-1 - 5)i + (5 - (-7))j + (-3 - 9)k, lo que resulta en -6i + 12j - 12k. Se enfatiza la importancia de restar las coordenadas en el orden correcto (Q - P) para evitar errores.
Determinación de los Números Directores
A partir del vector director b = -6i + 12j - 12k, se identifican los números directores como a = -6, b = 12 y c = -12. Estos valores se utilizarán para construir las ecuaciones paramétricas y simétricas.
Construcción de las Ecuaciones Paramétricas
Usando el punto P(5, -7, 9) como (x1, y1, z1) y los números directores a = -6, b = 12 y c = -12, se construyen las ecuaciones paramétricas: x = 5 - 6t, y = -7 + 12t, y z = 9 - 12t. Se menciona que se podría haber usado el punto Q en lugar de P y se obtendrían ecuaciones equivalentes.
Construcción de las Ecuaciones Simétricas
Utilizando el punto P(5, -7, 9) y los números directores, se construyen las ecuaciones simétricas: (x - 5)/-6 = (y + 7)/12 = (z - 9)/-12. Se sustituyen los valores en la fórmula general de las ecuaciones simétricas.
Resumen de las Ecuaciones Obtenidas
Se resumen las ecuaciones paramétricas como x = 5 - 6t, y = -7 + 12t, z = 9 - 12t, y las ecuaciones simétricas como (x - 5)/-6 = (y + 7)/12 = (z - 9)/-12. Se concluye que es relativamente sencillo definir estas ecuaciones cuando se conocen dos puntos de la recta en el espacio tridimensional.
