Física 1: Movimiento curvilíneo.

0:00 y voy a hacer pasada estuvimos estudiando lo que tenía que ver con los movimientos rectilíneos en esos movimientos habíamos estudiado el concepto de posición de velocidad y aceleración recordemos que la posición habíamos definido primero que todo en términos de la escogencia de un sistema de referencia en el cual se escogía un origen de coordenadas y el lugar en el que se encontraba el sistema al fácil que estuviéramos estudiando respecto a ese sistema de referencia se definía como la posición del choque y entonces si teníamos

0:48 que la posición del mismo cambiaba en cierto instante de tiempo implicaba que se detenía la velocidad como el cambio de la posición respecto al tiempo la que para cambios temporales tendiendo a cero nos lleva el concepto de la derivada se definía como la variación de la posición respecto al tiempo y de forma nano la hacíamos lo propio para la aceleración con una variación de la velocidad respecto al tiempo en el caso del límite es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo tenemos estas tres definiciones pero mire que todo esto

1:35 inicialmente se definió para lo que llamábamos un movimiento rectilíneo dentro del cual estudiamos dos casos particulares que eran el caso del movimiento uniforme y el caso del movimiento uniformemente acelerado recordemos que el primero se trabaja bajo el argumento de que la velocidad es constante mientras en el segundo se trabaja bajo el argumento de que la aceleración en la constante y bueno todo eso derivó a las ecuaciones de movimiento que nos permitirán resolver los problemas que vemos en los ejemplos y que ustedes deben estar resolviendo en los talleres que se recibieron se les envío a clase ahora bien

2:21 temática que miraremos en este vídeo es la siguiente trabajaremos el movimiento curvilínea para ello vamos a considerar lo siguiente imaginen que tenemos un sistema de referencia vamos a dibujar un eje vertical y los ejes horizontales mutuamente perpendiculares de forma que vamos a llamar a este eje el eje x a este otro el eje y a este eje el eje z y que nos va estar representando la altura

3:07 posteriormente imaginemos que tenemos un objeto que se está moviendo según una trayectoria cualquiera en ese espacio tridimensional por ejemplo puede ser las trayectorias y yo voy a considerar dos instantes para ese movimiento pensemos por ejemplo que nuestro objeto inicialmente se encontraba en una posición tal qué es un vector de posición era este por ejemplo y posteriormente se va a encontrar aquí entonces tenemos un vector r1

3:55 que me describe la posición del objeto en un instante que puedo llamar de uno y un victoria reduce que me describe la posición del objeto en un instante posterior peros analicemos la configuración de sus dos vectores los voy a dibujar por aparte por cuestión de sencillez y de visualización realmente mire que yo tengo por un lado al vector que r2 y por el otro

4:41 al vectores de 1 observemos que esta configuración que tengo un vector es de 2 que va de izquierda a derecha con vectores de 1 que va de abajo hacia arriba entonces si yo pinto el siguiente vector creo que tal vez es evidente que si recordamos la suma de vectores este vector r 1 + este vector gris que acabo de pintar me da al vectores de 2 recordemos que cuando hablábamos de suma de vectores decíamos que el vector resultante se obtenía partiendo desde el primer vector y llevándolo hasta el final del segundo vector entonces evidentemente este ere 2 es la suma del

5:29 vector r 1 más este vector que tengo aquí lo que quiere decir que ese vector resultante que acabo de encontrar sería entonces el vector r2 - el vector r 1 pintemos ese vector en el dibujo que hemos realizado a la izquierda vector que va desde aquí hasta aquí es entonces este vector que simplemente lo vamos a llamar un vector delta r

6:15 del aire al ser su variación en posición es decir es el desplazamiento observé que es que tanto me desplacé desde la posición inicial hasta la posición final pero vamos a recordar al mismo tiempo que cuando definimos la velocidad promedio esa velocidad promedio se había definido como la variación de la posición con respecto al tiempo y esta definición como lo mencioné cuando comencé este vídeo

7:00 y estaba dada a nivel unidimensional si nosotros queremos generalizar esta definición yo puedo decir entonces que la velocidad promedio vectorial mente hablando viene siendo igual a la variación de la posición perdón este caso es promedio tu viene siendo igual a la variación el vector posición en el intervalo de tiempo en el que se vio dicha variación si observes que este resultado es muy importante porque nos está diciendo que la velocidad es proporcional a esa

7:48 variación y además nos explique el hecho de que siendo el tiempo un número sea un escalar y por definición un instante de dos siempre va a ser posterior o instante uno lo que implica que tengo siempre es mayor a que uno hace que vamos a escribirlo del pp siempre es positivo y mary que si del tate siempre es positivo quiere decir que el vector velocidad siempre va a tener la misma dirección que el vector delta r me refiero al vector velocidad por lo menos eso que quiere decir que en

8:34 nuestro esquema venta eres el vector que da la diferencia entre ere 2 - r 1 si vamos a nuestra gráfica implicaría entonces que este vector es gris que he pintado aquí es el vector de taller y lo que yo le estoy argumentando a usted es que el vector velocidad debe ser proporcional a delta r lleva la misma dirección que venter por esa ecuación que está en el enmarcada en el recuadro verde lo que quiere decir que en este punto y velocidad llevaría la misma dirección que está llevando el vector del taller ya que aquí tendríamos la velocidad promedio

9:28 para ir desde el punto 1 hasta el punto 2 o sea que ya tenemos una relación vectorial para la velocidad promedio sean más específicos respecto a esa velocidad hagamos el análisis vectorial respectivo si yo sé tengo un vector posición que ahora lo estoy determinando por medio de la letra r pero recordemos que es un vector este vector tiene coordenadas porque es un ente tridimensional entonces va a tener una coordenada en el eje x en dirección unitario y más por la coordenada en el eje y en dirección unitaria jota más una

10:14 coordenada zeta en dirección unitario acá donde estos tres vectores son los vectores direccionales de los ejes coordenadas entonces determinemos ahora que vendría siendo el vector velocidad y que el vector velocidad primero que todo por ser un vector va a tener una componente en x que estaría dirigida también a lo largo de él más una componente y que estaría dirigida a lo largo de jota más una componente zeta que estaría dirigida a lo largo de acá pero nuestra definición de velocidad viene siendo esta o sea que tenemos que unir estas dos relaciones su carácter

11:01 veloz de historial con su carácter de velocidad por definición entonces si yo estoy diciendo al mismo tiempo que la velocidad promedio recordemos que estos promedios promedio promedio estamos tratando sobre valores medios la velocidad promedio es igual a 30 r sobrevive el tackle quiere decir que este venta pues va a afectar a los deltas a las cantidades que tenemos en su correspondiente vector implicaría

11:47 entonces y esto viene siendo igual a en un delta t y venta eres delta x en dirección más detalle en dirección j más de la zeta en dirección entonces yo puedo operar esto recordemos que mirábamos que para los vectores cuando se tiene el producto de un escalar con un vector el entrada a afectar a cada uno de los términos que lo componen implicaría entonces para

12:34 finalizar este cálculo que tengo aquí que el vector velocidad promedio viene siendo igual a beta x sobreventa t en dirección y más detalle sobreventa t en dirección j + delta z sobreventa de dirección pero vamos a comparar estas 2 resultados que los voy a enmarcar el recuadro por un lado te he dicho que la velocidad por ser vectorial debe tener este comportamiento y por el otro por la

13:21 definición la velocidad debe ser así eso quiere decir que si nosotros unimos este resultado ahora con este que tengo acá entonces podemos decir lo siguiente que la componente x de la velocidad componente x promedio es igual a delta x sobreventa t la componente y promedio es igual a venta y sobreventa t y la componente zeta promedio es igual a

14:09 delta zeta sobreventa t simplemente estamos viendo que lo que se tenía en una sola dimensión se tiene ahora para las tres dimensiones simplemente hemos generalizado pero lo que estudiamos para la dimensión viene siendo lo mismo para las componentes de cada una de las tres dimensiones en cuenta y esto que estoy hablando yo se ha hecho para definir la velocidad promedio pero entonces ahora cabe hacer la pregunta como vamos a definir lo que vendría siendo la velocidad

14:54 instantánea o simplemente velocidad para ello recordemos lo que les hablaba al comienzo del curso recordemos perdón de este vídeo que cuando estábamos en el caso unidimensional la velocidad instantánea que simplemente la definimos como el límite cuando delta teta envía cero de

15:41 la velocidad promedio que básicamente era igual al límite cuando del tate en la cero de venta x sobre el papel en forma en la luna vamos a hacer la definición para definir la velocidad instantánea 3 dimensionalmente y quiero mi velocidad instantánea que simplemente hayamos de ser un vector convierte en el símbolo que determina

16:27 que es esa entidad va a ser entonces definida como el límite cuando tentarte tiende a cero de el vector velocidad promedio se quiere decir entonces que la velocidad instantánea es el límite cuando delta te tiende a cero de venta r sobre el papel pues bien si ahora tenemos en cuenta que cuando hacíamos la definición en términos de los límites esto que teníamos acá simplemente era igual a la derivada de x con respecto al tiempo

17:16 esto evidentemente va a ser igual a la derivada del vector posición con respecto al tiempo por lo tanto el vector velocidad va a ser igual a la derivada de vector posición con respecto al tiempo y ahora usted se preguntará entonces como va a derivar un vector y simplemente se va a hacer derivando las componentes que lo componen es decir va a derivar cada una de las componentes de que tiene vamos a mirar recordemos

18:01 que acabo de decir la el vector posición está dado por esta relación que les voy a marcar aquí está vamos a tenerlo presente a cabo no estoy diciendo que usted quiere es un vector que tiene coordenada en x coordinaba en coordenada en ser si el vector velocidad es la derivada de ese vector posición con respecto al tiempo implica que respecto al tiempo

18:47 entonces tiene que derivar x y deriva bien y derivar z por ende siguiendo en el momento que explique en la parte superior cuando hablábamos de la velocidad promedio entonces el vector velocidad viene siendo igual a la derivada de x con respecto al tiempo en dirección y más la derivada de y con respecto al tiempo en dirección jota más la derivada de z con respecto al tiempo en dirección acá y como también al mismo

19:34 tiempo sé que es un vector y por ser vector tipo de componente x en dirección y la componente y en dirección j la componente zeta en dirección k es totalmente evidente beso x es esto es esto y de sus siete sexto por lo tanto tenemos que beso x es la derivada de x con respecto al tiempo que eso ya lo teníamos ves que es la derivada de jay con respecto al tiempo y me sujeta es la derivada de z con respecto al tiempo a eso me refiero

20:20 con que para hallar las componentes del vector velocidad tenemos que derivar cada una de las componentes del lector posición pero ahora viene otra cuestión mire que cuando estábamos en la gráfica intentando determinar la dirección del valor del vector velocidad promedio recordemos que este vector de acuerdo a todo el argumento que vimos que fue un argumento directamente vectorial y bajo la definición de velocidad quedaba apuntando en la misma dirección del vector de desplazamiento la cosa ahora es que como estamos diciendo que el vector velocidad instantánea es un vector que

21:09 va a ocurrir cuando el intervalo en el tiempo tiende a cero la idea es que este punto 2 debe acercarse tanto como yo pueda hacia el punto t 1 para poder hacer ese análisis y poder determinar entonces cuál es la dirección del vector velocidad vamos a hacer o nos vamos a fijar en el siguiente esquema y margine en la gráfica de la trayectoria es la siguiente supongamos por ejemplo que es la trayectoria que está siguiendo la particular que estoy estudiando entonces imaginemos que inicialmente se encontraba en un

21:54 punto aquí lo voy a llamar y que posteriormente se va a ir hasta un punto acá que nos llamó evidentemente para un sistema de coordenadas cualquiera por ejemplo si yo defino este punto como el origen de coordenadas un vector que vaya desde el origen de coordenadas hasta el punto que estoy señalando como ah sería el vector r 1 en este caso simplemente voy a decir que es una idea

22:40 y un vector que vaya desde el origen de coordenadas vamos a hacerlo bien desde el origen de coordenadas hasta el punto de más denotado como ve sería lo que estamos llamando entonces un vector de posición r sube nuestro vector resultante en este caso el delta r es el que estamos buscando sería un vector que iría desde el punto a hasta el punto vi vamos a intentar dibujarlo mejor

23:26 este sería nuestro vector esta vez pero vamos a hacer el siguiente análisis qué pasaría si yo ahora en vez de pensar que vista r perdón el punto que estaba aquí me voy a ir acercando paulatinamente hacia el punto es decir supongo que ve ahora heces un mi primo evidentemente y sin tener necesidad de volver a dibujar los vectores de ayerbe una prima que miramos que delta r va desde hasta de aquí por ende el nuevo

24:11 delta r iría desde a a esta doctrina constituyendo este un delta r prima acerquémonos un poco más entonces pongamos que ahora tengo un nuevo punto vi de dos primos entonces el nuevo vector de desplazamiento iría desde a a este este nuevo punto b 2 y el punto límite evidentemente sería cuando ya el punto b atender a 0 del tate ese punto b

24:56 prácticamente va a estar sobre está en ese orden de ideas cuando ese punto esté sobre a mire qué el vector correspondiente al delta r sería un vector que va a estar tocando a este punto solo o más bien a esta curva solo en ese punto que éste sería el vector bildt aire cuándo distante tiende a ser o sea que este sería el del

25:43 tarde que en principio estoy buscando cuando delta te tiende a cero de talleres entonces se transforma en un diferencial de mire que si tengo presente lo que veníamos hablando de que la velocidad instantánea es la derivada de r con respecto al tiempo dado que el diferencial temporal siempre es positivo va a implicar que la velocidad instantánea siempre es paralela al vector de r pero de mi análisis geométrico no estoy mirando que

26:28 desde siempre es tangencial al punto en donde se está estudiando en ese instante el objeto físico eso quiere decir que esté rector debe ser paralelo al vector velocidad pues aquí el vector velocidad vamos a pintar un poquito más grueso es paralelo el vector del y por lo tanto la velocidad siempre es tangente

27:14 a la curva en el punto miremos unos cuantos ejemplos para que entendamos la idea de lo que estoy hablando imaginen tengo una curva con una forma totalmente general entonces yo quiero determinar cómo es el vector velocidad en puntos diferentes por ejemplo si la analizo aquí la velocidad va a estar en esa dirección porque están gente aquí estaría así aquí estaría así diría así siempre apunta forma tangente a la

28:03 dirección de la trayectoria donde evidentemente aquí por ejemplo se tendría una velocidad en un instante uno en un instante dos en un instante tres en un escape cuatro pero siempre es tangente a la trayectoria observe que por ejemplo en el caso de un movimiento circular estuviera que selló una circunferencia e imaginemos que el radio de la circunferencia es el centro hasta su perímetro y esto es r quiero determinar

28:49 la velocidad en diferentes puntos imaginemos que ella se está moviendo en el sentido de las manecillas del reloj la partícula que sea que está siguiendo esa trayectoria entonces yo tendría que en este punto por ejemplo aquí la velocidad es tangente y la admiro aquí la velocidad es tangente dinero aquí la evolución es tangente la mirada de luces tangente entonces por ejemplo me estaría dando como es el recorrido en cada punto puede observar que la velocidad por ejemplo al ser tangente también va a ser perpendicular el doctor r

29:37 vamos a demostrar matemáticamente que esto es cierto aquí lo hicimos de una manera bastante descriptiva lo hicimos por medio de la gráfica para probar que el doctor velocidad es un vector que es tangente a la trayectoria pero vamos a mirarlo desde otra perspectiva pongamos nuevamente que tenemos una trayectoria cualquiera vamos a dibujarla y volvamos a suponer que salgas entonces ahora voy a proceder de la siguiente manera imaginemos que tengo el punto a aquí es el punto de partida y tengo el punto ve acá

30:27 a diferencia del taller ya aprendimos que es el vector que va desde a hasta ver esto es un vector que parten a y que va a llegar a saber es lo que nosotros llamamos simplemente del taller y ahora voy a hacer la siguiente definición voy a llamar s a la trayectoria que va desde el punto a

31:14 hasta el punto b pero sobre la trayectoria es decir podríamos decir que esa es la distancia recorrida con mi vuelta r es el desplazamiento bueno realmente lo voy a llamar un delta es para ser coherente con él y traer lo que delta eres una variación de posición pero en términos digamos los rectilíneo porque solo es un desplazamiento mientras que delta ese es la variación de la posición pero sobre la curva retomemos la definición de velocidad y vamos a hacer un poco de algo la velocidad por definición ya hemos

32:00 dicho que es igual al límite cuando el intervalo de tiempo tiende a cero delta r sobre el tema y eso pues ya es definición ya lo miramos y él se ha explicado basta pero voy a hacer un poco de álgebra voy a jugar con esta expresión de la siguiente manera en el que esos límites cuando delta te tiende a cero y aquí voy a multiplicar y voy a dividir por la misma cantidad pero voy a hacer de esta fuerza delta r sobreventa s x venta s sobreventa ti

32:46 y usted se da cuenta lo único que hizo fue multiplicar por delta es dividir sobre delta s evidentemente si yo cancelo los dos vuelvo a obtener el resultado que está un poquito más a la izquierda y por propiedades de los límites el cálculo sabemos que el límite de un producto es igual al producto de los límites es decir esto sería igual al límite cuando delta te tiende a cero de venta r sobre milka s con res x el límite cuando delta te entiende a 0

33:32 30s sobreventa a ti voy a analizar inicialmente este término que tengo aquí a la izquierda es el primero que voy a estudiar veremos quiero ver qué pasa cuando delta te tiende a cero evidentemente si del tarte tiende a cero aquí tenemos este argumento vamos al dibujo siniestra que tiende a cero básicamente el intervalo de tiempo es tan pequeño que el recorrido que haya hecho delta s como bien la partícula a través de la trayectoria que estoy

34:19 pintando es tan pequeña que prácticamente el delta s no se va a diferenciar del delta r sí creo que es claro no sé si tan cerca junto al punto a como yo quiera lo que me haya movido en delta r prácticamente lo mismo que me he oído el delta es eso quiere decir que primero cuando delta pero cuando delta te tiende a cero va a implicar que meta s en 0 y al mismo tiempo quiere decir que de esta s prácticamente coincide con la magnitud del rector del taller lo que quiere

35:06 decir entonces que si yo tengo la relación delta r sobreventa ese es como tener el aire sobre la magnitud de venta y nosotros aprendimos cuando mismo en la parte de matemática del traspaso matemáticos sobre vectores que usted tiene un vector y lo divide sobre su magnitud obtiene un vector unitario este es un vector unitario en la dirección de ese vector y recuerde bueno digamos en la dirección de del taller

35:52 por decirlo de esta manera pero como aquí tenemos el diente cuando delta te tiende a cero recuerda qué vamos primeros ingresos sería límite cuando el arte tiende a cero de este vector o delta r mire que cuando el tate tiene cero mirábamos acá el vector tiende a estar en la dirección tangencial o sea que es un vector esto que tengo aquí

36:37 viene siendo igual a un vector que es tangente a la curva o sea que es el primer término que tengo acá este me está dando un vector que es tangente de la curva ahora analicemos el otro caso tenemos por otro lado el límite cuando del tape tenga cero desde el tae se sobre verdad que viene siendo igual simplemente a la derivada de s con respecto a t pero la derivada de s con

37:23 respecto a t tendiendo a ser infinitesimal es que tanto yo me acerco aquí o mirémoslo acá cuándo el tiempo tiende a cero delta es 'prácticamente tiende a ser una pequeña línea recta aquí si aquí ya tendría ese diferencial de s y el diferencial de distancia con respecto a tiempo porque esto es un diferencial de distancia con respecto a tiempo simplemente le va a dar entonces la velocidad instantánea en ese punto al menos su magnitud por lo tanto combinando los dos resultados es decir este y este otro vamos a enmarcar lo que acabo de decir digamos

38:14 que este otro término que tengo aquí estaría dando por resultado esto es la velocidad y magnitud por lo tanto la vida del vector velocidad es igual a la magnitud que tenga ella en la dirección de un vector tanking de esta manera estamos probando el argumento datos por medio geométrico a un análisis geométrico que corresponde al análisis matemático la velocidad siempre es tangente a la productora

39:02 ahora cabe hacernos otra pregunta pregunta qué sucede con la aceleración para ello y por tecnología a todo lo que estamos acabamos de mirar evidentemente la aceleración también la vamos a poder representar vectorial mente que vamos a definir inicialmente una aceleración promedio el vector como la variación del vector velocidad con respecto al tiempo análogamente entonces el vector aceleración sería el límite cuando venta te tiende a cero de

39:49 del tav con respecto al té o sea del vector aceleración problema que me lleva por lo tanto a decir que la hace de la aceleración consideración instantánea sería igual a la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo bajo los mismos argumentos que ya planteamos anteriormente en el caso de la velocidad por ende si yo estoy diciendo que la aceleración es un vector que va a tener coordenadas x en dirección y bien dirección j

40:35 iceta la dirección que va a querer decir entonces que a su x es la derivada de la componente que es de la velocidad con respecto al tiempo y análogamente sería para las otras dos componentes pero así como la velocidad tiene su sentido geométrico es decir a todo lo que hemos hablado que ella es tangente a la trayectoria será que la velocidad aceleración también lo es vamos a mirar supongamos que la trayectoria es esta

41:22 que estamos visualizando en este momento en la hoja y que en el instante inicial la partícula se encontraba aquí en el punto a con una cierta velocidad que será visual y luego con otra velocidad en el punto de que llamaremos versus d observé que lo que ha sucedido es que la dirección de la velocidad y posiblemente su magnitud han cambiado lo que queremos entonces determinar cómo será el vector delta b que corresponderá a la diferencia de sus b menos un beso y voy a hacer el dibujo de los dos vectores

42:08 por aparte para hacer el análisis respectivos de forma análoga al análisis realizado anteriormente el vector que va de aquí hasta aquí podemos observar qué corresponde la suma que se tendría para obtener a su vez enrique v vamos a mirarlo creo que queda si se alcanza a notar el cursor si usted ve su par y sumó el vector azul me va a dar el vector de sucre eso va a implicar entonces que ese vector azul viene siendo igual que esté aquí

42:53 a veces menos eso es el productor que estoy buscando es decir este es el vector del table que yo quiero encontrar o sea que si yo trato de copiar este vector se trata de copiar este vector aquí miremos que obtendríamos por resultado sería un vector que está de elegidos hacia dentro de la curva este vector entonces es del table

43:43 pero nosotros hemos aprendido que de acuerdo a la definición de la aceleración con los acá arriba la aceleración usemos para que podamos estar lo mejor la aceleración es proporcional al sector del tav entonces hacer proporcionar a ese vector lleva la misma dirección eso quiere decir que el vector aceleración estaría apuntando en esta misma dirección observen que no están gente otra generación no es tan gente pero sí apunta hacia dentro de la curva es decir

44:31 apuntaron que nosotros llamamos la con la vida siempre que se apunta hacia el interior el interior de la concavidad director aceleración siempre apunta hacia la contabilidad a la curva mire que por ejemplo si vamos a este dibujito que tenemos más arriba aquí tienes decía qué esto es velocidad lo que es velocidad velocidad velocidad velocidad y la velocidad siempre están bien pero ahora sí que quiero pensar en la aceleración la aceleración siempre va a

45:16 estar apuntando hacia adentro de la curva aquí como es lineal sería así aquí ya apunta hacia adentro qué punto hacia adentro tiende apuntar hacia adentro liquidación todos estos serían aceleraciones y mire que básicamente estoy diciendo que la aceleración es la responsable de que el objeto cambie su trayectoria aunque no vamos a ver realmente que no propiamente la aceleración pero sí está muy relacionada que me mueve si yo me hubiera en línea recta y no hacia la derecha es porque la aceleración me está

46:03 dando hacia allá vamos a ver porque realmente es una fuerza pero bueno luego miraremos aquí aquí siempre es la que me está diciendo hacia dónde va a cambiar la trayectoria de la partícula que estamos estudiando entonces por conclusión como conclusiones tenemos los siguientes la velocidad siempre es tangente a la trayectoria mientras que la aceleración siempre

46:50 apunta en dirección de la concavidad a este lector ahora o si de pronto hay alguien que no entiende el concepto de cóncavo y convexo vamos entonces a dar una idea y yo pienso en un movimiento curvilíneo miren que este objeto es como si fuera parte de una circunferencia esta sección de la trayectoria es como si hubiera una

47:38 especie de radio de giro de una circunferencia no aquí giraría aquí aun si hubiera que una circunferencia y del otro lado es como si aquí fuera una circunferencia entonces de otro lado es como si el radio estuviera por aquí no si fueran dos circunferencias unidas como si fuera un ere como si fuera un r la cuestión es que la perspectiva dependiendo de dónde está el punto qué me sirve lo llamamos centro de curvatura hacia la curva que se está curvando en torno al centro de curvatura vamos a decir que dónde este punto de curvatura en la parte

48:24 interna hay que caer sería la parte interna y lo que se encuentra al otro lado de la parte externa esa es la parte externa visto desde esta manera cuando yo tengo una forma de estar de este tipo como la que estoy marcando aquí y le estoy mirando desde la parte interna digo que esto es una forma cóncava o sea que acá sería cóncavo del otro lado pero si lo miro desde la parte externa

49:13 yo digo que eso es convexo o sea que visto desde esta perspectiva este lado es acá es la batería conversión por ejemplo y usted mira a una persona le gusta comer mucho tiene su barriguita usted que esa barriga la vería

49:59 como algo convexo a una mujer embarazada su barriguita es convexa pero si por ejemplo este es un muy buena receta y hace mucho ejercicio y su abdomen tiende a ser muy plano aquí sucedería nunca en este me dice gracias que despertó miriam entendido en la próxima clase y continuaremos con una aplicación del movimiento y

50:44 curvilíneo que se conoce como el movimiento de productivos