GEOMETRÍA - Proporcionalidad y Semejanza [CICLO FREE]

0:01 por ahí estamos listos estamos listos chicos el maestro ya se encuentra ya preparado y bueno el maestro me da la señal y iniciamos de una vez chicos empezamos entonces cómo están chicos qué tal qué gusto de saber de ustedes una vez más ha sido una larga unos largos días para mí chicos que no he podido tener contacto con usted extrañando lo realmente la vez pasada nos quedamos en la parte de circunferencias lo recuerdan estudiamos

0:47 varios teoremas bonitos interesantes y lo sazonamos la teoría con problemas bonitos también pero más que bonitos interesantes eran problemas tipo examen de anuncios problemas edificantes y el día de hoy nos toca pues un tema trascendental en lo que se refiere pues al aprendizaje de este bello curso que geometría que y sobre todo que es un tema que viene en el examen de admisión universidad noción de ingeniería su futuro alma máter y no solamente a la uni sino también en diversas acá en academias universidades con cursos de admisión ok vamos a ver entonces este tema que nos trae el día de hoy encontrarnos a

1:34 reencontrarnos que es el de proporcionalidad y semejanza hoy día haremos varios teoremas e interesantes teoremas edificantes algunos demostraremos otros no saben por el tiempo es un tema muy anglo este de proporcionalidad y semejanza pensamos entonces con la proporcionalidad ok empezaremos comentándoles que una proporción puede ser aritmética o geométrica en matemática hablamos de esa manera nosotros obviamente que nos vamos a enfocar en las proporciones geométricas de acuerdo la proporción geométrica es no es otra cosa que la igualdad de dos razones geométricas y una razón geométrica viene

2:19 a ser el cociente entre dos números por ejemplo si yo tengo los números 3 y 5 geométrica 13 entre 56 y si tengo 6 y 10 es la razón geométrica entre ellos es 6 entre 10 como 13 35 es igual a 6 entre díaz lo igualamos y ya tenemos una igualdad formada por cuatro números a esta igualdad se le llama proporción de acuerdo ahora bien con respecto a los segmentos dos segmentos son proporcionales ok a otros dos cuando sus razones la razón de los segmentos es la misma ok estos estos números pueden representar las longitudes de los

3:05 segmentos un segmento de longitud tres unidades otro segmento de longitud cinco unidades la razón de esos segmentos no es otra cosa que el cociente entre sus longitudes de igual manera este número seis con un unidades representa la longitud de un segmento 10 también ok y la razón entre esos segmentos viene a ser el cociente entre sus longitudes de tal manera que se obtiene esa igualdad ok chicos en general entonces lo que vamos a estudiar hoy día lo que vamos a usar fundamentalmente es esto esta proporción

3:50 se dice así se lee así ahí sabe cómo se sabe ok a los números que aparecen en la parte superior se les llama antecedentes los de abajo consecuentes ok y esto es lo que vamos a usar el día de hoy lo vamos a usar a discreción esta expresión se llama proporción de acuerdo y empezamos con el representante máximo de este tema de proporcionalidad es el teorema de taldes en realidad tales nos legó cinco teoremas fundamental de esos cinco nosotros vamos a enfocarnos a este que habla acerca de tres o más paralelas

4:35 determinan sobre dos o más secantes segmentos proporcionales ok repito tres o más en este caso hemos cogido tres solamente determinar sobre dos o más secan acá tenemos doce cantes pueden ser más secantes son los que quieren decir segmentos proporcionales pueden ustedes observar que en la secante l1 aparecen dos segmentos vamos a indicar los consecutivos a veces ok y en la segunda secante los segmentos son de f se va a cumplir que la razón que hay entre estos dos es igual la razón entre los otros dos ave entre veces igual la de dividido entre i ok chicos esto que quiere decir que ave

5:22 es directamente proporcional a de lo mismo que bese con efe en la misma proporción en las cuales están ave y de está en bs.f también me dejó entender así lo entendemos chicos de tal manera que si por ejemplo de mi dedos y efe mide 3 entonces a veces era como 2 y verse como 3 es decir directamente proporcional a todos y directamente proporcional a 3 esta es una forma de expresión que nos hace ver la proporción que hay ok entre estos cuatro números a veces a veces como de esa es entonces una forma paramétrica de expresar el teorema de

6:09 tales y acá lo podemos nosotros apreciar de acuerdo pero una cosa os digo que así como ave entre veces igual a d / efe también se deduce por leyes de proporción o sea el de arriba es al total así como bueno si ha hecho esta operación en la primera recta secante en la segunda recta secante haré la misma operación el de arriba de dividido entre el totales de f estamos de acuerdo y así podemos hallar no también con vencer s / / h análogamente va a ser igual a efe / / d ok chicos en algunos problemas esto nos

6:57 ayuda también va a estar muy bueno luego de haber planteado propuesto el teorema de thales veamos el corolario de standish la palabra corolario creo que ya les he explicado se refiere a una consecuencia de un teorema dada el corolario de tales paradójicamente quizás sea lo que más se usa en los problemas muy aparte del teorema de tarno el corolario de tal es la consecuencia el corolario de la necedad de nutriente dado el triángulo abc trazamos una recta paralela al lado así es por ejemplo puede ocurrir tres cosas que la recta paralela determine o interese que directamente a los lados a bbc que contenga al lado b o al vértice

7:44 b perdón o que interese que a las prolongaciones de ave y decir nosotros vamos a contemplar estos dos casos el caso en el cual interese que directamente a los lados a bbc y el caso en el cual intersecta las prolongaciones de los lados de excel de acuerdo en cualquiera de los dos casos se va a dar la siguiente proporción de m / m igual a bn dividido entre en s aquí lo vamos a colocar si en paralelo entonces hace ok se va a cumplir mi querido muchachos se va a cumplir los siguientes pm / / m

8:32 a va a ser igual adn / / l estamos de acuerdo esto es lo que se va a dar entonces para el primer caso ok pero también puede darse la situación en la cual la recta paralela intersec a las prolongaciones de los lados tal como ustedes pueden apreciar acá también se cumple que si yemen es paralelo a c [Aplausos] también se va a dar chicos el hecho siguiente mira mira así va a ser mv esa vea como nba estamos de acuerdo a ver nuevamente mb/s vea

9:20 como ns a veces no tengo ustedes que se van a dividir las longitudes de los segmentos que están ubicados en una misma recta secando ok las rectas secantes son las que quedan determinadas por los lados de acuerdo mb / b a está definido la recta está definido por el lado a b n b entre veces definido por el lado de acuerdo chicos y esto es lo que se va a cumplir también entonces y la manera pues de familiarizarnos más con estos teoremas que estamos viendo vamos a resolver el problema número uno que les parece chicos a ver el problema número uno nos enfocamos

10:06 con el problema número gracias mi estimado randy ahí está el problema número uno quiero dice a ver a ver desde el punto p interior a un triángulo bares acá hay un punto p interior ubicado en el interior de este triángulo a ver qué pasa con ese puntito se han trazado pq paralelo a así pq paralelo a c se ha trazado también pt paralelo a ver aquí está el pp ips paralelo a veces es contender de tal manera que es pq pt ips tienen longitudes iguales a equis que es lo que

10:54 hay que calcular de acuerdo me dan como dato que el producto de estos segmentos aquí por 20 y por es ese el producto de las longitudes de esos tres segmentos cuyas medidas vamos a asumir que sean a ver minúscula minúscula y se minúscula el producto de los tres por datos es 64 muy pronto decimos entonces como dato tenemos que el producto abc es igual a 64 y nos piden determinar cuál es el valor de bueno ustedes pueden notar la peculiaridad de esos segmentos son paralelos a los lados y tienen

11:39 longitudes iguales por eso a este punto se le llama o se le atribuye un matemático que la ve o gira me ok y se deduce les voy adelantando que existen ocho puntos de hirabe para todo triángulo ok donde dos son interiores y seis son exteriores pero veamos entonces cuál es la relación que hay entre la longitud x y las longitudes a b y c para lo cual nosotros vamos a hacer lo siguiente a ver chicos observen ustedes lo que vamos a hacer para poder resolver este problema lo que voy a hacer es prolongar esta línea prolongó esta ok pero longo tiempo hasta que interese

12:26 que a ese en el punto vamos a llamarlo m de acuerdo formando a la izquierda un paralelogramo chicos esta figura es un paralelogramo lo voy a señalar paralelogramo ahí está de acuerdo es un paralelogramo los lados opuestos tienen que medir igual o sea que este lado y este lado también tiene que medir cuánto x quítale hasta ahí no hay ningún problema no hay ningún problema verdad a continuación observen ustedes que al hacer esa prolongación hemos formado el triángulo de mc en ese triángulo no

13:12 tengo ustedes que ps es paralelo a tc aquí estamos frente al corolario de tal el repito para poder aplicar el corolario de tales tiene que haber una paralela a un lado de entrega y acá lo podemos apreciar ese es paralelo a ese así que nosotros decimos por corolario de tales por corolario de tales de mileto tendríamos los siguientes mis queridos jovencitos aplicado primero hay que señalar en qué triángulo lo vamos a hacer me refiero al triángulo t m en ese triángulo la cosa sería así x esa

13:58 como esa m s bueno como ms no tiene una longitud indica le vamos a poner en minúsculas para que la cosa sea más fácil x esa entonces como quienes a quien como se sabe estamos de acuerdo de que podemos nosotros despejar el valor de x que será igual a hacer sobre m y llamamos una expresión 1 no tengo ustedes que ya apareció el producto hace cosa que no podemos ver en el dato que solamente te falta un beso nada más ok y para poder obtener eso miren lo que vamos a hacer vamos nosotros también pero longar chicos

14:43 este puntito lo voy a ubicar en este lugar prolongamos pero logramos esp hasta que interese que en el al lado a ver formando una vez más otro paralelo gramos el paralelogramo este paralelogramo el pt se paralelogramo lb te vamos a señalar otro paralelo gramos por acá aparece en escena chicos tratando de ayudarnos no es cierto este lado me diría que también ok y a la par también vamos a tener el triángulo sal el triángulo salt ahí están en ese

15:31 triángulo nosotros podemos notar el hecho de que el mp es paralelo a este lado a l del triángulo sal así que decimos en el triángulo sal ok nuevamente aplicamos el corolario de tales corolario de tales sería de qué manera así que quise saber cómo ms x es saber cómo m es ok chicos qué tal hasta ahí de acá tendríamos x al cuadrado igual a bm y llamamos expresión 2 ok muy bien chicos ustedes no tienen de que para poder obtener este dato a veces

16:17 igual a 64 tengo que multiplicar estas dos expresiones entonces nosotros decimos 1 por 2 cuánto sería uno por dos no me digas dos a uno por dos sería en el primer miembro x por x al cuadrado x al cubo ok igual tendríamos ac por b m o sea us b seco ordenando por m y dividido entre m también los m se cancela y nos queda una propiedad un teorema muy bonito que nos relaciona pues de la longitud de las paralelas x y estos segmentos ubicados en forma alterna que mide a b x x al

17:06 cubo iguala a por b por c para el problema por supuesto ya sabemos cuál es el valor de equipo para el problema como a veces es igual a 64 x valdría 4 la respuesta este sí es el resultado ya para toda la afición muchachos geométricas que tal estadísticos que les pareció a ver a ver no tengo la tablet para poder saber cuáles son sus comentarios me gustaría por supuesto saber un poquito más de ustedes así es mis jóvenes amigos seguimos mal ante nosotros a pesar de

17:52 las vicisitudes de la vida seguimos adelante quita alguna pregunta chicos todo bien cuadra es un problema interesado muy bien que conseguimos con el problema número 2 vamos a ver el problema número 2 rápidamente

18:40 el problema número 2 por el vértice a de un romboide a bs de s tras una recta secante la cual inter se caen pvd en q abc y en r a la prolongación de decir ok muy bien vamos a hacer la gráfica correspondiente entonces a ver chicos muy bien ahí está el problema número 2 de acuerdo muy bien el problema me habla de un romboide recuerden que el romboide es el término que se le da al paralelogramo

19:28 más simple y para el programa propiamente dicho ok vamos a trazar entonces ahí está no voy de ok voy a prolongar este lado porque de acuerdo al enunciado del problema dice que hay que prolongar ya me estoy preparando de antemano ahí tenemos entonces el rombo y del paralelogramo abc de también vamos a trazar la recta secante esa recta que se traza por el vértice y esa recta inter seca habida en el p ok intersec abc en el cubo y a la

20:15 prolongación de desee en el punto r según condición del problema ok muy bien sigo bailando de haber muchachos qué más nos dice el problema pq vale 4 qr vale 5 q vale 4 r vale 5 no hay problema nos piden determinar cuál es la longitud del segmento up muy bien este es un problema de examen de admisión um y muchachos que he querido compartir con ustedes a manera de un ejemplo así que nos pueda edificar recuerden que no tenemos que para poder aprender geometría enfrentar problemas de bastante grado de

21:00 dificultad sin problemas nivel 1 pero como yo los conozco chicos les he puesto algunos problemas un poquito digamos fuertes y dos más que fuertes y tos interesante bonitos para el deleite de todos ustedes mis queridos jovencitos ok muy bien cómo resuelvo este problema pues recordarán el corolario de tales corolario pero la parte de chicos cuál profesor me dirás perra de espera vamos a hacerlo a mano alzada

21:46 lo hacemos a mano alzada este muchacho profe qué forma tiene tiene como la forma de un reloj de harina o de una mariposa no vamos a ponerlo de una forma más práctica asumiendo que tengan longitudes a b y de cuál era la relación mis queridos o vencidos siempre y cuando son paralelas obviamente te tienen que separar leer la mariposa de bases para llegar a esa vez como se sabe capi esto lo vamos a aplicar chicos cuantas veces sea necesario con tal de resolver el profe dista así que nosotros empezamos a reconocer alguna mariposa ves alguna mariposa

22:34 me refiero a la figurativo la que más baja observen ustedes esa mariposita que aparece en escena ok decimos entonces por corolario de tales del gráfico observamos entonces la primera mariposa a ver a ver está en esta posición si me permiten chicos está en esa posición como se diga 4 esa equis como ve pspv para ser más prácticos una y un b nos va a ayudar bastante entonces 4 esa equis como esa y por supuesto seguimos avanzando aparte de esa mariposa que otra mariposa veces uyuyuy y acá se ve una mariposa pero

23:20 como es bastante grande la vamos a llamar mariposa grande por supuesto voy a sombrear su interior mis queridos muchachos ahí está ok este su interior así que decimos en esa mariposita grande que está en esta posición chicos no pierden paralelismo porque si no hubiera paralelas no podría aplicar el corolario detalles la parte de corolario de que sería entonces hay sabe cómo ven y césar 9 esa vez esa vez como x esa nueva tendríamos entonces a esa vez

24:07 como xe sal comparando chicos estas dos expresiones obviamente que todos se percatan cuál es el resultado de 1 y 2 al estamos a una distancia de tiro libre equivale 6 la respuesta tiene problemas de acuerdo chicos ese es el problema número 2 entonces como ven ya hemos avanzado estamos resolviendo estos problemas interesantes bonitos pero más que eso edifican ok son los primeros problemas que tener bien a continuación vamos a ver los teoremas de la bisectriz teoremas de la bisectriz

24:56 de acuerdo vamos a estudiar estos teoremas de la bisectriz que son consecuencias del teorema de tales mis queridos jovencitos a ver a ver hay dos teoremas que vamos a estudiar primero el teorema de la bisectriz interior 1 el teorema de la bisectriz interior teorema de la bisectriz de teorema porque me encanta estar escribiendo todo eso chicos de prueba de la bisectriz interior muy largo el este este subtítulo no entonces lo vamos a simplificar así te ve y te parece un tv y es suficiente con

25:43 eso suficiente el alumno y el alumno que está en nuestra institución chicos alto que dice allá te ve y es el teorema de la bisectriz interior por supuesto profe y qué es lo que vamos a hacer aquí que tiene notable tendríamos que trazar pues hijito mío la bisectriz interior allá tiene razón en profética así que si yo tengo el triángulo y trazo la bisectriz interior con eso es suficiente para poder a recurrir o aplicar la propiedad el teorema la fórmula que vamos a dar a continuación o sea el triángulo abc cómo pueden

26:29 ustedes observar puede directriz interior así que el ximénez bisectriz interior entonces estos ángulos parciales son congruentes adif y está y al fin está asumiendo de que este lado me desee este lado mi idea y que estos segmentos a decir ese que determina la bisectriz interior en el lado opuesto me dan m y n y entonces se da la relación siguiente mis queridos conocidos igual en la relación profesor me dirás un momentito espérate espera de chef va a saber cuál es la relación vamos a encuadrar lo acá para poder colocar la

27:16 relación que se va a cumplir chicos que esos lados que estos lados que forman el verde ese por donde parte la bisectriz interior estos lados son proporcionales a los segmentos que determina la bisectriz en el lado opuesto ok en otras palabras se es a m como ansa él si esa m como a esa actitud ok ahí están mis estimados alimentos de acuerdo chicos no se nos ha ido tiza sí

28:01 ok ahí lo tenemos entonces digo qué tal está bonito verdad interesante esa relación de proporcionalidad a uno de ustedes de la profe y dónde sale eso una demostración hacia rapidita al buen los chicos que no hay mucho tiempo no hay mucho espacio para hacerlo pero miren ve esto está en casi todos los libros de geometría y libros serios por supuesto para poder demostrar la relación que os acabo de manifestar lo que hago es trazar a ésta tras ser por ser una paralela

28:50 una paralela aunque no parezca a esta bisectriz vamos a ajustar le la curva para que para que parezca chicos ahí está la paralela a esta vice 3 estamos de acuerdo al trazar la paralela noten ustedes que estos ángulos son congruentes por alternos internos y éste con éste por correspondientes entre paralelas formando un triángulo isósceles tvc donde este lado mediría a igual que el de acá finalmente en el triángulo te hace como bebé es paralelo al tc porque lo he trazado entonces y como podemos aplicar el teorema el corolario de tales casos sería así que esa

29:36 como msr qué es lo mismo de escribirse esa m como esa y queda demostrado este simple pero bonito interesante teorema de la bisectriz interior y así también se puede expresar no sé cómo msn y algunos de repente se le ocurre expresarlo como separarse por n no acá lo voy a colocar ok se por n iguala a por m también se puede expresar de cualquiera de esas otras dos formas pueden ustedes expresar este theory lo importante es saber 6 qué cosa es que ustedes sepan cómo

30:21 relacionar estos 4 números si a mí ya me dejó entender ahora bien la cosa no queda ahí si crees que he venido esto lo voy a borrar por un momento chicos vamos a borrar esta demostración para poder colocar a ver ahí tenemos entonces la situación no también les decía que se puede escribir como se por n igualada pero bueno les comentaba chicos que si ustedes creen que he venido a darles lo que todos los profesores me dan pues no es así yo quiero darle algo más geométricamente hablando por supuesto para que me recuerde siempre asumamos que hace medida que observen la relación

31:09 que vamos a sabemos que se esa m como a esa y por leyes de proporción si sumamos los antecedentes ok la suma de los antecedentes y lo dividimos entre la suma de los dos consecuentes m y n esta nueva razón es igual a cualquiera de las dos primeras igual hemos a la primera y a la segunda capi como quiera que me maten tiene longitud igual a la longitud del lado hace entonces podemos nosotros despejar el valor de m y el valor de n podemos obtener m a que es igual m veces sobre a más e profesor ya que es igual n haber

31:56 dividido entre a más estamos de acuerdo esta es una forma rápida y práctica de obtener cada uno de estos segmentos conociendo los tres lados de hungría quiero m b por ser sobre almacén quiero ir a por ver sobre ambas aves para que juegues con tu nuevo juguete bisectriz muchacho 456 y como es profe como era como era comer a 4 por 6 entre 45 24 novenos simplifica sacando 38 tercios

32:41 te das cuenta cómo es y si quiere serie allá él quiera como cinco por seis dividido entre cuanto cuatro más chicos cuánto me da estos 30 entre 9 sacar tercia 10 tercio profe ahí está me dejó entender profe pero por qué lo hace rapidito qué cosa mira hijito mío cuando vas al examen de admisión el tiempo literalmente el tiempo es oro ok si te demoras un segundo ya fuiste por eso es importantísimo que los profesores aquí en el grupo ciencia tenemos técnicas formas para poder llegar con mayor prontitud más rápido violento y

33:28 acertadamente por supuesto a la respuesta de un problema de acuerdo muy bien mis jóvenes a los mitos a ver a ver ya tengo caramba acá cara muchas gracias caramba siempre con la muy buena participación apoyo de mi ingeniero randy mi amigo el alma ok qué tal chicos alguna pregunta como estamos muy bien muy bien no te preocupes al fin

34:14 uno puede saber hijitos es como si le preguntaras a messi como saben que tiene que hacer eso esa jugada es algo innato y segundo por la experiencia como tiene la experiencia por la práctica capi ok entonces cuando nosotros practicamos y entonces nos llenamos la cabeza chicos de situaciones entonces nuestra cabeza está todo la experiencia que nosotros hemos obtenido ok esto es cuando vemos una situación parecida cómo actuamos inmediatamente nuestro cerebro reacciones allá sacan la experiencia que has tenido y si esto se resuelve así esto me parece que

35:00 puede ser así ok a veces no acertamos por supuesto pero lo que tenemos chicos cosas que hacer hay que hacerlo hay que obrar para poder conseguir los resultados solamente así podremos saber si estamos bien o no estamos siguiendo el camino adecuado ok muy bien este es el teorema de la bisectriz indec ahora le toca el turno mis queridos o vencidos al teorema de la bisectriz exterior vamos a ver el teorema de la exterior como ya no hay visita maría teorema de la bisectriz exterior

35:49 vamos a hablar de la exterior veamos chicos ok y para poder simplificar vamos a expresarlo en siglas en el ente me representa significa el teorema de la bisectriz pero fe que figura tiene que haber para empezar un triángulo hijo mío que más la expo una bisectriz exterior así era la cosa clara acuérdate que te expliqué que cuando se traza la bisectriz exterior en un triángulo cuando se traza la

36:37 vicent triz exterior la bisectriz exterior se inclina por el lado menor así que en este caso tú puedes deducir rápidamente que ese el menor que a b o ab mayor que desee por eso es que la bisectriz exterior bebé se ha inclinado hacia el lado derecho ahí lo podemos observar estamos de acuerdo no hay ningún problema no tengo usted es que estos son los lados que concurre en el verde se ve por donde se traza la bisectriz exterior y note también que los segmentos que determinan la centrista exterior en el lado opuesto son estos dos en el segmento de longitud

37:23 m minúscula y este segmento se de longitud vamos a asumir le vamos a asignarle una longitud n minúscula de acuerdo a chicos ahí lo tenemos entonces m ahí están los dos segmentos ahora no quiero avanzar sin antes comunicarles lo que en general si yo no tengo un trial y trazo una sevillana cualquiera una sevillana cualquiera los segmentos que quedan determinados ok por esa sevillana sobre el lado opuesto son aquellos segmentos cuyos extremos son el punto común de la sevillana con el lado

38:10 opuesto y los extremos de ese lado en este caso p a ips en general para cualquier sevillana y qué pasaría si la sevillana es exterior profesor igual ocurre hijo mío ahí está la anciana exterior cuáles son los segmentos cuyos extremos son cuáles son los segmentos cuyos extremos son el punto común de la semana con el lado opuesto y los extremos de lado son desde el punto p hacia a y asia si hay quedan determinados para ips ok esta línea pp repito es una sevillana exterior ok sí particularmente ella se

38:56 vean a exterior es una bisectriz exterior también se va a dar el mismo criterio general que os acabo de comentar ok seguimos adelante entonces echarle para adelante mano a ver cuál es la relación que se cumple el profesor recontra papá ya se va a cumplir entonces que estos lados estos lados son proporcionales a esos dos segmentos profe cómo asignar si esa m como a esa n ok ahí está obviamente que el mayor lago es proporcional al mayor segmento hay y el menor lado al menos efe que esa m como a esa él también puede ser expresado como

39:42 cesa como msn o también puede ser expresado como se ponen e iguala por ok yo me quedo con la primera está primera ok muchachos como se demuestra esto profesor pues chicos chicos atrás n la paralela igualito no mirar atrás en la paralela a este lado al trazar la paralela triángulo ballet eta por alternos internos ahí está este ángulo ballet eta por correspondientes entre paralelas fíjate que todo este lado parece a mucho cuidado se puede notar de que el triángulo tvc esos delitos así que en vez de valdría también y

40:31 finalmente lo que se hace es en el triángulo ave no tengo ustedes como sede paralelo ave se aplique el corolario de tales a el primer corolario estamos de acuerdo el caso sería así si esa como ms en 6a en el triángulo entonces ya saben que yo les hago la demostración de una manera simple no muy formal ok ahí estás corolario de tales en ese triángulo cesa como quien es a quien msn y ahí queda demostrado como pueden ver él teorema de la bisectriz exterior

41:17 que estamos hechos todo bien ahí está si no hay ningún problema verdad pero efecto me creo muchachos si asumimos de igual manera que en este lado a se me da me vamos a asumir que este lado me da ver entonces mis queridos jovencitos podemos partir de la expresión ce esa m como a esa n y modificarla adecuadamente nos restamos los antecedentes se menos a ok y lo dividimos entre la diferencia de los consecuentes y menos n y esta razón es igual a cualquiera de las dos primeras razones se entre m igual a

42:02 entre r ok y como quiera que m n se puede notar que m n es igual a ver que acá vamos a reemplazar y podemos obtener el valor de m y el valor de de una manera cómoda rápida y sencilla m sería igual aquí en jóvenes y los que se sobresee menos a allá bonito verdad y el n como sería sería hábil sobre se menos a cambio ahí tenemos entonces las dos expresiones que nos permiten chicos calcular estos segmentos ok en función de las longitudes de los lados del triángulo que tal vez de ahí

42:50 mis queridos jovencitos a ver a ver alguna pregunta alguna consulta algo de aquí o de allá muchachos cómo están chicos que tal albín como esta dijo que tal luis chino como estas que ahorita monto placeres señor ina qué tal buen chico qué tal caramba qué gustazo han visto mismo tacho pronto ya me voy a italia no quiero pasar desapercibido

43:36 o digo quiero pasar desapercibido por el contratista muy bien chicos un gustazo gustazo tenerlo nuevamente conmigo y hoy día tenemos sorpresas y regalos regalos virtuales vamos a continuar entonces a ver qué les parece un problemita de aplicación ahí está ya está preparado la pizarrita a ver a ver el internet está fallando pero seguimos para adelante nosotros [Risas] al cielo así es el fútbol peruano seguimos bailando chicos

44:24 desde los cuarteles de el grupo ciencia une su mejor preparación con docentes de experiencia de más de tres décadas de experiencia de ciertos chicos aunque parezca mentira muy bien cómo estás davis qué tal vamos a ver entonces el problemita número el 3 problemita no menos 3 problema número 3 aquí lo vamos a poner problema 3 veamos entonces jovencitos ahí está en este momento me gustaría

45:10 un trago de agua obviamente yo soy abstemio chicos a ver donde no hay agua pero sigo adelante estoy en el sahara veamos el problema 3 no dice en un triángulo a veces se traza la asedian a bf con la condición que la medida del ángulo fvs es igual a la suma de la medida de los ángulos ph y hace ya lo tengo entonces en la mira construyó el gráfico y representativo entonces ahí lo tenemos en triángulo a veces mis jóvenes alumnos

45:57 sería más o menos así ok eso la sevillana tras solas muchas gracias chicos discúlpenme acá luego no tenemos no te preocupes anidarse muy bien ahí tenemos entonces repito el triángulo abc donde se traza la sevillana allá está la sevillana pf verdad con la condición cuál es la condición del trazo de este ángulo que aparece en la parte superior el ángulo efe bc en la suma de

46:44 las medidas de los ángulos a s o sea que si este ángulo ideal y tengo los violentistas arriba que tienes algo más que está en esa condición del problema chicos por otro lado tres veces a efe es igual a dos veces etc dato del problema entonces es tres veces tres veces quien a efe es igual a dos veces fcl los probables quiere decir que a efe directamente proporcional a dos y fcc es directamente proporcional a tres no hay ningún problema rápidamente con expresamos estos de esta manera ahí está

47:29 que es lo que me da como dato adicional el problemita ave vale 10 nos piden hallar pf efe la incógnita y me dan como dato que todo este lado ave mide 10 y queridos conocidos muy bien es un problemita que nos va a permitir aplicar chicos el teorema de la bisectriz exterior ustedes me dirán profe y dónde está la exterior tranquilo tranquilo [Aplausos] ahí está la bisectriz exterior pero vamos a reconocerlas rápidamente de la siguiente manera observen ustedes lo siguen qué pasa si yo prolongó este lado a ver

48:17 porque como sabe que tiene que prolongar por ahí escuche si yo prolongó lo hago para poder averiguar a que es igual este ángulo y qué tiene que ver con una incógnita con todo el conjunto de datos me doy cuenta que este ángulo exterior del triángulo a veces no es cierto que es igual a la suma alfa más theta también o sea que este ángulo se expresaría de esta manera para llegar a un mágica también es algo maceta igual que el que está adyacente a el que está pasando acá chicos para el triangulito

49:02 efe cuyo interior estoy sombreado para ese triángulo chicos que estoy señalando estoy resaltando estoy indicando pregunto qué tipo de bisectriz vendría a ser ese interior o exterior porque que el billete no es pero qué tipo de bisectriz vendrías a ver quiero quiero verla la respuesta qué tipo de bisectriz vendría a ser mis queridos jovencitos interior o exterior es una bisectriz

49:49 es la exterior verdad que dice es josé jorge es la exonera x muy bien eduardito espinoza perfecto entonces chicos nosotros lo que hacemos es aplicar el teorema de la bisectriz exterior por teorema de la bisectriz exterior voy a escribirlo simplemente así ya pegue bisectriz exterior aplicado en el triángulo a bf tendríamos lucir sería 10 es a 5 k

50:37 como quienes aquí en muchachos como x 3 k tal como lo hemos aprendido que haces a continuación kaká y de acá el valor de x ya lo tienes en la bolsa equivale 6 la respuesta del problemita ok chicos qué tal está ahí se ha entendido todo todo está correcto hallazgos se jorge es la ex dice tranquilo tranquilo josé jorge y caramba acá tenemos el filósofo luis quinto

51:35 muy bien me creo muchachos ahí está con el problemita y ahora después de haber avanzado fue con el teorema de la exterior viene otros teoremas trascendentes como son el teorema de un centro el teorema del infinito el teorema del encentro un hermoso teorema que nos va a permitir afianzar más y estos dos primeros teoremas que son el teorema de la bisectriz interior y el teorema de la bisectriz excel un centro como ustedes conoce chicos es el punto donde concurren las bisectriz

52:22 es de los ángulos interiores de un triángulo verdad así que yo lo que voy a hacer es trazar la matriz ahí está la bisectriz interior verde y luego voy a trazar la bisectriz del ángulo a la que va a inter secar por supuesto ha habido una movida como movimiento acá ahí está la que va a interceptar a la primera vez se tris en este punto que ya sabemos todos de antemano es el centro del trial entonces decimos sí y es sin centro del triángulo abc un centro del triángulo a veces

53:09 ahí está entonces se va a cumplir que la razón en la cual divide el centro a la bisectriz interior es decir la razón de y entre y de repito la razón entre y de ahí está de mayor a menor del vértice al pie de la bisectriz a ser igual a la razón entre la suma de las longitudes de los lados del triángulo los dos lados que concurren no la bisectriz en este caso sería a más dividido entre la longitud del tercer lado el lado opuesto a la bisectriz en

53:56 este caso vendría a ser visitó la longitud es mejor entender este es el teorema del un centro un teorema muy bonito muy interesante que obviamente no vamos a demostrar por acá la demostración respectiva a ver demostraciones una demostración es para poder muchachos y disfrutar de la geometría y ahí está en la demostración solamente voy a aplicar el teorema de la bisectriz interior sabemos que sabemos que sabes qué

54:41 ok por el teorema de la bisectriz por teorema de la bisectriz interior ok sabemos que por el teorema de la bisectriz interior aplicado a que trias al triángulo a b de beade mejor dicho tendríamos la siguiente relación se sabe cómo ve esa idea se es de como veis esa idea ok vamos a asumir que este segmento me da m para que sea más sencillo transmitir lo que estamos hablando las ideas no se esa m

55:28 como veis aire en otras palabras b y / y de no va a ser igual hace sobre m ok pero no es cierto que lm lo podemos calcular rápidamente sm no es cierto que es igual a peces sobre amazon capi pero m es veces sobre a más entonces viajar tendríamos la siguiente relación se entre m va a ser igual a además es sobre b ok respetando finalmente quedaría demostrado de una manera cómoda rápida y sencilla el

56:13 teorema del incendio y entre idea es igual a quien ama se entrevé se queda demostrado de esta manera el teorema orden estamos de acuerdo ahora bien un pequeño comentario no tengo usted es que como ama se es mayor que b entonces este cociente a más entre b es mayor que la unidad luego por esta razón veía entre vida mayor que uno en otras palabras ve y es mayor estos chicos para que nosotros podamos darnos cuenta y percatarnos del hecho de

57:02 que siempre para todo triángulo el segmento que une el centro con un vértice es mayor que el segmento que une el centro con el pie de la bisectriz interior o kido que siempre se va a cumplir esta relación que está las hay muchachos ok recién estamos nosotros degustando de la primera cucharada de la entrada de este tema de esta clase recién estamos alimentando poquito a poquito lo primero que hemos hecho es como que una entradita ok luego ya viene la parte a el plato fuerte ok

57:49 continuamos entonces chicos con un teorema muy interesante y sorprendente el teorema de un centro y varios senderos el teorema del centro y baricentro guau el teorema del centro y varios centros que s sobre el sol ahorita lo va a saber hijo mío consideremos entonces un triángulo nuevamente en triángulo que aparece en escena el triángulo aves ubicamos en ese triángulo en el centro y el baricentro tengan presente que el centro es el punto donde concurren las bisectriz interiores y el barí centro es el punto

58:36 donde concurren las medianas ok ahora bien este segmento y que puede tener cualquier posición con respecto a los lados del trial pero qué pasaría si ese segmento es paralelo al lado base guau los dejé pensando verdad claro muchachos entonces nosotros mientras van pensando voy a colocar acá sea y en el centro del triángulo vence seage el bar y centro del triángulo abc que sea eje paralelo interesante no vamos a escribirlo a cada vez un centro del triángulo a veces y

59:25 sea también g marín centro de entrega en el centro del triángulo es estamos de acuerdo perfecto y si particularmente y si es para le no hace esto me hace pensar profe en todos los triángulos este segmento es paralelo a un largo no no en todos los triángulos pero qué pasaría si fuera paralelo ok entonces si fuera paralelo o si es paralelo va a ocurrir una relación muy bonita entre los lados de nutria ok entonces asumiendo que este lado del triángulo mirase este lado en este lado así que me da me miren la

1:00:13 relación que vamos a obtener de chicos pero antes vamos a prepararnos para todas estas estos acontecimientos muchachos muchachas miren lo que va a ocurrir va a ocurrir lo siguiente entonces entonces se va a cumplir que ese lago al cual es paralelo el segmento y que siempre va a ser igual este lado de longitud va a ser igual a la semi suma de los otros dos la semi suma o sea a más y público profesor de dónde saca esas cosas lo vamos a demostrar chicos vamos a

1:01:00 demostrarnos inmediatamente chicos no hay ningún problema como lo demostramos bueno simplemente usando las mismas características y la definición en centro y la definición de bar y centro por definición sí y es un centro la única línea que contiene algún centro es la bisectriz interior así que ve del icex trees interior o creo que sigue baricentro la línea notable que contiene al bar y centro es la media así que pm es mediano pero ojo si bm mediana sabemos que hay una razón de 2 a 1 la razón en la cual divide el

1:01:48 baricentro a la interesante verdad vamos a ver la demostración esto es simplemente un pequeño avance en la demostración vamos a incluir que ven en bisectriz de la figura de vicent 3 ibm mediana ok bisectriz y mediana de acuerdo perfecto muchachos y ya sabemos la razón de dos aquí pero si observamos el triángulo de evm nos percatamos que se dan las condiciones para poder aplicar el corolario de tales en el triángulo de evm no es cierto que por el corolario de tales b y entre y de

1:02:33 que es igual a de g entre gm a ver qué dicen ustedes chicos y entre y de es igual a pg entre gm esto ocurre en el triángulo de evm chrome pero está consciente 2 ahí está 2 pero por el teorema del centro b y entre y de aquí es igual de más a entrever lo acabamos de demostrar chicos y esto es igual a 2 finalmente la demostración acaba cuando despejó el valor de ahí está que ha demostrado este teorema del centro y valencia

1:03:19 qué tal muchachos claro ustedes dirán allá profe solamente se cumple entonces qué cuando dije es paralelo a c b es igual a más es sobre 2 pero una cosa quiero advertirles la mayoría de los teoremas de geometría tiene su recíproco un teorema consta de dos partes de verdad la la tesis y la hipótesis verdad sé muy bien entonces el teorema recién propuesta al revés un teorema recíproco es aquel cuya tesis es la hipótesis del teorema dado ok y su hipótesis es la tesis del

1:04:07 primero es al revés por ejemplo en este teorema que tenemos qué sí y que paralelo hace de la tesis y que paralelo hace cual es la hipótesis e iguala a más es sobre dos lo hemos demostrado estamos de acuerdo lo contrario sería si b es igual además es sobre dos se cumplirá que dije es paralelo a c pues yo os digo que si ya lo contrario se va a cumplir así que en los infinitos triángulos donde un lado tiene una longitud igual a semi suma de las longitudes de los otros dos en esos infinitos triángulos se va a cumplir que

1:04:55 el segmento con el centro con el baricentro va a ser paralelo a ese lado miren chicos no tengo mucho espacio pero acá les voy a poner para porque tenemos muchas cositas que realizar le voy a poner acá lamont y tálamo talamonti está mi querido amigo vamos a ponerlo acá en este espacio a ver en este espacio entonces tendríamos que es igual a más es sobre dos acá ya llegué a la demostración entonces acá vamos a colocar algo muy bonito muy interesante que estoy seguro

1:05:41 le va a agradar ok así que muchachos existirán infinitos triángulos donde el segmento que une el centro con el barí 0 es paralelo a un lado yo le digo que sí muchachos pero como representamos esos infinitos triángulos pues simplemente tienen que saber que si un número es igual a la semi suma de los otros dos de otros dos números esos tres siempre forman una progresión aritmética lo recuerdan si por ejemplo mira yo tengo el número 8 es igual a 10 + 6 sobre dos capi 6 8 y 10 que forman una progresión

1:06:27 aritmética pruébenlo como otros 15 a que es igual 15 es igual a 10 más 20 sobre 2 ok 10 15 y 20 forman una proyección de iu así que nosotros en forma general de simple a ver a ver si en cualquier triángulo ton la medida de los lagos forman una progresión aritmética a ver este lado ve - r&b máseres ok siempre se va a cumplir que el lado de valor medio este lado ahí lo pueden

1:07:12 ver va a ser paralelo al segmento que en el centro con el bar y el centro de ese día ok y he aquí está y que paralelo a este lado así que muchachos y yo observo un triángulo donde el segmento donde perdón una en la semi suma de los otros dos y se observó un triángulo donde sus lados forman una progresión aritmética 5 6 7 13 17 21 etcétera etcétera forman una prevención aritmética en ese triángulo el segmento de condición de volver y centro es paralelo a nada más y que paralelo a ok no tengo que estar especificando quién

1:08:00 es y quién es que ya lo hemos declarado una cosa para complementar y para terminar esta parte que estos comentarios cuál es el único triángulo rectángulo donde se cumple esta relación el único triángulo rectángulo donde se cumple que el segmento con 17,7 paralelo a un cateto es el triángulo de 37 53 aproximado por supuesto 345 ok el segmento de condolencia con el baricentro es paralelo al cateto cuya longitud es proporcional a 4 media contener 4 igual a 3 más 5 enteros ya chicos así que creo que estamos

1:08:46 abriendo un poquito el camino en el entendimiento de esta parte de proporcionalidad todavía estamos en proporcionalidad no hemos pasado definitivamente asemeja nos solamente estamos en esta parte de proporcionalidad ya chicos vamos a continuar entonces con más teoremas de que tal alguna pregunta batería baja médica joven sí no así es mi querido amigo ahí está vamos a continuar entonces con otro teorema sorprendente de la geometría a ver cuál teorema

1:09:33 estamos en el centro hogar y centro el teorema de milán son varios teoremas que tenemos que considerar chicos al teorema del mineral teorema de venerado y el teorema de menelao es un teorema muy interesante su teorema auxiliar que se da cuando hay una recta transversal a hungría la recta transversal es aquella recta que no es paralela a ningún lado del triángulo ok llámese recta transversal a aquella recta que no es paralela a ningún lado

1:10:21 del triángulo la recta transversal el caso que vamos a estudiar es el caso en el cual la recta inter seca a dos lados del triángulo y a la prolongación del tercer lado estamos de acuerdo porque puede darse el caso de que la recta interese que también a las prolongaciones de los tres lados de acuerdo ese caso no vamos a contemplar este es el caso que vamos a considerar esta figura y comenzar a decorar a una pregunta que viendo un examen de admisión a la onu de la figura cuál es la relación que se cumple alumno que estaba atento a la clase del grupo ciencia e inmediatamente tuvo

1:11:06 marcada la respuesta no tenía que esforzarse mucho pero ustedes noten de que esta recta transversal inter seca al lado a ver en el punto m al lado vence en el punto n y al lado hace mejor dicho a la prolongación de hace en el punto el ahí lo pueden ver estos tres puntitos en el lado ave quedan determinados dos segmentos vamos a ponerlo acá a m y mb en el lado b se está en otro par de n y nc pero en el lado hace quedan determinados también dos segmentos quienes son desde el punto de intersección con la programación del lado lo podemos identificar si lo

1:11:53 marcamos o lo llevamos a los extremos de lado así desde el punto de intersección con los extremos del lado hacer estamos de acuerdo ahí podemos contar 1 2 3 4 5 6 no tengo ustedes que hay una consecutividad en la ubicación de estos segmentos que no dice el teorema el teorema nos dice la razón de estos segmentos vamos a empezar desde a a m dividido entre mb x la razón de los segmentos determinados en el segundo lado veces sería pn / n s porque multiplicado también por

1:12:42 la razón de los segmentos determinados en el a 12 quien es un profe se le entre a él tiene que seguir en forma consecutiva te quedaste cnc a qatar sigue cl y termina con y lea [Música] y esto va a ser igual a 1 siempre y cuando chicos la recta m sea una recta transversal al triángulo alza ahí lo tenemos entonces mis queridos o vencidos ok él es una recta transversal lo voy a hacer al árbol i recta transversal

1:13:30 de acuerdo muy bien este teorema de modelado no lo voy a demostrar lo que sí les voy a indicar cómo hacerlo yo les recomiendo que tracen por ser una paralela a la recta l y por ver una red paralela a la recta l también apliquen el corolario de tal es el caso que van a poder ustedes obtener esta expresión bastante sí de acuerdo a ver a ver seguimos avanzando chicos y el teorema de [Música] si va el teorema de si va a haber otro tema trascendente de la geometría

1:14:19 y el teorema de se va a ver vamos a estudiar este teorema deseo primero el teorema de menelao un teorema muy bonito muy interesante ahora veamos el teorema de ser el teorema de ceiba se va a dar chicos para un triángulo donde haya tres sevillanas concurrentes si en el triángulo a veces por ejemplo tenemos 13 dianas concurrentes tienen que ser sevillanas concurrentes esta sería nada está se viene que significa concurrentes concurrentes que

1:15:07 tienen un punto común las 13 dianas tienen este punto común ok las sevillanas a las cuales hago referencia somos a m cn ibm estamos de acuerdo pues cada lado queda dividido queda determinado un par de segmentos en el lado b tenemos a nn b en el lado b c también tenemos de m imc y en el lado así tenemos los segmentos cl estamos de acuerdo pues el teorema de sebha un matemático italiano del siglo 19 giovanni selváticos nos dice nos siguen

1:15:52 se va a cumplir mis queridos jovencitos que el producto de los de las razones el producto de las razones de los segmentos determinados en cada lado es uno empiezo desde acá en el sentido antihorario aire entre el eve es la razón de los dos segmentos determinados en el lado haber multiplicado por la razón de los otros dos determinamos en el lado pese y x cl / l esto va a ser igual estamos de acuerdo como demostramos este teorema les recomiendo chicos que

1:16:40 apliquen menelao en el triángulo a vélez en el lado en el triángulo lbs lo hace para cada triángulo señalado que iban a tener ustedes la demostración rápida ok ahora bien quiero aprovechar la oportunidad para considerar por ejemplo un seva trigonométrico chicos triángulo mide alfa este ángulo mide beta este te está acá le vamos a poner un viga épsilon de y de venta entonces hay una relación entre las medidas de los ángulos ok determinados de esta manera

1:17:25 cuando hay sevillanas concurrentes o simplemente cuando uno es un punto interior con dos vértices pero involucra a la razón trigonométricas c entonces así como hemos hecho acá lo vamos a hacer con los ángulos mira empezamos el seno de alfa entre el seno de beta seno de alfa / seno de betar x que un porsche no detecta / seno de omega si no detecta entre el seno de omega multiplicado a su vez por seno de épsilon / seno de delta esto también mis queridos jovencitos va a ser igual a cloud

1:18:11 se va trigonométrico profe como se demuestra esto bueno aunque no sé si todavía no han avanzado en trigonometría ya han visto han tocado el punto d la resolución de triángulos oblicua ángulos ahí es donde se aplica se enseña y se demuestra y dice aunque la ley de senos es bastante simple nos pregona nos dice que los senos de los ángulos de un triángulo son proporcionales a los longitudes de los lados opuestos o sea por ejemplo si en este punto es el punto seno de alma / seno de beta es igual a veo entre oa de igual manera se no detecta entre el seno de omega es o se

1:18:59 entrevé luego seno de épsilon / seno de delta es igual a entre 11 multiplicas estas expresiones y te va a quedar la unidad es bastante simple la demostración de él se va trigonométrico ok chicos como estamos de horacio ballester o mi estimado amigo estamos chéveres que tal muchachos sí recién hemos empezado una hora y media de avance ya va a cambiar chicos muy bien claro también el teorema de manhawi por supuesto el teorema de mann hummel también se demuestra

1:19:49 la estructura gráfica es la misma de el teorema de deseo pero se demuestra por el teorema de menelao ok muy bien hay varios teoremas que se dan en la proporcionalidad muchachos yo voy a darles los teoremas que sean más resaltantes ok lo que creo conveniente de acuerdo ahí está el teorema de sebha a continuación chicos vamos a a a hablar acerca de la unas teoremas auxiliares teoremas trascendentes

1:20:36 ascendentes los teoremas trascendentes que vamos a considerar a ver teoremas trascendentes tenemos el teorema número uno teorema trascendente es la forma general para ponerlo a categoría general o forma general del teorema de la bisectriz interior forma general del teorema de la bisectriz interior del devenir ya saben que tve es el teorema de la bisectriz interior son las

1:21:22 siglas del teorema de la bisectriz interior ok como es la fórmula o la forma general si yo tengo un triángulo mis queridos jovencitos esto para mí es importante que usted lo tenga presencia yo tengo un triángulo y atrás profe va a trazar la bisectriz interior no podía trazar una sevillana [Música] tras olas de viana pérez de modo que estos ángulos no sean congruentes al fita y te pita son de diferente medida este lado c este era lugar estos segmentos en billetes

1:22:08 cruz pero nosotros hemos visto que cuando algo es igual a teta sedesa m como a esa r sí pero ahora vamos a expresar una forma general cuando alfa no tiene que ser necesariamente igual a tita cuál es la relación que se da obviamente que es una expresión que involucra a razones trigonométricas por supuesto se cumple que se entre m x el seno de alfa es igual a entre n por el seno de teta interesante verdad se / m x seno de alfa igual a / m por seno detectar como se demuestra esto ley de senos chicos acá

1:22:53 si voy a dar una pequeña demostración ya habíamos dicho de que por ley de seno se cumple que el seno de alfaz entre seno de beta es igual a m en 13 pero lo voy a escribir asimilar rápidamente se entre m la razón se entre m es también igual al seno de meta entre el seno de algo seno de venta entre el seno de alma estamos de acuerdo esto ocurre en el triángulo ave pero en el otro triángulo que aparece a la derecha de vc también se cumple que a / m va a ser igual a quien a la razón entre el seno de 180 menos beta estoy demostrando la velocidad a los chicos divididos entre el seno de teta

1:23:42 pero un ratito seno de 180 menos beta es seno de beta allá entonces entre n es igual a cero de beta entre seno de teta de tal manera mis queridos jovencitos que a ver a ver a ver de esta primera despejamos entre m por seno de alfa es igual al seno de beta verdad y de esta segunda a entre n por seno de teta es igual al seno de beta quiere decir que como los dos miembros son iguales como deben de ser los primeros miembros iguales entonces queda demostrado que se entregue mencionó de alfa es igual a entre el seno de testa esta relación muy pero muy interesante

1:24:29 verdad chicos donde están gotita acá está último un poquito más de ahora ok muchachos este es una expresión que nos permite pues relacionar de esta manera ahora bien ojito ojito si alfa igual antes está por supuesto los senos se van a cancelar y solamente quedaría que desde el directriz interior y se daría la relación que ya hemos nosotros estudiando de acuerdo a otro teorema el cálculo de la bisectriz de la bisectriz interior bueno entiende ese que bisectriz interior chicos

1:25:16 el siguiente teorema que vamos a estudiar nos permite calcular la bisectriz interior de qué manera profe ahorita vas tengo el triángulo y trazo la bisectriz hasta tengo el triángulo y trazo la bisectriz la bisectriz interior ve de al fida y el vídeo estos lados que forman el vértice por donde parte la bisectriz que me dan seguía a ver vamos a mover esto un poquitito ahí lo tenemos además que sea la bisectriz de x cuál es la relación que se cumple profe pues se cumple que x

1:26:04 va a ser igual 2 ac sobre a más que la media a la media y armónica pero me falta consejo de algo ahora sí que es lo mismo 20 de alfa sobre x son dos formas de expresarlo es lo mismo uno sobre a más uno sobre ese de cualquiera de estas dos formas que puedes aprender ok vamos a demostrar estos y de una manera más formal este de oro ya chicos a ver vamos a ver la demostración de este

1:26:49 teorema miren como demostramos a observar lo que hago chicos es trazar una paralela ok ahí está trazó una línea paralela desde paralelo ave ok al trazar la paralela este ángulo vale alfa triángulo isósceles atrás son la altura [Música] mira mira mira atrás solar turista ve ahí está y como el triángulo es y sos el esparto por la mitad al x no tendría x medios saber dónde estás acá estás x medios y este sería x medios también

1:27:37 en ese triángulo rectángulo vete bht el segmento vete se puede expresar de esta manera como x medios secante de alfa esperando que con dominen trigonometría x medio secante de alfa es el segmento pd ok muy bien tengan presente que bese mis queridos jovencitos todo este segmento este lado mi idea así que nosotros lo que estamos haciendo es expresar verde como x medios secante de alfa por otro lado como quiera que me des bisectriz este lado es proporcional

1:28:22 y este segmento proporcional repito venevisión trees interior este segmento proporcional a ser por el teorema de la proporcionalidad de orem a de la bisectriz y este segmento también proporcional acá está todo listo para poder chicos y la demostración en la demostración estamos listos no hay espacio y pasamos a esta parte para aplicar el teorema de está el corolario de tales por corolario de tales bueno después de haber aplicado varias veces el corolario le vamos a tener que decirte el teorema de tal ok por el corolario de tales

1:29:08 ambientes están viendo cómo se usa bastante este corolario detalle por el corolario de tales tendríamos a signo x medio secante de alfa esa x medios secante de alfa quizá como quien es a quien como seca esa se llama a sacar seca esa seca más acá que se puede escribir se puede expresar de esta manera ok chicos me haces kaká y que despeja x por supuesto te va a dar 2

1:29:56 hace por supuesto como la siguiente es la inversa del coche no va a pasar para el otro lado como consejo de anza / / amas y quedó demostrado este teorema ok chicos qué tal bonito e interesante verdad muy bien a ver una rápida está chicos rapidito a ver quién me dice primero en una rápida examen unique quien me dice primero cuál es el orden x mira mira tengo un triángulo rectángulo

1:30:42 este es un ejemplo rapidito tengo un triángulo rectángulo de cateto 5 y 12 cuánto vale la bisectriz interior a ver a ver a ver chicos cuál es la respuesta a los catetos de un triángulo rectángulo mide el 5 y 12 cuánto mide la longitud o cuánto mide o cuál es la longitud de la bisectriz interior mejor dicho relativa a la hipotenusa

1:31:29 muy bien digital me agrada mucho estar en cita ok a ver quién me dice primero cuál es el valor de la bisectriz apliquen el teorema hijo míos en este caso alfa sería 45 verdad 65 me dices a mí lo decimos por teorema aquí es igual la longitud de la bisectriz

1:32:16 dos veces 5 por 12 coseno de 45 / / 4 chicos 52 sale bien festa pero igual la queremos y la necesitamos con lleno de 45 es raíz de 2 sobre personas 60 raíz de dos dividido entre quien entre 17 62 sobre 17 ok quién va a quedarse conmigo ah muy bien que tan muchachos correcto y conforme andor

1:33:02 y conformó en el conforme doctor que dices sí doble producto por el cochero de la mitad del ángulo vea no es coche 990 y cochero de 45 dividido entre la suma qué tal chicos alguna consulta alguna pregunta quizás tuve que trazar los de color rojo chicos ahora sí para que para que sea notorio qué tal chicos qué tal qué tal qué tal todo bien no no no

1:33:52 ok no hay ningún problema bonito no me digan que se les 660 radio sobre 75 vamos a pasar al otro otro teorema trascendente no solamente tenían que aplicar el teorema que hemos demostrado como pueden ver y de ahí sale la situación estamos entonces chicos comentando acerca de los teoremas trascendentes y

1:34:40 otro teorema que nos puede ayudar bastante es el teorema de cristian teorema de cristea se habla de cristea en las academias extender up yo encontré este teorema por accidente prácticamente el matemático cristiano planteo este teorema en 1953 es un teorema general también la conocen como el teorema de la transversal vamos a ver qué cosa quiere consideremos un triángulo en triángulo a ver si ahí está ok chicos y lo vamos a poner el

1:35:26 triángulo abc y trazamos una transversal al trial ahí está la transversal de acuerdo está transversal chicos va a interceptar a los lados abc como pueden ver pero vamos a colocar aquí supongamos que lo intercepta en los puntos m pero también va a interceptar a una sevillana a la sevillana que vamos a llamar vete hola sería nave de mejor lo inter seca en el tope ok

1:36:12 asumiendo las siguientes longitudes a ver asumiendo entonces chicos que hay me mira vamos a ponerle una longitud tal como se minúscula no qué mbs a ver qué bn mirarse qué nss a de ene efe x ok x pues se va a dar una relación entre esos segmentos que son 8 en total el teorema de cristiano dice así me legal / b x

1:37:00 más viene con el otro lado 13 13 x el segmento no adyacente a él efe en 13 por efe [Aplausos] es igual a x / e qué hermoso teorema x entre y multiplicado por el lado opuesto a c y más y esta el teorema de cristian muchachos y vamos a enmarcarlo para que ustedes lo pueden observar puedan degustar puedan disfrutar de esta teoría de acuerdo el teorema de cristea

1:37:48 veamos entonces ito voy a demostrar este teorema de cristian para que todos chicos estén pues digamos átomos en todo lo que se está manifestando vamos a dar la demostración la demostración es un poco algebraico pero al fin y al cabo no es complicado sólo se trata de prolongar esta línea es una forma de demostrarlo por supuesto hay otras formas de demostrar también ok prolongamos esta línea hasta que interese que en el punto t determinando un segmento 7 que vamos a

1:38:35 llamarlo y a continuación lo que vamos a hacer es aplicar el teorema de minella para el triángulo abc primero y luego para el triángulo debe ser turísticos es la estrategia para poder demostrar este teorema de cristian entonces decimos forme en el lado por mi lado aplicado primero al triángulo al triángulo abc recuerden como enteramente la teoría deviene lado el teorema de la transversal ahí está la transversal ok los segmentos a b y tiene mucho que ver

1:39:22 con lo que queremos demostrar la verdad entre b así era porsche entre de recuerdan vamos a escribir entre b x se entrevé en x que más estamos sacando a entreverse entre de por g entre efe g / efe más y más que esto es igual a la calidad ok ahora viene la parte algebraica permítanme hacerlo así muchachos observen por favor voy a escribirlo de esta manera voy a escribir esta fracción a / b y lo

1:40:11 voy a dividir entre de entre 0 porque qué pasó no era se entrevé porque le ha puesto de entre s es que si yo lo paso a dividir a en breve tengo que cambiar si el numerador era sea ahora el denominador ese se cambian los papeles en este caso y esto va a ser igual este f que pasa arriba y abajo queda estamos de acuerdo continuamos entonces ahora le aplicó la ley de proporción voy a restar en el antecedente menos el consecuente a entre b menos d en 13 y lo voy a dividir entre

1:40:57 el denominador de en 3 esto va a ser igual al restar voy a tener efe y tengo una primera relación estamos de acuerdo 6 chicos no hay ninguna dificultad muy bien esto es lo que he hecho en el triángulo a veces ahora vamos a hacer algo similar en el triángulo tvc como ya os había advertido la demostración es un poco algebraica pero lo vamos a hacer poco a poco para que lo entienda ahora en el triángulo de veces sería x entre y fíjate para poder lograr obtener el x entre lleida y del segundo miembro del teorema de cristian en que se entregue x c / d también

1:41:42 chicos 2 y x que más jorge entre más que no que entre más que esto va a ser igual a la unidad y de igual manera lo que hemos hecho ahí en las en el teorema de menelao en esta expresión vamos a hacerlo acá también y tendríamos x entregue / / c / d esto va a ser igual a g / g ok también nosotros restamos y vamos a tener esto restando tendríamos es que se entregue menos se entrevé dividido en tres en tres

1:42:27 la operación que hemos hecho en el segundo en el primer miembro lo hacemos en el segundo miembro y nos quedaría dividido en tres estamos de acuerdo muy interesante verdad llamamos expresión número 2 ahora lo que vamos a hacer es dividir 1 entre 2 mucho cuidado con lo que estamos haciendo 1 entre 2000 en el primer miembro aparece esta igualdad esta razón en el segundo en el primer miembro de la segunda ecuación aparece también en el denominador si entiendes bueno acá era de entre 0 a carlos escrito mal te entregues de en 13 y acá también es de 13 un

1:43:15 lapsus equívocos ahora son iguales verdad que cuando yo lo divida este entre este se va a cancelar de en 13 y solamente me voy a quedar aquí se entregue menos entre d o mejor dicho a entre menos de en 13 dividido entre este número luego ya escribir a / b menos / s / / x / i - entre menos te entre se caerá de interés a menos de tres estamos de acuerdo esto es lo que va a quedar ahora en el segundo miembro

1:44:00 cuando yo divida estos dos los que se van a cancelar y solamente me voy a quedar efe más dividido entre chicos [Música] hagamos un paréntesis acá multiplicamos en aspa

…