Resumen Breve
Este video de Matemóvil repasa las identidades trigonométricas y ofrece trucos para resolver problemas de demostración y reducción. Se enfoca en expresar las funciones en términos de seno y coseno, y en utilizar las identidades pitagóricas para simplificar expresiones.
- Identidades trigonométricas recíprocas, de cociente y pitagóricas.
- Trucos para problemas de demostración: simplificar el lado más complejo y expresar todo en función de seno y coseno.
- Trucos para problemas de reducción: simplificar expresiones largas a formas más concisas usando identidades.
- Problemas condicionales: usar las condiciones dadas para hallar relaciones y resolver expresiones.
Introducción a las Identidades Trigonométricas
El video comienza con una introducción a las identidades trigonométricas, definiéndolas como igualdades que involucran razones trigonométricas como seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Se mencionan tres tipos principales de identidades: recíprocas, de cociente y pitagóricas. Las identidades recíprocas establecen que el producto de una función trigonométrica y su recíproca es igual a uno. Las identidades de cociente definen la tangente como seno sobre coseno y la cotangente como coseno sobre seno. Las identidades pitagóricas incluyen fórmulas como seno cuadrado más coseno cuadrado igual a uno, cosecante cuadrado igual a cotangente cuadrado más uno, y secante cuadrado igual a tangente cuadrado más uno.
Problema de Demostración: Ejercicio 11
Se aborda un problema de demostración donde se busca demostrar la identidad: 1 - seno(θ) * coseno(θ) * tangente(θ) = coseno cuadrado(θ). El truco principal es tomar el lado más complejo de la igualdad y simplificarlo, expresando todas las funciones en términos de seno y coseno. En este caso, se transforma la tangente en seno sobre coseno, lo que permite cancelar términos y simplificar la expresión hasta llegar al segundo miembro de la igualdad, demostrando así la identidad.
Problema de Reducción: Ejercicio 9
Se presenta un problema de reducción donde se pide simplificar la expresión: M = (seno(α) + coseno(α))^2 + (seno(α) - coseno(α))^2. En los problemas de reducción, el objetivo es simplificar una expresión larga a una más corta utilizando identidades trigonométricas. Se expanden los binomios al cuadrado y se agrupan términos semejantes, aplicando la identidad pitagórica seno cuadrado más coseno cuadrado igual a uno. Finalmente, se simplifica la expresión a M = 2.
Problema Condicional: Ejercicio 20
Se resuelve un problema condicional donde, dada la condición seno(x) * coseno(x) = 0.25, se pide hallar el valor de la expresión P = seno(x) + coseno(x). Para resolverlo, se eleva al cuadrado la expresión P, lo que permite introducir el término 2 * seno(x) * coseno(x). Se utiliza la identidad pitagórica para simplificar y luego se sustituye el valor dado en la condición. Finalmente, se saca la raíz cuadrada para obtener el valor de P, racionalizando el denominador para llegar a la respuesta final: P = √6 / 2.
