0:00 [Musica] Ciao ragazzi inauguriamo questa playlist dedicata al calcolo letterale parlando di monomi che sono in un certo senso il mattoncino più semplice su cui si costruisce poi il calcolo letterale cerchiamo innanzitutto di capire di che cosa si tratta per monomio si intende Un'espressione algebrica in cui compaiono solamente moltiplicazioni tra numeri e lettere eventualmente elevate ad un esponente naturale ovvero aventi come esponente un numero intero maggiore o uguale di Zer per fissare meglio le idee qui sotto Vi ho riportato quattro esempi di monomi e vedete che effettivamente in tutte queste espressioni l'unica operazione che compare è la moltiplicazione ed è fatta
0:46 tra numeri e delle lettere che possono eventualmente essere elevate ad un esponente che sia però un numero naturale non sono invece monomi i quattro che vi ho riportato qui sulla destra cerchiamo di capire perché nel primo caso vedete abbiamo un'addizione e Questo naturalmente non va bene nel secondo caso c'è una moltiplicazione Ma la lettera compare sotto radice e anche questo non ci piace nel terzo caso invece abbiamo una lettera al denominatore e questo come Vedremo è equivalente a dire che la lettera è elevata ad un numero negativo mentre noi vogliamo esponenti naturali per poter parlare di monomio e per lo stesso motivo non ci va bene nemmeno l'ultimo perché vedete l'esponente della x 1/4 è un numero razionale Ale ovvero una frazione e non un numero naturale un
1:33 monomio si dice ridotto in forma normale quando è scritto come prodotto tra un numero e una o più lettere diverse tra loro eventualmente elevate a Potenza e di nuovo per fissare meglio le idee diamo un'occhiata ad un paio di esempi vedete che i primi due che vi ho riportato qui sono monomi scritti in forma normale perché effettivamente c'è soltanto un numero e le lettere non compaiono mai ripetute ci sono una sola volta eventualmente elevate a Potenza mentre nel terzo e Nel quarto esempio qui a destra vedete che non abbiamo dei monomi scritti in forma normale perché nel terzo caso abbiamo due numeri e c'è anche la a che si ripete due volte mentre nel quarto esempio abbiamo la x che si ripete due volte ma naturalmente
2:19 se un monomio non è scritto in forma normale possiamo facilmente riportar celo noi svolgendo le moltiplicazioni tra i numeri ed eventualmente tra le lettere dello stesso tipo giusto per fare un esempio se volessi riscrivermi il mio monomio di prima in forma normale che cosa posso fare beh vedete Innanzitutto posso riscrivermi lo così E ho semplicemente cambiato l'ordine dei termini di questa moltiplicazione e questo lo posso fare perché come sappiamo la moltiplicazione è commutativa e a questo punto moltiplico i numeri tra di loro vedete ho un - 3 * - 2 che fa 6 e poi le lettere dello stesso tipo tra loro Quindi vedete ho una a * una a ^ quart che come ricorderete dalle proprietà delle potenze delle medie da come risultato a ^ Quint perché devo sommare gli
3:04 esponenti Dunque il mio monomio che in partenza non era in forma normale l'ho riscritto equivalentemente come 6A ^ qu B che è in forma normale quando ci troviamo davanti ad un monomio scritto in forma normale il numero davanti prende il nome di coefficiente mentre le lettere costituiscono la cosiddetta parte letterale appurato questo cerchiamo di capire che cosa si intende per grado di un monomio il grado complessivo ho detto anche semplicemente il grado di un monomio non è altro che la somma degli esponenti a cui compaiono elevate le lettere all'interno del monomio mentre per grado rispetto ad una lettera si intende l'esponente a cui quella lettera è elevata all'interno del monomio volendo fare un paio di esempi
3:50 il monomio 3x y ^ 4 è di secondo grado rispetto alla X mentre è di quarto grado rispetto alla Y perché vedete X ha come esponente 2 mentre Y ha come esponente 4 e dunque diremo che il grado complessivo è 2 + 4 ovvero 6 o equivalentemente che si tratta di un monomio di sesto grado similmente diremo che il monomio a cu B ^ 2 è di terzo grado rispetto alla lettera a che infatti è elevata alla terza mentre è di secondo grado rispetto alla lettera B che infatti è elevata alla seconda e dunque nel complesso è un monomio di quinto grado notate per inciso che il coefficiente qui davanti che non vedete è in questo caso uno e quando il coefficiente è uno lo si
4:37 sottointende si dice invece che due o più monomi sono simili quando hanno la stessa parte letterale e qui sotto Vi ho riportato un paio di esempi vedete che in questa prima Terna tutti e tre i monomi hanno come parte letterale x ^ 2 y Dunque sono simili tra loro ed Analogamente sono simili tra loro anche questi tre monomi qui perché hanno tutti come parte letterale A B ^ ter appurato questo diamo finalmente un'occhiata alle varie operazioni che possiamo fare con i monomi e nel farlo cominciamo da quella più semplice ovvero la somma la somma algebrica di due o più monomi simili è un monomio che ha la stessa parte letterale dei monomi che stiamo sommando ed ha per coefficiente la somma algebrica dei coefficienti giusto per fare un paio di esempi se dovessi
5:24 sommare il monomio 2xy con il monomio 3xy il risultato sarebbe 5 XY Se volete Per lo stesso motivo per cui ad esempio due caramelle più 3 caramelle dà come risultato cinque caramelle fondamentalmente la procedura È simile e analogamente se dovessi sommare - 2/3 XY qu con 1/2 X Y qu e vedete che si tratta di Due monomi simili Perché hanno la stessa parte letterale sarà sufficiente fare la somma tra - 2/3 e 1/2 e vedete che ve l'ho fatta qui davanti e poi ricopiare la parte letterale Dunque X Y qu A questo punto se uno fa il conto si ottiene - 1/6 XY qu mentre mi raccomando se i monomi non sono simili come in
6:10 questo esempio qui non si può fare nulla di furbo e il risultato di questa operazione non è più un monomio Ma come Vedremo è un polinomio Ah naturalmente se all'interno di una somma algebrica non tutti i monomi sono simili però ci sono dei gruppettino simili tra loro Allora questi qui li possiamo sommare e quindi ad esempio la somma algebrica 3A - 2B + 1/2 a + 6b - 2A si può riscrivere semplicemente come 3/2 a + 4B e per fare questo è sufficiente prendere i sottogruppi di monomi simili tra loro che vedete Vi ho colorato qui in verde e in giallo e procedere a fare la somma come abbiamo visto poco fa nel nostro esempio specifico abbiamo quindi un 3A + 1/2 a - 2A che se facciamo il conto da
6:58 come risultato 3/2 a e poi abbiamo un - 2B + 6b che diventa un - 2 + 6 m per B ovvero 4B capito questo occupiamoci a questo punto della moltiplicazione che a differenza della somma è un'operazione che possiamo fare con qualunque coppia o Terna o in generale gruppo di monomi anche se non sono simili tra loro in particolare il prodotto di due o più monomi è un monomio che ha per coefficiente il prodotto dei coefficienti e in cui nella parte letterale ogni lettera ha per esponente la somma degli esponenti con cui la lettera compare elevata all'interno dei fattori che stiamo moltiplicando per fissare meglio le idee qui sotto Vi ho riportato alcuni esempi e vedete che nel
7:44 primo abbiamo un 3 a qu B che Moltiplica un 2A ^ ter B ^ 7 e il tutto ha come risultato 6A ^ 5 B ^ cerchiamo di capire perché il coefficiente 6 è banalmente il prodotto dei coefficienti mentre ciascuna lettera nel risultato ha come esponente la somma degli esponenti a cui compare elevata nei fattori Dunque avremo un a ^ 2 * a ^ ter che fa a ^ qu e un B * B ^ 7 che dà come risultato B all8 e se ci pensate è del tutto naturale che le cose stiano così alla luce delle proprietà delle potenze quindi di fatto questa non è una regola nuova da imparare a memoria si tratta fondamentalmente di fare la cosa più naturale possibile e cioè moltiplicare
8:29 prima i numeri tra di loro e poi le lettere tra loro applicando le proprietà delle potenze similmente nel secondo esempio abbiamo un - 1/2 * 4 che dà come risultato - 2 e poi abbiamo un x * x ^ 2 che fa x ^ 3 e Y che compare solamente nel secondo fattore ce la ritroveremo invariata nel risultato e con analoghe considerazioni possiamo concludere che 3x * - 2xy * 5x 2 y y z d come risultato - 30x ^ 4 y ^ 2 Z per concludere diamo a questo punto un'occhiata alle potenze e Qui l'idea è che per calcolare la potenza con un certo esponente n naturale di un monomio è sufficiente
9:15 elevare alla n il coefficiente e poi moltiplicare per N ciascuno degli esponenti a cui sono elevate le varie lettere qui sotto Vi ho riportato un paio di esempi e vedete che nel primo caso abbiamo un 2xy qu il tutto elevato alla terza E come facciamo a fare questa operazione Beh Dobbiamo elevare alla terza il 2 e dunque otteniamo come risultato 8 e poi moltiplicare per 3 gli esponenti delle due lettere che sono rispettivamente 1 e 2 e che quindi nel risultato diventeranno 3 e 6 similmente Se dovessi elevare al quadrato questo monomio qui dovrò Innanzitutto elevare al quadrato il coefficiente - 1/2 che dà come risultato quindi 1/4 e poi abbiamo un X all quarta e un y ^ 3 i cui
10:01 esponenti vanno moltiplicati per 2 e dunque otterrò come risultato 1/4 x ^ y ^ s e con un ragionamento del tutto analogo si conclude che x y qu elev 2016 d come risultato x ^ 2016 * Y ^ 4032 dove il coefficiente qui davanti che è sottointeso e sarebbe 1 non è altro che l'un che c'è qui di nuovo sottointeso elevato alla 26 16 e il motivo per cui le cose funzionano così è fondamentalmente riconducibile a quelle stesse proprietà delle potenze con cui tutti voi siete abituati a lavorare sui numeri fino dalle Medie ma mi raccomando vale la pena ricordare che elevare alla 1 un monomio da come risultato il monomio stesso quindi ad esempio 3ab
10:48 elev all 1 fa semplicemente 3ab non è successo nulla mentre elevare alla Zero un monomio non nullo dà come risultato 1 e dunque ad esempio 3ab elev all 0 da come risultato 1 Se ci pensate è esattamente la stessa cosa che accade con i numeri quando eleviamo alla 1 non succede nulla mentre quando eleviamo alla z0 A meno che l'oggetto che stiamo elevando non sia proprio zero il risultato dell'operazione è 1 detto questo ragazzi Io per il momento ho terminato nel prossimo video proseguiremo il discorso sui monomi parlando di divisione e minimo comune multiplo e massimo comune divisore come sempre se avete trovato utile il video ricordate di mettere mi piace passate a trovarmi su Facebook ed Instagram e Date un'occhiata all'interno del canale dove
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