0:00 [Musica] Ciao ragazzi in questo video parleremo dell'o piccolo e vedremo in particolare che cosa significa che una funzione è o piccolo di un'altra e come questo possa essere ricollegato all'idea di equivalenza asintotica di cui abbiamo parlato nel video precedente senza perdere altro tempo diamo subito un'occhiata alla definizione date due funzioni FX e GX definite in un intorno di un certo punto x con 0 si dice che la funzione F è uno piccolo della funzione G se il limite per x che tende ad x 0 di FX FR GX è UG 0 e in questo caso si utilizza questa notazione da un punto di
0:45 vista intuitivo dire che la funzione F è uno piccolo della funzione G quando X tende ad X con 0 è un po' come dire che la funzione F risulta infinitamente più piccola se confrontata con la funzione G quando ci si si avvicina al punto x con 0 per fissare meglio le idee e capire bene di che cosa stiamo parlando diamo subito un'occhiata ad un esempio e cerchiamo di visualizzare la situazione da un punto di vista grafico è facile convincersi che la funzione X qu sia uno piccolo della funzione X per x che tende a 0 Infatti se facciamo il limite per x che tende a 0 del loro rapporto vedete che ci dà come risultato 0 e l'avere il limite del rapporto uguale a 0 È proprio la caratteristica necessaria per poter
1:31 dire che la prima è uno piccolo della seconda ora se grafichiamo la situazione e andiamo a vedere che cosa succede in prossimità di x = 0 vedete che la funzione X qu che vi ho rappresentato qui con il grafico giallo assume dei valori che sono piccolissimi Praticamente trascurabili se Confrontati con quelli che assume la funzione Viola Ovvero la nostra x e dunque capite il senso dell'interpretazione intuitiva di cui vi parlavo poco fa va È un po' come se la funzione X qu fosse infinitamente Piccola se confrontata con la funzione X in prossimità del punto x = 0 capito questo diamo un'occhiata a qualche altro esempio x ^ 3 è un piccolo di X per x
2:16 che tende a 0 perché infatti se facciamo il limite per x che tende a 0 di x ^ 3 FR x otteniamo 0 e analogamente anche 8x ^ 4 è un piccolo di X per x che tende a 0 perché di nuovo se facciamo il limite del loro rapporto il risultato che otteniamo è 0 e fa 0 vedete anche il limite per x che tende a 0 del seno quadr X FR X il che ci dice che la funzione Sen quro è uno piccolo di x o se preferite che la funzione Sen quadro assume dei valori infinitamente piccoli se Confrontati con quelli della funzione X in prossimità di x = 0 Ah sicuramente qualcuno di voi avrà notato che queste tre funzioni che sono molto diverse tra
3:03 di loro sono tutte e tre uguali ad o picolo di X quando X tende a zero e questo potrebbe creare qualche perplessità la prima volta che uno vede una scrittura di questo tipo A tal proposito è importante avere chiaro che la notazione o piccolo di X non denota una funzione in particolare ma in generale qualsiasi funzione che goda della proprietà espressa dalla definizione ovvero di avere il limite del proprio rapporto con x che fa 0 e naturalmente lo stesso discorso si può fare quando al posto di X c'è una funzione qualsiasi di nuovo Lo Piccolo indicherà una qualunque funzione il cui limite del rapporto con quella lì faccia Zero nel punto che state considerando Ah da questo fatto seguono alcune proprietà
3:49 molto interessanti dello piccolo con cui vale la pena familiarizzare fin da subito visto che poi le useremo nel risolvere i limiti con Taylor ad esempio o piccolo di x - o picolo di X non fa 0 come potrebbe venire da pensare ma fa invece o piccolo di X e questo perché se prendiamo una cosa infinitamente piccola rispetto ad X diciamo trascurabile Praticamente rispetto ad X e gliene togliamo un'altra anch'essa infinitamente piccola Noi non sappiamo esattamente che cosa viene però siamo certi che il risultato di questa operazione sia a sua volta sostanzialmente trascurabile infinitamente piccolo se confrontato rispetto ad X la cosa Naturalmente vale anche nel caso dell'addizione e anche se al posto di X abbiamo una generica potenza di X Quindi
4:36 avremo che o pic di x ^ n più o meno un altro o Pico di x ^ n Da come risultato o pic x ^ n e poi interessante notare che un picolo di x ^ n moltiplicato per un picolo di x ^ m dà come risultato un piccolo di x ^ n + m e similmente se moltiplico x ^ n per uno piccolo di X all m il risultato sarà Certamente o piccolo di x ^ n + m Vale poi la pena di notare che quando X tende a 0 x ^ n è uno piccolo di x ^ m se n è Mag m il che significa sostanzialmente che le potenze con l'esponente più grande sono degli o piccoli delle potenze con l'esponente
5:22 più piccolo Ad esempio vedete X ^ ter avevamo scoperto prima è uno piccolo di X che significa che X ^ ter è molto più piccola di X in prossimità di 0 e qualcosa di analogo avevamo scoperto prima confrontando X qu 2 ed x x qu 2 è uno piccolo di X quindi capite che le potenze con l'esponente più grande sono infinitamente più piccole potremmo dire sostanzialmente trascurabili rispetto alle colleghe che hanno un esponente più piccolo e da questo fatto segue naturalmente che quando sommiamo due o piccoli di due potenze divers diverse di X alla fine sopravvive solamente quello che ha all'interno la potenza con l'esponente più piccolo l'altro nel
6:07 momento in cui facciamo il limite per x che tende a 0 diventa trascurabile in questa somma rispetto all'altro che è preponderante e quindi è del tutto ininfluente è un po' come se venisse mangiato da quello più grande ho parentesi la prima volta che uno vede tutte queste proprietà potrebbe avere l'impressione che siano un pochino ostiche in realtà come Vedremo bene nei prossimi video il loro utilizzo nella maggior parte delle applicazioni ed in particolare nella risoluzione dei limiti con Taylor è abbastanza meccanico e non così complicato ed è una di quelle cose con cui vedrete si acquista confidenza mano a mano che si fanno gli esercizi l'ultima cosa che volevo dirvi è che L'equivalenza sinotico di cui abbiamo parlato nel video precedente e lo piccolo Sono due cose che da un certo punto di vista sono collegate si può
6:54 Infatti dimostrare facilmente che per x che tende ad X con0 FX è asintoticamente equivalente a GX Se solo se FX è UG a GX + 1 pic di GX il che significa sostanzialmente che le due funzioni sono asintoticamente equivalenti se e solo se differiscono per un termine che diventa trascurabile nel momento in cui facciamo il limite per x che tende ad x 0 naturalmente Alla luce di questa equivalenza Possiamo descriverci tutte quelle equivalenze asintotiche che avevamo ricavato a partire dai Limiti notevoli sotto forma di corrispondenti sviluppi che coinvolgono lo piccolo Ad esempio dire che per x che tende a 0 seno di x è asintoticamente equivalente
7:40 ad X è un po' come dire che Sen x è UG ad X + 1 pic di X Cioè più un termine che diventa trascurabile se confrontato con X quando X tende a 0 e analogamente da 1 - cos X asintoticamente equivalente a 1/2 X qu possiamo concludere che allora 1 - cos x è = 1/2 X Qu + 1 P X qu notate per inciso che in base a quanto dicevamo poco fa qui sotto Avrei dovuto scrivere 1/2 X Qu + 1 pic 1/2 X qu visto che vedete bisogna scrivere la stessa funzione davanti e dentro lo piccolo Tuttavia è facile dimostrare che eventuali costanti numeriche moltiplicative dentro lo piccolo sono irrilevanti ed il motivo se ci pensate è
8:27 anche abbastanza intuitivo Infatti se una cosa è infinitamente Piccola se confrontata con 1/2 X qu quando X tende a 0 in particolare risulterà infinitamente piccola Anche se la confrontiamo direttamente con X qu quindi in generale Ogni volta che vi trovate un op picolo di k x ^ n dove k è un numero potete riscriverlo più semplicemente come op picolo di X all n visto che la costante moltiplicativa Come dicevamo È ininfluente Ma naturalmente Così come avevamo già visto per l' equivalenze asintotiche tutti questi sviluppi restano validi anche quando come argomento delle funzioni non c'è X ma c'è una generica FX purché questa sia infinitesima ne segue Quindi volendo
9:14 fare un esempio che in una somma di Termini come questa il seno di x ^ 3 in base a questo sviluppino qui potrò riscriverlo come x ^ 3 + 1 pic x ^ 3 e analogamente il logaritmo 1 + 2x ^ qu in base a questo sviluppino qui diventerà semplicemente 2x ^ 5 + 1 pic X ^ qu quando X tende a 0 e tutto questo in base alle proprietà di o piccolo di cui parlavamo prima diventa semplicemente x ^ 3 + o pic x ^ 3 visto che 3x ^ 4 e 2x ^ qu sonoo entrambi degli o pic di x ^ 3 visto che sono delle potenze con esponente più grande e quindi sono trascurabili rispetto a x ^ 3 quando X
10:00 tende a z0 e inoltre in una somma di o piccolo come dicevamo prima sopravvive solamente quello che ha al suo interno la potenza con l'esponente minore appurato questo disponiamo finalmente di tutti gli ingredienti fondamentali per poter affrontare la formula di Taylor e di questa parleremo diffusamente nel prossimo video Io per il momento Ragazzi vi saluto come sempre se avete trovato utile il video ricordatevi di mettere mi piace passate a trovarci sulla pagina Facebook e Date un'occhiata all'interno del canale dove troverete n moltissimi altri [Musica] video
