간략한 요약
이 비디오는 내적의 개념을 선형 변환의 관점에서 설명합니다. 전통적인 내적 계산 방식과 기하학적 해석을 소개하고, 내적이 투영과 어떤 관련이 있는지, 그리고 선형 변환과의 관계를 통해 '이중성'이라는 수학적 개념을 설명합니다.
- 내적은 벡터의 투영과 관련이 있으며, 벡터가 같은 방향을 가리키는지 판단하는 데 유용합니다.
- 선형 변환은 1x2 행렬로 표현될 수 있으며, 이는 벡터의 내적과 계산적으로 동일합니다.
- '이중성'은 벡터와 선형 변환 사이의 자연스럽고 놀라운 대응 관계를 나타냅니다.
내적 소개 및 기하학적 해석
내적은 일반적으로 선형대수 강의 초반에 소개되지만, 이 비디오에서는 선형 변환에 대한 이해를 돕기 위해 뒤쪽에 배치되었습니다. 내적은 같은 차원의 두 벡터에서 같은 위치의 좌표값을 곱한 후 모두 더하는 방식으로 계산됩니다. 기하학적으로는 한 벡터를 다른 벡터에 투영한 후 투영된 벡터의 길이에 원래 벡터의 길이를 곱한 값으로 해석할 수 있습니다. 투영 방향에 따라 내적은 양수, 음수 또는 0이 될 수 있습니다.
내적의 대칭성과 스케일링
내적은 순서에 상관없이 결과가 동일하다는 대칭성을 가집니다. 이는 한 벡터를 다른 벡터에 투영하는 방식이 서로 대칭적이기 때문입니다. 벡터 중 하나를 스케일링하면 내적 값도 그 비율만큼 변합니다. 스케일링은 투영되는 벡터의 길이 또는 투영을 받는 벡터의 길이에 영향을 미치므로, 어느 쪽으로 투영하든 내적 값은 동일하게 스케일링됩니다.
선형 변환과 1차원 변환
좌표값을 곱하고 더하는 계산과 투영 사이의 관계를 이해하려면 선형 변환의 개념을 알아야 합니다. 특히, 다차원에서 1차원 수선으로의 선형 변환에 주목합니다. 이러한 변환은 2차원 벡터를 입력받아 숫자 하나를 출력하는 함수로 볼 수 있습니다. 선형 변환은 입력 공간에서 같은 간격의 점들이 출력 공간에서도 같은 간격을 유지하는 특징을 가집니다.
행렬-벡터 곱셈과 내적의 연결
선형 변환은 기저 벡터(i-hat, j-hat)의 도착 위치에 의해 완전히 결정됩니다. 2차원에서 1차원으로의 선형 변환은 1x2 행렬로 표현될 수 있으며, 이 행렬을 벡터에 적용하는 것은 행렬-벡터 곱셈과 같습니다. 이러한 계산은 두 벡터의 내적과 동일하게 느껴질 수 있습니다. 1x2 행렬과 2차원 벡터 사이에는 밀접한 관련성이 있으며, 이는 기하학적 관점에서 중요한 의미를 가집니다.
투영과 선형 변환의 관계
2차원 벡터를 대각선 방향의 수선에 투영하는 것은 2차원 벡터를 입력받아 숫자를 출력하는 선형 함수를 정의하는 것과 같습니다. 이 함수는 선형적이며, 1x2 행렬로 나타낼 수 있습니다. 투영 변환을 나타내는 1x2 행렬은 수선의 단위 벡터(u-hat)의 좌표와 같습니다. 따라서 임의의 벡터를 투영하는 것은 해당 행렬에 벡터를 곱하는 것과 같으며, 이는 u-hat과의 내적과 계산적으로 동일합니다.
일반화된 내적과 이중성
단위 벡터가 아닌 일반적인 벡터의 경우에도 동일한 원리가 적용됩니다. 벡터를 스케일링하면 해당 벡터와 관련된 행렬도 스케일링됩니다. 이는 벡터 위로 투영한 후 벡터의 길이만큼 투사체 길이를 늘리는 것으로 해석할 수 있습니다. 이러한 선형 변환은 1x2 행렬로 표현될 수 있으며, 이는 2차원 벡터와의 내적과 같습니다. 따라서 선형 변환은 항상 특정 벡터와 관련되어 있으며, 변환의 적용은 벡터의 내적을 구하는 것과 같습니다. 이러한 관계를 통해 '이중성'이라는 수학적 개념을 이해할 수 있습니다. 벡터의 '이중'은 해당 벡터가 가진 선형 변환의 성질을 나타내며, 1차원으로 변환시키는 선형 변환에서 '이중'은 공간상의 특정 벡터를 의미합니다.
