[공수2] 1-3.원의방정식 + 마더텅 5회 풀이

간략 요약

이 비디오는 원의 방정식에 대한 개념 설명과 문제 풀이를 다룹니다. 주요 내용은 다음과 같습니다.

• 원의 방정식을 중학교 지식을 바탕으로 대수적으로 풀어내는 방법
• 원과 직선의 위치 관계를 기하적, 대수적으로 분석하는 방법
• 접선의 방정식 구하는 방법
• 다양한 유형의 원 관련 문제 풀이

원의 방정식 소개

고등학교에서 배우는 원의 방정식은 중학교 지식으로도 충분히 풀 수 있지만, 중학교 때 배웠던 여러 성질들을 식으로 풀어내기 위해 배웁니다. 원을 도형으로 접근하는 대신, 좌표 평면 위에 얹어 x와 y에 대한 함수식으로 나타냅니다. 중심이 (a, b)이고 반지름이 r인 원의 방정식은 (x-a)² + (y-b)² = r²으로 표현됩니다. 원 위의 점의 좌표를 방정식에 대입하여 미지수를 구할 수 있으며, 한 직선 위에 있지 않은 세 점을 지나는 원은 하나로 결정됩니다.

원과 직선의 위치 관계

원과 직선의 위치 관계는 서로 다른 두 점에서 만나는 경우, 한 점에서 만나는 (접하는) 경우, 만나지 않는 경우로 나눌 수 있습니다. 원의 중심에서 직선까지의 거리(D)와 반지름(R)을 비교하여 위치 관계를 판단할 수 있습니다. D < R이면 두 점에서 만나고, D = R이면 접하며, D > R이면 만나지 않습니다. 대수적으로는 원의 방정식과 직선의 방정식을 연립하여 얻은 이차방정식의 판별식을 통해 교점의 개수를 파악할 수 있습니다.

원의 접선의 방정식

원의 중심이 원점인 경우 (x² + y² = r²), 기울기가 m인 접선의 방정식은 y = mx ± r√(m² + 1)로 나타낼 수 있습니다. 접점이 주어진 경우 (x₁, y₁), 접선의 방정식은 x₁x + y₁y = r²으로 간단하게 구할 수 있습니다. 접선 증명은 점과 직선 사이의 거리를 이용하여 d = r임을 보이는 방식으로 진행됩니다.

5회 문제 풀이 1번

원의 방정식 일반형을 표준형으로 변환하여 반지름의 길이를 구하는 문제입니다. x와 y에 대한 완전제곱꼴로 묶어 표준형으로 변환한 후, 반지름의 제곱이 1임을 이용하여 상수 k 값을 구합니다.

5회 문제 풀이 2번

원의 방정식 위의 점에서의 접선의 방정식을 구하고, 주어진 점을 지나는 접선의 방정식을 이용하여 미지수를 구하는 문제입니다. 접점이 주어졌을 때 접선의 방정식을 쉽게 구할 수 있음을 활용합니다.

5회 문제 풀이 3번

선분 AB의 수직이등분선이 원의 넓이를 이등분할 때, 수직이등분선이 원의 중심을 지난다는 성질을 이용하여 문제를 해결합니다. AB의 기울기와 중점을 이용하여 수직이등분선의 방정식을 구하고, 원의 중심 좌표를 대입하여 미지수를 구합니다.

5회 문제 풀이 4번

좌표평면 위의 원과 두 점 A, B에 대하여 삼각형 PAB의 넓이가 최대가 되도록 하는 점 P의 좌표를 구하는 문제입니다. A, B를 밑변으로 놓았을 때 높이가 최대가 되는 경우를 찾아야 하며, 원의 중심에서 AB에 내린 수선의 발을 연장한 선이 원과 만나는 점이 P가 됩니다.

5회 문제 풀이 5번

중심이 1사분면 위에 있고 x축과 접하며 y축과 두 점에서 만나는 원에 대한 문제입니다. 현의 수직이등분선의 교점이 원의 중심이라는 성질과 닮음인 삼각형을 이용하여 원의 중심 좌표를 구합니다.

5회 문제 풀이 6번

원에서 직선이 2사분면에서 접할 때, 특정 함수값의 곱을 구하는 문제입니다. 원 밖의 한 점에서 원에 그은 접선의 길이가 같다는 성질과 중학교 때 배웠던 소공식을 이용하여 문제를 해결합니다. 대수적으로는 원의 방정식과 직선의 방정식을 연립하여 판별식이 0임을 이용하여 식을 세우고, 문제에서 구하고자 하는 값을 계산합니다.

5회 문제 풀이 7번

원의 접선과 현이 이루는 각도가 현이 이루는 원주각과 같다는 성질을 이용하여 문제를 해결합니다. A를 접점으로 하는 원을 생각하고, A, O, P를 지나는 외접원을 그려 문제를 기하적으로 접근합니다.

5회 문제 풀이 8번

y=x에 대한 대칭인 두 함수와 관련된 문제입니다. y=x에 대한 대칭성을 이용하여 문제를 단순화하고, 삼각형의 넓이와 내분점 공식을 이용하여 좌표를 구합니다.