[공수2] 마더텅 2회 풀이

간략 요약

이 비디오는 오선생 채널에서 2차 함수 그래프, 좌표 평면, 도형의 성질을 활용한 문제 풀이를 다룹니다. 구체적으로, 이차함수와 직선의 교점, 이등변삼각형의 성질, 내분점과 외분점, 무게중심, 도형의 닮음, 좌표 평면 위의 점과 직선 사이의 관계 등을 설명합니다.

• 이차함수 그래프와 직선의 교점 및 방정식의 근의 관계 이해
• 이등변삼각형, 정삼각형의 성질 및 활용
• 내분점, 외분점 공식 및 기하학적 해석
• 좌표 평면에서 점과 직선 사이의 거리, 기울기 계산
• 도형의 닮음과 넓이 비례 관계 활용

소개 및 편집자 모집

오선생은 강의 영상에서 본인 목소리만 들리는 점을 아쉬워하며, 시청자들의 웃음소리가 담기지 않아 아쉽다고 합니다. 영상 편집 실력이 부족하여 간단한 편집만 하고 있으며, 모자이크 처리 등 추가 편집이 가능한 편집자를 모집합니다.

8번 문제 풀이: 이차함수와 직선의 교점

이차함수 그래프가 직선 y=2와 서로 다른 두 점 A, B에서 만날 때, 그래프는 x=k에 대해 대칭이며 꼭지점은 (k, -2)입니다. 교점의 x좌표는 두 식을 연립한 방정식의 근과 같습니다. x 좌표는 k를 기준으로 2만큼 떨어져 있으며, 삼각형 AOB가 이등변삼각형이 되는 k 값을 구합니다. OA=OB일 때 k=0이고, OA=AB일 때는 OA=4입니다. OA²=16을 이용하여 k 값을 구하고, OB=AB일 때도 같은 방법으로 k 값을 구합니다. k 값은 총 5개이며, 최댓값은 2+2√3입니다.

2회 1번, 2번 문제 풀이: 내분점과 거리

수직선 위의 두 점 A, B를 1:3으로 내분하는 점의 좌표를 구합니다. 내분점 공식을 사용하지 않고, A와 B 사이의 거리를 4등분하여 좌표를 구합니다. 좌표 평면 위의 두 점 A, B 사이의 거리가 √10이 되도록 하는 실수 a 값의 합을 구합니다. AB²=10을 이용하여 a에 대한 이차방정식을 세우고, 근과 계수와의 관계를 이용하여 a 값의 합을 구합니다. 실근 여부를 항상 확인해야 합니다.

2회 3번 문제 풀이: AP=BP를 만족하는 점 P

좌표 평면 위의 두 점 A, B에 대해 직선 y=-x 위의 점 P가 AP=BP를 만족할 때, 선분 OP의 길이를 구합니다. P의 좌표를 (t, -t)로 설정하고 AP²=BP²을 이용하여 t 값을 구합니다. 기하학적으로 접근하여 AB의 수직이등분선이 y=-x와 만나는 점이 P임을 이용할 수도 있습니다. AP+BP의 최솟값을 구하는 문제로 확장될 수 있습니다.

2회 4번 문제 풀이: 삼각형의 무게중심

점 A를 한 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 두 변의 중점을 M, N이라고 할 때, MN의 중점을 L이라고 합니다. L의 좌표를 구하고, 삼각형 ABC의 무게 중심의 좌표를 구합니다. MN과 BC가 평행하므로 L은 AD의 중점입니다. 무게 중심은 AD를 2:1로 내분하는 점이므로, L을 이용하여 무게 중심의 좌표를 구합니다.

2회 5번 문제 풀이: 거리의 합의 최솟값 (서술형)

삼각형 AOB 내부의 점 P에서 세 꼭지점에 이르는 거리의 합의 최솟값을 구하는 문제입니다. AOB를 좌표 평면 위에 나타내고, C(0, 2)에 대하여 AOP와 COQ가 합동이 되도록 점 Q를 잡습니다. AP=CQ, OP=OQ임을 이용하여 AP+OP+BP = CQ+QP+BP로 변환합니다. C, Q, P, B가 한 직선 위에 있을 때 CQ+QP+BP가 최소가 되며, 이때 최솟값은 BC의 길이인 √13입니다. 채점 기준은 좌표 평면 설정, 합동 조건 및 각도 계산, 최소 거리 조건, 최종 답으로 나눌 수 있습니다.

2회 6번, 7번 문제 풀이: 중점과 내분점, 닮음

선분 AB의 중점 좌표와 3:1 내분점 좌표가 주어졌을 때, AB 길이의 제곱을 구합니다. MN 길이를 이용하여 AB 길이를 구합니다. 직선 AB 위의 점 D가 BC와 평행할 때, AC와 만나는 점을 E라고 합니다. 삼각형 ABC와 ADE가 닮음이고 넓이 비가 4:1일 때, D의 y 좌표의 곱을 구합니다.

2회 8번 문제 풀이: 교점의 중점

두 그래프의 교점을 P, Q라고 할 때, 교점의 x좌표는 방정식의 두 근입니다. 교점의 중점의 x좌표가 1일 때, PQ의 길이를 구합니다. 두 근의 합과 곱을 이용하여 a 값을 구하고, t 값을 구합니다. PQ 길이는 √5t이므로, t 값을 대입하여 PQ 길이를 구합니다. 다음 시간에는 직선의 방정식을 다룰 예정입니다.