[공수2] 마더텅 6회 풀이

간략 요약

이 비디오는 오선생 채널의 수학 문제 풀이 강의로, 여러 기하 문제를 해결하는 다양한 접근 방식을 제시합니다. 주요 내용은 다음과 같습니다.

• 원의 방정식과 직선의 관계를 활용한 문제 풀이
• 점과 직선 사이의 거리, 피타고라스 정리 등 기하학적 개념 응용
• 문제 해결 전략: 기하적 접근과 대수적 접근 비교
• 시험 대비 팁: 서술형 문제 접근 방식 및 채점 기준

1번 문제 풀이: 기울기가 주어진 원의 접선

직선 y = x + 2와 평행한 직선은 기울기가 1입니다. 중심이 원점이고 반지름의 길이가 3인 원에 접하는 직선의 y절편 k를 구하는 문제입니다. 기울기가 주어진 원의 접선 방정식을 활용하여 y절편이 ±3√2임을 알 수 있습니다. k² 값을 구하므로 부호에 관계없이 18이 됩니다.

2번 문제 풀이: 원 위의 점과 점 사이의 거리 최솟값

좌표 평면에서 점 A와 원 x² + y² = 8 위의 점 P 사이의 거리 AP의 최솟값을 구합니다. 원의 중심에서 점 A까지의 거리 d를 구하고, 반지름 r을 빼면 최단 거리를 구할 수 있습니다. d = 5√2, r = 2√2이므로 최솟값은 3√2입니다.

3번 문제 풀이: x축, y축에 동시에 접하는 원의 방정식

곡선 위의 점 중 이사분면에 있는 점을 중심으로 하고 x축과 y축에 동시에 접하는 원의 방정식을 구합니다. 이사분면 위의 점이므로 원의 중심 좌표를 (-r, r)로 설정할 수 있습니다. 원의 중심이 곡선 위의 점이므로 곡선 방정식에 대입하여 r 값을 구합니다. r = 1이므로 원의 방정식은 (x + 1)² + (y - 1)² = 1입니다. 일반형으로 정리하면 x² + y² + 2x - 2y + 1 = 0이고, a + b + c = 1입니다.

4번 문제 풀이: 원과 직선의 교점과 현의 길이

원과 직선이 두 점에서 만나고 현의 길이가 4일 때, 원의 방정식을 표준형으로 변환하여 중심과 반지름을 구합니다. 원의 중심에서 현의 수직이등분선 위에 중심이 위치합니다. 점과 직선 사이의 거리를 이용하여 원의 중심에서 직선까지의 거리를 구하고, 피타고라스 정리를 이용하여 반지름을 구합니다. k = -4입니다.

5번 문제 풀이: 두 직선에 접하고 주어진 점을 지나는 원의 중심

두 직선에 모두 접하고 (2, 0)을 지나는 서로 다른 두 원의 중심 O1과 O2 사이의 거리를 구합니다. 두 직선이 y축 대칭이므로 원의 중심도 y축 위에 있습니다. 원의 중심을 (0, t)로 설정하고, 원의 중심에서 접점까지의 거리와 (2, 0)까지의 거리가 같음을 이용하여 t 값을 구합니다. t = 1 또는 -4이므로 O1O2의 길이는 5입니다.

6번 문제 풀이: 원점과의 거리가 최대인 직선과 원 위의 점 사이의 거리

(3, 4)를 지나는 직선 중 원점과의 거리가 최대인 직선 L을 구합니다. (3, 4)에서 원점까지의 거리는 5이므로, 반지름이 5인 원을 그릴 수 있습니다. (3, 4)에서의 접선이 원점과의 거리가 최대인 직선 L입니다. L의 방정식을 구하고, 중심이 (7, 5)이고 반지름이 1인 원 위의 점 P와 L 사이의 거리의 최솟값을 구합니다. 최솟값은 11이므로 10m = 110입니다.

7번 문제 풀이: 무게 중심, 외심을 이용한 삼각형 넓이

삼각형 ABC의 무게 중심 G의 좌표가 (-1, 1)이고, 외심이 원점일 때 삼각형의 넓이를 구합니다. 무게 중심을 이용하여 BC의 중점 M의 좌표를 구하고, 외심의 성질을 이용하여 원점에서 A, B, C까지의 거리가 같음을 이용합니다. BC의 수직이등분선이 원점을 지나므로, 점과 직선 사이의 거리를 이용하여 높이를 구하고 넓이를 계산합니다. 넓이는 12√105/5이고, 분모 분자의 합은 17입니다. 기하적 접근과 대수적 접근 모두 가능합니다.

8번 문제 풀이: 원의 중심과 현의 수직이등분선

원의 중심 C(a, b)가 1사분면 위에 있고, OC를 지나는 직선의 방정식이 y = 3x일 때, 주어진 조건을 이용하여 a, b 값을 구하고 반지름의 제곱을 구합니다. 현의 수직이등분선 성질을 이용하여 A, B 좌표를 구하고, OB - OA = 4 조건을 이용하여 a 값을 구합니다. a = 1, b = 3이므로 반지름의 제곱은 10입니다. a + b + r² = 14입니다.

시험 정보 및 서술형 문제 접근 방식

수학 시험은 공통수학1과 공통수학2로 나뉘어 각각 70분씩 진행됩니다. 객관식 16문제, 단답형 4문제, 서술형 2문제로 구성됩니다. 서술형 채점은 빠르게 진행되며, 논란의 여지가 있는 문제는 출제되지 않을 가능성이 높습니다. 다양한 풀이 방법이 존재하더라도 채점 기준에 따라 감점 여부가 결정됩니다.