[공수2] 마더텅 8회 풀이

간략한 요약

이 비디오는 좌표 평면에서 점, 직선, 원을 평행 이동 및 대칭 이동하는 문제와 관련된 다양한 기하학적 개념을 다룹니다. 또한 최단 거리, 면적 및 기타 기하학적 속성을 찾는 데 중점을 둡니다.

• 평행 이동 및 대칭 이동을 사용하여 좌표를 찾습니다.
• 최단 거리를 구하기 위해 대칭을 사용합니다.
• 원의 방정식과 속성을 활용합니다.
• 기하학적 문제를 해결하기 위한 다양한 전략을 적용합니다.

1번 문제 풀이

좌표 평면 위의 점 (2, -1)을 x축 방향으로 a만큼, y축 방향으로 5만큼 평행 이동한 결과가 (4, b)일 때, a와 b의 값을 구합니다. 평행 이동 후 좌표는 (2+a, 4)가 되며, 이는 (4, b)와 같으므로 a = 2, b = 4입니다. 따라서 a + b = 6입니다.

2번 문제 풀이

점 (3, 1)을 y=x에 대해 대칭 이동한 점 A는 (1, 3)입니다. 이 점을 원점에 대해 대칭 이동한 점 B는 (-1, -3)입니다. A와 B 사이의 거리를 구하면 √((1-(-1))^2 + (3-(-3))^2) = √(4 + 36) = √40 = 2√10입니다. 문제를 더 빠르게 풀기 위해, 원점에서 점 (3, 1)까지의 거리를 구한 후 두 배로 하면 됩니다.

3번 문제 풀이

좌표 평면 위의 두 점 A, B와 x축 위의 점 C, y=x 위의 점 D에 대해 BC + CD + DA의 최솟값을 구합니다. B를 x축에 대해 대칭 이동한 점 B'와 A를 y=x에 대해 대칭 이동한 점 A'을 이용합니다. B'와 A'을 연결하는 직선이 x축 및 y=x와 만나는 점이 각각 C와 D일 때, BC + CD + DA가 최소가 됩니다. B'의 좌표는 (-3, -1)이고, A'의 좌표는 (1, 3)입니다. B'와 A' 사이의 거리를 구하면 √((1-(-3))^2 + (3-(-1))^2) = √(16 + 16) = √32 = 4√2입니다.

4번 문제 풀이

원 (x+1)^2 + (y+2)^2 = 9를 x축 방향으로 3m만큼, y축 방향으로 n만큼 평행 이동한 원 O'가 다음 조건을 만족합니다. 원의 중심은 1사분면에 있고, O'는 x축과 y축에 동시에 접합니다. 원의 중심은 (-1+3m, -2+n)이고, 반지름은 3입니다. 1사분면에 있으므로 -1+3m > 0, -2+n > 0입니다. x축과 y축에 동시에 접하므로 |-2+n| = 3, |-1+3m| = 3입니다. n = 5, m = 4/3이므로 mn = 20/3입니다.

5번 문제 풀이

세 점 A(0, 9), B(-9, 0), C(9, 0)에 대해 삼각형 ABC가 있습니다. 삼각형 ABO를 x축 방향으로 t만큼 평행 이동했을 때, 두 삼각형의 겹치는 부분의 넓이의 최댓값을 구합니다. 겹치는 부분의 넓이를 ST라고 하면, ST는 사다리꼴 넓이의 두 배로 계산할 수 있습니다. ST = (1/2) * 9 * 9 - (1/2) * (9-t)^2 - (1/2) * t^2 = -t^2 + 9t입니다. t가 6일 때 최댓값은 27입니다. t가 9를 넘어가면 겹치는 부분의 넓이는 달라지므로, t가 9일 때와 18일 때를 고려해야 합니다.

6번 문제 풀이

원 x^2 + y^2 = 4 위의 두 점 A(a, b)와 B(b, a)는 y=x에 대해 대칭입니다. 원 위의 점 P, Q에 대해 AP = BP, AQ = BQ를 만족하면 P와 Q는 y=x 위에 있습니다. 사각형 APBQ의 넓이가 2√2일 때, ab의 값을 구합니다. PQ는 원의 지름이므로 4이고, 사각형 넓이는 (1/2) * PQ * AB = 2AB입니다. 따라서 AB = √2입니다. b - a = 1이고 a^2 + b^2 = 4이므로, ab = 3/2입니다.

7번 문제 풀이

원을 x축 방향으로 4만큼, y축 방향으로 -3만큼 평행 이동한 원 C2와 직선이 만나는 두 점 A, B를 평행 이동한 점을 C, D라고 할 때, 색칠된 부분의 넓이를 구합니다. 평행 이동한 만큼 넓이는 변하지 않으므로, 사각형 ABCD의 넓이를 구하면 됩니다. AC의 길이는 5이고, AB의 길이는 원의 중심에서 직선까지의 거리를 이용하여 구합니다. AB = 8/5이므로, 사각형 넓이는 5 * (8/5) = 8입니다.

8번 문제 풀이

삼각형 ABC에서 AB = 3√2, BC = 4, CA = √10일 때, 각 변 위의 점 D, E, F에 대해 삼각형 DEF 둘레의 길이의 최솟값을 구합니다. B를 원점으로 하는 좌표 평면을 설정하고, A(3, 3), C(4, 0)으로 설정합니다. F를 y=x에 대해 대칭 이동한 점 F'과 x축에 대해 대칭 이동한 점 F''을 이용합니다. F'F''의 거리가 최소가 되도록 F를 설정합니다. 직선 AC의 방정식은 y = -3x + 12이므로, F(t, -3t + 12)로 설정합니다. F'(-3t + 12, t), F''(t, 3t - 12)이므로, F'F'' = √((-4t + 12)^2 + (2t - 12)^2)입니다. 이 값을 최소화하는 t를 찾아 둘레의 최솟값을 구합니다.