[공수2] 마더텅 9회 풀이, 7회 피드백, 8회 피드백

간략한 요약

이 비디오는 다양한 기하학적 문제를 해결하는 과정을 보여줍니다. 좌표, 거리, 원, 삼각형 등의 개념을 활용하여 문제 해결 전략을 설명하고, 특히 최단 거리 문제에서 대칭 이동의 중요성을 강조합니다. 또한, 무게 중심과 각의 이등분선과 같은 기하학적 성질을 이용하여 복잡한 문제를 단순화하는 방법을 제시합니다.

• 좌표 평면에서 점과 점 사이의 거리, 직선과 점 사이의 거리 계산
• 대칭 이동을 이용한 최단 거리 문제 해결
• 원의 방정식과 접선의 활용
• 삼각형의 무게 중심과 각의 이등분선 성질 적용

1번 문제 풀이

점 A의 좌표가 (a, 3)이고, 원점 O에서 A까지의 거리가 4일 때, a 값을 구합니다. OA 길이의 제곱이 16이라는 정보를 이용하여 a² + 3² = 16을 만족하는 a 값을 계산합니다. 따라서 a² = 7이 됩니다.

3번 문제 풀이

X축 위의 점 C에 대해 AC + BC 길이의 합의 최솟값을 구합니다. A와 B가 X축을 기준으로 같은 쪽에 있으므로, A 또는 B를 X축에 대해 대칭 이동시켜 최단 거리를 구합니다. A를 대칭 이동한 A' (0, -1)에서 직선 l에 수선을 내린 발을 B라고 하고, X축과의 교점을 C라고 하면 A'B 길이가 AC + CB 길이 합의 최솟값이 됩니다. 직선의 방정식을 연립하여 B의 좌표를 구하고, 좌표를 제곱하여 더한 값이 5가 됩니다.

4번 문제 풀이

A(1, 2)와 B(2, 1)에 대해 X축 위의 점 C에 대해 삼각형 ABC 둘레 길이의 최솟값을 구합니다. AB 길이는 고정되어 있으므로 CA + CB 길이의 최솟값을 구하는 문제로 변환됩니다. B를 X축에 대해 대칭 이동한 B'(2, -1)을 잡고 A에서 B'까지 이으면 X축과 만나는 점이 C가 됩니다. AB' 길이는 루트 10이고, AB 길이는 루트 2이므로 둘레 길이는 루트 2 + 루트 10입니다. 따라서 a + b = 12입니다.

5번 문제 풀이

좌표 평면 위의 점 A(0, 루트 3)과 B(1, 0)과 원 (x-1)² + y² = 9 위의 점 P에 대하여 삼각형 ABP 넓이가 자연수가 되도록 하는 점 P의 개수를 구합니다. AB 길이는 2로 고정되어 있으므로 높이 h가 자연수가 되어야 합니다. 원의 중심 (1, 0)에서 직선 AB까지의 거리를 구하고, 반지름 3을 빼고 더하여 h의 범위를 구합니다. h는 2 이상 8 이하의 자연수이므로 가능한 h 값은 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8입니다. 각 h 값에 대해 점 P의 개수를 세어 총 12개의 점이 있음을 확인합니다.

6번 문제 풀이

1사분면 위의 점 A를 중심으로 하는 원이 x축과 만나지 않고, 원점에서 그은 접선 중 기울기가 완만한 것을 l이라고 합니다. y=x 직선과 원이 만나는 두 점 P1, P2에서 접선을 그어 l과의 교점을 Q1, Q2라고 할 때, 삼각형 AP1Q1과 AP2Q2 넓이 비가 1:4입니다. OP1 길이가 2일 때, l의 기울기를 구합니다. P1Q1과 P2Q2 길이 비가 1:4이므로 OP1과 OP2 길이 비도 1:4입니다. OP2 길이는 8이고, 원의 반지름은 3입니다. A와 l 사이의 거리가 3임을 이용하여 l의 방정식을 구하고, l의 기울기가 1임을 확인합니다.

7번 문제 풀이

삼각형 ABC에서 작은 삼각형 S1과 S2 넓이 비를 구합니다. AB, BC 길이와 AD 길이가 주어졌을 때, 중선 정리를 이용하여 AC 길이를 구합니다. BC와 AC 길이가 같으므로 이등변 삼각형임을 알 수 있습니다. 각 BCA 이등분선이 AB 수직 이등분선이 되므로 M은 AB 중점입니다. 점 P가 무게 중심임을 이용하여 CP를 2:1로 내분하는 점이 P임을 확인합니다. 각의 이등분선 성질을 이용하여 S1과 S2 넓이 비를 구하고, 최종적으로 -16을 얻습니다.

8번 문제 풀이

좌표 평면 위의 점 A, B, C에 대해 C를 중심으로 하는 원과 삼각형 OAB가 세 점에서 만나도록 하는 반지름 r 값을 구합니다. C에서 각 변까지의 거리와 꼭짓점까지의 거리를 계산하여 순서를 비교합니다. 반지름 길이를 늘려가면서 만나는 점의 개수를 카운팅합니다. 서로 다른 세 점에서 만나는 반지름은 루트 7과 5루트 2입니다. 따라서 두 값을 곱한 값은 35입니다.

7회 8번 문제 피드백

서술형 문제에서 답을 구하는 과정에 대한 설명이 부족하면 감점될 수 있습니다. 2r이 6이 되는 이유, 접선의 기울기가 4가 되는 이유, k값이 특정 값을 가질 수 없는 이유 등에 대한 서술이 필요합니다.

8회 8번 문제 풀이 설명

대칭 이동을 이용하여 최단 거리를 구하는 문제에서, 각도와 합동을 이용하여 문제를 해결하는 방법이 제시됩니다. BF 길이와 BF2 길이가 같고, BF1 길이도 같음을 설명합니다. F1BF2 각이 90도임을 이용하여 F1F2 길이가 직각 이등변 삼각형 빗변 길이임을 확인합니다. B에서 AC까지의 수직 거리가 최단 거리임을 이용하여 문제를 해결합니다.