[공수2] 마더텅1회 풀이

간략한 요약

이 비디오는 좌표 평면 위의 점, 선분, 도형을 다루는 다양한 기하 문제를 해결하는 방법을 설명합니다. 내분점, 외분점, 무게 중심, 마름모의 성질, 각의 이등분선, 벡터 개념 등 다양한 수학적 개념을 활용하여 문제를 풀이합니다.

• 좌표 평면 위의 두 점 사이의 거리를 구하고, 이를 활용하여 도형의 넓이를 계산합니다.
• 내분점과 외분점 공식을 이해하고, 실제 문제에서 효율적으로 적용하는 방법을 배웁니다.
• 마름모의 성질(네 변의 길이 같음, 대각선이 서로를 수직 이등분함)을 이용하여 문제를 해결합니다.
• 삼각형의 무게 중심 좌표를 구하고, 이를 활용하여 다른 점의 좌표를 추론합니다.
• 벡터 개념을 도입하여 기하 문제를 더욱 간결하게 해결하는 방법을 제시합니다.
• 각의 이등분선 정리를 이해하고, 이를 문제 풀이에 적용합니다.
• 이차 함수와 직선의 교점을 구하고, 이등변삼각형이 되는 조건을 활용하여 문제를 해결합니다.

1회 1번 & 2번 문제 풀이

좌표 평면 위의 두 점 A, B를 이용하여 선분 AB를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이를 구합니다. 정사각형의 넓이는 한 변의 길이의 제곱이므로, 두 점 사이의 거리 공식을 이용하여 AB의 길이를 구한 후 제곱하여 넓이를 계산합니다. 좌표 평면 위의 두 점 A, B를 1:2로 내분하는 점이 직선 y = -x 위에 있을 때, 내분점 공식을 사용하지 않고 x, y 좌표의 변화량을 비례식으로 계산하여 내분점의 좌표를 구합니다. 내분점이 직선 위에 있으므로, 좌표를 직선의 방정식에 대입하여 미지수 a 값을 구합니다.

1회 3번 문제 풀이

좌표 평면 위의 네 점 O, A, B, C를 꼭짓점으로 하는 사각형 OABC가 선분 AB를 대각선으로 하는 마름모일 때, 마름모의 성질을 이용하여 문제를 해결합니다. 마름모는 네 변의 길이가 같은 사각형이므로, OC의 길이를 구한 후 OA의 길이와 같다는 것을 이용하여 미지수 a 값을 구합니다. 마름모의 대각선은 서로를 수직 이등분하므로, AC의 중점과 OB의 중점이 일치한다는 것을 이용하여 미지수 b, c 값을 구합니다. 벡터의 아이디어를 활용하여 O에서 M까지의 변화량과 M에서 B까지의 변화량이 같다는 것을 이용하여 B의 좌표를 쉽게 구할 수 있습니다.

1회 4번 문제 풀이

좌표 평면 위의 세 점 A, B, C를 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 각 변의 중점 좌표가 주어졌을 때, 삼각형 ABC의 무게 중심 좌표를 구합니다. A에서 M으로 가는 벡터 아이디어를 이용하여 B의 좌표를 구하고, B와 AC의 중점 N을 연결한 선분을 2:1로 내분하는 점이 무게 중심 G라는 것을 이용하여 미지수 a, b 값을 구합니다. 다른 방법으로, A, B, C의 좌표를 모두 설정한 후 무게 중심 공식을 이용하여 문제를 해결할 수도 있습니다.

1회 5번 문제 풀이

행렬의 성분을 이용하여 좌표 평면 위에 두 점을 정의하고, 두 점 사이의 거리를 lx라고 정의합니다. 주어진 행렬 A, B에 대하여 LA와 LB가 같음을 증명하고, 행렬에 실수배를 했을 때 LA의 변화를 확인합니다. 행렬의 덧셈을 이용하여 LA+B를 구하고, LA + LB와 비교하여 디귿 명제의 참 거짓을 판별합니다. y 좌표에 마이너스가 붙는 것은 x축 대칭을 의미하며, x축 대칭을 해도 거리는 변하지 않는다는 기하학적 해석을 활용합니다.

1회 6번 문제 풀이

이차 함수와 직선이 두 점 P, Q에서 만날 때, 선분 PQ를 1:2로 내분하는 점의 x 좌표가 1일 때, 상수 k 값을 구합니다. 교점의 x 좌표는 연립한 이차 방정식의 해와 같다는 개념을 이용하여 근과 계수와의 관계를 활용합니다. PQ를 1:2로 내분하는 점의 x 좌표가 1이라는 정보를 이용하여 알파와 베타에 대한 식을 세우고, 연립하여 알파, 베타 값을 구합니다. 알파 * 베타 = -k 임을 이용하여 k 값을 계산합니다.

1회 7번 문제 풀이

좌표 평면 위의 두 점 P, Q에 대하여 각 POQ의 이등분선이 선분 PQ와 만나는 점의 x 좌표를 a라고 할 때, a와 b의 합을 구합니다. 삼각형에서 각의 이등분선이 나오면 길이의 비례 관계(OP:OQ = PR:QR)를 활용합니다. OP와 OQ의 길이를 구하고, PR:QR의 비례식을 이용하여 점 R의 x 좌표를 구합니다. 각의 이등분선 정리의 증명 과정을 설명하고, 평행선과 동위각, 엇각을 이용하여 닮음 도형을 찾는 방법을 제시합니다.

1회 8번 문제 풀이

실수 k에 대하여 이차 함수의 그래프와 직선 y=2가 서로 다른 두 점 A, B에서 만날 때, 삼각형 AOB가 이등변삼각형이 되도록 하는 k 값을 구합니다. 교점의 x 좌표는 이차 방정식의 해와 같다는 개념을 이용하여 A와 B의 x 좌표를 k에 대한 식으로 나타냅니다. OA = OB인 경우, OA = AB인 경우, OB = AB인 경우를 나누어 k 값을 구합니다. 각 경우에 해당하는 k 값을 구하고, 무연근이 있는지 확인합니다.