0:00 [Música] Olá caríssimos bem-vindos eu vou começar uma série de vídeos falando de temas de geometria minha cabeça eu tô pensando numa introdução a um curso de geometria diferencial serão vários vídeos com catetos e eu vou começar fazendo a história do estudo de curvas mostrar como que as curvas eram estudadas na geometria grega
0:46 então curvas na moda de Euclides depois como que o descarte introduziu a ideia de coordenadas sistema de coordenadas e como isso revolucionou o estudo de curvas e depois mostrar como que o cálculo diferencial Newton e libnes revolucionou novamente o estudo de curvas E aí aquilo chegando naquilo que a gente chama hoje de geometria diferencial Então esse vídeo seria um vídeo de geometria euclidiana o tema tá dentro da geometria euclidiana depois eu vou fazer o segundo vídeo falando de geometria analítica que é usando o descarte e depois vou falar de geometria
1:31 diferencial que é o cálculo e vai ficar um conjunto de vídeos introduzindo a ideia de geometria diferencial estudo de curvas na geometria diferencial lá para frente a gente fala em superfícies bom então como é que era a geometria no Euclides eu tô me referindo Euclides porque Euclides é a referência que a gente tem o livro elementos de Euclides com toda aquela importância que ele teve na história da matemática mas o que eu vou falar era o jeito que os geometras gregos faziam geometria não só Euclides todos os outros faziam deste jeito e inclusive o estudo de cônicas por exemplo você não encontra no elementos do Euclides mas o Euclides tinha outros livros fez outros livros em que essas
2:17 coisas eram estudadas e sempre com essa mesma abordagem que eu vou mostrar então que eu vou mostrar agora como que era a abordagem na matemática grega que a gente chama de euclidiana Então como é que se fazia a geometria nessa nessa visão grega como é que era o estudo de curvas nos livros escritos na Grécia as curvas eram definidas por palavras então exemplo circunferência de centro a e raio R é o conjunto dos pontos do plano que distam a distância R do ponto A é tudo com palavras que que eu tô querendo destacar que não existiam fórmulas e não existiam equações isso veio bem depois então
3:04 abordagem grega era com propriedades e a descrição das propriedades era feita na linguagem corrente e o impacto disso é que as demonstrações eram feitas assim também não se tinha a estrutura algébrica de uma fórmula de uma equação para se resolver um problema essas propriedades em geral expressas por palavras e com isso você consegue definir o que cama elipse que que é uma elipse é o conjunto dos pontos você tem dois pontos fixos e você pega o conjunto dos pontos cuja distância soma das distâncias deste ponto até um ponto fixo até o outro ponto fixo que essa soma é constante não é a distância que é
3:51 constante mas é a soma das duas distâncias do ponto até um outro e até o outro pega essa soma constante e isso é uma elipse então na geometria grega a gente define elipse assim você tem esses dois pontos e você pega todos aqueles que tem a propriedade que essa soma dessas duas distâncias é constante e mas tudo com propriedade distrito em palavras parábola Você tem uma reta tem um ponto e você pega os pontos que aqui distam do ponto e da reta se mede a distância do ponto até o foco da parábola e até a reta e pega todos os pontos em que essas duas distâncias são iguais e com isso se fazia geometria
4:38 quando eu falo que elas eram dadas né pelas dadas por palavras e quero dados por propriedades podia também tá no caso das todas as cônicas serem estudadas por intersecções de planos com cones isso é um jeito de falar das propriedades e sem fórmula e sem equação então uma circunferência tem um cone de com as duas folhas e eu pego um plano que é perpendicular ao eixo do Cone e olha a intersecção desse plano com o cone isso vai dar uma circunferência se eu inclinar esse plano pegar um plano que está inclinado
5:25 essa intersecção da uma elipse se eu pegar esse plano paralelo a esse eixo Eu tenho dois ramos de hipérboles E por aí vai se eu pegar paralelo aqui eu tenho uma parábola e a gente vai encontrando todas as curvas de novo a partir de propriedades só que aqui as propriedades estão sendo descritas como intersecção do Cone com um plano e os teoremas eram demonstrados nessa mesma visão com essas palavras sem equação e sem forma só para não perder
6:13 muito tempo mas eu vou dar um exemplo como que a gente acha no livro do Euclides o seguinte problema dada uma circunferência como eu acho o centro é um problema de curvas eu posso resolver esse problema com geometria analítica com geometria diferencial e com a geometria euclidiana como é que Euclides resolvi esse problema ele usa propriedades e usa palavras e usa o que já foi feito antes né é a estrutura lógica do que ficou sedimentada na matemática grega usa as definições os axiomas e os teoremas
7:00 anteriores então para achar o centro de uma circunferência que que se faz pega dois pontos na circunferência qualquer lugar então Sul normal que eu posso fazer aí dois pontos determina uma reta isso é um axioma da geometria euclidiana tá lá no elementos um dos primeiros axiomas passado dois pontos por uma reta Então pega essa reta pega a circunferência determinada com centro aqui passando nesse outro então faz uma circunferência aqui concentra nesse ponto e passando pelo segundo ponto
7:47 circunferência centro aqui passando por esse sabe o que que o Euclides está fazendo aqui ele está pegando a construindo foi assim que ele construiu ao longo do livro A mediatriz desse segmento então se ele já tem construído a mediatriz ele pode simplesmente dizer pega dois pontos na circunferência pega a reta pega o segmento e agora pega a mediatriz do segmento se ele ainda não construiu a mediatriz ele constrói agora como que ele constrói dois arcos de circunferência centro aqui passando por esse ponto centro aqui passando pelo outro ponto aí ele descobre dois pontos que são as intersecções dessa circunferências
8:33 esses dois pontos vão determinar a tal da mediatriz aí ele pega a reta que passa por esses dois pontos que é a mediatriz desse segmento que ficou determinado aí o Euclides pega os dois pontos em que essa mediatriz encontra a circunferência E aí ele diz esse ponto é um diâmetro e agora você pega o ponto médio deste segmento com vértices amarelos o ponto médio é o centro da circunferência Então olha como que é toda uma estrutura baseada em propriedades
9:21 que não dependem nem de fórmulas e nem de equações e tá tudo Expresso em linguagem cotidiana a gente muitas vezes resolve problemas de geometria assim ainda hoje muitas vezes a gente vai resolver um problema de geometria a gente usa essa estratégia quando a gente tem outras estratégias a gente tem outras ferramentas para fazer essa é a ferramenta que a gente chama da geometria euclidiana então que quem resumo durante séculos milênios até aparecer até o René descarte Esse era o jeito de fazer geometria pelo jeito de fazer geometria que foi fundado né a escola fundadora era a escola grega e o estudo era feito
10:07 a partir de propriedades e da manipulação dessas propriedades Então nesse vídeo ficamos por aqui no próximo eu vou falar o que que o descarte mudou aguarde
