Краткое содержание
В этом видео рассматриваются формулы двойного аргумента и формулы понижения степени в тригонометрии. Объясняется, как вывести и применять формулы для синуса и косинуса двойного угла, а также как использовать формулы понижения степени для упрощения выражений и решения тригонометрических уравнений.
- Формулы двойного аргумента позволяют выразить тригонометрические функции от угла, умноженного на два, через функции от исходного угла.
- Формулы понижения степени используются для уменьшения степени тригонометрических функций, что полезно при упрощении выражений и решении уравнений.
- Примеры показывают, как применять эти формулы на практике для вычисления значений выражений и решения тригонометрических уравнений.
Формулы двойного аргумента
Синус двойного угла (sin 2x) равен удвоенному произведению синуса и косинуса угла: sin 2x = 2 sin x cos x. Косинус двойного угла (cos 2x) может быть выражен тремя способами: cos 2x = cos²x - sin²x, cos 2x = 2 cos²x - 1, cos 2x = 1 - 2 sin²x.
Примеры вычисления с использованием формул двойного аргумента
Рассмотрены примеры упрощения выражений с использованием формул двойного аргумента. Например, выражение sin(π/8) * cos(π/8) упрощается до (√2)/4 путем умножения и деления на 2 и применения формулы синуса двойного угла. Другой пример: cos²(15°) - sin²(15°) упрощается до cos(30°) = √3/2 с использованием формулы косинуса двойного угла.
Формулы понижения степени
Формулы понижения степени позволяют выразить квадрат тригонометрической функции через функцию первой степени. cos²x = (cos 2x + 1) / 2 и sin²x = (1 - cos 2x) / 2. Эти формулы полезны для упрощения выражений и решения уравнений, где тригонометрические функции находятся в квадрате.
Примеры использования формул понижения степени
Приведен пример нахождения cos(x/2), если известно, что cos(x) = 3/5 и x принадлежит первой четверти. Используется формула cos²(x/2) = (1 + cos x) / 2, извлекается квадратный корень, и выбирается положительное значение, так как x находится в первой четверти. В итоге получается cos(x/2) = (√10)/5. Также показано упрощение выражения sin²(π/4 + x) с использованием формулы понижения степени.
Решение тригонометрического уравнения с использованием формулы понижения степени
Рассмотрен пример решения тригонометрического уравнения cos²x = 1/2. Сначала применяется формула понижения степени для cos²x, что приводит к уравнению (1 + cos 2x) / 2 = 1/2. Далее уравнение упрощается до cos 2x = 0, и находятся решения для x: x = π/4 + πk/2, где k - целое число.
