0:00 здравствуйте в этом уроке мы с вами изучим формула двойного аргумента а также формулы понижения степени начнем с формул двойного аргумента то есть нам нужен эти синус от угла умноженного на 2 то есть синус 2 x чтобы найти это распишем 2x как икс плюс икс то есть это будет синус x плюс x теперь мы можем воспользоваться формулой синуса сумма двух углов это у нас будет синус x косинус икс плюс синус x косинус икс получим 2 сильно x косинус икс в итоге мы получим что синус двойного угла равен удвоенному
0:48 произведению синуса на косинус аналогично мы можем вывести формулу косинуса двойного вы точно так же распишем косинус 2x какой синус x 300 x применим формулу косинуса суммы и преобразуем в итоге получим косинус в квадрате x минус синус в квадрате x эту формулу мы можем переписать и другом видео именно мы помним основное тождества что синус в квадрате плюс косинус в квадрате равняется 1 тогда в этом выражении например вместо синуса мы можем подставить 1 минус косинус квадрат
1:33 получим следующие два косинус в квадрате x минус 1 или наоборот в этом выражении вместо косинуса подставим 1 минус синус получим 1 минус 2 синус в квадрате x таким образом с помощью вот этих четырех форму мы можем находить силу двойного и косинус двойного угла давайте рассмотрим пример попробуем вычислить значение следующих выражений синус пи на 8 умножить на косинус пи на 8 давайте сделаем так мы умножим это выражение на 2 и тут же раздели на 2 то есть 1 2 умножить на 2 синус пи на 8 косинус пи на 8 от этого значения не
2:18 поменялось однако выражение 2 синус пи на 8 косинус пи на 8 эта формула синуса двойного угла это будет синус пи на 8 умножено на 2 то есть получим 1 2 синус двойного аргумента pin 8 умножаем на 2 это у нас будет pin 4 получили 1 2 синус пи на 4 синус пи на 4 это известно корень из двух пополам умножаем на одну вторую получаем корень из 2 до 4 посмотри второе выражение косинус квадрат 15 градусов минус синус квадрат 15 градусов здесь у нас сразу видно формула косинуса двойного угла но помню косинус квадрат x минус синус квадрат x это косинус 2x то есть нашем случае косинус 2 умножить
3:06 на 15 градусов это косинус 30 косинус 30 известно это корень из 3 пополам и давайте упростим третье выражение возведем в квадрат по формуле это у нас будет косинус квадрат x плюс удвоенное произведение первого на второе то есть два косинус икс минус икс плюс синус квадрат x косинус квадрат плюс синус квадрат дает нам единицу выражение 2 синус и косинус икс это формула синуса двойного угла то есть это синус 2 x мы получили еще одну достаточно удобную форму которой будем пользоваться иногда при решении задач теперь разберемся с
3:53 формулами понижения степени как я сказал что косинус двойного угла мы можем расписать тремя разными способами первое это косинус квадрат минус синус квадрат второй способ это два косинус квадрат x минус 1 и третий способ это 1 -2 сильно с квадратик именно этими выражениями мы воспользуемся для выведения формулы понижения степени для этого допустим из этого выражения попробуем выразить косинус квадрат x косинус квадрат x будет равняться для этого перенесем единицу сюда и раздели на двойку получим косинус 2x + 1 делённую на 2 это формула называется формулой понижения степени потому что изначально у нас
4:39 косинус был во второй степени потом стала в первой степени несмотря на то что аргумент изменился аналогично для синуса из этого выражения выражаем синус получим что синус в квадрате x равняется 1 минус косинус 2x деленный на 2 точно так же у нас синус был во второй степени в итоге функция стала в первой степени то есть мы понизили степень рассмотрим пример у нас известно что косинус x равняется три пятых требуется найти косинус икс пополам будем считать что x принадлежит 1 четверть для этого вспомни формулы понижения степени а именно косинус в квадрате x
5:25 пополам будет равняться 1 плюс косинус икс деленное на два обратить внимание в формуле у нас была здесь x здесь стояла 2x не принципиально что именно стоит главное что вот этот аргумент должен быть два раза меньше чем вот этот аргумент таким образом эта формула также верно x пополам здесь x но нам нужен не косинус квадрат а косинус для этого извлекаем корень и вообще говоря у нас перед корнем должно появиться выражение плюс-минус так как мы извлекаем корень из квадрата но так как у нас x принадлежит первой четверти косинус икс в этой четверти положительный берем со знаком плюс если бы так оказалось что косинус отрицательные мы поставили знак минус осталось вычислить вместо косинус икс
6:13 ставим три пятых делим на 2 преобразуем это у нас будет 8 десятых сокращаем на два это четыре пятых извлекаем корень корню из 2 делить на корень корень 4 это 2 делить на корень из 5 можем избавиться от иррациональности получить два корень из 5 деленное на 5 рассмотрим ещё один пример попробуем упростить вот это выражение синус квадрат и на четыре плюс x чтобы упростить воспользуемся понижением степени а именно это будет 1 минус косинус и и тот же угол умноженная на 2 pin 4 умножить на 2 это будет pin 2 + x
7:02 умножить на 2 станет 2x и все это делим на 2 и давать немного преобразуем знаменатель на два косинус пи пополам плюс 2x напомню что если в аргументе у нас присутствует пи пополам то функция меняется то есть у нас здесь станет уже синус 2 x теперь нужно определить каком какой знак pin 2 + 2x это 2 четверти косинус во второй четверти отрицательный значит знак меняется на противоположный то есть вперед выйдет минус и с этим минусом даст плюс и того это будет 1 плюс синус 2 x деленное на 2 и напоследок попробуем решить тригонометрическое уравнение очень часто при решении тригонометрических уравнений в котором косинус или сильно устает в
7:47 квадрате применяется формула понижения степени давайте попробуем применить формулу понижения степени для косинус в квадрате x это у нас будет 1 плюс косинус 2x деленное на 2 равняется 1 2 после того как вы понизили степень уравнении у нас получается легче отсюда находим косинус 2x не сложно видеть ну вот эту двойку умножим сюда будет 1 2 на 2 единицы потом отними вот эту идею останется 0 то есть косинус 2x равняется нулю то есть нам нужно найти такой аргумент косинус которого равняется нулю давайте изобразим нашу окружность и мячом в каких точках косинец равнялся нулю косинус равнялся нулю верхней и нижней
8:34 точке эти две точки задаются формулой pin 2 и плюс пол-оборота плюс пика где число k является целым но это у нас угол 2x то есть 2 x равняется пи на 2 плюс пика чтобы найти x мы все раздели на 2 в итоге получим кино 4 + п на 2 к где к является целым числом таким образом с помощью формулы понижения степени мы смогли решить это уравнение она этом данные виде рок окончен [музыка] мы
