Краткое содержание
В этом видеоуроке рассматриваются формулы преобразования тригонометрических выражений, позволяющие переходить от суммы к произведению и наоборот. Эти формулы необходимы для упрощения тригонометрических выражений, решения уравнений и нахождения производных тригонометрических функций. В частности, рассматриваются формулы для суммы и разности синусов, косинусов и тангенсов.
- Формулы позволяют преобразовывать суммы и разности тригонометрических функций в произведения, что полезно при решении задач.
- Вывод формулы для суммы синусов демонстрируется через введение вспомогательных углов и использование формул сложения.
- Приводятся готовые формулы для разности синусов, суммы и разности косинусов, а также суммы и разности тангенсов.
Введение в формулы преобразования тригонометрических выражений
Объясняется, что урок посвящен формулам, которые используются для преобразования тригонометрических выражений и решения уравнений. Подчеркивается важность умения преобразовывать сумму в произведение и наоборот. Эти навыки необходимы для решения тригонометрических уравнений и нахождения производных тригонометрических функций.
Сумма синусов: вывод формулы
Рассматривается проблема сложения синусов двух разных углов (α и β). Вводится понятие вспомогательных углов x и y, где α = x + y, а β = x - y. Используются формулы сложения синусов для преобразования выражения sin(x + y) + sin(x - y) в 2sin(x)cos(y). Затем выражаются x и y через α и β: x = (α + β)/2, y = (α - β)/2. В результате получается формула для суммы синусов: sin(α) + sin(β) = 2sin((α + β)/2)cos((α - β)/2).
Формулы для разности синусов, суммы и разности косинусов
Приводятся готовые формулы для разности синусов: sin(α) - sin(β) = 2sin((α - β)/2)cos((α + β)/2), суммы косинусов: cos(α) + cos(β) = 2cos((α + β)/2)cos((α - β)/2) и разности косинусов: cos(α) - cos(β) = -2sin((α + β)/2)sin((α - β)/2) или cos(α) - cos(β) = 2sin((α + β)/2)sin((β - α)/2). Отмечается, что последняя формула может быть записана в двух эквивалентных формах.
Формулы для суммы и разности тангенсов
Представлены формулы для суммы тангенсов: tg(α) + tg(β) = sin(α + β) / (cos(α)cos(β)) и разности тангенсов: tg(α) - tg(β) = sin(α - β) / (cos(α)cos(β)).
Заключение
Подчеркивается, что необходимо научиться применять эти формулы для преобразования тригонометрических выражений. Отмечается, что применение данных формул будет рассмотрено на следующем уроке.
