Краткое содержание
В этом видео рассматривается проблема деления на ноль в математике, начиная с исторических попыток определить эту операцию и заканчивая современными теориями, такими как теория колеса и математические луга. Подчеркивается, что, хотя в стандартной арифметике деление на ноль запрещено из-за возникающих парадоксов, в новых математических системах это становится возможным благодаря введению новых чисел, операций и аксиом. Также обсуждается практическое решение проблемы деления на ноль в компьютерной арифметике, где используются понятия бесконечности и NaN (Not a Number).
- Деление на ноль запрещено в стандартных системах чисел из-за парадоксов.
- В новых математических системах, таких как теория колеса и математические луга, деление на ноль становится возможным.
- В компьютерной арифметике используются понятия бесконечности и NaN для обработки деления на ноль.
Вступление
Автор рассказывает о профессоре Джеймсе Андерсоне, который предложил теорию, допускающую деление на ноль, и подвергся критике. Он вспоминает, как сам упомянул о возможности деления на ноль в одном из своих видео, что вызвало бурную реакцию. Автор обещает раскрыть тайну, почему деление на ноль запрещено, какие парадоксы это создает и почему делить на ноль иногда необходимо.
В чём проблема
Объясняется, почему деление на ноль считается проблемой в математике. С точки зрения обычного человека, деление предполагает разделение чего-то на части, но если делителей нет, то операция теряет смысл. С математической точки зрения, деление числа a на число b — это нахождение такого числа c, что c * b = a. Если b = 0 и a = 1, то получается c * 0 = 1, что невозможно. При попытке делить на числа, стремящиеся к нулю, результат стремится к бесконечности, но бесконечность не является числом. Деление нуля на ноль приводит к неопределенности, так как результатом может быть любое число. Автор демонстрирует, как разрешение деления на ноль может привести к абсурдным выводам, например, к равенству 2 = 3.
Как делили раньше
Рассматривается история отношения к делению на ноль. В VI веке индийский математик Брахмагупта ввел ноль как число и предложил правила деления на ноль, согласно которым число, деленное на ноль, равно нулю, а ноль, деленный на ноль, тоже равен нулю. Позже другие математики, такие как Махавира и Хара, пытались исправить эту ошибку, предлагая свои правила. В Европе Джон Уоллис считал, что деление на ноль дает бесконечность. Леонард Эйлер также утверждал, что число, деленное на ноль, равно бесконечности. В XIX веке математики стали строже, и Мартин Ом одним из первых заявил, что деление на ноль бессмысленно. К концу XIX века было формально определено, что деление на ноль является неопределенной операцией.
Проективное расширение числовой прямой
Объясняется концепция проективного расширения числовой прямой. Проводится аналогия с экватором Земли: если двигаться по числовой оси, то можно прийти к бесконечности или минус бесконечности. Если соединить бесконечность и минус бесконечность в одну точку, то получится окружность. Эта точка обозначается символом бесконечности без знака и считается полноценным числом. В этом случае единица, деленная на ноль, равна бесконечности. Однако в такой системе остается пять неопределенностей: ноль, деленный на ноль, бесконечность плюс бесконечность, ноль, умноженный на бесконечность, бесконечность минус бесконечность и бесконечность, деленная на бесконечность.
Теория колеса
Представлена теория колеса, разработанная Антоном Зельцером и Еспером Карлстрёмом. В этой теории вводится новое число, обозначаемое символом (нули), которое представляет собой результат деления нуля на ноль. Рассматривается, как устроена алгебра, и проводится аналогия со строительством дома, где материалы — это числа, инструменты — операции, а инструкции — аксиомы. Для работы с бесконечностью и нулями нужны более мощные инструменты. Определяются новые правила сложения и умножения, а также вводится унарное деление. Однако старые аксиомы больше не подходят, и приходится переписывать правила. В результате получается новая алгебра, называемая колесом, в которой любая операция становится определенной для всех элементов.
Математические луга
Объясняется концепция математических лугов, введенную Яном Бергстрой. В лугах принимается, что единица, деленная на ноль, равна нулю, как следствие, ноль, деленный на ноль, тоже равен нулю. Луг — это строго определенная алгебраическая структура с новыми аксиомами. В лугах числа остаются теми же, операции не меняются, но снимаются все ограничения и появляются новые аксиомы. Существуют разные виды лугов, например, обратимые луга, где единица, деленная на ноль, равна нулю, и общие луга, где ноль, деленный на ноль, равен произвольному числу или специальному символу, обозначающему ошибку вычисления.
Практичное решение
Рассматривается практическое решение проблемы деления на ноль в компьютерах. В компьютерной арифметике ключевыми являются целые числа и числа с плавающей точкой. Для целых чисел деление на ноль либо вызывает ошибку, либо игнорируется. Для чисел с плавающей точкой используется стандарт, в котором единица, деленная на ноль, равна бесконечности, минус единица, деленная на ноль, равна минус бесконечности, а ноль, деленный на ноль, равен NaN (Not a Number). В этом стандарте также есть два нуля: отрицательный и положительный.
Заключение
Автор подводит итоги, отмечая, что деление на ноль — это глубокая тема на стыке истории и современной математики. Он делает три вывода: в привычных системах чисел делить на ноль нельзя, в математических системах, таких как колёса и луга, делить на ноль можно, и, скорее всего, мы только в начале пути. История показывает, что многие привычные сейчас числа когда-то считались бессмысленными. Автор задается вопросом, почему деление ломается именно на нуле, и предлагает зрителям поделиться своими мыслями в комментариях.
