【整数問題】入試頻出解法を”4時間で”全パターン解説

簡単なまとめ

この動画では、東大医学部発のPASSLABOが、受験数学における整数問題の解法パターンを網羅的に解説します。整数問題の基礎から応用まで、35問を通して体系的に学習し、初見の問題に対する考え方やアプローチを習得することを目指します。

  • 整数問題の解法パターンを体系的に学習
  • 初見の問題に対する考え方やアプローチを習得
  • 基礎から応用まで、35問を通して網羅的に学習

オープニング

この動画は、整数問題の解法パターンを網羅的に解説する特別企画です。地方の公立高校から東大に合格する生徒を増やすため、整数問題の体系化や解法パターンを学びます。35ページのテキストを使用し、基礎編と応用編に分けて解説します。視聴者へのプレゼントとして、解答解説のPDFを提供します。

数学の勉強法

数学に必要なスキルは、日本語や条件を数式に翻訳する能力、計算スキル、そして証明問題に対するアプローチです。問題解決の際には、条件の言い換えや方針決定が重要になります。整数問題の解法パターンを通じて、これらのスキルを体系的に学びます。

第1問

ルートnの整数部分が50であるような自然数nの個数を求める問題です。50 ≦ √n < 51という不等式を立て、nの範囲を2500 ≦ n < 2601とします。この範囲に含まれる自然数の個数は、2600 - 2500 = 100個に、2500を含めるため+1をして、合計101個となります。

第2問

12のn乗の正の約数の個数が28個であるような自然数nを求める問題です。12のn乗を素因数分解し、約数の個数を求める公式を利用します。素因数分解の結果、約数の個数は(2n + 1)(n + 1) = 28となります。この方程式を解き、自然数nの値を求めます。

第3問

1859と2077の最大公約数と最小公倍数を求める問題です。ユークリッドの互除法を用いて最大公約数を求め、その結果を利用して最小公倍数を計算します。ユークリッドの互除法は、2つの数の最大公約数を求める際に、割り算を繰り返して余りを小さくしていく方法です。

第4問

144分のnが1より小さい既約分数になるような自然数nの個数を求める問題です。既約分数の定義から、nが144と互いに素である必要があります。144を素因数分解し、nが2の倍数でも3の倍数でもないことを利用して、条件を満たすnの個数を求めます。

第5問

50の階乗を素因数分解したときの2の指数aの値を求める問題です。ルジャンドルの定理を用いて、aの値を計算します。ルジャンドルの定理は、階乗を素因数分解したときの素数の指数を求める際に使用される公式です。

第6問

25m + 17n = 1623を満たす整数解m, nを求める問題です。特殊解を求め、ユークリッドの互除法を用いて一般解を導き出します。不定方程式の解法パターンとして、特殊解を求めること、そしてユークリッドの互除法を利用することが重要です。

第7問

xy - 4x + y = 24を満たす自然数x, yの組を求める問題です。因数分解を利用して式を変形し、(x + 1)(y - 4) = 24の形にします。x, yが自然数であることから、x + 1とy - 4の範囲を絞り込み、条件を満たすx, yの組を求めます。

第8問

3/x + 3/y = 1を満たす自然数x, yの組を求める問題です。両辺にxyをかけ、式を変形します。その後、因数分解を利用して(x - 3)(y - 3) = 9の形にします。x, yが自然数であることから、x - 3とy - 3の範囲を絞り込み、条件を満たすx, yの組を求めます。

第9問

√(n^2 + 20)が整数となるような自然数nを求める問題です。√(n^2 + 20) = mとおき、式を変形します。その後、因数分解を利用して(m + n)(m - n) = 20の形にします。m, nが自然数であることから、m + nとm - nの範囲を絞り込み、条件を満たすm, nの組を求めます。

第10問

m^3 - 4m^2 - 4m + 16 = pを満たす素数pと整数mを求める問題です。左辺を因数分解し、(m - 4)(m^2 - 4) = pの形にします。pが素数であることから、m - 4 = 1またはm^2 - 4 = 1となる必要があります。それぞれのケースについて、pが素数となるmの値を求めます。

第11問

x^2 + y^2 = 60xyを満たす自然数x, yの組を求める問題です。x, yの大小関係を設定し、x = 6kとおきます。その後、y^2 = 60 - 6k^2となることから、y^2 ≧ 0という条件を利用してkの範囲を絞り込みます。

第12問

y^2 + 2xy + 4x + 4 = 0を満たす整数x, yの組を求める問題です。yについて解き、判別式を利用してxの範囲を絞り込みます。その後、xの値を代入してyの値を求めます。

第13問

x^2 + xy + y^2 = 12を満たす自然数x, yの組を求める問題です。x ≦ yと仮定し、x^2 + xy + y^2 ≦ 3y^2という不等式を立てます。この不等式からyの範囲を絞り込み、xの値を求めます。

第14問

4x = n(x^2 + 1)を満たす整数n, xを求める問題です。xが実数であることから、判別式を利用してnの範囲を絞り込みます。nの値を代入してxの値を求めます。

第15問

fn = n^3 + an^2 + bn + 2がすべての自然数nに対して整数となるような整数a, bを求める問題です。n = 1, 2を代入し、a, bに関する連立方程式を立てます。この連立方程式を解き、a, bの値を求めます。

第16問

n^3 - nが6の倍数であることを示す問題です。n^3 - nを因数分解し、n(n - 1)(n + 1)の形にします。連続する3つの整数の積は6の倍数であることから、n^3 - nが6の倍数であることを示します。

第17問

nを整数とするとき、n^5 - nが30の倍数であることを示す問題です。n^5 - nを因数分解し、n(n - 1)(n + 1)(n^2 + 1)の形にします。n^5 - nが2の倍数、3の倍数、5の倍数であることを示し、n^5 - nが30の倍数であることを結論付けます。

第18問

5a + 8b = 0を満たす整数a, bについて、2a + bが5の倍数であることを示す問題です。a, bをc, dを用いて表し、2a + bが5の倍数であることを示します。

第19問

7^100を12で割った余りを求める問題です。合同式を利用して、7^2 ≡ 1 (mod 12)であることを示します。その後、7^100 = (7^2)^50 ≡ 1^50 ≡ 1 (mod 12)となることから、7^100を12で割った余りは1であることを結論付けます。

第20問

13^n - 8^nが45の倍数であることを示す問題です。合同式を利用して、13^n ≡ 8^n (mod 5)および13^n ≡ 8^n (mod 9)であることを示します。

第21問

nを自然数とするとき、n^3 + 2nが3で割ると1余ることはないことを示す問題です。nを3で割った余りによって分類し、n^3 + 2nが3で割り切れることを示します。

第22問

nを自然数とするとき、n^2 + 1が5で割り切れることはないことを示す問題です。nを5で割った余りによって分類し、n^2 + 1が5で割り切れないことを示します。

第23問

a, bを互いに素である自然数とするとき、a^2 + b^2 = c^2を満たす自然数cは奇数であることを示す問題です。背理法を用いて、cが偶数であると仮定し、矛盾を導きます。

第24問

a, bを互いに素である自然数とするとき、a^2 + b^2 = c^2を満たす自然数cについて、abのどちらか一方は3の倍数であることを示す問題です。背理法を用いて、a, bがどちらも3の倍数でないと仮定し、矛盾を導きます。

第25問

a, bを互いに素である自然数とするとき、a^2 + b^2 = c^2を満たす自然数cについて、abのどちらか一方は4の倍数であることを示す問題です。a, bが奇数であると仮定し、cが奇数であることを利用して矛盾を導きます。

第26問

任意の4つの整数の中から、その差が3の倍数となる2つの整数を選ぶことができることを示す問題です。鳩の巣原理を用いて、4つの整数を3で割った余りによって分類し、同じ余りを持つ2つの整数が存在することを示します。

第27問

f(x) = x^3 + ax^2 + bx + cがf(-1), f(0), f(1)がすべて整数であるとき、すべての整数nに対してf(n)が整数であることを示す問題です。f(-1), f(0), f(1)を用いてa, b, cを表し、f(n)が整数であることを示します。

第28問

x^2 - x - m = 0が整数解を持つような自然数mの値をすべて求める問題です。解と係数の関係を利用して、解の範囲を絞り込み、条件を満たすmの値を求めます。

第29問

x^3 + ax^2 + bx + 4 = 0が有理数解を持つとき、その解は整数であることを示す問題です。有理数解をp/qとおき、pとqが互いに素であることを利用して、q = 1であることを示します。

第30問

nを5以上の整数とするとき、2^n > n^2 + nが成り立つことを数学的帰納法を用いて示す問題です。n = 5のとき成り立つことを示し、n = kのとき成り立つと仮定して、n = k + 1のときも成り立つことを示します。

第31問

19^n + (-1)^(n-1) * 2^(4n-3)が7で割り切れることを示す問題です。合同式を利用して、19^n ≡ (-1)^(n-1) * 2^(4n-3) (mod 7)であることを示します。

第32問

a_1 = 1, a_(n+2) = 3a_(n+1) - a_nで定義される数列{a_n}について、a_nが偶数となるnをすべて求める問題です。a_nを2で割った余りによって分類し、周期性を見つけます。

第33問

半径rの円に内接する直角三角形ABCについて、a + b - 2rが整数であることを示す問題です。a, b, rの関係式を導き、a + b - 2rが整数であることを示します。

第34問

tan A, tan B, tan Cがすべて整数となるような三角形ABCをすべて求める問題です。A, B, Cの大小関係を設定し、tan Aの範囲を絞り込みます。その後、tan(A + B + C) = 0であることを利用して、tan A, tan B, tan Cの関係式を導き、条件を満たすA, B, Cを求めます。

第35問

a, b, cを正の整数とし、a^2 + b^2 = c^2を満たすとき、a = b = cとなることを示す問題です。a, cの大小関係を設定し、背理法を用いて矛盾を導きます。

エンディング

動画のまとめと、視聴者へのアンケート協力のお願い。

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