Краткое содержание
В этом видеоуроке рассматривается упрощение тригонометрических выражений с использованием формул преобразования суммы синусов в произведение. Автор объясняет, как группировать слагаемые и применять формулы для упрощения выражений, а также показывает, что разные способы группировки могут привести к одному и тому же результату. Подчеркивается важность этих преобразований для решения тригонометрических уравнений, где необходимо приводить уравнение к одной тригонометрической функции и одному аргументу.
- Преобразование суммы синусов в произведение для упрощения выражений.
- Группировка слагаемых различными способами и получение одинакового результата.
- Применение формул косинуса суммы для дальнейшего упрощения.
- Важность упрощения тригонометрических выражений для решения уравнений.
Автор приветствует зрителей и объявляет о продолжении темы преобразования тригонометрических выражений с целью их упрощения или нахождения значений. Подчеркивается, что для этого будут применяться различные тригонометрические формулы. Отмечается, что умение упрощать выражения необходимо для решения тригонометрических уравнений, где требуется привести уравнение к одной тригонометрической функции и одному аргументу.
Рассматривается выражение sin x + sin 3x + sin 5x + sin 7x, которое нужно преобразовать. Автор напоминает, что при упрощении выражений важно понимать, зачем это нужно. В данном случае, это необходимо для решения тригонометрических уравнений. Если в выражении нет двойного угла или его нельзя привести к двойному углу, то применяется формула суммы синусов: sin α + sin β = 2 sin((α + β)/2) * cos((α - β)/2).
Автор объясняет, что при наличии четырех слагаемых их нужно сгруппировать. Сначала группируются первое и второе, а также третье и четвертое слагаемые. После применения формулы суммы синусов к каждой группе получается выражение 2 sin(2x) cos(-x) + 2 sin(6x) cos(-x). Учитывая, что cos(-x) = cos(x), выражение упрощается до 2 sin(2x) cos(x) + 2 sin(6x) cos(x). Затем выносится общий множитель 2 cos(x) за скобки, и получается 2 cos(x) (sin(2x) + sin(6x)).
Для упрощения выражения в скобках (sin(2x) + sin(6x)) еще раз применяется формула суммы синусов. В результате получается 2 cos(x) * 2 sin(4x) cos(-2x). Учитывая, что cos(-2x) = cos(2x), выражение упрощается до 4 cos(x) sin(4x) cos(2x). Для более красивой записи множители переставляются по возрастанию углов: 4 cos(x) cos(2x) sin(4x).
Автор показывает, что можно сгруппировать слагаемые по-другому: первое с четвертым, а второе с третьим. В этом случае получается выражение 2 sin(4x) cos(-3x) + 2 sin(4x) cos(-x). Учитывая, что cos(-x) = cos(x), выражение упрощается до 2 sin(4x) cos(3x) + 2 sin(4x) cos(x). Затем выносится общий множитель 2 sin(4x) за скобки, и получается 2 sin(4x) (cos(3x) + cos(x)).
Для упрощения выражения в скобках (cos(3x) + cos(x)) применяется формула суммы косинусов: cos α + cos β = 2 cos((α + β)/2) * cos((α - β)/2). В результате получается 2 sin(4x) * 2 cos(2x) cos(x), что упрощается до 4 sin(4x) cos(2x) cos(x). Автор подчеркивает, что, несмотря на разную группировку слагаемых, результат получился тем же самым, что и в первом варианте.
Автор сообщает, что на следующем занятии будет рассмотрен еще один прием упрощения тригонометрических выражений, и прощается со зрителями.
Summarize any YouTube video in seconds
Get summaries like this one for any video, in your language, with the free Summ app.
Расшифровка
YouTube Transcript Generator
0:08 Здравствуйте ребята с вами я Эльми Ренатовна имы продолжаем преобразовывать тригонометрические выражения вернее для упрощения либо нахождения выражении значения выражения мы будем применять всевозможные формулы которых очень много Итак следующая задание это sin x + sin 3X п синус sin 5X и плю sin 7x нужно а преобразовать данное выражение Конечно вы при упрощении выражений при преобразовании всегда задаёте вопрос Ну зачем нам это надо Дело в том что в дальнейшем вы будете изучать решение тригонометрических уравнений и при
0:53 решени тригонометрических уравнений вам нужно а придерживаться такого правила привести уравнение к одному к одной тригонометрической функции привести уравнение к одному аргументу То есть если вы выполните вот эти вот условия то вы можете решить тригонометрическое уравнение Итак Вот для этого вы используете всевозможные формулы для того чтобы поменять вид то есть здесь у меня Да все тригонометрические функции одинаковы но углы разные и поэтому если у меня данное выражение превратится в уравнение то для того чтобы его решить нужно что-то с ним сделать Итак а преобразовывать упрощаем данное
1:40 выражение что мы с вами делаем опять же мы видим синусы везде но аргументы у нас разные то есть углы у нас разные тогда сразу же на ум приходит следующее То есть если у нас здесь нет двойного угла Либо мы не можем не видим А такое выражение которое можно привести к двойному углу тогда это однозначно формула Синус альфа плю синус бета и в результате это получается 2 Синус альфа п бета раздеть 2 и умножить на косинус альфа ми бета де 2 то есть Пользуясь данной формулой мы как-то попробуем преобразовать далее возникает такой вопрос как Ну если у нас четыре слагаемых нужно значит их нужно как-то
2:26 группировать между собой то есть есть ли вернее критично ли их группировать как-то по-особенному Давайте с вами сгруппируй первое второе и третье четвёртое а в другом примере мы с вами по-другому вернее в этом же примере Мы сгруппируй ещё и по-другому и посмотрим отличаются ли ответы или нет Итак я группируют и вторые третье и четвёртая то есть группы создаю в результате Получается группируют эти два слагаемых в результате получается 2 синус X + 3X раз 2 у cos x - 3x 2 плюс теперь я занимаюсь вот этим получается 2
3:14 сину 5X + 7x / 2 и Умно на cos 5X - 7x / 2 далее Я просто считаю что у меня получается 2 3X 4x 4x / 2 это будет 2x cos x - 3X - это будет -2x -2x / 2 буде - X но косинус отрицательного угла - это есть просто косинус этого же угла поэтому я записываю без минуса Вы очень часто спрашивает спрашиваете А куда вы дели минус А как так получилось Я же проговаривая это поэтому внимательно слушайте ещё раз x - 3 это будет -2x / 2
4:02 это будет - X но косинус косинус отрицательного угла это есть просто косинус этого же угла поэтому я записываю cos x далее 2 сину аналогичные действия 5 + 7 12 12 на 2 6x косинус опять 5X - 7x - 2x - 2x / 2 будет - X опять же он его игнорирует далее что у меня получилось вы видите первоя слагаемое то есть мы уже превратили в множители А вот это нам и нужно для э например решения тригонометрических уравнений чаще всего есть такой прямо приём что я могу здесь делать 2 и cos x одинаковый 2 и cos x
4:51 опять одинаковый я могу вынести за скобку 2C X в скобочках остаётся sin 2x + sin 6x Мне нужно упростить Даже скорее всего данные выражения это представить в виде множителя дальше что я делаю упрощаются далее вот здесь я ещё раз применяю формулу очень часто в тригонометрических выражениях дважды применяются одни и те же формулы Итак опять у прощаю по моей формуле которой я дала будет умножить на 2 и опять сину 2 + 6x это будет 2x + 6x это будет 8X / 2 у cos 2x - 6x это будет -4x Ну давайте
5:41 запишем -4x / 2 - 2x далее Что у нас в результате получается я записываю ответ 2 x 2 Это будет 4 4 cos x на sin 4x и на cos 2x у меня получился ответ то есть я Представила видем множитель Ну как бы правильнее красивее записывать по возрастанию углов поэтому я записываю 4c X на cos 2x и на sin 4x Это и будет являться ответом то есть мы сумму представили в виде множителя ещё раз чаще всего это применяется то есть сумма преобразовывается в
6:28 произведение для того чтобы решить уравнение Потому что когда у нас есть множители особенно когда стоит ноль мы можем их приравнивать отвечаю сразу на тот вопрос который я поставила в самом начале урока Если бы я так не группировать что бы у меня получилось Ну давайте допустим сгруппируй другие числа но понятно что если я к иксу прибавлю 7x по формуле у меня будет 8X 8X Разде 2 будет 4x в этом случае 3X я прибавлю 5X У меня тоже получится 8X Я разделю на 2 получится 4x то есть в результате Ну давайте B запишем я группируют чу Вот это и вот это у меня получается так подробно я расписывать не буду уже 2 sinx + 7x - это 8X 8X / 2 4x
7:18 у cos x - 7x это будет -6x - 6x / 2 это будет 3X Минус Я убрала потому что это ко дальше у меня остаётся два этих слагаемых опять 2 sin 3X + 5X это будет 8X 8X / 2 это будет 4x и Умно на cos 3X - 5X это будет -2x -2x / на 2 это будет просто X тогда опять же мы видим одинаковые множители у меня получается 2 sin 4x x cos 3X + cos x cos x А теперь
8:03 Ребят я применяю формулу для косинусов то есть косинус альфа п косинус бета чему это будет равно это будет равно 2 косинус альфа п бета / 2 Умно на косинус альфа ми бета Разде 2 то есть вот эту формулу мы сейчас с вами будем использовать для вот этой скобочки то есть в результате что у нас получается 2 sin 4x у 2 cos 3X + X это будет 4x 4x / 2 это буде 2x А теперь 3X - X - это будет 2x 2x / 2 - это будет cos x и в результате опять же 2 и 2 я перемножают будет 4 и Обратите внимание sin 4x cos 2x и cos x
8:54 то есть в результате у нас получился тот же самый ответ единственное мы шли применяя разную группировку но ответ получился один и тот же на следующем занятии мы с вами разберём ещё один приём который используется при упрощении тригонометрических выражений А на сегодня у меня всё до свидания до новых [музыка] встреч Y
