Convertir coordenadas rectangulares en polares, EJEMPLOS RESUELTOS, Todos los CUADRANTES

0:00 hola y bienvenidos a otro vídeo de mate fácil en este vídeo vamos a continuar con los ejercicios de transformar las coordenadas rectangulares a polares en el vídeo anterior vimos cómo hacerlo cuando los puntos se encuentran sobre los ejes eje x o eje y en este vídeo vamos a ver cómo hacerlo cuando se encuentran en medio entre los cuadrantes no sobre los ejes vamos a hacerlo con estos ejercicios de aquí estos ejemplos si si no ha visto el vídeo anterior les recomiendo mucho que lo vean para que puedan entender mucho mejor este vídeo en la descripción les voy a dejar el enlace a la lista de reproducción completa sobre coordenadas polares y ahí pueden ver los vídeos anteriores para que entiendan mucho mejor este tema bueno como vimos en un vídeo anterior para transformar de coordenadas rectangulares a polares obtuvimos estas dos fórmulas sin embargo hay que saber

0:45 utilizarlas no podemos simplemente llegar y sustituir y ya obtener el resultado porque pueden ocurrir aquí varias cosas y nos puede llevar a un error si simplemente hacemos la sustitución bueno en la primera fórmula cuando nosotros nos dan un punto simplemente sustituimos aquí el valor de la coordenada x el valor de la coordenada y hacemos esta operación luego pasa como raíz y lo que yo recomiendo es siempre tomar la raíz positiva no la negativa la negativa la pueden tomar y ya después pueden ajustar sus coordenadas para obtener la r negativa si por alguna razón la necesitan pero siempre tomen la positiva que es lo más usual de hecho y para el ángulo aquí si hay un poquito más hay que tener un poco más de cuidado hay que analizar qué ocurre en cada uno de los cuadrantes así que primero vamos a ver qué ocurre con

1:31 los cuadrantes y luego vamos a resolver los ejercicios entonces aquí tenemos nuestro plano cartesiano y vamos a empezar con el cuadrante 1 supongamos que tenemos un punto aquí en el cuadrante 1 lo que nosotros hacemos es unir este punto con el origen y queremos este ángulo el ángulo que se forma desde el eje x positivo que corresponde al eje polar el eje x positivo como calculamos este ángulo bueno pues resulta que para el cuadrante 1 no hay ningún problema en utilizar directamente la fórmula es decir simplemente sustituimos aquí los valores de las coordenadas como la equis y la ye son positivas al dividir nos sigue quedando un número positivo y luego calculamos la tangente inversa de es el número positivo o sea que el ángulo va a ser igual a la tangente inversa de la coordenada y entre la coordenada x directamente esto

2:17 lo hacemos con la calculadora o utilizamos trigonometría y llegaremos al resultado eso en el cuadrante 1 ahí no hay ningún problema de hecho en el cuadrante 1 y en el cuadrante 4 es donde se puede usar esta fórmula directamente el detalle está en el cuadrante 2 y en el cuadrante 3 en el cuadrante 2 bueno tenemos un punto por ejemplo por aquí unimos con el origen y queremos este ángulo el ángulo que va desde desde el eje x positivo hasta esta línea roja observen que en este caso es un ángulo mayor de 90 grados sí porque desde aquí hasta el eje 10 son 90 y de aquí aquí pues ya se pasa esto ya son más de 90 grados observen que aquí no pueden usar la fórmula directamente porque la coordenada x es negativa y la aie es positiva si ustedes sustituyen aquí directamente las coordenadas al hacer la división

3:04 obtienen un número negativo y luego tendrían que tomar la tangente inversa de esa cantidad negativa si hacen es una calculadora les va a quedar un ángulo negativo que va a estar entre 0 y 90 por ejemplo les puede quedar menos 30 grados s menos 30 grados que significaría aquí que no tendría ningún significado con respecto al ángulo theta porque el ángulo theta están viendo aquí que pues es mayor que 90 no pueden ser menos 30 de hecho estrictamente hablando si toman ese ángulo de menos 30 pues correspondería a un punto acá en el cuarto cuadrante entonces por esa razón no pueden tomar directamente la fórmula aquí lo que hay que hacer es primero calcular un ángulo auxiliar que vamos a llamar alfa este ángulo siempre hay que medirlo desde el eje x positivo y bueno desde el eje x negativo en este caso porque está acá en

3:50 este cuanto pero siempre desde el eje x o sea siempre desde la línea horizontal hasta la línea roja toman ese ángulo alfa y este ángulo alfa si se puede calcular directo con la fórmula o sea algo va a ser igual a la tangente inversa de y entre x pero hay que tomar los valores absolutos osea quedarnos con los números positivos si por ejemplo la coordenada x hubiera sido menos 2 al sustituir en la fórmula la ponemos como 2 positiva no negativa porque al tomar aquí las cantidades positivas y tomar la tangente inversa de esas cantidades positivas les va a quedar como resultado un ángulo positivo que va a corresponder a este de aquí con el ángulo alfa y una vez que ya tiene en el ángulo alfa que por ejemplo pueden ser 40 grados o 30 grados a partir de este ángulo ustedes ya pueden calcular fácilmente el ángulo theta simplemente observando que desde aquí

4:37 hasta acá son 180 entonces si a 180 le restan alfa obtienen el ángulo theta que quieren entonces theta va a ser igual a 180 grados menos el ángulo alfa que se obtiene como la tangente inversa de entre x pero tomadas positivas siempre aunque aquí sea una alguna coordenada negativa ustedes la convierten en positiva al meterla en la fórmula y algo similar ocurre con el cuadrante 3 en este caso el punto está por acá este es el cuadrante 3 de un en el punto con el origen y queremos todo este ángulo de aquí entonces primero calculamos el ángulo auxiliar alfa el ángulo alfa siempre va a ser respecto del eje x siempre de respecto del eje x alfano es este de acá es este de aquí siempre desde el eje

5:23 horizontal para que la fórmula se pueda utilizar así porque la fórmula se dedujo a partir de un triángulo rectángulo y a partir del ángulo pues tomado aquí el respecto al eje x respecto de la horizontal entonces aquí pues igual que antes primero calculamos alfa con la fórmula tangente inversa de y entre x pero colocando aquí los resultados positivos sin las coordenadas positivas siempre aquí en este caso la aie sería negativa y la equis sería negativa no puede ser por ejemplo menos dos menos tres bueno pues nosotros lo ponemos aquí como tres y dos siempre positivos y entonces se calcula la tangente inversa de eso en la calculadora y una vez que ya tenemos este ángulo pues simplemente a 180 que es desde aquí hasta aquí le sumamos alfa y ya tenemos todo el tema o sea que aquí

6:10 se va a ser suma 180 más lo que nos dio alfa y así llegamos al ángulo si en lugar de necesitar este ángulo de aquí necesitáramos este de acá abajo recuerden que este ángulo sería negativo porque están midiendo se en el sentido de las manecillas y se puede pues obtener muy fácil igual a partir del alfa nada es que en este caso sería a 180 restarle alfa y luego el resultado que les quede convertirlo a negativo y así ya les queda este ángulo de acá entonces como pueden ver esto es simple geometría es simplemente entender qué ángulo estamos midiendo y hacer los ajustes correspondientes bueno y con respecto al cuadrante 4 bueno el punto estaría por aquí unimos el origen con el punto y el ángulo que queremos puede ser todo este ángulo de aquí si lo medimos

6:57 positivo si nosotros queremos el ángulo positivo tendríamos que medirlo hacia arriba y tendría que ser todo este de aquí entonces empezamos calculando el ángulo auxiliar alfa que de nuevo va a ser tangente inversa de entre x tomando las coordenadas positivas y en este caso a 360 le quitamos alfa y ya nos quedaríamos con este pero observen que en este caso también se puede hacer otra cosa si ya tenemos alfa y ya sabemos que este de aquí es alfa pues podemos tomar lo negativo y ya ese sería el ángulo theta que queremos simplemente recordando que un ángulo negativo pues está medido hacia abajo entonces tomen en cuenta que el ángulo alfa que es el auxiliar siempre será un ángulo positivo pero es auxiliares para darnos una idea de si tenemos que sumarle 180 restarle a 180 ese ángulo etcétera

7:43 ahí el alfa siempre lo vamos a tomar positivo el ángulo que nosotros necesitamos es el ángulo theta y aquí sí importa si el ángulo theta es positivo o negativo bueno para que todo esto vaya quedando más claro vamos a resolver los ejercicios que vimos que les puse al principio si aquí tienen un resumen con las cuatro fórmulas por si las quieren anotar aunque yo no les recomiendo que se las memoricen más bien yo les recomiendo que tomen en cuenta que siempre hay que calcular tangente inversa de y entre equis y siempre positivo o sea siempre cuando vayan a hacer esta operación ustedes no se fijan en el signo de las coordenadas x y ustedes tomen las positivas siempre luego calculan la tangente inversa de eso y luego ya ajustan dependiendo de qué cuadrante se encuentran nos vamos a resolver algunos ejercicios vamos a empezar con el 4,4

8:28 primero hay que graficar 44 está por aquí en el primer cuadrante así que al unirlo con el origen nosotros queremos la r que es la distancia que hay desde el origen hasta este punto y el ángulo theta que se mide desde el eje x positivo aquí no hay ningún problema solamente que usa las fórmulas en el cuadrante 1 es fácil entonces es re cuadrada es igual a equis cuadrada más y cuadrada pero x vale 48 y vale 4 entonces 4 cuadrada más 4 cuadrada 1616 que nos da 32 y luego el cuadrado pasa como raíz cuadrada si normalmente hay dos raíces una positiva y una negativa pero siempre vamos a tomar la positiva y ahorita voy a mostrarles cómo podemos hacerles si queremos la negativa entonces raíz cuadrada de 32 es lo mismo que 16 por 2

9:14 para simplificar esto un poquito 32 es lo mismo que 16 por 2 la raíz de 16 es exacta vale 4 entonces nos queda 4 por la raíz cuadrada de 2 ya tenemos el valor de r y para el ángulo directamente sustituimos aquí nos queda que tangente del ángulo es igual allí entre equis o sea 4 entre 4 que es 1 y ahora quitamos la tangente pasando al otro lado como tangente inversa entonces el ángulo va a ser igual a la tangente inversa de 1 aquí tienen dos opciones una es utilizar la calculadora otra es recordar trigonometría que ángulo nos da bueno tangente de ese ángulo igual a 1 qué ángulo cumple eso bueno pues el ángulo de 45 grados eso es algo que se aprende trigonometría pero bueno si no recuerdan ustedes esos resultados o tienen conflictos con la

10:02 trigonometría pues simplemente usen una calculadora y ya está tangente inversa de 1 les va a quedar 45 grados o en radiales les va a quedar pi sobre 4 ya tenemos entonces un ángulo y el valor de r así que unas posibles coordenadas polares serán la coordenada r 4 raíz de 2 y la coordenada angular 45 grados o pi sobre 4 si lo quieren poner en grados o en radiales ahí tienen unas posibles coordenadas pero como vimos en el vídeo anterior hay infinitas posibles coordenadas para un mismo punto otros al ángulo siempre le podemos sumar o restar 360 o múltiplos de 360 y obtenemos otras coordenadas que son válidas por ejemplo si yo aquí le sumó 360 al ángulo bueno pues 360 45 nos da 405 grados

10:47 estas son otras coordenadas para el mismo punto y si en lugar de haberle sumado 360 le hubiera restado 360 me quedaría un ángulo negativo y serían otras coordenadas para el mismo punto ahora si yo quisiera que la r en lugar de ser positiva fuera negativa bueno en lugar de sumar de 360 hay que sumarle 180 o restarle 180 por ejemplo si le sumó 180 pues 180 más 45 unos 225 entonces el ángulo ahora serían 225 pero la r cambia de signo y ahora es menos 4 raíz cuadrada de 2 si esta parte de la ser es negativas no entienden lo que significa bueno los vuelvo a invitar a que miren los vídeos anteriores porque ya vimos algunos ejemplos donde explicaba qué significa que la

11:33 coordenada r sea negativa bueno entonces ya tenemos aquí el primer ejercicio para el primer cuadrante vamos a otro ejercicio 2 - 2 2 en x menos dos en y así que nos quedamos en el cuarto cuadrante y unimos con el origen la distancia desde el origen al punto s r y el ángulo que nosotros queremos será el que esté aquí con respecto del eje x que ahorita lo vamos a dibujar pero bueno vamos a calcular primero r con esta fórmula r cuadrada es igual a equis cuadrada más y cuadrada x vale 2 llévale menos 2 entonces es 2 al cuadrado más menos 2 al cuadrado al elevar al cuadrado recuerden que los números siempre son positivos los resultados siempre son positivos entonces al cuadrado es 4 positivo menos 2 al cuadrado también es 4 positivo y 4 4 nos da 8 el cuadrado pasa como raíz nos quedamos con la raíz positiva y

12:19 también se puede simplificar esta raíz porque el 8 se puede poner como 4 por 2 y la raíz de 4 es exacta vale 2 y este 2 no tiene raíz exacta así que hay que seguirlo poniendo adentro de su raíz así que r es igual a 2 raíz de 2 también podríamos ponerlo como raíz de 8 no habría ningún problema pero generalmente hay que tratar de simplificar las cuando eso es posible bueno ya tenemos r ahora queremos el ángulo bueno pues vamos a calcular este ángulo pero vamos a llamarle por el momento alfa porque vamos a calcularlo como positivo es decir ahora no vamos a sustituir aquí en la fórmula de la tangente las coordenadas con su signo siempre hay que poner las positivas para no confundirnos siempre positivas siempre positivas entonces y x son 2 valen 2 positivos si nos

13:07 ponemos positivos 2 y 2 2 entre 2 a 1 y calculamos la tangente inversa de 1 que ya habíamos visto que son 45 grados o pi sobre 4 esto de aquí es el valor de alfa el ángulo que yo dibujé aquí vale 45 grados pero al momento de colocar nosotros nuestras coordenadas polares nosotros queremos indicar si el ángulo se está midiendo en el sentido de las manecillas o en el sentido contrario a partir del eje x positivo que es el eje polar entonces ahí sí es importante indicar que el ángulo es de menos 45 grados porque se está midiendo desde el eje x hacia abajo entonces como lo estamos viviendo hacia abajo el ángulo será negativo si quisiéramos que el ángulo fuera positivo tendríamos que medirlo hacia arriba y entonces sería medir todo este ángulo así hasta aquí y

13:54 eso lo podemos calcular muy fácil si simplemente a 360 le restamos 45 grados o directamente desde aquí a este ángulo de aquí le sumamos 360 entonces son menos 45 más 360 nos da 315 ese sería el ángulo medido hacia arriba todo este y si quisiéramos que el aire fuera negativa bueno pues en lugar de sumarle aquí 180 digo en lugar de sumar de tres entonces tendríamos que sumarle 180 o restarle 180 pues en este caso si yo le sumó 180 nos queda 135 y ya la r cambia de signo y queda negativa si aquí yo le volviera a sumar 180 tendría que volver a cambiar el signo del aire y ahora se volvería a convertir en positiva y obtendría de hecho este punto de aquí

14:40 bueno ahí está entonces ahora pasamos a otro ejemplo menos uno como raíz de tres bueno es menos uno en x raíz de tres en y queda por aquí el punto porque raíz de 31.7 iago entonces y tenemos el punto lo unimos con el origen la distancia al origen es r y el ángulo que nosotros queremos es todo este de aquí desde el eje polar o sea el eje x positivo hasta la línea roja todo este ángulo entonces que hacemos bueno vamos a calcular primero la r r cuadrada es igual a menos 1 al cuadrado más raíz de 3 al cuadrado observen que aquí también como las cantidades se le van siempre al cuadrado y los resultados siempre nos van a dar positivos también podríamos colocar la equis y la aie el signo negativo porque al final elevado al cuadrado nos va a seguir quedando algo positivo o sea en lugar de

15:26 poner aquí menos 1 al cuadrado podría yo ponerlo como 1 al cuadrado y es lo mismo pero bueno menos 1 al cuadrado nos da uno positivo raíz cuadrada de 3 al cuadrado el cuadrado con la raíz se cancelan y queda 3 1 + 3 nos da 4 y entonces el cuadrado pasa como raíz cuadrada queda la raíz cuadrada de 4 que es exacta que vale 2 ya tenemos r ahora como calculamos el ángulo bueno otra vez primero calculamos nuestro ángulo desde el eje x desde el eje x este ángulo de salfa el ángulo alfa se calcula sustituyendo en esta fórmula pero las coordenadas positivas entonces raíz de 3 y 1 directamente que al dividir pues raíz de 3 entre 1 es simplemente raíz de 3 entonces alfa va a ser igual a la tangente inversa de la

16:12 raíz cuadrada de 3 usando una calculadora o recordando trigonometría esto nos da 60 grados de forma exacta o en radiales espí sobre 3 el ángulo ya tenemos entonces el ángulo alfa pero ese ángulo no es el ángulo de las coordenadas polares el ángulo de las coordenadas polares este es el ángulo theta medio desde el eje x positivo siempre si ya sabemos que este ángulo de aquí mide 60 bueno pues cuánto tiene que medir este de acá es un sencillo ejercicio de trigo de de geometría de hecho un ejercicio de geometría porque desde aquí hasta acá son 180 todo este ángulo de aquí es un ángulo ya no 180 si a 180 yo le quito 60 nos quedamos con este pedazo de aquí que van a ser 120 entonces unas posibles coordenadas polares serán 2 120 grados

16:59 que es este ángulo de aquí o en radiales 2 pies sobre 3 pero si en lugar de este ángulo de aquí nosotros quisiéramos el ángulo negativo el que va hacia acá abajo bueno pues sería a esto de aquí restarle 360 120 menos 360 nos da menos 240 o también podríamos hacerlo de aquí desde el dibujo desde aquí hasta aquí son 180 y luego le sumamos estos 60 entonces nos da 240 pero es un ángulo negativo así que van a ser menos 240 o en radiales este de aquí y si quisiera que la coordenada r fuera negativa bueno pues a este ángulo de aquí le puedo sumar o restar 180 por ejemplo si le sumó 180 pues ya cambia este 2 a menos 2 y 120 más 180 nos da 300 grados que en

17:44 radiales son 5 pi sobre 3 bueno vamos a ver el caso que nos falta este de aquí que es un ángulo en el tercer cuadrante menos 2 raíz de tres menos dos bueno menos dos raíz de tres es como menos 3.4 y algo entonces queda por aquí y en menos dos hacia aquí abajo lo unimos con el origen esta distancia es r y el ángulo que nosotros queremos es todo este de aquí vamos a calcular primero r sustituyendo aquí en la fórmula que da ere cuadrada igual a equis cuadrada o sea el 2 raíz de 3 al cuadrado y que cuadrada que es menos 2 al cuadrado bueno aquí me falta poner el signo menos pero recuerden que al elevar al cuadrado el resultado siempre es positivo entonces sí nos falta aquí el signo va a dar lo mismo al final porque se eleva al cuadrado bueno aquí al elevar al cuadrado cuando

18:30 va a quedar 2 al cuadrado 4 raíz de 3 al cuadrado se cancela al cuadrado con la raíz entonces queda 4 por 3 y luego aquí va a quedar menos 2 al cuadrado que es 4 aquí se multiplica el 4 por el 3 porque el 2 estaba multiplicando a raíz de 3 entonces al llevar al cuadrado queda 4 por 3 bueno y 4 por 3 es 12 12 41 16 el cuadrado pasa como raíz y nos queda que r es igual a la raíz de 16 que es 4 y ahora hay que calcular el ángulo de aquí para eso primero calculamos nuestro ángulo alfa que es siempre desde el eje x entonces ese este ángulo de aquí ángulo alfa entonces alfa se calcula con esta fórmula pero colocando aquí las coordenadas positivas entonces ponemos en la coordenada ye que es 2 y abajo la coordenada x que es 2

19:15 raíz de 3 las ponemos positivas y aquí se puede simplificar un poco porque se puede dividir 2 entre 2 que nos da 1 así que esto es lo mismo que uno entre la raíz de 3 y ahora la tangente pasa como tangente inversa entonces alfa va a ser igual a la tangente inversa de 1 entre la raíz cuadrada de 3 y usando calculadora o recordando trigonometría esto nos da un ángulo exacto de 30 grados que en radiales espí sobre 6 esto es el valor de alfa este de aquí pero nosotros queremos todo este ángulo bueno pues observen que todo este ángulo son a 180 sumarle lo que obtuvimos de alfa osea 180 más 30 que nos da 210 así que entonces unas posibles coordenadas son 4,210 que en radiales son 7 pi sobre 6

20:02 y si en lugar de querer el ángulo positivo quisiéramos el negativo el de acá tenemos dos formas de hacerlo una vez a 210 restarle 360 y nos da menos 150 otra forma es directamente desde él desde el dibujo porque desde aquí hasta acá son 180 y si le quito estos 30 que son alfa me va a quedar 150 que es este de aquí pero como es un ángulo negativo porque lo soy midiendo hacia abajo entonces hacer menos 150 que en radiales es menos 5 piso 36 y si quisiera que el aire fuera negativa bueno pues cambiamos el 4 a menos 4 y aquí le tengo que sumar o restar 180 si por ejemplo el resto 180 210 menos 180 nos da 30 y ahí lo tenemos y veamos el último ejemplo que es interesante porque

20:47 en este caso no nos va a dar un ángulo exacto vamos a ver qué podemos hacer en este caso en el plano primero dibujamos es menos 13 lo tenemos aquí en el segundo cuadrante ya sabemos que queremos este ángulo y primero calculamos r con la fórmula es menos 1 al cuadrado más 3 al cuadrado que es uno más 9 que nos da 10 el cuadrado pasa como raíz y en este caso esta raíz ni es exacta ni se puede simplificar así que se deja así raíz cuadrada de 10 ahora para calcular el ángulo primero calculamos nuestro ángulo auxiliar alfa que es desde el eje horizontal desde el eje x este ángulo de aquí es el que vamos a calcular primero para eso sustituimos en esta fórmula las coordenadas pero positivas o sea tangente de alfa va a ser igual a que que es 3 / x pero x es menos 1 pero lo

21:35 ponemos como uno positivo siempre en la fórmula las coordenadas positivas 3 entre 1 estrés y el ángulo alfa va a ser la tangente inversa de 3 ahora este valor no es exacto si lo hacemos en la calculadora nos van a quedar decimales si la tenemos configurada en grados nos va a quedar 71 punto 57 grados o si la tenemos en radiales nos va 1.25 radiales entonces ya sea que lo pongamos en grado son radiales podríamos quedarnos con los resultados en decimal o si queremos escribir el resultado exacto tenemos que dejarlo indicado así como tangente inversa de 3 sí pero bueno este todavía no es el ángulo de las coordenadas polares el que nosotros queremos es theta no alfa pero es muy fácil darnos

22:22 cuenta cuánto vale theta porque simplemente a 180 que es todo este ángulo le vamos a quitar alfa entonces las posibles condenas polares podrían ser estas de aquí r vale raíz cuadrada de 10 si queremos ser exactos tenemos que dejar la coordenada angular así a 180 le restamos alfa osea a 180 le restamos la tangente inversa de 3 y así quedaría escrito en forma exacta con grados o en radiales tendríamos que ponerlo como pi menos tangente inversa de 3 pero si queremos usar decimales bueno pues a 180 grados le restamos esto que obtuvimos o lo hacemos en la calculadora así y nos va a quedar 108 punto 43 grados hoy en radiales nos va a quedar 1.89 entonces así podemos dejar

23:09 los resultados y de esta manera hemos terminado entonces con estos ejercicios muchísimas gracias a todas las personas que me apoyan con su membresía en youtube y en peyton de verdad infinitas gracias por todo su apoyo