0:12 Bonsoir à tous et bienvenue aujourd'hui à notre nouveau cours de mathématiques, quoi. Voilà, donc aujourd'hui euh nous allons commencer un peu les choses sérieuses. On dit on appelle ici choses sérieuses, les choses qui viennent au concours quoi. Voilà. Donc aujourd'hui, nous allons commencer avec des choses sérieuses. Déjà le chapitre de d'espace vectoriel, bon, on pourrait faire espace vectoriel à pas et faire le chapitre d'application linéaire à pas mais compte tenu du temps qui nous tient carrément à la gauche, on ne peut pas se permettre de perdre du
1:00 temps quoi. Donc on a essayé de respecter le timing du concours parce que le concours I passe dans un mois et faudrait que les z soient prêts. Voilà. Donc aujourd'hui, nous allons bon on a donc essayé de de de faire un résumé. Donc le cours en lui-même, le cours complet disponible dans la plateforme avec les preuves et tout ce qui va avec là. Donc là, ce qu'on va faire comme d'habitude, c'est essayer de faire le résumé ou du moins prendre les notions qui viennent au concours par c'est ça qui nous intéresse. Donc c'est exactement ce qu'on a fait et c'est ce que nous allons faire dans quelques minutes. Voilà. Donc sans plus tarder, nous allons commencer notre
1:46 cours. Donc déjà la partie algèbre est facile. Il faut aussi dire les vérités. La partie à Gèbre est facile parce que dès qu'on connaît le cours, on peut on applique ça sort vraiment à coup sû on connaît son cours, on applique ça sort. Voilà. Donc c'est pour dire que il faut lire son cours et retenir si on a essayé de contracter vraiment de prendre essentiellement ce qui est important pour concours. Comme nous le disons généralement, le plus important ici c'est ce n'est pas d'être bon en math ici c'est en faculté qu'on qu'on voit tout. C'est-à-dire qu'on voit même ce qui on se cultive en fait. Non, ici c'est que on prend exclusivement ce qui vient au concours et on on travaille avec. Voilà. Donc on va commencer avec
2:33 le grand 1 ou le chapitre la première partie qui sera simplement espace vectorel. Donc comment avez le la structure d'espace vectorel ? Donc dans tous ces chapitres cas le grand cas la désigne soit le corps re soit c. Voilà. Donc définition de l'espace vectoriel, on appelle espace vectoriel sur K ou K espace vectoriel un ensemble muni de deux lois. Une loi interne. Bon interne ici veut dire simplement que quand vous prenez deux éléments, on va quand même dire ce qu'interne veut dire. Interne veut dire que bon ils ont dit non. Voilà. Donc si vous prenez euh bon on dit plus ici par exemple et que ça nous renvoie
3:21 donc quand vous prenez deux éléments ici X et Y donc ça nous renvoie encore un élément qui est ici en fait. Donc la moralité c'est quoi ? et que la une loi est dite d'interne ici lorsqu'on prend deux éléments de l'ensemble là quand on effectue une opération sur ces ensembles là on reste toujours dans le même ensemble voilà donc c'est ce que interne veut dire ce n'est pas comme externe on prend un élément dans un corps, on prend un élément dans eux et puis donc voilà et aussi externe ne veut pas dire que qu'on sort de de e non externe veut simplement dire que à la place de prendre deux éléments dans et on va prendre un scalaire, c'est-à-dire un
4:07 élément dans un corps A et euh un un dans un corps R et puis on prend l'autre dans E. Bon, l'élément nul est noté au E. Donc ça sont les notations et aussi euh vous voyez ici, on a dit que E+ est un groupe commutatif. En principe un groupe ici, on va utiliser les notions certainement ceux qui ont fait la C après l'époque de 2018 là pense qu'on voit en seconde C. Sinon, ça c'est un chapitre d'èbre général donc nous n'allons pas débattre de C. Voilà loi externe donc en fait ici déjà la loi interne ici telle qu'ils ont noté c'est plus donc il faudrait déjà qu'on soit en face. La loi externe ici c'est
4:53 point. Voilà, c'est une application comme on était en train de dire. Voici ce que externe veut dire en fait. Externe veut dire queon prend un élément dans un corps K x E. Ça tombe dans E. Voilà. Vérifiant les quatre propriétés qu'on a donné ici. Voici en fait la définition. Nous quand on était en faculté en filière mathématique 2e prère année oui prère année on voit espace à 2e année en 2e année nous on avait retenu que pour définir un espace vectoriel on a besoin de h propriétés parce que les autres quatre propriétés qui restent là-bas sont dans le groupe commitatif si minutes de plus là voilà maintenant ce qui est donc euh costaud ici ou alors ce qui est ennuyé ici c'est que l'ord d'un exercice au
5:39 concours, on vous demande de montrer que un ensemble est un espace vectoriel. Génalement ce qu'on va voir dans la suite, c'est qu'il suffit de montrer, c'est il suffit de trouver un sous-espace vectoriel et montrer que ce dernier est en fait un sous-espace vectoriel du grand ensemble. Parce que aller montrer les huit propésités si déjà c'est long, c'est maintenz aussi ça. Si on n'est pas un mathématicien dans l'âme, on peut facilement oublier. Voilà donc du coup là on passe vocabulaire important. Voilà, les éléments de E sont appelés les vecteurs et les éléments de K sont appelés d'escalair vraiment il faudrait qu'on soit en phase làcieux comme nous avons fait des rouement en probabilité ici en
6:24 mathématiqu le vocabulaire qui est important se familiariser au concept les exemples d'espace vectoriel bon les exemples que j'ai donné ici sont les exemples euh qu'il faut connaître Voilà. Donc euh les espaces de dimension fin, les ensembles suivants sont des cas espaces vectoriels car puissance n là sont les nupla escalaires. Donc vous pouvez prendre ça. Il y a l'ensemble des suites qu'on not également car grand X et C c'est l'ensemble des polynomes. Norm ça sont les polynomes à coefficient indéterminés. Voilà, parce qu'il y a parfois on on prend ces écritures et l'autre c'est également
7:10 donc c'est deux écritures différentes. Donc ça sont les polynômes, les éléments qui sont ici dans cet ensemble ici en fait ce sont les éléments ce sont les polynomes de degrés inférieurs ou égal à n. Par contre ici vraiment ce sont les polynomes à degré indéterminés. Voilà et MNK ce sont des matrices. Pourquoi est-ce que j'ai pris les trois exemplesci ? Parce que tout à l'heure là, quand on va si on veut montrer par exemple que l'ensemble des matrices euh symétriques ou l'ensemble des matrices antisymétrique est un espace vectoriel, vu qu'on connaît déjà que MNP, l'ensemble des matrices à N ligne et P colonne est déjà un espace vectoriel et que l'ensemble des des matrices antisymétriques est un sous-ensemble de MNK. Alors, il suffira
7:58 simplement de montrer que l'ensemble des matrices est plutôt un sous-espace vectoriel de MNK car MNK est déjà espace vectoriel. C'est pour ça que les grands exemples sont euh moins les exemples classiques à retenir en fait. Voilà. Maintenant, les exemples en dimension infinie. Donc là, ce qu'on a donné là-bas, c'était les exemples en dimension finie. Voilà. Donc là, on a f a et k l'ensemble des fonctions de a vers K. Ça sont les sont juste notation ensemble des suites de valeur réelle est un R espace vectoriel. Voilà l'ensemble des suites à valeur complexe. Voilà si on revient par exemple sur l'exemple 2ci on dit que l'ensemble des suites à valeur réelle est un R espace vectoriel. généralement
8:45 en terminal en terminal bon je suppose quand même que chacun a fait mat ici. Bon tous ceux qui ont pris l'option math au choix app concours et ça sousentend qu'ils ont déjà eu affaire mathématique que ça soit la filière physique la filière mathématique vous avez quand même déjà fait cette partie. Du coup euh vous avez on a tous vu la notion de suite de récurrent linéaire d'ordre n supérieur ou égal à 2. Voilà, on montre même là-bas plus tard que les éléments les solutions qu'on obtient là-bas forment en fait une base une base parce que l'ensemble des sues en fait forme espace vectoriel. Donc ce sont les les ensembles qu'il faut connaître. Et le dernier exemple c'est l'ensemble des suites à valeur complexe
9:32 également. et un si espace vectoriel. Voilà. Bon, on entre encore une autre définition là. Notion de combinaison linéaire dans cette partie désigne un espace vectoriel sur K définition une combinaison linéaire de la famille finie. Voilà. Bon et aussi à préciser ici on va quand même travailler en dimension finie parce que ça ça reste le concours qui a généralement les preuves en dimension infinie sont gement faites par récurrence et pour dire que si déjà on connaît ce qui se passe en dimension finie on peut c'est même ça la définition de la récurrence donc si c'est qu'on ne voit pas ce qui se passe en dimension finie ça sert à rien de de de de s'aventurer de l'autre côté voilà
10:19 c'est une combinaison linéaire de la famille finie Xn est défini comme on connaît là. Voilà. Donc en fait ça c'est il faut même retenir déjà le fax ceci. Donc tout élément lorsqu'on a E qui est un un espace vectoriel, tout élément de E là-bas peut se décomposer comme ça. Voilà déjà la notation qu'il faut retenir. Donc tout élément de d'un ensemble E peut se décomposer comme celui voilà. La notion de famille libre et famille liée. Une famille finit x1 jusqu'à xn est délibré si pour tout choix de alpha 1 alpha n jusqu'à k si si on a la somme de alpha I x et é= 0 pour tout e alors les
11:04 alpha i donne 0 vraiment c'est comme on a vu hein vraiment c'est la même définition elle n'a pas changé maintenant une famille qui n'est pas libre forcément elle est liée non voilà de famille génératrice. Bon, est-ce qu'on a même donné l'exemple des familles libres ? Si j'ai pas donné, bon ici ce que je vais plutôt donner ici qui semble généralement absurde et très intéressant c'est que le vide de est une famille livre. Donc comme exemple important ici, bon n'est peut-être pas mentionné ça. Exemple ici le vide est une famille libre. C'est par convention le vide est une famille libre.
11:49 Donc on met entre parenthèses là que ça c'est par convention. Voilà. Donc sont les choses comme ça généralement qui peuvent déranger les étudiants. Voilà. Donc le vide est une famille livre. On passe maintenant aux exemples de famille génératrice. Voilà. Maintenant les familles euh tout tout tout sous tout sous espaces vectoriels contenant le vecteur nul est lié hein. Donc dès que vous voyez déjà le vecteur nul dans un ensemble, c'est que la famille là est liée. Voilà. Donc c'est aussi un autre exemple qu'on pouvait aussi donner. Exemple de famille génératrice soit P1 et Pn une famille de KX tel que degré de P1 est inférieur à degré de P2 inférieur à degré. Alors P 1
12:38 jusqu'à P est une famille livre. Bon, c'est la famille des polynomes. Bon, une autre famille génératrice, une famille X et Y est génératrice de E si pour tout vecteur de est combinaison linéaire. Voilà voilà voilà. En fait la famille, la notion de famille génératrice généralement lors dès qu'une famille n'est pas libre, je pense quand même qu'on va pas nous demander ça au concours lorsqu'une famille n'est pas libre pour déjà dans le processus qui permet de montrer que la famille est libre. Vous voyez finalement on résout un système quand on écrit la somme des alpha x et y é= à 0, on résout un système. Maintenant résolvant ce système là, on peut arriver que vraiment ça n'admet pas chaque chaque chaque un vecteur peut s'écrire
13:23 au moins comme combinaison linéaire de l'autre d qu'on a un cas là vraiment et que la proprieté là veut dire. Voilà, ça c'est ce qui nous intéresse pour le concours. Donc je vais noter ici à côté. Ça c'est pour au concours. Voilà. Donc pour montrer dans au concours qu'un espace est un un ensemble quelconque est un espace vectoriel, suffit de trouver quelqu'un un ensemble inclus dans cet ensemble-là montrer plutôt que c'est un sous-espace vectoriel. On a gagné. Donc dans cette partie désigne un espace vectoriel sur K. définition. Une partie f est un sous-espace vectoriel de E si
14:10 fait un non vide fabbl par l'addition. Dans ce cas, F lui-même un espace vectoriel. Ça c'est la définition. Maintenant ce que nous on va utiliser plutôt c'est la caractérisation. C'est ça c'est pratique. Voilà. Donc en pratique, voici ce qu'il faut utiliser. Montre simplement que OE est dans donc f vide. pour montrer que F non vide en fait pour montrer que F contient voilà ça c'est une question plutôt pertinente que je vais poser aux euh pourquoi est-ce que on précise ici que OE si doit être dans F parce que
14:57 j'ai envie de dire que ceci par exemple l'ensemble s'il n'est pas un sous-espace vectoriel. Voilà. Donc euh c'est pour dire que là par exemple vous voyez que la condition la condition si regardez, on dit bien que pour tout x y que vous prenez dans fx + y doit être dedans et pour tout z que vous prenez là-bas et pour tout le cas lambda x lambda x z appartient à f. Ceci par exemple n'est pas un sous-espace vectoriel parce que déjà ce qui va contre ça c'est l'exemple de euh le petit 2. Vous prenez deux éléments X et Y là, la somme ne va plus être dans E dans f là plutôt. Maintenant pratique,
15:44 qu'est-ce qui se passe ? Dès que vous montrez, dès que vous euh dès qu'on vérifie que 0 de E déjà n'appartiennent pas. Parce que ici par exemple, on peut prendre le vecteur si est on peut prendre 1 2. Bon, nous sommes même nous sommes dans R. Voilà, on peut prendre ce vecteur 1 - 2 ça appartient non ? appartient bel et bien mais quand on va arriver à à petit 2 si vous montrer que x + y n'appartient par f ça va coincer vu que on aura x + y + 2 qui est différent de qui n'est pas un élément de f simplement pour dire que
16:30 la condition de 0 de e est la première condition qu'il faut vérifier avant de commencer à montrer que x + y ne prenez pas un autre vecteur qui est différent de 0 0 de E. Prenez pas un autre vecteur. Donc notez bien ces trois conditions là peuvent être résumé. Donc à la place de montrer les trois choses et là vous pouvez seulement montrer que F non vi en montrant que euh 0 de E est dans F et montrer que c'est stable par combinaison linéaire. C'est bon. Moi quand même ce que je peux vous conseiller c'est d'avoir les deux hein. C'est d'avoir les deux. Mais en pratique le cas de la combinaison linéaire se coincé généralement dans certains exercices. Donc et je me dis quand même que c'est
17:16 en travaillant aussi beaucoup qu'on constate cela, mais ça coincé généralement du coup c'est 1 2 3 là qui marche rapidement. Voilà exemple de sous-espace vectoriel. Bon peut-être voilà les ça sont les exemples classiques. 0 E est un sous-espace vectoriel de E à retenir dans R² tout droite vectorielle passant par l'origine. Regardez bien ce que j'ai mis entre parenthèses. Ça passe par l'origine là. Si c'est que 0 n'appartient pas à f là ce n'est pas un sous-espace vectoriel. Donc dans R car toute droite vectorielle passant par l'origine est un sousespace vectorielle. Tout à l'heure là, on a pris par exemple un exemple ici. Euh on va encore prendre un autre exemple ici.
18:02 L'ensemble si par exemple si nous sommes dans R³ par exemple un élément de R cube tel que on peut prendre quoi ? X + Y + Z + 2 é= 0. Ceci n'est pas un plan. Euh euh euh ceci n'est pas n'est pas un un un plan vectoriel. Faire très attention. Faut faire très attention. Ça ce n'est même déjà pas un sous-espace vectoriel. Maintenant, comment est-ce qu'on appelle les ensemblesci ? Ça ça peut être laissé en exercice. Mo
18:48 le devoir que je vais vous laisser de chercher ici la différence entre donc ça c'est devoir et là vous allez un peu comprendre la différence entre on prend quoi à droite prénom même plan la différence entre plan vectoriel et un plan affine Donc allez chercher ceci dès que vous aurez trouvé la différence entre les deux expressions, c'est plan vectoriel et plan affine. Alors euh chacun euh euh euh euh euh comprendra pourquoi est-ce que F là
19:34 n'est pas un esp un espace vectoriel. Bon, exemple 3. Dans RQ qui veut tout droite ou tout plan vectoriel passant par l'origine est un sous-espace vectoriel. Voilà, on met bien je mets tout à chaque fois passant par l'origine là parce que vous devez d'abord vérifier que zé de Eci par exemple F que j'ai donné ici c'est un plan affin donc je vous dis et ça c'est un plan affine maintenant comme je vous ai dit allez dans vous faites des recherches diff entre un plan vectoriel et un plan affin exemple de sous-espace vectoriel également pour tout n comprend dans pour tout n supérieur ou égal à 0 l'ensemble kn dex des polynômes à degré inféur ou égal sous espace vectoriel des cas de x. Comme je disais au départ là,
20:20 grand k là c'est l'ensemble des polynomes à coefficient indéterminé. Voilà. Donc g quand on veut prendre euh un sous-espace vectoriel de dimension infinie, il y a il y a par exemple les polynomes à à coefficient déterminant. L'ensemble des matrices symétriques d'ordre n et l'ensemble des matrices antisymétriques également c'est un sous-espace vectoriel des MNK. Mais pour les exemplesci vraiment je pense qu'il vais donner ça dans un exercice. Je vais m'arranger à faire un exercice qui comporte tous ces exemples et on va démontrer ça. Voilà. Proposition système linéaire. L'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène P à un inconnu est un espace vector. Très important. Ceci est utile dans l'analyse notamment la résolution des équations
21:08 différentielles. Voilà. Génalement, si vous vous rappelez un peu en terminal là, quand on résout une équation différentielle là d'ordre 2 à les racines distines, vous écrivez généralement que l'ensemble solutions là, ce sont des fonctions qui à x associé. C'est souvent quoi là ? A exponentiel R1X + B exponentiel R2 de X. H c'est que ce que le veut dire en fait bon là peut-être je suis un peu allé trop vite. Les deux si en fait forme une base. Bon allez me dire maintenant que la base c'est quoi ? Donc il pouvait d'abord laisser mais c'était simplement pour
21:53 vous dire que la les notions d'analyse qu'on utilise là-bas notamment la résolution des systèmes différentiel tout ça tout ça tout ça là ça vient de ce sont des sous-espaces vectoriels. En fait l'intersection de deux sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel vraiment c'est tranquille. Est-ce que j'ai parlé de la réunion ici ? Non. Voilà la réunion aussi on va revenir un peu ici. La réunion donc ici on a dit que l'intercession F union G n'est pas en général un sous-espace vectoriel.
22:38 Voilà. Mais cependant, il est le le pour qu'il soit un sous-espace vectoriel, il faut et il suffit que l'un soit inclus dans l'autre, hein. Voilà. Donc pour le cas, c'est pour l'union, l'union n'est pas en général un sous-espace vectoriel et l'intersection est un espace vectoriel. Voilà, on continue. Sousespace vectoriel engendré, c'est la notion du vert. Soit x une partie de E, il existe un sous-espace vectoriel de E contenant X qui est au qui est le plus petit possible pour l'inclusion. Bon, moi la définition c'est je préfère souvent l'intercession hein. Bon, c'est vrai quand même que
23:24 l'intercession aussi au sens des de la Gèbre, c'est également le plus petit, hein. Voilà. Donc on l'appelle les sous-espacces engendrés par X et on ve de X. Donc le vect de X c'est comme ils ont dit là c'est le plus petit soit X c'est une partie de contenant X qui est le plus petit machin. Les sous-espaces qui sont engendrés par X sont notés les vêtes de Y. Voilà. Caractérisation des vêtes. Bon, en pratique, c'est ceci qu'on utilise en fait la notion d'engendrer. C'estement c'est c'est prenez ça au sens propre. Prenez ça au sens propre. Prenez ça au sens propre. Cisation de V. Si x se décompose comme X jusqu'à X,
24:11 alors le V de X est l'ensemble des combinaisons liné des vecteurs. Vraiment c'est ça. C'est ça. Engendré. votre propriété du vert. Bon l'autre si j' mis ça parce que ça va nous aider plus en dans l'exercice. Soit x c'est une famille de vecteurs de E et f un sous-espace vectoriel de E. Alors V de X est inclu dans FC est seulement si pour tout X qu'on prend dans pour tout U qu'on prend dans X et U appartient à F. Donc l'autre ici va nous aider pour la pratique. Somme de sous-espaces vectoriel soit f et g de sous-espace vectoriel de définition. La somme de f et g noté f + g est définie vraiment comme vous voyez là c'est une somme naturelle. F + G
24:59 simplement on prend les éléments de F et les éléments de G on les somme f et G sont en somme directe si fon voir voilà comment on déjà la notion de somme direct donc vous êtes dans somme direct plus on entour plus si si la décomposition est unique. Voilà. Moi, j'aime la définition si généralement parce que euh j'ai je pense que j'ai mis un peu plusieurs caractérisations ici qu'on va utiliser en pratique. Ma définition, c'est j'ai vu le sujet de IA 2018 par exemple, on a donné euh on a donné l'exercice un exercice sur les projections et on a demandé à chaque fois de montrer bon déjà dans les projections le K et le sont en somme
25:44 directe sont supplémentaires. Voilà. Donc la notion de décomposition ici au sens unique est très important lorsqu'on a plutôt à faire à à à aux projections. Donc c'est ce qu'on peut déjà dire ici. Donc tout ça diffère des contextes. En fait, dès qu'on a fait à un exercice qui aborde les projections, alors on utilisait plutôt la notion de décomposition unique. Voilà. Donc en fait, ça veut dire quoi ? En fait, ça veut dire que si E se dé si E
26:31 est en somme directe de ceci, en fait, ça veut dire simplement que pour tout X que vous prenez dans E, XS se décompose de façon unique comme X Y + Z où le type C est un élément de F et l'autre si est un élément de G. La décomposition là en fait est unique, c'est tout. Voilà, ça c'est une notion qui est plutôt très intéressante. Est-ce que j'ai mis les caractéristiques ? Non, j'ai pas mis. J'ai pas mis, j'ai pas mis. J'ai pas mis. Non, j'ai pas mis. Bon, je vais mettre ça ici quand même. On dit que F et G sont supplémentaires dans eux s'ils sont en somme directe et les deux conditions C. Donc s'il faut résumer ceci, ça c'est la définition
27:19 hein. Donc E et F E E E et G là sont supplémentaire si et seulement si on va résumer ça ici. On a vu tout à l'heure là que en somme directe en fait c'est F inter égal en fait à ceci. Ça c'est somme direct. Voilà. Et et quoi encore là ? E F + G égal à E. Voici ce que ça va en fait. Donc F et G sont supplémentaires. Si E F si E si F et G sont d'abord en somme directe et F
28:07 + G là nous donne exactement E. J'ai donné la caractérisation ici. Non. Voilà. En pratique, je vais mettre ça ici. Donc pour le concours, pour le concours pour montrer que pour le concours pour montrer que F et G sont en somme directe à la place de montrer que le type C est décomposable en somme directe, on va plutôt utiliser généralement CC. Donc on va utiliser CC. On va dire que on peut utiliser CC euh F + G é= à E. On pourra encore
28:54 utiliser ceci. Bon, moi j'aime souvent utiliser quoi ? J'aime aussi utiliser f interg et ici plutôt la dimension de f plus dimension de g ég é= à dimension de. Bon, je vous dis déjà l'autre si est efficace lorsque lorsque nous sommes dans le cas des matrices. Donc dès que vous avez un exercice un peu comme euh euh comme un exemple ici par exemple qu'on ne va pas faire quand même hein, on va faire ça en TD. Donc l'ensemble des matrices antisymétriques, on va mettre un
29:39 et l'ensemble des matrice antisymétrique est supplémentaire dans MNE. Bon, quand je mets MN ici, c'est pour dire que vraiment c'est matrice carré. Voilà. Donc moi pour faire la preuve si on peut faire ça en utilisant directement la forme C. Donc vous voyez donc on va faire ça quand on va faire un exemple quand on va traiter exercice nous allons revenir sur cette partie. Voilà, en fait pour montrer pour faire également la question, je ne vous ai peut-être pas dit ça mais on peut utiliser la méthode d'analyse synthèse. Après le cours, si on va faire un autre live spécialement sur la méthode d'analyse synthèse parce qu'elle est très efficace au concours
30:27 pour terminer quand on part on part pour terminer les preuves et pour terminer les preuves, il faut avoir des méthodes subtiles. Donc je vais vous montrer une méthode pour contourner tous ces bavardages. en utilisant la méthode d'analyse cè. Voilà. Donc on va avancer. Donc voilà un peu pour le concours pour montrer que FG sont supplémentaire là. Voici les deux que vous pouvez utiliser facilement mais moi j'aime généralement utiliser les dimensions. Somme de R sous vectoriel. La somme de R sous vectorielle M1 jusqu'à F1R est définie par tel qu'on voit ici. Oui. Cette somme est direct sûrement si la décomposition est unique. Oui, ça aussi on a vu ça. Voilà. Note importante. Si R est supérieur ou égal à donc ne peut pas
31:13 caractériser le fait que F1 sont supplémentaires uniquement en vérifiant que c'est F1 inter FG à ça. Voilà. Par contre comment est-ce qu'on fait ici ? qui peut nous dire c'est qu'on fait même ici. Voilà. Donc il faut faire très très ici. Ce qu'il faut plutôt faire ici, c'est montrer que euh donc pour tout i là, bon on a pris pour tout i qu'on prend entre 1 jusqu'à Ric, faut plutôt montrer que FI ici inter Fi + 1 plus point
31:58 FR ici égal simplement au singleton. Donc voici plutôt ce qui est vrai. Donc la note importante si elle est apprendre parce que génement ce qu'on fait au concours c'est qu'on connaît quand on nous donne FG, on connaît comment on montre que c'est supplémentaire. Maintenant, dès qu'on tente de mettre F, G et un autre H là, les gens ne vont les gens vont penser qu'il faut faire F1 inter G euh F inter G inter H. Non, ça ne marche plus. Marche plus comme ça. C'est bien faux. Voilà. Donc, nous passons maintenant à la notion d'application linéaire. Voilà.
32:44 Une application F définie de E vers F est une application linéaire. Si pour tout x y qu'on prend dans e et lambda e. Bon ici vous pouvez aussi prendre simplement un vecteur un un scalaire même lambda seul suffit comme c'est pour tout pour tout ça veut dire qu'en particulier même pour mieux qu'il vaut pour mieux qui vaut un là ça marche donc faut éviter gement de se balader avec beaucoup de de de si c'est que les écritures sont pouvez simplement prendre un seul montrer plutôt ceci hein égal à lambda f(x)
33:30 + f c'est tout. Voilà donc ça c'est la définition d'un d'une application linéaire. Voilà. Donc l'ensemble E FC l'ensemble des applications linéaires. Maintenant si euh je n'ai pas ajouté ça ici, si EG à F, ici petit FC devient un endomorphisme. Donc un endomorphisme c'est une application linéaire qui a même ensemble de départ et même ensemble d'arrivées. Voilà, ça sont les exemples. L'application identité, l'application Lomot sont les applications linéaires. Toute combinaison toute combinaison
34:16 linéaire d'application linéaire linéaire, c'est vrai la composé d'application linéaire linéaire. Très bien. Voilà la structure algébrique bon ça ceci va aussi nous aider. La notion d'anneau, ça c'est la gèbre générale. Alors ça va pas nous aider, ça va pas nous aider pour concours. Mais c'est quand même allez voilà et image. Un endomorphisme objectif est un automorphisme. Voilà. Bon euh on parla encore souvent quoi ? Un endomorphisme regardez bien. Je sais pas si c'est que j'ai tout mis ici. Pas mis. J'ai pas mis un endomorphisme injectif est plutôt appelé, on appelle encore ça quoi là ?
35:02 On appelle ça un monomorphisme. Et un endomorphisme subjectif est plutôt un épimorphisme. Voilà. Et un endomorphisme bijtif c'est un automorphisme. Donc ce sont des vocabulaires qu'il faut juste connaître. Voilà. Image direct d'un sous-espace vectoriel par f est un sous-espace vectoriel. C'est vrai la notion du noyau. Bon ici, je vais ajouter quelque chose de très important ici en dimension fini en dimension finie. F bien sûr ici étant un do hein.
35:51 Euh bon, je vais dire je vais écrire simplement ça comme ça. FC est uno. Il n'y a équivalence entre il y a équivalence entre f injectif un en de non euh de ici f subjectif et 3 ici f objectif je vais uniquement en dimension finie uniquement. Ceci n'est vrai qu'en dimension en dimension finie. Voilà. Notion de noyau et d'image d'une application
36:37 linéaire. Définition. Voilà. On appelle le noyau de f le sous-espace vectoriel parce que oui, le noyau c'est un sous-espace vectoriel défini par quel de f ce sont les x dans E. Donc x qu'on prend dans l'ensemble de départ tel que fx vaut 0. Voilà. Faut bien faire très attention. On n'a pas mis pour là. Donc ce sont les X pasau ce sont les X particuliers. Voilà. Et ici théorème un théorème très important et très efficace pour le concours. On dit que F injectif si est seulement si le CDF est réduit au singluton zéon. Bon la preuve de ceci est vraiment facile hein. Bon pour faire la preuve si on peut on va quand même peut-être donner l'indication. Pour faire la preuve ici, la seule chose que vous avez besoin ici,
37:23 c'est connaître qu'en fait f de0 c'est égal à 0. Dès qu'il y avait une application linéaire, ceci est toujours vrai. Vous voyez ça ? Non. Regardez dans la définition de d'une application linéaire, en fait linéaire, regardez là, ce que j'ai donné là-bas, c'était F est linéaire. Voilà. Si normalement on a les deux choses ici f(x) + y é= à f(x) + f(y) euh pour tau xy dans E et f de lambda x égal à lambda f(x)
38:10 pour tout lambda dans le corps k. Voilà, si je prends lambda ici égal à 0 comme ça c'est pour tout lambda donc en particulier en particulier pour lambda qui vaut 0 on a bien et bien dans 2 ici non donc dans 2 ici vous aurez plutôt f de0 é= à 0 x fx qui nous donne plutôt 0 donc on a toujours ceci voilà donc c'est grâce à ceci grâce à cette information. Grâce à cette information aussi qu'on prouve facilement tout ce que en train de vous dire. On avait f de 0 = à 0 pour montrer trivialement que si f est injective lequel de f réduit au
38:57 c'est un gluton 0. image d'une application linéaire soit f une application linéaire on appelle image de f vraiment c'est comme on ait on a dit ici l'image vraiment ce sont les f dex et x dans e c'est tout vraiment ça c'est la définition comme elle est là vraiment c'est vraiment la définition de l'image proposition si x i est une famille génératrice de e alors oh j'ai pas noté ça ici. J'ai pas noté ça. Bon, c'est pas grave, c'est pas grave, c'est pas grave. Bon, avant de passer à la page ici, tu n'es pas Il y a un théorème qu'on va ajouter sur le théorème du rang. Très efficace
39:42 au théorème du rang. Voilà. Donc le théorème du rang ici nous dit simplement que la dimension du cas de f plus la dimension de IM de f égal simplement à la dimension de E. Voilà. Et généralement la dimension de IM de F c'est encore simplement le rang de F. Voilà. Donc ça c'est et qu'il faut aller fall ajouter ici. Maintenant le théorème du rangci est très intéressant. Je préfère même mettre ici que ça c'est le théorème du rang euh
40:27 poendo parce que il y a le théorème du rang matriciel qui nous aide qui est les gens ne connaissent pas seulement ça mais c'est très efficace dans la diagonalisation. Au théorème du rang matriciel, le théorème du rang matriel, on remplace simplement F là-bas par A. C'est très efficace. J'ai dis très très efficace dans le donc c'est dimension du cas de a plus dimension de 1 égale à la dimension de
41:13 ça c'est un théorème très puissant dans la diagonale. Ça c'est pour ça aide gement à montrer que une matrice n'est pas diagonalisable. Donc nous allons, je pense que dans le cadre d'un exercice, je vais vous montrer comment on utilisait ça pour montrer effectivement que si vous remarquez bien, vous allez vous rendre compte que ceux qui connaissent ceux qui se rappellent de la définition de d'un espace propre, ça c'est e non ? Voilà. Donc on va voir tout ça. Vous allez voir comment le théorum du rang maticiel si est très efficace pour le cas de pour au cas de la réduction des andau voilà une notion très importante. L'autre si est même venu au concours je pense en 2000. Ça c'est quelle année ici
41:58 ? Il a 2016 2018 même à partir des projections aussi. Ils aiment trop ça. Donc soit FVG sous-ensemble deux espaces supplémentaires. Déjà ce qu'il faut connaître c'est que pour parler de projection, il faudrait qu'il y ait des sous-espaces supplémentaires et on projecte euh on projecte quand on proje sur un espace parallèlement à un autre, la projection renvoie exactement l'élément où ça projecte. Donc est-ce que je peux faire un dessin ici ? Bon, on va quand même d'abord lire la projection sur f parallèlement à G est l'application P telle que pour tout Z = X + Y avec X si on a P des Z = à X,
42:44 c'est exactement ce que j'étais en train de dire. Regardez comment est-ce queon fait pour retenir ça la projection ici déjà on dit que ça part de E mais sauf que le EI se décompose encore comme F + G vers E. Et on sait que tout élément X ici qu'on prend là-bas, ils ont pris Z. Z ici se décompose de façon unique comme X + Y. Donc à ceci maintenant, ça renvoie simplement X. Donc ça renvoie l'élément où ça projecte. Je sais pas si on se comprend. Voilà. raison pour laquelle lors dès qu'on parlait de projection, il faudrait déjà il faudrait d'abord avoir euh une somme
43:29 et ça renvoie exactement l'élément où ça projecte. Maintenant ce qui est donc intéressant ici dans le cadre du concours, c'est la caractérisation. C'est la caractérisation. Ça c'est ce qui est plutôt très très important. Ça c'est pour le concours. Voilà. Donc P un endomorphisme est une projection si seulement si P r P égal à P. Voilà. Propriété de la symétrie soit S la symétrie par rapport à F parallèlement à G. Après la décomposition précédente là. Voilà. Donc ici par contre,
44:15 voici ce que la symétrie elle elle fait. Donc la symétrie également c'est une application, on part toujours avec le principe que E se décompose en somme directe vers E qui a Zici Z = X + Y renvoie plutôt X- Y. Donc la symétrie quand à elle x + y ça renvoie plutôt x- y. Voilà. Donc ça ce sont les définitions qu'il faut retenir. Mais est-ce qu'on a donné la caractérisation ? La caractérisation si je ne l'ai pas donné ici c'est que S wrong S c'est l'identité hein. Voilà. Donc ça sont les noyaux caractéristiques.
45:01 Voilà. Est-ce que j'ai donné ça ? Oui, j'ai donné ça. La caractérisation des symétries. Un endomorphisme S est une symétrie si est seulement si S rong S é à identité. Voilà. Donc ça c'est la caractéristique. Donc ça c'est encore pour le concours. Voilà. L'application S alors la symétrie par rapport à qu de S. Voilà. Ici maintenant euh c'est très intéressant. Regardez ce qui s'est passé. On a donné les le noyau caractéristique. Ici, on a dit que K de S - ID = F et K de S + IE E = G. Raison pour laquelle comme on projectait parallèlement à F, on projeit
45:46 sur F parallèlement à G, F maintenant devient le cœur de S - E D là et G devient S + ID. Bon, est-ce que Voilà. Maintenant, il y a aussi une autre notion que j'ai je n'ai pas mis ici, le le lien entre la projection lien entre projection et la symétrie parce que c'est aussi très important en pratique. Voilà le lien là c'est que en fait la projection égale à égale à 2 fois euh égal à 2 la projection projection euh oui c'est égal à 2 fois si j'ai
46:32 bonne mémoire sur la projection euh bon bon je vais je vais vérifier ça je vais vérifier je vais vérifier non il y a plutôt la symétrie donc nous allons plutôt effacer Si si si, on va prendre la gomme ici. La gomme ? La gomme ou la gomme ? Ouais, c'est Voilà. Donc le lien plutôt ici, c'est que la symétrie en fait égale à deux fois la projection et moins identité. Voici le lien
47:19 mo identité de voici le lien entre les deux là si je n'ai pas fait d'erreur. Voilà, on voit le lien entre la projection et la symétrie. Très important également parce que des fois ce qu'on va plutôt faire c'est que on va nous donner on va on va te donner un exercice. On te demande de déterminer la projection. Après la préson demande de déduire la symétrie grâce à la formule. La symétrie égale à 2 mais je vais encore vérifier quand même mais je pense que c'est la formule C. Donc c'est de fois la projection moins identité. Déjà ce qu'il faut aussi noter si vous aviez aussi remarqué comme moi pour parler de projection et vous parlez de projection ici et de
48:04 symétrie. Il y a un détail qu'ils ont qui mettent à chaque fois. un endomorphisme. Ça veut dire que si lors de d'un concours, on vous demande si lors d'un concours vous êtes appelé à montrer que PC est une projection, c'est deux choses que vous devez montrer hein. La première chose à montrer ici d'abord, c'est que de montrer que PC est un Nando et vous montrez maintenant, vous utilisez si on décide d'utiliser la caractérisation et P rong P égal à P, vous faites très attention. Voilà parce que les gens oublient généralement l'autre ici
48:50 parce que parfois on dit simplement que soit fe un une application linéaire montrer qu' v une projection les gens pasent directement la caractérisation de P rom P égal à P non montrer que c'est un endomorphisme parce que dans le cours l'enseignant fait l'effort généralement de travailler sur les endos et puis on a l'impression que c'est la caractérise la caractérisation qui est intéressante. Donc c'est pas ça. Voilà. Donc dans un théorème, ce sont les hypothèses qui cornent un andau voilà. Donc vous voyez même pour parler de projection ici on a supposé que nous étions dans 5 cas tandom ici. Voilà. Maintenant on peut aussi commenter, on peut revenir un peu sur la définition de imci.
49:37 Regardez, on a dit que on dit que im, regardez bien le lien. On a dit que de f par exemple ici c'était le f de x x dans e. Nous sommes d'accord non ? On va juste établir ce que on connaît. Or depuis les depuis l'ent de l'exercice, on a dit que X et si dès que X était dans un espace vectoriel, XC pouvait se décomposer comme la somme des alpha I x I non ? Si vous vous rappelez bien. Sommes d'accord ? Non. Maintenant comme f est linéaire, je vais d'abord écrire doucement ça fait la somme de i allang de 1 à n et alpha i x i x dans e. Il faut d'abord fermer ici jusque là nous sommes ensemble. Donc voilà.
50:23 Maintenant, comme f est linéaire, f entre dans la somme. Donc ceci, c'est la somme de i all de 1 à n. Les alpha I parce que les alpha I sont des scalaires. F de C X est dans E, on ferme. Nous sommes d'accord, non ? Et ceci, c'est exactement quoi ? Rappelez-vous bien, ça c'est exactement la définition de V. et tout et même le vêt. Donc tout à l'heure là, on a dit que euh si vous vous rappelez bien, regardez bien la définition du vec. Bon, on peut prendre le vec de f de xc tout simplement en supposant que xc va se décomposer comme euh
51:11 la somme qu'on connaît là. Regardez bien comment regardez d'où nous sommes parti. M def ce sont les fx et x dans E. Or tout élément de E se décompose comme la somme de y all de 1 à n alpha x et on remplace f étant linéaire. Donc de la ligne c à la ligne c on utilise au fait que f est linéaire. Voilà. Et comme f linéaire, on peut avoir la relation 5. De là maintenant ça c'est exactement la définition du vêt. Si c'est qu'on se rappelle. On a dit que le ve de X c'était la somme ici même il n'y a pas hein. Voilà. Si vous vous rappelez bien du vê de X, c'est simplement la la
51:56 somme des alpha I x I avec les alpha I descalé. Pourquoi est-ce que j'ai j'ai j'ai je veux écrire ça comme ça ? C'est parce que c'est ce qui se passe en pratique. En pratique, aller déterminer les f de x dans E est difficile. Du coup, vous partez avec le vert et vous trouvez rapidement l'image. C'est pour ça que ça c'est plutôt pour le concours. C'est qu'on utilise au concours. Voilà. Donc c'est exactement ce qui met fin à notre séance de cours d'aujourd'hui. Le TD le TD sera disponible en fin de soirée dans la plateforme et nous allons corriger quelques exercices techniques qui reviennent au concours. Voilà le T de séries numérique déjà a
52:42 été envoyé et le on a fait le cours hier. Donc on va corriger quelques exercices techniques également demain et la semaine prochaine on continue avec ce qui vient. Les anciens sujets également du concours I sont dans la plateforme entièrement corrigée de 1996 à 2024. Pouvez consulter. Voilà.
