0:01 j'ai décidé de fabriquer une machine une machine qui transforme un nombre en un autre nombre par exemple ici 2 va devenir 5 4 va devenir 9 7 allez au hasard va devenir 5 0 lui va rester 1 il devient 3 4 devent j'ai fabriqué une machine qui transforme un nombre en un autre nombre alors je peux faire ce qu'on appelle
0:47 tableau de valeur y a l'entrée de la machine et puis on a ce qui se passe à la sortie je mets 2 j'obtiens 5 à la sortie je mets 4 j'obtiens 9 7 j'obtiens 5 et ainsi de suite je veux perfectionner ma machine je veux plus déterminer les valeurs que je vais trouver à la sortie au hasard donc la machine je donne une instruction à chaque fois cette machine elle va ajouter 1 donc si je mets 3 dans la machine à la sortie je récupère 4 si je
1:36 mets 0 je vais avoir 1 si je mets - 2 je vais avoir - 2 + 1 ça me fait -1 si je mets -1 ça va me faire 0 si je mets 4 j'obtiens 5 si je mets 6 j'obtiens 7 je peux résumer tout ce qui s'est passé dans un tableau de valeur ici à l'entrée j'ai choisi 3 0 - 2 - 1 4 et 6 et à la sortie qu'est-ce que j'ai 4 1 - 1 0 5 et
2:24 7 ça c'est ce qui se passe à l'entrée et ici à la sortie de la machine et bien ce que j'ai fabriqué là c'est ce qu'on appelle une fonction en mathématique une fonction c'est rien d'autre en quelque sorte qu'une machine qui va transformer par un procédé un nombre en un autre nombre là le procédé que j'ai employé c'est ajouter 1 si on voulait généraliser ce que fait ma ma machine cette fonction on pourrait mettre ici une lettre au bou l'un entrée alors une boule à l'entrée qui a
3:09 pour valeur x à la sortie ma machine elle ajoute 1 donc elle l'écrit à la sortie x + 1 si je prends x = 5 ça fait 5 et 1 6 7 7 et 1 8 à chaque fois que je vais vouloir parler de cette fonction je vais pas dessiner une machine je va lui donner un nom déjà à la machine bon fonction pour lui donner comme nom F F comme fonction et cette machine à X elle fait correspondre x + 1 je viens ici d'écrire une fonction la fonction f qui a x associe x + 1 si je veux savoir par
3:58 exemple ce que va me donner 3 bah je vais obtenir 3 + 1 F3 c'est 3 + 1 c'est-à-dire 4 on dit que 4 est l'image de 3 par la fonction f quelle serait l'image de 2 F- 2 ça va va nous donner - 2 + 1 ça va nous donner donc -1 4 et l'image de 3 c'est la boule que j'obtiens à la
4:45 sorti quand je mets la boule 3 et 3 est l'antécédent de 4 quelle est la boule qu'il a fallu mettre à l'entrée pour obtenir 4 c'est la boule 3 alors attention comment ça s'écrit 3 et l'antécédent de 4 et -1 et [Musique] l'image de 2
5:31 voilà maintenant une nouvelle machine qu'on va appeler bien sûr une fonction une fonction que j'appelle G qui a X fait correspondre x² + 1 qu'est-ce que ça veut dire je prends le nombre la boule à l'entrée si vous préférez en pensant à la machine je multiplie le nombre par lui-même et j'ajoute 1 voyons quelques valeur g de - 3 ça va me donner - 3 au carré - 3 x - 3 - 3² + 1 - 3 car 3 car ça me fait 9 9 et 1 10 g - 2 - 2 au car - 2 x - 2 ça fait 4 4 + 1 5 g -1 - 1 car ça
6:19 fait 1 + 1 2 g 3 3 car 9 + 1 10 g 0 0 + 1 ça me donne 1 g 1 1 au²r + 1 2 g 2 2 au²r + 1 5 rappelez-vous quelle est l'image de -1 par la fonction g c'est 2 quel est l'antécédent de 1 par la fonction g c'est 0 c'est 0 qu'il faut mettre à l'entrée de la machine pour obtenir 1 à la sortie je vais ranger les nombres obtenus dans un tableau de valeur l'image de 3 c'est 10 de 2 c'est 5 je recopie et j'obtiens
7:08 donc ce tableau de valeur ce qu'on pourrait faire également c'est ranger les valeurs en utilisant un repère ici l'axe des abscisses ce sera en quelque sorte l'entrée machine l'axe des x ici l'axe des ordonnées c'est ce qu'on trouvera à la sortie on va graduer ici les deux droites de manière à savoir quelle est l'unité employée alors réfléchissons l'image de - 3 c'est 10 on place -
7:53 3 sur l'axe des abscisses - 3 pour image 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 l'image de - 2 attention - 2 est ici c'est 5 1 2 3 4 5 l'image de -1 c'est 2 l'image de - 1 c'est 2 l'image de 0 c'est 1 0 à pour image 1 1 à pour image
8:38 2 2 à pour image 5 et 3 à pour image [Applaudissements] 10 donc je répète les nombr à l'entrée se trouve ici sur l'axe des x - 3 pour image 10 - 2 et cetera et on s'aperçoit de quelque chose de singulier c'est que on a l'impression qu'il y a ici une forme régulière une forme qui serait un peu de ce genre cette forme ici si particulière ça portera un N vous verrez en secondes ça s'appelle une une
9:24 parabole ça veut dire que vous pouvez presque reconnaître le genre de de machine le genre de fonction que vous avez en regardant la courbe que vous obtenez alors ça va être drôement intéressant parce que plus vous allez avancer que ça soit en seconde au lycée plus vous allez directement savoir quel genre de courbe vous allez obtenir suivant les machines suivant les fonctions que vous avez nous allons maintenant utiliser le logiciel Geogebra pour mieux voir on voyez ce logiciel il va être capable de tracer directement la représentation graphique des fonctions que nous avons
10:09 vu bon vous voyez vous avez ici le repère vous le reconnaissez de droites gradué vous avez l'axe des x c'est en quelque sorte les nombres que vous mettez à l'entrée de la machine et ici l'axe des Y c'est-à-dire les images de ces nombres alors prenons par exemple la la fonction f voilà Géogebra m'a tracé la fonction f vous la voyez alors pourquoi c'est intéressant déjà je m'aperçois que cette fonction elle a une une forme particulière je reconnais apparemment ce serait une droite mais je peux directement grâce au graphique trouver l'image par exemple de
10:56 3 regardons bien je je prends mon équ et je vais trouver facilement allant jusqu'à la courbe quelle est l'image de 3 l'image de 3 c'est 4 l'image de 5 par exemple regardez bien c'est 6 par la fonction et si je veux savoir quel est l' anécédent de 5 donc 5 c'est l'image je cherche le nombre qui m'a permis d'obtenir 5 bon vous voyez tout de suite j'ai même pas besoin de tracer ici les segments vous
11:43 savez que je vais obtenir 4 l'antécédent de 5 c'est 4 l'image de 3 c'est 4 voyons maintenant la deuxème fonction nous avons étudié la fonction qui a x associe x car + 1 voilà je la trace on voit bien ici qu'on obtient ce qu'on avait tout à l'heure c'estàdire une parabole qu'est-ce qu'on peut dire de l'image de 2 et bien ce sera 5 quelle est l'image de 2
12:29 5 également ça veut dire que finalement si vous regardez bien si vous prenez le nombre 5 il y a combien de possibilités pour obtenir avec notre machine avec notre fonction si vous préférez le nombre 5 il y a deux possibilité soit je je pars de 2 pour obir 5 soit je pars de 2 si je veux trouver les antécédents de 2 je vais jusqu'à la courbe ici je vois que un des antécédent est un et il y en a un autre une autre possibilité pour obtenir deux c'est
13:19 -1 rien ne m'empêche de tracer sur un même repère les représentations graphiques de deux courbes voilà la courbe de tout à l'heure on a donc ici la courbe qui correspond à la fonction g et ici la courbe qui correspond à la fonction f vousarquerez qu'il y a deux points d'intersection qu'est-ce que ça veut dire finalement ces deux points d'intersection ça veut dire que avec 1 si vous utilisez la machine F la fonction f ou la l'image de 1 sera toujours 2 l'image de 1 et 2 quelle que soit la
14:08 fonction vous Prz deè dein ici l'image de 0 par la fonction f ou par la fonction g c'est 1érifier f00+ 1 ça fait bien 1 G0 0 car + 1 ça fait bien 1 voici la représentation graphique de la fonction f définie par FX 05x 2x bon cette fonction déjàna un peu la forme c'est une parabole on demande de déterminer graphiquement l'image de 2 bien n'oublion pas sur l'X des X on
14:55 trouve en fait les boules qu'on met à l'entrée de la machine ou les antécédents donc pour avoir l'image de de je prends mon é je vais aller jusqu'à la courve pour regarder maintenant sur l'X des y sur l' des images pour regarder quelle est la valeur on obtient 2 donc petit l'image de 2 F de 2 est égal à -
15:42 2 on me demande ensuite de déterminer graphiquement les antécédents de 6 bon pour avoir les antécédents de 6 6 c'est bien sûr l'image et je vais aller jusqu'à la courbe à nouveau pour regarder quel est le nombre qu'il a fallu utiliser pour obtenir 6 donc je jusqu'à la courbe j'ai plus qu'à regarder ici j'obtient 6 donc un des antécédents de 6 c'est lui-même c'est 6 il y en a un deuxè il suffit de Pronger
16:30 ici on va aller jusqu'à la courbe et à ce moment-là on va obtenir le deuxème antécédent et ce deuxème antécédent est - 2 donc petit B les antécédents antécédents de 6 sont - 2 et
17:20 6 notion de fonctioness de comprendre ce que c'est qu'une fonction imaginons une machine cette machine cette machine quand vous lui proposez un nombre elle vous le transforme en un autre nombre c'est cette machine qu'on va appeler une fonction si je prends ce que j'obtiens à la sortie de la machine c'est l'image de ce que j'ai introduit dans la machine FX est l'image de X par la fonction f et ici X qu'est-ce qu'il représente par rapport à FX x c'est l'antécédent de FX x c'est le nombre que j'ai introduit
18:08 dans la machine et qui m'a donné ce nouveau nombre FX donc pensez à cette image de la machine quand vous pensez à une fonction imaginons une fonction pourquoi ne pas parler de machine qui associe au nombre de départ au nombre que je mets à l'entrée de la machine qui associe son carré augmenté de 1 quand nous allons noter cette fonction nous allons la noter sous la forme littérale suivante on va appeler cette fonction f F qui a x associe x² +
18:57 1 j'ai noté la fonction de façon littérale on a donc FX l'image de X qui sera égal à x² + 1 si j'introduis ici 3 j'obtiens la sortie 3 au² + 1 c'est-à-dire 9 + 1 10 10 et l'image de 3 par la fonction F3 est égal à 10 ici quelle est l'image de 2 l'image de 2 c'est 2 au car + 1 c'est-à-dire 5 F 2 est ég à
19:44 5 on dit que 2 c'est un antécédent de 5 par la fonction f si je prends maintenant - 2 quelle est l'image 2 F- 2 c'est - 2 car + 1 c'estàdire 5 on remarque ici que 5 à de antécédents par la fonction f F2 est ég 5 mais f-2 est aussi ég à 5 5 admet 2 et 2 comme antécédent par contre l'image d'un nombre est unique il ne peut pas sortir deux nombres
20:31 différents de ma machine si j'ai mis un seul nombre au départ détermination d'une fonction comment on peut décrire comment on peut déterminer une fonction si on prend la fonction précédente elle est définie elle par la formule littérale F qui a x associe x car + 1 on peut très bien déterminer une fonction par un graphique si on me donne ce graphique ici on le voit en fait la courbe ce sont tous les points dont les coordonnées sont du type x
21:19 FX exemple j'ai - 2 à l'entrée de la machine l'image par - 2 ça sera l'ordonnée de c ça sera 5 l'image de 2 ici ce sera l'ordonnée de B ce sera 5 aussi l'image de 3 ce sera 10 donc cette courbe ici elle est formée de tous les points possibles que je peux obtenir en mettant des nombres à l'entrée de ma machine des nombres qu'on retrouve ici sur l'axe des abscisses grâce à cette course je peux directement trouver l'image de nombre par exemple quelle est l'image de
22:05 1 je vais jusqu'à la courbe en restant comment parallèle à l'axe des Y et je vais regarder sur l'axe des Y quelle est l'image en traçant la parallèle à l'axe des x j'tiens 2 l'image de 1 c'est 2 l'image on l'a vu tout à l'heure de 2 ce sera 5 on peut donc ainsi trouver les images ici de chaque nombre la fonction elle est ici déterminé par la courbe qu'on m'a donné vous vous voyez que cette courbe elle a une forme ici particulière en fait on s'aperçoit que suivant les fonctions on arrive à reconnaître des formes particulières une fonction du type x² +
22:53 1 comme celle que que nous venons de voir elle a comme forme une parabole verrez ça l'an prochain vous pouvez bien sûr connaître ou déterminer une fonction en ayant son tableau de valeur voilà un tableau de valeur ici les valeurs de x et les valeurs de des images x FX à partir du moment où vous avez suffisamment de valeur vous allez pouvoir tracer vous-même la courbe à ce moment-l vous allez placer vous-même les points - 3 va vous donner 10 2 et demi va vous donner 725 et cetera et en général comme je vous le
23:41 disais tout à l'heure vous allez reconnaître une forme particulière bon ici c'est cette fameuse forme que nous avons vu une forme de parabole comme vous supposez que la courbe va avoir la forme parabole avec votre crayon vous rassemblez à main lev les points pour obtenir la forme de la courbe
