0:00 Mer Arkadaşlar hoş geldiniz Umarım iyisinizdir Umarım ders çalışıyorsunuz durur sevgili arkadaşlar soru bankamızı çözmeye devam ediyoruz ve son konuya geldik yani bu videomuzda beraber soru bankamızı tamamen bitirmiş oluyoruz Eyvallah sizlere söz verdiğim gibi sevgili arkadaşlar soru bankamızdaki bütün testleri hepsini çözeceğim ve YouTube'da paylaşacağım oynatma listesi yapacağım demiştim sevgili arkadaşlar 3 haftadır bu işin içindeyim arkadaşlar oturmuşum gerçekten gecemi gündüzüme kattım gerek video çekme gerek soruları çözme gerek montaj gerek program her şeyi sizlerle paylaştım bu da son konumuz sevgili arkadaşlar bu videomuzda da modüler aritmetiği bitireceğiz sonra kurtuluyorsunuz sevgili arkadaşlar Modüler Aritmetik le ilgili DGS KPSS alese son yıllarda soru gelmiyor sevgili arkadaşlar zaten biliyorsunuz tyt
0:46 müfredatında kaldırıldı Ama her ne kadar kaldırılsa da mesela tyt müfredatında ya da DGS KPSS ALES'te problemlerle alakalı bir soru gelebiliyor sevgili arkadaşlar milyonda bir de olsa gelme ihtimali de olsa biz soru bankamıza bazı soru sitelerini koyduk Arkadaşlar bu koyduğumuz bazı sorular sizi yorabilir sevgili arkadaşlar yani Bu sınavda gelecek anlamına gelmesin burada Bizim amacımız öğrenmek Eyvallah Hazırsanız videoyu beğenin arkadaşlar Hazırsanız modüler aritmetiğin test çözümlerine başlıyoruz sevgili arkadaşlar Soru bankamızdaki son konud dayız yani Modüler Aritmetik burayı tekrar söylemek istiyorum Hocam ben DGS KPSS alese çalışıyorum Modüler Aritmetik ile ilgili çok ilginç sorular koymuşsunuz arkadaşlar açık konuşmak gerekirse bence bu videoyu benimle birlikte bitirin
1:31 Çünkü hangi soruların önemli olduğunu hangi soruların önemsiz olduğunu tek tek söyleyeceğim haberiniz olsun tamam mı arkadaşlar AB Biz her türlü soru olsun diye konu anlatımında da her şeyi işlediğimiz için her türlü soruyu koymuşuz Eyvallah Bunların hepsi sınavda gelecek anlamına gelmesin zaten soru gelme ihtimali çok düşük olan bir konudur a bü 1 arkadaşlar 64 denk 4 mod a diyor ki A kaç farklı değer alır Bu ne anlama geliyor sevgili arkadaşlar 64 sayısını A'ya böldüğümüzde kalan 4 oluyor hatırlayın bunları bu tarafa atabiliyor atın Vallah 60 denktir 0 mod A be Peki bu ne anlama geliyor demek ki 60 sayısı A'ya bölündüğünde kalan 0'dır yani 60 sayısı A'ya tam bölünüyor e a ne olabilir sevgili arkadaşlar Bakın 1den büyük diyor 2
2:16 olabilir 62'ye bölünür 3'e bölünür 4'e bölünür 5'e bölünür 6'ya bölünür 7'ye Bölünmez 88'e Bölünmez 9A Bölünmez 10'a bölünür 12'ye bölünür 15'e bölünür efendime söyleyeyim 20'ye bölünür 30'a bölünür 60 Bir de kendisine bölünür Eyvallah 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cevabımız bursad ha bunu böyle mi yapmak zorundayız arkadaşlar yani büyük bir sayı olsaydı hocam Evet yani büyük bir sayı olsaydı böyle yapamazdık arkadaşlar burada biraz uyanık olmamız lazım mesela bunu başka nasıl yapabilirdik Dur şu rengi ayarlayayım bunu 60'ı alıp asal çarpanlarına ayırırsak işte 4 x 3 x 5 oluyor değil mi yani 2in karesi x 3 üzeri 1 X 5 üzeri 1
3:03 oluyor 60'ın kaç tane pozitif böleni var Bunu bir arttır Vallah 3 bunu bir arttır Vallah 2 bunu bir artır Vallah 2 3 xere 2 6 6 xere 2 12 12 tane pozitif böleni var a ü 1 diyor 1'i alamıyoruz arkadaşlar 1'den 12'den 1 çıkarın bir tanesini çıkarın 11 Eyvallah birler basamağı nedir ne demek arkadaşlar mod ona göre git demek Eyvallah Bunlar arkadaşlar bakın Ç çıkma ihtimali çok düşük olduğu için hızlı geçeceğim konu anlatımında detay anlattım Burada eğer anlamadıysanız rica ediyorum konu anlatımını izleyin arkadaşlar yani diyor ki bunu 18'e 10'a bölsek kalan kaçtır 18'i 10'a bölsek kalan 8 ya 8le gitmek istiyorum yani sanki orada 8 üzeri 2003 varmış gibi düşüneceğiz tamam mı 8 üzeri 1 8'dir 10'a bölsek kalan 8 olur 8in karesi 64'ü
3:50 64'ü 10'a bölsek kalan 4 olur 8 üzeri 3 hesaplam gerek yok 8 ile 4'ün çarpımı 32 10'a bölsek kalan 2 olur 8 üzeri 4'e geldik 8 ile 6'yı değil mi Bir önceki adımla ilk adımı çarpıyordu 8 kere 2 16 10'a bölsek kalan 6 olur 8 üzeri 5'e geldim sevgili arkadaşlar 8 ile 6'nın çarpımı 48 kalan 8 olur 10A bölsek burada tekrar başa dönecek yani 8 üzeri 6 ile devam etseydim ne olacaktı işte 8 xere 8 64 Burası 4 olacaktı yani 8 4 2 6 8 4 2 6 diye gidiyor 14 bir tekrar ediyor sevgili arkadaşlar burada üst nedir 23'tür 2003'ü Ben 4E bölsem kalan kaç olur 4'le bölünebilme kuralı son iki basamak kalan 3 olacağı aşikar 3 adıma
4:37 gidiyorum 3 adımda ne oluyor 2 oluyor demek ki 10'la bölündüğünde kalan 2'dir yani birler basamağı bu sayıyı hesapladığımız Birler basamağı 2 olacak Eyvallah A'nın en küçük iki farklı pozitif tam sayı değerinin toplamı kaçtır diye soruyor peki burada ne yapabiliriz arkadaşlar bunları farklı farklı yöntemlerle yapabilirsiniz mesela bunu bu tarafa attık ne oldu -4 olarak geçer değil mi yani siliyorum -4 olarak geçirsem Burası -1 mi olur he -1 - a denk 0 mod 7 değil mi güzel şimdi A yerine ne yazabilirim sevgili arkadaşlar yani E buraya ne yazabilirim yani a yerine bana öyle bir sayı söyleyin ki sevgili arkadaşlar Burası 7'ye tam bölünsün
5:22 Hocam 6 Harikasın a yerine 6 yazarsak Burası Gerçekten -7 oluyor sevgili arkadaşlar - 7'nin 7'ye bölündüğünde kalan 0 yani sonuçta tam bölünüyor e a yerine 7 ekleyin mod 7de 7 ekleye ekleye diye diğer değerleri buluyoruz 6'ya 7 ekleyin 13 gerçekten a yerine 13 yazın sevgili arkadaşlar bakın -21 oluyor oluyor yani Eyvallah değil mi Evet A'nın alabileceği 2 farklı değerin toplamı kaçtır 2 farklı pozitif en küçük ik farklı pozitif bunlardır 6 ile 13'ün toplamı 19 cevabımız C tamam çok güzel 21 dedim de arkadaşlar kafam gitti geldi Özür diliyorum şöle 13 yazarsak 14 olur -14 14 de 7'nin katıdır güzel Evet bugün
6:10 arkadaşlar yine acıkmış gerçekten zor günler yaşıyoruz Umarım İşlem hatası yapmayacağım ifadesin 8le bölümünde kalan kaçtır şimdi 8 ile bölümünde kalan kaçtır diyor İlk önce 2 üzeri 76 8E böldüğümüzde kalan kaç olur 2 üzeri 1 88'e bölsek kalan 2 olur 2in karesi 4'tür 88'e bölsek kalan 4 olur 2in karesi 2 üzeri 3 8'dir 88'e bölsek kalan 0 olur arkadaşlar zaten bu 8'in katıdır yani bakmanıza gerek yok Ben sizi denemiştim 2 üzeri 76 8'in katıdır bunu 88'e bölsek kalan 0 olur Eyvallah 5'e gel 5 üzeri 5 üzeri 40'ı 88'e bölsek kalan kaç olur şimdi bunun sonucu ıdır Size söyleyeceğim ama yine de uzun yoldan bir yapayım sevgili arkadaşlar e
6:55 Uzun Yolda yapmak istiyorum 5 üzeri 1 8'e böse kalan 5 olur 5 karesi 25'tir 88'e bölsek kalan e 4 mü olur evet yani 25'i 88'e bölsek 3 kere 8 24 kalan Valla kalan 1 olur Eyvallah E tamam o zaman arkadaşlar 1 is kesiyoruz zaten devam etsek 5 üzeri 3 5 gelecek 5 üzeri 4 yine 1 gelecek Yani üst çift is sonuç 1 geliyor ki burada üst çifttir sonuç 1 gelecek eksi 3 üzeri 20'ye bakıyorum bakalım 3 üzeri 20'yi 3 üzeri 1 ile başlıyorum 88'e bölsek kalan 3 olur 3ün karesi 99'dur 88'e bölsek kalan 1 olur Aynı şey geldi yani 3ü çift sonuç 1 olur burası da 1 oldu 1den 1 çıkarın 0 Yani kısacası 0
7:41 oluyor ha burada arkadaşlar mod değerini Yani şöyle diyor bakın mod şey denktir x mod 7 diyor ya bu aslında bunu demeye çalışıyor yani 8le bölümde kalan kaçtır demek bu demek mod değerini istediğimiz zaman istediğimiz yere istediğimiz kadar ekleyip çıkarabiliyor bunu bilmemiz lazım sevgili arkadaşlar Mesela orada 3 üzeri 20 var tamam mı Ben şunu Yani bu 3'ten bir tane 8 çıkartabilirim şöyle yazabilirim Yani bu şuna denktir arkadaşlar 3 - 8 üzeri 20 şeklinde yazabilirim mod değeri 8 ya istediğimiz kadar modu ekleyebilir istediğimiz kadar modu çıkartabiliyor konu anlatımında gösterdim Burası ne oldu -5 yani eksinin çift kuvveti artı olduğu için 5 üzeri 20 kısacası ben buraya 5 üzeri 20 yazabilirim e arkadaşlar 5'i 5 üzeri 40
8:27 Sonu çift gelirse 1 geliyorsa burada sonu Ç olduğu için 1 gelecek hiç bunları gerek yok zaten bu 0 geliyor 8in katı olduğu için 88'e bölsek kalan 0 geliyor toplarsak 0 oluyor kalan 0 olacak x tam sayı değeri kaçtır şimdi mod değerini istediğimiz yer arkadaşlar zaten bu artıdır yani Eyvallah yani eksinin çift kuvveti artıdır e arkadaşlar mod 5 ise sürekli 5'e bölüp kalanı yazacağız 88'i 5'e bölün değil mi 628 5'le bölünebilme kuralı son son basamaktır 88'i 5'e bölsek kalan 3 Aslında orası 3 üzeri 54' müş gibi D davranabiliriz yani 3 üzeri 54 denk x mod 5 bunu bul diyor E bunu bulmak için ne yapacağız abi çılgınlar gibi çözeceğiz mesela 3 üzeri 1 3'tür 3ün karesi Vallah 99'dur 5'e böse kalan 4
9:13 olur 3ün köpükü 27'dir ya da 3 kere 4 12 12'yi 5'e bölün kalan 2 3 üzeri 4 81d ya da 3 kere 2 6 5'e bölün kalan 1 ya da 81'i 5'e bölün kalan 1 1 olduğunda kesiyoruz 4te 1 tekrar ediyor 54'ü Yani 3 üzeri 54'ü bulmaya çalışıyorum ya bu neye denktir 54'ü tutuyorum 4'e bölüyorum Çünkü burada 14 tekrar ediyor kaç defa var 10 14 defa dersek 52 56 13 defa dersek 52 kalan 2 oldu 2 ise 2ci adıma bakıyorduk 4 Yani demek ki 4E eşit Değil mi arkadaşlar cevabımız Ne olacak Bursa olacak bu 4E denktir cevabımız Bursa k değeri kaçtır arkadaşlar eksinin çift kuvveti Vallahi artıdır He vallah tamam mı eksinin çift kuvveti
10:00 Tamam 24'ü 7'ye bölsek 3 k 7 21 kalan 3 kalan 3 mü o zaman buraya 3 varmış gibi davranalım tamam mı 3 üzer -42 K mod 7 Tamam Arkadaşlar bu Art olarak görebilirsiniz yani fark etmiyor o tamam mı Şimdi ilk önce bir yapalım bakın 3ü 3'tür karesi 9 7'ye bölsek kalan 2 3 üzeri 3 27 ya da 3 K 2 6 7'ye böldün kalan 7 olur ya da 3ün küpü 27 7'ye bölün kal kalan 6 olur özür diliyorum 3 x 2 6 7'ye bölün kalan 6 3ün kü 27 7'ye
10:45 bölsek alan 6 3 üzeri 4 81 ya da 3 kere 6 18 18'i 7'ye bölsek 2 x 7 14 kalan 4 mü oluyor Eyvallah devam K 3ü 5e bakalım 3 K 4 12 kalan 5 oluyor değil mi ya da 3 5 243 Evet 3 x 4 12 kalan 5 oluyor 7'ye bölsek devamlı 7'ye bölüp kalanı yazıyorum 3 üzeri 6'ya geldik 3 K 5 15 bakın bunu hesaplamak zordur 3 x 5 15 15'i 7'ye bölsek 2 xere 7 14 kalan 1'i sağlıyor güzel 1 olduğunda duruyoruz arkadaşlar burada kaçta bir tekrar ediyor bakın 6 adımda bir tekrar ediyor o zaman 42 6'ya tam bölünüyor ya
11:31 Yani şöyle düşün 3 üzeri 42 ymiş gibi düşünün onu hiç önemli değil o bakın 42'ye 6'ya böldüm kalan 0 oldu kalan ısa sonuncu adıma bakıyoruz yani cevabımız Adana çıktı ya da -42 yi neden almadık arkadaşlar -42 yi de alabiliriz -42 yi 6'ya bölersek Çünkü 6da bir tekrar ediyor zaten -42 Yani 42 şöyle düşünün 6'ın katıdır yani son basamağa bakmanız lazım kalan 1 konu anlatımda bunları detayı işledik arkadaşlar sınavda da açık şarı bunlarla ilgili soru geleceğini zannetmiyorum yine de çözüyoruz arkadaşlar ne olur ne olmaz diye 5'le bölümde kalan kaçtır demiş Şimdi 3 üzeri 1 5'e böl kalan 3 olur 3'ün karesi 99'dur 5'e böl kalan 4 3'ün küpü 27'dir ya da 3 kere 2 3 xere 4 12
12:17 5'e böse kalan 2 3 üzeri 4 81d 5'e böse kalan 1 ya da 3 xere 2 6 6'yı 5'e böse kalan 1 burada kestim 14 bir tekrar ediyor sevgili arkadaşlar zaten Buradaki üssü buradaki ü 4'e böldüğümüzde 2 kalanını veriyor 2 kalanı veriyorsa 2ci adıma bakacağız 4 yani buranın sonucu 4'tür gibi düşünebiliriz benzer şekilde 2 üzeri 1 2'dir 2nin karesi 4'tür 5'e böl kalan 2 kalan 4 olur 2nin küpü 8'dir 5'e böse kalan 3 olur 2 üzeri 4 16'dır 5'e böse kalan 1 olur ya da 2 xere 3 6 5'e bölün kalan 1 Burada da 14 bir tekrar ediyor üssü 4'e bölüp kalanı yazıyorduk E bu zaten 4'ün katıdır 4E böldüğümde kalan 3 olur 4E böldüğümde kalan 3 ise 3 adıma bak ham 3 adımın sonucu da 3'tür 4 3 daha sonuç 7 geldi
13:02 bu 7'yi Ben 5'e bölsem kalan kaç olur kalanı soruyor 1 kere 5 5 kalan 2 oldu cevabımız Ceyhan devam ki denkliğini sağlayan 3 basamaklı en büyük doğal sayının rakamları toplamı kaçtır diye soruyor sevgili arkadaşlar Ne yapabiliriz Öncelikle arkadaşlar yani şöyle düşünün Bakın ben bunu direkt şöyle çözeyim 10u ben 7'ye sürekli 7ye bölüp kalanı yazmayacak mıyım Eyvallah 10u 7'ye bölün 1 kere 7 7 kalan 3 yani kalanı yazıyoruz her zaman burada kalan 3'tür Eyvallah E şimdi şu 3'ü de karşıya gönderelim Yal şöyle düşünün 3A - 3 denk
13:49 0 mod 7 Kısacası e en büyük doğal sayı Şimdi şöyle düşünün arkadaşlar buraya 3 ortak parantezine alın a - 1 denk 0 mod 7 Yani şöyle düşünün Burası bakın Burası kesinlikle 7'nin katı olmalı Ben bunu biliyorum e 7'nin katı olacaksa 3 7'nin katı değil Demek ki A -1 A -1 kesinlikle 7'nin 1 katı olmalı kalan 0 olduğu için E bana diyor ki 3 basamaklı en büyük doğal sayıyı bul e bulalım arkadaşlar yani 3 basamaklı 7'ye bölünebilen en büyük doğal sayı nedir acaba işte 999 7'ye bölünmüyor 998 Vallahi 7'ye bölünmüyor 998 7'ye bölsek bakalım 1 kere 7 7
14:38 çıkartım 29 4 x 7 28 çıkarttım 188 2 x 7 14 kalan 4 oldu zaten burada 140 2 katı diyor arkadaşlar yani 4 kalan 4 olduğuna göre bunu 4 eksiltecek 994 yani en fazla 994 dersiniz Eyvallah ne demek istiyorum 142 diyorum K yerine 994 çıkıyor 997 de bölünmüyor Çünkü kalan 4 olduğu için Bundan sonraki 4E de bölünmeyecek 994 gerçekten 994 7'ye bölünüyor mu abi abi 14 defa diyorum 98 çıkarttım 14 bakın
15:24 bölünüyor güzel Dolayısıyla arkadaşlar a -1 994 olabilir yani A'nın alabileceği 3 basamaklı en büyük doğal sayı budur toplamı kaçtır rakamları toplayın diyor 9 9 Daha 18 5 daha 23 Eyvallah A'nın 2 basamaklı en büyük doğal sayı değeri için b sayısının 2 basamaklı rakamları farklı en küçük doğal sayı değeri kaçtır H A'nın 2i basamaklı en büyük doğal sayı değeri için yani a en fazla ne olabilir arkadaşlar düşünelim mesela 4 üzeri 1 tamam mı şuraya göre Şu an bir şeyler bulmam lazım 4 üzeri 1 mod 7 ya 7'ye bölsek kalan 4 olur 4ün karesi 16'dır 16'yı 7'ye bölsek
16:09 kalan 16'yı 7'ye bölsek kalan 2 mi olur arkadaşlar Evet bakın 16'yı 7'ye bölsem 2 k 7 14 kalan 2 oluyor güzel Şimdi arkadaşlar burada sonuç 2 çıkmış ya siz zaten devam id edebilirsiniz işte 4ün kü 4 x 2 8 1 geldi dersiniz üs 2 olunca 2 olu oluyor Bu şu anlama geliyor üs 2nin kuvveti gelince yani 4 üzeri 2n tamam mı 4 üzeri 2n yani 4 üzeri çift bir sayı varsa 2n diyelim sonuç 2 gelecek şimdi burada sonuç 2 geldiğine göre a çifttir yani A'nın kesinlikle çift bir sayı olduğunu biliyorum bana diyor ki A'nın 2 basamaklı en büyük doğal sayı değeri için 2 basamaklı en büyük çift sayı Bana söyleyin Vallah 98 o zaman A yerine 98
16:57 yazacağım Var mı bir sıkıntı Hayır en büyük çift 2 basamaklı doğal sayı 98d şimdi bu neye dönüştü B kaçtır diyor buna göre 2 basamaklı rakamları farklı en küçük b sayısının 2 basamaklı bakın 2 basamaklı rakamlı şimdi 98'i 7'ye bölüp kalanı buraya yazacağız 98'i 7'ye bölüp kalanı yazdığımızda zaten 98'e tam bölünüyor yani işte eee 10 4 defa derseniz 98 değil mi kalan 0 oluyor arkadaşlar B 0 olabilir bakın B ne olabilir 0 olabilir Ben size modüler aritmetiği anlatmış ken ne demiştim Demiştim ki bu mod değeri bizim için çok değeri B'nin en küçük değeri yani burada bilinmeyen herhangi bir şey verilmişse bu bilinmeyen en küçük değerini bulmak bulduktan sonra mod ekleye ekleye diğer
17:44 değerleri de bulabiliriz 0a 7 ekleyin 7 7'ye 7 ekleyin 14 14'e 7 ekleyin 21 21'e 7 ekleyin 28 28'e 7 ekleyin 35 Böylelikle Sonsuz tane değeri bulabiliriz B 0 da olabilir B Bunların hepsi olabilir Şimdi di diyor ki 2i basamaklı rakamları farklı en küçük e 14 B'nin alabileceği 2 basamaklı en küçük rakamları farklı 14'tür cevabımız Adana Tamam birler basamağı kaçtır Hocam hocam birler basamağı dediği zaman sürekli yani mod 10'dur anlamına geliyor 10'a böl kalanı yazı anlamına geliyor 7 7 üzeri 1 ile başladım 10'a bölsem kalan 7 olur 7in karesi 49' durur 49'u 10'a bölsem kalan 9 olur 7'nin küpü künü hesaplamak zordur ama 7 kere 9 63 63'ü 10'a bölsek kalan 3 olur 7 üzeri 4'e
18:31 geldim sevgili arkadaşlar 7 üzeri 4 7 x 3 21 21'i 10'a bölsem kalan 1 olur burada 4te bir tekrar ediyor demek ki 1 bir tekrar ediyorsa bu üssü 4E bölüp kalanı yazacağım e üs nedir Vallah 7 üzeri 12x + 79 var ya ben 12x + 79'u 4'e böleceğim kalanı yazacağım Bakalım ne oluyor zaten arkadaşlar yani bu 4'ün katıdır yani değil mi oraya kafayı takın bu zaten 4'ün katıdır Dolayısıyla buna bakın 19 defa derseniz 76 kalan 3 çıktı ver asıl arkadaşlar Bakın bu zaten 4'ün katıdır 79'u 4E bölsek kalan 3 oluyor 3 oluyorsa 3 adıma bakıyorduk 3 adımda 3'tür O zaman bu 3'e denktir cevabımız yani Birler basamağı 3 olacak olduğuna göre Zini alabileceği en küçük pozitif tam sayı değeri kaçtır diye soruyor
19:18 şimdi Z'nin alabileceği en küçük değer Değil mi arkadaşlar Z'nin alabileceği en küçük değer mesela Y'ye ne diyebiliriz y x y z eee i x'e ne diyebiliriz arkadaşlar işte 1 dersek 5 kere 1 5 5'i 7'ye bölsek kalan 1 olmaz 2 dersem 5 xere 2 10 kalan 3 olur 3 dersem 5 kere 3 yani x 3'tür Demek ki değil mi 5 xere 3 15 15'i 7'ye böldün kalan 1 bitti gitti X3 arkadaşlar X3 y'yi bulalım tamamı xi 3 olduğunu anladınız değil mi x'in alabileceği en küçük değer 3'tür y'nin alabileceği en küçük değeri bulalım 3 K 1 3 olmaz 3 x 2 6 6 7 böl 4 olmaz 3 x 3 9 bakın Bu da 3 çıktı 3 x 3 9 Eyvallah olmadı 3 x 3 9
20:06 7'ye bölsek kalan 4 olmaz 2 olur 4'e deniyorum 3 kere 4 12 7'ye böl kalan 5 3 K 5 15 15'i 7'ye böl kalan 1 3 kere 6 18 18'i 7'ye bölün gerçekten bakın 2 x 7 14 kalan 4'ü sağlıyor He y'nin de alabileceği en küçük değer 6'dır Şimdi bana şunu sorabilirsiniz hocam burada x y 3 basamaklı bir sayı mı yoksa x Ç y x ZD mi arkadaşlar Eğer bir soruda Mesela diyelim ki eğer bu 3 basamaklı olsaydı emin olun sorunun başında mutlaka belirtir sorunun başında 2 basamaklı 3 basamaklı gibi şeyler görmediğiniz sürece bunların hepsi çarpmadı Yani kısacası Burası x Ç y x ZD tamam mı Çok
20:52 güzel x'i Biz 3 bulduk 3ün karesi 9 + Burası X3 y6 z z ZD 9 6 denktir 3 bakın denktir 3 mod 7 oldu tamam mı Yani ne oldu arkadaşlar bakın 9 + 3 kere 6 18 yani 18z denmiş 3'e mod 7 Zaten arkadaşlar bundan sonra yani g teorik çözmeyi yani diyor ki x en az kaçtır şey Z en az kaçtır şıklarda en küçükten büyüğe doğru verin yani acaba en az 2 mi 2 yazsak 18 x 2 36 36'ya 9 eklersek 43 45 Değil mi arkadaşlar 45'i ben 7'ye bölsem gerçekten kalan 3 oluyor mu al k 7 42 kalan 3 sağladı cevabımız E tamam
21:40 Bitti gitti yani çok zor düşünmeyin sevgili arkadaşlar Ya da şöyle yapın 3'ü karşıya gönderin 99'dan 3 çıkarın 6 + 18'i 7'ye bölsek kalan 4 oluyor 4z 0 işte mod 7 buna 2 dersek sağlıyor mu 4 x 2 8 Yani en küçük Z değerini bulun dediğine göre 1 diyorum 4 kere 1 4 6 daha 10 10u 7'ye bölmedi 2 diyorum 4 kere 2 8 6 ekle 14 14 gerçekten 7'nin katı oldu Demek ki 2'dir tamam böyle de çözebilirsiniz eyvallah 7 ile bölümde kalan kaçtır 1 faktöriyel 1'dir 7'ye böse kalan 1 olur 2 faktöriyel 2'dir 3 faktöriyel 6'dır isterseniz yazalım Sonra 4 faktöriyel 24'tür 5 fakel 120'dir
22:28 6 faktöriyel 720d 7 faktöriyel 8 faktöriyel 9 faktöriyel bunları yazmamıza gerek var mı arkadaşlar yazmamıza gerek yok 7 ile bölümde kalan kaçtır 7 faktöriyel zaten 7'nin katıdır 7'ye böl kalan 0 8 faktöriyel içinde 7 çarpanı var hesapladığımız 7'nin katıdır Bunların hepsi 7'nin katı olduğu için bunların kalan 0 olacak o zaman buna bakacağız arkadaşlar He bir de üzerinde 100 var değil mi pyi Onu da unutmayalım arkadaşlar diğerleri bakın 0 oldu yani 7 faktöriyel ve ondan sonra ilerin hepsinin toplamı 7'ye bölsek kalan 0 olduğu için onları yazmadım diyor ki bu sayı 7'ye böldüğümüzde kalan kaç olur yani mod 7'ye göre git diyor değil çok güzel e gidelim Bakalım 7'ye böldüğümüzde kalan kaç oluyor Bir kere 6 1 daha 7 7'ye böl
23:16 kalan 0 olur bu zaten 0 Mesela e 2 ile 24'ün toplamı 26 26'yı bununla topladım 120 ile 26'nın toplamı 146 146 yı 7'ye bölüyorum hemen kaç oluyor e 20 defa dersek 140 kalan 6 mı çıkıyor Evet kalan 6 oldu Şu ana kadar 720i arkadaşlar 720i 7'ye bölsek kalan kaç olur işte 102 dersek değil mi 102 dersek e 14 714 çıkar kalan 6 oldur bundan da kalan 6 geldi ikisinden kalan 12 geldi bak bakın ikisinden kalan 12 geldi kalan 12 olamaz 12'yi tekrar 7'ye bölüyorum
24:03 12'yi 7'ye bölüyorum 1 kere 7 7 kalan 5 oldu 5'e göre gideceğiz O zaman yani 5 üzeri 100 oldu eyvallah 5 üzeri 100 denktir x mod 7 hocam Ne yaptınız arkadaşlar bunların hepsini topladım 7'ye böldüm kalan 5 çıktı Eyvallah üstünde de 100 var Tamam çok güzel şimdi bu burasını nasıl yapıyorduk arkadaşlar işte 5 üzeri 1 ile başlayacağım 5 üzeri 1 5'e böse kalan 5 olur 5in karesi 25'tir direkt geliyor zaten değil mi bakın 5 üzeri 1 yuvarla direkt gelmiyor 5in karesi 25'tir 25'i 7'ye bölsek 3 kere 7 21 kalan 4 mü oluyor Eyvallah kalan 4 oluyor 5in
24:48 küpüne geldik 5in küpü 125' ya da 5 k 4 20 20'yi 7'ye bölsek kalan 6 oluyor 5 üzeri 4'e geldim 5 hesaplana gerek yok 5 k 6 30 30'u 7'ye bölsek kalan 2 olur 5 üzeri 5'e geldik 5 kere 2 10'dur 10u 7'ye bölsek kalan 3 olur 5 üzeri 6'ya geldik 5 üzeri 6 ilk ve son adımı Değil mi arkadaşlar 5 kere 3 15 15'i 7'ye bölsek kalan 1 olur arkadaşlar Eğer konu anlatımını dinlemeyip buralara gelmişseniz şu an zaten size Fransız gibi geliyordur bu konu Eyvallah konu anlatımında bunları nasıl niye böyle yaptığımızı göstermiştim mantığını göstermiştim şimdi 5 üzeri 100'ü buluyoruz Değil mi arkadaşlar 5 üzeri 100 neye denktir burada 5 üzeri 100 burada kaçta bir
25:34 tekrar ediyor 6da Bir tekrar ettiği için 100'ü 6'ya bölüyorum 100'ü 6'ya böldüğümde 16 defa dersek Örneğin 96 kalan 4 çıkıyor ya bu 4 adıma git anlamına geliyor e 4 adımda ne var 2 var arkadaşlar Demek ki 2 olacak yani Burası olacak değil mi 5 üzeri 4 2'dir Yani bu 5 üzeri 4'e denktir Bu da 2'ye denktir tamam mı öyle düşünün arkadaşlar cevabımız Denizli Evet X ve Y birbirinden farklı pozitif tek sayılar birbirinden de farklıymış Buna göre x + y toplamı en az kaçtır arkadaşlar zaten Yani hangi sayıyı 4'e bölsek kalan 4 olur değil mi Yani bu bu anlama gelmiyor mu yani Mesela 4'ü hangi sayıyı 5'e bölsek kalan 4 olur 4 5 ekleyin 9 5
26:21 ekleyin arkadaşlar biraz zorlanıyorsunuz ha 14 5 ekleyin 19 5 ekleyin 24 Yani kısacası arkadaşlar buraya 4 yazabilirim mesela diyor ki İkisi de birer tek sayıdır farklıdır ya 9 yazayım birine diğerine de 19 yazayım çift sayı olmadığı için tek sayı demiş 19'u 5'e böl kalan 4 9'u 5'e böl kalan 4 Eyvallah x en az 9 y en az 19'dur Demek ki birbirinden farklı olduğu için toplamları en az 9 9 9 18 daha 28'dir cevabımız burasa en küçük pozitif Atam sayısı kaçtır diye soruyor arkadaşlar şıklardan gidin ha Allah aşkına yani bunlarla ilgili zaten soru gelmiyor Arkadaşlar gelme ihtimali gerçekten çok düşüktür yani A yerine ne
27:08 yazsak sağlar yani Mesela 3 oluyor mu deniyorum zaten en küçük dediği için en küçüğünden başladım 5in küpü 125 denktir bakalım 3 3 daha 6 mı gerçekten 125'i 7'ye bölsek kalan 6 oluyor mu bölüyorum 1 k 7 7 12'den 7 çıkar 5 55 oldu 7 k 7 49 55'ten 49 çıkartım 6 Vallah sağladı e bitti Bu yani He vallah ya da tek tek yapacaksınız işte 5 üzeri 1 işte 5'tir 5 üzeri 2 falan Sonra bua tahminine yürüteceğiz hiç gerek yok arkadaşlar önemli soru olmadığı için geçiyorum bunlarla ilgili soru gelme ihtimali çok düşüktür Hani belki bir yerde belki milyonda bir de olsa karşısına gelir diye işliyorum sayısının 5 ile bölümünde kalan kaçtır diyor arkadaşlar 99'u 5'e bölün kalan 4 Burası 4 üzeri 83 müş gibi
27:56 düşünebiliriz o zaman 4 üzeri ile başlıyorum 4'tür 5'e bölsek 4'ün karesi 16'dır 16'yı 5'e bölsek kalan 1 oldu Burada zaten 2 bir tekrar etti 83 tek olduğu için tekse sonuç 4 olacak arkadaşlar çift olsaydı sonuç 1 olacaktı cevabımız ne çıktı Edirne çıktı devam K olduğuna göksin alabileceği negatif e alabileceği negatif en büyük 2 tam sayının toplamı kaçtır arkadaşlar bunların hepsini bir tarafa atalım Mesela şunu da bu tarafa atıyorum bunu da bu tarafa atabiliyoruz -10 + 10 olarak göndersek orası 15 olur x'i - x olarak gönderdim orası - 3x denk 0 mod 7 oldu şimdi benden neyi istediği Çok önemli çünkü ben şunu biliyorum sevgili arkadaşlar buradaki sayı kesinlikle 7'ye
28:43 tam bölünen bir sayıdır 7'nin katıdır Şimdi burası 7'nin katı mı Eyvallah diyor ki x'in alabileceği negatif en büyük 2 tam sayı Şimdi en büyük negatif tam sayılar -1 -2 şöyle küçükten küçüğe doğru yazıyorum arkadaşlar negatif sayıları değil mi en büyük negatif tam sayı -1 -2 -3 Bunlardan hangisi olur onu düşünelim Bir Şimdi ben buraya negatif olarak x yerine ne yazarsam Burası 7in katı olur -1 yazarsam 18 olur -3 ile -1'in çarpımı + 3 15 15 topla 18 18 7'ye Bölünmez olmadı -2 veriyorum -3 ile -2 çarpımı + 6 15 daha 21 oldu o zaman -2 olur E ben size ne demiştim arkadaş
29:28 Bu tarz durumlarda x'in alabileceği değerleri bulurken e en küçüğünü buldunuz mu diğer değerlerini 7 ekleye ekleye ya da 7 çıkara çıkara bulabilirsiniz mesela x'in alabileceği bir sonraki değer bundan 7 çıkarın -9 negatif olsun istiyor mesela diğer değer neddi bunu 7'ye ekleyin 5 de olur ama Bize negatifleri soruyor bundan 7 çıkarttım -9 hiç düşünmene gerek yok en küçük ik tanesi bunlardır en küçük 2 tam sayının toplamı kaçtır diyor bunların toplamı -11 dirir cevabımız Adana yine önemli bir soru değildi denklem s değeri kaçtır bir kere m ü 1'dir şunu bu tarafa attım 43 ile E 29'un toplamı nedir 72 mi 72 denk 0 mod M Bu ne anlama geliyor hocam hocam Hocam hocam Hocam ben biliyorum Bu şu anlama geliyor 72 m' tam
30:14 bölünüyor o zaman demek ki 72'nin pozitif tam bölenlerine bakacağız yani 1 2'ye bölünür 3'e bölünür En son nereye gideceğiz 72'ye bulunur 72'nin kaç tane pozitif böleni var Hemen 2 üzer 3 x 3 üzeri 2 diye çarpanlarına ayırdım 8 kere 9 72 üsü 1 artırdım 3'ü 1 artır 4 üsü 1 artırdım 2'yi 1 artırdım 3 4 kere 3 12 Normalde 12 tane alabiliyordu Yani bunun 12 tane pozitif böleni var en büyük 1 dediği için 1'i almıyoruz 12'den 1'i çıkarın 12'den bir tanesini çıkarın 11 tane M değeri var cevabımız ceyh hanır diyoruz devam ki olduğuna göre x aşağıdakilerden hangisidir Şimdi arkadaşlar 10'a böldüğünde kalanı yaz anlamına geliyor E ben bu sayıyı 10'a bölsem kalan 5 olur Art bu sayıyı 10A kalan 9 olur bu sayıyı 10'a bölsem kalan
31:01 6 olur 5 ile 9'un toplamı 14 14'ü 14'ü 10'a bölsem kalan 4 olur burada da 6 var 4 K 6 24 24'ü 10'a bölsem kalan 4 olur cevabımız 4'tür diyoruz diğer soruya geçiyoruz denkliğini sağlayan en küçük 2 farklı 2x pozitif tam sayının toplamı kaçtır vall Arkadaşlar bunu bu tarafa atıyorum 5x 2x çıkar vall 3x bunu bu tarafa attım 3'ten -12 çıkar -9 mu He eş 0 mod 5 buraya kadar var mı bir sıkıntı hayır Değil mi arkadaşlar Evet şimdi burada diyor ki en küçük 2 pozi x tam sayısını bul x yerine ne yazarsam 5'e tam bölünür 1 yazarsam Olmaz Değil mi arkadaşlar 2 yazarsam 3 kere 2 6 olmaz 3
31:47 yazarsam 3 kere 3 9 V oldu yani x yerine 3 yazsak 9 -9 0 5'e böldüğümde kalan 0 3 oluyorsa 5 ekle 8 de olur değerini ekleye ekleye diğer değerleri bulabiliyoruz 3'e 5 ekle 8 88'e 5 ekle 13 13'e 5 ekle 18 18'e 5 ekle 23 Böylelikle Sonsuz tane x değerini bulabilirim en küçük 2 pozitif x tam sayısını bul diyor biri 3'tür biri 8'dir 3 ile 8'in toplamı En küçükleri bunlardır toplamları da 11 oldu devamel sayısının birler basamağının 8 olması için A'nın alabileceği en küçük pozitif tam sayı değeri kaçtır arkadaşlar Bakın şu sayıyı da bahsediyordu ama o sayıyı bir daha yazalım mı Yani 32 üzeri 32 üzeri
32:35 4004 + A bu diyor ki birler basamağının 8 olmasını istiyor Yani 88'e denk birler basamağı deyse mod 10'a göre değil miydi Evet yani mod 10'a göre yani bu sayıyı 10'a böldüğümüzde kalan 8 olması için a ne olmalı diyor arkadaşlar yani ister şıklardan gidin isterseniz ben direkt şöyle yapayım size mesela 32i ufalt 32i 10'a bölsek 2 yani burası sanki 2 üzeri Değil mi arkadaşlar 32y 10'a bölsek kalan 2 oluyor ya sanki 2 üzeri buymuş gibi davranabiliriz yani hocam anlamadım arkadaşlar 2 üzeri a diyelim 32i 10'a bölsek kalan 2 olur ya bu 2 üzeri A'ya denktir tamam mı Çok güzel şimdi 2 üzeri 1'i 10'a bölsek kalan 2 olur 2 üzeri 2
33:21 4'tür 10'a bölsek sürekli 10'a bölüyorum mod 10 olduğu için kalan 4 olur 2in küpü 8D böl kalan 3 2 üzeri 4 16'dır kalan 6 oluyor ya da 2 x 3 6 2 üzeri 5 32'dir kalan 2 olur 2 üzeri 6 64 kalan 4 olur Bakın buradan tekrar etti gördünüz mü arkadaşlar kaçta bir tekrar ediyor 4 bir tekrar ediyor Gördüğünüz üzere 2 4 3 6 2 4 3 6 diye gelecek şimdi sonucun 8 olması için arkadaşlar 8 olması için bu arada Arkadaşlar burası 8D çok özür diliyorum 2ü 2 2 karesi 4 2in küpü 8 10u bölsek kalan 8 2 üzeri 4 16 kalan 6 zaten tekrar ediyor Bunu anladınız şimdi sonucun 8 olması için şurası 3
34:07 adım olmalı Peki ne yapıyorduk Biz Arkadaşlar biz bunu bu üsü alıyorduk değil mi 4004 + A bu üsü alıp 4'e böldüğümüzde değil mi Son hamlem böyleydi kalan ne çıkıyordu kalan 3 çıkması lazım ki biz 3 adıma gidip 8 yazalım He o zaman ben diyorum ki bu sayıyı Biz 4'e böldüğümüzde kalan 3 olmalı E bu zaten 4E bölünüyor 404 Zaten 4004 zaten 4'e bölünüyor A yerine 3 yazarsam kalan 3 olur Demek ki an alabileceği en küçük değer 3'tür ya da şıklardan gidersiniz Arkadaşlar bu şekilde çözülür A'nın pozitif tam sayı değeri kaçtır diyor x'i 5'e bölsek kalan 3 oluyor x yerine direkt 3 yazabilirim mesela eval x yerine 3 yazalım e 3 üzeri 1 5'e bölsek kalan 3 olur 3ün karesini
34:55 5'e bölsek 3 kere 3 9 9'u 5'e bölsek kal ol 3ü 3 3 x 4 12 12'yi 5'e bö kalan 2 olur 3 üzer 4 81d ya da 3 4 3 x 2 6 6'yı 5e böl kalan 1 olur değil mi arkadaşlar 3 üzeri 8'e bak diyor 3 üzeri 4 1 ise 3 üzer 8 de 1ir a 1ir bitti gitti başka bir şey yok yani Eyvallah olduğuna göre hangis olab şimdi burayı 10A bölsek kalan 7 ya 7777 Buray 7 xek yazabiliriz neymiş den 9 mod 10 aynı tar soru yine a alet ne yapacağız Vallah kendimizi perişan edeceğiz diyor ki x Aşağıdakilerden hangisi olabilir Arkadaşlar 7 üzeri 1'i Ben 10'a bölsem kalan 7 olur 7in karesi 49' durur 49'u 7'ye bölsem kalan 9 olur 7'nin küpüne
35:41 bakalım sevgili arkadaşlar 7'nin küpü nedir işte 7 K 9 63 63'ü 10'a bölsek kalan 3 olur 7 üzeri 4 nedir 7 üzeri 4'ü hesaplamak zordur 7 x 3 21 21'i 10'a böldün kalan 1 olur kalan 1 ya da 0 olduğunda duruyorduk 4te 1 tekrar ettiğini görüyorum o zaman 7 üzeri x bu neye denk olmalı sevgili arkadaşlar 9 olduğuna göre 2ci adıma denk olmalı Bu da şu anlama geliyor xi 4E böldüğümüzde x'i 4E böldüğümüzde kalan 2 çıkacak ki biz 2 adıma gidip 9 yazabilirim Yani kısacası arkadaşlar x'i 4'e böldüğümüzde kalan 2 çıkmalı x Aşağıdakilerden hangisi olmalı bilmiyorum ama 4E bölündüğünde kesinlikle kalan 2 olmalı bunu 4'e
36:26 bölsek kalan olur Bunu 4E bölsek kalan 2 olmaz bakın Bunu zaten direkt cevap C çıktı 62 4E böldün kalan 2 olur arkadaşlar bunu 4E bölsek kalan 1 olur Bunu 4E bölsek kalan 0 olur cevabımız ceyhan' umarım anlaşılmıştır K pozitif tam sayı olmak üzere Arkadaşlar bu sorularda Eğer çok zorluk yaşıyorsanız ve vaktiniz de yoksa bunlarla ilgili soru gelme ihtimali çok düşüktür tamam mı Bunları kafaya takıp da moralinizi bozmayın Eyvallah Burası hocam Vallah Burası 3 üzeri k x 3 üzeri 1'dir yani 3 hocam Vallah Burası y arkadaşlar ne yapıyorum biliyor musunuz 3 üzeri K ortak parantezine alıyorum He vallah 3 üzeri K ortak parantezine alsam burada 3 üzeri 1 kalır burada 3ün karesi kalır burada 3 üzeri 3 kalır neye denktir işte
37:13 a mod 39 3ün küpü 27'dir 2 3ün karesi 9'dur Burada da 3 var ne geliyor 30 39 mu evet 3 üzer k x 9 denktir a mod 39 oldu Var mı bir sıkıntı Hayır yani diyor 39'a böl kalanı yaz Arkadaşlar bu zaten 39'un katıdır yani Burası 39n gibi bir şeydir değil mi 39' la çarptığımız için ben bu 39'un katı olan sayıyı 39'a bölsem kalan 0 olur a 0'dır He vallah cevap Adana en küçük 2 basamaklı x Doğa sayısı kaçtır diye soruyor arkadaşlar 99'u 10'a bölün yani her zaman bölün kalanı yazın yani bu bölen oluyor mesela 10'u 9'a
37:58 bölsek kalan 1 buraya 1 yazın y Sanki hiç yokmuş gibi davranın a 2 değil mi a 2 mod 9 oldu o zaman nasıl arkadaşlar bakın 10u 99'a bölsem kalan 1 oluyor ya o kalan 1'i yazın tamam mı Çok güzel hepsini tek tek 9A bölebilen küçük kaçtır arkadaşlar 11 11'i 9A bölsek kalan 2 olur cevap Burası Eyvallah olduğuna göre sis Şimdi burada arkadaşlar e şöyle düşünelim bakın şöyle düşünelim mod 7 ya mod değerini istediğimiz kadar istediğimiz yere ekleyip çıkartabiliriz ne demek istiyorum mesela - 155'i ben artı yapmaya çalışıyorum ne yaparım o zaman 7'nin katlarını Yani buraya bir 7 ekleyebilirim istediğim kadar 7 ekleyebilirim ya Yani 7'nin bir katını
38:45 ekleyelim ki pozitif olsun mesela ne ekleyebiliriz 14 7'nin katıdır 7'yi ekle 147 7 ekle 154 e 7 ekle 161 azizah buraya 161 arkadaşlar 161 7'nin katıdır 161 ekliyorum direkt buraya tamam mı 161 7'ye bölünüyor sevgili arkadaşlar eklersek ne olur 6 olur değil mi 161 155'i çıkarın 6 olur Dolayısıyla Burası 6y mış gibi davranabiliriz Yani 6 üzeri 79 Eee - 79 fark etmez - 79 yazın denktir x + 2 mod 7 şimdi bu ben bu sayıyı 7'ye bölsem kalan kaç olur arkadaşlar
39:31 başlıyorum 6 üzeri 1 7'ye bölsem kalan 6 6 karesi 36'dır 36'yı Ben 7'ye bölsem kalan 1 olur değil mi arkadaşlar bakın 36'yı 7'ye bölün 5 kere 7 35 kalan 1 oluyor e burada duruyoruz zaten 1 geldiğinde duruyorduk arkadaşlar bakın şurada ü hocam çift falan bilmem eksi o kafanızı karıştırmasın üst 1 ise y mesela 6'ın 3ü ne gelecek yine 6 gelecek 6 üzeri 4 yine 1 gelecek Yani üst çift 1 geliyor üst tekse 6 geliyor burada üst tek olduğu için bunun sonucu 6 buranın sonucu 6 e burası 6 ise Burası da 6 olmalı Çünkü 6'yı ben 7'ye böldüğümde kalan 6 oluyor x de o zaman 4'tür Çünkü 4 ile 2nin toplamı 6'dır Tamam mı direkt böyle çözün geçin çok da önemli bir soru
40:16 değil toplam birler basamağ rakamı kaçtır Şimdi arkadaşlar 8'in birler basamağındaki rakam kaçtır 88'i 1'e böldüm 8 10'a bölsek birler basamağı diyorsa mod 10'dur arkadaşlar her zaman mod 10A göre git diyor 8in karesi 64 10A bölsem 4 olur 8in küpü Vallahi hesaplamak zordur Ama 8 kere 4 32 10'a böl kalan 2 8in 4 kuvveti 8 xere 2 16 16'yı Ben 10'a bölsem kalan 6 olur 8in 5 kuvveti 8 xere 6 48 kalan 8 olur Bakın burada tekrar edecek yani 14 tekrar ediyor O zaman ben bunu 4'e bölsem Şuradaki üssü 4'e bölsem bu zaten 4'ün katı 4'e bölsem kalan 3 olur 3 adıma gidiyorum o zaman 3 adım da 2'dir yani buranın sonucu 2 çıktı 5 zaten özel bir
41:03 sayı 5 üzeri 1 10A bölsek kalan 5 olur 5in karesi 25'tir 10A bölsek kalan 5 olur 5in küpü 125' 10A bölsek kalan 5 olur yani 5'in Kuvvetleri sonu 5 birler basamağı hep 5 gelmiyor mu Evet burası zaten 5 olacak artı 7'ye bakıyorum 7 üzeri 1i 10'a böl kalan 7'dir 7in karesi 49d 10'a böl kalan 9'dur 7in küpü bilmiyorum 7 K 9 63 63'ü 10'a bölsem kalan 3 olur 7 üzeri 4'e bakıyorum 7 x 9 6 21 değil mi 7 x 3 21 21'i 7'ye bölsem kalan 1 olur burada kesiyorum 4te 1 tekrar ediyor 4E böldüğümde kalan kaç oluyor 1 oluyor kalan 1 oluyorsa 1ci adıma bak burası da 7 oldu eyvallah bakalım burası sonuç kaç geldi 2 5 daha 7 7 daha 14 geldi diyor ki birler basamağındaki rakam yani hala 10'a böl diyor 1 kere 10 10 kalan 4 birler
41:51 basamağındaki rakam Gördüğünüz üzere 4'tür cevabımız Denizli Eyvallah devam olduğuna g an hangisidir Şimdi arkadaşlar burada ne ne yapacağız Ne yapacağız 3 üzeri 1 ile başladık mı He vallah 3 üzeri 1 denktir Bey 81 var burada He Arkadaşlar cevap sıfır He vallah Hocam hocam nasıl bana da gösterir misiniz V Kurban olayım sana sevgili arkadaşlar Burası zaten 3'ün kuvveti değil mi yani 81'in katıdır 81 3 üzeri 4 ya 3 üzeri 4'tür 81 e şimdi 3 üzeri 4'ü yani bakın burada 3 üzeri 4 bakın Şurayı şöyle yazabilir miyim 3 üzeri 4 çp işte buradan 4 çıkarın 3 üzeri geriye kalanı yazarsınız şöyle E bir şey yazabilir miyim Evet arkadaşlar 81 XP Yani bu bu
42:36 şöyle yazılabileceğini en dolayı 81'in katıdır 81'in katıysa 81'e böse kalan 0 olur Bitti gitti 12 ile bölümde kalan kaçtır Şimdi bunu 12'ye bölelim hemen 2 9 8 7 bunu 12'ye bölün arkadaşlar 2 kere 12 24 çıkarttım 58 4 xere 12 48 çıkartım 10 7 8 K 2 8 k 12 96 kalan ne çıktı 11 çıktı Eyvallah kalan 11 çıktı şimdi kalan 11 çıktı ya arkadaşlar orada sanki 11 üzeri şu zımbırtı varmış gibi düşüneceğiz diyor ki bunu 12'ye böse kalan kaç oldu yani mod 12'ye göre kaçtır diyor E tamam
43:23 Arkadaşlar bunu nasıl yapacağız şimdi 11'in 1 kuvveti 12'ye böse kalan 11 olur küçük olduğu için 11in karesi 121 121 12'ye bölsem e arkadaşlar Direkt 1 çıktı 120 bakın 10 defa var 120 kalan 1 çıktı burada kesiyorum Demek ki üst çift sonuç 1 gelecek üst tekse sonuç 11 gelecek üst çift mi vall sonuç 1 gelecek çiftel X1 harikas toam ile bölümde kalan kaçtır diyor 17 ile bölümde kalan kaçtır arkadaşlar bakın mod değerini istediğimiz yere istediğimiz kadar ekleyip çıkartabiliyor olduk Yani diyor ki bu neye denktir mod 17'ye göre değil
44:10 mi 17'ye bakın mod değerini burayı unutmayın arkadaşlar mod değerini istediğimiz yere istediğimiz kadar ekleyip çıkartabiliriz Şimdi mesela Bakın bu 1den İstediğiniz yere istediğiniz kadar Ha tamam mı Mesela mod 17'dir ben bu 1'den 17 çıkartıyorum 17i çıkarın 16 değil mi -16 Ama -16 üzeri 15 olmadı mı orası Evet bu 2'den de 17 çıkartıyorum 2'den 17y çıkarın 15 -15 ama -15 üzeri 15 oldu mu evet bakın devam ederse mesela burada Bundan sonra ne gelecek 3 üzeri 15 gelecek 3'ten de 17 çıkartıyorum 10 -14 oluyor -14 üzeri 15 bu bu şekilde devam ediyor arkadaşlar zaten buralarda dikkat edin Burada ne var işte 16 üzer 15 var bundan önce ne
44:58 var 15 üzeri 15 var bundan önce ne var işte 10 5 üzeri 14 var e arkadaşlar bakın topladığımızda bu bunu götürecek şu şunu götürecek bu bunu götürecek 0 gelecek değil mi E tamam cevap Ed Eyvallah konu anlatımda bunları detaylı İşlediğim için arkadaşlar hızlı geçiyorum x aşağıdakilerden hangisidir diyor arkadaşlar Bir kere ben bu sayıyı 10'a bölsem kalan 3 olmaz mı Evet e 3 olacaksa 3 üzeri -2000 İşte şu sayı varmış gibi davran Bence daha güzel olur bizim için mod 10A göre gideceğiz birler basamağındaki rakam kaçtır diyor 3 üzeri 1 3'tür mod 10A göre 3ün karesi 99'dur 9u 10A bölsek 9 olur 3ün küpü 27'dir 7 olur 10A bölsek 3 üzeri 4 81d ya da 3
45:44 kere 7 21 10A böl kalan 1 olur kestim Burası 14 tekrar ediyor sevgili arkadaşlar bunu 4E bölsek kalan kaç olur 250'yi 4E bölün son basamağa bakmanız yeterli 8 kalan 2 olacağı 2 ise 2 adıma gidiyorsunuz Yani cevabımız ne olacak 9 olacak hocam ü eksi ise Aynen böyle yine yapın gitsin Hiç şey yapmayın yani kafanızı yormayın zaten gelmeyecek x aşağıdakilerden hangisidir Şimdi burada arkadaşlar ben bunu hemen Ne yapıyorum 9A bölüyorum ufaltılır Bu sayı 3 6 daha zaten 9 3 5 daha 8 kaldı yani 8 üzer 2999 varmış gibi düşünebilirim E tamam arkadaşlar 8 üzeri 1 ile başlayalım 9A böldün kalan 8 8in karesi 64 64'ü 9'a
46:29 bölsem kalan 1 oldu devam edin 8 üzeri 3 8 kere 1 yine 8 gelecek 8 üzeri 4 8 kere 8 64 9'a bölün kalın 1 arkadaşlar 64'ü 9A bölsek kalan 1 olur tamam mı bakın üst çiftken 1 geliyor üst tekse 8 geliyor e burada üst tek mi vall 8 gelecek bu 88'e denktir cevabımız Edirne tamam mı arkadaşlar olduğuna göre x aşağıdakilerden hangisidir diyor deminki yöntemle çözebilirsiniz sevgili arkadaşlar mod değerini istediğiniz kadar İstediğiniz yere ekleyip çıkartabiliyor Eyvallah mesela buradan bir 1den bir tane 213 çıkarın tamam çıkartıyorum ki birbirlerini götürsünler Çünkü üstler de tek arkadaşlar yani ne demek istiyorum
47:14 Biliyor musunuz arkadaşlar Bakın şu 1den 213 çıkartabilir miyim çıkartabilirim üzerinde de 13 var Ne oldu 212 - 212 oldu Bir de tek kuvveti - oldu - 212 üzeri 13 oldu Ne yaptım mod değerimiz 213 tür mod değerimiz istediğimiz yere istediğimiz kadar ekleyebiliriz istediğimiz kadar çıkartabiliriz Bu bilgiye sahibiz konu anlatımda görmüşüz ne yaptım buradaki tabanlar var ya arkadaşlar bu 1'den 2013'ü çıkarttım 2012 oldu devam ediyorum 2'den de benzer şekilde 2013'ü çıkartıyorum 2000 2'den 2000 Pardon 2'den 23'ü çıkartırsak ne olur 211 mi mi - 211 üzeri 13 oldu Buradan da 213
48:01 çıkartıyorum 3'ten 213 çıkarsak - 210 üzeri 13 Arkadaşlar bu böyle devam etmeyecek mi Evet bu böyle devam edecek bakın buraları da ben çevirmiyor tamam mı buraları çevirmiyor yani işte orada ne var 211 üzeri 13 var yani kalkıp da bundan mod değerini çıkartmaya onu öyle bırakıyorum yani bunları çıkarttım ki birlerini götürsünler bundan önce ne vardı 210 üzeri işte E sen söyle Korkma korkma söyle 13 bundan önce Eee efendime söyleyeyim 209 üzeri 13 mü vardı Evet bu bu şekilde devam ediyordu diğerleri aradadır Zaten arkadaşlar diğerleri aradadır bakın bunları topladığınız Arkadaşlar şu mantıka 0 olur zaten Neden Çünkü bu bunu götürecek şu şunu götürecek bu bunu götürecek bu
48:48 bunu götürecek 0 olacak şimdi bunların eksilisi artılı sı var Eyvallah geriye bu kalıyor şimdi bunu keşke çevirmesi Eyvallah bunu hiç çevirmeye arkadaşlar yani ne demek istiyorum Bütün tabanları değil de yani Şuradaki tabanları böyle 213 çıkarttım ya bunu olduğu gibi yazıyorum yani 1 üzeri 13 yazıyorum ya 1'den 213 Yazım - 212 de yazabilirdim ama gerek yok ki burası zaten 0 burada 1 kaldı cevap o zaman 1'dir diyeceğim cevap burasa tamam mı Çok önemli çok güzel çok önemli olduğuna göre A sayısı aşağıdakilerden hangisidir mod 5 mi Burada H arkadaşlar 2 üzeri 3 zaten 8'dir yazın gitsin ya Neyi bekliyoruz 88'i de 5'e bölsek kalan 3 olur yazın gitsin 3 üzeri 5 3 üzeri 5
49:36 243 243 5'e böse kalan 3 olur yazın gitsin 2 üzeri 7 128d 128'i 5'e bölsek kalan 3 olur yaz gitsin kardeş ha bu zor mu bunu şöyle yapalım 28 üzeri 1 5'e bölsek kalan 3 olur 28 üzeri 2 3ün karesi 9 5'e bölsek 9u 5'e bölsek kalan 4 olur 28 üzeri 3'e baktım 3 K 4 12 12'yi 5'e böl kalan 2 28 üzeri 4 3 xere 2 6 6'yı 5'e bölsek kalan 1 olur şimdi burada 14 bir tekrar ediyor mod 4'tür Demek ki 99'u 4E böleceğim 9'u 4E böldüğümde kalan 5 oluyor pardon pardon 2 kere 4 8 kalan 1 oluyor 1 adıma bakacağız demekki 1 adımda 3'tür Burası
50:22 da 3 gelecek + 3 ile -3 gitti + 3 ile -3 gitti 0 kaldı cevabımız Adana Eyvallah olduğuna g Arkadaşlar şimdi 34'ü 32'ye bölsek kalan kaç olur hemen 34'ü 32'ye bölüyorum 1 kere 32 32 çıkartım 2 yani Burası 2m miş gibi düşünebiliriz tamam mı 2 üzeri 1876 denk x mod 32 x aşağıdakilerden hangisidir diyor şimdi bulalım tek tek arkadaşlar 2ü 1 Yani 32 34 1 34 üzeri 2 de yazabiliriz gerek yok yani bunu yazsak daha hoş olur onu yazsak da olur 2 üzeri 1 10 32'ye bölsek kalan 2 olur 2in karesi 4'tür bu 4 olur zaten direkt 2in
51:08 küpü 8'dir bu 8 olur 32'ye bölsek değil mi arkadaşlar kalan 8 olur 2 üzeri 4 16'dır 2 üzeri 5 32'dir 32'ye böse kalan 0 olur kalan kalan Kurban olayım sana 2ü 5 32'dir 32 32 bölsem Evet hocam 1 olmayacak mı diyorsun bana 1 kere 32 32 kardeş hep kalanlarla uğraşıyorsun kalan 0 arkadaşlar bundan sonrakilerde 0 gelmeyecek mi 2 üzeri 6 da 0 gelmeyecek mi buyla Bunu çarpıp yazmıyorum yani bundan sonra yani bu zaten 2 üzeri 5'in kuvveti değil mi Burası 2 üzeri 5 ya 32 bu zaten 32'nin katı değil mi o zaman x 0 olacak 32'ye bölsek kal 32'nin katı bir sayıdır 32'ye bölsek kalan 0 olur kalan kalan M aşağıdakilerden hangisidir
51:54 arkadaşlar direkt küp açılımından çözeceğim bunu bakın burada Bir küp açınımı var değil mi Çok güzel yani Bu küp açılımını şöyle yapabilir miyim yani x k + y kü isterseniz yazayım x k + y Kün bir açınımı vardı neydi hocam x + y'nin küpü - 3 x x x y x x + y Hatırladınız mı Evet arkadaşlar bakın x + y'yi zaten 8E böldüğümüzde kalan 5 yani x + y yerine 5 yaz diyor Eyvallah x + y yerine 5 yaz yazacağız Şuraya da 5 yazacağız x x y'yi de x x y'yi de 88'e böldüğümüzde kalan 2 oluyor ya buraya da 2 yaz diyor e 5in küpü 125 ek 3 x 2 6 6 x 5 30 oldu Burası ne
52:40 oldu 125'ten 30'u çıkarsak 95 95 mod 8'dir yani 95'i 88'e bölsek kalan kaç olur peki e bakıyorum işte 12 Ala dersek 96 11A dersek 88 95'ten 88'i çıkım 7 kalan 7'dir arkadaşlar yani burada M 7'dir Eyvallah olduğuna göre xini alabileceği en büyük negatif tam sayı değeri ile en küçük pozitif tam sayı değerinin toplamı kaçtır arkadaşlar direkt Değer verin yani çok fazla o tatlı canınızı sıkmayın Eyvallah mesela bakın 1 yazdığımda sağlıyor mu Ya da şöyle de yapabilirsiniz öyle gidelim öyle gidelim 1 yapsam olur mu İşte 1in karesi 1 -4 ile 1in çarpımı -4 oldu ek 3 K 1 3 işte -7 oldu bakın sonuç -7 çıktı
53:27 Ben mod değerini istediğim kadar ekleyebiliyorsunuz arkadaşlar Örneğin -4 5 ekleyin 1 olur orası x kym miş gibi düşünebiliriz - 3'e 5 ekleyin Bakın bu - 4 5 ekledim - 3'e 5 ekledim - 3'e 5 eklersem 2 2x oldu burası denktir 3 mod 5 arkadaşlar mod değerini istediğiniz kadar İstediğiniz yere ekleyebiliyorsunuz o yüzden yani -4 5 ekledim 1 1i yazmama gerek yok -3 5'i
54:14 anladın mı Çok güzel böyle yaparsan daha güzel olur mesela hangi x değeri burayı sağlar negatif tam sayı olarak çünkü en büyük negatif tam sayı bul diyor negatif tam sayılar -1 -2 -3 diye gidiyor -1 deniyorum arkadaşlar -1 kares + 1 -1 oldu olmadı -2 yerine yazıyorum sağlayacak mı -2 karesi 4 Burası da -4 oldu 0 3'ü vermedi -3'ün deniyorum hemen -3'ün karesi + 9 e 2 x 3 -6 Vallahi oldu -3'ün karesi + 9 2 k 3 -6 3'ü verdi Demek ki x'in alabileceği en büyük negatif tam sayı değeri de -3'ten sağlıyor Bakın 1i bir daha burada da deneyebiliriz 2 1 daha 3 Gerçekten 3'ü verdi x'in alabileceği en küçük negatif en büyük negatif tam sayı değeri
55:08 -3'ten alabileceği en küçük en büyük poz tam değerlerin toplamı kaçtır E bunu bu tarafa atarsak sevgili arkadaşlar 20 olmaz mı 23'ten 3 çıkarın 20 20 denktir 0 mod a değil mi Bu şu anlama gelmiyor mu sevgili arkadaşlar a 20 sayısı A'ya tam bölünmüyor mu kalan 0 olduğu için evet A sayısı ne olacak 1den büyük ol olacak yani 2 olur 22'ye bölünür 24'e bölünür 5'e bölünür 20 Bir de 20'ye bölünür A'nın alabileceği en küçük değer Vallahi 2'dir en büyük değer Vallahi 20'dir bunların toplamı kaçtır diyor 22' dirir cevabımız bursa' diyoruz geçiyoruz y kaçtır diyor sevgili arkadaşlar öncelikle bu sayıyı alıyorum yani Şurayı ilkine arkadaşlar Şurayı bir anlamaya çalışalım 2020'yi 2020'yi 13'e bölsek kalan kaç olur
55:54 bölelim bir yerde 2020'yi 133'e bölüyorum 1 kere 13 13 çıkartım 20'den 13 çıkartım 7 oldu 2'yi indirdim 5 x 13 65 72'den 65'i çıkartım 7 buradaki 0'ı da indirdim 5 k 13 65 kalan Değil mi arkadaşlar kalan 5 oldu verası 2020'yi ben 13'e böldüğümde kalan 5 olduğundan dolayı orası 5 üzeri 2030m gibi davranabiliriz yani 5 şöyle denktir x mod 13 tamam mı arkadaşlar güzel 5 üzeri şimdi 5 üzeri 1 ile başlayalım 5 üzeri 1 13'e böl kalan 5'tir 5in karesi 25'tir 25'i 13'e bölsek kalan 12 mi Olur değil mi 25'i 13'e
56:42 böleceğim mod 13 ya 13'e bölsem 1 kere 13 13 kalan 12 oldu 5in küpüne geldik 5in küpü 125' ya da 5 x 12 60'tır 60'ı 133'e böl 4 kere dersek 52 kalan 8 oluyor arkadaşlar Eyvallah 5 üzeri 4'e geldim 5 üzeri 4 5 kere 8'e Bak bunu hesaplam gerek yok 5 x 8 40 40'ı 133'e bölsek V 1 niye 3 k 13 39 kalan 1 Burası 1'dir 14 bir tekrar ediyor mu Eyvallah 14 bir tekrar ediyorsa arkadaşlar Şuradaki üst Nedir yani 5 üzer 2030'a Bakıyoruz ya 2030 tutuyorum 4E bölüyorum e 4 ile
57:28 bölünebilme kuralı son 2 basamaktır direkt kalanı hesaplamak istiyoruz zaten Yani en son 28 gelecek kalan 2 olacağı aşikar 2 ise bu 5 üzeri 2'ye denktir yani hangi adım yani 12'dir cevap Yani kısacası x 12 mi Evet x 12'dir arkadaşlar güzel e burayı hesaplamak yerine Hocam hocam x yerine 12 yazıp hesaplayabilirsiniz ben direkt yapayım Arkadaşlar burası çünkü x + 1in parantez karesidir Gördüğünüz üzere değil mi x + 1in parantez karesidir denktir y mod 13 arkadaşlar burada y çıkmamış ama şurası yd tamam mı Çok güzel x'i 11 buld 12 bulduk 12 ile 1'in toplamı zaten 13 13'ün karesi 169 169 13'ün katıdır 169 133'e bölsek kalan 0
58:15 olur y 10 a'dır Arkadaşlar cevap 0 devam ki Şimdi arkadaşlar Bakın bakalım 3 üzeri 5'i 7'ye bölsek kalan kaç olur 3 üzeri 1 hocam kalan 3 3 üzeri 2 7'ye böl kalan 3 üzeri 2 9'dur 9'u 7'ye bölsek kalan 2 3ün küpü 27'dir 7'ye bölsek ya da 3 kere 2 6 kalan 6 oluyor 3 üzeri 4 3 kere 6 18 18'i 7'ye bölsek kalan 4 olur 3 üzeri 5 3 K 4 12 12'yi 7'ye bölsek kalan 5 oluyor 3 üzeri 6 3 kere 5 15 15'i 7'ye bölsek kalan 1
59:01 olur bunları arkadaşlar konu anlatımda detaylı İşlediğim için bu konu anlatım değil yani sorudur bunlar sıkıntı yaşıyorsanız konu anlatımını mutlaka dinleyin 3 üzeri ben size soru soruyorum şu an 3 üzeri 2005 nedir hocam Vallahi bakıyorum 1 olduğunda duruyorduk tekrar eden sayısı 6'dır 6 adımda bir tekrar ediyor 25'i 6'ya bölüyorum kalanı yazmak için bakıyorum 3 x 6 çıkım 20 3 x 6 18 çıkarttım en son 5'i indirdim 25 6 x 4 4 x 6 24 kalan 1 oldu kalan 1 ise bu 3 üzeri 1'e denktir yani 3 üzeri 1 neydi 3'tü arkadaşlar 3'e denktir Kısacası buranın sonucu 3'tür
59:46 yani Burası 4/3 oldu arkadaşlar bakın 4/3 oldu Neye denktir x mod ne mod 7 arkadaşlar Bakın ben mod aritmetiği anlatırken size söyledim mod değerini Şuradaki mod değerini İstediğiniz yere istediğiniz kadar ekleyip çıkartabilirsiniz Mesela buraya bir tane mod ekliyorum ekleyebilir miyim Evet 4 7 daha 11 tam sayı oldu mu olmadı bir 7 daha ekliyorum Yani bir tane mod daha ekliyorum 7 7 daha 14 4 Daha 18 18'i 3'e bölün 6 Alın size anın alabileceği en küçük değer Eyvallah yani X nedir bulduk sağlayan en küçük x doğal sayısının doğal sayısının toplamı kaçtır şimdi şimdi şimdi şimdi şimdi arkadaşlar
1:00:34 0 faktöriyel Hocam vall 1'dir tamam mı Şu rengi değiştireyim artık ya bunu seçeyim dur dur dur dur dur dur dur bu hoştur ha Eyvallah 0 faktöriyel var birdir 1 faktöriyel 1'dir 2 fakt 2'dir 3 fakt 6'dır 4 faktöriyel 24'tür Değil mi arkadaşlar sonra 5 faktöriyel 6 fakt 7 fakt 88 faktöriyel diye gelecek ya 5 fakel 120'dir efendime söyleyeyim 6 fakt 720d hocam hepsini hesaplayacak mısınız arkadaşlar Yo 7 faktöriyel bakın 7 ve 7 sonra yani 7 fakel 8t + 9 faktöriyel var
1:01:20 ya Mesela bu böyle devam ediyor 7 fakel zaten 7in katıdır mod 7 ne demek 7'ye böl kalanı yaz 7'nin katı 7'ye bölsek kalan 0 olur 8 faktöriyel yine 7'nin katı bir sayıdır içinde 7 çarpanı var bunu 7'nin katıdır 7'ye bölsek kalan 0 olur Bunu 7'ye bölsek kalan 0 olur yani bundan sonrakiler 0'dır yazmana gerek yok İstersen 0 yaz tamam mı Çok güzel denktir x mod 7 Kısacası bunları toplayacağız 7'ye böleceğiz kalan Neyse x de odur Eyvallah ne oluyor mesela 6 1 daha 7 0'la gitsin zaten 7'nin katı arkadaşlar Ondan sonra bakıyorum 1 2 daha 3 24 daha 27 oldu şunu ekliyorum 120 ile 27'nin toplamı 147 e 147 Zaten
1:02:06 arkadaşlar 7'ye böldüğümüzde bakın 21 defa var 147 kalan 0 yazmamıza Gerek yok Burası Sıfırlandı Zaten şu ana kadar Şunların toplamını 7'ye bölsek kalan 0 oluyor geriye 720 kaldı 720i Ben 7'ye bölsem 102 dersem 714 çıkarsam kalan 6 oluyor demek ki x 6 oluyor diy ama şıklarda 6 var ama cevap şıkkı 6 değil Değil mi arkadaşlar Çünkü diyor ki en küçük 3 tane x doğal sayısını bul topla mesela x'in alabileceği en küçük değer 6'dır e arkadaşlar mod değerini ekleyerek X'in diğer değerlerini de bulabiliriz 6'ya 7 ekleyin 13 olabilir 13'e 7 ekleyin 20 olabilir 20'ye 7 ekleyin 27 olabilir bu şekilde mod derini ekleye ekleye x'in alabileceği
1:02:53 diğer değerleri de bulabiliriz x'in alabileceği kü 3 tanesinin toplamı kaçtır diyor E bunların toplamı en küçük 3ü bunlardır Öyle değil mi 3 tanesi diyor toplayın 6 ile 13'ün toplamı 19 20 dah 39 cevabımız 39 olacak edir M değeri kaçtır diye soruyor ne yapabilirim ne yapabilirim şimdi bakalım M değeri kaçtır şıklardan gidin arkadaşlar hiçbir şey yapamıyorsanız şıklardan gidin eyvallah Ama ben öyle gitmeyeceğim Tabii ki şunu bu tarafa atayım 2m + 9 değil mi 10 çık 9 0 mod m -2 şimdi buradaki M -2 ne olmalı yani m' ne dersek sağlar arkadaşlar vall direkt şıklardan gidin gitsin Eyvallah direkt şıklardan gidin gitsin yani ne demek istiyorum işte M kaçtır 15
1:03:41 olur mu bakalım 15 yazsak olur mu 15 yazsak Burası 13 olur 2 kere 15 30 9 daha 39 gerçekten 39 13'e tam bölünür cevap Adana o zaman Bitti gitti Eyvallah ya da şey yapaca İşte bu sayı şuna tam bölünüyor yani ne demek istiyorum 2m + 9 sayısı işte M - 2'ye tam bölünüyor e Tam bölünüyorsa burada m' değerler vereceksiniz yani Burası bir tam sayı çıkıyorsa İşte burayı şöyle yazabiliriz 2 parzen m -2 yazarsak 2 kere 2 4 -4 oluyor + 13 eklemem lazım B m-2 tamam mı m-2 nen böyle bir şey yaptım yani parçalayın diye arkadaşlar
1:04:27 yani Şunu dağıtın 2m 2 -2 -4 13.9 buna benzettim aşağıdakine benzettim parçalayın diye parçalarsa 2 tane m -2 / m -2 + 13 / M -2 oldu Ondan sonra zaten Bunlar bakın Bunlar gidiyor Zaten burası 2 oldu tam sayı çıkması için Burası 13'ün buna tam bölünmesi lazım m 15 diyeceğiz 15'ten 2 çıkarın 13 133'e tam bölünür böyle de yapabilirsiniz Eyvallah Şimdi arkadaşlar size bir teorem vereceğim bunları e Eğer geçebilirsiniz arkadaşlar tamam mı hocam işte ben normal bir atıyorum Eee yani bu soruyu neden buraya koyduk arkadaşlar Bakın bu soru bir de birazdan bir soru daha var Onu da size göstereceğim neden
1:05:13 koydum hani matematik sevenler için ben soru bankama koydum Yani bunlar sınavda geleceğini zannetmiyorum tamam mı Bu soru mesela sınavda geleceğini Zannetmiyorum bir teorem arkadaşlar matematikte bir teorem var sevgili arkadaşlar şöyle bir teorem var p Bir asal sayı olacak Tamam mı p Bir asal sayı p Bir asal sayı dediğim gibi yani matematik sevenler için bu soruyu buraya koydum arkadaşlar p -1 fakt p -1 Eğer mod p'ye göre mod p'ye göre yaparsanız sonuç p -1 oluyor her zaman yani bunun aynısını buraya yazıyoruz bakın bunun bir eksini buraya yazacağız mesela M -3 Bir asal sayı demiş ya M -3 Bir asal sayıdır Tamam E bu da bunun bir
1:05:58 eksiği o zaman bunun aynısı buraya gelecek Yani faktöriyel isiz hali nedir M -4 bitti gitti ispatını size bırakıyorum bu isteyen arkadaşlar tamam mı Çok önemli bir soru değil denkliğini sağlayan 3 basamaklı en küçük en doğal sayısı kaçtır 145'e hemen 13'e bölüyorum 145'e 13'e bölüyorum 1 kere 13 13 çıkarttım 15 1 kere 13 13 çıkarttım 2 2 oldu ya 2 üzer n ile başlıyorum 2 üzer n 3 mod 13 o zaman 2 üzeri 1 ile başlıyorum 2 üzeri 1 2'dir 13'e bölsek kalan 2 karesi 4'tür 2 küpü 8 133'e böl kalan 8 olur 2 üzeri 4 16'dır 16ı 133'e böl kalan 3 olur 2
1:06:45 üzeri 5 32'dir ya da 2 3 6'dır burası 6 gelece 2ü 6 2 x 6 12 12 1 12 olur değil mi arkadaşlar bu böyle devam ediyor bakalım ne olacak şimdi e devam K devam K devam K 2 üzeri 7'yi merak ettim 2 kere Değil mi arkadaşlar 2 kere 12 24 geldi 24 geldi 24'ü 133'e bölsek 24'ü 13e bölsek 1 kere 13 13 11 geliyor 2 üzeri 8 2 kere 11 22 geldi sevgili arkadaşlar
1:07:30 13'e bölsek kalan 9 olur arkadaşlar bu soruları geçebilirsiniz yani şu ana kadar anladıysanız direkt test 4E geçebilirsiniz sevgili arkadaşlar ş bunlarla ilgili soru gelme ihtimali çok düşüktür haberiniz olsun Bunu neden söylüyorum Hani bunları kafayı takıp da şey yapmayın 2 üzeri 9'a geldim sevgili arkadaşlar 2 kere 9 18 bölsem 5 olur tam gelmedi bir devam edelim 2 üzeri 10'a bakıyorum 2 10 2 x 5 10 10 geliyor Tamam 2 üzeri 11'e bakıyorum 2 kere 10 20 20'yi 133'e bölsem kalan 7 olur 2 üzeri 12'ye bakıyorum 2 k 7 14 kalan 1 Şimdi geldi he 12'de tekrar ediyor tek tek yazdım sevgili arkadaşlar Eyvallah
1:08:17 12 tekrar ediyor O zaman 2in üzerinde ne olmalı yani bu n sayısını sonuç 3 gelmiş ya 3 nerede var 3 burada var o zaman Ben diyeceğim ki ben bu n sayısını burada kaç adım oldu arkadaşlar bakın toplam 12 adım oldu ya mod 12'dir n sayısını 12'ye böldüğümde n 12 ile bölündüğünde kalan ne olmalı söyleyin kalan 4 olmalı Arkadaşlar neden 4 olmalı Çünkü sonuç 3 gelmiş 3 çıkması için 4ü adımda 3 kalan 4 olmalı 12 ile bölündüğünde 4 kalanını veren sayı sevgili arkadaşlar yani n sayısı nedir 12 12'nin bir katının 4 fazlasıdır en küçük n sayısı kaçtır diyor 2 3 basamaklı değil mi en küçük
1:09:03 yani 9 derseniz ya da 100 olur değil mi arkadaşlar yani Örneğin buraya Eee 8 dersiniz 8 kere 12 96 4 daha 100 oldu cevabımız Adana kıcık bir soru dediğim gibi sevgili arkadaşlar Eğer çok böyle üst düzey falan böyle matematik istiyorum hocam zevklidir bilmem ne istemiyorsa Şu son 3 soru geç direkt problemlere geçebilirsiniz Yani bu soru bu soru bu soru Bunlar çok da önemli sorular değil tamam Arkadaşlar çok güzel niye koydunuz hocam vall dedim matematik sevenler varsa merak etsinler böyle şeyleri 38'i 5'e bölsem kalan 3 yani orada 3 üzer 4n + M varmış gibi davranalım 48'i 5'e bölsem kalan 4 mü şe 49'u 5'e
1:09:51 bölsem kalan 4 Burada da kalan 4 olduğu için 4 üzer y + 15 varmış gibi davranalım Bu nedir denktir 1 mod 5 tamam mı dediğim gibi Bu soruda çok önemli değil Bunu bir çözmeye çalışalım bakalım nedir ne değil Şimdi öncelikle arkadaşlar 4 üzeri yani mod 5'e göre 4 nasıldı 4 üzeri 1 işte 4'tü Sabahtan beri yapıyoruz 4'ün karesi 16'dır 4E bölsek 5'e bölsek kalan 1 olur yani üst tekse sonuç 4 oluyordu mod 5'e göre üst çift is sonuç 1 oluyordu burada üst tek değil mi bu tek sayıdır çift artı tek tek o zaman üst tekse sonuç 4 olacak yani buranın sonucu 4 olacağı aşikar Çünkü üst tek üst tekse sonuç 4 bunu siliyorum artık 4 yazıyorum buraya Burası 4 müş gibi davranacağım tamam mı
1:10:37 Çok güzel Mesela şunu da bu tarafa atalım isterseniz 3 olsun yani 3 üzeri 4n + M + Burası da 3 oldu denktir 0 mod 5 Bu ne anlama geliyor sevgili arkadaşlar bu ne anlama geliyor Burası 5'e tam bölünüyor o zaman zaten bana diyor ki m'nin iki basamaklı en küçük değeri kaçtır şimdi m n olabilir arkadaşlar yani Burası 3 üzeri ne olmalı onu düşünelim Bir 5'ler de 3 nasıldı işte 3 üzeri 1 mod 5'e göre 3'tü 3ün karesi 9 mod 5'e göre 4'tü 3 üzeri 3 27 mod 5'e göre 2'ydi 3 üzeri 4 81 mod 5'e göre 1'di bakın 14 bir tekrar ediyor 3 üzeri bir şey varsa mesela bakın buranın sonucu 2
1:11:22 gelmeli Neden Çünkü arkadaşlar 2 ile 3'ün toplamı 5 bölün kalan 0 2 gelecek şu gelecek Yani 3 adım olmalı 3'ün üzerinde bir şey varsa Yani diyelim ki 3ün üzerinde x olsun arkadaşlar ben ne yapacağım Bu x'i bu x'i 4'e böldüğümde kalan 3 çıkacak ki 3 adıma gideyim 2 yazayım sonuç 5'e tam bölünsün Dolayısıyla 2 çıkması için yani buranın sonucunun 2 çıkması için buradaki üs ne olmalı arkadaşlar bakın Şuradaki üse bakıyorum buradaki 4n + M ne olmalı şu üs Vallahi oradaki üs 4E bölündüğünde 3 kalanı vermeli 3üncü adıma gidecek ki 2 olsun 2 3 daha 5 kalan 0 olsun umarım
1:12:09 anlaşılmıştır arkadaşlar 4E bölündüğünde yani buradaki üs 4n + M arkadaşlar 4E bölündüğünde kalan 3 olmalı yani 3'ün katı olmalı burayı bir daha anlatayım sevgili arkadaşlar şimdi Şurayı yaptık değil mi burayı anladınız zaten Burayı anladınız Tamam 14 bir tekrar ettiğini görüyorsunuz Şimdi burada biz şunu arıyoruz değil mi şunu arıyoruz Neyi arıyoruz 3 üzeri 3 üzeri 4n + m' arıyoruz arkadaşlar buranın sonucunun 2 çıkmasını istiyoruz niye biliyor musunuz Çünkü burası 2 olacak ki bakın şurası la ilahe illallah şurası 2 olacak ki Burası da 3'tür 3 2 daha 5 5'i 5'e bölsem kalan 0 sağlıyor
1:12:55 2 olması için o zaman buradaki üssü diyorum yani 4n + mi buradaki üssü burayı 4'e böldüğümde kalan 3 çıkmalı neden kalan 3 çıkacak ki ben 3 adıma gideceğim cevap 2'dir diyeceğim tamam mı Çok güzel Yani kısacası buradaki üst 3'ün katıdır güzel 3ün katı mı Bana diyor ki m'nin en 2 basamaklı m'nin 2 basamaklı en küçük değerini bul o zaman buna direk 1 diyelim arkadaşlar Eyvallah karşıya gönderelim M = 3K - 4 oldu şimdi 2 basamaklı en küçük olmasını istiyor ne diyebiliriz mesela 4 dersek 3 kere 4 12 4 çıkarın 8 2 basamaklı olmadı k'ya 5 diyorum 3 kere 5 15 4 çıkarın 11 2 basamaklı en küçük değeri 11'dir cevabımız Bursa devam ki
1:13:44 arkadaşlar açıkçası Bakın tekrar ediyorum bu son 4 soru var ya son kaç soru oluyor işte 1 2 3 4 5 son 5 soruyu arkadaşlar y sınavda Yani kesinlikle yani ben ihtimal vermiyorum sınavda gelebileceğini zannetmiyorum matematik isteyenler yani matematik sevenler Gerçekten merak edenler için ben bu soruları koydum arkadaşlar sınavda gelecek diye değil yani Modüler Aritmetik le ilgili bunlarla ilgili soru geleceğini zannetmiyorum Birazda çözeceğim test var ya o işte problemlerle ilgili soru gelir ama haberiniz olsun Şimdi burada bir teorem var arkadaşlar ben direkt verip geçeceğim 1 üzeri n + 2 üzeri n + 3 üzeri n ı bu bu şekilde gidiyorsa arkadaşlar tamam mı p -1 üzeri n' kadar
1:14:30 bu şekilde gidiyorsa denktir x mod Bu mod p olsun Eğer p burada asalsa arkadaşlar tamam mı burada şartımız var p asal olmak zorunda Eğer p asalsa ve Burası P'nin bir eksiği ile bitiyorsa O zaman cevap p -1 oluyor mesela burada p 29 p -1 de oluyor 29 asal mı Evet cevabımız 28 Tamam o zam anlamadım Abi geç gitsin ya Vallah Sen bir sınava çalışıyorsun y çok da önemli olmasın bu soru senin için Eyvallah olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi olabilir ispatını vermeyeceğim Çünkü gerek yok yani video uzamasın çok işimiz var Şimdi arkadaşlar 1 2 3 4 5 Tamam beşte bir tekrar etmiş sanki
1:15:18 gördünüz mü arkadaşlar bakın T üzer 1 Mode göre hep gitmiş hani biz yapıyorduk ya 4ü 4 üzer 2 falan x y z k burada tekrar etmiş Gördüğünüz üzere x y zk sonra tekrar x yzk diye gidecek 14 tekrar ettiğini görüyorsunuz sevgili arkadaşlar E o zaman 14 tekrar ediyorsa 817 yi 4'e böleceğim 817 4'e bölüyorum kalan kaç oluyor 1 olacağı aşikar kalan 1 ise 1 adıma gidiyorum 1 adımda x var demek ki a x olacak Bitti gitti cevabımız C Tamam Evet arkadaşlar bu ay nisan ayı olduğuna göre 1215 ay önce hangi aydı aylarda mod 12'dir arkadaşlar 12 ayda bir ay tekrar ediyor Bunu alıyorum 12'ye bölüyorum e 12'ye
1:16:05 bölerseniz arkadaşlar işte şey derseniz 1 kere 12 12 çıkarttım 0 1 0 5 1 kere 12 Eee Pardon 1 kere 12 bur 5'i indirdik ya 12 kalan 3 çıktı verası arkadaşlar bunu zaten 12'ye bölsek kalan 3 oluyor yani 3 ay önceye git diyor Çünkü diyor ki bu kadar ay önceye git diyor şimdi Nisan ne vardı işte ocak şubat mart nisan Nisan'dan 3 ay önce Mart Şubat Ocak yani ocaktı cevabımız Adana Bugün günlerden cuma olduğuna göre 365 gün önce hangi gündü 365'i 7'ye bölüyorum neden günlerde mod 7'dir
1:16:50 Eyvallah Eee 5 k 7 35 çıkarttım 15 2 kere 7 14 kalan 1 yani 1 çıktı ya kalan bir gün önceye git bir gün önceye git yani işte cumadan bir gün önce hangi gündü arkadaşlar perşembeydi cevabımız Perşembe bir hastanede 24 hemşire görev yapmaktadır her gece 3 hemşire sırasıyla nöbetçi olarak alıyor ilk nöbetini Salı günü tutan bir hemşire 10 nöbetini hangi gün tutar Şimdi arkadaşlar şöyle düşünün 24 tane hemşire var Her gece 3 kişi yani Bir Gece 3 kişi nöbet tutuyor o zaman Eee 24'ü 3'e bölsek 8 8 günde bir tekrar
1:17:37 eder değil mi arkadaşlar Mesela bir kişi var bir nöbet işte 2 nöbeti 3 nöbeti bu şekilde devam eder işte 10 nöbeti her iki nöbet yani 1 nöbeti hangi günmüş işte salı günüymüş Arkadaşlar her iki nöbet arasında kaç gün var 8 gün var Neden Çünkü arkadaşlar Her gün 3 kişi nöbet tutuyor Bir gece yani her gün 3 kişi nöbet tutuyor 24 kişi var 24'ü 3'e bölün 8 gece eder Yani 8 gün eder arkadaşlar Demek ki mesela Ben hemşireyim örnek vereyim şu an nöbeçi isem 8 gece sonra yani 8 gün sonra tekrar nöbetçi olacağım Demek ki herhangi biri yani Ayşe hemşire mesela 8 günde bir nöbet tutacak bu şekilde çok güzel o zaman diyeceğiz ki buradan
1:18:23 buraya kaç gün var var bakın 1 nöbetten 10 güne 10 nöbete kadar kaç gün var burada 8 8 8 her iki nöbet Arasında 8 var 10dan Bir çıkarın 9 tane 8'in toplamı var burada 9 tane 8'in toplamı 9 kere 8 72 yani 72 gün sonradan bahsediyoruz 72'ye 7'ye bölüyorum Çünkü günlerde mod 7'dir 10 defa dersek 70 kalan 2 oldu 2 gün sonraya gidiyorum salıdan 2 gün sonraya gidin arkadaşlar salı çarşamba perşembe değil mi arkadaşlar Eyvallah cevabımız ne çıktı Perşembe çıktı Demek ki 10 nöbeti Perşembe olacak Eyvallah salı çarşamba perşembe bir fabrikada Mehmet 5 günde bir nöbet tutmaktadır ikinci nöbetini Perşembe günü tutan Mehmet 14 nöbetini
1:19:11 hangi gün tutmuştur hoş bunları
…
