GATE 2026 Engineering Maths & Aptitude | Most Important Questions Based On 1st Phase Of Exam

GATE Wallah www.youtube.com

Brief Summary

This YouTube session by GATE Wallah provides a comprehensive review of key mathematical concepts and problem-solving techniques relevant to the GATE exam. The session analyzes memory-based questions from recent GATE papers, focusing on topics like linear algebra, calculus, probability, and statistics. It also includes practice questions and strategies for tackling different types of problems, with a special emphasis on time management and avoiding common mistakes. The session also covers general aptitude questions.

  • Linear Algebra: Determinants, eigenvalues, Cayley-Hamilton theorem, system of equations, LU decomposition.
  • Calculus: Limits, continuity, Maclaurin series, maxima/minima, Jacobians, integration.
  • Probability & Statistics: Conditional probability, binomial distribution, normal distribution, expected value, standard deviation.
  • General Aptitude: Counting theory, numbers, mensuration, geometry, cubes, dices, calendars, verbal ability.

Introduction and Session Overview

The session aims to assist students preparing for the GATE exam on the 14th and 15th, particularly those in EC, Electrical, Civil, and Mechanical branches. It focuses on questions from the CS, XE, and Instrumentation branches, covering memory-based questions and additional practice on untouched topics. A separate session for DA-specific topics is scheduled for the 11th at 10 PM on the EC/CS channel. The speaker encourages DA students to attend the current session to review linear algebra, calculus, and probability questions.

Linear Algebra: Determinants and Matrix Operations

The instructor begins with a question on determinants, where a 4x4 matrix has a determinant of 3, and students are asked to find the determinant of 2A. The solution involves using the property that the determinant of a scalar multiple of a matrix is the scalar raised to the power of the matrix size times the determinant of the original matrix, resulting in an answer of 48.

Linear Algebra: System of Equations and Infinite Solutions

A general question is presented, asking for what values of alpha and beta the given simultaneous equations have an infinite number of solutions. The approach involves forming an augmented matrix and using row operations to find the rank. For infinite solutions, the rank of the coefficient matrix and the augmented matrix must be equal and less than the number of variables. This leads to the conditions alpha = 3 and beta = 12.

Linear Algebra: System of Equations and Number of Solutions

The session tackles a question from the Instrumentation branch regarding the number of solutions of ax = b. By forming an augmented matrix and performing row operations, the rank of A is found to be 2, while the rank of AB is 3. Since the ranks are not equal, no solution exists for the system of equations.

Linear Algebra: Cayley-Hamilton Theorem and Eigenvalues

A question involving the Cayley-Hamilton theorem asks for the set of all eigenvalues of matrix P, given that P satisfies a certain matrix equation. The approach involves replacing the matrix P with lambda in the characteristic equation and solving for lambda. The eigenvalues are found to be 1, 1, and 2, so the set of eigenvalues is {1, 2}.

Linear Algebra: Properties of Matrices and Eigenvalues

The session presents a theoretical question asking which statement is NOT true. The correct answer is that for an invertible matrix A, the eigenvalues of A and A inverse are identical, which is false because the eigenvalues of A inverse are the reciprocals of the eigenvalues of A.

Linear Algebra: Eigenvectors and Eigenvalues

The session addresses a question where an eigenvector of a matrix is given, and the corresponding eigenvalue needs to be determined. By using the equation ax = lambda x, it is found that the given vector is not an eigenvector of the matrix because it leads to an invalid result (-1 = 0).

Linear Algebra: Determinants, Eigenvalues, and Invertibility

A question from the XE branch involves a matrix A, and the task is to determine which statements are true. The determinant of A is calculated as -2, making option A false. The eigenvalues are found to be 1, -1, and 2, confirming that all eigenvalues are real numbers, making option C true. It's also determined that A - 2i is non-invertible, making option B false. The eigenvalues of A inverse are 1, -1, and 1/2, making option D true.

Linear Algebra: LU Decomposition

The session tackles an LU decomposition question, where the goal is to find the value of alpha in a given decomposition. The approach involves multiplying the LTM and unit UTM matrices and comparing the result with the original matrix to solve for the unknowns. The presenter emphasizes that such lengthy questions should be saved for the end of the exam.

Linear Algebra: Multiplicity of Eigenvalues

A question from the CS branch asks about the maximum multiplicity of an eigenvalue for an n x n matrix. The answer is n, as an eigenvalue can repeat up to n times.

Linear Algebra: System of Equations and Infinite Solutions (Detailed)

The session revisits a system of equations problem, seeking the value of ab for infinite solutions. The determinant of the coefficient matrix is set to zero, yielding a = ±4. For a = 4, b is found to be 6, and for a = -4, b is -6, but in both cases, ab = 24.

Linear Algebra: Eigenvalues and Trace

A question from Environmental Science asks to identify the correctly listed eigenvalues of a given matrix. The solution uses the property that the sum of eigenvalues equals the trace of the matrix. By calculating the trace (17) and comparing it with the sums of the options, the correct option (C) is quickly identified.

Linear Algebra: Properties of Matrices and Eigenvalues (Detailed)

The session presents a multiple-select question about the properties of matrices. It's determined that the system is non-homogeneous, the matrix is non-singular, not skew-symmetric, and the eigenvalues are real.

Calculus: Continuity and Limits

A question from the CS branch involves a function f(x) that is continuous at x = 0, and the task is to find c1 + c2. The approach involves setting c2 = 0 to avoid an infinite limit, and then using the condition that the limit of f(x) as x approaches 0 equals f(0) to find c1 = 3. Therefore, c1 + c2 = 3.

Calculus: Maclaurin Series Expansion

The session addresses a practice question on Maclaurin series expansion. The goal is to find the value of 4q - 2p, given the Maclaurin series expansion of e^(2x) * cos(x). By expanding both functions and comparing coefficients, p is found to be 2 and q is 3/2, leading to an answer of 2.

Calculus: Continuity and Differentiability

A question on discontinuity and differentiability from the CS branch is tackled. The function f(x) = x|x/2| is analyzed by breaking it into cases for x < 0 and x > 0. It's determined that f(x) has a maxima at x = 0, f'(x) is continuous, and f''(x) is non-differentiable.

Calculus: Continuity and Differentiability (Detailed)

The session examines a question from the Instrumentation branch about the continuity and differentiability of f(x) = x|x|. By breaking the function into cases for x < 0 and x > 0, it's found that f(x) is both continuous and differentiable.

Linear Algebra: Advanced Matrix Problem

The presenter revisits a complex matrix problem involving a 4x4 matrix with elements 0 and 1, where each row and column has an even number of ones. The solution involves determining the number of such matrices.

Calculus: Maxima and Minima

A question from Environmental Science asks for the minimum value of a given function. By finding the critical points using the first derivative and applying the wavy curve method, the local minimum is determined. The minimum value is then calculated by substituting the x-value of the local minimum into the original function.

Calculus: Jacobian Determinant

The session includes a practice question on Jacobians. Given u and v as functions of x and y, the goal is to find the partial derivative of xy with respect to uv at the point (1, 1). The approach involves calculating the Jacobian of uv with respect to xy, and then taking its reciprocal to find the desired partial derivative.

Calculus: Integration and Properties of Functions

A question from the CS branch involves evaluating a definite integral. By recognizing that the integral can be split into odd and even functions, and using the properties of odd functions, the integral is simplified.

Calculus: Definite Integrals and Symmetry

The session addresses a question involving a definite integral with a sine function. By recognizing the integral as a "question of country" (a standard integral), it's known that the value is independent of the parameter. This allows the integral to be split and evaluated, resulting in an answer of zero.

Calculus: Integration Techniques

A question from Environmental Science requires evaluating an integral. The approach involves using substitution (cos x = t) to simplify the integral and then applying standard integration techniques.

Calculus: Area Calculation

The session presents a straightforward question about finding the area in the first quadrant bounded by a line and the coordinate axes. The area is calculated as the area of a triangle, using the formula 1/2 * base * height.

Probability: Base Theorem

The session addresses a question involving Bayes' theorem. Given a factory with three machines producing items with different defect rates, the task is to find the probability that a defective item was produced by machine B. The approach involves using Bayes' theorem to calculate the conditional probability.

Probability: Expected Value

A question from the CS branch asks for the expected value of a discrete random variable. The expected value is calculated using the formula Σ(pi * xi), where pi is the probability of each outcome xi.

Probability: Conditional Probability and Binomial Distribution

The session tackles a challenging question involving conditional probability and the binomial distribution. Given a fair coin tossed six times, the task is to find the conditional probability of event E1 (at least two heads in attempts 2, 4, and 6) given event E2 (number of heads equals the number of tails in attempts 1, 2, 3, and 5). The approach involves calculating the probabilities of E1, E2, and their intersection, and then using the formula for conditional probability.

Probability: ATM Pin Problem

The presenter addresses a question about generating a four-digit ATM pin with at least one digit repeated. The solution involves calculating the total number of possible ATM pins and subtracting the number of ATM pins with no repeated digits.

Probability: Normal Distribution

The session includes a question on the normal distribution. Given the mean and standard deviation, the task is to find the probability that a value falls between 26 and 40. The approach involves converting the x-values to z-scores and using the properties of symmetry to find the required probability.

Probability: Expected Value and Continuous Distributions

A question from the XE branch involves finding the expected value of a continuous random variable. The approach involves using the formula for expected value, which is the integral of x * f(x) over the given range.

Probability: Normal Distribution Parameters

The session addresses a question from the CS branch about identifying the parameters of a normal distribution. By comparing the given probability density function with the standard form, the mean and standard deviation are easily determined.

Probability: Standard Deviation and Data Analysis

A question from Environmental Science involves calculating the standard deviation for a given set of data. The approach involves calculating the average and then using the formula for standard deviation, taking into account that the sample size is small (less than 30).

Probability: Basic Probability Calculation

The session includes a basic probability question from Environmental Science. Given 26 cards with English alphabets, the task is to find the probability of picking either E or S. The solution involves using the addition theorem for probability.

Statistics: Median Calculation

A question from the Instrumentation branch asks for the median of a given data set. The approach involves arranging the data in ascending order and finding the middle value.

Probability: Conditional Probability and Coin Tosses

The session concludes with a challenging probability question from the CS branch involving conditional probability and coin tosses. The problem requires careful consideration of the conditions and the use of logical reasoning to determine the number of favorable outcomes.

Differential Equations: Classification of PDEs

The session addresses a question from the XE branch about classifying a partial differential equation (PDE). By comparing the coefficients with the general form, it's determined that the PDE is hyperbolic for y > 1 and elliptic for y < 1.

Differential Equations: Linearity and Exactness

A question from Environmental Science asks about the nature of a given differential equation. It's determined that the equation is linear, homogeneous, and non-exact.

Vector Calculus: Green's Theorem

The session includes a question on Green's theorem. By applying Green's theorem, the line integral is converted into a double integral, which is then evaluated to find the area of the region.

Complex Analysis: Cauchy's Integral Formula

A question from the Instrumentation branch involves evaluating a complex integral using Cauchy's integral formula. The approach involves identifying the pole and calculating the residue, and then applying the formula to find the value of the integral.

Series: Summation and Fourier Series

The session concludes with a question involving a series and Fourier series. By recognizing the series as a telescoping series, its value is easily determined. The value of the limit is found using L'Hopital's rule.

General Aptitude: Tournament Problem

The session transitions to general aptitude questions, starting with a tournament problem. The question asks how many games must be played in a 64-player single-elimination tournament to determine a winner. The solution involves recognizing that each game eliminates one player, so 63 games are needed to reduce the field to a single winner.

General Aptitude: Credit Allocation Problem

A student needs to enroll for a minimum of 60 and a maximum of 70 credits, divided among projects, core courses, specialization, and electives. Core and project credits are fixed, specialization has a minimum requirement, and the goal is to maximize elective credits. The solution involves maximizing total credits and minimizing the other categories to find the maximum possible elective credits.

General Aptitude: Dice Rolling Probability

A fair six-faced die is rolled twice, and the numbers are recorded. The probability that the number appearing on the second roll is an integer multiple of the number appearing on the first roll is calculated. The solution involves listing all possible outcomes and identifying those that satisfy the condition.

General Aptitude: City Visiting Problem

A salesperson wants to visit each city once and return to the starting point. The question asks which of two city networks allows this. The solution involves trying to trace a path that visits each city exactly once and returns to the start.

General Aptitude: Logical Reasoning

Given the statement "When it is raining, peacocks dance," the task is to identify the statement that is necessarily true. The correct answer is "When peacocks are not dancing, it is not raining."

General Aptitude: Profit and Loss

A man sells two units of stock A and one unit of stock B. The cost and selling prices are given, and the profit is calculated.

General Aptitude: Grid Shading Problem

A rectangular area is to be covered by square tiles of different sizes. The minimum number of tiles needed is determined.

General Aptitude: Age Arrangement Problem

Four people of different ages make statements about their ages relative to each other. The youngest person is identified based on the statements.

General Aptitude: Direct and Indirect Speech

A sentence in direct speech is given, and the correct form in indirect speech is chosen.

General Aptitude: Paper Folding and Cube Construction

A paper is folded along dashed lines to construct a cube. The shaded region appears on the outer surface of the cube. The correct option is identified.

General Aptitude: Number Series

A number series is given, and the missing number is identified.

General Aptitude: Vocabulary and Analogies

The correct pair of words to fill the blanks is chosen.

End of Session

The session concludes with a summary of the topics covered and encouragement for the upcoming GATE exam.

Summarize any YouTube video in seconds

Get summaries like this one for any video, in your language, with the free Summ app.

Download on the App Store
Get it on Google Play

Transcript

Full transcript of “GATE 2026 Engineering Maths & Aptitude | Most Important Questions Based On 1st Phase Of Exam”. Click a timestamp to open the video at that moment. Need another video? Use the YouTube transcript generator.

0:37 हेलो बेटा ऑडियो वीडियो ओके है जरा कंफर्म कीजिए चैट बॉक्स में एक बार बेटा कंफर्म कर दो फटाफट सो दैट कि हम स्टार्ट कर सके अपने टॉपिक को ऑडियो वीडियो ओके करके एबी सी लिख दे ऑडियो वीडियो क्लियर ओके थैंक यू सो मच बेटा थैंक यू एक बार मैं कंफर्म कर लूं अपने एंड पर हां मुझे भी दिखने लगा ठीक है चलो बच्चों बहुत-बहुत स्वागत है आप सबका बेटा इस सेशन में ये सेशन हम लोगों ने क्यों लगाया है इसका मोटिवेशन आप जान लीजिए मोटिव क्या है हम और रतन सर आपको बेटा यह करीब 3 से 4 घंटे के सेशन यहां पे करने जा रहे हैं। लगभग 2 आवर्स तक हम मैथमेटिक्स के क्वेश्चंस की प्रैक्टिस कराएंगे और फिर उतना ही टाइम लगभग रतन सर भी उसमें लेंगे। टाइमिंग ये नहीं है कि टू आवर्स फिक्स करके रख दिया गया है। हम लोग

1:24 बेटा क्या करने आए हैं? अभी सेवंथ और एट्थ को जो गेट के पेपर हुए हैं उसमें हमारे पास सीएस ब्रांच के कुछ क्वेश्चंस आए। दोनों शिफ्ट के फिर बेटा एक्स ब्रांच के आए क्वेश्चंस और इंस्ट्रूमेंटेशन ब्रांच के आए। एनवायरमेंटल साइंस ब्रांच के आए। इस तरह की ब्रांच के लगभग हमारे पास चार और दो छह छह सेट के पेपर आए। लेकिन बेटा वो पेपर ऐसा नहीं कि सारे क्वेश्चंस आ गए। जितने भी मेमोरी बेस्ड क्वेश्चंस आए हैं वो सब चीजें हम वो सारे क्वेश्चन यहां डिस्कस करने जा रहे हैं। और उसके अलावा जो टॉपिक्स बेटा टच नहीं हुए हैं उन टॉपिक्स के क्वेश्चंस भी कुछ एक्स्ट्रा क्वेश्चंस की प्रैक्टिस भी आपको करा देंगे। यह सेशन किसके लिए होने जा रहा है? अब जो 14th और 15th को जो पेपर है ना बच्चों का ईसी ब्रांच, इलेक्ट्रिकल ब्रांच, सिविल ब्रांच, मैकेनिकल ब्रांच। इन सब ब्रांच के लिए बेटा आपको ये सेशन की प्रैक्टिस कराई जा रही है कि अभी पेपर में क्वेश्चंस किस

2:10 लेवल के आए हैं। उसी टॉपिक से जो टॉपिक्स आप रिवाइज ऑलरेडी कर ही रहे हैं और प्लस कुछ एक्स्ट्रा जो टॉपिक्स टच नहीं हुए हैं या जहां से आने के चांस है उन क्वेश्चंस को भी हम पिक कर लेंगे। अच्छा डीए स्पेसिफिक स्टूडेंट्स जो हैं उनके लिए बेटा जो एक्स्ट्रा सेशन है वो सेशन कल रात में 10:00 बजे से प्लान है। लेट नाइट सेशन जो है वो 3-4 घंटे का सेशन होगा। उसमें डीए स्पेसिफिक टॉपिक से ही डिस्कस किए जाएंगे। वो कल होगा गेट वाला के जो ब्रांच चैनल है ना ईसीसीएस वाला जो चैनल है ईसी इलेक्ट्रिकल और सीएस वाला एक चैनल है ब्रांच चैनल ये तो मेन चैनल है जिस पे इस समय आप देख रहे हो सेशन को तो डीए स्पेसिफिक बेटा उस वहां पर होगा आप डीए के स्टूडेंट्स अगर यहां बैठना चाहें तो देख सकते हैं कि लीनियर अलजेब्रा कैलकुलस और प्रोबेबिलिटी के क्वेश्चंस किस तरह के आए हैं लास्ट टू डेज में वो आप देख लीजिएगा

2:55 उसके अलावा जब मैं वेक्टर कैलकुलस या डिफरेंशियल इक्वेशन न्यूमेरिकल टेक्निक के क्वेश्चंस कराऊंगा तो उनमें आप चाहो तो अवॉइड कर सकते हैं और थोड़ा हम जल्दी-जल्दी चलेंगे के फास्ट मूवमेंट की तरीके से क्वेश्चंस का लेवल आपको दिखाना है। क्वेश्चंस आपको सॉल्व करवाने हैं ढंग से और बेटा कुछ एक दो कुछ कुछ क्वेश्चंस एक्स्ट्रा भी कर लेने हैं। तो ये हमारा मोटिव है और डीए स्पेसिफिक वाला जो आपका सिलेबस वाला पोर्शन है वो बेटा कल आप रात में 10:00 बजे हमसे मिलिएगा। वहां पे जैसे सिद्धार्थ सर ने एक सेशन लिया। आज शायद एक और सर ले रहे हैं। कल हम उसी जगह पे हम वो सेशन लेंगे। ठीक है? चलो फिर तो हां आप डायरेक्टली यह नहीं कह सकते बेटा कि यह डीए स्पेसिफिक सेशन है। यह बात सही है। डीए स्पेसिफिक सेशन यह नहीं है। वो 11th को है रात में 10:00 बजे। पर आप ये देख सकते हो कि बाकी ब्रांच में लीनियर अलजेब्रा, कैलकुलस और प्रोबेबिलिटी के

3:41 क्वेश्चंस किस तरह के आए हैं। पहले मैं वही तीन टॉपिक के क्वेश्चन करा दे रहा हूं और फिर बेटा हम उसके बाद जब डिफरेंशियल इक्वेशन न्यूमेरिकल टेक्निक में जाएंगे तो तब डियर स्टूडेंट्स गायब हो जाइएगा। चलो थैंक यू सो मच। अब बेटा आगे बढ़ते हैं। सीधे क्वेश्चन स्टार्ट करते हैं लीनियर अलजेब्रा से। पहला क्वेश्चन देखो वैसे तो ये सब क्वेश्चंस हमने अभी मेमोरी बेस्ड जो हमने सेशन लिया था उसमें भी कर दिए थे लेकिन वो आप जल्दी से ढूंढ नहीं पा रहे होंगे कि कौन सा क्वेश्चन कहां हुआ है रैंडमली हो रहा था यहां सिस्टेटिक ऑर्डर में पहले सारे लीनियर अलजेब्रा के क्वेश्चन करते हैं फिर सारे कैलकुलस के करते हैं फिर सारे प्रोबेबिलिटी स्टैटिस्टिक्स के कर लेते हैं और कुछ उसी में बेटा एक्स्ट्रा क्वेश्चंस की मैं प्रैक्टिस भी कराने जा रहा हूं आपको ये नहीं कि खाली वही वाले क्वेश्चंस कराने जा रहा हूं जो अभी कल परसों में हुए थे। चलो पहला तो ये क्वेश्चन है सामने। लेट द डिटरमिनेंट ऑफ़ अ 4 क्रॉस 44 मैट्रिक्स इज थ्री। बेटा ये आपके प्रैक्टिस करने के लिए

4:26 ईसी ब्रांच, इलेक्ट्रिकल ब्रांच, सिविल ब्रांच, मैकेनिकल ब्रांच के बच्चों को प्रैक्टिस करने के लिए और अपना कॉन्फिडेंस बूस्ट करने के लिए बेस्ट है ये। जल्दी से बताओ ये सेशन बेस्ट होने जा रहा है। बताइए। लेट द डिटरर्मिनेंट ऑफ़ अ 4 क्रॉस 4 मैट्रिक्स इज़ थ्री? तो, कह रहे हैं, व्हाट इज़ द डिटरमिनेंट ऑफ़ 2a? तो, बेटा, डिटरमिनेंट ऑफ़ 4 क्रॉस 4 मैट्रिक्स आपका आपको क्या दिया हुआ है? 3 दिया हुआ है। देन डिटरमिनेंट ऑफ़ 2a इसमें तो बेटा मैंने पोल भी नहीं लगाया। 4 का मैट्रिक्स है तो 2 ^ 4 बाहर आ जाएगा। क्योंकि डिटर्मिनेंट में से पावर बाहर आती है। तो देखो 2 की पावर 4 जितना भी हो रहा है कितना होता है? 2 * 2 = 4 * 2 = 8, 2 * 2 = 4 * 2 = 8 * 2 = 16 तो 16 * 3 आंसर इज़ 48 आई थिंक लगभग सभी बच्चों ने आंसर दे दिया। अरे सर ये तो इतना हल्का क्वेश्चन बेटा। ये एग्जैक्ट ये

5:11 क्वेश्चन देखो लिखा है। सीएस ब्रांच में आया था। अभी परसों जो पेपर हुआ है। चलो नेक्स्ट क्वेश्चन पे चलते हैं। अगला क्वेश्चन। अच्छा पहले मैं आपको पीवाईक्यू टाइप के क्वेश्चन कराऊं। चलो एक काम करते हैं। जरूरी नहीं कि सारे पीवाईक्यू कराऊं। एक आध जनरल क्वेश्चन भी कराते हैं। लो एक जनरल क्वेश्चन है। इसको करिए। तो हां ये शिफ्ट टू का क्वेश्चन था। अब ये जनरल क्वेश्चन करिए। मतलब ये नहीं आया है। पहले इसकी प्रैक्टिस कर लेते हैं। फिर मैं आपको दिखाता हूं किस तरह का क्वेश्चन पूछा गया था। निकालिए इसका आंसर। बेटा पोल लगाऊं क्या? थोड़ी बहुत देर के लिए पोल लगा दूं? लाओ लगा देते हैं। जितनी देर में हम करेंगे बेटा उतनी देर में आप भी कर लीजिएगा। 90 सेकंड का पोल बस हमने लगा दिया है। स्टार्ट पोल। चलो फॉर व्हाट वैल्यूस ऑफ़ अल्फा एंड बीटा। क्योंकि अगर मैं सारे क्वेश्चन वही करा दूंगा तो ज्यादातर बच्चे तो तुरंत-तुरंत आंसर देने लगे। तो कुछ एक्स्ट्रा क्वेश्चंस भी हो जाए मिलतेजुलते कांसेप्ट्स के या जो अनटच

5:57 कांसेप्ट्स थे वहां के क्वेश्चंस। लेट फॉर व्हाट वैल्यूज़ ऑफ़ अल्फा एंड बीटा डू द फॉलोइंग साइमलटेनियस इक्वेशंस हैव एन इनफाइनाइट नंबर ऑफ़ सॉलशंस? बेटा इसमें इनफाइनाइट नंबर ऑफ़ सॉल्यूशन चाहिए। तो सिंपल सी बात है आपको ऑगमेंटेड मैट्रिक्स की रैंक निकाल करके देखना पड़ेगा। तो हम बेटा बिना किसी डिस्कशन के सीधे ऑगमेंटेड मैट्रिक्स लगाना शुरू करते हैं। तो ऑगमेंटेड मैट्रिक्स अगर आप बनाएं प्रैक्टिस करने बैठे हो ना तो देखें क्या इसका आंसर आने आने जा रहा है। 1 2 1 2 4 3 और फिर बेटा 3 6 और अल्फा ये है सामने और यहां लिखा है 4 8 बीटा। कहा था इस वन की हेल्प से इसके नीचे ज़ीरो करेंगे। तो बेटा इसका पहले थोड़ा साइज कम कर लेता हूं पेन का। ठीक है? साइज कम हो गया। R2 - 2R1 लिख लेना चाहिए इसको। नहीं तो कभी-कभी गलती हो

6:42 जाती है। और R3 - 3R1 इस कांसेप्ट को अप्लाई कर दें। तो ये तो ऐसे ही रह गया। 1 2 1 4 बेटा टू टाइम सब्ट्रैक्ट हो रहा है। टू टाइम सब्ट्रैक्ट हो रहा है। यहां पे वन बचेगा और यहां टू टाइम सब्ट्रैक्ट हो रहा है। ज़ीरो थ्री टाइम सब्ट्रैक्ट हो रहा है। यहां थ्री टाइम सब्ट्रैक्ट हो रहा है। ये है अलफा - 3 और फिर बेटा ये क्या है? यहां पे बीटा - 3 टाइम सब्ट्रैक्ट हो रहा है। तो बीटा - 12 हां जी। अब इसी से मिलताजुलता जो आया हुआ क्वेश्चन है अभी वो भी देखने जा रहे हैं। क्या यह एक्लोन फॉर्म बन गई? नहीं सर ये एक्लो देखो पहले बच्चे बी बता रहे थे। कुछ बच्चे ऑप्शन ए भी बता रहे हैं इसका आंसर। ट्राई करेंगे कि अब इसमें कौन सी वैल्यू रखी जाए? इक्लॉन फॉर्म में कन्वर्ट कैसे किया जाए इसको? देखो ये टू टाइम सब्ट्रैक्ट हुआ। टू टाइम सब्ट्रैक्ट हुआ। यहां पे टू टाइम सब्ट्रैक्ट हुआ। तो ये केवल वन रह गया। और ये थ्री टाइम सब्ट्रैक्ट होना था। तो इस वजह से 0 0 अलफा - 3 बचा। आपको इनफाइनाइट

7:28 सॉल्यूशन होने के लिए बेटा यहां भी ज़ीरो होना चाहिए। यहां भी ज़ीरो होना चाहिए। है ना? तभी तो रैंक जो है लेस देन नंबर ऑफ़ वेरिएबल्स आना चाहिए। फॉर इनफाइनाइट सॉलशंस फॉर इनफाइनाइट सॉल्यूशन रैंक ऑफ़ A और रैंक ऑफ़ AB दोनों इक्वल तो हो जाए लेकिन बेटा वो टू के इक्वल होगी तो ज्यादा बेटर रहेगा। लेस दैन थ्री होना चाहिए। बिकॉज़ थ्री आर दी नंबर ऑफ़ वेरिएबल्स। तो अगर दोनों की रैंक टू करनी है तो बेटा अल्फा को थ्री और बीटा को 12 लिखना पड़ेगा। तो देखा जाए ये प्रैक्टिस के पॉइंट ऑफ व्यू से थ्री और 12 ऑप्शन बी जिन्होंने ऑप्शन बी बताया था बेटा उनका सही हो गया। फिलहाल तो कैलकुलेशन मिस्टेक की वजह से कुछ बच्चे इसका आंसर फोर बता रहे हैं। अल्फा - अल्फा = 4 बेटा 3 और बीटा = 12 ये आंसर आएगा। इसका आंसर कितना आ गया? ऑप्शन ए आ रहा है कि ऑप्शन बी आ रहा है? फिर से

8:14 कैलकुलेशन चेक कर लें। अल्फा - 3 बेटा यहां थ्री टाइम्स गया। यहां से थ्री टाइम्स गया। यहां से थ्री टाइम्स गया तो अल्फा - 3 हुआ। और बीटा - 12 सही है। ऑप्शन बी इज द राइट आंसर ऑफ दिस क्वेश्चन। देखें तो बच्चों ने ऑप्शन बी लगाया था कि नहीं? 91% बच्चों ने ऑप्शन बी लगाया। इसका मतलब सब सही है। चलो बहुत अच्छी बात हो गई। मिनिमाइज करते हैं। अब देखें इस कैटेगरी का कैसा क्वेश्चन आया था। बेटा एक आध क्वेश्चन मैं कराऊंगा। फिर मैं प्रैक्टिस के लिए सीधे दिखा दूंगा किस तरह का क्वेश्चन आया। बताओ भाई ये रहा क्वेश्चन। उसी क्वेश्चन को इन्होंने ऐसे डिजाइन करा। इंस्ट्रूमेंटेशन का क्वेश्चन है बेटा। अभी परसों हुआ है पेपर। इंस्ट्रूमेंटेशन का। बताइए। फॉर दिस सिस्टम द नंबर ऑफ सॉलशंस ऑफ़ ax = b बेटा वो सिंपल सी बात है। नंबर ऑफ सॉलशंस चाहिए। नंबर ऑफ सॉलशंस ऑफ ax = b तो वही

8:59 होमोजेनियस सिस्टम सॉरी ऑगमेंटेड मैट्रिक्स वाला कांसेप्ट फिर से अप्लाई कर दीजिए। बताइए अब इसका आंसर बताइए। लाइए इसमें भी पोल लगाता हूं। अबकी बार 60 सेकंड का पोल लगा दूं क्या? नहीं सर 90 तो एटलीस्ट लगा ही दो। 90 सेकंड का पोल फिर से लग गया। प्रैक्टिस सेशन है बेटा ये। ये समझ लो। हम आपके सामने हम ऑगुमेंटेड मैट्रिक्स लाइए। बना लेते हैं। ऑगुमेंटेड मैट्रिक्स इक्वल्स टू फिर से जैसे अभी बनाया था। बेटा रियल टाइम रियल क्वेश्चंस हैं यह। तो इसलिए आप तुरंत तुरंत प्रैक्टिस कीजिए और अपना कॉन्फिडेंस बूस्ट कीजिए। और यह है 13 हां जी। इस वन की हेल्प से आगे वाले को जीरो कर लेते हैं। तो यहां पे आ गया 102 और वन बेटा ये ज़ीरो ऐड करेंगे तो ये वन ही रह जाएगा। ये टू हो जाएगा। ये फोर हो

9:45 जाएगा। यहां कुछ करने की जरूरत नहीं है। ऐसे ही रहने देते हैं। अब क्या करें? नंबर अच्छा फिर इस वन की हेल्प से इसके नीचे वाले को जीरो करते हैं। तो बेटा ये बच गया 102 1 और 0 1 2 4 बेटा 0 0 सब्ट्रैक्ट कर देते हैं ज़ीरो इसको सब्ट्रैक्ट करेंगे -8। अब बताइए दोनों की रैंक में क्या रिलेशनशिप आता हुआ दिखाई दे रहा है? सर रैंक ऑफ़ A तो आपकी आ गई टू और रैंक ऑफ़ A भी आ गई थ्री। मतलब बोथ द मैट्रिसेस हैव नॉट सेम रैंक। तो कैसा सशन आएगा? देखें आप लोग इसका क्या लिखते हैं। व्हेन रैंक ऑफ़ a इज़ नॉट इक्वल्स टू रैंक ऑफ़ AB नो स्यूशन विल एग्ज़िस्ट। इसका मतलब आंसर ऑफ़ दिस क्वेश्चन इज़ ऑप्शन नंबर बी। आई थिंक अभी भी बी ही निकला। यह रियल टाइम का क्वेश्चन। अभी कोई बच्चा सी लगा रहा है। नहीं बेटा यूनिक नहीं रैंक ऑफ़ A टू है।

10:30 रैंक ऑफ़ AB भी टू है। दोनों की रैंक ओके। रुको रुको। रैंक ऑफ़ AB ए इसकी वैल्यू थ्री है। बेटा दोनों की रैंक सेम नहीं आई। इस वजह से नो सशन मिला। तो उम्मीद है कि आंसर सही लगाया आपने। ऑप्शन बी फिर से। शाबाश। 80% बच्चों का आंसर सही निकला। बढूं आगे हम बेटा वो बात भी सही है। जिस तरीके से भी ऑब्जरवेशन से आप देख सकते हो कि इसको इससे ऐड कर दो, उससे इससे ऐड कर दो तो भी ठीक है। हमने एक प्रोसेस से चल रहे हैं जिससे कि आपका रिवीजन भी हो जाए। अच्छा एक और क्वेश्चन आया था। देखो के हेमिल्टन थ्योरम का एक क्वेश्चन ये रहा। सिस्टम ऑफ इक्वेशन का एक क्वेश्चन मुझे दिखा जो मैंने आपके सामने रख दिया। हम्। अब आगे आते हैं। बेटा, यह एक केलेले हेमिल्टन थ्योरम का क्वेश्चन है। कह रहे हैं, सेट ऑफ़ ऑल द आइगन वैल्यूज़ ऑफ़ मैट्रिक्स P विल बी सेट ऑफ़ ऑल द आइगन

11:18 वैल्यूज़ ऑफ़ मैट्रिक्स P। क्या बोल रहे हैं? फिर से देखो, सेट बोल रहे हैं। सम नहीं बोल रहे। कुछ बच्चे इसको सम बोल देते हैं। सेट ऑफ़ ऑल द आइगन वैल्यूज़। तो, इसकी आइगन वैल्यूज़ निकालनी है विद द हेल्प ऑफ़ कैले हेमिल्टन थ्योरम। क्योंकि मैट्रिक्स किसको सेटिस्फाई कर रहा है? मैट्रिक्स सेटिस्फाई कर रहा है p - 4p² + 5p - 2i। इसका मतलब आपका मैट्रिक्स 3 ऑर्डर का है। चलो तो बेटा हमने क्या सीखा था? एव्री स्क्वायर मैट्रिक्स सेटिस्फाई इट्स ओन कररेक्टरिस्टिक इक्वेशन। एव्री स्क्वायर मैट्रिक्स सेटिस्फाई इट्स ओन कररेक्टरिस्टिक इक्वेशन। इसका मतलब वी कैन रिप्लेस लैम्ब्डा विद मैट्रिक्स a या a विद् लैम्ब्डा मैट्रिक्स a विद लैम्ब्डा इन कररेक्टरिस्टिक इक्वेशन। तो यहां पे हम क्या करेंगे? p की जगह बेटा लैम्ब्डा रख देंगे। ्ड² + 5λ - 2 = 0 अब अगर हम इसके फैक्टर देखें तो बेटा इसका एक फैक्टर तो

12:04 वन है। हां ये सेशन किए तो पांच मार्क्स आ सकते हैं मैथ्स में आउट ऑफ 30 बेटा ये सब बातें हम करना पसंद नहीं करते। अब इसमें अगर मैं देखूं तो बेटा इसके फैक्टराइज करने हैं। तो वन इसका फैक्टर है। क्यों? 1 - देखो 1 - 4 + 1 - 2 = 0 5 और 1 6 4 और 2 6 बेटा म्ब्डा - 1 इसका फैक्टर है। तो अब फैक्टर को आगे आप प्रोसीड हमें थोड़ा बहुत तो समझा के भी चलना है ना। फाइनल आंसर तो दिखाना नहीं है। तो बेटा म्ब्डा - 1 आप तीन बार लिख लीजिए। क्यूबिक इक्वेशन के फैक्टर निकालने हैं। तो म्ब्डा - 1 को तीन बार लिख लीजिए। अब इसको बैलेंस करते हैं। यहां से λ² मल्टीप्लाई करोगे और इसके जो मल्टीप्लिकेशन के बाद जो वैल्यू है बेटा उसको ऊपर रिप्लेस करिए। देखो थोड़ा सीखना भी तो है थोड़ा बहुत। तो λ - लैλ² ये तो चीज आ गई। फिर क्या है? -4 लैλ² में से -

12:50 लैλ² आ गया। तो बेटा यहां पे -3 लैλ करोगे तो ये आ जाएगा -3 लैλ² और इसको मल्टीप्लाई करोगे तो 3 लैλ इसका मतलब 5 लैλ में से 3 लैλ आ गया। तो आप बेटा यहां पे + 2 कर दोगे तो यहां लिखोगे आप + 2λ - 2 = 0 = 0 इस तरह से ये फैक्टराइज हो जाता है। और अब आप देखोगे यहां λ - 1 और λ² - 3λ + 2 = 0 बेटा इसके तो क्वाड्रेटिक इक्वेशन के फैक्टर तो हम लोग जानते ही हैं। ये क्या फैक्टर आने चाहिए इसके? सर इसके फैक्टर अच्छा नहीं क्लियर है तो देखो -λ + 2 = 0 इस तरह से ब्रेक कर सकते थे। म्ब्डा - 2 होगा और म्ब्डा - 1 होगा। तो बेटा इसके फैक्टर आ गए λ - 1 और फिर λ - 1 और म्ब्डा - 2 = 0 आप कह सकते हैं कि म्ब्डा की

13:36 वैल्यू 1 1 2 है। इसका मतलब वन रिपीट हो रही है। तो सेट पूछा है आपसे तो बेटा सेट तो फिर ये हो गया ना 1 2 देखो 1 2 हो गया। आप इसे 1 2 भी कह सकते थे। ऑप्शन से सेटिस्फाई कर लें सीधा। हां बेटा बिल्कुल कर सकते हैं। ऑप्शन से सेटिस्फाई करके देख सकते हैं। वन इसको सेटिस्फाई कर रहा है। टू इसको सेटिस्फाई कर रहा है। लेकिन थ्री इसको सेटिस्फाई नहीं कर रहा। कुछ बच्चे ऑप्शन वेरिफिकेशन कह रहे हैं बेटा वो तो बात सही है लेकिन उससे फिर आप सीख नहीं पाते कुछ भी है ना जो बच्चे हल्का सा रिवीजन करने बैठे हैं तो मैंने ये भी रिवाइज करके दिखा दिया कि कैसे आप फैक्टराइज करते हैं आप इसमें देखो म्ब्डा = 1 सेटिस्फाई कर रहा है म्ब्डा = 2 सेटिस्फाई कर रहा है और म्ब्डा = 3 सेटिस्फाई नहीं कर रहा है तो इसका मतलब वन और टू ही आंसर है। बढ़े आगे। आप देख रहे हो अभी भी जो भी दो तीन क्वेश्चन आपने देखे

14:22 लगभग उसी तरह का उसी तरह के क्वेश्चंस हैं जैसे क्लास में कराए जाते थे। अगले क्वेश्चन पे चलें। मैं ये सोच रहा हूं कि सारे क्वेश्चन पीवाईक्यू ना करा करके एक दो क्वेश्चन इस तरह के भी कराए जाएं बेटा जिसमें थोड़ा दिमाग भी लगाना पड़े। कुछ प्रॉपर्टीज याद आए। लीजिए। इसमें एक अच्छा खासा रिवीजन होगा आपका। पिछले क्वेश्चन में आंसर क्या था? पता नहीं। पिछले क्वेश्चन में मैंने पोल लगाया था लेकिन आंसर कौन सा दिया था आपको? आंसर आपको दिया था ऑप्शन सी। तो बेटा उसमें तो सी लगेगा। इसका आंसर निकालो तो इसका आंसर निकालो। ऑप्शन सी पिछले वाले में 87% बच्चों ने आंसर दिया था। अब इसका आंसर ये एमएसक्यू है कि एमसीक्यू? एमएसक्यू एमसीक्यू खुद ही से देखो बेटा। एमएसक्यू है या एमसीक्यू? हम क्या करना चाहते हैं? स्टार्ट पोल कर देते हैं 60 सेकंड। चलो

15:08 बताइए आंसर। थ्योरेटिकल क्वेश्चन आपको दिया है हम नो सॉल्यूशन की जगह जीरो बेटा होमोजेनियस सिस्टम होगा तो नॉन होमोजेनियस सिस्टम होगा तो नो सॉल्यूशन और जीरो सॉल्यूशन एक ही चीज है। नॉन होमोजेनियस सिस्टम में नो सॉल्यूशन जीरो सॉल्यूशन एक ही चीज है। हां अगर होमोजेनियस सिस्टम होता तो नो सॉल्यूशन और जीरो सॉल्यूशन अलग-अलग है। बेटा रैंक का क्वेश्चन अभी नहीं आया। ये बात सच है। रैंक का क्वेश्चन नहीं आया। लेकिन लेकिन इसका मतलब आगे रैंक का क्वेश्चन आने के चांस बन सकते हैं। इसका आंसर दे रहे हैं क्या? पहले तो आप बेटा इस क्वेश्चन को करने से पहले आपको देखना होगा कि इन्होंने पूछा क्या है? नॉट ट्रू। देख रहे हो हम हमेशा कहते थे ना कि ट्रू बच्चे ट्रू ढूंढने लगते हैं। जबकि इसमें नॉट ट्रू पूछा गया है। तो नॉट ट्रू के हिसाब से देखना। इफ A इज़ अ डायगोनल मैट्रिक्स देन आइगन वैल्यूज़

15:55 ऑफ़ A आर दी डायगोनल एलिमेंट्स। ये ट्रू स्टेटमेंट है। जो बच्चे ऑप्शन ए दे रहे हैं उनसे यही गलती हो रही है। फिर कह रहे हैं a इज अ रियल स्क्यूसिट्रिक मैट्रिक्स। बेटा अगर कोई स्क्यूसिट्रिक मैट्रिक्स है तो उसकी आइगन वैल्यूस प्योरली इमिनरी नंबर होती हैं या ज़ीरो होती हैं। एक ट्रू स्टेटमेंट है। मैंने वो डायग्राम सर्कुलर डायग्राम बना करके आपको ये वाली प्रॉपर्टीज लर्न कराई थी। तो इसका मतलब स्क्यूसिट्रिक मैट्रिक्स की आइगन वैल्यूज़ प्योरली इमेजिनरी नंबर है। बिल्कुल सही बात है। ट्रू स्टेटमेंट है। अगर कोई ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है, तो उसकी आइगन वैल्यूज़ का मॉड्यूलस वन होता है बेटा। दे आर ऑफ़ यूनिट मॉड्यूलस। तो बेटा ये यूनिट मॉड्यूलस लिखा है। ये भी ट्रू स्टेटमेंट है। जब तीनों ट्रू हो गए तो बाय डिफ़ॉल्ट इसको फॉल्स ही लिखना पड़ेगा। तो इसका आंसर ऑप्शन डी है। फिलहाल चेक कर लेते हैं। चेक में क्या कह रहे हैं? A इज़ अ इनवरर्टेबल मैट्रिक्स। अगर A इनवरर्टेबल मैट्रिक्स है, तो उसकी आइगन वैल्यू ज़ीरो नहीं होगी।

16:42 हां, आइगन वैल्यू ज़ीरो नहीं होगी। देन आइगन वैल्यूज़ ऑफ़ A एंड A इनवर्स आर आइडेंटिकल। ये कहां से हो गया बेटा? A और A इनवर्स की आइगन वैल्यू्यूज आइडेंटिकल थोड़ी होती हैं। अगर A की आइगन वैल्यू लैम्ब्डा है तो A इनवर्स की आइगन वैल्यू 1 / लैम्ब्डा होती है। कुछ याद आया? आइगन वैल्यू ऑफ़ A इनवर्स विल बी 1 / लैम्ब्डा। तो इसका मतलब ये फॉल्स स्टेटमेंट था। बढ़े आगे। चलो कुछ बच्चे देखो ये नॉट ट्रू ना पड़ने की वजह से आंसर गलत दे गए। चलो पोल लगा के थोड़ा मजा तो आता ही है। केवल 30% बच्चे आंसर सही दे पाए। क्यों? क्योंकि उन्होंने नॉट ट्रू को ट्रू पढ़ लिया। देख रहे हो? यही यही ध्यान रखने वाली बात थी। और इसमें चार क्वेश्चन रिवाइज हो गए। इस पर्टिकुलर क्वेश्चन में बेटा आपके चार प्रॉपर्टीज रिवाइज हो गई। बढ़े आगे। चलो इस क्वेश्चन को भी करो जरा। एक आइगन वेक्टर

17:28 का क्वेश्चन इसमें भी लगा दें पोल। हम सर रियल है ज़ीरो नहीं। क्या रियल है? ज़ीरो नहीं। चलो रियल है ज़ीरो नहीं। देख पढ़ लेंगे अभी जाकर के। फिलहाल उसका ऑप्शन तो मिल ही गया। लाइए इसका आंसर। 90 सेकंड में निकाल पाए तो निकालिए। हम थोड़ा बेटा टफ होता है। डबल ई के क्वेश्चन थोड़े कंपेरेटिवली टफ होते हैं। यह बात सच है। है ना? डबल ई के क्वेश्चन थोड़े से टफ होते हैं क्योंकि उसमें हार्ड कोर मैथमेटिक्स चाहिए होती है। इफ लेकिन कुछ हल्के भी होते हैं। उसमें सारे टफ नहीं कंपेरेटिवली टफ होते हैं। लेकिन सारे ही टफ थोड़ी आ जाते हैं। इतना इज़ एन आइगन वेक्टर ऑफ़ द फॉलोइंग मैट्रिक्स देन द कॉस्पोंडिंग आइगन वैल्यू। बेटा आइगन वेक्टर दिया है। कॉस्पोंडिंग आइगन वैल्यू को आप ax = लैम्ब्डा x में

18:15 रिप्लेस करके चेक कर लेंगे। ax = लैम्ब्डा x से हमने कहा था लैम्ब्डा शुड बी यूनिक इन ऑल कंपैरिजंस एंड देयर शुड नॉट बी एनी इनवैलिड रिजल्ट। तो आप फोर्सफुली क्या करोगे? ax = लैम्ब्डा x में वैल्यू रख करके देखते हैं। तो -1 3 - 1 और 0 - 1 2 और बेटा x कहां गया? x है 2 0 - 1 और ये है लैम्ब्डा और 2 0 - 1 अगर इधर से देखें तो यह 2λ है। यह 0 है। ये - लैम्ब्डा है। चलो जी इसको मल्टीप्लाई करते हैं। दिस इंटू दिस 2 * 2 = 4 और ये बेकार है। ये तो फोर ही आ गया। अच्छा यहां से -2 ये बेकार है। -2 और +1 -2 + 1 मतलब -1 और अगला ये वाली चीज़ देखते हैं। 0 हो गया। 0 हो गया

19:00 और ये -2 हो गया। बेटा यहां पे पहले वाले कंपैरिजन से लैम्ब्डा की वैल्यू टू आ रही है। दूसरे वाले कंपैरिजन से -1 की वैल्यू 0 आ रही है। और दूसरे तीसरे से भी म्ब्डा = 2 लैम्ब्डा तो यूनिक आ गया लेकिन समस्या ये है कि आपको एक इनवैलिड रिजल्ट मिलता हुआ दिखाई दिया। -1 = 0 ये बेटा गलत हो गया। इसका मतलब ये इसका आइगन वेक्टर ही नहीं है। कंफर्मेशन आ गया। इट इज़ नॉट एन आइगन वेक्टर। इट इज़ नॉट एन आइगन वेक्टर ऑफ़ अ मैट्रिक्स। ऑप्शन डी इज द राइट आंसर फॉर दिस क्वेश्चन। देख रहे हैं इस तरह से हैंडल होते हैं क्वेश्चंस। लाइए देखें इसका आंसर ऑप्शन डी लगाया कि नहीं। डी 83% बच्चों ने कर लिया। बहुत अच्छी बात है। मजा ही आ गया। ये ये नहीं आया है। कुछ क्वेश्चन मैं बीच-बीच में क्या कर रहा हूं? ऐसे डाल दे रहा हूं जो प्रैक्टिस क्वेश्चंस हैं। और कुछ क्वेश्चन उन्हीं

19:47 में बेटा जो क्वेश्चन आ गए हैं वो डाल दे रहा हूं। तो एक एक अच्छा सा रिवीजन हो जाएगा आपका। ठीक है? पोल कहीं आता नहीं है। बेटा आपको चैट बॉक्स में ही आंसर दे देना है। पोल अपना टेक्नोलॉजी से खुद ही उठा लेगा अपने आप को। बढ़े आगे। चलो एक पीवाईक्यू दिखाऊं लाइए इसको देखिए जरा यह एक्स ब्रांच में आया एक्स ब्रांच में अभी परसों पेपर हुआ था एक्स में आया है चलो इसमें देखें कितना टाइम लगेगा पढ़ो तो एमएसक्यू है ये ये बेटा एमएसक्यू लिखा हुआ है लाइए मल्टीपल चॉइस और इसको पढ़ना ही तो है आपको तो 90 सेकंड दे देता हूं मल्टीपल चॉइस है तो 90 सेकंड बताइएगा हम कोई कोई ऐसेसे लोग भी गेट सीएस में चीटिंग

20:33 हुआ बच्चे बोल रहे थे कोई इस बारे में बात ही नहीं कर रहा है अरे तो आपको मौका मिले तो आप भी कर लेना खत्म बात टेंशन ही खत्म है कि नहीं आपको मौका मिले तो आप भी कर लेना चलो बढ़े आगे ये है सामने इन मैट्रिक्स डिटरर्मिनेंट इसका कितना आएगा और ये एमएसq है इसका डिटरर्मिनेंट बेटा इसका डिटरर्मिनेंट लाओ निकाल लेते हैं जल्दी से इसका डिटरमिनेंट ये थर्ड कॉलम के अबाउट एक्सपेंड कर देते हैं। तो डिटरमिनेंट ऑफ़ a = 1 इसको हाइड करो करते हो 0 - 2 तो बेटा ये तो डिटरर्मिेंट -2 है। इसका मतलब ये तो फॉल्स हो गया। a नहीं है। a - 2i इज़ इनवरर्टेबल i अच्छा a - 2i इनवरर्टेबल होगा। ये देखना पड़ेगा कि a - 2i इसके लिए बेटा हमें इसकी आइगन वैल्यूज़ निकालनी पड़ेंगी। तो पता चल जाएगा। ऑल द आइगन

21:20 वैल्यूज़ आर रियल नंबर। चलो फिर आइगन वैल्यूज़ के बारे में बात करते हैं। तो आइगन वैल्यूज़ निकाल ही लेते हैं। कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन इज़ डिटरमिनेंट ऑफ़ a - लैλi = 0 कहां चेंजज़ आएंगे सर? डायगोनल में 1 - लैम्ब्डा 2 0 फिर यहां लिखा है 2 - लैλ 0 और बेटा 0 0 और 1 - लैम्ब्डा डिटरमिनेंट इसको सॉल्व करना है। अगर इसको सॉल्व कर ले गए तो हमें आइगन वैल्यूज़ मिल जाएंगी। समझ लो काम बन जाएगा। लाइए देखें इसकी आइगन वैल्यूज़ आती क्या है? किसके अबाउट एक्सपेंड करें सर? थर्ड कॉलम के अबाउट एक्सपेंड कर दीजिए। 1 - लैλ 1 - लैम्ब्डा और इसको हाइड करते हैं। तो यह बेटा क्या हो गया? 1 - लैम्ब्डा और यहां पे आपको - लैम्ब्डा दिख रहा है और इधर जो है -2 आ जाएगा और इक्व 0 अब इसमें

22:07 से कुछ कॉमन आता हुआ दिखा कि 1 - लैम्ब्डा का होल स्क्वायर बेटा ये बात सही लिखी हुई है या कुछ कहीं कुछ सिली मिस्टेक हुई है 1 - लैम्ब्डा 1 - लैम्ब्डा यहां तो हो गया 1 - लैम्ब्डा * - लैम्ब्डा है ये तो ये - लैम्ब्डा है और 1 - लैम्ब्डा है तो इस तरह से ये तो क्वाड्रेटिक इक्वेशन बनेगी तो म्ब्डा² - लैम्ब्डा - 2 और यहां से 1 - लैम्ब्डा = 0 यहां से बेटा आपको देखना होगा कि रूट क्या आने जा रहे हैं। म्ब्डा² - 2λ - 2λ + लैम्ब्डा - 2 = 0 ये मैंने फैक्टर कर दिए और इधर हो गया 1 - लैम्ब्डा हम सिंपल तरीके से क्वेश्चन करा रहे हैं जिससे कि आपको सीख भी सको। ये λ - 2 और यहां से +1 होगा तो λ + 1 तो बेटा इक्व 0 अगर मैं इसकी आइगन वैल्यू्यूज देखूं तो 1

22:53 - 1 और टू दीज़ आर दी आइगन वैल्यूज़ बेटा यहां से -1 यहां से वन और यहां से टू तो 1 - 1 और टू अच्छी बात है। ऑल दी आइगन वैल्यूज़ आर रियल नंबर। यस इट इज़ ट्रू स्टेटमेंट। ये ट्रू स्टेटमेंट है। अच्छा XCE क्या होता है? इंजीनियरिंग साइंस। इंजीनियरिंग साइंस करके एक पेपर होता है बेटा। उसको x ही उसका कोड नेम x ही दिया हुआ है। तो वहां पे क्वेश्चन ये आया हुआ था और इसके क्वेश्चन थोड़े से लें्थी होते हैं। फिर आगे ऑल दी आइगन वैल्यूज़ आर रियल। ठीक है? a - 2i इज़ इनवरर्टेबल। a - 2i इनवरर्टेबल। चलो बेटा क्योंकि टू इसकी आइगन वैल्यू है। टू इसकी आइगन वैल्यू है। इसका मतलब ax = 2x ऐसा कुछ होगा। ax = 2x और ax = 2x से a - 2yx विल बी इक्व नल मैट्रिक्स। a - 2y x विल बी इक्व टू नल

23:40 मैट्रिक्स। अब ये बताओ आइगन वेक्टर एक्सिस्ट करेगा तो ये कैसा होता है सर? ये नॉन ज़ीरो नॉन ज़ीरो आइगन वेक्टर नॉन ज़ीरो आइगन वेक्टर। अच्छा एक बात बताओ नॉन ज़ीरो छोड़ो। कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन बनाने के लिए आप इसका डिटरमिनेंट ऑफ़ a - 2i विल बी इक्व 0 लिखोगे। तो मतलब ये तो सिंगुलर हो गया ना। तो ये इनवरर्टिबल कैसे हो गया? दैट इज़ a - 2i इज़ सिंगुलर। सिंगुलर। सो नॉन इनवरर्टेबल बेटा ये नॉन इनवरर्टेबल सिंगुलर मैट्रिक्स का इनवर्स नहीं निकाला जा सकता। इसका मतलब ऑप्शन बी भी आपका गलत है। अच्छा आइगन वैल्यूज़ ऑफ़ A इनवर्स आर 1 1/2 और -1 तो सही तो लिखा है। देखो 1 का इनवर्स वन वन हो जाएगा। -1 का अपॉन -1 और इसका 1/2 ऑप्शन डी भी सही है। ऑप्शन सी

24:26 एंड ऑप्शन डी आर दी करेक्ट आंसर्स फॉर दिस क्वेश्चन। प्रोबेबिलिटी के भी करा देंगे। प्रभव बेटा इंतजार कर लो। हां प्रोबेबिलिटी के भी क्वेश्चन करा देंगे। तो ऑप्शन सी और ऑप्शन डी मैंने एमएसक्यू बोला था। देखा जाए तो 55% बच्चे ऐसे हैं जिन्होंने दोनों सही आंसर दिया। ऑप्शन सी भी दिया। ऑप्शन डी भी दिया। नाम किसी का नहीं पढूंगा फिलहाल मैं। बढ़े अब आगे। तो A और B इस तरह से थोड़ा मतलब कि कट गया। डिटरर्मिनेंट नहीं आया और a - 2i इनवरर्टेबल नहीं होगा बेटा। अच्छा A - 2i इनवरर्टेबल नहीं होगा। और कौन सा मैट्रिक्स इनवरर्टेबल नहीं होगा? बता सकते हैं और कौन सा मैट्रिक्स नहीं होगा? जो जो आइगन वैल्यू है लैम्ब्ड = 1 है। लैम्ब्ड = -1 है। इसी तरीके से अगर मैं देखूं तो a + i a + i और a - i बेटा ये भी आपके नॉन

25:15 इनवरर्टेबल होंगे। हालांकि इन्होंने ये बात लिखी नहीं है। इसमें ये भी आपके नॉन इनवरर्टेबल होंगे। जैसे a - 2i हुआ। ठीक है सर अगर a सिमिट्रिक है तो आइगन वैल्यूस रियल ऐसे नहीं होगा। हां बेटा अगर सिमिट्रिक है तो आइगन वैल्यूज़ रियल होती है। बिल्कुल हो सकता है। लेकिन तब भी आपको ऑप्शन डी के लिए तो निकालना ही पड़ता। देखो ये सिमिट्रिक मैट्रिक्स दिख रहा है तो सिमिट्रिक मैट्रिक्स की आइगन वैल्यूज़ प्योरली रियल नंबर होती है। उस वजह से भी ठीक है। लेकिन तब भी ऑप्शन डी के लिए तो आपको करना ही पड़ेगा। इसलिए सी और डी दोनों सही हो गए। बढ़े अब आगे। चलो और देखते हैं क्वेश्चन। बेटा आप लोग बहुत परेशान रहते थे कि सर एलओ डीकंपोज़िशन का क्वेश्चन हमको प्रैक्टिस करा दीजिए। लीजिए करिए। एलओ डीकंपोजीशन का क्वेश्चन टू मार्क्स का क्वेश्चन है। टू मार्क्स का अभी आया है।

26:01 एलयूओ डीकंपोज़शन मैंने बीसी डी कर दिया था सर। तो बेटा बी गलत हो गया। देखो आदर्श शुक्ला कोई बात नहीं बी गलत हो गया। प्रोबेबिलिटी के कराएंगे बेटा। कोई दिक्कत नहीं। प्रोबेबिलिटी क्वेश्चन कराएंगे। बेटा क्वेश्चंस भी कराएंगे। कांसेप्ट्स के साथ क्वेश्चन भी कांसेप्ट थ्रू क्वेश्चंस डेवलप करेंगे। कल जो रात में हम डीए का सेशन लेंगे डीए स्पेसिफिक स्टूडेंट्स का। तो उसमें कांसेप्ट थ्रू क्वेश्चंस करवाएंगे। ठीक है? हां, सारे क्वेश्चन यहां बेटा एक जगह आपको मिल जा रहे हैं। तो एक जगह आपको मिल जा रहे हैं। नहीं एक्स शुड बी इंजीनियरिंग साइंस। बेटा वो ईएस जो होता है वो एनवायरमेंटल साइंस होता है। आईआईएससी नाम का ही बच्चा है। ईएस कोड नेम है एनवायरमेंटल साइंस का और एक्स कोड कोड नेम है इंजीनियरिंग साइंस का। तो इसलिए दोनों के अलग-अलग कोड नेम है। चलो बेटा

26:46 एलओ डीकंपोज़शन में आपको अल्फा की वैल्यू चाहिए। कह रहे हैं ये अल्फा क्या होगा? इस अल्फा की वैल्यू निकालनी है। तो, इसके लिए आपको यह क्राउड मेथड है कि डू लिटिल मेथड है? बता सकते हैं। सर, यह क्राउड मेथड है क्योंकि यूनिट यूटीएम लिखा हुआ है। तो, हमने ऐसा सुना था कि a को आप एलटीएम और यूनिट यूटीएम में कन्वर्ट कर रहे हो। इन्होंने क्वेश्चन में ऐसा कन्वर्ट करने को कहा है। एलटीएम * यूनिट यूटीएम। तो बेटा a तो आपको यहां दिख रहा है। दोबारा लिखने की जरूरत नहीं है। लेकिन एलटीएम और यूनिट यूटीएम इनको मल्टीप्लाई करके लिख देता हूं एक ही स्टेप में जिससे कि टाइम वेस्ट ना हो। अच्छा एक काम और करें। ये L11 L21 इस तरह से लिखने में भी टाइम किल होता है। एक काम ना करें इसको A B CD में लिख लें। वो ज्यादा अच्छा रहेगा। देखो इसको लिख लेते हैं। A 0 B C0 DE और DE और

27:36 ये -10 है। यहां ऑलरेडी इन्होंने -10 दिया है। सर इसमें पोल लगा दो। इंटीजर टाइप का लाइए 90 सेकंड का मौका दिया जा रहा है इंटीजर टाइप का पोल और अभी यह टू मार्क्स का क्वेश्चन है आपके यहां का चलो यूनिट यूटीएम तो डी ई वन ई के बाद f जी और h 1 1 0 0 ठीक अब इससे क्या होगा थोड़ा जल्दी कंपैरिजन हो जाएगा 1 1 4 3 - 1 3 5 और अल्फा तो बेटा इसको जरा मल्टीप्लाई करते हैं इस जगह तो दिस इंटू दिस a आ गया दिस इंटू दिस बेटा दिस इंटू दिस ये आ गया af f a आ गया af आ गया और दिस * दिस a आ गया फिर दिस * दिस तो ये आ गया b क्योंकि ये जीरो ज़ीरो है दिस * दिस तो ये आ गया bf + c bf + c और बेटा दिस * दिस तो ये आ जाएगा

28:25 bg + c bg + bg + c और bg + बाकी कुछ नहीं और दिस * दिस तो बेटा ये तो केवल और केवल d आ रहा है दिस इंटू दिस df + e df + e और बेटा दिस * दिस तो dg dg और + ehh dg +h -10 dg + h -10 इतना सही है। अब बेटा इसको कंपैरिजन करना है लेफ्ट और राइट साइड में तो आपको a b c की वैल्यू सब निकलती हुई दिखाई दे रही होंगी। देखो अगर मैं देखूं तो a की वैल्यू आपको दिख रही है वन। b की वैल्यू आपको दिख रही है फोर। d की वैल्यू आपको दिख रही है थ्री। अब ऐसे ही af की वैल्यू सर af की वैल्यू वन है। af की वैल्यू वन है। तो यहां से f की वैल्यू भी

29:11 वन आ गई। अच्छा फिर है आपके पास ए जी ए जी ओ जी लो जी सुनो जी ऐसा कोई गाना भी होता था हम लोग के बचपन में और जी की वैल्यू वन यहां तक भी आ गया बेटा। काफी कुछ तो निकाल लिया। अब bf + c bf + c अगर मैं देखूं bf + c को वहां पर तो बेटा ये थ्री है। इनकी वैल्यू फाइनल आंसर बता रहे हो क्या? कुछ बच्चे स्वागतम भाई आज का लाइव मॉक में कितना बना बेटा ये वैभव आपस में बात करने का समय नहीं है ये हां थ्री आंसर आ रहा है क्या चलो देखते हैं थ्री आंसर आ रहा है कि नहीं bf + c b और f दोनों निकल गए हैं 4 और * 1 + c = 3 तो यहां से c की वैल्यू 1 c भी आ गया तो और हमें चाहिए क्या था काफी कुछ तो आ गया vf g चाहिए g और h और निकालना है तो gh + c नहीं df + e अगर कर

29:59 लें तो बेटर रहेगा df और d निकल चुका है। हां। तो बेटा df + e df + e की वैल्यू 5 यहां दिख रही होगी। देखो ये df + e है। यह फाइव है। तो ये आपस में इकल होगी। अब इस जगह से हटाइए इसको यहां से। हां जी। d की वैल्यू सर थ्री है। f की वैल्यू वन है। + df + e और = 5 तो e की वैल्यू आपको टू नजर आ गई। चलो भाई e भी आ गया। और क्या बचा आपके पास? BG + CH BG + CH BG + CH की वैल्यू -1 B कहां है सर? फोर है। G क्या है सर? G 1 है। प्लस C कहां है? C तो अभी तक निकला ही नहीं। और H भी नहीं निकला। अरे C निकल गया। 1 * H = -1 तो बेटा H की

30:46 वैल्यू -5 सब निकल गए। मुझे लगता है H तक ही चाहिए था। सब आ गया। तो एलओ डीकंपोज़शन हो गया। हां, यह लंबा क्वेश्चन है बेटा। कभी-कभी एग्जाम में मैं क्यों कर रहा हूं? इसलिए कर रहा हूं कि एग्जाम में भी जब आप इसे करोगे तो इतना ही टाइम किल होगा। तो इस क्वेश्चन को आपको लास्ट के लिए छोड़ के रखना है। हम इस क्वेश्चन को आपको लास्ट के लिए छोड़ के रखना है। एक बच्चा कह रहा है सर ये कांसेप्ट जो है इलेक्ट्र डबल ई वाले बच्चों के लिए नहीं है। ऐसा कुछ नहीं है बेटा। हां बिल्कुल है। एलयू डीकंपोज़शन वहां भी एल यू डीकंपोज़शन वहां भी कॉमन आता है। कुल मिला के क्या अब आप इसे कंपैरिजन कर ले जाओगे। अगर बेटा इसमें कहीं सिली मिस्टेक हो गई हो तो बात अलग है। अब मैं क्रॉस चेक नहीं कर रहा स्ली मिस्टेक को क्योंकि मुझे बहुत सारे क्वेश्चंस कराने हैं। मैं तो केवल ये दिखा रहा हूं कि इसका एलयू डीकंपोज़शन ऐसा कुछ आ गया। 1 1 और फिर

31:32 1 1 के बाद 4 3 - 1 3 5 अलफा और बेटा ये दोनों मल्टीप्लाई करके जब सारी वैल्यू्यूज मिल ही गई तो अल्फा की वैल्यू भी मल्टीप्लाई करके आपको मिल ही जाएगी। है ना? इसकी वैल्यू अगर अल्फा की वैल्यू यहां पे देखा जाए तो यहां पे ये a कहां गया? a क्या है? 1 0 1 0 B और C क्या है? फोर है और C आपने निकाला है 1 4 1 0 4 1 0 और डी कहां गया आपका? डी है आपके पास डी हमें खुद ही नहीं दिख रहा। ये रहा थ्री थ्री है। डी तो आपका थ्री है। फिर ई कहां गया सर? टू है। और बेटा यही तो है -10 और इधर है 1 1 0 0 और यहां पे FG H चाहिए। FG तो 1 1 है और H आपने निकाल दिया -5। अगर ये

32:19 सब ठीक निकला है तो बेटा इन दोनों को कंपैरिजन करके आपको अल्फा आता हुआ दिखाई देगा। शायद अल्फा की वैल्यू थ्री ही आ रही है। तो अब अब मैं आंसर बता रहा हूं कि अल्फा की वैल्यू इसकी थ्री ही आ रही होगी। कंपैरिजन करके देख लीजिएगा। शाबाश अल्फा = 3 फाइनल आंसर थ्री आएगा। सर c की वैल्यू -1 आ रही है। c की वैल्यू -1 आ रही है। आप में से किसी ने कहा हां बेटा -1 आ रही है। लो -1 अब c की वैल्यू यहां पे -1 रखेंगे तो h की वैल्यू बदल जाएगी। फिर -1 रखेंगे तो ये +5 आ जाएगी। -1 रखने पे +5 तो h की वैल्यू +5 रखनी है। +5 और c की वैल्यू आप कह रहे हैं -1 आ रही है। तो बेटा ये है -1 ये -1 अब ठीक हो गया। अभी भी बेटा अल्फा 3 ही आ रहा है। चलो मैं केवल ये दिखाना चाहता था कि एक बड़ा क्वेश्चन भी हो सकता

33:05 है जिसको आपको अवॉइड कर देना है बाद के लिए। ठीक है ना? बाद के लिए अवॉइड कर देना है। कभी एक आध क्वेश्चन पूरे पेपर में ऐसा होता है जो ऐसा लेंथी चलता है उसको आप लास्ट टाइम के लिए अवॉइड करके चलिए। ठीक है? यूनिट, यूटीएम, एलटीएम में भी सेम प्रोसेस होगा बेटा। हां यूनिट, एलटीएम और यूटीएम में भी हम बढ़े आगे। चलो नेक्स्ट क्वेश्चन पे चलते हैं। तब इतना बड़ा क्वेश्चन तो फिलहाल के लिए अवॉइड रखेंगे। और बेटा क्वेश्चन। अच्छा एक बात बताओ जो पीवाई क्यू आए हैं वो तो सारे ही बता दूं ना। हां सर वो सारे दिखा दो। चलो यह देखो यह वाला देखो मल्टीप्लीसिटी पूछी थी किसी आइगन वैल्यू की किसी आइगन वैल्यू की मैक्सिमम मल्टीपलीसिटी क्या हो सकती है अगर मैट्रिक्स n क्रॉस n का है अगर मैट्रिक्स n क्रॉस n का है तो मैक्सिमम मल्टीपलीसिटी हम क्या हो सकती है

33:54 बता सकते हैं बेटा मल्टीप्लीसिटी पहले तो होता क्या है मल्टीपलीसिटी होता है सर नंबर ऑफ टाइम्स अ पर्टिकुलर आइगन वैल्यू रिपीट्स नंबर ऑफ टाइम्स अ पर्टिकुलर आइगन वैल्यू रिपीट्स इज कॉल्ड इट्स इट्स अलजेब्रिक मल्टीपलीसिटी। मल्टीपसिटी जब पूछ रहे हैं तो उसे अलजेब्रिक ही बोलते हैं। अच्छा तो कोई आइगन वैल्यू बेटा कितनी बार रिपीट कर सकती है? ऐसा भी तो हो सकता है कि a इज़ अ मैट्रिक्स ऑफ़ ऑर्डर nस n और इसकी आइगन वैल्यू जो आए वो सेम ही रह जाए। लैम्ब्डा ही भाई आइगन वैल्यू कितनी भी बार रिपीट कर सकती है। तो ये हाउ मेनी टाइम्स इट इज़ रिपीटिंग? सर इट इज़ इट इज़ रिपीटिंग n टाइम्स। तो अगर मैं इसकी am पूछूं am ऑफ लैम्ब्डा इन दैट सिचुएशन n तो मैक्सिमम वैल्यू उसकी बेटा n ही हो सकती है। इसमें मैंने पोल भी नहीं लगाया। एक प्रॉपर्टी

34:41 बेस्ड क्वेश्चन। ठीक है? प्रॉपर्टी बेस्ड क्वेश्चन हो गया। यह भी क्वेश्चन सीएस ब्रांच में आया था। अगला सी और कोई क्वेश्चन देखते हैं। हां, यह एक अच्छा क्वेश्चन आया था। यह ठीक-ठाक क्वेश्चन था बेटा सिस्टम ऑफ इक्वेशन का। इसको निकालें जरा। जिन बच्चों को आंसर याद है वह तो अलग बात है। लेकिन जिनको याद नहीं है वह कैसे निकालेंगे? बताइए। यह आंसर निकालिए तो मजा आए। सिस्टम ऑफ इक्वेशन बोला है बेटा मैं ना जरा चाय का आर्डर दे आता हूं और फिर उसके बाद हम कंटिन्यू करेंगे। बस मुश्किल से आधा मिनट लगेगा मुझे यह कहने में कि मुझे चाय पिला दो। ठीक है? मैं बस आ रहा हूं और आप जल्दी से इसका आंसर निकालो।

35:46 हेलो हेलो हेलो हां बेटा ओके सर मैंने तो पी भी लिया ओके फर्स्ट ईयर के स्टूडेंट देख सकते हैं देख लो बेटा क्या है टाइम पास करने में क्या जा रहा है टाइम पास करने में जा ही कह रहा है कंसीडर द सिस्टम ऑफ इक्वेशन व्हाट इज द वैल्यू ऑफ़ ab ab की वैल्यू चाहिए इफ द सिस्टम हैज़ इनफाइनाइटली मेनी स्यूशन तो बेटा इनफाइनाइटली मेनी स्यूशन के लिए हमें वैल्यू चाहिए तो रैंक एक बात बताओ इसको हम रैंक मेथड से भी कर सकते हैं और इसको हम बेटा मैट्रिक्स मेथड से भी कर सकते हैं इक्वली डिटरमाइन सिस्टम में मैट्रिक्स मेथड लग जाता है तो दोनों तरीकों से कर सकते हैं इनफाइनाइट सॉल्यूशन बेटा यूनिक सॉल्यूशन की कंडीशन है डिटरमिनेंट ऑफ़ a नॉट इक्व टू 0 लेकिन अगर डिटरर्मिनेंट इक्वल्स टू ज़ीरो है तो बेटा दो पॉसिबिलिटी होती हैं। देखो मैं आपको एक हल्का सा रिवीजन कराता हूं। इफ डिटरमिनेंट

36:32 ऑफ कोफिशिएंट मैट्रिक्स इक्व टू 0 देन वी हैव टू पॉसिबिलिटीज इदर ईदर सिस्टम हैज़ इदर सिस्टम हैज़ इनफाइनाइट सॉल्यूशन और ऑर सिस्टम हैज़ नो सॉल्यूशन। तो बेटा नेसेसरी कंडीशन इनफाइनाइट सॉल्यूशन या नो सॉल्यूशन की हो गई डिटरमिनेंट नॉट इक्व टू ज़ीरो। साथ में फिर एड्जॉइंट ऑफ़ A * B भी देखा जाता था। एड्जॉइंट ऑफ़ A * B अगर नल मैट्रिक्स आ जाएगा तो इनफाइनाइट सॉल्यूशन और एड्जॉइंट ऑफ़ A * B अगर नॉट अ नल मैट्रिक्स आएगा तो फिर बेटा उसमें नो स्यूशन आपको मिलेगा। तो खैर उतना सब क्यों देखें? नेसेसरी कंडीशन के हिसाब से पहले देखते हैं लिंक बना करके कि डिटरमिनेंट ऑफ़ a ज़ीरो रख के देखें इस सिस्टम में डिटरमिनेंट तो आपका ऐसा कुछ आ

37:19 जाएगा। डिटरमिनेंट 0 रखने पर देख रहे हैं a² - 16 = 0 a = + - 4 बेटा a = + - 4 अगर हमने a को बेटा फोर ले लिया a को फोर ले लिया केस वन इफ a = 4 तो हमारे पास जो सिस्टम है वो ये है 4x + y = b और यहां पे लिखा है 16x + 4y = 24 अब बताइए यहां पे हम b को क्या ले लें कि ये इनफाइनाइट सॉल्यूशन के लिए अंडर डिटरमाइन सिस्टम में कन्वर्ट हो जाए। अंडर डिटरमाइन सिस्टम में इनफाइनाइट सॉलशंस मिलने के चांस होते हैं। तो बेटा अगर हम b को सिक्स ले लें इफ वी टेक इफ b = 6 तो यहां पर ये दोनों इक्वेशंस एक ही रह जाएंगी। देखो सिक्स ले लिया तो यहां पर आपको दिख रहा है 16x + 4y

38:06 = 24 तब ये सिंपल एक ही इक्वेशन रह गई फोर से मल्टीप्लाई करके। तो बेटा कुल मिलाकर के आपको दिख रहा है कि b की वैल्यू सिक्स आ रही है। तो जब आप a को फोर ले रहे हैं a को फोर तो बेटा b को सिक्स ले सकते हैं। तो इस सिचुएशन में ab की वैल्यू 24 आ गई। लेकिन अगर आपने बेटा a को -4 लिया तो क्या करें? a को -4 लेने पर 4x + y की वैल्यू b और बेटा 16x और - 4y ये -4 होगा। = 24 अब ऐसा b को मैं क्या ले लूं कि ये मल्टीप्लिकेशन फिर से पॉसिबल हो जाए। सर ये फोर टाइम्स है अभी भी अभी भी फोर टाइम्स है। लेकिन नेगेटिव साइन के साथ दिख रहा है आपको। है ना? 4 -4 सॉरी -4 से मल्टीप्लाई करके ऐसा कुछ निकल के आ रहा है। तो इसका मतलब बेटा यहां पे b को अगर

38:52 मैं -6 ले लूंगा तो काम चल सकता है। b को -6 लेने पर -4x + y = -6 और 16x - 4y = 24 हां अब ये फिर से आपको बेटा अंडर डिटरमाइन सिस्टम बनता हुआ दिखाई दिया। तो मतलब दूसरी पॉसिबिलिटी में भी ab का प्रोडक्ट 24 ही आया। तो कहने का मतलब यह है कि इसका आंसर आप 24 बोल सकते हैं और वैसे आप इसे रैंक मेथड से भी बोलते तो भी ठीक रहता। तो अगर आप A को फोर ले रहे हैं तो B को भी फोर सिक्स ले लो और A को अगर -4 ले रहे हो तो B को फिर -6 ले लो। तो फिर दोनों सिचुएशन में आपको बेटा प्रोडक्ट AB का प्रोडक्ट 24 ही आएगा। आप चाहो तो इसे रैंक मेथड से कर लेना। रैंक ऑफ़ कोफिशिएंट मैट्रिक्स इक्व टू रैंक ऑफ़ ऑगमेंटेड मैट्रिक्स इज़ लेस दैन नंबर ऑफ़ वेरिएबल्स।

39:38 तो मतलब दोनों की रैंक बेटा वन वन करनी पड़ेगी। वहां से आपको A और B दिख जाएगा। तो ये क्वेश्चन थोड़ा ट्रिकी टाइप का था। तो ये क्वेश्चन मुझे ठीक लगा। चलो आगे बढ़ते हैं। बेटा कभी-कभी ना ऐसा क्वेश्चन भी आ जाता है जो कि बहुत हल्का सा भी होता है, अजीब सा भी होता है। देखो लाइए मैट्रिक्स के तो लोग सारे करा ही देते हैं पहले आपको। क्वेश्चंस तो बहुत बढ़ते चले जा रहे हैं। लाइए इस क्वेश्चन का आंसर दो। इसका आंसर दीजिए। हम कह रहे हैं वि ऑन द फॉलोइंग करेक्टली लिस्ट द आइगन वैल्यू बेटा गिवन वैल्यू नहीं है ये टाइपिंग एरर हो गई है हमारे भैया से यह आइगन वैल्यू है वो जो टाइपिस्ट वाले भैया हैं उनसे गड़बड़ हो गया बेटा ये पता नहीं किस क्वेश्चन का आंसर यहां पे मैंने छोड़ा हुआ है हटाओ फिलहाल इसका आंसर

40:26 दीजिए आप इनमें से इसकी आइगन वैल्यू सही है क्या इसकी आइगन वैल्यू निकालने का कोई तरीका है आपके पास यह पता नहीं किस में दिया था आपने आंसर। हम भूल भी गए। खड़ा हो फर्जी आंसर लगा के। हां जी। इसका आंसर बताइए। अब 60 सेकंड में अगर आप कर पाए तो इसे कंसीडर द मैट्रिक्स। ये मैट्रिक्स आपको दिया हुआ है। फिर उसके बाद आपके लिए लिखा है व्हिच वन ऑफ़ द फॉलोइंग ऑप्शन करेक्टली लिस्ट द आइगन वैल्यू? बेटा सम ऑफ़ आइगन वैल्यू इक्व टू ट्रेस ऑफ़ A होता है। तो यहां पे अगर देखा जाए यहां पर ट्रेस कितना दिख रहा है आपको? सर ट्रेस आपको दिख रहा है 10 5 15 2 17 17 तो बेटा इनमें से जिसका सम 17 होगा वही आंसर है ज्यादा सोचना ही नहीं है इसमें कररेक्टरिस्टिक इक्वेशन बनाने की जरूरत ही नहीं है देखो

41:11 कहां पे दिख रहा है 8 और 8 16 और 1 17 ये दोनों कट जाएगा प्लस माइनस ऑप्शन सी इज़ द राइट आंसर कुछ नहीं करना था बस ट्रेस से कंफर्मेशन आ गया कि सम ऑफ़ आइगन वैल्यूज़ ट्रेस वो इसके बराबर आ रहा है बाकियों में ऐसा नहीं हो रहा होगा तो बेटा समेशन ऑफ़ लैम्ब्डा i1 थ्री बिकॉज़ इट हैज़ थ्री आइगन वैल्यूज़ म्ब्डा 1 + लैम्ब्डा 2 + लैम्ब्डा 3 जो कि 17 है। तो क्रॉस वेरीफाई करके आपने आंसर निकाल लिया। देख रहे हो ईएस ये क्या है? एनवायरमेंटल साइंस। एनवायरमेंटल साइंस का क्वेश्चन है बेटा। अभी आया था दो दिन पहले। ठीक है? ऑप्शन सी अब की बार देखो 97% बच्चों ने आंसर बताया। आगे बढ़े। मैं केवल इसलिए दिखा रहा हूं बेटा कि आपको लगे कि अरे बिल्कुल हल्के-फुल्के ही क्वेश्चन आते हैं। हम तो बहुत परेशान हो जाते हैं ऐसी चीजों को लेकर के। पर ऐसा है नहीं। एक और क्वेश्चन करते हैं बेटा। फिर

41:58 हम कैलकुलस पे चलेंगे। हां, फिर हम कैलकुलस पर चलेंगे। बेटा जो डीए का कॉमन सिलेबस है ना वहां के लिए तो ये क्वेश्चंस हैं ही ठीक-ठाक और अनकॉमन सिलेबस मैं कल पढ़ा दूंगा आपको। इसके बाद बेटा हमें कैलकुलस पे जाना है। चलो इस क्वेश्चन के बाद कह रहा है सिस्टम ऑफ लीनियर मतलब हर की प्रैक्टिस हो भी गई हमारी। सिस्टम ऑफ लीनियर इक्वेशन इतना वेयर x इज़ अ सॉल्यूशन वेक्टर व्हिच ऑफ़ द फॉलोइंग इज़ या आर ट्रू? क्या ये एमएसq है? एमएसq है पर लिखा नहीं है। पता नहीं क्या है। अच्छा एमएसq लिखा तो है। तो बेटा मल्टीपल सेलेक्ट को लगा देते हैं 90 सेकंड में। चलो बताओ आंसर मल्टीपल सेलेक्ट है बताइएगा अभी कैलकुलस के भी खूब सारे क्वेश्चन मिलेंगे फिर प्रोबेबिलिटी के भी मिल जाएंगे डिफरेंशियल इक्वेशन के क्वेश्चंस हैं हमारे पास

42:47 बेटा थोड़ा बहुत डीए और इलेक्ट्रिकल में क्वेश्चंस का लेवल थोड़ा ऊपर हो सकता है बाकी सब में लगभग ऐसा ही लेवल रहेगा इलेक्ट्रिकल में और डीए में थोड़ा बहुत ऊपर हो सकता है बस ईसी में, सिविल में क्या मैकेनिकल में सब में एक जैसा ही लेवल रहेगा? हां जी। सिस्टम क्या है? यह होमोजनियस है बेटा। होमोजेनियस सिस्टम में कांस्टेंट मैट्रिक्स ज़ीरो होना चाहिए। ax = b बन रहा है। तो ये नॉन होमोजेनियस सिस्टम नहीं है। मतलब सॉरी ये नॉन होमोजेनियस सिस्टम है। होमोजेनियस क्यों बोल रहे हैं? कह रहे हैं सिस्टम इज सिंगुलर। अच्छा जी सिंगुलर है। तो पहले जरा देखते हैं। डिटरमिनेंट ऑफ़ A क्या आ रहा है? इसका डिटरमिनेंट सर -4 और - 25 मतलब -29 ये तो नॉन सिंगुलर हो गया। नॉन सिंगुलर तो यह भी गलत हो गया। ऑप्शन बी भी गलत है। फिर कह रहे हैं मैट्रिक्स इज़ स्क्यूसिट्रिक। बेटा स्क्यूसिट्रिक

43:34 मैट्रिक्स के डायगोनल एलिमेंट्स ज़ीरो ज़ीरो होते हैं। तो स्क्यूसिट्रिक मैट्रिक्स के डायगोनल एलिमेंट ज़ीरो ज़ीरो होते हैं। ये भी गलत हो गया। प्रॉपर्टी थी डायगोनल एलिमेंट्स ऑफ़ अ स्क्यूसिट्रिक मैट्रिक्स आर ऑल ज़ीरो। तो फिर ये तो बेकार है। तो केवल यही बचा। आइगन वैल्यू ऑफ़ अ मैट्रिक्स आर रियल। बेटा इसको चेक भी क्यों करें? इसी पे टिक लगा दें। भाई एग्जाम के हिसाब से देखें तो इसी को टिक लगा दे ना। क्या जरूरत है? आइगन वैल्यूज़ ऑफ़ अ मैट्रिक्स आर रियल। बाकी तीन जब कट ही गए तो आपके पास रियल ही तो आइगन वैल्यूज़ आएंगी। आप चाहो तो कर सकते हो। लाओ इसकी रियल आइगन वैल्यूज़ निकाल के भी दिखा देते हैं। कैसे? क्या शॉर्टकट मेथड है बेटा? कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन लिखने का। कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन इसी बहाने रिवीज़ हो जाएगा। ऑफ़ 2 क्रॉस 2 मैट्रिक्स। कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन ऑफ़ 2स2 मैट्रिक्स। ्ब्डा² - ट्रेस ऑफ़ a ट्रेस ऑफ़ a टाइम्स

44:20 लैम्ब्डा + डिटरमिनेंट ऑफ़ a = 0 लैम्ब्डा माइनस ट्रेस ऑफ़ a टाइम्स लैम्ब्डा + डिटरर्मिेंट ऑफ़ a = 0 चलो वैसे इसकी जरूरत नहीं है। आंसर आ चुका है। लेकिन फिर भी इसी बहाने हमने सीख लिया। याद कर लिया फिर से। प्लेस ऑफ ए टाइम फ्लेम द प्लस एक बच्चा कह रहा है कुछ भी समझ में नहीं आ रहा है बेटा हम यहां समझाने आए भी नहीं है हम यहां प्रैक्टिस कराने आए हैं। प्रैक्टिस कराने आए हैं। किस चीज की प्रैक्टिस कराने आए हैं सर? वो जो क्वेश्चंस आए हैं अभी दो दिन पहले उनकी और कुछ एक्स्ट्रा क्वेश्चंस की। ठीक है? चलो तो आइगन वैल्यूज़ तो बेटा ये होमोजनियस कहां है? ये बताओ ax = b टाइप का जब b कांस्टेंट मैट्रिक्स आपको ज़ीरो ज़ीरो नहीं दिया हो तो समझ लो ये नॉन होमोजेनियस होता है और ये होमोजनियस लिख रहे हैं। ट्रेस कितना है सर? ट्रेस इसका ज़ीरो है। अच्छा डिटरर्मिेंट क्या है सर? माइनस और

45:07 डिटरर्मिेंट तो -29 है। -29 तो ये इसकी कैरेक्टरिस्टिक इक्वेशन हो गई। लैम्ब्डा = 29 अगर मैं इसमें लैम्ब्डा पूछूं तो प्लस माइनस 29 बेटा रियल आ गई। देखो रियल आ गई। और वैसे तो आप चाहो तो इसको एक तरीके से और रियल कह सकते हैं क्योंकि ये सिमिट्रिक मैट्रिक्स है इसलिए रियल है। सिमिट्रिक मैट्रिक्स की आइगन वैल्यू्यूज रियल हैं। शाबाश। अब कुछ बच्चे कहने लगे कि सर बहुत ही इजी क्वेश्चंस आ रहे हैं। यही तो दिखाने के लिए बेटा हमने ये सेशन लगाया है कि हम लोगों ने तो क्लास में बहुत डिटेल में पढ़ा है। हां, डीए वाले बच्चों का थोड़ा टेढ़ा हो सकता है और इलेक्ट्रिकल का भी थोड़ा बहुत टेढ़ा हो सकता है। लगभग एक जैसा ही होगा। हां, ठीक है ना? लगभग इसी टाइप के क्वेश्चन वहां भी वहां भी मिल जाएंगे आपको। चलो बेटा अब हम चलते

45:53 हैं कैलकुलस पर। तो लो हेडिंग ही डाल देते हैं कैलकुलस। अब इसके क्वेश्चंस जरा देखते हैं। स्टार्टिंग करेंगे लिमिट कंटिन्यूटी के क्वेश्चंस के से। है ना? तो लाइए ये पहला क्वेश्चन सीएस ब्रांच में आया था। बताइए कुछ इसके एक्स्ट्रा क्वेश्चन भी करा दूंगा। जैसे मैंने उसमें कराए लीनियर अलजेब्रा में। बताइए हम बताइए। बताइए भाई। डीएमए डीप में आता है। कल प्रैक्टिस कर लेंगे उनकी भी। कल बेटा उनकी भी प्रैक्टिस कर लेंगे। fx वैल्यू यह कह रहे हैं। कह रहे हैं यह फंक्शन कंटीन्यूअस है। अगर एट x = 0 तो c1 + c2 चाहिए। अगर ये फंक्शन कंटीन्यूअस है। देखो अब पिछले पता नहीं कौन से क्वेश्चन में लगा रखा था। हटाओ इसको खत्म करते हैं। स्टॉप पोल करके मिनिमाइज करते हैं। खत्म। अब आगे बताइए।

46:39 c1 e पावर x - c2 lg ln 1 / x है। मतलब log 1 / x अब बताओ। कह रहे हैं सर यह सब तो ठीक है लेकिन आपके घने काले बालों का राज क्या है? डाई डाई डाई होती है ना अरे वो तो लॉरियल वगैरह डाई लगा डाई लगा के ऐसे लगा डालो खत्म बात घने काले बाल हमेशा जीवन बुढ़ापे तक काले बाल रखने का राज क्या है खानपान कोई राज नहीं है केवल डाई लगा लो ₹1200 की टेंशन ही खत्म आपको क्या लगा आपकी ऐसी बात पूछ के हम थोड़ा सा शर्मा जाएंगे अरे कुछ ना भाई कुछ ना शर्माने जा रहे हैं हम साफ-साफ बता दिया डाई लगा लो घने काले वालों का राज यही है चलो डीए का क्लास टाइम बेटा कल 10:00 बजे रात रात में 10:00 बजे है कल fx वैल्यू है कंटीन्यूअस है। देखो कंटीन्यूअस

47:25 के लिए होना क्या चाहिए था कंटिन्यूटी के लिए लिमिट लिमिट मस्ट एग्ज़िस्ट लिमिट मस्ट एग्ज़िस्ट एंड इज़ इक्वल टू एंड इज़ इक्वल टू एंड इज़ इक्वल टू फ एग्जैक्ट वैल्यू लिमिट एग्ज़िस्ट करे और साथ में वो एग्जैक्ट वैल्यू के इक्वल हो जाए एक तो एग्ज़िस्ट करनी चाहिए और एग्जैक्ट वैल्यू के इक्वल हो जाए तो सबसे पहले तो बेटा लिमिट एग्ज़िस्ट करने का अह कैसे देखें तो अगर मैं डायरेक्ट सब्स्टट्यूशन क्वेश्चन से देखूं इसकी लिमिट एक्सिस्ट कर रही है कि नहीं कर रही है? तो देखिएगा लिमिट किस ब्रांच का क्वेश्चन है? सीएस ब्रांच का क्वेश्चन है। लिमिट x टेंडिंग टू ज़ीरो बेटा ज़ीरो ही तो आपका प्रॉब्लम क्रिएटिंग पॉइंट है क्योंकि ग्रेटर दैन ज़ीरो में लिखा हुआ था। तो मैं f(x) इसको देखता हूं कि ये एग्ज़िस्ट करेगी कि नहीं करेगी। तो

48:11 एक काम करते हैं। लिमिट इतना शुड एग्ज़िस्ट। अब चलो यहां पे लगाते हैं। लिमिट x टेंडिंग टू 0 c1 e पावर xc2 लॉग 1 / x और ये लिमिट एग्जिस्ट करनी चाहिए। अब क्या करें सर? यहां तो हो गया c1 e पावर 0 1 होता है। log 1 लिख देते हैं। - c2 और इंफिनिटी बराबर एग्जिस्ट। तो बेटा ये तो मामला बिगड़ गया। ये तो इंफिनिटी ये तो किसी भी तरीके से काम नहीं बन पाएगा। तो फिर क्या करा जाए? हम रिकॉर्डिंग भी मिलेगी बेटा इसकी इसकी रिकॉर्डिंग होगी। YouTube पर जो सेशन चलता है उसकी रिकॉर्डिंग होती ही होती है। चलो अब क्या करें इसमें? सर ये तो इंफिनिटी आ रहा है और लिमिट एग्जिस्ट होने के लिए यूनिकनेस होनी चाहिए। तो बेटा फॉर लिमिट

48:56 टू एग्ज़िस्ट। सो वी हैव टू टेक C2 = 0 बेटा अगर हम यहां शुरुआत में ही C2 को ज़ीरो ले लेते तो ये वाली प्रॉब्लम ही ना आती जो यहां पे मल्टीप्लाई बाय इनफिनिटी हो रहा है। तो C2 = इनफिनिटी ले के हमने देख लिया। अब देखते हैं कि लिमिट जो था लिमिट f(x) x टेंडिंग टू 0 और ये किसकी वैल्यू है सर? f 0 के इक्वल और f 0 पे वैल्यू बेटा थ्री दी हुई है। और लिमिट अब आपको एग्जिस्ट करानी किसकी है? लिमिट x टेंडिंग टू 0 c1 e की पावर x बस क्योंकि c2 तो ज़ीरो है। और ये c1 * 1 = 3 तो बेटा c1 की वैल्यू भी थ्री आ गई। तो ओवरऑल आंसर ऑफ दिस क्वेश्चन इज़ आंसर बेटा आ जाएगा c1 + c2 = 3 + 0 = 3 तो कुछ बच्चे क्या करते हैं यहां पे बेटा कोशिश करते रहते हैं कि सर किसी तरह मैं l ऑपरेटर रूल लगा के आंसर

49:42 निकाल लूं लेकिन बेटा ऐसा हो नहीं पाएगा यहां पर log 1 / f को हटाना पड़ेगा तभी ये लिमिट एग्जिस्ट करेगी तो आंसर ऑफ़ दिस क्वेश्चन इज़ c1 + c2 = 3 पोल भी नहीं लगाया हमने बढ़े आगे ये मुझे बेटा ठीक क्वेश्चन लगा एग्जाम टाइम में यह दिमाग नहीं चल पाता कई बार कि हम c2 को जीरो जीरो ले लेंगे तो लिमिट एग्िस्ट कर जाएगी। इसलिए ये क्वेश्चन मैंने सबसे पहले आपके सामने रखा। बढ़ते हैं आगे। नेक्स्ट क्वेश्चन की ओर मूव करते हैं। बेटा ऐपटीट्यूड की क्लास कब होगी? करीब 6:30 के आसपास हम ये खत्म करेंगे सेशन। तो बेटा फिर ऐपटीट्यूड की क्लास हो जाएगी। ठीक है? हम लाओ एक आध क्वेश्चन पहले मैं उसका भी करा देता हूं आपको। मैक्सिमा मिमा के तो आया था। बेटा मैक्लोरीन सीरीज का क्वेश्चन नहीं आया था। तो एक मैं प्रैक्टिस क्वेश्चन में मैंने आपको मैक्लोरीन सीरीज का क्वेश्चन दे दिया। ठीक है?

50:30 अस्यूम किया है। हां, C2 को जीरो अस्यूम किया है। सो दैट कि निकाल और C1 निकाल के आंसर कर दिया हमने। बिल्कुल सही कहा आपने। तो अस्यूम कर लो। इसका आंसर निकालिए। मैक्लोरीन सीरीज का क्वेश्चन अभी आया नहीं था। तो मैंने एक प्रैक्टिस के लिए क्वेश्चन दे दिया आपको। डिटेल में बेटा वो 512 क्यों आया था सीएस का? वो जो 4 क्रॉस 4 मैट्रिक्स वाला है जो 512 जिसका आंसर कह रहे हैं बेटा वो जो है ना रो में रो में तो क्या है आपका? अरे फोर कंडीशंस तो रो में लगेंगी। फोर कंडीशंस कॉलम में लगेंगी। तो टोटल एट कंडीशंस लग गई और एक टोटल टोटल जो है एलिमेंट का सम भी इवन होगा। नाइंथ कंडीशन भी लगी है। तो नाइन कंडीशंस पर आपको हिसाब से वैल्यूज़ फिल करनी पड़ेंगी। तो 2 की पावर 9 हर पोजीशन के लिए टू वेज़ हैं। तो ज़ीरो

51:15 या वन भरना था। तो नाइन कंडीशंस के लिए 2 पावर 9 वेज़ हो जाएंगे। इसलिए 512 आया। जो भी बच्चा पूछ रहा था 512 ये उसका आंसर है। खैर, अब ये क्या कह रहे हैं? 4q - 2p की वैल्यू चाहिए। और इस मैक्लोरीन सीरीज़ एक्सपेंशन ऑफ़ दिस फंक्शन इज़ इतना। बेटा सबसे पहले तो मैक्लोरीन सीरीज़ एक्सपेंशन इन द नेबरहुड ऑफ़ x = 0 होता है। है ना? नेबरहुड ऑफ़ x = 0 पर होता है। तो चलो सीधे-सीधे हम क्या करेंगे? इसमें फार्मूला नहीं लगाएंगे। हम बेटा सीधे इन दोनों का मैक्लोरीन सीरीज एक्सपेंशन अपने लॉजिक से ही लिख देते हैं। जिस तरह से हम लोग को याद है। क्या हमें e की पावर 2x का एक्सपेंशन पता है? हां सर 1 + x और + x² / 2 + x / 3 और x की जगह बेटा हर जगह मैंने

52:01 2x लिख दिया। ये तो मैंने 2 की e की पावर 2x का एक्सपेंशन लिखा। एंड द एक्सपेंशन ऑफ़ cos x इज़ 1 - x² / 2 + x 4 / 4 - x ^ 6 / 6 एंड सो ऑन। ये है। तो किसी तरीके से हमें क्या चाहिए? u और p की वैल्यू चाहिए तो कांस्टेंट हम x का कोफिशिएंट और x² का कोफिशिएंट निकाल लें काम बन जाएगा। तो बेटा सबसे पहले तो कांस्टेंट तो वन ही है। अब उसके बाद अगर मैं 2x को यहां पे देखूं वन के साथ मल्टीप्लाई हो रहा है तो यहां पे प्लस ये 2x ही रहेगा और फिर हमें x² का कोफिशिएंट चाहिए। तो बेटा x² का कोफिशंट यहां से अगर देखा जाए तो प्लस ये 2 और 2 ये 4/2 ये टू हो गया और ये माइनस इससे मल्टीप्लाई होगा तो -1 / 2 और ये x² आई

52:48 थिंक इतना ही है बस हम इतना ही है क्या? हां इतना ही है। और बाकी के बेटा आगे के टर्म्स और आएंगे। हमें जरूरत ही नहीं है। तो हमने लिख दिया 1 + 2x + 2 * 2 = 4 1 3 / 2x² एंड सो ऑन कंपैरिजन करेंगे तो p की वैल्यू 2 और q की वैल्यू 3/ 2 सो सो इन्होंने क्या पूछा है इसके बाद हमसे इसको जरा देखते हैं। इन्होंने पूछा है 4q - 2p 4q - 2p चेक करो भाई। 4 टाइम्स q तो 4 * 3 = 12 / 2 6 और माइनस - 2p 2 * 2 = 4 तो क्या टू आंसर आ रहा है क्या या हमने कोई सिली मिस्टेक कर दी? ऑप्शन बी इज द राइट आंसर ऑफ दिस क्वेश्चन। शाबाश बहुत सारे बच्चे बता रहे हैं। सर वो 512 किस क्वेश्चन का आंसर बता रहे हैं? सर सक्सेशन

53:35 का मतलब विदाउट रिप्लेसमेंट होता है क्या? इन सक्सेशन नहीं विद या विदाउट वन बाय वन। सक्सेशन का मतलब वन बाय वन होता है। हां, सक्सेशन का मतलब वन बाय वन होता है। चलो बी ही आंसर है। ठीक है? तो ऑप्शन बी ऑप्शन बी ऑप्शन बी वाह 81% बच्चों ने आंसर कर दिया। बेटा टाइम मिलेगा तो वो सभी अभी प्रोबेबिलिटी में उस तरह के क्वेश्चन आ जाएंगे जो आप सक्सेशन इनस पूछ रहे हो वो प्रोबेबिलिटी में आ जाएंगे क्वेश्चन। लाइए एक डिस्कंटिन्यूटी और डिफरेंशिएबिलिटी का एक क्वेश्चन सीएस ब्रांच में आया था। जरा इसको देखें तो हम 1/2 कैसे आया? कहां पे बेटा 1/2 की बात कर रहे हो आप? फिलहाल इसमें क्या कह रहे हैं? fx ऐसा दिया है तो यह कंटीन्यूअस डिफरेंशिएबल क्या है? और यह एमएसq है। एमएसq क्या इसका आंसर आप लोगों ने लगाया

54:22 था एमएसq का? सबसे पहले इस फंक्शन को थोड़ा इजी कर लेंगे तो ज्यादा बेटर रहेगा। अब बेटा बहुत बेसिक फंक्शन हो तो उसका हम ग्राफ बना के भी काम चला सकते हैं बेसिक फंक्शन का। लाइए दिखाते हैं आपको। यह फंक्शन है। मैं इसमें से माइनस कॉमन कर लूं। तो माइनस कॉमन कर लूंगा। तो ये आ जाएगा x - m x/ 2² और बेटा अब m x में आपको पता है कि अगर x 0 है तो क्या होता है? x < 0 पर m x = -x तो माइनस का ये माइनस माइनस का प्लस हो जाएगा x + x/2 तो माइनस साइन के साथ 3x/ 2² और व्हेन x इज़ पॉजिटिव देन x = + x तो x - x/ 2 तो ये खाली x/2 का

55:07 होल स्क्वायर बेटा हमने पहले मोड को ओपन किया है केवल और केवल ठीक है मोड को किया है इसके बाद आप क्या करेंगे इसके बाद आप करेंगे इसे जैसे कि इसको मैं देखता हूं तो ये वाली चीज हमारे पास आ आ गई माइनस तो रहेगा 9x² / 4 और ये x² / 4 दोनों नेगेटिव साइन है। x 0 ऐसा ये आपका फंक्शन है। fx के बारे में ऐसी बातें की गई हैं। तो सबसे पहले fx के बारे में देख लेते हैं कि fx का मैक्सिमा या मिनीमा क्या मिलेगा? इन दोनों में देख लेते हैं कि मैक्सिमा मिनिमा क्या मिलेगा fx में आपको? बेटा एक बात बताओ दोनों में ही ये x² = -4a टाइप का है ना? यहां पर अगर देखा जाए तो यह x² = -4ay टाइप का ग्राफ है। मतलब कि ओपनिंग डाउनवर्ड है। ओपनिंग डाउनवर्ड माइनस लगा

55:54 है। ये y है यहां पे y = दिस वन, y = दिस वन। x में 2° हो, y में 1° हो, नेगेटिव साइन हो तो ओपनिंग डाउनवर्ड ग्राफ होता है। और यह ओरिजिन से पास कर रहा है। तो, अगर मैं देखूं, तो इसका रफली ग्राफ एक ऐसा ही कुछ बनेगा। तो, बेटा, यहां तो आपको मैक्सिमा मिल ही गया। यहां देखो ज़ीरो पर आपको मैक्सिमा मिल गया। तो आपका एक तरह से मैक्सिमा आपको मिल रहा है। इसमें मिनीमा आपको नहीं मिल पाएगा क्योंकि मिनीमा में तो बेटा इंफिनिटी की तरफ जा रही है वैल्यू माइनस इनफिनिटी में। तो एक बात तो कंफर्म हो गया कि इसमें मैक्सिमा टाइप का तो आपको मिल जाएगा। हां उन्होंने लोकल शब्द गलत लिखा वो देखा जाए एब्सोल्यूट मैक्सिमा है। है ना? एब्सोल्यूट है। लेकिन कभी-कभी वैसे चालाकी कर देते हैं। एब्सोल्यूट को एक ही है। सिंगल ही है तो उसी को लोकल लिख लो चाहे उसी को एब्सोल्यूट लिख लो। बात एक ही है। जब एक से ज्यादा होते हैं तब हम लोकल और एब्सोल्यूट का कांसेप्ट लाते हैं। चलो

56:40 तो सी तो सही हो गया। अब जरा a और b f'x के बारे में देखना है कि f'(x) कंटीन्यूअस और f'(x) नॉन डिफरेंशिएबल। तो बेटा पहले तो f-x निकाल लें हम लोग। यहां देखो इस जगह मैंने f'(x) को फोर्सफुली डिफरेंशिएट करा इस चीज को तो -9x/2 और ये है -x/2 इट इज़ x 0 ये है बेटा f'(x) और इसी जगह पर मैं आपसे f'(x) पूछ लेता हूं। तो -9/2 और -1 / x < 0 x > 0 डबल डैश ये रहा। अब क्या करें? इसका आंसर बता सकते हो क्या? गलत हो गया सर मेरा क्या कह रहे हैं? एक सेकंड बेटा मेरी चाय आ गई है। रुको थैंक यू। हां जी। मेरा गेट एग्जाम हो गया। क्या मैं यह देख

57:26 सकता हूं? अरे देख लो यार। क्या दिक्कत है? वो तो आपकी मर्जी है। ए आपकी मर्जी है बेटा आपको देखना है कि नहीं। ए बी सी आंसर क्यों दे रहे हैं आप लोग? चलो चेक करते हैं अभी। अभी मैं बताता हूं आपने कहां गलती करी है। बेटा यहां देखो f-x की कंटिन्यूटी देखनी है तो क्यों ना एक काम करें इस f'(x) को बेटा g(x) लिखो और इसको लिख दो g'x ठीक है? इसको g(x) लिखो। तो यहां पे ये कह रहे हैं कि g(x) और g(x) मतलब कि f'(x) मतलब g(x) आपका डिफरेंशिएबल है कि नहीं? और g(x) आपका कंटीन्यूअस है कि नहीं? तो बेटा किसी फंक्शन की कंटिन्यूटी कैसे? हां, किसी फंक्शन की कंटिन्यूटी यहां से देखी जाती है। यहां पर अगर मैं एलएचएल और आरएचएल पूछूं g(x) के लिए तो डायरेक्ट सब्स्टट्यूशन इज़ द बेस्ट आंसर। डायरेक्ट सब्स्टट्यूशन इज़ द बेस्ट मेथड। ज़ीरो ज़ीरो। तो बेटा इसका मतलब दैट g(x) कंटीन्यूअस हो

58:13 गया। g(x) इज़ कंटीन्यूअस। g(x) इज़ कंटीन्यूअस। अगर g(x) कंटीन्यूअस है तो g(x) को ही तो f'(x) कहते हैं। इसका मतलब बी आंसर सही हो गया इसका। अब देखते हैं ऑप्शन ए सही है कि नहीं है। है ना? अब ऑप्शन ए बेटा हमें चाहिए g(x) डिफरेंशिएबल है कि नहीं? तो बेटा g(x) का डेरिवेटिव करेंगे और यहां पर मैं आपसे लेफ्ट हैंड डेरिवेटिव और राइट हैंड डेरिवेटिव पूछना चाहता हूं। किसका? g(x) का लेफ्ट हैंड डेरिवेटिव। और g(x) का राइट हैंड डेरिवेटिव कैन बी कैलकुलेटेड विद द हेल्प ऑफ इट्स डेरिवेटिव। बेटा g'x से g(x) के बारे में इनेशन मिलती है। डायरेक्ट सब्स्टट्यूशन करेंगे तो -9 / 2 यहां पे डायरेक्ट सब्स्टट्यूशन करेंगे तो -1 / 2 नॉट इक्वल। सो g(x) इज़ g(x) इज़ नॉट डिफरेंशिएबल। बेटा g(x) आपका डिफरेंशिएबल

58:58 नहीं है। और g(x) मतलब g(x) इज़ नॉट डिफरेंशिएबल। है ना? तो क्योंकि बराबर नहीं आया। इसका मतलब ऑप्शन ए, बी, सी सही बता रहे थे आप लोग। ऑप्शन ए, ऑप्शन बी और ऑप्शन सी तीनों ही आंसर इसके सही हो गए। जीएक्स कंटीन्यूअस तो है लेकिन डिफरेंशिएबल नहीं है क्योंकि उन्होंने नॉट लिखा हुआ है। कौन से शिफ्ट की एनालिसिस है? सारी। सारी शिफ्ट के सीएस के दोनों शिफ्ट हैं। बेटा। इंजीनियरिंग साइंस का पेपर है। एक्स ब्रांच का पेपर है। मतलब एनवायरमेंटल साइंस का पेपर भी है यहां पर और केमिकल के भी क्वेश्चंस हैं। केमिकल के भी इसका आंसर देखें। एमएस क्यू लगाया था ऑप्शन ए, बी और सी। अच्छा किसी ने लगाया नहीं। हटाओ। बढ़े आगे। और आगे देखते हैं। बेटा वो जो नंबर ऑफ डिस्कंटिन्यूटीज़ वाला क्वेश्चन आप कह रहे हो पहले तो वो पूरी तरह से क्वेश्चन मेरे

59:44 पास है नहीं। लेकिन उसका आंसर 40 आना चाहिए। जो नंबर ऑफ डिस्कंटिन्यूटीज वाली चीज कर रहा हूं वो कॉमन सेंस वाला क्वेश्चन है। है ना? x और करके y करके थ्री डिजिट नंबर x टू y करके लिखा हुआ था। हम समझ उसका आंसर बेटा 40 आना चाहिए जो आप पूछना चाह रहे हो। नेक्स्ट पे चलते हैं। इसका बताइए। यह देखो ये इंस्ट्रूमेंटेशन में आया है क्वेश्चन इंस्ट्रूमेंटेशन में। हम पोरियर सीरीज और न्यूमेरिकल के क्वेश्चन है बेटा उसके भी करा दूंगा मैं। थोड़ा जल्दी-जल्दी करो लेकिन आप जल्दी जितने मैं करा रहा हूं उसको जल्दी-जल्दी करा दो कर करवा लो तो सारे टॉपिक्स कवर हो जाएंगे। अब डाउट पूछने लगोगे बेटा तो फिर सारे टॉपिक्स कवर नहीं हो पाएंगे। अभी चाय गर्म है। हम ये फंक्शन कैसा है? कंटीन्यूअस डिफरेंशिएबल हम कैसा है ये

1:00:31 क्वेश्चन? सॉरी कैसा है ये फंक्शन? देखो x मॉड x कंटीन्यूअस बट नॉट डिफरेंशिएबल। बेटा सिंपल इसको भी हम क्या करेंगे? इजी कर लेते हैं। यहां देखो f(x) = x m x x m x यहां पर x 0 तो बेटा ये -x² और ये x² क्या हम इसका ग्राफ बना सकते हैं? जब x² में पॉजिटिव साइन होता है तो बेटा ओपनिंग अपवर्ड ग्राफ बनता है और x² में नेगेटिव साइन है तो ओपनिंग डाउनवर्ड ग्राफ बनता है। तो इसमें है ही क्या बेटा? जब x पॉजिटिव होगा। जब x पॉजिटिव होगा तो y = x² का ग्राफ y = x² का ग्राफ ऐसे बनना चाहिए था। लेकिन ऐसा बनेगा नहीं। यह तो केवल पॉजिटिव साइड में है। और नेगेटिव साइड में ये - x² हो गया तो ये ग्राफ नीचे चला जाएगा। तो इस वजह से बेटा ये ग्राफ

1:01:16 आपका इमेज ऐसे आ जाएगी। तो क्या कोई शार्प पॉइंट आया? नहीं सर कोई शार्प पॉइंट नहीं आया। तो ये कंटीन्यूअस भी है और एज वेल एज एज वेल एज डिफरेंशिएबल आल्सो। कंटीन्यूअस एज वेल एज डिफरेंशिएबल आल्सो कंटीन्यूअस बट नॉट डिफरेंशिएबल कंटीन्यूअस एंड डिफरेंशिएबल ऑप्शन सी इज द राइट आंसर ऑफ दिस क्वेश्चन कंटीन्यूअस के साथ-साथ डिफरेंशिएबल भी मिल गया ऑप्शन सी बेटा ए क्यों बता रहे हो आप लोग मैं समझ नहीं पा रहा हूं ऑप्शन ए क्यों बता रहे हो कंटीन्यूअस एंड डिफरेंशिएबल शार्प पॉइंट कहां मिला आपको कहीं भी नहीं मिला ठीक बढ़े आगे एक सेकंड मैं जरा पीछे मूव ऑन करूं कहीं पर कोई चीज मिसिंग है क्या ये लो इस क्वेश्चन का आंसर शायद कुछ लोग पूछना चाह रहे हैं। लाइए इस क्वेश्चन को हल्का सा डिस्कस करने की कोशिश करते हैं। लो एग्जैक्ट क्वेश्चन अपने क्लास में

1:02:03 कराया था। अरे तो अच्छी बात है। वह तो मैं जानता हूं। लेकिन बेटा मेरी आदत नहीं है अपने मुंह से ये कहने की कि देखो सेम क्वेश्चन क्लास का आ गया। ऐसे कई बार होता है बेटा क्लास में। आप देखो इस बच्चे ने कहा है कि एग्जैक्ट क्वेश्चन आपने क्लास में कराया था। वो तो मैं जानता ही हूं। लेकिन अपने मुंह से कहने में कहते हैं ना परिंदों को उड़ने से कहां रोक पाओगे? परिंदों की उड़ान तो उनके पर बोलते हैं और कहते हैं वह लोग खामोश रहते हैं अक्सर जमाने में जिनके हुनर बोलते हैं। तो बेटा यह बात मैं खुद नहीं बोलूंगा कि हां क्लास में सेम क्वेश्चन कराया था तो आ गया। आपने बोला इसलिए मैंने आपको रिपीट कर दिया। बस और भी हैं ऐसे क्वेश्चन जो आए हैं। और भी हैं बेटा ऐसे लेकिन क्या फायदा? चलो

1:02:49 कहते हैं वो लोग खामोश रहते हैं अक्सर जमाने में जिनके हुनर बोलते हैं। वापस आओ। 4 क्रॉस 4 का मैट्रिक्स है। एलिमेंट्स उनके बेटा जीरो और वन है। थोड़ा गंदा क्वेश्चन तो है। बहुत से बच्चे इसकी डिमांड कर रहे हैं। तो लाइए इसको ट्राई कर लेते हैं। द नंबर ऑफ़ सच मैट्रिससेस विद इवन नंबर। नंबर ऑफ़ सच मैट्रिससेस विद इवन नंबर ऑफ़ वन। इवन नंबर ऑफ़ वन इन एव्री रो n इन एव्री कॉलम। हर रो और हर कॉलम में बेटा 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 तो बेटा टोटल क्या है आपके पास ये आपके पास 16 एलिमेंट्स होंगे 4 क्रॉस 4 का मैट्रिक्स है 4 क्रॉस 4 का तो टोटल मैट्रिससेस कितने बनने चाहिए टोटल मैट्रिससेस ज़ीरो या वन से करना है वन प्लेस कैन बी फिल्ड बाय टू वेज़ है ना ईदर ज़ीरो या वन सेकंड प्लेस कैन

1:03:35 आल्सो बी फिल्ड बाय टू वेज़ ईदर ज़ीरो या वन इस तरह से बेटा टोटल आपको कितनी प्लेसेस भरनी है सर 16 प्लेसेस भरनी है। ये तो टोटल मैट्रिससेस हैं। लेकिन ये आंसर नहीं है। अब हमारे काम की चीज क्या है? इन्होंने कहा इवन नंबर ऑफ़ टाइम्स वन आना चाहिए हर जगह। तो इवन नंबर ऑफ़ टाइम्स वन कैसे आएगा? देखो एक तो या तो यहां पे चारों वन आ जाए या दो वन आ जाए या एक भी टाइम वन सिंगल टाइम भी वन ना आए। या तो ऑल फोर वन आ जाए या ऑल फोर या फिर बेटा टू टाइम्स वन आ जाए और या फिर ज़ीरो टाइम्स वन आ जाए। ज़ीरो इज़ कंसीडर्ड एज एन इवन नंबर। क्या कह रहे हैं? ज़ीरो इज़ कंसीडर्ड एज एन इवन नंबर। तो इसका मतलब जीरो टाइम्स भी वन आ सकता है। मतलब सारे जीरो भी भर सकते थे। ऐसा कर सकते हैं। ओवरऑल अब यह बताइए इसमें अगर इवन नंबर ऑफ़ टाइम्स वन आएगा जैसे दो बार वन आ रहा है तो इसका सम तो टू होगा।

1:04:21 अगर फोर टाइम्स वन आ रहा है तो इसका सम फोर होगा। और अगर ज़ीरो टाइम वन आ रहा है तो इसका सम ज़ीरो होगा। इसका मतलब इसका कैसा होना चाहिए? इवन इवन सम। बेटा इसमें भी क्या होना चाहिए? इवन सम। इसमें भी इवन सम। इसमें भी इवन सम। तो फोर रेस्ट्रिकशंस तो यहां लग गए हमारे पास। इसी तरीके से बेटा इवन नंबर ऑफ टाइम्स ही कॉलम में भी आना चाहिए था। तो यहां पर अगर देखा जाए इवन सम और ये है इवन सम इवन सम और इवन सम। तो बेटा फोर रेस्ट्रिकशंस कॉलम में लगे हैं। फोर रेस्ट्रिकशंस किस में लगे हैं? अरे रो में लगे हैं। तो टोटल एट प्लेसेस पे को तो आपको हिसाब से भरना है। और उसके मतलब उस जगह हिसाब थोड़ा ध्यान रखना है। और बेटा ओवरऑल इनके टोटल एलिमेंट का सम भी कितना होगा? आप बताइए। टोटल इनके सारे एलिमेंट का सम अगर इवन नंबर ऑफ टाइम्स वन

1:05:07 आ रहा है रो में और कॉलम में तो टोटल सम भी बेटा इसमें कितना आना चाहिए था? ये सम ऑफ ऑल द एलिमेंट्स ये भी इवन आना चाहिए था। तो बेटा अभी तक आपके पास 16 रेस्ट्रिक्शन थे तो आपने 2 की पावर 16 मैट्रिससेस लिखा। अब वो कितने हैं? अरे रेस्ट्रिकशंस कितने हैं? सर टोटल आपके नाइन रेस्ट्रिकशंस आपको दिख रहे हैं नाइन। तो ओवरऑल फेवरेबल मैट्रिससेस जो हमें चाहिए फेवरेबल मैट्रिससेस 2 टू दी पावर न। फोर रेस्ट्रिकशंस, फोर रेस्ट्रिकशंस एंड वन रेस्ट्रिक्शन। टोटल नाइन रेस्ट्रिक्शन हैं। 52 मैट्रिससेस बनेंगे। अब आगे जब बैच पढ़ाएंगे बेटा तो क्लास में इसको और डिटेल में एक्सप्लेन करके बताएंगे। जब क्लास में पढ़ाएंगे तो और डिटेल में। ठीक है? यह बेटा केवल और केवल क्या है? ये एक कॉमन सेंस टाइप का क्वेश्चन था। परम्यूटेशन कॉम्बिनेशन जैसी फीलिंग आ रही थी। कुछ

1:05:53 बच्चे इसको पूछना चाह रहे थे बार-बार तो मैंने करा दिया। बढ़ते हैं आगे। लीजिए मैक्सिमा या मिमा का मैं कहता था कि हमेशा क्वेश्चन आएगा एनवायरमेंटल साइंस में तो क्वेश्चन आपको मिल गया लाइए एनवायरमेंटल साइंस का क्वेश्चन है मिनिमम वैल्यू चाहिए बेटा ध्यान रखना वैल्यू का मतलब क्या पूछा जा रहा है x या y जब वैल्यू है तो क्या पूछा जा रहा है x या y डिसाइड करिए देखो ये बच्चा कह रहा है सर मेरे मार्क्स कंटीन्यूअसली 55 टू 60 के बीच में आ रहे हैं तो बहुत डर लग रहा है। बहुत बड़ी बात है यह। 50 60 के बीच में आ रहे हैं। तो एग्जाम में 70 प्लस तो आ ही जाने हैं। 70 75 प्लस हम बेटा मैक्सिमा मिमा के लिए आपको वही वेवी

1:06:40 कर्व मेथड से काम चला लेना चाहिए। तो बेटा ये आपके पास fx आपको दिया हुआ है। हम सीधे-सीधे f'(x) निकालते हैं। 12x 12x + 12x² - 24x यहां से 12x कॉमन आ गया। तो यहां केवल बचा x² और + x और - 2 हां यही है। तो बेटा f'(x) आ गया। क्या हम इसके फैक्टर कर पा रहे हैं? सर इसके फैक्टर तो बहुत आसान है। x² + 2x x² + 2x - x - 2 देखो फैक्टर भी हो गए। 12x और यहां से एक फैक्टर है x + 2 और एक फैक्टर है x - 1 टर्निंग पॉइंट्स अगर देखें तो टर्निंग पॉइंट्स में बेटा f'(x) को 0 पुट करते थे आप लोग। f'(x) 0

1:07:26 पुट करके x की वैल्यू सर -2 0 और 1 वी हैव थ्री टर्निंग पॉइंट्स। तो आपको नंबर लाइन पर -2 0 और 1 और ध्यान रखना बेटा ये sin कन्वेंशन f'x का होता है ना कि किसी और चीज का तो f-x का sin कन्वेंशन देखना है और मिनिमम वैल्यू के लिए नेगेटिव से पॉजिटिव में शिफ्टिंग हो रही होगी। नेगेटिव से पॉजिटिव में शिफ्टिंग हो रही होती तो मैथ्स नहीं निकलता। नहीं नहीं ऐसा नहीं है कुछ। हां तो फिर आपका मिनीमा आएगा। बेटा ये वेवी कर्व मेथड से काम चला रहे हैं। वन से आगे कोई वैल्यू टू रख दो। टू रखोगे पॉजिटिव पॉजिटिव पॉजिटिव यू विल गेट द पॉजिटिव साइन ज़ीरो से वन के बीच की वैल्यू हाफ रख दो यहां पे बेटा नेगेटिव आ जाएगा तो नेगेटिव वैल्यू -2 से 0 के बीच की वैल्यू -1 -1 रखोगे नेगेटिव और नेगेटिव मिलके पॉजिटिव और इसी तरह से नेगेटिव अब

1:08:13 आपको बताया था कि नेगेटिव से पॉजिटिव में मिनीमा मिलता है यह आपका मैक्सिमा और यह मिनीमा तो बेटा लोकल मिनिमम पॉइंट तो बेटा सीधे-सीधे हम लोकल मिनिमम वैल्यूज़ आपसे पूछ लेते हैं। मतलब y बताना है आपको। लोकल मिनिमम वैल्यू लोकल मिनिमम वैल्यू एक तो y की वैल्यू -2 पे निकालनी है और एक y की वैल्यू बेटा वन पे निकालनी है। -2 और वन पे कहां से? लेकिन इस जगह से निकालनी है। ये है आपका y तो यहां पर एक एक जगह से -26 आ रहा होगा और एक जगह से कुछ और आ रहा होगा। बेटा वन पे कितना आ रहा है? चार और तीन 7 और छ 13 में से 12 गया 1। हां। तो पता चल गया ये वन है और ये -26 तो इसमें से एब्सोल्यूट मिनीमा चाहिए था। तो बेटा ये रहा हमारा आंसर -26 ये बताया था आप

1:09:00 लोगों ने डी आंसर इसमें ऑप्शन डी अच्छा लिखा है क्या ऑप्शन डी लीजिए ऑप्शन डी इज द करेक्ट आंसर सिंपल सा ये क्वेश्चन बन गया ना हमेशा नहीं होते हैं बेटा कभी-कभी नीदर मैक्सिमा नर मिनीमा की सिचुएशन होती है तो फिर हमेशा नहीं होते हैं हां ये ध्यान रखना बढ़े आगे चलो अगले पे मूव करते हैं अगले पे मूव करते हैं बेटा एक काम करते हैं एक क्वेश्चन आपको जरा यहां का अभी आया नहीं है ये क्वेश्चन लेकिन ये क्वेश्चन मैं अपनी तरफ से करा रहा हूं ये आया नहीं है पर अपनी तरफ से कराना चाह रहा हूं। जैकोबिन का क्वेश्चन आजकल फेमस हो गया है। तो यह जैकोबिन है। पार्शियल डेरिवेटिव पूछा जा रहा है। बताइए आंसर लाइए पोल लगा दें। 90 सेकंड का पोल हम

1:09:48 देवग पाल बेटा अभी भी भरोसा नहीं हुआ। इतने दिनों बाद भी देखो u और v आपको दिया हुआ है डxy/ uv सबसे पहले तो यहां uv किसके फंक्शनंस हैं? uv आर दी फंक्शनंस ऑफ x y तो बेटा हम जो जैकोवियन निकालेंगे वो uv का निकालेंगे विद रिस्पेक्ट टू x y तो पहले इसको निकाल लेते हैं। ux uy और vx और vy तो बेटा इस तरह से देखते हैं। ux कहां गया? इस जगह से देखना है 2x और - 2y तो बेटा यहां पार्शियल डेरिवेटिव है 2x और - 2y ऐसे ही vx और vy अगर इस तरह से देखते हैं vx में आप लिख दोगे 2y और यहां लिख दोगे 2x तो 4 टाइम्स x² + y² ऐसा कुछ आ

1:10:33 गया 4 टाइम्स x² + y² क्या यही है? नहीं सर ये नहीं है। आपसे पूछा गया है एट 1 1 तो जैकोबियन की वैल्यू एट 1 1 पर 4 टाइम्स 1² + 1² = 8 तो बेटा आंसर तो एट होना चाहिए। चलो देखते हैं आंसर क्या होगा। सो j ड विल बी डेल ऑफ़ xy / d ऑफ़ uv ऐसी चालाकी ये जरूर करते हैं क्लास में। मैं बताता था आपको कि j के फॉर्म में इंफॉर्मेशन देंगे। अब पूछेंगे आपसे j' दे

…

Share

More video summaries

Франц Оппенгеймер | Государство, 1907

America's seed bank: Our food supply's last lin...

Let's Rizz Up ANOTHER Hot Jester | My Fiancé is a Fiend

Sadhguru On How to Manifest What You Really Want

LEARN TO MEDITATE | Apostle Joshua Selman | Transform Your Mind Through God’s Word

Education of the Guardians - Purposes of College Education, Lecture 10

Browse all summaries →