Vector Algebra One Shot | CUET 2026 Maths | Complete Concept + Latest PYQs

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Brief Summary

This YouTube video by Drishti CUET provides a comprehensive one-shot lecture on Vector Algebra, tailored for the CUET exam. The lecture covers fundamental concepts, various types of vectors, vector algebra, and geometrical representations, including dot and cross products. The instructor emphasizes a structured approach to understanding the material and focuses on problem-solving with numerous examples and MCQs.

  • Covers basics of Vector Algebra for CUET exam.
  • Includes various types of vectors and their properties.
  • Focuses on dot and cross product with geometrical representation.
  • Provides MCQs for practice.

Introduction and Syllabus Discussion

The instructor welcomes students to the session, confirming that the audio and video are clear. He introduces the plan for a comprehensive one-shot on Vector Algebra, highlighting its importance and relative ease compared to other topics like matrices. The session aims to cover all possible question types, ensuring students can confidently tackle any problem from the CUET exam. Notes will be available on the Drishti CUET Telegram channel. The lecture aims to provide a complete understanding of Vector Algebra, similar to previous sessions on Differential Equations and AOD, ensuring no questions come from outside the covered material. The instructor emphasizes the need for dedicated focus during the 3-hour session to master the topic and eliminate any fear related to Vector Algebra.

Basics (quantities, Vector and Cartesian notation)

The lecture begins by defining physical quantities, differentiating between scalar and vector quantities. Scalar quantities, such as time and distance, possess only magnitude, while vector quantities, like force, torque, velocity, and acceleration, have both magnitude and direction. The discussion transitions to representing Cartesian coordinates in vector form, explaining how to convert coordinates into vectors using i, j, and k notation. For example, the coordinate (2, 3) is written as 2i + 3j.

Position Vector

The concept of a position vector is introduced, defining it as the location of a point in space expressed in vector terms, always with respect to a reference point. The lecture explains the importance of the reference point when defining a position vector. Key terminology related to vectors is clarified, including the tail, head, final point, initial point, terminal point, and reference point. The representation of a position vector in terms of coordinates is discussed, such as a vector a = xi + yj + zk, where the position vector is the coordinate (x, y, z). The formula for finding the position vector of a point A with respect to B, denoted as AB = B - A, is presented, along with the relationship AB = -BA.

Magnitude of a vector and it's MCQs

The method to calculate the magnitude of a vector a = a1i + b1j + c1k is explained as √(a1² + b1² + c1²). Two important triplets are highlighted for quick calculation: the (2, 2, 1) triplet, which always results in a magnitude of 3, and the (6, -2, 3) triplet, which yields a magnitude of 7. A basic MCQ is presented to practice finding the magnitude of a vector, emphasizing the importance of remembering these triplets for faster calculations.

Types of the vectors

The lecture moves on to discuss different types of vectors, starting with free vectors, which can be displaced without changing their magnitude and direction. The discussion covers zero or null vectors, defined as vectors with a magnitude of zero, where the initial and final points are the same. Equal vectors are then explained as vectors with the same magnitude and direction.

Unit Vector & Imp. note

The concept of a unit vector is introduced, which is a vector with a magnitude of one, obtained by dividing a vector by its magnitude (â = a / |a|). The importance of a key note is emphasized: to write a vector of magnitude k in the direction of a vector a, use k * (a / |a|).

MCQs on Magnitude

Several MCQs are presented to reinforce the concepts of unit vectors and magnitude. These include finding the unit vector in the direction of a sum of vectors, determining the value of x if a given vector is a unit vector, and finding a vector with a specific magnitude in a given direction.

Parallel/Collinear Vector & Imp. Note

Two vectors are parallel or collinear if one is a scalar multiple of the other (a = λb). The lecture clarifies why parallel and collinear are used interchangeably in vector algebra, relating it to the properties of free vectors. An important note is presented: if a = a1i + b1j + c1k and b = a2i + b2j + c2k are collinear, then a1/a2 = b1/b2 = c1/c2.

MCQs on Collinearity

MCQs are presented to test understanding of collinearity. These include finding the value of λ if three points are collinear. The instructor also demonstrates how to approach collinearity problems using both vector algebra and 2D geometry concepts like slope.

Co Planar Vector

Coplanar vectors are defined as vectors lying on the same plane.

Co-Initial Vector

Co-initial vectors are defined as vectors sharing the same initial point. Examples are provided to differentiate co-initial vectors from others. A question from CUET 2023 is discussed, involving matching vectors based on properties like co-initiality and equality.

Negative of a vector

The negative of a vector is defined as having the same magnitude but opposite direction. It's noted that a vector and its negative are collinear and can be termed anti-parallel.

Algebra of the vector (Vector Addition)

Vector addition is explained through two laws: the triangular law and the parallelogram law. The triangular law involves placing vectors head to tail, with the resultant vector connecting the tail of the first to the head of the second. The parallelogram law involves vectors sharing a common tail, forming a parallelogram, with the resultant vector being the diagonal.

Imp. Note 1

In a closed triangle, AB + BC + CA = 0.

Imp. Note 2 and MCQs

In a parallelogram, the longer diagonal is a + b, and the shorter diagonal is a - b. If diagonals d1 and d2 are given, the sides can be found as (d1 + d2)/2 and (d1 - d2)/2. A CBT question from 2023 is solved, involving vector addition and properties to identify correct statements.

Component Form of the Vector

The component form of vectors is discussed, with i, j, and k representing unit vectors along the x, y, and z axes, respectively. It's noted that |i| = |j| = |k| = 1.

Properties of the Vector Addition

Properties of vector addition, including commutative and associative laws, are stated. The additive identity is the null vector (a + 0 = a), and the additive inverse is the negative vector (a + (-a) = 0).

Properties of the Scalar Multiplication

Properties of scalar multiplication are outlined, such as k(a + b) = ka + kb and (k + m)a = ka + ma. The multiplicative identity is 1 (1 * a = a).

Distance formula

The distance between two points A and B with position vectors A and B is given by |B - A|.

MCQ of Distance Formula

MCQs are solved using the distance formula, including finding the length of a line segment joining two points and identifying correct vector relationships.

Section Formula

The section formula is presented: for a point C dividing AB in the ratio m:n, C = (mB + nA) / (m + n) for internal division and C = (mB - nA) / (m - n) for external division. The midpoint formula is a special case with m = n = 1, resulting in C = (A + B) / 2.

MCQs on Section Formula

MCQs are solved using the section formula, including finding the position vector of a point dividing a line segment in a given ratio. The method to find an unknown ratio is explained: assume the ratio is λ:1, apply the internal division formula, and use given conditions to find λ. If λ is positive, the division is internal; if negative, it's external.

Centroid of A triangle

The centroid of a triangle is defined as the intersection point of its medians. The position vector of the centroid G is given by (A + B + C) / 3. The centroid divides each median in a 2:1 ratio.

Dot (Scalar) Product

The dot product of two vectors a and b is defined as |a| |b| cos θ, where θ is the angle between the vectors. It's emphasized that θ is between 0 and π.

Properties of Dot Product

Properties of the dot product are discussed, including its scalar nature and the formula for finding the angle between two vectors: cos θ = (a · b) / (|a| |b|). If two vectors are perpendicular, their dot product is zero. The dot products of unit vectors i · j = j · k = k · i = 0 and i · i = j · j = k · k = 1 are stated. The component form of the dot product is given as a · b = a1a2 + b1b2 + c1c2.

Dot Prod. Imp. Note 1

Important notes on the dot product are presented, including that it is commutative and associative. The cancellation law does not hold true; if a · b = a · c, it does not imply b = c. Instead, it implies that a is perpendicular to (b - c).

Dot Prod. Imp. Note 2

Formulas for |a + b|² = |a|² + |b|² + 2(a · b) and |a - b|² = |a|² + |b|² - 2(a · b) are given. The parallelogram law of identity, |a + b|² + |a - b|² = 2(|a|² + |b|²), is also presented.

MCQs on Note 1 & 2

MCQs are solved using the properties of the dot product, including finding the angle between vectors and applying the parallelogram law of identity.

Dot Prod. Imp. Note 3 and MCQ

If θ is acute, then a · b > 0; if θ is obtuse, then a · b < 0. An MCQ is solved using this property.

Geometrical Representation of Dot Product (Orthogonal Vec)

If two vectors are orthogonal (perpendicular), their dot product is zero.

MCQs on Orthogonal Vectors

MCQs are solved involving orthogonal vectors, including finding the value of a variable if two vectors are perpendicular.

Projection of A vector w.r.t another

The projection of vector A in the direction of vector B is given by (A · B) / |B|.

MCQs on Projection

MCQs are solved to practice finding the projection of one vector onto another.

Projection Vector, of a vector wrt another

The projection vector of A onto B is given by ((A · B) / |B|²) * B.

MCQ on projection Vector

An MCQ is solved to find the projection vector of one vector onto another.

Cross(Vector) Product

The cross product of two vectors a and b is defined as |a| |b| sin θ n̂, where θ is the angle between the vectors and n̂ is a unit vector perpendicular to both a and b. The direction of a × b is determined using the right-hand thumb rule.

Properties of the Cross Product

Properties of the cross product are discussed, including that |a × b| = |a| |b| sin θ. If two vectors are parallel, their cross product is zero. The cross product is not commutative; a × b = - (b × a). The component form of the cross product is given using a determinant.

MCQs on Cross Product

MCQs are solved using the properties of the cross product, including finding a vector of a given magnitude perpendicular to two given vectors.

Geometrical Representation of Cross Product

Geometrical representations of the cross product are discussed. If C is a vector perpendicular to both A and B, then C = λ(A × B). The area of a triangle with adjacent sides A and B is (1/2) |A × B|. The area of a parallelogram with adjacent sides A and B is |A × B|. If d1 and d2 are diagonals of a parallelogram, its area is (1/2) |d1 × d2|.

MCQs Practice

Various MCQs are solved, reinforcing concepts related to dot and cross products, including identifying correct statements, finding areas of parallelograms, and applying properties of vector algebra.

Reln. Between Dot and Cross Product

The relationship between the dot and cross product is discussed, including the identity |a × b|² + (a · b)² = |a|² |b|² and the formula tan θ = |a × b| / (a · b).

Question Practice

Additional questions are solved, covering a range of concepts from the chapter, including finding angles, applying properties of dot and cross products, and using the section formula.

Outro and Ending Discussion

The instructor concludes the session, summarizing the topics covered and providing guidance for further practice. He emphasizes the importance of reviewing the notes and attempting remaining questions. He encourages students to leave comments and sets a reminder for the upcoming live mock test.

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Transcript

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0:03 हेलो एवरीवन क्या हालचाल बेटा आप सभी लोगों का? आई होप आप सभी लोग बहुत जबरदस्त होंगे। मैं हूं शायद सिंह राजपूत आप सभी का स्वागत करता हूं दृष्टि सीवीटी पर। जितने भी मेरे बच्चे देख रहे हैं एक बार फटाफट सारे मेरे बच्चे सेशन में हाजिर हो जाएंगे और एक बार जल्दी से फटाफट कमेंट सेक्शन मुझे लिख के बता दो क्या ऑडियो वीडियो सब कुछ एकदम क्रिस्टल क्लियर एकदम मिस्टर परफेक्ट है। हां या ना? तो जल्दी से एक बार फटाफट सारे मेरे बच्चे कमेंट सेक्शन में हाजिर हो जाएंगे। बेटा फटाफट धुआंधार स्पीड में एक बार मुझे बता दो सब कुछ एकदम परफेक्ट है। आवाज वगैरह दिखाई और सुनाई मैं दे रहा हूं। सुंदर-सुंदर। चलिए तो जल्दी से एक बार फटाफट सारे मेरे बच्चे सेशन में हाजिर हो जाएंगे। बहुत बेहतरीन ग्रेट। आई थिंक सब सुनाई और दिखाई दे रहे हैं। है ना? बहुत बढ़िया तरीके से सब सुनाई और दिखाई दे रहे हैं। तो जल्दी से एक बार फटाफट सारी जनता सेशन में हाजिर हो जाएगी। क्योंकि आज एक बहुत ही खतरनाक लेवल का वन शॉट करने वाले हैं। ठीक है?

0:50 वेक्टर अलजेब्रा का महाशॉट और वेक्टर अलजेब्रा आप लोग जानते हो कि एकदम मैट्रिससेस के जैसा चैप्टर है। मतलब कि एकदम बहुत ही आसान, बहुत ही छोटा, बड़ा प्यारा, बड़ा मजेदार चैप्टर। मतलब जहां पे आप 100% श्योरिटी ले सकते हो कि इसमें मैं एक भी सवाल गलत नहीं करूंगा। टोटल मिला के मतलब इस चैप्टर में मैक्सिमम 50 से 70 टाइप के सवाल है। बस उन्हीं को एक बार अगर करके चले जाओगे तो वेक्टर का एक भी सवाल गलत नहीं होने वाला। वही पैटर्न बार-बार रेपिटेटिव होता है। पिछले 4 सालों से वेक्टर यह अभी नहीं ब्लैक पीपीटी 1.0 के सारे सवाल वही आज तक रिपीट होते हैं। तो इसमें कुछ भी बाहर से जाने का तो कोई गुंजाइश ही नहीं है। ठीक है ना? तो इसी वजह से मैंने लिखा हुआ 100% पेपर यहीं से आएगा। ठीक है? तो ये गारंटी डंके की चोट पे। ठीक है? दिस इज द ओनली एसएसआर गारंटी

1:36 बाय द वे। [हंसी] ठीक है? तो आ जाओ। देखते हैं इसमें आगे हम लोग क्या-क्या करने वाले हैं। है ना? थंबनेल बढ़िया लग रहा है ना? देखो खुद से पढ़ा है। तो यहां पे ये जो इसका नोट्स है दृष्टि सीबीटी के Telegram चैनल पे ये आपको आफ्टर द सेशन क्विक डिलीवरी जैसा मिल जाएगा 5 मिनट के अंदर। ये टॉपिक टू बी कवर्ड तो ये एडिट करना भूल ही गया मैं। चलो कोई बात नहीं है। ठीक है ना? वेक्टर अलजेब्रा में बहुत सारी चीजें पढ़नी है। तो सबसे पहले आज हम एक बार देख लेते हैं इसका वेटेज वगैरह क्या सीन है। सीवीटी में जो वेटेज है 10 से 15 नंबर का इसका वेटेज है। इसमें क्या-क्या रिसोर्सेज आपको फॉलो करना है? बस बहुत ही सिंपल है। ब्लैक पीपीटी 5.0 और इसके अलावा इस पीपीटी का कंटेंट। आखिरकार इस चैप्टर की सरेंस क्या है? कुछ पढ़ेंगे तो कुछ तोेंस पता रहना चाहिए ना। नहीं तो पढ़ाई क्यों करेंगे? सबसे पहलाेंस ये है कि थ्री ज्योमेट्री थ्री डायमेंशनल ज्योमेट्री

2:22 बिना इसके कवर ही नहीं कर सकते। मतलब आगे इतना काम आता है, इतना काम आता है। दिमाग खराब हो जाएगा। पर तुम्हें लगेगा ये 3D नहीं ये वेक्टर है। ठीक है ना? मतलब इतना ज्यादा काम आता है इसका 3D में। और ये चैप्टर आसान चैप्टर है। लाइक मैट्रिससेस ट्रिकी बट ईजी। मतलब छोटा सा चैप्टर है। आप ये समझो कि इसमें पांच लाइन में सीधा आंसर आ जाएगा और पांच लाइन में पांच नंबर देके जाएगा। और वहीं पर इंटीग्रेशन के सवाल एकदम लंबा चौड़ा डेढ़ पेज सॉल्व करेंगे तब जाके कहीं पांच नंबर पाएंगे। एलपीपी में जाके एक पेज भरेंगे तब कहीं जाके पांच नंबर मिलेगा। और इसमें हार्डली तीन चार लाइन लिखेंगे तो पांच नंबर मिल जाएगा। तो ये भाई बहुत ही मजेदार चैप्टर है। बड़ा आसान सा चैप्टर है ये। ठीक है ना? लेकिन चैप्टर में थ्योरी बहुत है। चैप्टर लंबा चौड़ा बहुत है। ये मतलब कहने के नाम पे आसान चैप्टर है। लेकिन है बहुत कुछ इसमें। और अगर इस चैप्टर को विदाउट

3:09 फ्लो पढ़ोगे ना तो दिमाग में कुछ घुसेगा ही नहीं कि इसके बाद हम क्या पढ़ रहे हैं। तो इसमें ना एक कंस्ट्रक्टिव फ्लो होना बहुत जरूरी है। तो आज के इस सेशन में ये अंदर का कंटेंट बहुत ही बेहतरीन बना के लेके आया हूं। अभी पढ़ेंगे तो देखना मजा आएगा तुम्हें। और सवाल बहुत है तो क्वेश्चन सारे के सारे सॉल्व करने हैं। तो आज तुम लोगों को कुछ आईडिया लग रहा है कि हम लोग कितने सवाल करने वाले हैं इसमें? बहुत ज्यादा सवाल। आज इस चैप्टर का कंप्लीट पोस्टमार्टम है। जैसे डिफरेंशियल इक्वेशन पढ़ाया ना जा के दुनिया का कोई भी कुछ भी पढ़ लो। उसके बाहर कुछ नहीं आने वाला। इतना पढ़ाया हुआ है। सेम ऐसे जैसे एवाई पढ़ाया है ना। एवाई का वो एक ही सेशन साल भर पढ़ लो। फिर वो एक सेशन ए मतलब एवाई का एक 2ाई घंटा पढ़ लो। बस जितना करा दिया उसके बाहर कुछ नहीं है। सेम ऐसे ही आज हम वेक्टर का भी करने वाले हैं। तो

3:55 रोना गाना बिल्कुल नहीं। आज ये 3 घंटा एकदम डेडिकेटली मेरे को देना है और इस इंटेंशन के साथ में देना है कि सर आज जितने सवाल कराएंगे सारे करने हैं। और आज के बाद वेक्टर अलजेब्रा में डर नहीं आना चाहिए। चाहे वो दुनिया का कोई भी मौक दे लेना, चाहे कुछ भी कर लेना। सारे सवाल यहीं से आएंगे। कुछ भी इसके बाहर से नहीं आएगा। और सीबीटी 2026 का पेपर भी यहीं से आएगा। ठीक है ना? बात समझ में आ रही है? [हंसी] तो इतनी श्योरिटी से कह रहा हूं कुछ तो होगा। ठीक है? तो चलिए फिर शुरुआत करते हैं। जिन बच्चों ने अगर अभी तक भी जिनको कुछ मालूम नहीं है कि सर चैप्टर नंबर वन से लेके फाइव कहां मिलेगा? ये क्यूआर कोड पे जाके स्कैन कर लेना। पीपीटी डाउनलोड करके इसको स्कैन कर लेना। ठीक है? ये पैसे का स्कैन नहीं है। PhonePe का नहीं है। ठीक है ना? ये सेशन का क्यूआर कोड है। और ये चैप्टर नंबर सिक्स से लेके 13 यहां पर

4:40 है। ठीक है? लालाल। तो यहां पे ये सारे चैप्टर चल रहे हैं। अभी 10वां ही आ रखा है। बाकी 11 12 13 आगे आने वाले टाइम पे आएगा। बाकी ये सारी प्लेलिस्ट का लिंक है बाय द वे इसमें। ठीक है ना? ये क्यूआर कोड पैसे जमा करने का नहीं है। हां पता लग रहा है सोच रहा हूं सर। हैं YouTube पे पैसा मांग रहे हो। चलिए तो शुरुआत करते हैं बाबू इस चैप्टर का। ठीक है? तो नोट्स वगैरह कुछ बनाना नहीं है आपको क्योंकि नोट्स इसमें ऑलरेडी बना हुआ है। तो आपको बस सिंपली कॉपी में इसके जो क्वेश्चंस हैं ये सारे के सारे क्वेश्चंस आपको सॉल्व करने हैं। आपको नोट्स बाबू क्लास के बाद बनाना है। नोट्स अभी आपको बनाना नहीं है। ठीक है ना? नोट्स आफ्टर द क्लास। पीपीटी डाउनलोड कर लेना 5 मिनट के अंदर रिक्वायर्ड टाइमिंग है इसकी 5 मिनट के अंदर पीपीटी मिल जाएगी तुमको ठीक है बहुत

5:26 बढ़िया ग्रेट तो चलिए शुरुआत करते हैं बाबू एक एक तरफ से तो सबसे पहले फिजिकल क्वांटिटीज फिजिकल क्वांटिटीज कितने प्रकार की होती है जल्दी से मुझे एक-एक एग्जांपल बता दो प्रकार की होती है कौन-कौन सी सर स्केलर और वेक्टर स्केलर क्वांटिटी हम किसे बोलेंगे बाबू जिसमें सिर्फ और सिर्फ मैग्नीट्यूड है चलो दो एग्जांपल लिखो पूछा नहीं जाएगा फिर भी लिख दो यार वेक्टर क्वांटिटी हैविंग मैग्नीट्यूड एंड डायरेक्शन। ठीक है ना? एक आधा दो एग्जांपल इसका बताओ मुझे फटाफट। यह पूछेगा नहीं कहीं पे कि आखिरकार क्या स्केलर है? क्या वेक्टर? लेकिन फिर भी थोड़ा-मोड़ा तो जानते रहना चाहिए ना। जो पूछे वही थोड़ी ना पढ़ते हैं। थोड़ा-मोड़ा तो थोड़ा-मोड़ा तो कुछ तो स्केलर क्वांटिटी का एक आधा एग्जांपल बताओ। स्केलर क्वांटिटी का जैसे कोई भी एग्जांपल ले लो। फॉर एग्जांपल टाइम हो गया है ना? डिस्टेंस हो गया।

6:13 टाइम डिस्टेंस है ना? इलेक्ट्रिक पोटेंशियल वेक्टर का एक आधा दो एग्जांपल बता दो। वेक्टर का फोर्स जैसे हो गया है ना टॉर्क हो गया, वेलोसिटी हो गया, एक्सीलरेशन हो गया। बस जानते रहो ऐसे। ठीक है ना? बहुत है इतना इससे ज्यादा जानना नहीं है। इलेक्ट्रिक फील्ड हो गया, मैग्नेटिक फील्ड हो गया। है ना? तो ये सब क्या है? ये सब वेक्टर क्वांटिटी है। अब नेक्स्ट आते हैं बाबू काशियन एंड वेक्टर। कि अगर हमारे पास कभी भी कोई भी कोऑर्डिनेट के टर्म में लिखा है तो उसे वेक्टर में हम कैसे लिखेंगे? जरा इसको समझना। ये पूरा 3D तक काम आएगा। जैसे मान लो कहीं पर 2 3 लिखे तो इसे वेक्टर में ऐसे लिखते हैं बाबू i कैप + 3j कैप। कुल मिला के मोटा-मोटा बात ऐसा समझो जो x कोऑर्डिनेट है उसके साथ में लगाएंगे i कैप। जो y कोऑर्डिनेट है उसके साथ में लगाते हैं j कैप। जैसे 3 2 5 तो

7:02 इसको कैसे लिखेंगे? 3i कैप 2j कैप + 5k कैप। बात समझ आया बाबू? जैसे मान लो अगर लिखा है 0 1 इसको कैसे लिखेंगे? 0i कैप + 0j कैप + 1k कैप। ठीक है ना? या इसी को अपन k कैप भी लिख सकते हैं ऐसा करके। ठीक है? तो इससे थोड़ा सा हैबचुअल हो जाओ क्योंकि अभी पूरा वेक्टर 3D में आ गया। अब यही चलने वाला है अगले वन शॉट तक। अब जैसे मान लो अगर हमारे पास लिखा है -i कैप + k कैप। अब इसे अगर कोऑर्डिनेट में लिखना है तो क्या लिखेंगे? i का कोफिशिएंट है -1। j का कुछ है ही नहीं तो ज़ीरो और k का वन है। ठीक है ना? जैसे फॉर एग्जांपल मान लो लिखा है 1/2k कैप - 3/2j कैप। अब इसका बोले अगर

7:48 कोऑर्डिनेट में लिखना पड़े अगर हमें कभी तो क्या लिखेंगे? i का कुछ है नहीं है। j का क्या है बाबू? - का 3/2 k का क्या है सर? 1/2 है ना? तो ये हम इस तरीके से कोऑर्डिनेट लिखते हैं। मतलब वेक्टर टू कार्टन का्टिटीज़ियन टू वेक्टर हम किस तरीके से लिखते हैं? वो इस तरीके से लिखते हैं। तो इसको विशेष ध्यान रखिएगा। बात बड़ी बेसिक है लेकिन इंपॉर्टेंट है। नेक्स्ट आते हैं बाबू पोजीशन वेक्टर। देखो पोजीशन वेक्टर हम किसे कहते हैं? कि किसी भी पॉइंट की लोकेशन जैसे अगर मैं यहां पे खड़ा हूं तो मेरी कोई लोकेशन है। यही जो लोकेशन है अगर इसी को अपन वेक्टर के टर्म में लिख दें। यही हमारा पोजीशन वेक्टर हो गया। जैसे आप अपने घर पे बैठे हुए हो तो ये आपकी लोकेशन है। तो यही हो गया आपका पोजीशन वेक्टर। बात समझ आई? अब जैसे मान लो ये तुम्हारा घर है। है ना? यह यह तुम हो और यह तुम्हारा घर है। अब किसी ने बोला

8:35 कि आप यह बताओ कि आपकी पोजीशन वेक्टर क्या है? तो आपका सबसे पहला सवाल क्या होगा कि भैया किसके रिस्पेक्ट में आप मेरी पोजीशन वेक्टर पूछ रहे हो? मतलब मेरे घर के रिस्पेक्ट में पूछ रहे हो या मेरे आसपास पड़ोसी के रिस्पेक्ट में पूछ रहे हो या किसी और दूसरे के रिस्पेक्ट में पूछ रहे हो। तो बेसिकली जब भी अगर हम पोजीशन वेक्टर की बात करेंगे तो हमेशा हम किसी के रिस्पेक्ट में बात करेंगे। जैसे अगर मान लो कोई बच्चा कहता है कि सर आपकी लोकेशन क्या है? तो मैं आपसे बोलूंगा लोकेशन मेरी किसके रिस्पेक्ट में? इंडिया गेट के रिस्पेक्ट में, प्रधानमंत्री आवास के रिस्पेक्ट में या किसके रिस्पेक्ट में? ठीक है? या मोदी जी के रिस्पेक्ट में? तो कुल मिला के जब भी हम पोजीशन वेक्टर की बात करेंगे हमेशा दो चीजों की चर्चा हो रही होगी। एक तो यहां पर जो ये ऑब्जेक्ट है इसका और बाकी जो इसका रेफरेंस पॉइंट है इसका। बात समझ आया? तो पोजीशन वेक्टर में

9:22 हमेशा दो चीजों की चर्चा होगी। यहां पर रेफरेंस पॉइंट बहुत इंपॉर्टेंट है कि आखिरकार आप किसके रिस्पेक्ट में यह बात पूछ रहे हो। तो छोटी सी छोटी सी बात यहां पर थोड़ा सा इसको समझ लो अबाउट अ वेक्टर कि अगर हमारे पास ये मान लो एक वेक्टर है बाबू तो इसे हम क्या कहते हैं सर? इसे हम कहते हैं टेल ऑफ द वेक्टर। ठीक है ना? टेल ऑफ द वेक्टर। कि वेक्टर की पूंछ। ठीक है ना? और और इसे क्या बोलेंगे? इसे बोलेंगे सर हेड ऑफ द वेक्टर। इसमें शुरुआत में थ्योरी काफी है। हेड ऑफ द वेक्टर। ठीक है ना? इसे हम और क्या बोल सकते हैं बाबू? फाइनल पॉइंट बोल सकते हैं। फाइनल पॉइंट और इसे हम क्या बोल सकते हैं सर? इनिशियल पॉइंट। है ना? ये सब थोड़ा-थोड़ा सा जानते रहो। आगे सेंटेंस में लिखा होता है कई जगहों पे। इसे हम

10:08 क्या बोलते हैं सर? टर्मिनल पॉइंट। ठीक है ना? टर्मिनल पॉइंट। इसे हम बोलते हैं बाबू रेफरेंस पॉइंट। ठीक है? रेफरेंस पॉइंट। तो जब भी अगर कभी भी हमारे पास पोजीशन वेक्टर की बात होगी तो वहां पर किसी ना किसी पॉइंट के रिस्पेक्ट में बात हो रही होगी। तो जैसे मान लो ये हमारे पास एक कोऑर्डिनेट है सर a इसका पोजीशन वेक्टर अगर मैं a वेक्टर कहता हूं। है ना? ये है सर b इसका पोजीशन वेक्टर अगर मैं b वेक्टर कहता हूं बाबू। तो कुल मिला के किसी भी पॉइंट को अगर हम ओरिजिन से मिला देते हैं। यही इस पॉइंट का पोजीशन वेक्टर बन जाता है। तो जैसे a को अगर ओरिजिन से मिलाएंगे तो यही इसका क्या बन गया सर? पोजीशन वेक्टर। B पॉइंट को अगर हम ओरिजिन से मिलाएंगे तो यही B पॉइंट का पोजीशन वेक्टर

10:53 बन जाएगा। बात समझ आया? तो वी कनेक्ट एनी पॉइंट विद द ओरिजिन। हम किसी भी पॉइंट को अगर ओरिजिन से कनेक्ट कर देते हैं। यही इसका पोजीशन वेक्टर हो जाएगा। बात समझ आई? तो जैसे मान लो अगर हमारे पास a वेक्टर लिखा गया है बाबू xi कैप + yj कैप + zk कैप। ठीक है ना? तो यहां पर इसका पोजीशन वेक्टर क्या हो गया सर? ये a ही हमारा xyz यही आप चाहे कोऑर्डिनेट के टर्म में बोल लो, चाहे वेक्टर के टर्म में बोल लो। लेकिन अगर हमें कभी भी दो पॉइंट का दो पॉइंट में पोजीशन वेक्टर लिखना है जैसे पोजीशन वेक्टर ऑफ पॉइंट a विद रिस्पेक्ट टू b तो ab वेक्टर हम कैसे लिखते हैं बाबू b वेक्टर माइनस का a वेक्टर लिखते हैं। ठीक है ना? या अगर मुझे यहीं पर ba वेक्टर लिखना हो बाबू तो इसे हम क्या लिखेंगे सर? a वेक्टर - का b वेक्टर लिखेंगे। ठीक है? तो इन दोनों में रिलेशन काफी इंपॉर्टेंट

11:40 है। तो दोनों में अगर आप रिलेशन देखोगे तो ab वेक्टर = - टाइम्स ऑफ द ba वेक्टर होता है। तो ये ध्यान रखना अभी आगे चल के सवाल पूछा गया है इस पर। तो ab वेक्टर इक्वल टू हम क्या लिखते हैं सर? - टाइम्स ऑफ़ द ba वेक्टर। बात समझ आया सभी बच्चों को? हां यार तो छोटी सी बात है। इंपॉर्टेंट है। अब इसमें देखो जैसे हम लोग ab वेक्टर लिखते हैं बाबू। तो ab वेक्टर हम क्या हमने क्या लिखा सर? b वेक्टर माइनस का a वेक्टर। तो इसमें ये जो a वेक्टर है ना दिस इज द रेफरेंस पॉइंट। ये क्या है सर? दिस इज द रेफरेंस पॉइंट। और ये जो b है बाबू दिस इज द फाइनल पॉइंट या टर्मिनल पॉइंट। ठीक है ना? तो ये ध्यान रखना। जैसे अगर ab वेक्टर कह रहा है तो b - a अपन करेंगे। जो बाद में लिखा है इसको हम यहां पे पहले लिखते हैं। जो पहले लिखा है इसको हम बाद में लिखते हैं। तो ये सब बातें छोटी-छोटी हैं

12:27 लेकिन इंपॉर्टेंट है। आगे चलके काम आएंगी। नेक्स्ट है बाबू मैग्नीट्यूड ऑफ़ अ वेक्टर। ठीक है? मैग्नीट्यूड ऑफ अ वेक्टर कहने का मतलब यह है जैसे मान लो अगर हमारे पास यह a वेक्टर है और a वेक्टर है बाबू a1i कैप + b1j कैप + c1k कैप तो सर इसका जो मैग्नीट्यूड है m a m a होता है बाबू अंडर रूट ऑफ़ i के कोफिशिएंट का स्क्वायर यानी a1² + j के कोफिशिएंट का स्क्वायर यानी b1² + k के कोफिशिएंट का स्क्वायर यानी कि c1² बात समझ आया हां या ना तो यही चीज यहां पर लिखा हुआ तो म a क्या हो जाएगा सर? a1² + a2² इसको ऐसे रूट में ऐसे मत याद रखो। इसको बस सिंपली ये ध्यान रखो कि अंडर रूट ऑफ़ i के कोफिशिएंट का स्क्वायर + j के

13:12 कोफिशिएंट का स्क्वायर + k के कोफिशिएंट का स्क्वायर। बात समझ आ रहा है सभी बच्चों को? इसमें ना दो दो ट्रिपलेट याद रखना जो ना लगातार हमसे पूछा जाता है। अगर मान लो कभी हमारे पास a वेक्टर = 2i कैप + 2j कैप + k कैप लिखा है। तो अगर हम यहां से मॉड a लिखेंगे बाबू तो थ्री आ जाएगा। सिंपल है क्योंकि 2² 2² + 1 4 4 8 1 9 यानी कि तीन आ जाएगा। तो ये ट्रिपलेट चाहे ये 2 1 लिखा हो चाहे 1 2 लिखा हो। है ना? चाहे 2 1 2 लिखा हो। इन तीनों को अगर हम स्क्वायर करके जोड़ेंगे तो सर हमारे पास यह कितना आएगा बाबू? ये आएगा अंडर रूट ऑफ 9 और ये हमेशा कितना आएगा सर? तीन आएगा। तो आज के बाद ना इसको ओरली याद रखना। मतलब

13:57 सिंपल सी बात है। लेकिन लगातार सवालों में यही सब आते हैं। ठीक है ना? एक ट्रिपलेट आप लोग और याद रख सकते हो बाबू। 6² कितना होता है? 36. 2² कितना होता है? चार। और 3² कितना होता है? नौ। तो 9 4 13 और 36 कितना होता है सर? 49 होता है और 49 का अंडरूट बाबू सेवन होता है। तो दूसरा ना ये ट्रिपलेट मैग्नीट्यूड में याद रखना कि अगर कहीं पर 2 36 लिखा है या 362 लिखा हुआ है इन सबको अगर हम स्क्वायर करके जोड़ते हैं तो सर ये वैल्यू हमारी 49 आती है और 49 का अंडर रूट ये सेवन होता है। अभी आगे आप देखोगे सवालों में जनरली जो आपके लेवल पे सवाल आता है मेजरली ये ट्रिपलेट होता है। तो अगर ओरली थोड़ा सा याद रखोगे तो कैलकुलेशन थोड़ी सी स्पीड हो जाएगी बाकी और कुछ नहीं। तो आ जाओ। एक बहुत ही बेसिक सा सवाल है।

14:44 थोड़ा-थोड़ा सा प्रैक्टिस करते चलते हैं। शुरुआत में इसमें डॉट प्रोडक्ट के पहले कोई खासा सवाल आता नहीं है। मतलब टाइप ऑफ वेक्टर पर ज्यादा सवाल आता है। तो अभी आराम से थ्योरेटिकल पोर्शन समझते चलो और क्योंकि आगे सब काम आएगा बेटा। मैग्नीट्यूड ऑफ़ द वेक्टर जैसे देखो ये 6 - 2 3 लिखा हुआ है ना। तो इनको अगर स्क्वायर करके जोड़ेंगे तो कितना आएगा? 49 और 49 कितना आ जाएगा बाबू? सेवन आ जाएगा। तो ये ट्रिपलेट ना इसको हमेशा ओरली याद रखना। ये 6 - 2 3 मतलब इनमें कोई भी प्लस माइनस चलेगा कुछ भी क्योंकि हम स्क्वायर करते हैं तो सब पॉजिटिव ही हो जाता है। तो अल्टीमेटली ये 49 ही आता है। नेक्स्ट क्वेश्चन देखो। a + b अपने पास दिया गया है। a वेक्टर दिया गया है मॉड b तेज करना है। बहुत तेज करो आज। ठीक है? एकदम सवाल तेज बनो। तो a वेक्टर हमें दिया गया है बाबू। a + b i कैप लिखा हुआ है। तो अगर ये

15:30 i कैप है तो b वेक्टर कितना हो गया? i वेक्टर - का a वेक्टर। तो i वेक्टर - a वेक्टर कितना है बाबू? 2i - 2j + का 2k कैप। तो यहां से b वेक्टर कितना हो गया? आप लोगों को मालूम है i में से बस i घटाता है। तो यानी कि हो गया सर -i कैप और ये हो गया सर + 2j कैप और यहां से आ गया बाबू माइनस का 2k कैप। तो मॉड b कितना हुआ? i² 14 4 8 1 9 यानी कि कितना बन गया सर? थ्री इज़ द राइट आंसर। बात समझ आ गई बाबू? बहुत बढ़िया। नेक्स्ट आते हैं सर फ्री वेक्टर। फ्री वेक्टर हम किसे कहते हैं? कोई भी ऐसा वेक्टर जिसको हम कहीं भी डिस्प्लेस कर सके विदाउट चेंजिंग इट्स मैग्नीट्यूड एंड डायरेक्शन। जैसे ये हमारे पास वेक्टर है।

16:16 इसको हम यूनिवर्स में कहीं भी लेके चले जाए। बात समझ आ रहा है? कहीं भी आप इसको लेके चले जाओ विदाउट चेंजिंग इट्स मैग्नीट्यूड एंड डायरेक्शन। तो ऐसे वेक्टर को हम कहते हैं फ्री वेक्टर। मतलब कि वेल्ला वेक्टर, नल्ला वेक्टर। बात समझ आ रहा है? मतलब कि ये इतना खाली है इसको तुम कहीं भी लेके चले जाओ। ऐसी बात नहीं है भाई। इफ वी कैन डिस्प्लेस एनी वेक्टर एनीवेयर विदाउट चेंजिंग इट्स मैग्नीट्यूड एंड डायरेक्शन। तो वेक्टर अलजेब्रा में जितना भी हम लोग पढ़ाई करते हैं बाबू सब कुछ हम लोग फ्री वेक्टर के बारे में ही पढ़ते हैं। अभी आगे हम जितनी गाथा पढ़ने वाले हैं अभी थोड़ी देर में ये सब कुछ हम फ्री वेक्टर के बारे में ही पढ़ते हैं। तो ये बात थोड़ी सा दिमाग में बसा के रखना कि क्योंकि आगे अभी हम पढ़ेंगे तो छोटे-छोटे डाउट आएंगे तो वहां पे इसका काम लगेगा। नेक्स्ट आ नेक्स्ट अब आगे मूव ऑन करते हैं। सर टाइप ऑफ द वेक्टर। टाइप ऑफ़ वेक्टर में सबसे पहले ज़ीरो या नल वेक्टर। ज़ीरो या

17:02 नल वेक्टर हम किसे बोलते हैं? सर कोई भी ऐसा वेक्टर जिसका मैग्नीट्यूड ज़ीरो है। ठीक है ना? तो मैग्नीट्यूड ज़ीरो होने का मतलब ये होगा ये हो जाएगा बाबू a.a = 0 मतलब कि इसका जो इनिशियल पॉइंट है और जो इसका फाइनल पॉइंट है ये दोनों ही सेम हो। इनिशियल पॉइंट बराबर फाइनल पॉइंट। ठीक है ना? तो इसका दोनों ही सेम हो अगर तो ऐसे वेक्टर को अपन क्या बोलेंगे सर? नल वेक्टर बोलेंगे। नल वेक्टर को कैसे रिप्रेजेंट करते हैं बाबू? को कैपिटल O से रिप्रेजेंट करते हैं। अब यहीं पर छोटा सा एक चीज और सुनो। अगर मान लो हमारे पास A वेक्टर = XI कैप + YJ कैप + ZK कैप है। और इफ a वेक्टर = नल वेक्टर हम कहते हैं। तो यानी कि इसका मैग्नीट्यूड क्या हो जाएगा? इसका

17:49 मैग्नीट्यूड ज़ीरो हो जाएगा। यानी कि यहां से सर x² + y² + z² बराबर कितना बन जाएगा बाबू? ज़ीरो। तो अगर मैं दोनों साइड स्क्वायरिंग कर दूं तो यहां से x² + y² + z² = 0 बन जाएगा। अब ये तीन ऐसी क्वांटिटीज हैं जो कि परफेक्ट स्क्वायर है। और भैया तीनों को जोड़ के अगर ज़ीरो लेके आना है तो ये सिर्फ एक केस में पॉसिबल है कि अगर x = 0 और y = 0 और z = 0 बन जाए। तो अगर ये तीनों चीजें ज़ीरो के बराबर बन जाएंगी तो हम बोलेंगे कि सर ये हमारा कैसा वेक्टर है? नल वेक्टर है। तो आज के बाद ये चीज़ हमेशा ध्यान रखना कि नल वेक्टर होता भी सिर्फ एक ही केस में है कि 0i कैप 0 कैप + 0k कैप और इसे ही हम क्या कहते हैं बाबू? इसे ही हम ओरिजिन भी बोल रहे होते हैं। ठीक है ना? तो नल वेक्टर को

18:35 ओरिजिन बोलो चाहे नल वेक्टर बोलो दोनों बातें सेम हैं। और अगर इनिशियल और फाइनल पॉइंट अगर दोनों सेम हो जाएगा। किसी भी पॉइंट में हम ओरिजिन बोलेंगे। फॉर अ पॉइंट। फॉर अ पॉइंट हम इसे ही ओरिजिन बोलेंगे। और अगर हमारे पास दो वेक्टर है ab वेक्टर है तो यहां पर a = b वेक्टर यानी कि दोनों वेक्टर हमारे क्या होने चाहिए सर? सेम होने चाहिए। ठीक है ना? ताकि इनका पोजीशन वेक्टर क्या बन जाए सर? ज़ीरो बन जाए। नेक्स्ट आते हैं बाबू इक्वल वेक्टर। अब नाम से इक्वल लग रहा है कि दो वेक्टर का अगर मैग्नीट्यूड और डायरेक्शन दोनों बराबर हो जाए तो सर हम ऐसे वेक्टर को इक्वल वेक्टर बोलेंगे। तो इसमें मैग्नीट्यूड और डायरेक्शन दोनों इक्वल होना चाहिए बाबू। तो जैसे मान लो अगर यहां पर a वेक्टर = x1i कैप + y1j कैप + z1k कैप लिखा है और b

19:21 वेक्टर = x2i कैप + y2j कैप + z2k कैप लिखा है वो अगर ये दोनों वेक्टर बराबर हैं इफ a वेक्टर = b वेक्टर तो यहां से हमारे पास क्या हो जाएगा x1i कैप + y1j कैप + z1k कैप = x2i कैप + y2j कैप + z2 k कैप है ना? अब भैया अगर यह दोनों वेक्टर बराबर है तो कंडीशन क्या बनेगी सर? दोनों का x बराबर होना चाहिए। यानी कि x1 = x2 दोनों का y बराबर होना चाहिए बाबू। यानी कि y1 = y2 और दोनों का z बराबर होना चाहिए। यानी कि z1 = z2 यानी कहने का मतलब यह है कि दो वेक्टर हमारे इक्वल वेक्टर तब बोले जाते हैं जब इनका मैग्नीट्यूड और डायरेक्शन दोनों डिट्टो सेम हो। और यह सेम तब हो

20:08 सकता है जब दोनों के कोफिशिएंट एकदम बराबर हो। बात समझ आया? तो ऐसे वेक्टर को अपन क्या बोलेंगे बाबू? इक्वल वेक्टर बोलेंगे। नेक्स्ट है सर यूनिट वेक्टर। यूनिट वेक्टर इज जस्ट लाइक दैट। जैसे मान लो 5 किलो आलू का दाम है ना? अगर ₹5 है तो 1 किलो आलू का दाम कितना बनेगा? तो आप बोलोगे सर 5/5 = ₹1 है। है ना? यही बात बोलोगे। तो सेम वैसे ही वेक्टर का यूनिट वेक्टर। अगर मान लो यह हमारे पास a वेक्टर है और इसका जो मैग्नीट्यूड है यह मैग्नीट्यूड है बाबू म a वेक्टर ठीक है ना इसका जो मैग्नीट्यूड है m a वेक्टर है तो अगर इस वेक्टर को इसी के मैग्नीट्यूड से मैं डिवाइड कर दूं यानी कि a वेक्टर / m a

20:54 वेक्टर / m a यही हमारा क्या हो जाएगा सर यूनिट वेक्टर हो जाएगा तो यूनिट वेक्टर कोई भी ऐसा वेक्टर जिसका मैग्नीट्यूड ऑफ़ द वेक्टर कितना होना चाहिए बाबू वन होना चाहिए। इसे हम रिप्रेजेंट करते कैसे करते हैं सर? a कैप से। और a कैप होता क्या है? ये होता है सर a वेक्टर / m a ठीक है ना? ध्यान रखना इसको। अब आपको मालूम है कि यूनिट वेक्टर का मैग्नीट्यूड कितना होगा? वन होगा। तो अगर मैं यहीं पर m a कैप आपसे बोलूं तो आप कितना बोलोगे? सर इसकी वैल्यू हमारी वन आ जाएगी। सही बात है कि नहीं? बिल्कुल सही बात है। है ना? चलिए बहुत बेहतरीन। ग्रेट। तो दिस इज़ द यूनिट वेक्टर। अब यूनिट वेक्टर में जो ज्यादातर सवाल पूछा जाता है वो यहां से पूछा जाता है। दिस इज द दिस नोट इज बहुत ज्यादा इंपॉर्टेंट। ठीक है? नोट ये है। पहले इसको

21:39 देसी भाषा में समझ लो फिर हम विदेशी भाषा में समझ लेंगे इसको। हालात वो है कि जैसे अभी हमने पढ़ा था कि सर 5 किलो आलू का दाम अगर ₹5 है तो ये बताओ कि आखिरकार 10 किलो आलू का दाम कितना बनेगा? ठीक है? तो हम कैसे निकालते हैं इसको टेक्निकली? हम ऐसे करते सर तो सबसे पहला काम 1 यूनिट आलू का दाम निकालते। कैसे? 1 यूनिट डालो यानी 1 किलो का निकालेंगे यानी 5 / 5 = 1 तो 10 किलो के लिए हम क्या करेंगे बाबू 1 * 10 कर देंगे तो हम बोलते हैं सर ₹10 और अगर इसी को थोड़ा सा और माइक्रो लेवल पे समझे तो क्या करते हैं? 5 किलो आलू का दाम ₹5 तो सबसे पहले 1 किलो आलू का दाम यानी कि 1 किलो आलू के दाम में क्या करते हैं? यह 10 से मल्टीप्लाई करते हैं। वही सेम सीन कि अगर मान लो हमारे पास यह एक वेक्टर है a वेक्टर।

22:25 ठीक है ना? अब इसी की डायरेक्शन में K मैग्नीट्यूड का हमें कोई भी वेक्टर लिखना हो तो हम इसको कैसे लिखते हैं बाबू? सबसे पहला काम उस वेक्टर का यूनिट वेक्टर लिखेंगे यानी a / m a और जितने मैग्नीट्यूड का लिखना है उससे हम यहां पर सिंपली मल्टीप्लाई कर देंगे। ठीक है ना? तो यहां पे हमारे पास ये निकल के आ जाएगा कि किसी भी वेक्टर की डायरेक्शन में k मैग्नीट्यूड का वेक्टर हम किस तरीके से लिखते हैं। बात समझ आ गया सभी मेरे बच्चों को? हां या ना? तो अब आ जाओ जल्दी से फटाफट सवाल करते हैं। अब चालू हो जाओ। कंपलसरी नेचर 2023 का क्वेश्चन है बाबू यह। फटाफट कह रहा है यूनिट वेक्टर इन द डायरेक्शन ऑफ दिस वन। है ना? इन द डायरेक्शन ऑफ़ a + b तो क्या करोगे सर? सबसे पहला काम a + b निकालो। फिर उसकी

23:11 डायरेक्शन में यूनिट वेक्टर निकालो। एकदम तेज करना बेटा। ये सब सवालों में कुछ है नहीं। है ना? सवाल इसमें ज्यादा करते हैं। 200 सवाल बना लेंगे। आज पीपीटी में काफी है। आज के बाद तुम्हें कुछ करने की जरूरत नहीं पड़ेगी। खत्म कर देंगे पूरा बवाल। तो बस यही है कि तुम लोग तेज बनाओ सवाल। 2 में से एक करेंगे i कैप -j +j हो जाएगा बाबू 0j 2 में से एक घटाएंगे ये आ गया सर + k कैप है ना तो a + b हमारे पास ये आ गया कह रहा है इसकी डायरेक्शन में यूनिट वेक्टर बताओ तो अगर इसकी डायरेक्शन में हम यूनिट वेक्टर लिखेंगे तो क्या करेंगे बाबू इसी के मैग्नीट्यूड से डिवाइड कर देंगे तो i + k / 2 तो i + k / 2 शुड बी द राइट आंसर यानी कि डी पार्ट इज़ द करेक्ट आंसर। ठीक है? क्लियर है बाबू सभी मेरे बच्चों को? हां या ना? बहुत बेहतरीन। ग्रेट। नेक्स्ट क्वेश्चन

23:57 देखो। कह रहा है कि अगर ये यूनिट वेक्टर है तो सर हमें वैल्यू ऑफ़ द x बताना है। तो कह रहा है कि अगर ये यूनिट वेक्टर है बाबू। तो यहां पर a वेक्टर इक्वल टू कह रहा है xi कैप ये j कैप + k कैप। है ना? ये यूनिट वेक्टर है। यानी कि मॉड = 1 यानी कि m x i + j + k = 1 होगा। मॉड्यूलस की ना छोटी-मोटी कुछ एक प्रॉपर्टी होती है बाबू। m a + b ये हमेशा लेस और इक्वल टू मॉड a + मॉड b होता है। मॉड a * b ये हमेशा मॉड a * मॉड b होता है। यानी मल्टीप्लिकेशन में मोड अलग-अलग हो जाता है। मॉड a / b में भी मॉड अलग-अलग हो जाता है। ठीक है ना? तो कहीं पे काम लगे तो लगा लेंगे। जैसे यहीं पर एक बेसिक सा काम लग रहा है। तो हम यहां

24:43 पे इसको लगा सकते हैं i कैप j कैप k कैप = 1 तो ये हो गया m x ये हो जाएगा 1 + 1 = 1 तो मॉड x की वैल्यू कितनी आ गई सर? 1 / 3 आ गई। अब अगर m x की वैल्यू 1 / 3 है तो आप लोगों को मालूम है कि अगर m x = a जहां पर a बिलोंग्स टू रियल नंबर होता है तो यहां पर x की वैल्यू कितनी आ जाती है सर? प्लस माइनस a आ जाता है। चलिए नेक्स्ट क्वेश्चन पर आते हैं। कह रहा है सर वेक्टर इन द डायरेक्शन ऑफ़ सवाल पढ़िए। इसकी डायरेक्शन में पांच मैग्नीट्यूड का वेक्टर बताना है। ये बेटा सबसे इंपॉर्टेंट सवाल है। मतलब हर हर साल दो चार सवाल आता आता है इस पे। ठीक है ना? हां। बहुत बेहतरीन। यानी ग्रेट यार आप लोग बहुत अच्छा पढ़ रहे हो। कह रहा है सर ये हमारे पास एक वेक्टर है i कैप + j कैप + k कैप। इसकी डायरेक्शन

25:30 में 5 यूनिट का बताना है बाबू। तो 5 यूनिट i +j +k/ 3 आ जाएगा। यानी कि 5/ 3 i +j + k यानी कि सर कौन सा पार्ट आ गया? सी पार्ट शुड बी द राइट आंसर। ठीक है? डन है। नेक्स्ट क्वेश्चन पर आ जाओ। अगला सवाल ये देखो। कह रहा है 2022 का क्वेश्चन है। कह रहा है सर a वेक्टर एंड b वेक्टर = दिस वन। देन द वेक्टर इन द डायरेक्शन ऑफ़ a - b है ना? a - b की डायरेक्शन में वेक्टर बताना है और वह भी सिक्स मैग्नीट्यूड का बताना है। तो क्या करेंगे सर? सबसे पहला काम a - b वेक्टर निकालेंगे। फिर क्या करेंगे बाबू? उसका यूनिट वेक्टर लिखेंगे। फिर क्या करेंगे? उसमें सिक्स से मल्टीप्लाई कर देंगे। बात समझ गए कांसेप्ट? तो निकाल दो फटाफट। तो यहां से a वेक्टर - b वेक्टर

26:16 दोनों को घटा देते हैं। तो 5 में से 2 घटाएंगे 3i कैप j में 2j जुड़ जाएगा। तो 3j कैप -2 - दिस वन तो ये आ जाएगा बाबू - का 3k कैप। अब कह रहा है इसकी डायरेक्शन में सिक्स मैग्नीट्यूड का बताओ। तो हम क्या करेंगे? 6 * 3i 3j - का 3kेड बाय इन सब का स्क्वायर 9 9 ठीक है? यही हमारा आंसर है। तो सॉल्व करके बता दो बाबू कितना आ रहा है ये? तो ये आ गया सिक्स। तो इसमें से थ्री अगर मैं बाहर ले लूं i +j - kेड बाय ये हो जाएगा 27 और 27 को कितना लिख सकते हैं? 3 3 लिख सकते हैं। तो ये कैंसिल आउट हो गया। है ना? तो इसको अपन 2 * 3 लिख सकते हैं।

27:01 तो ये 2 3 बेसिकली बन जाएगा। तो हमारा आंसर कितना बन गया? ये आ गया है वो 2 3i कैप + 2 3j कैप - का 2 3k कैप। तो यही हमारा आंसर आ गया। कौन सा पार्ट आया? ए पार्ट नजर आ रहा है। तो a इज़ द राइट आंसर। क्या बात है? सुपर्ब बेटा। नेक्स्ट क्वेश्चन देखो। कह रहा है यूनिट वेक्टर इन द डायरेक्शन ऑफ़ सम ऑफ द वेक्टर। एकदम स्पीड में बनाओ। तो सम ऑफ़ द वेक्टर क्या हो जाएगा? a + b वेक्टर इक्वल टू बाबू इधर i है नहीं। तो ये यानी कि हो गया 2i 2j - j ये हो गया j k + k ये हो गया सर 2k कैप। है ना? अब इसकी डायरेक्शन में हमें यूनिट वेक्टर बताना है। तो यूनिट वेक्टर क्या हो जाएगा? इसी के मैग्नीट्यूड से डिवाइड कर देते हैं। 4 4 8 1 9 यानी कि आ जाएगा सर

27:47 2i कैप + j + 2k / 3 आ गया। तो यही हमारा आंसर आ गया। कौन सा पार्ट बना? ए पार्ट शुड बी द करेक्ट आंसर। है ना? कौन सा पार्ट? ए पार्ट शुड बी द राइट आंसर। ठीक है? अभी सवाल बना लो बाबू। सवाल बना लो। सवाल बना लो। सिलेक्शन हो जाएगा। कॉलेज के अंदर घुसा दूंगा मैं। टेंशन मत लो बिल्कुल भी। है ना? पहले बस इधर मेहनत करो। सवाल बनाओ। उसके लिए आगे पूरा टाइम पड़ा हुआ है। कह रहा है वेक्टर इन द डायरेक्शन ऑफ दिस वन हैज मैग्नीट्यूड 9 यूनिट। तो क्या करेंगे सर? न के साथ में इसके यूनिट वेक्टर से हम मल्टीप्लाई कर देंगे। तो यही ट्रिपलेट देख रहे हो आप हर जगह बन रहा है। मैंने इसी वजह से आपको बोला था कि इसको रट लो। तो यानी कि 3i - 2j + 2k यानी कि कौन सा पार्ट आ गया बाबू? सी पार्ट शुड बी द राइट आंसर। बहुत

28:32 बेहतरीन। चलिए तो यह था पूरा यूनिट वेक्टर एंड टाइप ऑफ द यूनिट वेक्टर के जितने भी सवाल है वह सारे के सारे। नेक्स्ट अब आगे मूव ऑन करेंगे सर पैरेलल वेक्टर या कोलिनियर वेक्टर। तो जैसे मान लो अगर हमारे पास यहां पर a वेक्टर है और दिस वन इज़ द b वेक्टर। दो वेक्टर को हम पैरेलल या कोलिनियर वेक्टर तब कहते हैं अगर एक वेक्टर = लैम्ब्डा टाइम्स ऑफ द दूसरा वेक्टर हो। इसको जैसे मैं कह रहा हूं वैसे तुम लोग बोला करो कि एक वेक्टर बराबर लैम्ब्डा टाइम्स ऑफ द दूसरा वेक्टर। है ना? या तो हम इसको ऐसा भी लिख सकते हैं b = लैम्ब्डा टाइम्स ऑफ़ द a वेक्टर। यहां पर लैम्ब्डा जो है सर बिलोंग्स टू रियल नंबर है। ठीक है ना? तो दोनों कोइिशियल वेक्टर अच्छा इसमें कई सारे बच्चों का सवाल ये होता है कि सर ये जैसे पैरेलल तो चलो समझ आ जाती है बात कि आखिरकार पैरेलल तो

29:19 ऐसा-ऐसा है। तो ये पैरेलल दिख रहा है। लेकिन हम इसको को मतलब हम इसको कोलिनियर हम कैसे कह देते हैं वेक्टर में? क्योंकि हर जगह पे पैरेलल बराबर कोलिनियर तो होता नहीं है। कोलिनियर मतलब होता है कोई भी चीज एक लाइन में हो। पैरेलल मतलब होता है दोनों चीज़ ऐसी हो। तो, आखिरकार वेक्टर में दोनों को हम सेम क्यों कहते हैं? मतलब चाहे पैरेलल बोले, चाहे कोलिनियर बोले। तो, इसके पीछे का रीज़न समझना थोड़ा सा। बाबू वेक्टर में ना जो भी हम बात करते हैं, वो हम बात करते हैं डायरेक्शन की। किसकी बात करते हैं? डायरेक्शन की। समझ रहे हो ना? तो मैंने आपको पहले ही बताया कि वेक्टर में जो भी चीजें हम लोग पढ़ेंगे, ये सारी चीजें हम लोग फ्री वेक्टर के बारे में पढ़ते हैं। तो अगर मान लो कोई वेक्टर ऐसा लगा हुआ है तो मैं इसी वेक्टर को उठा के यहां पर ला के रख सकता हूं। तो अब ये देखो दोनों कोलिनियर बन गए। तो इसी वजह से वेक्टर में हम चाहे कोलिनियर बोले चाहे पैरेलल बोले दोनों बातें सेम ही होती है।

30:06 तो इसको लेके बिल्कुल कंफ्यूज मत हुआ करो। दोनों वेक्टर सेम ही वेक्टर है। बात समझ आ गया सभी को? हां या ना? तो दिस इज़ द थिंग। है ना? तो एक वेक्टर = लैम्ब्डा टाइम्स ऑफ़ द दूसरा वेक्टर। तो यहां पर एक बहुत इंपॉर्टेंट नोट है जिसे आपको समझना है। तो लेट A वेक्टर = a1 i कैप + b1j कैप + c1k कैप। ठीक है? और यहां से b वेक्टर हो गया वो a2 कैप + b2j कैप + c2k कैप ये लिखा हुआ है। और भैया अगर ये दोनों कोलिनियर वेक्टर हैं इफ a वेक्टर इज़ पैरेलल टू b वेक्टर तो यहां पर क्या लिखेंगे हम कैसे? a1i कैप + b1j कैप + c1k कैप या तो a वेक्टर = लैम्ब्डा टाइम्स ऑफ़ द b वेक्टर हम लिख सकते हैं बाबू। बिल्कुल लिख सकते हैं सर। तो यहां पर हम a1i कैप + b1j कैप

30:55 + c1k कैप =λ टाइम्स a2 कैप a2 कैप + b2j कैप + c2k कैप लिख सकते हैं। डेफिनेटली लिख सकते हैं। तो अगर मैं इधर दोनों कोफिशिएंट को बराबर करूं मतलब ये कंपेयर करूं तो यहां से हम लोग क्या लिख सकते हैं? यहां से हम लोग लिख सकते हैं सर a1 = a2 तो लैम्ब्डा की वैल्यू कितनी आ गई? ये आ गई सर a1 / a2 है ना? सेम इसी तरीके से b1 = b2 तो लैम्ब्डा की वैल्यू कितनी आ गई बाबू? b1 / b2 आ गई। सेम ऐसे c1 = लैम्ब्डा c2 तो यहां से लैम्ब्डा की वैल्यू कितनी आई? c1 / c2 आ गई। तो अगर मैं इन्हीं तीनों लैम्ब्डा को बराबर कर दूं तो सर यहां पे हमारे पास देखो कितना आ गया? ्ड = a1/a2 = b1 / b2 =

31:42 c1 / c2 तो आज के बाद आपको यह बात ओरली याद रखना है कि जब भी कभी भी दो वेक्टर हमारे पास दिए जाएं और उन्हें हमें उनका पैरेलल चेक करना हो तो सिंपली आप कोफिशिएंट का रेश्यो आप चेक कर लो। बात खत्म। जैसे फॉर एग्जांपल एक वेक्टर है सर 2i कैप + 3j कैप + 4k कैप है ना? और दूसरा वेक्टर है बाबू अ 4i कैप + μJ कैप + 8k कैप। अब सवाल ये है कि सर अगर a वेक्टर और b वेक्टर दोनों पैरेलल वेक्टर हैं तो आप यहां से वैल्यू ऑफ़ μ बता दीजिए कि आखिरकार क्या होगा? तो ये बस सिंपल सी भाषा में आपको हमेशा ये बात ध्यान रखना है कि अगर दो वेक्टर पैरेलल हैं या कोलिनियर वेक्टर हैं तो दोनों में

32:29 कोफिशिएंट का रेशियो आप बराबर कर दो। यानी कि 2 / 4 = 3 / = 4 / 8 तो ये आप देख सकते हो बाबू 1/2 आ जाएगा। तो कोई सा भी दोनों आप उठा लो 3 / μ = 1 / 2 तो μ की वैल्यू कितनी आ गई सर? सिक्स आ गई। बात समझ आया? हां यार तो आपको बस कोफिशिएंट का रेश्यो क्या करना है सर? बराबर कर देना है। कोफिशिएंट का रेश्यो जैसे ही हम बराबर करेंगे हमें मालूम चल जाएगा। और ये चीज ओरली चेक करना भी बहुत आसान काम है। ठीक है? डन है? बहुत बढ़िया। अब ये जरा इंपॉर्टेंट नोट देखो आप जिस पर मोस्टली हर साल सवाल पूछा जाता है। तो इसको ध्यान में रखिएगा यह नोट। तो एक-एक पॉइंट समझना दो पॉइंट दो पॉइंट जैसे मान लो एक पॉइंट

33:14 है सर a जिसका पोजीशन वेक्टर है a वेक्टर। ये पॉइंट है बाबू b जिसका पोजीशन वेक्टर है b वेक्टर। भैया दो पॉइंट से हम कितना वेक्टर बना सकते हैं? आप बोलोगे सर हम दो पॉइंट से ना एक वेक्टर बना सकते हैं। तो यह एक वेक्टर बोलो चाहे दो पॉइंट बोलो यह हमेशा ही कोलिनियर होता है। इनमें कोलिनियरिटी चेक करने की कोई जरूरत ही नहीं है। अब दूसरी बात जैसे मान लो हमारे पास यहां पर a वेक्टर है। दिस वन इज़ द b वेक्टर। दिस वन इज़ द C वेक्टर। अब हमारे पास तीन पॉइंट है। तो तीन पॉइंट से हम कितने वेक्टर बना सकते हैं बाबू? आप बोलोगे सर तीन पॉइंट से ना हम दो वेक्टर बना सकते हैं। तो आप चाहे यहां पे तीन पॉइंट बोलो। चाहे आप यहां पर दो वेक्टर बोलो यह कोलिनियर हो भी सकते हैं और कोलिनियर नहीं भी हो सकते। बात समझ आई? हां या ना? अब यहां पर यह जो कंडीशन है ना

34:00 कि अगर तीन पॉइंट कोलिनियर हैं तो क्या होता है? बहुत इंपॉर्टेंट कंडीशन है। तो इसको नोट डाउन करेंगे यहां पे। इफ थ्री पॉइंट ABC आर द कोलिनियर। तो यहां पर हम क्या करेंगे बाबू? दो वेक्टर क्रिएट करेंगे यहां से। ठीक है? हम ये बात बोलेंगे कि सर AB वेक्टर एंड AC वेक्टर आर कोलिनियर। बात समझ आई? तो अगर हमारे पास कभी भी तीन पॉइंट दिया जाए तो तीन पॉइंट से आप क्या करो? सबसे पहला काम दो वेक्टर आप क्रिएट करो। AB वेक्टर और AC वेक्टर। आप इनको बोलो कि ये कोलिनियर है। अब अगर ये कोलिनियर है तो यहां से हम क्या करोगे? यहां से या तो आप कोफिशिएंट का रेश्यो आप चेक कर लो दोनों का। चेक कोफिशिएंट रेशियो है ना? या तो AB वेक्टर = लैम्ब्डा टाइम्स

34:45 ऑफ़ द AC वेक्टर। तो दोनों में से कोई भी काम आप कर सकते हो। कोिशिएंट का रेशियो चेक करना आसान काम है। तो हम जनरली उसी को यूज करेंगे। बात समझ आ गया सभी बच्चों को? तो यह वाली कंडीशन बाबू बहुतेंट है। अब आ जाओ जरा सवाल करते हैं। 2025 का सवाल है। है ना? तो यहां पर देखो क्वेश्चन क्या कह रहा है? हमारे पास सर तीन पॉइंट है। 1 2 3 है ना? कह रहा है अगर ये तीनों कोलिनियर है तो सर वैल्यू ऑफ़ द लैम्ब्डा बताना है बाबू। तो यहां पर एक पॉइंट है 20i कैप लैमλj कैप। है ना? यह बोल देते हैं A. दूसरा पॉइंट है बाबू B 5i कैप -j कैप तीसरा पॉइंट है सर c 10i कैप - का 13j कैप ठीक है तो हमारे पास तीन पॉइंट है तो यहां से हम क्या बोलेंगे सर ab वेक्टर एंड ac वेक्टर आर कोलिनियर ठीक

35:33 है ना तो यहां से ab वेक्टर क्या हो जाएगा बाबू b वेक्टर माइनस का a वेक्टर जरा लिखना एक बार b - a तो 5i - 20i तो ये कितना बन जाएगा - का 15i -j - लैम्ब्डा तो ये कितना बन जाएगा? -1 + लैλJ कैप आ जाएगा। है ना? सेम ऐसे ही अगर मैं AC वेक्टर लिखूं तो C - A वेक्टर हो जाएगा। तो 10 में से अगर 20 घटाएंगे तो ये आ जाएगा बाबू - का 10i कैप -13 - लैम्ब्डा तो ये 13 + लैम्ब्डा JJ कैप आ गया। एक बार इसको चेक कर लेना सब सही लिखा है या नहीं लिखा है। ठीक है? बात बराबर है। हां या ना? तो अब ये कह रहा है कोलिनियर है। तो दोनों में कोफिशिएंट का रेश्यो हम क्या करेंगे सर? बराबर कर देते हैं। तो दोनों का a1 /a2 यानी कि -15 / -10 बराबर यहां

36:22 से आ जाएगा बाबू -1 + लैλ / -13 + लैम्ब्डा ठीक है ना? तो ये सब माइनस माइनस तो हर जगह से हट जाएगा। 5 3 5 2 है ना? ये भी माइनस हट जाएगा। तो 13 ये कितना हो गया सर? 39 + 3 लैλ = 2 + 2 लैλ कैलकुलेशन बाबू देख लेना। तो यहां से लैम्ब्डा की वैल्यू हमारे पास कितनी आई? लैम्ब्डा की वैल्यू आ गई सर माइनस का 37 तो -37 शुड बी द राइट आंसर। सभी बच्चों का यही आ रहा है। बहुत बेहतरीन ग्रेट सुपर्ब है ना? तो सभी मेरे बच्चों को अच्छी तरीके से क्लियर है बेटा। बहुत बढ़िया। अब जैसे यही सवाल है। ठीक है ना? अब थोड़ा सा ऐसे सवालों में क्विकली समझने की जरूरत है। कुछ एक बातें अगर समझ जाओ तो ज्यादा बेहतर है। तो अगर

37:07 आप यहां पर ना कोऑर्डिनेट अगर ध्यान से देखो बाबू तो ये कोऑर्डिनेट यहां पे i और j में दिया गया है। तो हम इस सवाल को ना 3D ज्योमेट्री या वेक्टर से ना करके अपन इसको 2D ज्योमेट्री में भी ट्रांसफर कर सकते हैं। बात समझ आया? क्योंकि हर एक कोऑर्डिनेट देखो i और j में है। i और j में। तो इसको अपन 3D में वेक्टर से टैकल ना करके अपन इसको 2D में सीधा-सीधा कोलिनियरिटी के कांसेप्ट से भी हम इसे टैकल कर सकते हैं। कह रहा है कि सर हमारे पास ये तीनों पॉइंट कोलिनियर है तो तीनों पॉइंट अगर कोलिनियर है तो हम कोऑर्डिनेट के टर्म में अगर लिखेंगे बाबू तो ये हो जाएगा सर 20 लैम्ब्डा ये हो जाएगा बाबू 5 -1 और ये हो जाएगा सर 10 -13 यही लिखेंगे। अब सवाल यह है कि सर अगर ABC कोलिनियर है

37:53 तो आप यहां से फाइंड द वैल्यू ऑफ द लैम्ब्डा। तो अब आपको मालूम है कि अगर तीन पॉइंट कोलिनियर होते हैं बाबू तो स्लोप बिटवीन AB और स्लोप बिटवीन BC स्लोप बिटवीन AC बराबर होता है। तो अगर मैं एक बार इसके बीच का स्लोप कर देता हूं। स्लोप बिटवीन AB तो -1 - लैम्ब्डा / 5 -20 यानी कि आ जाएगा -1 बराबर एक बार मैं इसके बीच में स्लोप का कांसेप्ट लगा देता हूं। -13 + दिस वन तो यह हो जाएगा माइनस का 12 और 10 में से 5 घटाएंगे पांच। आप इसको सॉल्व कर लो आंसर वही आएगा। तो एक बार करके ट्राई कर लो इसको। ठीक है? तो 5 ये हो गया बाबू 3 तो -1 - लैम्ब्डा इक्वल टू कितना आएगा ये? 36 तो लैम्ब्डा की वैल्यू कितनी है ये? सब सही लिखा है।

38:40 ये कुछ तो गड़बड़ है। कुछ तो गड़बड़ है। देखो एक बार। -13 +1 ये आ जाएगा माइनस का 12 10 में से 5 घटाएंगे पांच है ना तो ये दोनों साइड से अपन ये माइनस माइनस हटा सकते हैं। थोड़ा माइनस माइनस सिंपलीफाई करो तो गलती नहीं होगी। तो 1 + लैम्ब्डा / ये थ्री हटा दो। ये आ गया सर माइनस का 12 है ना? तो लैम्ब्डा की वैल्यू कितनी आई बाबू? 1 + लैम्ब्डा की वैल्यू आ गई सर - का 36 लैम्ब्डा की वैल्यू आ गई - का 37। तो यहां से भी आप अगर करोगे तो आपका आंसर एकदम सेम ही आएगा। स्लोप के कांसेप्ट से। आई होप सभी मेरे बच्चों को अच्छी तरीके से क्लियर है। बात सभी मेरे बच्चों को अच्छे से क्लियर है? हां या ना? देख लो एक बार फटाफट। डन है। सवाल बना रहे हो बेटा।

39:25 हां कर लो। सवाल बना लो यार। मतलब पढ़ लो थोड़ा सा ध्यान देके। है ना? वही कह रहा हूं। जो बच्चे नए बच्चे हैं थोड़ा सा बेटा अभी से पढ़ाना चालू कर दो। बाकी बातें बाद में कर लेना। नहीं तो ये भी बैकलग बन जाएगा। फालतू में क्यों टाइम खराब कर रहे हो? नेक्स्ट क्वेश्चन देखो। वो कह रहा है सर a वेक्टर एंड b वेक्टर आर सच दैट अगर दोनों वेक्टर पैरेलल है तो सर 3λ + 2 की वैल्यू बतानी है बाबू। चलिए जल्दी से फटाफट कमेंट सेक्शन में फटाफट रिसोंड करिए धुआंधार स्पीड में। तो कह रहा है अगर दोनों वेक्टर पैरेलल वेक्टर है। है ना? तो 3λ + 2 की वैल्यू बतानी है। तो यानी कि अगर दोनों पैरेलल वेक्टर है तो सर कोफिशिएंट का रेश्यो बराबर हो जाएगा। -6 / -4 = 1 / लैम्ब्डा आ गया। तो यहीं से हम कंपेयर कर देते हैं। तो लैम्ब्डा की वैल्यू कितनी आ गई बाबू? 2 / 3 आ गई। तो

40:12 सर हमसे सवाल में 3λ + 2 पूछ रहा है। तो यानी कि हो गया सर 3 लैम्ब्डा की वैल्यू 2 / 3 + 2 तो यानी कि 2 + 2 = 4 शुड बी द करेक्ट आंसर। कौन सा पार्ट आ गया? फोर इज़ द राइट आंसर। ठीक है ना? वही कह रहा हूं। थोड़ी देर बड़ा चसका रहता है। बाद में सबका हालत खराब हो जाता है। बेटा थोड़ा सा ना फोकस्ड हो के पढ़ो। इतना जल्दी अगर जिंदगी में बोर होने लग जाओगे तो कैसे काम बनेगा? समझ रहे हो ना? वही कह रहा हूं। देखो हंसी मजाक एक साइड है। लेकिन थोड़ा सा सवाल बनाने पे ध्यान दो। इधर हर जगह से हट के। ठीक है ना? वही कह रहा हूं। ये सब सेशन साल भर में एक बार होते हैं एक चैप्टर के। बना ले गए ना अगर ईमानदारी से एकदम लिख के दे रहा हूं। 100% गारंटी के साथ पूरा सवाल वेक्टर का। अगर इसके बाहर एक भी आ जाए पढ़ाना छोड़ दूंगा मैं। लेकिन करना पड़ेगा

40:58 उसके लिए। ये नहीं एक आधा सवाल करके हम चिल मार रहे हैं। आपस में फालतू की इधर-उधर बकैती कर रहे हैं। ध्यान कहीं और है। यही यही ध्यान ही ना तुम्हारे टेस्ट में नंबर खराब करता है। समझ रहे हो ना? तो थोड़ा सा ध्यान इधर रख के करो। इतना नहीं कि मतलब एक चीज आने लग गया तो हवा घोड़े पे चढ़ गए तुरंत ही। अभी एक आधा सवाल आएगा फिर भाई हवा का घोड़ा चढ़ा। फिर तुरंत ही नीचे आ जाओगे एक सेकंड में। तो बनाओ उसको थोड़ा फोकस्ड हो के सुनो उसको अच्छे से। ठीक है ना? हवा-हवा मत उड़ाओ बेटा। द वैल्यू ऑफ़ द लैम्ब्डा अगर ये दोनों पैरेलल है। ठीक है ना? वही कह रहा हूं। मतलब तुरंत ओवर कॉन्फिडेंट होना चालू हो जाए 2 सेकंड के अंदर। तो लैम्ब्डा की वैल्यू निकालनी है। फटाफट सॉल्व करो इसे। तो यानी कि हमारे पास ये कितना आ जाएगा बाबू? कोफिशिएंट का रेशियो बराबर आ जाएगा -4 = 1 / लैम्ब्डा है ना? तो यहां से लैम्ब्डा की वैल्यू कितनी आ गई? 2 / 3 तो

41:44 यही सवाल अभी-अभी हमने करा था ना। अभी-अभी यही करा था। अब अब ये क्वेश्चन तुम देख लो। यह सवाल पिछले तीन चार सालों से मैं करवाता आ रहा हूं। और यही सवाल इस बार ऐसा पूछा था। डिफरेंस क्या था? 3λ + 2 था। बस मात्र इतना सा था। ठीक है ना? चलो नेक्स्ट क्वेश्चन आपकी स्क्रीन पर ये रहा। दोनों वेक्टर अगर कोलिनियर है तो क्या होगा? ठीक है बाबू? देखो सीधी सी बात है। मेरे को ना फालतू सिंपैथी देनी आती नहीं है। कोई फालतू स्ट्रेटजी वस्ट्रेटजी कुछ नहीं। मैं मेहनत करवाना जानता हूं। आप मेहनत करोगे होगा। टाइम देना पड़ेगा। कोई यह नहीं है कि रातोंरात हम पैसा डबल बनाने वाली निंजा टेक्निक कोई लेके चलते हैं। ठीक है ना? मेहनत करो हो जाएगा। नहीं करोगे सोचोगे तो बेटा सोचते रह जाओगे। यहीं से उठा लो। यहीं से चालू कर दो। खत्म

42:30 बवाला आज एक चैप्टर निपट जाएगा। सोचते-सचते समझ रहे हो ना? टाइम की कीमत समझो बाबू। ऐसा भी नहीं है कि कोई टाइम पास कर रहा हूं। मैं तुम्हें पढ़ा ही रहा हूं। तो अच्छे से पढ़ लोगे। अभी एक चैप्टर बढ़िया। फर्स्ट क्लास खत्म हो जाएगा 3 घंटे में। तो यहां से कितना आ जाएगा? a1 / b1 = a2 / b2 a3 / b3 यानी कि सर बी पार्ट शुड बी द राइट आंसर। नेक्स्ट क्वेश्चन सॉल्व करो। यह सिमिलर सवाल है अभी जो हमने करा था। ठीक है ना? तो बस उसी कांसेप्ट का यूज़ करके बताओ। अब यही सवाल है। ये पिछले चार सालों से मैं करवाता आ रहा हूं। 2022 से जा के उठा के देख लेना। 2022 अटेम्प्ट जब पढ़ा रखा था। और यही सवाल इस बार देखो घुमा के पूछा है तुमसे। ठीक है ना? तो बस क्या है? डाटा चेंज है। उस इसमें भी टू डी है। उसमें भी टू डी है। ये सवाल पुराना आईटी एडवांस का सवाल है। 1970 दशक का। ठीक है? तो ये उस जमाने में ऐसे ही सवाल आ

43:17 जाते थे। एक आधा आसान-आसान के। तो देखो ऐसे ही घुमा फिरा के पूछा है ना तुमसे। 63 अब अगर मालूम है कि इसको अपन स्लोप से कर सकते हैं। अभी देखो यही सवाल कितना आसान बन जाएगा। इसमें वेक्टर का कांसेप्ट ही नहीं लगा रहे। तो एक बार इसके बीच में स्लोप लगा रहे हैं। एक बार इसके बीच में किसी में किसी के बीच में लगा लो। सवाल का आंसर वही सेम आएगा। -8, -3, -1, 40 में से 60 घटाएंगे बाबू माइनस का ये आ जाएगा 20। स्लोप का कांसेप्ट मैं लगा रहा हूं इसमें। -52 -3 हो जाएगा माइनस का 55 / अल्फा - 60 यही बन गया ना तो 11 ये हो गया पांच तो अल्फा - 60 इक्वल टू कितना आ गया सर 100 तो अल्फा की वैल्यू कितनी आ गई अल्फा की वैल्यू आ गई बाबू ये कुछ गड़बड़ लिखा है इसमें चेक करो एक बार अह

44:04 -8 -3 -1 40 में से 60 घटाएंगे तो ये -20 आएगा ना ये तो - 100 तो अल्फा की वैल्यू कितनी आ गई - का 40 आ गया तो -40 शुड बी द राइट आंसर। ठीक है? बात समझ आ गई? तो आई होप सभी मेरे बच्चों को अब ये पक्का हो गया होगा। नेक्स्ट आते हैं सर कोप्लनर वेक्टर। एसटीपी डिलीट होने के बाद कोप्लनर जो है बेकार हो गया। अब नहीं भी पढ़ोगे तो भी कोई फर्क नहीं है। अगर हमारे पास ये ढेर सारे वेक्टर एक प्लेन में है तो इन्हें हम क्या बोलेंगे सर? कोप्लनर वेक्टर बोलेंगे। ठीक है ना? बस इतना ही जानना है। जब एसटीp हुआ करता था इसके लिए ट्रिपल प्रोडक्ट तो थोड़ी इसकी कीमत थी। अब खत्म हो गया। नेक्स्ट आ जाओ। कोइिशियल वेक्टर। ठीक है ना? अब इसमें कई सारे बच्चे कंफ्यूज होते हैं। जिन वेक्टर का इनिशियल पॉइंट अगर सेम है इनको हम कोइिशियल बोलेंगे बाबू। a b c

44:49 d e है ना ef इन सबका देखो ये इनिशियल पॉइंट सेम है। ठीक है? इन सबका अगर इनिशियल पॉइंट सेम है तो ऐसे वेक्टर को अपन क्या बोलेंगे सर? कोइिशियल वेक्टर हम बोलेंगे। जैसे फॉर एग्जांपल जैसे मान लो यहां पर एक वेक्टर ये है। तो मुझे बताओ क्या ये कोइिशियल वेक्टर है? जल्दी बताना कमेंट सेक्शन में। A वेक्टर दिस वन इज द B वेक्टर। क्या यह दोनों कोइिशियल वेक्टर है? फटाफट इन द कमेंट बॉक्स। A वेक्टर B वेक्टर क्या ये दोनों कोइिशियल वेक्टर है? जल्दी से बताओ। तो यहां पर क्या दोनों का कोइिशियल सेम हो रहा है? नहीं सर। तो ये नहीं है। यहां पर क्या दोनों का इनिशियल पॉइंट सेम है? नहीं। एक का टर्मिनल दूसरे का इनिशियल। यहां पर क्या ये दोनों का इनिशियल पॉइंट

45:35 सेम है? बिल्कुल सही बात है। तो दोनों का दोनों हमारे क्या हो गए? दोनों हमारे कोइिशियल वेक्टर हो गए। बात समझ बात बात समझ आ गई? एक एग्जांपल आपके सामने है। बताना जरा इसमें से कोइिशियल कौन-कौन सा है? ठीक है? इसमें से कोइिशियल वेक्टर कौन-कौन सा है? बाबू ये बात हमें बतानी है। बताओ कौन-कौन सा पेयर कोइिशियल? बड़ा इंपॉर्टेंट है। ये सवाल आ जाता है कई बार को इस पे। अभी कराता हूं 2025 का। अभी देखो तो कोइिशियल वेक्टर कौन-कौन सा हो जाएगा? एक तो देखो यह B का इनिशियल और C का इनिशियल सेम है। यानी B वेक्टर और C वेक्टर भी कोइिशियल है। दूसरा देखो B और A का भी सेम है। है ना? तो B वेक्टर और A वेक्टर भी कोइिशियल हो गया। और देखो A और D भी हो गया। A वेक्टर और D वेक्टर भी

46:20 कोइिशियल हो गया। है ना? और बताओ ये D और C भी हो गया। समझ पा रहे हो? हां या ना? तो ये सारे कोइिशियल ही हैं। D और C हो गया। D और B भी हो गया। मतलब जितना पेयर यहां पे लिख पाओ ये सारे ही कोइिशियल वेक्टर कुल मिला के यहां पे नजर आ रहे हैं। तो होपफुली सभी लोगों को अच्छे से समझ आ गया होगा। है ना कि इनमें से कौन-कौन सा कोइिशियल सारा ही कोइिशियल है। कोई भी दो पेयर उठा लो सारा ही कोइिशियल है। ठीक है बात बराबर? अब आ जाओ एक सीबीटी का बढ़िया से सवाल करो इस पर बेस्ड। सीबीटी पे क्वेश्चन पूछ रखा है। दिस वन। चलिए तो सवाल बनाइए इसको। तो ये सीबीटी 2023 का क्वेश्चन है बाबू। तो इसमें ऑप्शन लिखना भूल गया हूं मैं। कोई बात नहीं। तो ऐसे ही बताओ इनमें से कौन-कौन सा मैच करेगा? तो सबसे पहले ही तुमसे इसमें

47:06 कोइिशियल पूछ रहा है। ठीक है? तो इसमें कोइिशियल कौन-कौन सा है? चेक करो। अब देखो कितना बेसिक सा सवाल है। लेकिन अच्छा क्वेश्चन है ये। 2023 का पीवाईक्यू है। तो a वेक्टर और d वेक्टर कोइिशियल है। और कोई है क्या कोइिशियल? सर और कोई भी नहीं है। तो a और d आ गया बाबू। पहले का दूसरा इक्वल वेक्टर कौन सा होता है? इक्वल वेक्टर का मैग्नीट्यूड और डायरेक्शन दोनों सेम होना चाहिए। ठीक है ना? तो इसका भी डायरेक्शन देखो ये है। इसका भी डायरेक्शन ये है। तो B और D वेक्टर हमारा क्या हो गया? इक्वल हो गया। और कोई इक्वल है क्या इसमें? यहां पे C और A नहीं है बाबू। क्यों नहीं है? क्योंकि दोनों का डायरेक्शन अलग है। तो इक्वल वेक्टर हम किसको बोलेंगे सर? B और D को बोलेंगे। यानी कि इसका हो गया सर हमारे पास थर्ड पार्ट। ठीक है ना? नेक्स्ट जरा देखो। अगला

47:53 कह रहा है को इनिशियल कोलिनियर बट नॉट इक्वल मतलब जो कोलिनियर हो लेकिन इक्वल ना हो तो यहां पर आप इसको देख सकते हो c वेक्टर और a वेक्टर को क्योंकि दोनों की डायरेक्शन सेम नहीं है ये दोनों इधर-उधर है तो यानी कि a और c वेक्टर आ जाएगा इसका ये हो गया सर फोर्थ कोलिनियर वेक्टर कोलिनियर वेक्टर हम अगर एक वेक्टर लैम्ब्डा टाइम ऑफ़ द दूसरा वेक्टर है तो यहां पर ये भी कोलिनियर वेक्टर है और ये दोनों भी कोलिनियर वेक्टर है बाबू तो cdb B तो यानी कि इसका आ गया सर हमारे पास फर्स्ट पार्ट। ठीक है ना? तो ध्यान रखना अच्छा सवाल है। कॉनसेप्चुअल क्वेश्चन है ये। ठीक है? बात समझ आ गई सभी बच्चों को? हां या ना? देख लो एक बार फटाफट। डन है। नेक्स्ट आते हैं सर नेगेटिव ऑफ़ अ वेक्टर। बाबू नेगेटिव ऑफ़ अ वेक्टर क्या है? सेम मैग्नीट्यूड बट रिवर्स डायरेक्शन। जैसे

48:40 मान लो ये हमारे पास a वेक्टर है ना। तो सेम मैग्नीट्यूड लेकिन डायरेक्शन क्या हो? इसी का जस्ट उल्टा हो। तो इस वेक्टर को हम बोलेंगे नेगेटिव ऑफ अ वेक्टर यानी कि सर माइनस का a वेक्टर। अब यहां पर कई सारे बच्चों का सवाल यह होता है कि सर क्या ये दोनों कोलिनियर भी हैं? बिल्कुल सही बात है बाबू। ये दोनों कोलिनियर भी हैं। ठीक है ना? ये दोनों कोलिनियर भी हैं। इसे हम एंटी पैरेलल भी बोल सकते हैं। ठीक है ना? इसे हम नेगेटिव ऑफ अ वेक्टर भी कह सकते हैं। तो तीनों बातें सेम ही है। मतलब बस नाम का फर्क है। ठीक है? बात समझ आ गई सभी को? हां या ना? चलिए बहुत बेहतरीन। ग्रेट। तो एक बहुत ही छोटा सा सवाल। ठीक है? बताना जरा इसमें क्या होगा? वैसे चलो ठीक है। इसको अपन ना आगे चल के हम देखेंगे क्योंकि इसमें थोड़ा

49:26 पैरेलल परपेंडिकुलर का भी कांसेप्ट है। आगे कहीं पे देख लेंगे। ठीक है? तो ये हमारा पूरा था बाबू बेसिक्स ऑफ़ द वेक्टर और टाइप ऑफ द वेक्टर। अब जो हम कवर करेंगे अलजेब्रा ऑफ़ द वेक्टर। मैं आपको पहले ही बता रहा हूं। इनमें सवाल बहुत कम-क पूछे जाते हैं। ये जो अभी हम कर रहे हैं ना डॉट प्रोडक्ट के पहले इनको पढ़ना जरूरी है क्योंकि आसान सा सेगमेंट है और आगे चलके इनका काम आता है वेक्टर 3D में। लेकिन जो मेजर सवाल पूछा जाता है वो मेजर सवाल आता है डॉट और क्रॉस से। ठीक है ना? यहां से एक आधा सवाल घूम फिर के कई बार को आ जाता है। तो अलजेब्रा ऑफ़ द वेक्टर बस सीखते चलना है। दो तरीकों से वेक्टर का एडिशन होता है बाबू। कौन-कौन सा? एक तो ट्रायंगुलर लॉ, दूसरा पैरेललोग्राम लॉ। ठीक है? कभी तुमसे नहीं बोला जाएगा कि ट्रायंगुलर लॉ और पैरेललोग्राम लॉ का डेफिनेशन बताओ कि क्या है? ठीक है? यह

50:11 सवाल तुमसे कभी नहीं पूछा जाएगा। तो सर पढ़ा क्यों रहे हो? क्योंकि आगे कुछ तो कनेक्ट करने के लिए पढ़ाना पड़ेगा। तो यहां पर ये हमारे पास है बाबू a वेक्टर। दिस वन इज़ द b वेक्टर। ठीक है? अब दोनों सेम काम करते हैं कि दो वेक्टर को जोड़ते हैं। तरीका सिंपल है। ट्रायंगुलर लॉ में हम क्या करते हैं बाबू? ट्रायंगुलर लॉ में क्योंकि यह सारे के सारे फ्री वेक्टर हैं। अगर यह फ्री वेक्टर है तो मैं इसको उठा के यहां पर रख सकता हूं। बिल्कुल रख सकते हैं सर। ये b वेक्टर है। b वेक्टर भी हमारा फ्री वेक्टर है। तो मैं इसको उठा के यहां रख सकता हूं। बिल्कुल रख सकते हैं। तो दिस वन इज़ द B वेक्टर। अब बाबू ट्रायंगुलर रूल में ये होता है कि दोनों का जो रिजल्टेंट है ना ये पहले के टेल से दूसरे का हेड मिला देता है। तो यानी कि यही हमारा क्या हो जाता है सर? यही हमारा रिजल्टेंट वेक्टर हो जाता है। r वेक्टर = a वेक्टर +

50:59 b वेक्टर। ठीक है ना? तो यहां पर भी वेक्टर का एडिशन ही हुआ है। अब ये पैरेललोग्राम रूल क्या है? यहां पर भी वेक्टर का एडिशन हो रहा है। दोनों बातें सेम है। ठीक है? अब ये दोनों का यूज़ क्या-क्या है? अभी मैं आगे तुम्हें बता दूंगा थोड़ा सा। तो यहां पर जैसे a वेक्टर है। अब पैरेललोग्राम रूल में देखो क्या है? थोड़ा सा चेंज होता है। इसमें हमने क्या करा था? एक वेक्टर के हेड से दूसरे का टेल मिलाया था। है ना? और पैललोग्राम लॉ में क्या करते हैं बाबू? दोनों का टेल से टेल मिले बातें हो चार। ठीक है ना? यह देखो पूंछ से पूंछ मिला दो भाई इनकी। तो ये हो गया सर हमारे पास a वेक्टर। दिस वन इज़ द B वेक्टर। ठीक है? तो इनका जब एडिशन हम लोग करते हैं सिंपल सा वही कांसेप्ट कि ये फ्री वेक्टर है। बिल्कुल सही बात है सर। अगर ये फ्री वेक्टर है तो इसको उठा के यहां पे रख सकते हैं। हां। अब फ्री वेक्टर

51:44 की खास बात यही होती है। कहीं भी उठा के पटक दो। तो ये हमारे पास ये हो जाएगा b वेक्टर। है ना? अगर यह a वेक्टर है तो यह भी फ्री वेक्टर है क्योंकि हम बात ही फ्री वेक्टर की कर रहे हैं यहां पे पूरे चैप्टर में। तो यह भी हमारे पास a वेक्टर हो गया। है ना? तो अब अगर ध्यान से देखो तो ये ट्रायंगुलर ये ट्रायंगुलर रूल जैसा नजर नहीं आ रहा है कि एक के हेड से दूसरे का टेल मिला दिया। तो घुमा फिरा के कान पकड़ना चाहे ऐसे पकड़ो चाहे ऐसे पकड़ो चाहे ऐसे पकड़ो चाहे ऐसे पकड़ो। ठीक है? दोनों बातें सेम है। तो यानी कि सर यहां से हमारे पास ये रिजल्टेंट वेक्टर क्या हो जाएगा? अगर यहां पर ट्रायंगुलर लॉ लगाएंगे r वेक्टर = a वेक्टर + b वेक्टर आ जाएगा। ठीक है ना? तो भैया सब बातें सेम है। बाय द वे आपसे कभी ये नहीं बोला जाएगा व्हाट इज द डेफिनेशन ऑफ ट्रायंगुलर लॉ राइट डाउन इन द डिटेल। ठीक है? ये कभी नहीं पूछा जाएगा तुमसे। व्हाट इज द पैरेललोग्राम लॉ?

52:30 राइट डाउन इन 500 शब्द। ठीक है? तो ये सब पेपर में आना है नहीं। तो समझ लो समझने में क्या जाता है। 2 मिनट का काम है। ठीक है ना? तो दिस इज़ अ थिंग। दोनों बातें सेम है। अब इनका यूज़ हम पढ़ते क्यों हैं दोनों को? एक्चुअली पढ़ते हैं फिजिक्स के पर्सपेक्टिव से। बात समझ रहे हो? फिजिक्स में क्या होता है? जब हम कई बार कोई इलेक्ट्रिक फील्ड वगैरह बनाते हैं तो एक मान लो इलेक्ट्रिक फील्ड इधर है। दूसरी इलेक्ट्रिक फील्ड इधर है तो रिजल्टेंट अपन ऐसा खींचना पड़ता है। ठीक है? या कोई फोर्स का वेक्टर है। एक इधर है तो दूसरा इधर है तो रिजल्टेंट हम ऐसे बनाते हैं। अब वही कई बार को ये पैरेललोग्राम बनता है। कभी देखा होगा तुम लोगों ने फिजिक्स के मास्टर ने करा होगा ऐसा। अगर यह नीचे ट्रायंगल बन रहा है जो इलेक्ट्रिक फील्ड वगैरह आप लोग पढ़ते हो कि एक ट्रायंगल से इलेक्ट्रिक फील्ड निकालने वाला सवाल तो इधर की इलेक्ट्रिक फील्ड इधर खींचते हो इधर का इधर खींचते हो रिजल्टेंट बीच से खींच देते हैं तो जो रिजल्टेंट बीच से

53:17 खींचते हैं वहां पे पैरेललोग्राम लॉ लगाते हैं और जहां पर रिजल्टेंट ऐसे लगाते हैं यहां पे ट्रायंगुलर लॉ लगाते हैं। तो दोनों वेक्टर लॉ ऑफ़ द एडिशन है। ये डिपेंड करते हैं कि आखिरकार सिचुएशन कैसी है। जैसी सिचुएशन वैसा एडिशन का कांसेप्ट हम लगाते हैं। बात समझ आ रहा है सभी बच्चों को? हां या नहीं? चलिए बहुत बेहतरीन ग्रेट। तो यह सब बस थोड़ा-मोड़ा समझ लो। बात ख़ है। ज़्यादा इसमें पीएचडी करनी नहीं है। अब यह जो इंपॉर्टेंट नोट आपको सिखा रहा हूं बाबू यहां से मेजर सवाल आएंगे। तो यहां से जैसे मान लो ये हमारे पास a वेक्टर है। है ना? दिस वन इज़ द B वेक्टर। दिस वन इज़ द C वेक्टर। तो बाबू किसी भी क्लोज्ड ट्रायंगल में अगर हम AB वेक्टर + BC + CA वेक्टर लिखते हैं। AB वेक्टर + BC वेक्टर + CA वेक्टर। ये हमेशा नल वेक्टर के बराबर होता है। ये हमेशा जीरो होता है।

54:02 और उसके पीछे का रीजन बहुत सिंपल है। ab को अपन लिख सकते हैं b - a bc को लिख सकते हैं c - b ca को लिख सकते हैं a - c ये भैया सब कट कटा के देख सकते हो सब ज़ीरो बन जाएगा। ठीक है ना? तो किसी भी ट्रायंगल में ab + bc + ca = 0 होता है। दूसरा इंपॉर्टेंट नोट अगर यह हमारे पास एक सुंदर सुशील सा पैरेललोग्राम है। अगर ये a वेक्टर है। दिस वन इज द b वेक्टर। तो बाबू इसमें जो ये लंबी वाली डायगोनल है बड़ी वाली डायगोनल ये होती है सर a वेक्टर + b वेक्टर और ये जो छोटी वाली डायगोनल है ये होता है सर a वेक्टर माइनस का b वेक्टर। ठीक है ना? तो इसको आज के बाद ध्यान रखना। ये काफी इंपॉर्टेंट है। तीसरा नोट ये है कि अगर हमें कभी डायगोनल दिया जाए। मान लो ये हमें दिया है सर d1 वेक्टर और ये दिया

54:48 है सर d2 वेक्टर। ठीक है? अब उल्टा अगर हमें बताना हो कि सर आखिरकार ये a वेक्टर और b वेक्टर क्या होता है? ठीक है? तो इसको लिखने का तरीका बहुत सिंपल है। इसमें जो ये बड़ी वाली साइड होगी इसको अपन लिखेंगे सर d1 + d2 / 2 ठीक है? दोनों डायगोनल को जोड़ के डिवाइडेड बाय 2 और ये जो छोटी वाली साइड होगी इसको अपन लिखेंगे बाबू d1 - d2 / 2 और इसके पीछे का रीजन बहुत सिंपल है। अगर इक्वेशन बनाओगे तो समझ आ जाएगा। तो जैसे यहां पर अगर हम इक्वेशन बनाएंगे तो यहां से d1 वेक्टर अपन क्या लिखेंगे? a वेक्टर + b वेक्टर है ना? अगर यह a है यह b है तो d1 हो गया a + b तो d2 वेक्टर कितना आ जाएगा बाबू? a वेक्टर माइनस का b वेक्टर आ जाएगा। दोनों दोनों को अगर हम जोड़ेंगे तो यह हो गया d1 + d2 =

55:34 2a वेक्टर तो a वेक्टर हमारे पास कितना हो गया? d1 + d2 / 2 आ गया। ठीक है ना? तो अगर हमें कभी उल्टा लिखना है तो उल्टा हम इस तरीके से लिख सकते हैं। अब अगर एक बार इन्हीं दोनों को आप सब्ट्रैक्ट कर दो। ठीक है? इन्हीं दोनों को अगर आप एक बार सब्ट्रैक्ट कर दो तो ये हो जाएगा देखो d1 - d2 इक्वल टू तो यहां पर a कैंसिल हो जाएगा बाबू। तो ये हो जाएगा 2b वेक्टर। तो यहां से b कितना हो गया? d1 - d2 / 2 आ गया। बात बराबर है? हां या ना? तो, यह इंपॉर्टेंट पॉइंट है कि अगर हमारे पास कोई भी पैरेललोग्राम है, डायगोनल दिए जाए तो साइड अगर लिखना है, दोनों का समेशन डिवाइडेड बाय टू बड़ा वाला। दोनों का सब्ट्रैक्शन डिवाइडेड बाय टू छोटा वाला। और अगर ये दोनों साइड a और b हैं। बड़ी डायगोनल a + b छोटी डायगोनल a - b सिंबल।

56:20 ठीक है? बात समझ आ गया सभी बच्चों को? हां या चलिए तो नेक्स्ट आते हैं बाबू। सबट्रैक्शन ऑफ़ द टू वेक्टर। ये बेकार चीज है। a वेक्टर - b वेक्टर अगर हमें लिखना है तो इसे हम a में से - b को हम जोड़ देते हैं सिंपली। ठीक है? तो ये आपके परस्पेक्टिव से बिल्कुल बेकार बात है। चलिए नेक्स्ट एक बार को हम सवाल देखते हैं फटाफट। ये सीबीटी का क्वेश्चन है। तो जल्दी से एक बार फटाफट सारे मेरे बच्चे सॉल्व करेंगे। जल्दी से करिए। ठीक है? अच्छा क्वेश्चन है। इसका जो ऑप्शन है शायद ऑप्शन इसमें नहीं है। है ना? ए बी सी, डी ई। तो ये स्टेटमेंट बेस्ड सवाल है कि कौन-कौन सा ट्रू होगा वो देखने आए। तो यहां पर देखो एक बार। तो यह क्या लिखा है बाबू? ab वेक्टर + bc वेक्टर है ना? ab वेक्टर + bc वेक्टर इक्वल टू कितना

57:05 आ जाएगा बाबू? ये आ जाएगा सर ac वेक्टर। तो सबसे पहली बात तो ab वेक्टर + bc वेक्टर - ac वेक्टर = 0 आ जाएगा। तो देखो ये कहीं पर लिखा है क्या? ab + bc - ac है ना? अब आप लोग जानते हो बाबू कि ab वेक्टर को अपन - टाइम्स ऑफ ba वेक्टर भी लिख सकते हैं। तो अब यहीं से ना एक-एक ऑप्शन चेक करना पड़ेगा। तो अगर मैं ऑप्शन a चेक करता हूं तो ab + bc है ना - ac को अपन ca वेक्टर = 0 लिख सकते हैं। बिल्कुल लिख सकते हैं सर। क्योंकि माइनस ये हो जाएगा ca वेक्टर। यानी कि a पार्ट तो हमारा करेक्ट आ गया। दूसरा जरा चेक करो। ab + bc - ac = 0 तो दूसरा तो यही लिखा है। दूसरा भी करेक्ट हो गया। C जरा चेक करो। AB + BC - CA = 0 तो C तो गलत

57:54 है। D जरा चेक करो। AB - CB और + CA तो यहां से जो D पार्ट है बाबू AB मैं BC को - CB लिख सकता हूं। बिल्कुल लिख सकते हैं सर। + CA वेक्टर = 0 तो ये आप देख सकते हो - CB वेक्टर = BC वेक्टर। यानी कि D भी हमारा करेक्ट हो गया। लास्ट वाला जरा चेक करो। यह - AB - CB तो - CA तो नहीं बनेगा ये। है ना? तो यानी कि करेक्ट आंसर इज़ द व्हाट? A B डी ओनली शुड बी द करेक्ट आंसर। कौन सा पार्ट? A B D यही बन रहा है ना? ई पार्ट एक बार देख लो। AB - CB - का CA

58:42 तो AB - CB ये - CA नहीं है बाबू ये। ये - AC होना चाहिए। तो फिर ये हमारा डी पार्ट जो है गलत हो गया। यानी कि ए बी डी ओनली शुड बी द करेक्ट आंसर। ठीक है? बात समझ आ गया? हां या ना? ई पार्ट एक बार चेक कर लो। कई सारे बच्चे ई पार्ट को भी कह रहे हैं बाबू यहां पर ये माइनस ये लिखा हुआ है। ठीक है ना? माइनस का CA वेक्टर लिखा हुआ है। लेकिन यहां पर अगर हम - CB करते हैं तो ये + CA वेक्टर बनना चाहिए। तो यानी कि E हमारा सही नहीं होगा। तो यानी करेक्ट आंसर इज़ द व्हाट? A B डी ओनली इज़ द राइट आंसर। ठीक है? डन है? तो बढ़िया क्वेश्चन है ये। ये ध्यान रखना ऐसे छोटे-मोटे बेसिक-बेसिक सवाल आ जाते हैं बेटा पेपर में। चलिए नेक्स्ट अब आगे मूव ऑन करते हैं बाबू। कंपोनेंट फॉर्म ऑफ द वेक्टर। ठीक है ना? अब ये सब जानते रहो। अ एक फ्लो के

59:29 कारण कि किसके बाद क्या पढ़ते हैं? किसके बाद क्या पढ़ते हैं। अदरवाइज़ दिमाग में बसता नहीं है चीज। है ना भैया? ये हमारे पास X Y Z एक्सिस है। X Y Z इन तीनों का जो ये इंटरसेक्शन है, दिस इज़ द ओरिजिन। ठीक है ना? i वेक्टर क्या होता है बाबू? x एक्सिस की डायरेक्शन में यूनिट वेक्टर होता है i वेक्टर। y एक्सिस की डायरेक्शन में यूनिट वेक्टर होता है सर j वेक्टर। z एक्सिस की डायरेक्शन में यूनिट वेक्टर क्या होता है सर? k वेक्टर। तो i वेक्टर j वेक्टर k वेक्टर। बात समझ आया? ध्यान रखना। यूनिट वेक्टर होता है। यूनिट वेक्टर आवाज कम जा रही है। बेटा ये सब बातें पहले ही बतानी चाहिए। अगर ऐसा कुछ है तो। सही है यार। आई थिंक। ठीक है ना? हां सही है ना?

1:00:19 चलिए तो यहां से i वेक्टर j वेक्टर यूनिट वेक्टर होंगे बाबू अलोंग द x y z एक्सिस रेस्पेक्टिवली। ठीक है ना? ध्यान रखना इसको। तो यानी कि अगर मैं इनका मैग्नीट्यूड अगर कहीं पर लिखा जाए mi = mj = m k कैप = हमेशा वन होगा। तो ये बात ध्यान रखना। ठीक है? मॉड i मॉड मॉड k = 1 तो ये बताना जरा बहुत ही बेसिक सा सवाल है। फटाफट बस आंसर बताओ। ठीक है? लास्ट में AC = - CA होगा। बेटा एक बार अच्छे से देख लो। ठीक है ना? एक बार देख लो अच्छे से। इनमें से कौन सा स्टेटमेंट ट्रू है? तो बताओ इनमें से कौन सा स्टेटमेंट ट्रू? कह रहा है ij के आर द यूनिट वेटर अलोंग ओx y z रेस्पेक्टिवली।

1:01:05 बिल्कुल सही है। ij के मैग्नीट्यूड ऑफ़ ये सबका वन होता है। तो बोथ A एंड B शुड बी द राइट आंसर। है ना? चलिए प्रॉपर्टीज ऑफ़ द वेक्टर एडिशन देखते हैं। ये सब बेटा आपको स्टेटमेंट बेस सवालों में लिखा मिल सकता है। वेक्टर एडिशन कम्यूटेटिव होता है। एसोसिएटिव लॉ वेक्टर एडिशन फॉलो करता है। एडिटिव आइडेंटिटी यानी कि किसी भी वेक्टर में क्या जोड़े कि सेम वेक्टर आ जाए? ठीक है ना? तो किसी भी वेक्टर में अगर हम नल वेक्टर जोड़ेंगे तो हमारे पास सर सेम वेक्टर आ जाएगा। एडिटिव इनवर्स किसी भी वेक्टर में ऐसा क्या जोड़े कि जीरो आ जाए? तो a वेक्टर में अगर -a जोड़ेंगे तो सर हमारे पास नल वेक्टर आ जाएगा। ठीक है? बात समझ आ गई? तो दिस इज़ द प्रॉपर्टीज ऑफ़ द वेक्टर एडिशन। जानते रहो किसी स्टेटमेंट में लिखा मिल सकता है इनमें सही है, सही है या गलत है। नेक्स्ट है बाबू प्रॉपर्टीज ऑफ़ स्केलर मल्टीप्लिकेशन। प्रॉपर्टीज ऑफ़

1:01:50 स्केलर मल्टीप्लिकेशन बाय अ वेक्टर। ठीक है ना? ये वेक्टर है कि किसी भी वेक्टर में अगर हम स्केलर किसी भी स्केलर से मल्टीप्लाई करते हैं तो क्या-क्या होता है? सबसे पहली बात अगर यहां पर k स्केलर है a + b में मल्टीप्लाई करेंगे तो यह सब जानते हो बस इसमें थोड़ा सा अगर कहीं लिखा मिले तो पहचान लो कि ये दोनों में अलग-अलग मल्टीप्लाई हो जाएगा यहां पर ये k और m दोनों स्केलर है बाबू ठीक है ना तो k एंड m ये बोथ आर स्केलर तो ये एक बार k में मल्टीप्लाई हो जाएगा एक बार ma में हो जाएगा चाहे दोनों को एक साथ में कर दो कोई फर्क नहीं पड़ता अब अगर यहां पर देखो अह यह k * ma लिखा है तो हालात वही है कि जैसे 3 * 2a लिखा जाए कहीं पे तो इसको लिख लो 2 * 3a इसी को लिख

1:02:36 लो 6a तो सब बात सेम है। ठीक है ना? जैसे यहां पर अगर लिखा हो 2 + 3a वेक्टर तो यही लिख लो 2a वेक्टर + 3a वेक्टर है ना तो बात सेम है। ऐसा-सा करके जैसे यहां पर ये लिखा हो अगर 5 टाइम a + b वेक्टर तो ये हो जाएगा 5a + 5b वेक्टर। ये सब तुम लोग जानते हो। तो इसमें कोई बड़ी बात नहीं है। मल्टीप्लिकेटिव आइडेंटिटी अगर किसी भी वेक्टर में हम किससे मल्टीप्लाई करें तो सेम वेक्टर आ जाए। वन से मल्टीप्लाई करेंगे तो हमारे पास सेम वेक्टर आ जाएगा। ठीक है? डन है? चलिए तो इस पर बेस्ड एक बहुत ही बेसिक सा सवाल देख लो। इनमें से कह रहा है कि कौन सा ट्रू है? तो बस ऐसे ही देख लो। ये भी ट्रू, ये भी ट्रू, ये भी ट्रू। तो ऑल ऑफ़ दीज़ इज़ द राइट आंसर। ठीक है? घर पे जाके पढ़ लेना वही लास्ट से। चलिए तो ये कह रहा है इनमें से कौन सा करेक्ट है। है ना? a1i कैप a2j कैप a3k

1:03:24 कैप b वेक्टर है b1i कैप b2j कैप b3k कैप इनमें से कौन सा करेक्ट है बताओ पहला कह रहा है सम ऑफ द वेक्टर a1 + a2 कैप b1 [हंसी] ये भाई तमाशा हो गया यहां पे a1 + a2 कैप b1 b2 j कैप a ये जो है सही लिखा है क्या a1 + b1 a1 + a2 लिखा है इसमें देखो ये गलत लिखा है पहला वाला ठीक है ना हां और दूसरा कह रहा है सबट्रैक्शन ऑफ द वेक्टर तो a1 - b1 a2 a2 - b2 a3 - b3 तो ये दूसरा वाला करेक्ट है। ठीक है? दूसरा वाला करेक्ट है क्या? a - b वेक्टर ना a1 - b1 a2 - b2 a3 - b3 इनमें से कौन सा करेक्ट कह रहा है? तो दूसरा तो करेक्ट लिखा हुआ है। दूसरा करेक्ट नहीं लिखा है।

1:04:13 देखो a - b इसके नीचे चला गया। थोड़ा सा मतलब लगाना पड़ेगा ना अपना। देखो a1 - b1 यह बाबू जो लिखा है ना इस पे ध्यान दो। तुम अपनी मर्जी से ध्यान मत दो। यह वेक्टर जो लिखा है इसके हिसाब से लिखना है तुम्हें। ठीक है ना? हां। इसके हिसाब से लिखना जो ऊपर लिखा हुआ है। ऊपर तो ध्यान ही नहीं दे रहे हो। सीधा तुम्हारा ध्यान ऑप्शन में दिख रहा है। तुम सीधा a1 - a2, b1 - b2 c1 - c2 करने की आदत ही हो। और इसने इस सवाल में यहां पर ये वेक्टर ही बदल दिए। [हंसी] ठीक है? इसने इस सवाल में वेक्टर नहीं बदल दिया। देखो ध्यान से। प्रो मैक्स है बाबू। A1 वेक्टर का सबट्रक्शन नहीं पहचान पा रहे हो।

1:04:59 हैं? वेक्टर का सब्ट्रैक्शन नहीं पहचान पा रहे हो। b सही है। देखो दोस्तों ध्यान से। तुम वेक्टर पे ध्यान ही नहीं दे रहे हो। तुम बस यहां पे a1 - a2 चेक कर रहे हो। ये a1 - a2 तब होता है जब दोनों वेक्टर उस हिसाब से लिखे हो ना। यहां पे तुम ये वेक्टर पे तो ध्यान दो। यह एक a वेक्टर इज द दिस वन, b वेक्टर इज द दिस वन। ठीक है? तो दोनों को अगर घटाओगे तो क्या बनेगा? तो a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3 यही तो बनेगा। [हंसी] होता है। होता है। कोई बात नहीं। ठीक है डन है। बहुत बेहतरीन। ग्रेट बापू। नेक्स्ट आते हैं सर। डिस्टेंस फार्मूला। ठीक है। हां। [हंसी] ये कई बार ऐसे चकमा दे जाते हैं बेटा। तो यहां पर जैसे मान लो हमारे पास A है। दिस वन इज़ द B है ना? A का पोजीशन वेक्टर है

1:05:44 बाबू A वेक्टर। B का पोजीशन वेक्टर है सर B वेक्टर। तो डिस्टेंस बिटवीन AB यह क्या होता है बाबू? यह होता है सर मॉड AB वेक्टर। तो डिस्टेंस क्या हो जाएगा? m B - A वेक्टर। बात समझ आया? तो दो पॉइंट के बीच का डिस्टेंस अगर कभी भी लिखना है तो आप सिंपली क्या लिख सकते हो सर? मॉड B - A वेक्टर हम लिख सकते हैं। बात समझ आ गई? हां आया? अब यहां पर देखो कह रहा है कि अगर a वेक्टर का कोऑर्डिनेट x1i कैप y1j कैप z1k कैप है और b वेक्टर का कोऑर्डिनेट अगर x2i कैप + y2j कैप z2k कैप है तो ऑब्वियस सी बात है बाबू अगर मैं यहां से ab वेक्टर लिखूंगा है ना तो यहां से ab वेक्टर हमारा क्या हो जाएगा सर? और b वेक्टर - का a वेक्टर तो b - a यानी x2 - x1i कैप x2 - x1 i कैप + y2

1:06:32 - y1j कैप + z2 - z1 k कैप तो यहां से मॉड ab डिस्टेंस क्या होता है सर? तो डिस्टेंस होता है मॉड ab तो म ab क्या हो जाएगा? i के कोफिशिएंट का स्क्वायर x2 - x1 का होल स्क्वायर + j के कोफिशिएंट का स्क्वायर + k के कोफिशिएंट का स्क्वायर तो दो पॉइंट के बीच का डिस्टेंस हमारा क्या होता है सर? दिस वन है ना? तो 3D में अपन इसको पढ़ेंगे। वेक्टर में बस इतना सा ध्यान रखो। मॉड B - A वेक्टर होता है। अब ये सीबीटी में देखो सवाल पूछ रखा है 2025 में। कह रहा है लेंथ ऑफ़ लाइन सेगमेंट जॉइनिंग द पॉइंट विद दिस वन। है ना? तो कुल मिला के डिस्टेंस फार्मूला लगाना है बाबू। तो यहां से d = वेक्टर के फॉर्म से हटा के काटीज़ियन में कर लो। 5 में से 2 घटाएंगे 3² 9 2 में से 2 घटाएंगे 0 3 में से 3

1:07:18 घटाएंगे 0 तो d कितना आ गया बाबू? थ्री आ गया। ठीक है ना? तो वेक्टर टू काटीज़ियन काटीज़ियन टू वेक्टर दोनों बातें सेम है। ठीक है ना? कैसे भी करके लगा लो बात खत्म। यह जरा देखो। एक सवाल बहुत ही बेसिक सा दे रखा है। देखो फटाफट पढ़ो। कह रहा है सर P1 और P2 दो वेक्टर हमारे पास दिए गए हैं। तो इनमें से कौन सा पार्ट करेक्ट है? तो बाबू P1 और P2 वेक्टर को अपन क्या कह सकते हैं? O P2 - O P1 कह सकते हैं। है ना? क्योंकि P1 वेक्टर P2 वेक्टर तो इसको अपन क्या लिखेंगे सर? P2 - P1 अब P2 वेक्टर को अपन क्या लिख सकते हैं? OP2 - O P1 है ना कि ओरिजिन से आप मिला दो। ये तो पोजीशन वेक्टर का बहुत ही बेसिक सी चीज़ है। नहीं सोच पा रहे हो? अभी सोच लोगे। टेंशन मत लो। दिस वन इज द x y z एक्सिस है ना?

1:08:05 तो कह रहा है कि अगर यहां पर हमारे पास एक वेक्टर है p1 और दूसरा वेक्टर कह रहा है बाबू ये है p2। ठीक है? ये है p1 ये है P2 तो यहां से P1 P2 क्या हो जाएगा? ये हो जाएगा P2 - P1 है ना? तो P1 वेक्टर को हम क्या लिख सकते हैं? इसे ही हम OP1 कह सकते हैं। P2 को क्या लिख सकते हैं? OP2 वेक्टर लिख सकते हैं। तो यहां पे ये हो गया P2 ये हो गया P1 तो ये हो गया सर P2P1 और P2P1 को ही हम क्या लिख सकते हैं? OP2 - OP1 देख रहे हो कितना बेसिक सी बात है। दूसरा P1 P2 का मैग्नीट्यूड क्या हो जाएगा सर? मोड यही अभी जस्ट पीछे पड़ा है। तीसरा P1 P2 हम ऐसा लिख सकते हैं। यानी कि ऑल ऑफ़ द अबव इज़ द करेक्ट आंसर। यानी कि डी पार्ट शुड बी द राइट आंसर। ठीक है डन?

1:08:50 ये बेकार सवाल है। इसको छोड़ दो। ठीक है? नेक्स्ट क्वेश्चन पे आ जाओ। सेक्शन फार्मूला। सेक्शन फार्मूला बाबू जानते रहना। कई बार कोई इस पर सवाल आ जाता है। सीबीटी में वैसे काफी रेयर सवाल आता है। यहां पर अगर हमारे पास A वेक्टर है। है ना? दिस वन इज़ द B वेक्टर। तो अगर हमारे पास कोई भी C वेक्टर है जो इनको MN रेश्यो में डिवाइड करता है। तो सर यहां से C वेक्टर को अपन लिख सकते हैं MB वेक्टर + NA वेक्टर / M + N वेक्टर। ठीक है ना? बात समझ आई? बहुत बेहतरीन। दूसरा जरा देखो एक्सटर्नल डिवीज़। अगर A हमारे पास दिस वन, B बाबू हमारे पास यह रहा और C जो है एक्सटर्नली अगर इसे डिवाइड कर रहा है। यहां पर रेश्यो का विशेष ध्यान रखना। रेश्यो यहां पर जो M है ना वो ये होता है और N ये छोटा वाला रेश्यो होता है। ठीक है

1:09:37 ना? तो ऐसे केसेस में ये जो C वेक्टर हम लिखते हैं वो C वेक्टर हो जाता है सर MB

…

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