GEOMETRÍA - Congruencia de triángulos [CICLO FREE]

0:00 Chicos, nada nos va a detener. Seguimos nosotros transmitiendo aquí desde el grupo ciencia. Okay. Muy bien. Entonces, vamos a ver. Estábamos explicando la congruencia de los triángulos y en este caso podemos observar los triángulos ABC y PQR que son congruentes, puesto que los tres lados del primero del triángulo ABC congruentes a los tres lados del segundo, el triángulo PQR. Esto se simboliza de esta manera y se lee triángulo ABC congruente al triángulo PQR. ¿De acuerdo? ¿Qué nos permite la congruencia de triángulos? Si se lo digo de una manera simple y de una manera eh fácil de entender, la congruencia nos

0:46 permite, entre comillas, trasladar un segmento o un ángulo que está en una posición a otra posición que nos va a beneficiar. ¿Okay? Es una forma poco ortodoxa de decirlo, pero eso es básicamente lo que vamos a usar. ¿De acuerdo? Ahora bien, importante es indicar también de que cuando ustedes detecten, reconozcan, descubran un par de triángulos congruentes, siempre se cumple algo interesante, que a lados congruentes se le oponen ángulos congruentes y recíprocamente a ángulos congruentes se le oponen lados congruentes. Esto lo voy a señalar de esta manera. ¿Estamos de acuerdo? Si al lado BC que es congruente al lado QR se le opone un

1:33 ángulo que mide alfa. En el otro triángulo al lado QR se le opone también un ángulo que debe de medir alfa. ¿Me dejo entender? Y eso ocurre para los otros pares de lados y ángulos opuestos. Ya no se olviden de aplicar eso cuando descubran, reconozcan un par de triángulos congruentes. Y justo hablando del par de triángulos congruentes, ¿cómo lo podemos reconocer? ¿Cómo podemos hacer? ¿Cómo podemos saber que dos triángulos son congruentes? Justo la respuesta está aquí. Mediante los casos de congruencia de triángulos. ¿Para qué nos sirve los casos de congruencia? Nos van a permitir reconocer cuando dos triángulos son congruentes. Obviamente que en los problemas los triángulos no van a estar indicándote yo soy

2:19 congruente al otro, no, sino van a estar escondidos. Entonces, nosotros tenemos que tener mucha visión, conocer la teoría y saber y reconocer, ya tú eres congruente a este otro triángulo. Okay, eso es lo que tenemos que hacer y eso es lo que nos va a permitir los casos de congruencia. Y empezamos con el primer caso que es el postulado LAL. Recuerden que un postulado es una proposición geométrica que por su evidencia no necesita demostración. es el postulado entonces LANAL, el caso, el primer caso que es el que más se usa en la resolución de problemas de este tema. Tenemos entonces el triángulo ABC y el triángulo PQR nuevamente,

3:06 ¿okay? Que poseen las siguientes características. Observen, observen, observen. este lado congruente a este otro lado. AB congruente con PQ, el lado BC congruente al lado QR. Pero también es necesario que los ángulos que forman esos parejas de lados congruentes también sean congruentes, chicos. ¿Okay? Por eso se dice el postulado lal. son las siglas, las iniciales de lado, ángulo, lado. Cuando ustedes observen estas características en un par de triángulos, van a poder afirmar categóricamente que los triángulos son con entes. Y vamos a indicar de esta manera. Y luego, ¿qué

3:53 hago después de eso? Ah, no se olviden lo que había indicado acá importante. ¿Qué se tiene que hacer? Que a lados congruentes se le ponen ángulos. Claro, inmediatamente dicen, a ver, si a B se le opone un ángulo que mide 60º en el otro triángulo, a este lado que mide B, también se le tiene que oponer 60 y así sucesivamente. Si a Tet se le opone un lado que mide 10 met, por ejemplo, en el otro triángulo, a teta también se le tiene que oponer el lado PR, que también debe medir 10 m, porque a ángulos congruentes se lo ponen lados congruentes. ¿Estamos de acuerdo? No se olviden de hacer eso, chicos. Ah, es importantísimo, aunque parezca muy sencillo, tienen que aplicarlo de todas

4:40 maneras, ¿de acuerdo? Vamos a ver una aplicación para poder reforzar y familiarizarnos más con este postulado LAL. Sobre los lados AB y BC de un triángulo escaleno ABC se construyen exteriormente los triángulos equiláteros. Son triángulos equiláteros AB y BQC. Nos piden calcular la medida del mayor ángulo que forman las líneas AQ y CP. ¿Estamos de acuerdo? Importante, chicos, cuando ustedes vean un enunciado, siempre tienen que leer todo el texto para poder imaginarse la figura cómo es y poder hacer y construir la la figura tal o o que se asemeje a las características y proporciones que exige el problema. Aquí

5:26 tenemos entonces la figura, chicos. Okay, ya la he construido. Tenemos el triángulo ABC, los triángulos equiláteros, que según indica el problema se han construido en forma exterior. Exteriormente, acá lo dice, ¿okay? Así que el triángulo equilátero ABP es el primero que aparece aquí en pantalla a la izquierda y el segundo es el triángulo equilátero BQC que aparece acá a la derecha. nos piden la medida del mayor ángulo que forman AQ y CP, ¿no? Las líneas que están de color azul representan esas dos líneas que al interceptarse determinan este ángulo cuya medida nos están pidiendo calcular.

6:13 ¿De acuerdo? Bien, resolución del problema. ¿Cómo ataco el problema? Observen que eh por el hecho, chicos, de que la congruencia mucho depende de lados y ángulos, tenemos que pensar en buscar pareja de lados congruentes. Tenemos que pensar en buscar pareja de ángulos congruentes. Por eso nosotros comenzamos a urgar acá en la figura y decimos allá, el triángulo ABP es equilátero. Quiere decir que sus tres lados miden igual. Eso es lo primero que tenemos que colocar. Y sus ángulos, ¿cuánto miden también? 60º, profesor. Perfecto. Colocamos 60. Esto es lo que hacemos en el triángulo ABP, el primer triángulo equilátero. En el otro triángulo hacemos

6:59 lo mismo. Ahí está. ¿De acuerdo? Uno nunca sabe qué elemento nos va a servir para resolver el problema en cuestión. Colocamos entonces al lado del triángulo equilátero BQC el valor de B. ¿Okay? Muy bien. Y ahora observamos nuestra obra y nos percatamos, chicos, con una con una visión muy aguda. Nos percatamos de que este triángulo, voy a resaltar su región interna, ahí está el triángulo PBC. Llama mucho mi atención porque tiene un lado que mide A, un lado que mide B. y este ángulo que forman A y B. Vamos a asumir que este angulito que falta mida alfa. Y

7:47 ahora sí, esto me permite visualizar la medida de este ángulo PVC 60 más alto. Okay. Ese triángulo PVC llama mi atención, pero también llama mi atención otro triángulo que tiene lo mismo, chicos, que el triángulo PBC. ¿Quién sería? A ver. A ver, ¿quién sería ahí en el chat? ¿Ustedes me pueden manifestar? Ah, nadie chicos. Okay, muy bien. Vamos a ver el triángulo. ¿Cuál sería? El ABQ.

8:33 Efectivamente, el triángulo ABQ, jovencitos, también tiene A, tiene B y un ángulo ABQ, 60 + alfa. ¿Estamos de acuerdo? Por lo tanto, puedo asegurar que los dos triángulos son congruentes. ¿Por qué? Apoyado en el caso lado ángulo lado. ¿Estamos de acuerdo? es el postulado lado ángulo la Muy bien. Ya reconocí que estos dos triángulos son congruentes porque se da el postulado lar. Y ahora, ¿qué me toca hacer seguidamente? ¿Qué hago, profesor? Ajá. Esto, chicos,

9:19 aplicas qué cosa? Que a lados congruentes, ¿qué se le ponen? ángulos congruentes o que ángulos congruentes se lo ponen lados congruentes. Claro, por lo pronto puedes asegurar que PC es de igual longitud que AQ porque se oponen a 60 más altos. ¿Lo ves? En el triángulo PBC, si a este ángulo le doy un valor tal como teta, mira que se opone a el lado que mide A, en el otro triángulo ABQ también tiene que haber un ángulo que mide teta, porque todo lo que tiene uno lo tiene el otro. ¿Dónde estará tetita? Acá, muchachos, en el Q, porque se opone al lado que mide A. ¿Estamos de acuerdo,

10:04 chicos? Muy bien. Entonces vamos a indicar ese hecho que hemos señalado. La medida del ángulo PCB, ahí está, es igual a la medida del ángulo BQA e igual a T. Okay, muy bien, estamos a estas instancias del problema y finalmente para poder concluir el problema ya, chicos, o este pequeño ejercicio, voy a sombrear la parte interna de esta figura, más conocida como la corbatita, ¿verdad? Recordemos a ver la propiedad, el teorema de la corbatita. Recordemos el teorema de la corbatita.

10:52 Ahí está. Son teoremas simpáticos, pero que en su momento nos ayudan para poder obtener el resultado con mayor comodidad. Esta es la incógnita. Ahí está. Pueden verlo ustedes. Según el teorema de la corbatita, la suma de estos dos ángulos debe ser igual a la suma de estos dos. ¿Me dejo entender? Entonces, la gran pregunta que hago es, ¿cuánto tiene que ser este ángulo para que sumado con teta me dé 60 + teta? definitivamente 60. Okay, muy bien, muchachos. 60. Ese valor lo colocamos en la figura principal. Y finalmente, chicos, planteamos una sencilla ecuación

11:37 y de ahí obtenemos el resultado. X, ¿cuánto vale? 120º. Esta es la respuesta del problema. Okay. ¿Qué tal? Hasta ahí todo bien. ¿Alguna pregunta? ¿Algún comentario que quieran hacer ustedes? A ver, ¿alguna consulta? ¿Alguna pregunta? Ahí está. Después de esto paso por allá. Paso n más. Ya ya. Okay. Tengo que asegurar, acostumbrar poco a poco esto. Ya, ahí está.

12:39 Ya puedo empezar, ¿no? Perfecto, perfecto. Y vamos a ver, pues, chicos, a continuación el segundo caso de congruencia de triángulos. Este segundo caso lo vamos a conocer como ala, el caso ala. Okay. Segundo caso, ala, ahí está. ¿De acuerdo? Vamos a ver entonces del gráfico mostrado. Vamos a señalar entonces en este gráfico mostrado cómo se presenta el caso al dos triángulos son congruentes según el caso ala. Si tienen congruentes un lado y los ángulos adyacentes.

13:27 Así que un lado y los ángulos adyacentes, no hay problema. El triángulo ABC y el triángulo PQR serán congruentes si cumplen esas características que os acabo de mencionar. ¿Cuáles son las características, profesor? Ah, tienen que tener congruentes un lado del triángulo ABC, el lado AC con un lado del triángulo pecar. ¿Qué más, profe? Ah, también deben de tener congruentes estos ángulos adyacentes a ese lado en cuestión. Entonces, ya tenemos las características suficientes para poder afirmar que los dos triángulos son congruentes. Miren,

14:12 ángulo lado ángulo, ángulo lado A. puede estar desordenado. También me refiero a que puede estar beta acá y alfa acá. ¿Serían congruentes? Por supuesto que sí. ¿Estamos de acuerdo? Y los lados homólogos vendrían a ser el lado AB. ¿Con quién? Con el lado QR. Okay. Lado homólogo se llama aquel lado que se opone a los ángulos congruentes. ¿Okay, chicos? Los lados homólogos se denominan así. La palabra homólogo se refiere a correspondiente. Por ejemplo, si yo les digo un ejemplo para aclarar, el presidente de los Estados Unidos

14:58 visitó a su homólogo de Rusia. ¿A quién visitó? ¿A un general ruso, a un capitán ruso, a un futbolista ruso? No. Su homólogo es el que tiene la misma jerarquía, el mismo cargo. ¿Me dejo entender? al presidente Putín, por supuesto, me están captando. Entonces, la palabra homólogo se refiere al que le corresponde por jerarquía. Okay. Entonces, chicos, ahí tenemos pues esta situación, pero vamos a ponerlo como ya inicialmente lo habíamos indicado, ¿okay? Usando mi mota incorporada, o sea, mi mano. Ahí está. Ok doy. Perfecto, chicos. Listo, ahí

15:43 está el caso Alla. Un ejemplito. Muy bien. Una aplicación, una aplicación rapidita no más para ustedes, chicos. Vamos a ver. A ver, una aplicación del gráfico mostrado. Una bonita, una fácil, que es lo que queremos nosotros. Bueno, como aplicación, pues no, a ver, voy a hacer este gráfico correspondiente para que ustedes vean, chicos, cómo podemos aplicar este caso al acuerdo. Una de las cosas que les he recomendado para los problemas de congruencia es que siempre traten de

16:32 buscar pareja de ángulos congruentes. Esa es la clave, chicos. Ya. Muy bien. Un clásico problema. Este lado mide siete. Este lado mide seis. ¿Cuál es el valor de este segmento? De acuerdo. Usted que me están observando, chicos, desde sus asientos cómodamente, ¿me pueden decir la respuesta al ojo, a ver, he tenido que bajar mi nivel geométrico. Ahí está. No, no, qué va, qué va. A ver, a ver, a ver las respuestas al ojo. ¿Dónde veo las respuestas?

17:18 13 eh 13. A ver, chicos. X = 13. X = 13. Ahí está. Claro, por supuesto. Muy bien. Okay chicos. Perfecto, perfecto. Y acá puedo observar. Sí, sí, sí. Puedo observar sus respuestas también. Muy bien, chicos. Mis felicitaciones. Felicitation. Bien. Pero lo interesante es de reconocer quiénes son congruentes. Bueno, comienzo augar en la figura. Uh, my god. Acá hay un triángulo rectángulo, cuyos ángulos agudos hemos asumido que sean alfa y beta. Alfa + beta es

18:06 90º. Son complementarios, ¿no es cierto? Pero mira, en el punto P, este ángulo y beta, los dos también suman 90, ya que el ángulo intermedio suma 90º y todo es 180. Ya lo sabe allá quiere decir que este ángulo me diría alfa o beta alfita. Y el que está acá arribita en el vértice R, ya yendo al triángulo PQR, sería beta. Perfecto. Y ahora sí, chicos, con seguridad podemos afirmar que los dos triángulos, el triángulo rectángulo AB, es congruente al triángulo rectángulo PQR. Ahí está. El ABP y el PQR son

18:51 congruentes. ¿Por qué caso? el caso alla y aquí lo señalamos. ¿Okay? Muy bien. Entonces, chicos, nosotros aplicamos el principio a ángulos congruentes, ¿qué se le opone? Lados congruentes. Quiere decir que si en el triángulo ABP a beta se le pone siete. En el otro triángulo al ángulo que mide beta también se le pone siete. Okay. Seguimos. Si en el triángulo PQR a alfa se lo pone seis, en el otro triángulo ABP a alfa se lo pone un segmento que también tiene que medir seis. Con eso estás solo frente al arco y sin arquero.

19:36 No puedes fallar, salvo que seas yotú, ¿no es cierto? Muy bien. Pobre yotú. Caramba, muchacho. Ah, ya le le quitó la posta a Cuevita. A Cuevita. Muy bien. Ahí estamos. Pues, chicos, ¿alguna pregunta? Todo está bien. Son ejemplitos, como ven, aplicación para que podamos nosotros eh saber y familiarizarnos con este segundo caso de congruencia de triángulo. Ahora sí pasamos al tercer casito. Tercer caso de congruencia de triángulos. ¿Okay? Repito, estos casos nos permiten reconocer cuando dos

20:23 triángulos son congruentes y estamos frente al caso L, lado, lado, lado. Okay. Vamos a hacer entonces la gráfica comparando estos triángulos y vamos a señalar el caso lado, lado, lado. ¿De acuerdo? Ahí está. Estos triángulos me van a ayudar para poder configurar, para poder señalar gráficamente qué quiero decir con este caso lado, lado, lado, ¿no? A ver, lo que queremos decir es lo siguiente, que si el triángulo ABC tiene lados que miden C A y B y el triángulo PQR también tiene lados que miden CA y B, entonces

21:10 los dos triángulos son congruentes. ¿Por qué? Porque los tres lados de uno son congruentes a sus respectivos lados del otro. ¿Me dejo entender? Esa es la idea de la congruencia LL. De acuerdo, chicos. Aplicación. Aplicación por acá. A ver. Una aplicación bonita, una bonita pero facilita aplicación. Veamos entonces esta aplicación. A ver, a ver, tengo un triángulo rectángulo. Okay, chicos. Ahí está. Triángulo rectángulo ABC. Como pueden ver,

21:58 el triángulo rectángulo ABC. Voy a tomar a continuación un punto P ubicado en el lado AC, en la hipotenusa, con la condición que AB tenga igual longitud que PC. Vamos a señalarlo de esta manera. ¿Estamos de acuerdo? AB congruente ABC. A continuación tomo un punto exterior y relativo a la hipotenusa, el punto que vamos a considerar el punto que vamos a considerar como el punto R con la condición también de que RA tenga igual longitud que RP, chicocos. Pero con eso no basta. También RB tenga

22:45 igual longitud que RC. Ahí está. ¿Estamos de acuerdo? ¿Se puede notar eso? Ay, ay, ay. No hay ningún problema, ¿verdad, chicos? Perfecto. Continuamos entonces. A ver, los datos. ¿Cuáles son datos del problema? Vamos a señalarlo acá. Los datos son entonces AB con PC. AB de igual longitud que PC. El otro dato, ¿cuál es? A = RP. Ar = RP. Y el otro datito que tenemos es RB = RC. RB = RC. Mis queridos

23:33 jovencitos, ese hecho lo vamos a señalar con estas marcas. Es poco ortodoxo hacerlo, pero el momento lo apremia. Okay, vamos a marcarlo de esta manera. Ya. A, perfecto. Nos piden calcular cuál es el valor de x y ahí lo tenemos. Hay que calcular xcito. ¿De acuerdo? Interesante problema, ¿verdad? Muy bien. Pero nosotros hemos venimos cargados de la teoría de congruencia, ¿okay? Tenemos un ki bravo en estos momentos y podemos resolver cualquier problema. Así nos sentimos, ¿no es cierto? Y lo primero que reconocemos acá es el triángulo bar.

24:23 El triángulo bar. Compárame con este triángulo, chicos. Este otro triángulo RPC. A ver, ¿cuál es su diagnóstico? ¿Cómo son ambos triángulos, señores? Son congru congruentes. Muy bien dicho, chicos. tampoco le desmerece el hecho de que estamos en el capítulo de congruencia, pero son congruentes. ¿Por qué caso de congruencia? Lado, lado, lado. Y lo vamos a señalar acá. Triángulo RAB. Rab rap es congruente a qué triángulo? Al triángulo RBC, ¿verdad? Claro que sí.

25:09 Al triángulo RPC. ¿Por qué casito? a el caso que estamos estudiando, pues lado, lado, lado, ¿okay? Y lo aseguramos, lo ratificamos así, mira. Culebrita, bolita y rectangulito verde. Culebrita, bolita y rectangulito verde. De esa manera nos podemos dar cuenta rápidamente que los triángulos son congruentes. Y ahora, ¿qué hago, profesor? Bueno, el criterio que hemos venido aplicando, el que les he aconsejado que hay que hacer siempre después de reconocer dos triángulos congruentes, ¿cuál es? A lados congruentes que se le ponen ángulos congruentes. Muy bien dicho, chicos. Ah, caramba. O sea, que si a culebrita se le pone X en el otro triángulo, a culebrita

25:56 lo va a poner X también. ¿Estamos de acuerdo? Es lo que tenemos que hacer. Oiga, pero acá hay un triángulo muy interesante que aparece en escena. Miren el triángulo BRC. ¿Qué tipo de triángulo resultó ser? Observen estos dos lados son congruentes. ¿Qué tipo de triángulo es? Iscelitos. Muy bien. Es un triángulo isóceles. Oiga, pero el triángulo isóceles tiene dos ángulos congruentes. Yeah. Entonces, este ángulo y este ángulo son de igual medida y los dos miden 2x. ¿Estamos de acuerdo? Finalmente, chicos, estamos ya listos para rematar el problema. En el vértice

26:43 del ángulo recto, la suma x + 2x me tiene que arrojar 90º. Okay. X + 2X = 90. X vale 30 la respuesta del problema y se acabó la cosa, ¿no? 30º es la respuesta. Ahí lo tenemos entonces en pantalla, la resolución de este ejercicio de este problema de aplicación del caso lado, lado lado. Okay, podemos continuar también, chicos. Vamos a continuar, entonces. A ver, a ver, a ver. Estamos transmitiendo para todo nuestro público,

27:31 para todos ustedes, chicos, desde las instalaciones del grupo Ciencia. Okay, muy bien, muy bien. El grupo que te va a llevar por el camino correcto a la universidad. Estamos entonces en el tercer caso, el caso lado, lado, lado. Hasta aquí es lo normal, lo que comúnmente se enseña. Pero hay otro casito que quiero compartir con ustedes, aunque quiero también manifestarles, chicos, el cuarto caso conocido como lado lado okay este cuarto caso de congruencia de triángulos nos indica que dos triángulos son congruentes. Si tienen congruentes

28:18 dos lados y el ángulo opuesto al mayor de los lados. A ver, ¿cómo está eso, profe? Así, mira, hijo ve, vamos a hacer la gráfica respectiva. Ahí está. Okay. Listo. Supongamos que tenemos los triángulos. Ahí están los triángulos ABC y PQR, que van a ser los que van a manifestarse en la dramatización de este cuarto caso. ¿Okay? Estos triángulos son congruentes con las siguientes características. Deben de haber un par de lados congruentes ACPR y otro par de lados congruentes

29:04 AB y PQ. ¿Estamos de acuerdo? Ahí están las dos parejas de lados congruentes, pero también debe manifestarse, debe haber ángulos congruentes, el ángulo B y el ángulo Q, ¿okay? Para que se tenga lado lado ángulo. Pero mucho cuidado, este lado que hemos escogido, como ves, es opuesto al lado A. ¿Y qué tiene que ver eso? Me dirás. Lo que pasa es que el lado A, hijitos míos, es mayor que el lado B. Esa es la característica que debes de tener presente. Un par de lados del triángulo ABC congruentes a un par de lados del triángulo PQR. Además, el ángulo opuesto al lado mayor

29:50 congruente con el lado opuest con el ángulo opuesto al lado mayor en el otro triángulo. Si estas características se dan, los triángulos son congruentes. ¿Estamos de acuerdo? A ver, una aplicación muy bonita que tengo preparado para ustedes, chicos, se ha tomado en un concurso de matemática para poder escoger a los representantes peruanos en las olimpiadas de matemática, ¿no? un problema bastante simple, pero muy interesante y que nos va a edificar para poder entender bien este cuarto caso de congruencia. ¿Okay?

30:36 Supongamos que este triángulo ABC sea un triángulo equilátero, ¿de acuerdo? Vamos a ubicar un punto en el interior de este triángulo equilátero y lo vamos a unir con los vértices. Ya ahí está. Unimos ese punto con los vértices. Supongamos también que este ángulo está expresado como teta, este como 2 t y este como 3 t. La gran pregunta es, ¿cuánto vale teta? Ojito, ojito, que el triángulo ABC es un triángulo equilátero y lo puedo señalar

31:23 fácilmente indicando las longitudes de sus lados que miden igual. Ahí está el punto B. Okay. A ver, a ver, a ver las respuestas en el chat. ¿Quién me dice primero respuesta? ¿Quién la conoce? respuestas en el chat. 20 segundos. Usted hace una pregunta. En en YouTube va aparecer 20 segundos. Aparece cómo cómo hay un pequeño desface de 20 segundos. Ya. Entonces voy a esperar. Ajá. 20 segundos. A ver, a ver, a ver. transmitiendo en vivo para YouTube.

32:13 Muy bien. Caramba, ese muchacho debe soplar fuerte, o sea, no digo que sea ciclón, pero tiene sus conocimientos y eso es bueno. Okay. Bien, chicos. No hay nada que hacer. Felicitaciones. Son de los nuestros. Ah, son de los nuestros. Vamos a ver. ¿Cómo se resolvería este problemita para los chicos que todavía no la ven? ¿Cómo lo hacemos? Comenzamos a urgar en la figura. Cuando no sabemos qué hacer, comenzamos a esculcar, urgar, obtener información. Comienzo a urgar. Este ángulo mide 60 - teta porque todo el ángulo interior del equilátero es 60. 60

32:59 - teta. Observo también, muchachos, que este ángulo se puede expresar en función de teta. Si te das cuenta, el triángulo APB, el triángulo APB, ¿okay? La suma de todos ángulos es 60 + teta. Este ángulo se expresaría como 120 - teta. ¿Me dejo entender? Perfecto. Análogamente, análogamente comienzo a por este otro lado. Este ángulo se puede expresar como 60 - 2 t. Okay. Claro, porque todo el ángulo interior B vale 60. Y si me remito, si observo, si contemplo el triángulo PBC,

33:46 me daré cuenta rápidamente que este angulito se puede también expresar en función de teta. A ver, hagámoslo mentalmente. 60 - 2 + 3 me da 60 + 3, ¿cuánto le falta para 180? Oh my god. 120 - z, chico. Uy, uy, uy. Ahora te pido que me compares. Compárame el triángulo APB con el triángulo BPC. Observen, observen. Este lado es un lado común. Ah, está pasando desapercibido este lado común. Vamos a darle un valor tal como vecito. Ahí está. Entonces, si ustedes observan, el triángulo ABB tiene este

34:33 lado A y este lado B, ¿okay? Tiene dos lados A de medidas A y B. Y el ángulo opuesto a A, que vale 120 - t. Este triángulo PBC, observen, observen, tiene lo mismo. Tiene lado A, tiene lado B y tiene el ángulo puesto al lado A que mide 120 - teta. Y es obvio que A es mayor que B, ¿no es cierto? Porque A se opone al mayor ángulo. Mir, estamos de acuerdo. Ángulo obtuso. Ángulo obtuso. Entonces, chicos, ¿qué podemos aseverar? que el triángulo APB resulta ser congruente al triángulo

35:19 el triángulo CPB por el caso lado lado A. ¿Estamos de acuerdo? En consecuencia, ¿qué debe pasar, chico? que a lados congruentes o a este lado común B se le deben oponer ángulos congruentes. Es decir, 60 - t lo igualaré a 3 ta. Okay, se sigue que 60 es igalmente tetita vale 15 la respuesta del problema número o bueno, este problemita de aplicación, ¿no? Una aplicación para ustedes. Okay, chicos. ¿Qué tal? Hasta ahí. Sí,

36:05 bien, todo. ¿Alguna consulta? ¿Alguna pregunta? ¿Algún comentario? Quiero ver por YouTube. A ver, en vivo y en directo estamos transmitiendo de las instalaciones del grupo Ciencia, tu mejor opción. Muy bien, después de esto chicos vamos a ver, vamos a continuar con la unos teoremas que es muy importante que quiero compartir con ustedes, unos teoremas de congruencia. Okay, muy bien, muy bien, muy bien. Vamos a ver. Entonces, vamos por acá, ¿de acuerdo? Veamos unos teoremas importantes. Teoremas adicionales.

36:54 Adicionales. A ver, estos teoremas adicionales nos van a permitir chicos poder resolver algunos problemas. que ya se les ha propuesto en la hoja, ¿no? Una hoja de problema. El teorema número uno se va a referir a esta relación. Vamos a hacer el gráfico correspondiente. A ver, vamos a ver. Tenemos un triángulo. Un triángulo, ¿okay? donde en este triángulo un ángulo mide el doble de lo que mide el otro, o sea, el ángulo A mide el doble de lo que mide el ángulo C.

37:41 ¿Estamos de acuerdo? Si trazamos una sebiiana con la condición, esta sebiiana que vamos a denominar la sebiiana BD, trazamos la sebiana BD con la condición, chicos. que AB sea congruente a CD, entonces siempre se va a cumplir que este ángulo, ¿a qué va a ser igual? A ver, los tigres, ¿a qué es igual x con estas condiciones? Vamos a ver, aquí lo vamos a colocar ya las condiciones. Medida del ángulo A, el doble de la medida del ángulo C. Miren las

38:27 condiciones. Ah, AB = CD. Con esas condiciones, ¿qué se cumple? X es igual a ¿quién? A teta. Profe, ¿de dónde sale esa relación? ¿Cómo sé? ¿Cómo lo demuestro ahorita acá? En el grupo ciencia te lo demostramos. ¿Cómo, profe? Espérate, tranquilízate, tranquilízate. Sé que te gusta la geometría, pero tranquilo, chicos. Acá está la reglín. La demostración lo podemos hacer aquí no más para poder ganar tiempo. Okay. Se veré. Entonces, lo que hacemos para la demostración, mis queridos jovencitos, es prolongar esta línea. Prolongamos la línea CA,

39:14 que profe, se puede prolongar, por supuesto, ahí lo estás viendo, hasta un punto P, pero con la condición que PA sea congruente a AB. Entonces ponemos acá prolongamos, prolongamos en la demostración CA hasta el punto P. Pero, ¿bajo qué condición, muchachos? Ah, tal que tal que se cumple la siguiente relación. AP mide igual que AB. Okay. A continuación trazamos la línea BP. Y mira lo que pasa, ¿ve? Mira lo que pasa. El triángulo PAB, ¿qué tipo de

39:59 triángulo resultó ser? Iscelitos. Es un triángulo isocelitos. ¿Estamos de acuerdo? Los ángulos congruentes me dirían teta cada uno porque el ángulo exterior es la suma de estos dos congruentes. Okay. Oh my God. El triángulo PBC, un regalo de los dioses geométricos. El triángulo PVC, chicos, es un triángulo isócel. Inmediatamente señalamos los lados congruentes también. Okay. Fíjate, ve, bonito problema, ¿no es cierto? Ahí está. Entonces, al prolongar tal que Ajá. Resulta, vamos a poner acá, resulta que, ¿qué? Resulta que la medida del

40:48 ángulo P igual a la medida del ángulo PBA igual a teta. Esto es lo que resulta. Además, resulta qué cosa resulta que PB es igual a BC. Ahí lo tengo. Y con esto, chicos, creo que ya está lista la demostración, ¿no? Los triángulos que cuyo interior estoy sombreando, me refiero a los triángulos BCD y BPA, son congruentes. A ver, ¿quién me dice por qué caso de congruencia? ¿Por qué caso de congruencia afirmo que el triángulo BCD es congruente al triángulo BPA?

41:34 ¿Qué callito me respalda? Muy bien, chicos. Hasta acá los escucho. Lado, ángulo, lado. Culebrita, teta bolita. Culebrita teta bolita. Ahí está. Muy bien. Listo. En consecuencia, ¿qué debe cumplirse? Ah, lo que siempre hacemos a lados congruentes, ¿qué se le oponen? ángulos congruente. En consecuencia, x es = t. Y ahí está la demostración del primer teorema adicional que hemos preparado para ustedes todas estas semanas, chicos. Okay, bonito teorema. Vamos a ver otro teorema.

42:21 Vamos a ver otro teorema, amigo. Otro teorema. A ver, el teorema número dos. A ver, el teorema número dos, si no hay ningún una pregunta, todo está claro. Este tipo de teorema nos permite resolver problemas de diferente tipo, sobre todo los problemas de construcciones, chicos. ¿Okay? Para los problemas de construcciones nos ayuda bastante este tipo de problema. Veamos entonces el teorema número dos. Okay. El teorema número dos es un teorema muy conocido. A ver, que se refiere, chicos, a una figura denominada cuadrilátero no

43:08 convexo, también conocida como el boomerang. Okay, ahí está. que también se para la demostración del teorema se usa la congruencia. Así que lo que hacemos es señalar las características, ¿okay? Si tenemos el cuadrilátero no convexo AB CD con las siguientes condiciones. Teta 2 ta, el ángulo formado por estos dos lados congruentes debe ser el doble del ángulo adyacente al tercer lado congruente a los dos primeros. Con estas

43:53 características, vamos a señalarlo aquí en la parte superior. Si la medida del ángulo C es el doble de la medida del ángulo A. Además, AB tiene igual medida que BC, igual longitud que CD. Bajo estas condiciones de presión y temperatura se va a cumplir, mis jóvenes Jedi, que el ángulo que aparece acá en la parte superior, la medida del ángulo B, va a ser igual a 120 - 2 ta. ¡Wow! ¿Qué tal medida, verdad? Así es. Y vamos a

44:41 demostrar esto como practicando un poquito la congruencia de Triad, ¿de acuerdo? Muy bien. Vamos a ver las demostraciones por acá, ¿no? Demostraciones. Pero antes de la demostración, ¿me permiten, chicos? Voy a tomar un pequeño zorrobo. Okay. ¿Cómo que cerveza? ¿Qué pasa, muchachos? Yo tomo agüita. Salud con todos usted. Ahí está. Muy bien. Ahora sí, en la demostración hacemos lo siguiente. Entonces, observen. Voy a demostrar que el ángulo

45:26 B se expresa como 120 - 2. Para la demostración trazamos esta línea para formar el triángulo isósceles TBC, donde rápidamente expresamos las medidas de estos ángulos como 90- teta. Este ángulo también 90 men teta. ¿Está claro? Hasta ahí, hasta ahí no le he hecho nada al al a la figura, ¿verdad? Muy bien. A continuación, chicos, trazamos la altura relativa a la base de ese triángulo isóceles. Ahí está la altura. Y como quiera que el triángulo BCD es isóceles, al trazar la altura partiríamos por la mitad a la base. Es decir, cada uno de estos segmentos BH y

46:13 HD medirían igual. Vamos a darle una medida tal como K. Tendríamos K. ¿De acuerdo? Además, al ángulo que mide 2 ta también lo partiría por la mitad, o sea, la línea CH es bisectriz teta teta. ¿Está claro? Hasta ahí no hay ninguna dificultad. Pero observen ustedes, chicos, que en la figura el lado AB que está marcado con una bolita, un círculo, ¿okay? Tiene un ángulo adyacente a él que vale teta. Y aquí tenemos también bolita y teta. Esto nos hace pensar que hay una posibilidad de la congruencia. Para la congruencia que estamos

46:59 intuyendo, lo que vamos a hacer es prolongar esta línea y trazar desde B una perpendicular, chicos. BT. ¿Estamos de acuerdo? Y al hacer esa operación, noten ustedes, al hacer esa operación, noten ustedes el triángulo BTA. El triángulo BTA, no te estoy votando. Es una algo que sale, chicos, el sonido del BTA. Ese triángulo BTA, ¿qué tiene? Hipotenusa bolita. Tiene un ángulo agudo que mide teta. Okay. El otro ángulo, por supuesto, me dirá 90 - teta. ¿De acuerdo? Ahora voy a

47:47 hacer referencia al triángulo DHC. Triángulo rectángulo DHC. Lo voy a sacar también de su confort. Ahí está. Okay. A ver, a ver. Se pone difícil, pero ya lo tenemos dominado. Ahí está el triángulo rectángulo DHC también, cuya hipotenusa está marcada con bolita, ¿okay? Y tiene un ángulo agudo teta. Obviamente que el otro ángulo me dirá 90 - teta. Okay. Pero este último triángulo tiene el lado que se opone a teta, que mide K. Yo te pregunto, ¿estos dos triángulos son congruentes o no? ¿Qué dices tú?

48:35 ¿Son congruentes? Por supuesto. ¿Qué caso de congruencia se está cumpliendo? El caso ala, muchachos. El caso ala. Ángulo lado ángulo. Teta bolita 90 - teta. Teta bolita 90 - teta. En consecuencia, si a teta se le opone K, en el otro triángulo a teta, ¿qué se le tiene que poner? Otro lado, que también mide K. Ahí está. En otras palabras, BT también es igual a DH e igual a K. Y eso, chicos, lo colocamos acá en la figura principal. Vamos a ponerle acá. ¿Estamos de acuerdo?

49:21 Muy bien. Y si observamos el triángulo BTD, es un triángulo rectángulo donde la hipotenusa es el doble del cato. Wow, es algo maravillosa la geometría, por supuesto. Nunca me cansaré de admirarla, chicos. Observen el triángulo rectángulo, ¿no es cierto? Que cuando la hipotenusa es el doble del cateto, los ángulos miden 30 y 60 más aún este ángulo vale 30. Okay, vamos a poner este segmento fuerita para que podamos expresar el ángulo. Ahí está, que mediría 30º.

50:08 Okay, ahí está. Finalmente, chicos, ya habiendo hecho esto, observamos que el triángulo ABD, por acá lo observamos, en el triángulo ABD, sacamos el triangulito. Ah, este ángulo, acabamos de calcularlo, vale 30. El ángulo exterior, el ángulo A es teta. Podemos expresar el ángulo B. Yeah. Este ángulo se expresará como 30 men - ta. La suma de estos dos es el ángulo exterior, así que este ángulo se expresa como 30 m. Wow. ¿Qué tal, ¿verdad, chicos? Finalmente, el ángulo B ya

50:54 podemos expresarlo. Aquí lo voy a colocar la medida del ángulo B. Podemos expresarlo. ¿Cómo, profe? Solo tienes que sumar, hijito. 30 - t + 90 - t. 30 - 90 - y todo eso nos da cuánto el ángulo B vale 120 - 2 T. ¿Estamos de acuerdo? Perfecto, chicos. Ahí está. Queda demostrado entonces el teorema. Okay. Que ha demostrado este teoremita. ¿De

51:39 acuerdo? Muy bien. Y así hay varios teoremas, muchachos, de la geometría. ¿De acuerdo? Nosotros queremos ya, a ver, queremos entonces. Perfecto. Vamos a ver el teorema número tres. A ver, el teorema número tres. ¿De acuerdo? El teorema número tres es similar a este teorema número dos, pero lo vamos a señalar de esta forma. A ver, el teorema número tres

52:25 aparece de esta manera. La gráfica que corresponde al teorema número tres es esta, mis queridos chicocos. Ahí está. Nuevamente se trata del cuadrilátero no convexo ABCD, pero ahora hay una pequeña modificación. Si antes los lados congruentes estaban arriba, ahora lo vamos a ver abajito, ¿okay? Congruente ABC, ¿de acuerdo? Es como si este AB se ha pasado a la D para que lo puedan recordar. Y por lo demás lo mismo va a

53:13 ocurrir, o sea, este ángulo 2 ta y este ángulo teta. ¿Okay? Para esta situación, para este cuadrilátero no convexo con estas características se cumple que el ángulo B, lo voy a señalar mejor aquí de una vez, el ángulo B se expresará como que la medida del ángulo B se expresa como 120 - teta. Ahí está. Okay. La medida del ángulo B se expresará como 120 - ta. Y lo que vamos a ver, chicos, es algo similar a lo que hemos hecho con la demostración

54:00 anterior. Para esto lo que hacemos entonces es habíamos completado el triángulo isósceles, ¿no? Acá también lo completamos trazando la línea BD. Señalamos los ángulos congruentes, no hay ningún problema. 90 - teta. 90 - teta. Ahí lo tenemos. Solamente nos falta este ángulo para poder expresar todo el ángulo B. A continuación, de igual manera, trazamos la altura relativa a la base. Ahí está la altura. Okay. Y al trazar la altura, como lo hicimos con el teorema anterior, partimos por la mitad.

54:46 a la base, ¿no? K y. Okay. Y luego lo que sigue es trazar esta perpendicular, chicos, desde D. ¿Por qué hago estas cosas? Ustedes dirán, "No, porque la idea, chicos, es formar congruencia de triángulo. Si no hay congruencia en la figura, yo lo que hago es formar la congruencia." Y efectivamente, me percato que si yo trazo esta perpendicular, formaré un triángulo rectángulo. Estos ángulos miden teta cada uno, ¿no? Formaré el triángulo rectángulo ATD, que resulta ser congruente o que es

55:32 congruente al triángulo rectángulo CHD. ¿Por qué caso? ¿Qué caso de congruencia? Pues el caso ángulo lado ángulo, ¿no? Ustedes lo pueden ver. Acá hay tetita bola y 90 - teta. Acá hay tetita bolita y este ángulo es 90 - teta, ¿no? Y se está dando entonces la congruencia de los triángulos. En consecuencia, mis queridos jovencitos, se cumple que a ángulos congruentes se le oponen lados congruentes. Eso quiere decir que si a teta se le opone K en el triángulo DHC o CHD, en el otro triángulo a teta se le tiene que

56:17 oponer K también. Interesante este hecho porque si ustedes observan okay el triángulo BTD, nuevamente aparece el triángulo rectángulo BTD, es un triángulo rectángulo donde se puede observar una característica interesante. La característica es que hipotenusa el doble del cateto. Si la hipotenusa es el doble del cateto, conocemos que este ángulo opuesto al cateto mitad vale 30º. Lo colocamos aquí en la figura principal, el ángulo que mide 30º. Y finalmente ya podemos expresar el ángulo

57:02 B. El ángulo B se expresará como 30 + 90 - y queda demostrado entonces lo que queríamos obtener, que el ángulo B es 120 - t. Con esto tenemos demostrado este teorema número tres. Y como les decía, hay varios teoremas más de la congruencia, pero estos teoremas nos van a servir en problemas posteriores. ¿Okay, chicos? Muy bien.

57:47 Amigo, corrido. No, o no. O no se puede un ratito más. Muy bien, chicos. Vamos a continuar. Entonces, estamos con los teoremas y ahora hablemos acerca de las unas consecuencias de la congruencia de triángulos, ¿no? Las consecuencias de la congruencia de triángulos, también conocidas como aplicaciones de la congruencia. Consecuencias de la congruencia. Consecuencias de la congruencia de triángulos.

58:35 ¿Okay? Bueno, y la primera consecuencia es el teorema que se refiere al teorema de la bisectriz. La primera consecuencia es el teorema de la bisectriz. teorema de la bisectriz. Vamos a tratar de estos teoremas ejemplificarlos para que ustedes puedan familiarizarse mejor con ellos. ¿Okay? El teorema de la bisectriz nos dice que todo punto de la bisectriz de un ángulo equiristará de los lados del ángulo. Vamos a hacer la representación gráfica para que ustedes me puedan entender de lo que estoy hablando. ¿De acuerdo? Consideremos un ángulo, el ángulo AOB,

59:24 tal como ustedes pueden apreciar, el ángulo AOB. Tracemos la bisectriz del ángulo. Trazo la bisectriz del A. Okay. Supongamos que el ángulo mide 2 alfa. Así que al trazar la bisectriz, cada uno de los ángulos parciales mediría alfa y el otro también alfa. Si nosotros ubicamos un punto en la bisectriz, un punto que pertenece a la bisectriz, mis queridos jovencitos, y trazamos perpendiculares a los lados OA y OB, pues en verdad os digo de que esas perpendiculares PQ y PR van a tener igual longitud, ¿de acuerdo? Así que si el punto P pertenece a la bisectriz de este ángulo AOB,

1:00:13 las perpendiculares PQ y PR van a tener igual longitud, ¿de acuerdo? Lo vamos a señalar aquí entonces en pantalla. PQ = PR, pero siempre y cuando el punto pertenezca a la bisectriz. Okay, vamos a señalar acá. El punto P debe pertenecer a la bisectriz OF, ¿okay? Si no pertenece a la bisectriz, obviamente que las perpendiculares a los lados no van a tener igual longitud, va a haber una desigualdad. Si está ubicado en la región o en el interior del ángulo AOF, esa perpendicular va a ser menor que la

1:00:58 otra perpendicular al lado OB. ¿Me dejo entender? Pero esto es lo que no vamos a hacer, esos casos, sino los casos en los cuales el punto P pertenece a la bisectriz. Para poder demostrar esto, chicos, observamos que el triángulo que tenemos a la izquierda y el triángulo que tenemos a la derecha son congruentes. ¿Por qué? Por el caso ángulo lado ángulo. Efectivamente, en el triángulo rectángulo PQO, este ángulo mide alfa. Su complemento teta alfa + teta es 90. Y si observamos el otro triángulo que aparece a la derecha de la bisectriz a

1:01:43 la derecha, el triángulo pro, si este ángulo mide alfa, su complemento debe ser teta. Con esto podemos visualizar fácilmente en la demostración. Podemos visualizar la congruencia del triángulo rectángulo PQO con el triángulo rectángulo PRO. ¿Por qué caso? el caso ala. Por lo tanto, chicos, vamos a poder afirmar categóricamente que este lado que se opone a alfa, este lado que se opone a alfa, el lado PQ, tiene que tener igual longitud que el lado que se opone a alfa, o sea, PR. Okay, aquí lo vamos a señalar. PQ es ig

1:02:30 a PR. Pero así como PQ es ig a PR, también se cumple que OQ es ig a OR. O Q = OR. ¿Estamos de acuerdo? Se va a cumplir entonces esa igualdad. ¿Qué tal hasta ahí, chicos? Sí, una aplicación. Vamos a ver una aplicación por acá de este teorema. Así que no se olviden, chicos, cuando ustedes vean bisectriz en un problema, si ven bisectriz en un problemita y tienen un punto de la bisectriz y está trazada una perpendicular, pues lo que deben hacer es trazar la

1:03:15 otra perpendicular. Y si hay un punto ubicado en una bisectriz y no están ninguna de las dos perpendiculares, ¿qué debemos hacer? trazar las dos perpendiculares, por supuesto, porque, ¿qué es lo que vamos a ganar? La ganancia es que PQ va a tener igual longitud que PR, así como OQ va a tener igual longitud que OR. Así lo vamos a señalar. ¿Estamos de acuerdo? Muy bien. Veamos una aplicación examen de admisión UNI, si me permiten, chicos. Aplicación. Okay. X1. A ver, no recuerdo el año, pero doy fe

1:04:01 que es un problema examen de admisión. Tenemos aquí el problemita que se presenta de esta manera, ¿no? Tenemos un triángulo rectángulo. El triángulo rectángulo ABC vamos a señalar que es recto en el vértice B. En ese triángulo trazamos la altura BH, no hay ningún problema. La altura BH perpendicular al lado AC. Y a continuación vamos a trazar una recta paralela ABC. Una recta paralela a BC que interseca. Ahí está la recta, esta recta L paralela a ABC.

1:04:48 Okay, vamos a señalar ese hecho por esta parte. En los datos, la recta L es paralela al lado BC que va a intersectar en R a AB, en P ah, y en Q a. ¿Me dejo entender? Son datos del problema. De tal manera, de tal manera que PQ es igual a QC. Ahí está. PQ tiene igual longitud que QC. Miren, ¿ven, muchachos? Interesante, ¿verdad? Muy bien. El problema nos pide y qué datos tenemos. A ver, los datos

1:05:33 los voy a adicionales, los voy a colocar aquí en la figura. Vamos a ver, a ver, a ver. Como datos, como datos, como datos. Tenemos CH mide A minúscula y BC mide B minúscula. Okay, ahí está, muchachos. Hay que calcular PR en función de A y de B. Okay. ¿Qué tal? A ver, ¿quién resuelve ese ejercicio, les doy unos segundos para que lo hagan? A ver, al ojo, ¿cuánto vale X? Te voy a

1:06:20 poner las alternativas. Como es un problema examen de admisión uni, vamos a ponerte las alternativas. x = a + b x = a - b - a sobre 2 x = b - a la raíz de ab sobre a + b. Ahí está. ¿Cuál será la respuesta? Aparecen respuestas ahí, chicos. A ver, a ver, denen su respuesta no más. ¿Qué clavecita me vas a poner? ¿Cuál sale la respuesta? A ver,

1:07:06 muchachos, estoy viendo en vivo y en directo por YouTube. ¿Cuál sale? ¿La A, la B, la C, la D o la E? ¿Qué me dices? Sale la A, avión, B de burro, la C de casa. D de dinosaurio o la E de enano. ¿Cuál sale chico? A ver, a ver. Está muy muy pequeño ahí que no puedo apreciar. Y

1:07:51 ahí está los comentarios acá. Acá. Sí, eso es lo contrario. No, pero esto está así, así está de hace rato. Y no, no, no como acá es donde veo que sí colocan. No, acá aparece No, pero eso está de hace rato así, ¿no? No se mueve. Sí, sí. No me digas que Félix Aguyanchi también está acá. Ah, ¿cómo? Félix Agugayan. Sí, el día de ayer. Ah, perdón, acá. Ahí está. Besito, besito. A ver, Arly, eh, perdón. Claro. Muy bien, Alejandro.

1:08:37 Perfecto Harly. Okay. No es la clase es en general, chicos, no se preocupen. La clave C. Muy bien, Alejandrito. Ah, caramba. Qué bien, qué bien, qué bien. Muy bien. Saludos también para ti y a tu papi también. Melisa, no te preocupes. La clase es para todo en general. También puede ser. Es un caso general, Gabriel.

1:09:31 Saludos, José Israel, ¿cómo estás? ¿Qué tal? Por mí encantado, pero no depende de mí, Adiel. De veras, de veras. ¿Cómo estás, Moisés? ¿Qué tal, Moisés? Muy bien. Saludos a todos ustedes, chicos. Que Dios los bendiga. Sigan para adelante esforzándose y no se pierdan siempre sus clasecitas, pues. Okay. Muy bien. Voy a estar con ustedes siempre. Ah, voy a estar acá. Cualquier pregunta que quieran formular, vamos a responderla. Saludos también para ti. Gracias. Vamos a continuar entonces. Y

1:10:17 efectivamente chicos es un problemita muy interesante donde lo único que vamos a hacer es aprovechar la congruencia de estos segmentos, porque PQ y QC tienen igual longitud. Así que inmediatamente, chicos, trazamos CP y aprovechamos la determinación de este triángulo isóseles, la presencia del triángulo isóseles PQC. Señalamos los ángulos congruentes alfita y alfita, pero como quiera que estas rectas BC y Lalelas por alternos internos, este ángulo medida alfa y podemos apreciar con comodidad que la línea CP estaba

1:11:04 escondida, es una bisectriz. Como es bisectriz, aprovechamos el teorema de la bisectriz. Las dos perpendiculares tienen que medir igual. Este es el punto de coyuntura, el punto P. Una de las perpendiculares es pH. La otra perpendicular es inevitable. La trazamos PT. ¿Estamos de acuerdo? Esas dos perpendiculares, PH y PT, tienen igual longitud. Pero así como PH y PT tienen igual longitud, también CH y CT. Así que ct debe medir igual que CH, mis jóvenes alumnidos. Ahí está. Estas dos, ¿cómo tienen que ser? Igalitas son. Así que le ponemos la

1:11:54 medida que le corresponde. Okay. Pero como quiera que RBTP, este cuadrilátero que se ha formado es un rectángulo, no olvidar de que él es paralelo a ABC. Y si AB es perpendicular a BC, también lo será L. La figura es un rectángulo. Vamos a señalarlo por acá. Rectángulo. Entonces, mis queridos alumnidos, este segmento BT también vale X. ¿De acuerdo? Así que por el teorema de la bisectriz, aplicando el teorema de la bisectriz, no quiero ser muy formal en este sentido, chicos. Vamos a señalar lo principal. Por el teorema de la bisectriz, pH es

1:12:39 igual a PT, pero también hemos dicho, lo más importante, que HC es igual a TC e igual a A. Okay. Finalmente nos percatamos que si sumamos x con A, esto me da la longitud del segmento BC, que es B minúscula. Y en consecuencia, tal como ya lo habían indicado, chicos, x = b - a. Es la respuesta del ejercicio. Bonito ejercicio, como pueden ver. Caramba, sus respuestas me estimulan bastante, chicos, para que yo pueda continuar proponiéndoles la parte teórica, proponiéndoles

1:13:24 los ejercicios correspondientes. Okay, ahí está. Entonces, muy bien. Seguimos entonces, si no hay ninguna consulta, ninguna pregunta. Sí, todo está bien, chicos. Okay. Vamos a continuar. Entonces, mis queridos jovencitos. Ya vamos a indicar, Jofre,

1:14:11 hay libros también interesantes. Ahora puedes conseguir muchos libros. Sí, se pueden conseguir muchos libros que están publicados también se pueden bajar de internet, hay varios libros que se han se publican. Okay. Yo te recomendaría, pues, por supuesto, el de lumbreras, puede ser. Okay. Okay. El de la editorial Raxo también de geometría. Problema de geometría y cómo resolverlo. Muy bien, Kimi, gracias. Seguimos entonces, chicos, con otro teorema. A ver, seguimos con otro teorema,

1:14:56 el teorema de la mediatriz. De la mediatriz. ¿De acuerdo? Para empezar, recordarán ustedes que la mediatriz de un segmento se define como una recta perpendicular al segmento, ¿no es así? Una recta perpendicular al segmento trazado por su punto medio. ¿Okay? Así que consideremos un segmento AB. A ver, vamos a bajarlo un poco el segmento AB y tracemos a continuación la mediatriz de ese segmento. De hecho, que en el plano solo se puede trazar una

1:15:41 mediatriz, pero en el espacio infinitas mediatrices. El conjunto de las infinitas mediatrices me da un plano, están contenidas en un plano denominado plano mediatriz del segmento OAB. Okay. Tracemos entonces, chicos, la mediatriz. La mediatriz, como ya os dije, es una recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio. Así que señalemos que el punto M es el punto medio de el lado o del segmento AB. Y con estas características vamos a asegurar que esta recta es la mediatriz.

1:16:27 mediatriz del segmento A. Okay. Muy bien, chicos. Ahí está. Y el teorema de la mediatriz, ¿qué nos dice? Que si nosotros ubicamos un punto que pertenece a esa mediatriz, el punto debe estar en la mediatriz, obviamente. ¿Okay? Y si ese punto lo unimos con los extremos del segmento, o sea, con A y con B, vamos a tener dos segmentos parciales, PA y PB, que van a tener igual longitud. Es lo que me dice el teorema de la mediatriz. ¿De acuerdo? Dicho de otra manera, todo punto ubicado en la mediatriz de un segmento equidista

1:17:16 de los extremos del segmento. El término equidistar significa tener igual distancia, ¿de acuerdo? Así que la distancia de P al punto A tiene es igual a la distancia de P al punto B. PA = PB. ¿Está claro para todos, chicos? Entonces, yo les pregunto, ¿qué tipo de triángulo se ha formado? Si PA es igual a PB, ¿qué tipo de triángulo tenemos a mano? Un triángulo. Muy bien, chicos. Un triángulo isósceles. ¿Estamos de acuerdo? A manera de una nemotecnia, una técnica para poder recordar

1:18:02 y asociar con este teorema. Okay. Cada vez que en un problema veas mediatriz, cada vez que veas mediatriz, acuérdate, tienes que aplicar el teorema de la mediatriz. Y al hacerlo, vas a formar, ¿qué tipo de triángulo? Ah, profe, un triángulo isóceles. Veo ahí. efectivamente vas a formar un triángulo isóceles, que al final es, repito, el fin del teorema de la mediatriz. El fin del teorema es que se forme ese triángulo isóceles. Y cuando se forma un triángulo isósceles, se aprovecha los lados congruentes y los ángulos congruentes también. ¿Okay? Pero chicos, vamos a demostrar que PA es

1:18:49 igual a PB de una manera bastante simple. Solo tenemos que observar el triángulo AMP, triángulo rectángulo AMP. Y observamos de él que tiene un cateto AM, está marcado con dos rayitas. El cateto PM vamos a marcarlo con una circulito blanco y podemos observar que ese triángulo AMP tiene un cateto marcado con dos rayitas y otro cateto marcado con un circulito blanco. Pero también observamos a la derecha el triángulo rectángulo PMB que tiene lo mismo. En consecuencia podemos afirmar que los dos triángulos son congruentes.

1:19:34 Me refiero al AMP y al BMP por el caso lado ángulo LA, el postulado lal. ¿Me dejo entender? En consecuencia, chicos, ya habiendo reconocido que esos triángulos son congruentes, pasamos a señalar que a ángulos congruentes se le oponen lados congruentes. Quiere decir esto, mis queridos jovencitos, que si a este ángulo recto se le opone esta longitud PA que mide A, en el otro triángulo también debe ocurrir lo mismo. Y en consecuencia hemos demostrado que PA y PB tienen igual longitud. ¿OK? No se olviden. Entonces, siempre que haya mediatriz aplicar el

1:20:22 teorema de la mediatriz. ¿Qué tal? Hasta ahí planteamos un ejercicio. Sí, planteamos un ejercicio por acá, por el lado derecho. Vamos a ver. Un ejercicito por acá. Ahí está. Un ejercicio por acá. Ya. Vamos a ver. Muy bien, chicos. Ahí tenemos entonces la aplicación. Aplicación.

1:21:07 Bien. Como ven, estamos nosotros proponiendo el teorema, demostrando el teorema y aplicando el teorema, que es algo muy importante para su edificación geométrica, chicos. La aplicación, a ver, vamos a hacer también la construcción de un gráfico. Okay. A ver, a ver. Algo bastante simple. A ver, a ver, a ver, a ver. Tenemos entonces una aplicación, ¿de acuerdo? Un triángulo ABC. Ahí tenemos el triángulo ABC, ¿okay?

1:21:54 donde la mediatriz de AB, ahí está la recta perpendicular a AB, va a intersectar al lado AC en el punto P y de igual manera la mediatriz de BC también interseca a este lado AC en el punto que vamos a llamar Q. Okay. Nos piden determinar cuánto mide el ángulo PBQ. Esta es la incógnita, el ángulo PBQ, ¿de acuerdo? Sabiendo que es la mitad del ángulo exterior B. Okay. Un problema bastante simple de

1:22:40 aplicación. La pregunta para todos ustedes, ¿cuántas mediatrices se puede reconocer en la figura? Claro, dos mediatrices, una por cada lado. ¿Cuántos triángulos isósceles creen ustedes que se van a formar? Dos, ¿verdad? Un triángulo isósceles por cada mediatriz. Así que reconocemos de la figura que el triángulo APB y el triángulo BQC, los dos son triángulos isósceles. Esto es en virtud al teorema de la mediatriz. ¿Okay? Pueden ustedes observar mediatriz, punto de la mediatriz, las distancias PA y PB son

1:23:27 iguales. De igual manera, mediatriz de BC, punto de la mediatriz, las distancias QB y QC también miden igual. Pero recuerden, chicos, que no solamente debemos aprovechar los lados congruentes del triángulo isóceles, también hay que aprovechar los ángulos congruentes y además el hecho de que esta mediatriz o parte de la mediatriz, el segmento PM viene a ser una altura, una bisectriz, una mediana. ¿Me dejo entender? Entonces, cualquiera de esas características de la figura se pueden aprovechar en esta oportunidad. Solamente vamos a aprovechar los ángulos congruentes.

1:24:13 En primer lugar, en el triángulo AB, triángulo isósceles alfa y alfa. Y en el otro triángulo isósceles BQC, tetita y tetita. ¿Okay? Muy bien, chicos. Después de haber señalado las características ya estudiadas, pasamos a obtener ecuaciones de la figura. La primera ecuación que podemos obtener es en el triángulo ABC, ángulo exterior. El ángulo exterior, ¿quién es el ángulo exterior acá? Este angulito que mide 2x. Este ángulo exterior 2x es alfa + teta. ¿Estamos de acuerdo? Planteamos entonces la igualdad. Alfa + teta es 2x.

1:24:59 Y finalmente para para ya terminar el problema en el vértice B, la suma de las medidas de los ángulos adyacentes que determinan un semiplano me tiene que arrojar cuánto, 180. Entonces tendrías alfa + x + teta + 2x = 180, mis queridos jovencitos. Okay, pero como quiera que alfa + teta es 2x, ahí está, tenemos una ecuación con una incógnita. Se sigue que 5x, lo voy a indicar por acá, es 180. Y finalmente x = 36º

1:25:47 la respuesta del ejercicio. ¿De acuerdo? Ahí está. Son ejemplitos para que ustedes vean las aplicaciones de estos teoremas que se están dando mis jóvenes amigos. Okay, nos falta entonces otro par de ejemplitos, otro par de teoremas también, pero un momento, voy a tomar una poca de agua. Amigo, ¿puedo usar mi descanso un ratito? Sí. Gracias, amigo. Gracias.

1:27:11 Chicos, en breve retomamos. El maestro se ha se ha tomado un descanso. Se ha tomado un pequeño descanso, chicos. Así que tranquilos, chicos, que en breve comenzamos. Sí. Sí, chicos. Eh, ustedes saben, chicos, que los años pesan y bueno, el maestro ha ido a estirar las piernas y a comar un a comer un bocadillo. Vamos a esperarle unos unos cuantos minutos para retomar la clase, así que vayan a tomar un cafecito, un poco de agüita. Ya volvemos en breve.

1:27:59 [Música]

1:28:57 Never. [Música]

1:30:33 B It sound right, boy. Listo, chicos. Retomamos con el maestro Ernesto Quisp. Esto es como dónde lo pongo y esto acá

1:31:18 allá. Así es la cosa, ¿no? Chévere. Muy bien. Listo, chicos. Retomamos entonces un pequeño break y vamos a seguir pues con estos teoremas. Como ya os había mencionado, son las aplicaciones de la congruencia de triángulos. Pasamos entonces al teorema número tres conocido como el teorema de los puntos medios. Teorema de los puntos medios. Okay. De los puntos medios. Ahí está el teorema de los puntos medios, también llamado el teorema de la base media. se va a caracterizar por la presencia de

1:32:05 puntos medios justamente. Así que nosotros vamos a hacer la gráfica que corresponde a este teorema en cuestión. ¿De acuerdo? Consideremos entonces en primer lugar un triángulo, el triángulo ABC. ¿De acuerdo? Dibujemos entonces el triángulo ABC. Aquí está en pantalla, ¿de acuerdo? Okay. A continuación vamos a ubicar el punto medio del lado AB por el punto medio de este lado AB. ¿De acuerdo? Si por este punto medio, por el punto medio M del lado AB unimos con el otro punto medio, el punto

1:32:52 medio del lado BC, asumiendo que el punto medio del lado BC tenga o sea también el punto N. Entonces, a este segmento MN se le conoce también como la base media. Y este segmento MN va a tener las siguientes características. Primero va a ser paralelo al tercer lado AC. Okay. Este segmento que une los puntos medios de dos lados del triángulo ABC, los lados AB y BC, va a ser paralelo al lado AC. Y en segundo lugar, MN va a ser o va a tener una longitud que va a ser la mitad de la longitud de

1:33:39 lado AC. AC dividido entre 2. ¿Estamos de acuerdo? Estas son las características que posee este segmento. ¿Cómo se obtiene ese segmento? Uniendo los puntos medios de dos lados. Es el segmento cuyos extremos son los puntos medios. de dos lados del triángulo ABC. Así que cabe señalar que el punto M es punto medio, vamos a indicarlo acá, punto medio del lado AB y también el punto N es punto medio del lado BC. ¿Estamos de acuerdo? Ahí tenemos entonces la base media. Ahora, como una

1:34:28 consecuencia, lo vamos a dibujar en la parte derecha. Una observación. ¿Qué ocurre si yo tengo un triángulo, el triángulo ABC, y en este triángulo ABC ya no uno los puntos medios de dos lados directamente, sino lo que hago es por el punto medio de un lado, simplemente por el punto medio M del lado AB, procedo a trazar una paralela al lado AC. Okay, ahí está. Es otra forma de presentarse la base media. A ver, vamos a señalar acá. MN se denomina base media. Es otra forma de presentarse la base media en

1:35:15 los problemas. ¿Okay? La base media entonces se puede presentar, se puede determinar uniendo los puntos medios de dos lados o por el punto medio de un lado una paralela al tercer lado, al lado AC. ¿Me dejo entender? Una paralela. al lado AC. Así que vamos a hacer las características. Si M es punto medio, entonces punto medio del lado AB. Además, el segmento MN comprendido entre AB y BC es paralelo a AC. Entonces, con estas características, el segmento MN también será base media. ¿Okay? Y la

1:36:02 longitud de este segmento MN, por supuesto, tendrá las mismas características que en este caso. MN va a ser la mitad de AC y, por supuesto, el extremo N de esta paralela también va a ser punto medio del lado BC. En otras palabras, vamos a señalarlo de una manera más fluida. BN = NC. Okay, esto es lo que se va a cumplir entonces bajo estas características señaladas y como ya os dije chicos, MN viene a ser también la base media. ¿De acuerdo? Muy bien. Muy interesante conocer estas cosas. Así que nosotros vamos a dar una aplicación

1:36:48 de este teorema de la base media, ¿okay? Para que ustedes puedan edificarse mejor. una aplicación. A ver, a ver, chicos. Aplicación y por supuesto espero su rápida respuesta. Aplicación. Okay. Consideremos entonces en la aplicación un triángulo. Consideremos un triángulo isósceles. El triángulo isósceles. A ver, a ver, a ver. Ahí está. El triángulo isósceles ABC. Ahí está el triángulo isósceles ABC. ¿De

1:37:36 acuerdo? Voy a trazar la bisectriz del ángulo A. ¿De acuerdo? Ahí está. En esta bisectriz, los ángulos parciales, 35 gr cada uno. En esta bisectriz voy a ubicar el punto P, ¿de acuerdo? Con la condición que este ángulo mida 25º. El ángulo PCB mide 25º. Repito, en el triángulo de la figura, el triángulo que he construido, tenemos los siguientes datos. AB es ig a BC. Okay, este es el dato más resaltante en la

1:38:23 figura. Vamos a ubicar a continuación el punto medio del lado AP. Noten ustedes que se produjo la participación del punto medio. ¿Okay? Cuando hay punto medio en un problema, piensen en la posibilidad de aplicar el teorema de la base media. Punto medio, base media. Quizás tenga que indicarlo acá, chicos, como una especie de nemotécnia. Punto medio. ¿Qué debo de pensar? Base media. La base media. Okay. Así que ahí lo tenemos. Entonces, bien, vamos a trazar a

1:39:09 continuación BM. Trazamos BM, ahí está. Y nos piden determinar cuál es la medida de este ángulo. A ver su respuesta, chicos. ¿Cuánto creen que vale ese ángulo? A ver, para que algunos que se han perdido, AB es ig. Ah, ahí está. AB = BC. nos piden determinar la medida del ángulo ABM. A ver, a ver, a ver, ¿quién me dice la respuesta? Un premio especial, por supuesto, un premio virtual, chicos. Ah,

1:39:56 ¿quién será el tigre que me dé la respuesta? Sí, no puedo esperar mucho, chicos. Así es, Melissa. Muy bien. ¿Cómo estás, Sebastián? ¿Qué tal? Perfecto. Así es, Alan. Muy buena, muy buen comentario. [Risas] A ver, a ver, a ver. Me ha pedido las alternativas Moisés. No, a ver. Alternativa A. No te voy a soplar. Ah. 5 gr. B, 8 gr. C

1:40:43 10 gr. D 12º. E 15º. A ver, ¿cuál crees que es la respuesta? Ah, ¿cuál será la respuesta? A ver, a ver, chicos. ¿Qué dice? ¿Qué dicen? Ah, caramba. Muchas gracias, Necuri. Muchas gracias por tus buenos deseos. Muy bien, bien, chicos. A ver, parece que no quieren manifestarse, así que vamos a la resolución del ejercicio, ¿le parece? Sí, sale la A, me dicen. Sale 16

1:41:30 la E. Vamos a ver. Ya. A ver, a ver, a ver. Para que ustedes lo puedan corroborar o no sus respuesta. Bien, lo primero que hacemos para resolver el problema es completar los ángulos congruentes, ¿no? Como el triángulo ABC es un triángulo isósceles, el ángulo A, que mide 70 gr debe medir igual que el ángulo C. Así que este ángulo me diría 45 para poder completar el 70º. Por otro lado, 70 + 70 me da 140. Eso significa que el ángulo B vale 40 también. Ahí está. ¿Estamos de acuerdo? Perfecto. A continuación, este punto medio lo

1:42:16 debemos usar adecuadamente. Fíjense cómo una de las cosas que tenemos, chicos, que acostumbrarnos como una opción, porque en la geometría no hay una receta que podemos dar para poder eh seguir ese paso y siempre vamos a obtener resultado, ¿no es así? ¿De acuerdo? Pero yo les puedo dar algunas recomendaciones, ¿no? Una recomendación que es fundamental para su crecimiento y edificación geométrico es que cuando tienen un triángulo isóceles, chicos, les recomiendo que tracen la altura relativa a la base. ¿Por qué, profesor? Porque se aprovechan varias cosas. La altura es a la vez

1:43:01 mediana, es a la vez bisectriz. Okay, pero miren, observen ese punto medio H,

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