0:00 Nihayet başlıyoruz bu konuya. Günlerdir yazıyorsunuz. Bütün videoların altındaki yorumlarda görebilirsin. DM kutu patladı artık aynı cümleleri görmekten. Hocam ne zaman bu konu geliyor? Ne zaman bu konu geliyor? Artık gidiyorum maillere bakıyorum orada görüyorum. Seminerlere Antep'e gittik orada başımın etini yediniz. Nihayet başlıyoruz. 10. sınıf tayfam 4. temayla nicelikler ve değişimler at kenara. Lise hayatının, lise matematiğinin en önemli konusu. Yeni muarif modelin üzerine kurulu olduğu sistem, nicelikler, değişimler. Matematik bunun üstüne kurulu arkadaş. Kim ne derse desin en büyük ağırlığı bu oluşturuyor ve burayı anlayan adam 10. sınıfta da başarılı olur. 11'de de 12'de de gireceği üniversite sınavında da başarılı olur arkadaş. Ha bu konu 9.
0:45 sınıfın bir nevi devamı olarak devam edecek. Daha öncesinde doğrusal fonksiyonlar anlatılmıştı. Şimdi karesel fonksiyonlara bir geçiş var. burayı anlatacağız ama eminim sen o bilgilerin çoğunu belki de unuttun. Ben sana onları da hatırlatacağım. Fonksiyonla ilgili ne bilmen gerekiyorsa derece tayfı olman için ne gerekiyorsa hepsini burada tek anlatıyor olacağım. Çünkü ne dedik bu yola çıktığımızda? Sadece 10. sınıf değil. Biz üniversite sınavında da başarılı olacağız. Biz sadece okul öğrencisi değiliz. Okula 10. sınıf öğrencisi değiliz. Biz şimdiden bu işe emek veren RM tayfa derece öğrencileriz. Kimler derece öğrencisi yazsın. "Hocam ben derece tayfa olmak için buradayım diyenler yazsın. Çünkü derece tayfayı için yola devam ediyorum. Elinde kalemim, önünde ücretsiz PDF ders notum. Hemen gidiyorsun Instagram rehber matematik sayfasını açıyorsun. Önce bir
1:31 abone oluyorsun. Ücretsiz biliyorsun. RM katılı giriyorsun o tarafta kanalına. O kanalda ücretsiz olarak tüm PDF'leri indirebilirsin. Gönder gelsin. Nihayet başlıyoruz efendiler. 4. tema 1. dersteyiz. Başlığımız nicelikler ve değişimler. Arkadaş dediğim gibi lise matematiğinin en önemli müfredatı. Burada ne anlatacaksın hocam? Gerçek sayılarda tanımlı fonksiyonların niteli özelliklerinden bahsedeceğiz. Ama bu özellikleri anlatabilmem için senin fonksiyonu bilmem lazım. Bu özellikleri anlayabilmen için senin doğrusal fonksiyonu bilmen lazım. Biliyor musun? Hatırlıyor musun? Ne kadar hatırlıyorsun? Muallaktan şimdi baştan gireceğiz. Daha çok hatırlatmalarla başlayacağım. Sonrasında yavaş yavaş yeni konuya geçeceğiz. Hadi bakalım. Bismillahirrahmanirrahim diyorum. Gerçekten inanılmaz önemli bir konu. İlk
2:19 başlığımız fonksiyon nedir? Tanımını öğrenemezsen yapamazsın. Tanım bilmezsen matematikte ilerleyemezsin. Bak matematik tek başına zekayla yeterli olan bir şey değil. Başlı başına tanımla ilerlenen bir noktadır. O yüzden şimdi boş kümeden farklı bir tane A kümesi alıyorum. Bu ters yazılmış. Bunu bir düzeltelim. Dizgiden geldiği gibi koydum vallahi öneme. A kümesi boş kümeden farklı olacak. Reel sayıların bir alt kümesi olacak. Bak matematiksel olarak çeviriyorum ki anla. Burası hikaye bölümü gibi gelse de önemli. Her aldığım A kümesinden X elemanı için istediğim x'leri alabilirim. Bir ve yalnız bir tane f(x) elemanıdır. Rel sayılarda başka bir f(x) ile eşleşebiliyorsa
3:05 f'ye gerçek sayılarda bir fonksiyonu denir. Hocam ne dedi? Ne dedi? Ne dedi? dedi ki A ve R kümem var. A kümesinin içerisinden X'leri alıyorsun ve bu X'leri kimle eşleştiriyorsun? f(x)'lerle eşleştiriyorsun. Bu eşleşmenin önemli olan noktalarından biri neresi? Bak altını çizerek söylüyor. 1 ve yalnız bir tane f(x)'te yani bu x bununla eşleşti yaşka bu x1 bu x2 bu da gelip başka bir x'le diyelim ki eşleşti. Aynı sayıyla eşleşebilir ama kalkıp x2 hem buna hem buna gidemez. bir tanesine gitmek zorunda. Anlatabildim mi? Şimdi biraz oturacak. Bekle, acele etme. Şimdi fonksiyon dediğimiz şeyi genelde küçük harflerle f, g, h, r, k,
3:50 l, m, n gibi harflerle gösteriyoruz. Fonksiyonları gösterirken f iki nokta yazılır. A'dan R'ye doğru gidiyorum. y = FX şeklinde gösterilir. Hatta bu f(x)'in yanına da mümkünse bu fonksiyonun kuralı yazılır. Misal bak şöyle. fonksiyonu a'dan reel sayılara doğru tanımlı. f(x) de eşittir mesela 3x + 5. Geçen seneki müfredattan 9. sınıf müfredatından belki hatırlıyorsundur geçen sene bu kısımdan bahsedildi. Burada önemli olan noktalar biz aslında x'leri alıyoruz y'lerle eşleştiriyoruz. Tamam mı? Yaptığımız özünde olay bu. Peki bu aldığımız x'ler nelerdir? Bağımsız değişkenler. Kafana göre seçebiliyorsun ama tek önemli nokta
4:36 şuradaki A kümesinin içinden seçeceğiz. Birazdan o A'nın bir adı olacak. Sonra bağımlı değişkenler yani buradaki y ve f(x)'ler. Aslında y dediğim şey aynı zamanda f(x)'e eşit. Aslında ne gibi düşünebilirsin biliyor musun? Bak bunu blender makinesi gibi bir makine gibi düşün. Biz buradan içeriye x'leri atıyoruz. Dışarıya ne çıkıyor? FX. Bir fonksiyon makinesi var burada. Hani buradan portakalı atıyor ya YCM Yılmaz. Buradan da meyve suyu olarak çıkıyor. O hesap biz x atacağız. Bu x'ler dışarı nasıl çıkacak? f(x). Her biri ayrı birer fx olarak çıkabilir. Bazen aynı fxler gelebilir. Portakallar farklıdır ama her seferinde aynı portakal soyunu elde edersin gibi. Şimdi x dediğim şey bağımsız değişken. f(x) dediğim şey
5:21 bağımlı değişken. Gelelim her fonksiyonun olmazsa olmazı bir tanım kümesi vardır. Tanım kümesi dediğimiz yer x eksenidir. X ekseninde fonksiyonun gezdiği yerdir. Fonksiyonu yazarken hani r'den r'ye, a'dan r'ye diye yazıyordum ya. Burada yazdığım baştaki r benim tanım kümem. Zaten biz kime x demiştik? Baştakine. O zaman baştaki tanım kümesi. Tanım kümesini bana verecek. Her fonksiyonun tanım kümesi olmak zorundadır. Tanım kümesi yoksa fonksiyon da yoktur. Arkadaş geldim. Fonksiyonun görüntü kümesi. Görüntü kümesi Y'lerdir. Dediğim gibi dizgiden geldi. Kontrolünü bile yapmadan direkt geldim. Burayı her türlü düzeltmeyi üstünde yapacağım arkadaş. Burada da demek istenen yer az
6:07 önce de bak y'ler. Diğer adıyla f(x'ler. Neresiydi hocam? Burasıydı. Burası da nedir? Görüntü. Allah yazmadı. Burası da nedir? Görüntü kümesi. Görüntü kümesi. Görüntü kümesi de burası mı hocam? Aynen öyle. Şimdi bu tanım ve görüntü kümelerini biz fonksiyonun grafiği verilirse nasıl bulacağız hocam? y = f(x) fonksiyonunun tanım kümesinin elemanları yatay eksen, değer kümesinin elemanları da düşey eksen üzerindedir. Yatay eksen dediğim neresi? X ekseni. Düşey eksen dediğim yer neresi? Y ekseni. Misal bak hocam bak benim fonksiyonum bu şekilde grafiği çizilmiş. Evet bu fonksiyonun x ekseninin hizasında başlayıp bittiği hiza bizim
6:52 tanım kümemiz. Bak tanım kümemiz buradan başlıyor. Burada bitiyor. Tanım kümesini bana yaz dediğimde birazdan örneklerini yapacağım. Hiç panik yapma. İlk başta böyle havada gibi kalacak bilgiler. Bu dediğimi asla unutma. Şimdi bir iki örnek çözmeye başlayınca hop hepsi toparlanacak buraya. Tamam mı? Hocam dikkat et. Buradaki yere biz ne diyeceğiz bundan sonra? Tanım kümesi adını vereceğiz. Peki yola devam ediyorum. Geldim hocam. Şimdi mevzu şuraya geldi. Biz artık y ekseninin hizasındaki yerlere bakmak istiyoruz. Y ekseninin hizasında şuradan şuraya kadar gezmiş değil mi? Fonksiyonun hizasına bakıyorsun. Heh. İşte o hizin için artık ne olacak? Görüntü kümesi olacak. Bu kadar arkadaş. Görüntü kümesini nereden buluyorum? Y ekseni üstüne grafiğin
7:39 üstünde bakarak. Tanım kümesini nereden buluyorum? X ekseni üzerinde grafiğin geldiği noktalar. Daha kolay şöyle yapabilirsin. Bazen şöyle de yapılıyor. Grafikten x eksenine dikmeler at abi. Bak atıyorum. Atıyorum. Atıyorum. Atıyorum. Grafikten atmaya devam ediyorum. Atıyorum, atıyorum, atıyorum. Nerede bitti? Burada bitti. Başlangıcı bu hiza, bitiş bu hiza gibi düşün. Mesela burası A olsun. Burası B olsun. Kapalı AB tanım kümesi. Aynı şekilde Y eksenine dikmeler at. Bu sefer bak. Y eksenine dikmeler atıyorum. Atıyorum. Atıyorum. Atıyorum. Atıyorum. Yetmedi hocam. Bu taraftan da atabilirsin. Atarsın. Aynı yeri iki defa karalamış olursun. En son geldiğim nokta bak burası. Hiç boşluk bıraktı mı? Hiç boşluk bırakmadı. y eksenine dikmeler atarken şurada geldim. Şurası C olsun. Burada bitirdim. D. O zaman kapalı C'den
8:25 başladım. Kapalı D de bitirdim. Burası da benim neyim oldu? Görüntü kümem oldu. Şimdi bir de değer kümesi var. Biz aslında fonksiyonları yazarken normalde değer kümesine göre yazılırız ama burası biraz ayrıntı. tanım kümesindeki elemanların fonksiyonu altındaki görüntülerinin oluşturduğu kümeye görüntü kümesi denir ve FA ile gösterilir. Bazen biz şöyle yazarken F R'den R'ye mesela bak burası değer kümesi şeklinde düşünebilirsin. Biz buradaki x'leri y'lerle eşleştiriyoruz ya. Bazen bütün r'lerle eşleşmez. bazı R'lerle eşleşir. İşte o bazı R'lerle eşleştiklerine de görüntü kümesi adı verilir. Eşleşenlere o görüntü kümesindeki tanım kümesindeki
9:11 elemanlarla eşleşenleri FA ile gösteriyoruz. Burası ekstra bilgidir. Haberin olsun. Bak bu ekstra bilgi. Delikanlı gibi söylüyor. Orayı çok kafana takma. Görüntü kümesi, tanım kümesi bitti abi. Gel şimdi. Şimdi F a'dan R'ye. Hatta bu dersin ana konusudur aslında bu kısım. y = f(x) fonksiyonun belirtebilmesi için birinci öğrenme çıktımız bu. Bak şurada yazmışım. Gerçek sayılarda tanımlı fonksiyonların nitel özellikleri. Ama bunu yapabilmen için önce bir fonksiyon verilen ifade bir fonksiyon mu değil mi? Bunu nereden anlayacağız? Tanıma uyacak. Bir tanım kümesinde boşta eleman kalmayacak. A kümesinin yani tanım kümesinin elemanlarından her biri R kümesinden en fazla bir elemanla eşleşecek. Yani birden fazla elemanla
9:58 eşleşmemelidir. Yani en fazla bir elemanla eşleşmelidir. Ana kural bu. Birazdan bu kural üzerine de sorular çözeceğim ama önce şu anlattığım kısımla ilgili doğru yanlış ifadeleri bir bulalım bakalım. F A'dan B'ye biçiminde tanımlanmış bir tane F fonksiyonu var. Doğruları için tik atacağız. Yanlışlar için çarpı atacağız. A tanım kümesidir. Evet hocam. Birinci yazılan küme her zaman tanım kümesidir. FB görüntü kümesidir. Hayır. Görüntü kümesi nasıl yazılıyordu? Tanım kümesini F'nin içine yazıyordum. Bak tanım kümesini burada ekstra bilgi dediğim yer. Tanım kümesini normalde biz A'dan R'ye tanımlamıştık bunu. A'dan R'ye tanımlamıştık. Görüntü kümesi FA şeklinde gösterilebiliyor. Bazı kaynaklarda karşına gelecek. Bil
10:44 istedim. O yüzden bu örnek burada var. B değer kümesidir. B kümesine görüntü kümesi de denir. Görüntü kümesi de denir. Bazen görüntü kümesi olarak yazıyoruz. Bazen de değer kümesi olarak yazıyoruz. Yani bundan yana sıkıntı yok. Bu da doğru. FA görüntü kümesidir. Az önce ne demiştim? Gerçekten FA'nın görüntü kümesi olduğunu söylemiştim. Görüntü kümesi FA, değer kümesi B'nin alt kümesidir. Gerçekten öyle. Şimdi bizim X'lerimiz kimlerle eşleşiyordu? Y'lerle. A'ları alıyorduk. Nereye götürüyorduk? R'leri. E tamam da bütün reel sayılarla eşleştiremeyebilirim. Bazen bazı reel sayılarla eşleştiririm. Buradakiler FA'lar görüntü kümesiydi ya. Bu görüntü kümesinin elemanları kimin alt kümesi olacak? Değer kümesinin alt kümesi
11:30 olacak. Yani görüntü kümesi FA değer kümesi B'nin alt kümesidir. Doğru bir ifadedir. Biliyorum burası biraz farklı gelebilir ama hiç kafaya takma. Bunlar yine biraz ekstra bilgiler. Hani biraz bakış açını genişletiyorum ama yine müfredata odaklanıyoruz. A kümesinde B kümesinden en az bir elemanla eşleşmeyen bir eleman olabilir. Hayır, olamaz. Asla eşleşmemiş eleman olmamalıydı. Bak burada yazıyor. A kümesinde boşta eleman kalmamalıdır. Bunun anlamı ne? Herkes eşleşmek zorunda. Bu diyor ki eşleşmeyebilir. Yok öyle dünya. Yok öyle dünya. Geldim. A kümesinde B kümesinden birden fazla elemanla eşleşen en az bir eleman vardır. Hayır yoktur. Ne dedik? Bak yine fonksiyon olmanın
12:17 tanımı, kuralı gereği. Burada ne yazmışım? A kümesinden bir eleman elemanlar her biri R kümesinden birden fazla elemanla eşleşmemelidir. Burada ne diyorsun? Eşleşen en az bir eleman vardı. Hayır, birden fazla elemanla eşleşemezsin. Yanlış bir ifade bu. Şimdi geldim bunu bir de böyle yazdığımız değerlerle bir görelim. Fonksiyonu -2'ye 5 aralığından -3'e 7 aralığına. Biliyorsun ki burası ne demekti? tanım kümesi. Burası ne demekti? Görüntü kümesi ya da değer kümesi de diyebiliyorduk buraya. Fonksiyonu için aşağıdaki ifadelerden doğru olanı tikleyeceğiz. Bakalım. Tanım kümesi -2'ye 5. Gerçekten birebir aynı mı? Birebir aynı. Doğru. Değer kümesi -3'e 7. Doğru mu? Sazanlandın. Geçmiş
13:02 olsun. Dikkat et. -3 açık aralık. 7 açık aralık. Burada ne oldu da kapandı o aralık? Yok öyle bir dünya. açık başlarsa yani buradaki neyse aynısı olmak zorunda. Görüntü kümesi. Hatırla biz F A'dan R'ye fonksiyonunu yazarken FA'ya ne dedik? Görüntü kümesi dedik. Doğru mu? Evet hocam. E görüntü kümesi. Tanımı F'nin içine yazıyorsun. Tanım kümesini F'nin içine yazıyorsun. Hocam ilk defa gördüm. Nereden bilebilirim? Ama yazdım ben bunu. Oraya A olarak yazdım. Bunu tahmin etmen lazımdı. tanım kümesinde 4 eleman olarak bulunur. Şimdi bak tanım kümesi. Tanım kümesi nasıl tanımlamışız? -2 ile 5 olarak tanımlamışım. Gerçekten benim aldığım 4
13:49 5'ten küçük ama -2'den büyük müdür? Büyüktür. Gerçekten tanım kümesinin içerisinde 4 var mıdır? Vardır. Geldim. -4 görüntü kümesinde eleman olarak bulunur. Bak -3 ile 7 aralığında 4 burada yer alabilir mi? Pardon -4. Hayır. -4 bu tarafta olması lazım. Yanlış. Yani görüntü kümesinde -4 eleman olarak yoktur. Hocam çok zor ya. Biz biz bunları hiç hatırlamıyoruz arkadaş. Hiç panik yapma. Dediğim gibi şimdi işin artık tamamen olayına ineceğiz. Örneklerle bu soruları halledeceğiz. Hocam grafiği verilen g(x) fonksiyonuna ait tanım ve görüntü kümelerini bul. Hocam ben sana sorayım. Tanım kümesi dediğimde nereye bakıyorduk? X eksenine bakacaktık. Görüntü kümesi dediğinde nereye bakıyorduk? Y eksenine
14:36 bakacaktık. Doğru mu? Şimdi geldim hocam. Fonksiyonum burada. Tanım kümesini yazacağım G için. Nereden başlıyordum? Buradan. Bak bu hizadan başladım. Dikmeler atıyorum. Boşluk bıraktığı an tanım kümesinde boşluk bırakmış olursun. Hiç boşluk bırakıyor muyum? Bırakmıyorum. En son nerede bitirdim? 7'de. Hangi eksen bizim tanım kümemizdi? Burası. Nerede başladım? -4'te. Nerede bitirdim? 7'de. Peki 7'nin hizasına bir bakar mısın? Kapalı aralık değil mi? Yani kapalı. -4'ün hizasına bakar mısın? Burası önemli. Dikkat et. Burası nasıl? Açık aralık. Yani burayı ne yapmak zorundasın? Açık bırakmak zorundasın. Geldim görüntü kümesine. Görüntü kümesi kimin hizasından başlıyor? -2'nin hizasından. Bak dikmeler atıyorum. Grafiğim geliyor,
15:21 geliyor, geliyor. Buralardan devam ediyor, ediyor, ediyor. Burada devam ediyor. Bitmedi. Yukarılara devam ediyor. Nereye kadar? 5'in hizasına kadar. Nerede başladım? -2'de. -2'nin hizası açık mı, kapalı mı hocam? -2 kapalı. -2 kapalı aralığından 5 nasıl aralığa kadar geldik? Açık aralığa kadar geldik. Bunu geçen sene aslında yazmayı biraz öğrendik. Bu sene de bunların hatırlatmalarını yapıyorum. Bu kısım aslında 9. sınıf hatırlatması gibi ama malum 10. sınıfta bu nitelikler, değişimleri anlamanı için buraları öğrenmen çok önemli. f(x) fonksiyonunun grafiği verildi. Şimdi diyor ki, "F'dan R'ye A ve FA kümelerinin kesişim kümesini bulunuz." A kümesi ne demek hocam? Önce bir yazalım. tanım kümesi demek. Önce tanım kümesini bulacağım. FA kime deniyordu hocam? Görüntü kümesine
16:08 deniyordu. Ardından neyi bulacağım? Görüntü kümesini bulacağım. İkisi de nereden bulunuyor? Grafik üzerinden bulunuyor. Dikkat edelim. X ekseninde -2'nin hizasından başlamışım. Grafik kimin hizasına kadar gelmiş? 5'in hizasına kadar. Bence uzatmayalım. Direkt yazalım. Hocam -2 kapalı aralığından 5 açık aralığına kadar. Doğru mudur? Geldim. Şimdi diğerini bulacağız. Diğerine hocam -3 kapalı aralığından başlıyoruz. Grafik hiç boşluk vermeden y ekseninde kimin hizasına kadar geliyor? 4'ün hizasına kadar geliyor. O zaman görüntü kümesi nereden başlıyor? -3 kapalı aralığından 4 açık aralığına kadar gidiyor. Soru benden bu iki kümenin kesişimini istiyor. Biz hemen şöyle yapalım. Bak sayı doğrusu üzerinde bunları çok daha
16:54 iyi yapabiliyoruz. Bu da yine aslında aralıklar kavramı öğrenmiştik seninle birlikte hatırlarsan. -2 - dur -2'yi şuraya alayım biraz. -2'den nereye kadar geliyorum? 5 açık aralığına kadar. Şimdi -3 -3 kapalı aralığından nereye kadar geliyorum? 4 açık aralığına kadar. Soru benden ne istiyor? Kesişim kümesi. Bak kesişim kümesi bu ikisinin ortak geldiği bölgedir. Şuradan başlıyor, şurada bitiyor. Hatta onu da şöyle sarı çizgiyle şuradan da gösterelim. Tamam. O zaman ben de diyorum ki A kesişim FA E= -2 ikisinde de var yani kapalı aralık virgül nerede bitiyorum bak 4te. 4 mavi de var kırmızı da yok. O zaman kesişimde de ne olmaz? Olmaz. -2 4 aralığı bizim
17:41 kesişim kümemizdir. Mükemmel bir soru. Geldim 5. soruya. Hocam dik koordinat sın f ve g fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir. Fonksiyonunun tanım kümesi, görüntü kümesi, G fonksiyonunun tanım görüntü kümeleri gösterilmiş. A kesimle K birleşim B'yi bul. Önce bütün kümeleri tek tek bulacağız. Gel bulalım hızlıca. Hocam F fonksiyonunun tanım kümesi X. Bak buradan başlamış dikmeler. İniyorum, iniyorum iniyorum iniyorum iniyorum. Nereye kadar? 4'ün hizasına kadar. Hemen tanım kümesini yazıyorum. Tanım kümesi -3 kapalı aralığından dikkat et 4'ün hizası nasıl hocam? 4 açık aralığına kadar. A kümesini buldum. B kümesi yani görüntü kümesine geldim. Görüntü kümesi -2'nin hizasından geliyorum. Geliyorum, geliyorum geliyorum geliyorum geliyorum, geliyorum, geliyorum. 6ın
18:28 hizasına kadar yani -2, 6 aralı. Getir, yapıştır bunu da hocam. -2 kapalı. 6 açık aralığına kadar ne yapacağım? Geleceğim. Şimdi şunu bir düzelteyim. -2 6 açık aralığı. Geldim g(x) kümesine arkadaş. G(x) kümesinde nereye bakacağız? Aynı şekilde tanım ve görüntü kümesi bulacağız. Başlıyorum. X ekseninde grafik -4'ün hizasından başlamış. Boşluk bırakmamış. Bırakmamış. Altına inmesi önemli değil. X'in hizasında nerede bitirmiş? 7'de bitirmiş. O zaman tanım kümesi nedir? -4 açık 7 kapalı aralıktır. Uyuma, uyuma bende kal. Bunlar önemli. Lise hayatın buna bağlı. Korkutmak için söylemiyorum. Gerçekten müfredat buna bağlı. Bak
19:13 fonksiyon burada devam ediyor. Burada hizasında elemanlar var. Var var. Kimin hizasına kadar? 5'in hizasına kadar. 5 nasıl aralık? Açık aralık yazdır bana. Kapalı -3'ten 5'e kadar geldik. 5 açık aralık. Şimdi A kümesi ile neye bakacağız? A kümesi ile L kümesinin kesişimine bakacağız. Hızlıca bakalım ona. Hocam sayı doğrusunu çizdik. Sayı doğrusu üzerinde -3 kapalı aralığından başladık. -3 kapalı aralığından başladık. 4 açık aralığına kadar geldik. 4 açık aralığına kadar geldik. A kümesi bu. -3'ten 5'e kadar. -3 kapalı aralığından hizasından başladık. Kaça kadar geleceğiz? 5'e kadar geleceğiz. 5 nasıl aralık hocam? Açık aralık. 5'in hizasına kadar da geldik mi buradan?
20:01 Efendim? >> Merhaba. >> Geldik hocam. O zaman şimdi artık sonuca geldik. Benden neyi istiyor hocam? Kesişim kümesini bulmamı istiyor. İkisi için ortak geldi. Geldi geldi. Kimin hizasına kadar? Buraya kadar. Yazdır bana. -3 zaten ikisi için ortak başlangıç. 4 açık aralığına kadar kesişim kümesidir dedim. Noktayı koydum. Şimdi ne istiyorum? Şu iki kümenin birleşimini arıyorum. Yine geldim. Sayı doğrumu çizdim. Bak eski müfredatla da ayrıntılı bir konu. Tam da yeni nesil soruların geldiği noktalar burası. Arkadaşlar geçen gün Milli Eğitim Bakanlığı açıklama yapmıştı. Dedi ki biz bu tarz soruları artık sınavlarda soracağız. Demişti. Şimdiden bunlara da seni ne yapmış oluyoruz? hazırlamış oluyoruz. -4 7 aralığını buldum.
20:48 Yapıştırdım. Geldim diğerine. -2 -2 yalnız kapalı aralık. Buradan nereye kadar geldik? 6'ya kadar geldik. 6 nasıl aralık? Açık aralık. Doğru mudur? Bunların birleşimi de aslında yine bunun tamamı yapmaz mı? Yapar. O zaman ne yazacağız? -4 açıktan birleşimi aldığım için 7 kapalı aralığına kadar bu küme benim birleşim kümemin elemanıdır dedim. Müthiş. Şimdi buraya kadar fonksiyonun tanımı üzerinde durduk. Şimdi gelelim geçen sene 9. sınıf müfredatında bizim gördüğümüz konu başlığının adı doğrusal fonksiyondu. Tamam mı? Doğrusal fonksiyon dediğimizde neydi? İşte onun tanımını yapacağız ve bu doğrusal fonksiyon üzerinden artık nereye
21:33 bağlamaya başlayacağız? Verilen bir ifadenin fonksiyon olup olmaması neye bağlıdır? Verilen bir grafik nasıl fonksiyon olduğunu anlayabiliriz. Bunları öğreneceğiz. Ama ilk olarak o 9. sınıfı bilgisini bir hatırlayalım. İki değişken arasındaki doğrusal ilişkinin doğrusal fonksiyonlarla ifade edildiğini ne zaman gördük seninle? 9. sınıfta öğrendik. Şimdi diyorum ki ben A elemanındır re. A 0'dan farklı B de elemanıdır r olmak üzere. Eğer ki ben sana f(x) = ax + b kuralı ile bir fonksiyon verirsem bu fonksiyonun adı nedir? Doğrusal fonksiyondur. Ama her fonksiyonun nesi olması lazım? Tanım ve görüntü kümesi olması lazım arkadaş. Bunu da vermek zorunda. Tanım kümesini ve görüntü kümesini vermek zorunda. Buraya kadar anladık mı? Peki bu doğrusal fonksiyonların yazılışını
22:20 hatırlıyor muyuz? Bak MEA kitabında da yine benzeri de vardır bu sorunun. Aşağıda doğrusal ilişkiye ait grafik verilmiştir. Bak bir doğrusal fonksiyon. Bu doğrusal ilişkiye ait cebirsel ifadeyi nedir? Yazınız. Yani fonksiyonu yazın. Ardından tanım kümesini yazın. Ardından görüntü kümesini yazın. Hatırlıyor musun bunları nasıl yazdığımızı? Biliyorum çok kolay değildi ama artık hatırlatma zamanı bende. Şimdi ben hemen sana şurada şu hatırlatmayı bir açayım. Hatırlıyorsun bizim sticker not'larımız hayat kurtarıyordu. Şuraya bir sticker note yapıştırıyorum. Bu sticker not'da doğrusal fonksiyonda verilen ifadeler ne belirtir onu yazıyorum. f(x) doğrusal bir fonksiyon olsun. ax + b neyi verir onu yazıyorum arkadaş. Buradaki B y eksenini kestiği noktadır. Grafiğin kestiği nokta. Şimdi
23:09 geldim. X'in önündeki A doğrunun nesidir? Eğimidir. Eğim ne demektir hocam? yatay bölü dikey oran demektir, değişim demektir. Yatayın dikeye oranı demektir. Sen bunları yazdığında fonksiyonun kuralını yazabilirsin demektir. Şimdi geldim fonksiyonun kuralını yazacağım. Fonksiyonun önce adını belirleyelim. Hocam fonksiyonun adı f(x) olsun. Bu f(x)'lere göre neye benzemek zorunda? Doğrusal gittiği için ax + b'ye benzemek zorunda. B değeri belli. Y eksenini kestiği nokta 10. Ama hocam şey belli değil işte benden istenen diğer değer yani a değeri belli değil. Onu nereden bulacaksın? Yatayın dikeye oranına bakacaksın. Şimdi
23:56 fonksiyondaki dik yatay pardon dikey kısım burası mı? Evet. Yatay kısım burası mı? Fonksiyondaki verilen grafiğin dikeyde aldığı yolun yatayda aldığı yola oranına bakıyorum. Aslında bu neydi? Tanjant alfa değil miydi? Sen 10. sınıf sen trigonometri bilen insan aslında tanjant alfa değeri bana neyi veriyor burada? A'yı veriyor. Müthiş. Bazen negatif de gelebiliyor yalnız bu değer. Şimdilik onu yazmayacağım. Kaldırdım. Hocam şu dikeydeki gidilen yol kaç birim? 35'ten 10'u çıkardık 25 birim. Yatayda gidilen yol ne kadar? 5 birim gitmişiz. O halde a değeri neye eşittir hocam? 30 pardon
24:42 25/ 5'e eşittir. Aslında bu da kaça eşittir? 5'e eşittir. Artık fonksiyonun kuralı belli hocam. f(x) = 5x + 10'dur. Müthiş hocam. Acaba doğru bulduk mu? Mesela bak x yerine 5 yazdığımda cevap ne gelmeli? 35. Kontrol edelim. 5 x 5 + 10'dan cevap 25 + 10'dan cevap ne geldi? 35. Gerçekten F5'in cevabı neymiş? 35. Bak bu noktayı verdi bana. Anlaştık mı? Güzel. Şimdi artık tanım kümesini yazabilirim. Bir fonksiyonun tanım kümesini yazarken mesela bak buradan A'dan R'ye doğru yazıyordum ya. Burası neydi? Tanım kümesi. Şimdi tanım kümesini yazıyorum. Hocam bu fonksiyonun tanım kümesi x ekseninde taradığı
25:30 bölgeydi. Nereyi taradı? Bak şu hizada başladı. Şu hizada bitirdi. Fonksiyon 0 la 5 aralığını gezdi. Dahil mi? ikisi de dahil 05 kapalı aralığı benim tanım kümem. Geldim görüntü kümesine. Görüntü kümesi neydi? Burasıydı. O halde gel yazalım. Görüntü kümesi. Yazıyorum. Kümesi. Onu da nereden anlıyorduk? Y ekseninde taradığı bölgeye bakıyorduk. Bak y ekseninde aslında tam şu 10un hizasından başlıyor. Bak devam ediyor. Dikmeler atıyorum. Y eksenini atıyorum. Atıyorum. Nerede durdum? 35'in hizasında. Nerede başladım? Nerede bitirdim? 10'da başladım. Kapalı aralık 10'da başladım. 35 kapalı aralığında bitirdim. O halde aslında bak bu
26:15 fonksiyonu yazarken en güzel yazı şudur. 05 tanım aralığı, 10' la 35 görüntü kümesi. Fonksiyonun kuralı da hocam 5x + 10 şeklinde ifade edilir diyeceksin. Efsane bir şekilde doğrusal fonksiyonunu yazacaksın. Şimdi yine geçen seneki bilgilerimizi hatırlayarak hatırlatma amacıyla f(x) fonksiyonun bak tanım kümesi görüntü kümesi. f(x) verilmiş fonksiyonun tanım kümesi değer kümesini ve görüntü kümesini bulunuz. Bir kere değer kümesi burada yazandı direkt. Değer kümesi reel sayılar ama görüntü kümesi neydi? X'lerle eşleşenler. Şimdi bizim amacımız ne? X'leri alıyoruz hocam. FX'lerle eşleştiriyoruz. Doğru mu? X'in verildiği aralık belli mi?
27:02 Belli. X hangi aralıkta verilmiş? 5 açık aralığıyla kapalı -3 aralığı. Yani küçük eşitmiş x pardon x > eşitmiş -3'ten ama 5 aralığında. f(x) dediğim şeye ulaşmaya çalışacağım. f(x) nedir? 2x - 1. O halde her tarafı ne ile çarpalım? 2 ile. Bak 2 ile çarptım. -6 <= 2x. O da küçük. 2 kere 5'ten ne geldi? 10. Buraya kadar anlamadığım bir şey var mı? Her taraftan ne çıkaracağım? 1 çıkaracağım. 1 çıktı -6 -7 oldu. Üç eş 2x - 1 çıktı. Ne kaldı hocam? 10'dan 1 çıktı 9 kaldı. Şimdi bu arkadaş özünde kimdir? f(x)'in ta kendisi değil midir? Evet bu arkadaş 9'dan küçük ama -7'den nedir? Büyüktür.
27:50 E artık bulduk biz olayı. Hocam bak ben f(x)'e ulaşmaya çalışıyordum. Yani diğer adıyla görüntü kümesine ulaşmaya çalışıyordum. Görüntü kümesi küme olarak yazalım. Şimdi de bunu yazmayı biliyorsun. Görüntü kümesi -7 kapalı aralığından 9 açık aralığına kadar. Ne yaptım? X'ten yola çıkarak 2x - 1'e ulaştım ki o da benim neyimdi? f(x) fonksiyonumun görüntü kümesinin sınırlarını verdi. Şimdi tersten geleceğiz. Bak dikkat et. A'dan R'ye. Bu fonksiyonun görüntü kümesi 1 ile 16 aralığında olduğuna göre tanım kümesini bulunuz. Şimdi görün biz x'leri alıyorduk. Nereye götürüyorduk? f(x)'ler. Bunları nereden alıyorduk? Bu adamları tanım kümesinden alıyorduk. Bu adamlar nerede çıkıyordu? Görüntü
28:35 kümesinin elemanlarıydı. Görüntü kümesi demek fx demek. FX hangi aralıkta? Kapalı 16 ile açık 1 aralığında. Doğru mu? 1 <ç f(x) neye eşit? 3x - 2'ye eşit. O da küçüktür. Eşittir neye? 16'ya. -2'yi o zaman bir sola atacağım. Bir de sağa atacağım. Hocam -2'yi buraya attım. 3 < 3x o da eş 2 daha ekledim. Ne yaptı? 18 yaptı. Her tarafı 3'e böldüm. 3'e böldüm. 1 < x o da 3'e bölündü. Ne kaldı? 6. E bizim x'lerimiz neydi? Tanım kümemizdi. O zaman artık x'lerimiz hangi aralıkta çıktı? Şuradaki aralık. Hangi aralık hocam? O açık 1ile 6 kapalı
29:21 aralığı. Bunu da anladık mı? Muazzamsın. Öğreniyorsun. A'dan B'ye tanımlı bir fonksiyon verilmiş. FA demek ne demekti? görüntü kümesi demekti. Yani eşleşen elemanlar demekti. Görüntü kümesi. Yani f(x)'lerin sonucuydu bunlar. Hatta onu nasıl gösteriyorduk? Bak burada tanım kümesi FA ile gösteriyorduk. FA 4 10 13 19 olduğuna göre A kümesini bulunuz. Aslında neyi istiyor benden hocam? Benden tanım kümesini istiyor. E tanım kümesi ne demek? X'leri bulmamı istiyor. E neleri verdi hocam bu? f(x)'lerin cevabını verdi. 4. Mesela bak, f(x) = 3x + 1'in cevabı kaça eşit? 4e. Ama hangi x'i verince 4'e eşit? 3x = 3'ten x'in
30:09 cevabı 1. Bak tanım kümesindeki ilk elemanımızı bulduk abi. X = 1'miş. Devam. Yine f(x) e= kuralımız ne? 3x + 1. Cevap ne geldi? 10 geldi. Nasıl gelir hocam? At bunu karşıya. 3x = 9. X'in değeri nedir? 3'tür. Tuttuk mu? Müthiş. Yola devam. Yine f(x) = 3x + 1'in cevabı neymiş hocam? 13'e eşit olabiliyormuş. At 1'i karşıya. 3x neye eşittir? 12'ye. Her tarafı böl 3'e. X = 4'tür. Tanım kümesinin bir elemanını daha buldum. Hepsini tek tek bulacağım. Kaçış yolum yok. 19'a eşitleyeceğiz. f(x) kuralı neydi? 3x + 1 neye eşitecek? 19'a eşit olacak. 1'i karşıya attığımda 3x =
30:55 18'den x'in değeri ne geldi burada? 6 geldi. Bu da cepte. Muazzam. Artık yazabilirim. Tanım kümesi tek tek elemanlardan oluşuyor. Yani uzun uzun böyle küme aralığından oluşmuyor. Neymiş hocam elemanlarımız? 1 3 4 ve 6 bizim tanım kümemizin elemanlarıdır. Dedik 3 sayfayı bitirdik. Toplamda 5 sayfa ama inanılmaz güzel. Tam yeni neseli sorularla yola devam edeceğim. Şu sorular bildiğin fonksiyonları algılamak için bildiğin basit temel sorular, kazanım odaklı sorular. Şimdi asıl öğrenme çıktılarına yani yeni nesil ÖSYM'nin ve MEB'in bizden istediği marif model sorularına. A ile B şeheri arasındaki mesafe 40 kmredir. A şehrinden B şehrine giden aracın
31:40 ortalama hızı dakikada 0,5 kmredir. Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayın. Aracın geçen zamana yani x'e göre aldığı yol y ile ifade eden fonksiyonunun cebirsel temsilini bulunuz. Nasıl bulacağız hocam? Şimdi x'ler bana neyi verecek? Zamanı verecek. Doğru mu? fx'ler ya da diğer adıyla y'ler. Neyi verecek bana? Alınan yol. Yolu verecek. Güzel. Şimdi ben yolu nasıl bulurum? Normalde yol eşittir hız çarpı zaman demektir. Hani bunu birazcık biliyorsundur matematik bilirsen. Hocam bizim bir dakikada gittiğimiz yol ne kadar? Bak mantığını oluşturalım. 9. sınıfları hep böyle anlattım aslında. 1 dakikada kaç kilometre yol gidiyormuş?
32:27 05 km. Peki 2 dakikada kaç kilometre yol gider? 2 x 05'ten 1 km gider. Doğru mu? Peki 3 dakikada ne kadar yol gider? 3 x 05 gider. Çarpma bırak. 4 dakikada ne kadar yol gider? 4 x 05. Durdum. X dakikada. Çünkü x'ler dakikayı veriyor. Ne kadar yol gider? X x 05 kadar. O zaman buraya ne yazıyorum? Şık gözükmesi adına 05 x diyorum. Buraya kadar anladık mı? Olay bitti. Şimdi benim dakikada aldığım yolu veren fonksiyonun grafiği bu. Aracın geçen zamanda aldığı yolu ifade eden fonksiyonun cebirsel temsili f(x) = 05x.
33:13 Aracın yol zaman grafiğini çiziniz. Çizelim hocam. Yol zaman grafiği. Araç buradan başlıyor. Doğrusal bir hızla yani hızını hiç değiştirmeden ne yapıyor? Belli bir dakikada bütün yolu alıyor. Yol bitiyor. Yol kaç kilometre hocam? AB şehri arası. Dikkat et mesela bak. A şehri burada, B şehri burada. Bu yol kaç kilometre? 40 km. Demek ki alınabilecek maksimum yol ne kadar? 40 km. O 40 kilometreyi de getirdim. Buraya yapıştırdım. Buraya kadar tamam mıyız? Peki şurası kaç hocam? Onu nasıl bulacağız? Değil mi? Zaman grafiğine çizdim. 40 km yolu ne kadar zamanda alır? Biz fonksiyonun kuralını ne olarak yazdık? 05 x olarak
33:58 aldık. Hocam buradaki en büyük f(x) değeri kaç? 40. Eğer f(x) yerine 40 yazarsam 0,5 x neye eşit olur? 05 dediğimiz şey 1/2 demektir. Karşıya çarpım olarak geçer. 2 40 x 2x ise x = 80 dakika. Demek ki bu soru işareti ile gösterdiğim yer ne olacak? 80 olacak. Böylelikle yol zaman grafiği böyle ol ne çıktı? 80 dakika yol gittiğinde 40 km mesafe gitmiş olur. Müthiş. Grafikte 0dan başladı. Doğrusal bir şekilde yukarıya doğru çıktı. Soru benden ne istiyor? Fonksiyonun tanım kümesini, değer kümesini ve görüntü kümesini bulunuz. Bakma burada kelimelerin yanlışlıklarına başlıyorum. Tanım kümesi
34:44 demek x ekseninde aldığım yol demekti. İyi ki bu 80'i bulmuşum. Bulmasam nasıl yazacağım tanım kümesini hocam? Tanım kümesi nedir? 0'dan başladık. Dakika 80'de bitirdik. Görüntü kümesi dediğimiz yer neresiydi? Y ekseninde alınan yoldu grafiğin. E 0da başladı onda da. 10u da nerede bitirdi hocam? 40'ta bitirdi. Bu da yine ne olmak zorunda? Kapalı aralık olmak zorunda. Mükemmel. 11. soru. Aşağıda doğrusal ilişkiye ait grafik verilmiştir. Grafiğimizde ufak bir düzeltme var. Grafiğin üç noktalarına ait x ve y değerleri birer tam sayıdır. Fonksiyonun tanım kümesindeki en büyük iki tam sayının fonksiyonun tanım kümesi dediğinde neresi? Orayı algıla. Bak fonksiyonun tanım kümesi burası. En büyük iki tam sayı demek şurada bir
35:29 nokta aldım diyor. Burada bir nokta aldım diyor. Bunlar birer tam sayı olsun. Şimdi bunlar nasıl birer tam sayı olur? Örneğin bu aa bu ne olmak zorundadır? A + 1 değil mi? Birer tam sayı ardışık gitmek zorundadır. Yazdım hocam. Geldim şimdi görüntü kümesi. Görüntü kümesinin neresi olduğunu hemen gittim işaretledim. Bak şu bölge görüntü kümesi. En büyük iki tam sayının toplamı 23'tür. Bu arada ben bu uç noktaların tam sayı olduğunu burada bana vermiş. Oradan biliyorum. Geldim şuraya B değeri dedim. Hocam bir altındaki ne olsun? Pardon bir alttakine B diyelim. Bir üstteki birer birer çıkacağı için buna da B + 1 diyelim. Kabul müyüz? Diyor ki bu a'ların toplamı A + A + 1'in toplamı
36:18 11. B + B + 1'in görüntü kümesindeki en büyük iki tam sayının toplamı 23. Müthiş bir soru abi. Buna göre tanım kümesindeki 5'in görüntüsü kaçtır? Bulacağız. Acele yok. Hocam burası ne gelir? 2a = 1'i karşıya attım. A'nın değeri 5 geldi. Burası kaç gelir? 2b = 1'i karşıya attım. 22. B'nin değeri 11 geldi. Şimdi gidelim bu değerleri yerlerine yazalım. Bak burası kaç noktasıymış? 12. Şurası 11. Burası kaç noktasıymış? 5. Burası kaç? 6. Biz bu fonksiyonda hangi noktanın yerini biliyoruz? 6'ya 12'nin yerini biliyoruz. Önce benim fonksiyonun kuralını yazmam lazım. Kural nasıl yazılıyordu hocam?
37:03 Şurası ne demekti? Y eksenini kestiği nokta nerede kesiyor? 0da. O zaman burası 0dır. Fonksiyon neye benzeyecek? f(x) = ax'e benzeyecek. orijinden geçen bir fonksiyon. Peki bu değeri nasıl bulacağız hocam? Noktayı yerine yazabilirsin ya da oranı alabilirsin. Bak dikey uzunluk kaç? 12 birim. Yatay uzunluk kaç? 6 birim. 12'yi 6'ya böldüm cevap kaç? 2. Hocam tamam sen buldun. Kabul. Aslında a'yı da 2 buldun. f(x) = 2x. Ama ben inanmam. Ben başka şekilde bulacağım. Dikkat et. 6'ya karşılık gelen nokta neydi? 12'ydi. Yani 6'ya 12 noktası sağlanıyor. Bu x değeri. Burası y değeri. X yerine ne yazdım? 6. = a x
37:53 6. Y dediğimiz şey şu f6'nın kendisi 12'ye eşit. Sadeleştirdim. Cevap ne geldi? 2. Gerçekten bu fonksiyonun kuralı neymiş hocam? FX = 2x'miş. Şimdi ne yapacağız? Kümesindeki 5'in görüntüsünü. X yerine 5 yaz diyor. X yerine 5 yazdım. Cevap eşittir 2 x 5'ten F5'in de değeri ne gelecektir? Tas tamam 10 gelecektir. Vurdum cevabı ona. Mük bir soruyu geride bıraktım. Ama bitmedi işimiz. İki tane daha yeni nesil soru var. Doğrusal fonksiyonla ilgili bu kısımları halledeceğiz. Bir sonraki dersten itibaren de bakayım devamı. Buradaki PDF'te yok ama bir sonraki dersten itibaren de artık gerçek mevzuya gireceğiz. Nitel özelliklerden bahsedeceğiz. Fonksiyon olup olmama durumundan bahsedeceğiz. Olayı çözeceğiz ama fonksiyonları bir kere öğreneceksin.
38:40 Şimdi öğreneceksin. Derece tayfa olarak ilerleyeceksin. Şimdi soru 12. Bu dikildiğinde boyu 20 cm olan fidan her ay düzenli olarak 2 cm uzuyor. Fidanın boyunun zamana ay göre değişimini fonksiyonunun kuralını yazınız. Şimdi x'leri alacağız ki bunlar ayları gösterecek. fx'lere göstereceğiz ki bu da fidanın boyu olacak. Doğru mu? Şimdi en başta bir düşünelim. 0 ay. Fidanın boyu ne kadar? 20 cm. Bak adım adım düşün. Çok kolay. 1 ay fidanın boyu 20 + 2. Her ay 2 cm uzuyor. İşlemi yapma. Öyle göremezsin. 2 ay 20 + her ay 2 cm uzuyordu. 2 ay geçti 2 x 2 uzacak. Doğru
39:26 mu? Yani 4 cm uzacak. 3 ay 20 zaten boyu vardı. Her ay 3 2 cm uzuyor. 3 ay sonra 2 x 3 uzur. Nokta. Nokta nokta x ay sonra ne olur? Zaten boyu 20'ydi. Her ay boyu 2 cm uzuyor. X ay boyunca uzarsa 2x uzar. O halde f(x) fonksiyonunun kuralı düzelt düzelterek yazalım. 2x + 20 olarak ifade edilir. İşte bunu yazabilmek çok kıymetli. Doğrusal fonksiyonun kuralını yazdım. Bir yılın sonunda fidanın boyu kaç santim olur? Sorduğu şu. X = 1 yıl kaçtır? 12 aydır. X yerine 12 ay yaz diyor. Gittim yazdım. F 12'yi arıyorum. 2 x 12 + 20'den cevabı
40:13 bulacağım. Şurası 24, şurası 20. Cevap ne geldi? 44 cm. Demek ki fidanın yeni boyu ne olur? 44 cm olur. Fidanın boyu kaçıncı ayda 50 cm olur? Bak biz fonksiyona f(x) = 2x + 20 yazdık ya. Şu kısım fidanın nesini veriyor aslında? Fidanın boyunu veriyor. Şu x bize neyi veriyor? Geçen ayları veriyor. E fidanın boyunu vermiş bana. 50 cm. E 2x + 20'ye eşit 50 cm. 20'yi aldım karşıya attım. 30 = 2x'e. X e= ne oldu? 15 ay da fidanın boyu 50 cm olur. Hatta hatta yapmadık ama grafiğini göstereyim ben sana bunun. Hadi gel bakalım.
40:59 Fonksiyonun grafiği nasıl olacak hocam? Fonksiyonun grafiği 20 cmle başlıyor mu? Boyu her ay 2 cm artıyor mu? Ve nereye kadar gidecek? Eğer dünyanın sonu yoksa sonsuza kadar uzacak arkadaş misal. Tamam mı? Böyle uzayacak sonsuza kadar. Mesela burada da 15 aya geldiğimde 15 x yerine 15 yazdığımda uzunluğu kaç santim çıkacak mesela? 50 çıkacak. Gördün mü? Peki hocam bunun tanım kümesini yazar mısın? Tanım kümesi hocam 0da başlar sonsuzda biter. Neden 0 sonsuz yazdım? Bak 0ın hizasında başladım. Bu x ekseni daha doğrusu f(x) fonksiyonu sonsuza kadar gidebiliyor ya tanım kümesi ağırıyla o yüzden sonsuz oluyor. Peki hocam görüntü kümesini yazar mısın
41:45 dediğinde ilk kimin hizasından başladın? 20'nin. Kimin hizasına kadar devam ediyorsun? Bak sonsuza kadar gidebiliyorsun. O halde görüntü kümesi de 20'de başlar. Artı sonsuza kadar gider. Sonsuz her zaman açık. Tamam mıyız? Ekstra şeyler de yazıyorum ama bunlar bir sonraki derste daha çok işime yarayacak. Dakikada litre 20 Lre su boşaltan bir musluk ile içinde 1200 Lre su bulunan Ha bu arada bu fonksiyon sence artan bir fonksiyon mu azalan fonksiyon mu? Bir sonraki ders söyleyeceğim ama git gide yukarı gittiğine göre artan fonksiyon. Şimdi çaktırmadan sana azalan fonksiyon sorusunu çözdüreceğim ama tüm bunların hepsinin tanımı zaten 10. sınıf müfredatında sorulacak. sınıfta da anlatıldı. Ben anlattım geçen sene bunları ama şimdi de
42:30 hatırlatacağım. Bir sonraki derste de hatırlatacağım. Su havızındaki suyun hacminin zamana göre değişimini ifade eden G fonksiyonunun cebirsel temsilini yazınız. Şimdi ilk başta ne kadar su var? İlk başta 0ıncı zamana göre dakika cinsinden mi ilerliyoruz? Litre ne zaman? Zaman. Dakika mı ne ya? Vermiş mi onu? Dakika cinsinden ilerliyormuş. Dakikada 20 Lre yazıyor. Şimdi 0 dakikada havuzda ne kadar su var? 1200. 1ci dakikada ne kadar su kalır? Bak suyu buradan aşağıya boşaltıyorsun değil mi? 1200 vardı hocam. Eksi her dakika 20 Lre boşaltıyoruz. Mesela 2ci dakikada kalan su miktarını gösteren 1200 - 20 x 2
43:16 olmaz mı? 3. dakikada kalan su miktarını gösteren 1200 - 20 x 3 olmaz mı? Nokta. Nokta nokta x dakikada bu mantığı kurduğun an çözemeyeceğin fonksiyon sorusu yok. 1200 Lre su vardı. 20 x x dakikada ne olacaktır? Suyu boşaltacaktır. Artık fx cinsinden yazdık. fx = 1200 - 20x olmalı. Şimdi burada önemli bir noktayı atlamak istemiyorum. Buradaki x bana neyi veriyor? Zamanı veriyor. Doğru mu? f(x) pardon f değil. Fonksiyonun adını girlemiş. g(x)'ler bana neyi veriyor? Kalan su miktarı.
44:02 Su havuzundaki suyun hacmi. Kalan su diyelim biz ona. Zaten zamanla kalan suyu biliyoruz. Kalan su hacmi dediğimizde daha anlaşılır oluyor. Bak sınavda da bunları yazmayı unutmayalım. G fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz. Şimdi bu fonksiyon ne oluyor abi? Mantıken bak göstereyim ben sana. Bu fonksiyon şurada 1200 litreden suyumuz açılışıyor ve doğrusal olarak azalarak bitene kadar akacak. Doğru mu? Bitene kadar akacak. E ben bunun tanım kümesini bulmak istiyorsam buraya bakacağım. Görüntü kümesini bulmak istiyorsam buraya bakacağım. Değil mi? Hem tanımı hem görüntüyü bulalım. Ama bulabilmem için benim burayı bulmam gerekmiyor mu hocam? Tanım kümesi için konuşuyorum. Nasıl bulacağız şimdi?
44:47 G(x)'in kuralı neydi? 1200 - 20x'ti. Bu fonksiyonun bittiği yer neresidir? Görüntü kümesinin. Bak görüntü kümesini hemen yazabiliyorum. Halbuki görüntü kümesi hangi aralıktı hocam? 0da başladı. 120'de bitti değil mi? Bittiği yer orası. 0 la 120 arası bizim görüntü kümemiz. Ama tanım kümesini bulabilmem için şurayı bulmam lazım. Orayı nasıl bulacağım? İçinde su kalır mı o dakikaya geldiğimizde? Kalmaz. Yani g(x)'in 0 olduğu yerde buradaki arkadaşın içinde su kalmayacak. O yüzden fonksiyonun kuralını 0'a eşitledim. -20x'i karşıya attım. 20x olarak geldi. Bu tarafta ne var? 1200. 0lar gitti. Her tarafı 2'ye böldüm. X ne
45:33 geldi? 60 dakika geldi. Hocam bak burası da soru işareti değil. Burası 60'mış. O halde tanım kümesini yazarsam dikkat et o da 0ın hizasından başladı. Nerede bitti? 60'ın hizasında bitti. 60 dakikanın hizasına kadar mevzuyu getirdik. Tanım kümesi, görüntü kümesi alayını yaptık arkadaş. Var ya efsane oldu. Peki musluk açıldıktan itibaren 30 dakikaya kadar geçen süre içinde G fonksiyonunun tanım kümesini ve görüntü kümesini yazınız. Şimdi bak yine benzer şeyleri sordum. Ben yine aldım. Bunu çoğaltacağım. Aşağı indireceğim. 30 dakikaya kadar geçen sürede 30 dakika neresi olsun mesela? Bak tam şurası olsun. Şurası 30. 30 dakikaya geçen sürede artık benim fonksiyonum nerede
46:19 tanımlı olacak? Gösteriyorum bir daha. Fonksiyonum Allah yanlışlıkla sildim. Burada başladı. 30'un hizasına geldi. Burada durdu. Artık eski grafikle benim işim yok. Ben buradaki tanım kümesi ne oldu? Bak burada başladı hocam. Tanım kümesi buranın hizası. Görüntü kümesi nerede başladı hocam? Bak grafik buradan geldi. Geldi geldi geldi. Burada durdu. Eğer böyle olursa tanım kümesi çok kolay hocam. Tanım kümesi 0da başlar 30'da biter. Kapalı aralık. Peki görüntü kümesi ne hocam? 1200'de bitecek. Onu biliyoruz. Yani büyük değer 1200. Peki küçük değer burayı nasıl bulacağım? 30 dakikaya karşılık gelen fonksiyonun değerini bulacağım. Fonksiyon neydi?
47:04 kuralı 1200 - 20x'ti. 30 dakika demek x yerine 30 yaz demek. 1200 -2 x 30 buradan ne geldi? 600. 1200'den 600 çıktı. Ne kaldı? 600 L kaldı. Hocam bu soru işaretinin olduğu yer neymiş? 600 Lreymiş. E görüntü kümesinin aralığı neresi oldu? Burası oldu. Orası neresidir? Kapalı 600 ile kapalı 1200 aralıdır. Soruda benden ne istiyordu? 30 dakikaya kadar geçen sürede G fonksiyonun tanım ve görüntü kümesini bulunuz. Al tanım, al görüntü, al sana fonksiyon. Abi biz ilk olarak 9. sınıf matematiğini hatırlatıyoruz sana. Nicelikler, değişimler. Eminim birçoğunuz bunu tam olarak hatırlamıyor ama bunu hatırladığımızda şu bizden
47:50 istenen bölgeyi çok rahat elde edeceğiz. Önce fonksiyon olup olmama kurallarına gideceğiz. Bu da yine MEB müfredatında, 10. sınıf müfredatında var. Onu da bir sonraki derste anlatacağım. Hadi bakalım. Şimdi artık bu videoya yorumu yağdırır mısın, yağdırır mısın? Videoyu beğenir misin, paylaşır mısın bilmem ama desteklerin benim için önemli. Bir sonraki derste görüşeceğiz. Fonksiyonlar hızlı gelişsin istiyorsan beğenmeyi, yorum atmayı unutma. Hoş kal. Hoşça kal. [müzik] >> [müzik] >> He.
