Theorem|| Homomorphic image of a solvable group is solvable || Abstract Algebra || Theorem

Brief Summary

This video explains and proves the theorem that the homomorphic image of a solvable group is solvable. It begins by defining solvable groups and homomorphic mappings, then outlines the steps to prove that the homomorphic image (f(G)) of a solvable group G is also solvable. The proof involves constructing a solvable series for f(G) and demonstrating that it satisfies the conditions for a solvable series, including normal subgroups and abelian quotient groups. The video also uses concepts such as well-defined mappings, one-to-one mappings, onto mappings, homomorphisms, and the fundamental theorem of isomorphism to complete the proof.

  • Definition of solvable groups and homomorphic mappings.
  • Construction of a solvable series for the homomorphic image f(G).
  • Proof that the constructed series satisfies the conditions for a solvable series.
  • Application of the fundamental theorem of isomorphism.

Introduction

The video introduces the theorem that the homomorphic image of a solvable group is also solvable. It builds upon previous explanations of related theorems and aims to provide a clear, step-by-step proof.

Defining Solvable Groups and Homomorphic Mappings

The presenter starts by defining a solvable group G and a homomorphic mapping f from G to G'. The homomorphic image of G, denoted as f(G), is a subset of G'. The goal is to prove that if G is solvable, then f(G) is also solvable.

Setting Up the Proof

To prove that f(G) is solvable, it must be shown that f(G) has a solvable series. Since G is solvable, it has a solvable series: {e} = G_n ⊆ ... ⊆ G_1 ⊆ G_0 = G, where each G_{i+1} is a normal subgroup of G_i, and the quotient group G_i / G_{i+1} is abelian.

Constructing a Series for f(G)

A series for f(G) is constructed using the images of the subgroups in the solvable series of G: {e'} = f(G_n) ⊆ ... ⊆ f(G_1) ⊆ f(G_0) = f(G), where e' is the identity element of G'. This series is considered as Equation 2, and the original series of G is Equation 1.

Proving the Solvable Series Conditions

To prove that the series for f(G) is a solvable series, two conditions must be met:

  1. f(G_{i+1}) is a normal subgroup of f(G_i) for all i.
  2. The quotient group f(G_i) / f(G_{i+1}) is abelian for all i.

Proof: f(G_{i+1}) is a Normal Subgroup of f(G_i)

To prove the first condition, let x ∈ f(G_{i+1}) and y ∈ f(G_i). Then x = f(a) for some a ∈ G_{i+1}, and y = f(b) for some b ∈ G_i. Since G_{i+1} is a normal subgroup of G_i, b^{-1}ab ∈ G_{i+1}. Applying the homomorphism f, we get f(b^{-1}ab) = f(b)^{-1}f(a)f(b) = y^{-1}xy ∈ f(G_{i+1}). Thus, f(G_{i+1}) is a normal subgroup of f(G_i).

Proof: f(G_i) / f(G_{i+1}) is Abelian

To prove the second condition, a mapping φ is defined from G_i to f(G_i) / f(G_{i+1}) as φ(x) = f(x) * f(G_{i+1}). It needs to be shown that φ is well-defined, one-to-one, onto, and a homomorphism.

Proving φ is Well-Defined, One-to-One, Onto, and a Homomorphism

The video outlines the steps to prove that the mapping φ is well-defined, one-to-one, onto, and a homomorphism. These proofs involve showing that φ(x) = φ(y) implies x = y, and that for every element in the codomain, there exists an element in the domain that maps to it. Additionally, it is shown that φ(xy) = φ(x)φ(y).

Applying the Fundamental Theorem of Isomorphism

By the fundamental theorem of isomorphism, G_i / ker(φ) is isomorphic to f(G_i) / f(G_{i+1}). If it can be shown that ker(φ) = G_{i+1}, then G_i / G_{i+1} is isomorphic to f(G_i) / f(G_{i+1}). Since G_i / G_{i+1} is abelian, f(G_i) / f(G_{i+1}) is also abelian.

Proof: ker(φ) = G_{i+1}

To prove that ker(φ) = G_{i+1}, it must be shown that ker(φ) ⊆ G_{i+1} and G_{i+1} ⊆ ker(φ). This involves showing that if x is in the kernel of φ, then x is in G_{i+1}, and vice versa.

Conclusion

Since f(G_{i+1}) is a normal subgroup of f(G_i) and f(G_i) / f(G_{i+1}) is abelian, the series for f(G) is a solvable series. Therefore, f(G) is a solvable group, proving the theorem that the homomorphic image of a solvable group is solvable.

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Transcript

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0:00 हुआ है झाल बल हेलो दोस्तों वेलकम बैक टू ऑल ऑफ यू तूने यह फॉर्म्स आफ विक्टिम्स आफ सॉल्विंग रुपिज सोल पेपर तो जल्दी धर्म का सुसाइड करने बड़ी इजी तो रहेगी इससे पहले अ जितने भी अलार्म्स मैंने आपको इस प्रेम की है आई होप के आपके लिए बहुत यूजफुल रही होंगी और उसी सीरीज में नेक्स्ट कर्म है हमारी फ्रॉम अब स्कूटर इब्राहिम और इमेज आफ सॉलि़ड प्रूफ थिस वॉलपेपर हैं तो हमारे पास कोई भी सॉल्विंग रूप में जीवन है उसकी हमउम्र फीमेल हम इसको सॉल्युबल बनाना है तो इसका मतलब मुझे एक ग्रुप लेना होगा जोकि सॉलिड सॉलिड है तो सुसाइड करते हैं उसका

0:47 [संगीत] में लटका लेते हैं मेरे पास ग्रुप है बच्चों लेट्स चीफ ग्रुप और वह कैसा ग्रुप है वह सॉल्व फल ग्रुप है तो जीबीआर कि सॉल्वेबल ग्रुप मैं लेट जिया सॉल्वेबल ग्रुप ओके अगर यह शो लेवल ग्रुप है तो हमें इसकी जो हम और इमेज होगी इसको फ्लेवर बल्ब बनाना है तो इसका मतलब एक हम और थिक मैपिंग लेनी होगी तो मैं मान लेता हूं कि एक f-18 मैपिंग है नेट फैजाबाद ट्रांसफॉर्मेशन मैपिंग जो की जाएगी कहां से कहां तक जिससे लेकिन झील है और यह कैसी होगी एक होम मोरफ़िज्म होगी इस फॉर्म नो है और यह हमने चीज लटकै एक सौ ग्रुप है और

1:34 F1 होमवर्क उस समय जो की वजह से लेकर जेड तक जारी इसका मतलब यह हुआ कि हमारे पास जो एक ग्रुप है दैट इज द ईयर और वैसा ही एक जो ग्रुप है डिपोजिट एसेट ऑलमोस्ट यहां पर होगा और इन दोनों को ज्वाइन करने वाली मेरे पास एक मैपिंग है जिसका नाम है ऐप और अपनी सी बात है अगर यह जी है तो यह क्या होगा जी देशों का या तो इस जी की जो होम ओं इमेज बनेगी वह अमर इमेज ऐडेड नहीं होगी बल्कि इस जी देश के अंतरिक्ष सेट होगा जो कि हम और फीमेल जूलियन कि यह सेट का या इसको हम नाम विजेता बच्चों ऐप ऑफ जी है जिसे रोकना ऐप ऑफिशियल तो यह जो ऐप को मजबूर होगा इसको आपको 16 बनाना यानी कि यह

2:21 जो जी है यह ऑलरेडी आपको 16 बल दे रखा है लेकिन पॉइंट और यह जो ऐप जी होगा इसको आपको सॉल्वेबल बनाना है हैं तो चलिए बच्चों कहानी शुरू करते हैं है सो नाउ एक विशाल स्टूडेंट एक विशाल सॉलिड में प्रूफ की कोई भी चीज टिप्पणी करूंगा हर एक चीज आपको डिट्टो लाइन टो लाइन लिखूंगा ताकि आप इसको नोट नोट बना सके और इसको एडिटिव अपने एग्जाम में आप इसको अटेंप्ट कर सकें सुनाओ विशाल शोध fz16 पर आपको प्रूव करना है कि जो fd होगा वह क्या होगा वह सॉल्वेबल होगा एप

3:07 शिज सॉल्वेबल हां तो बच्चों अब यह सॉल्युबल कब बनेगा जब इसके पास सिक्स ओ लेवल सीरीज होगी हां यह एक सौ ग्रुप है अगर यह शोल्डर ग्रुप है उसके पास तो डेफिनेटली सुब्स्क्रिब होनी चाहिए सुनाओ इकट्ठे 19 जी सॉल्वेबल यह इट्स गिवर जिस सॉल्वेबल कि अगर ईश्वर है तो उसके पास पॉसिबल सीरीज होगी सो कि इतिहास कि सॉल्वेबल सींस कि इतिहास सॉल्वेबल सीरियस उसके पास सॉलिड सीरीज जरूर होगी तो हम लेते हैं कि वह सीरीज कैसी होगी इसकी वन बाय

3:52 कि वह कुछ ऐसी सीरीज होगी दैट इज इक्वल टू सब अपने सॉलिड सीरीज का जो मेरा लेक्चरार हाउसों के देखा होगा Jio 4G नोट एंड ऑन मैं इसे छोटा सेट जीवन फिर उसे छोटा रेड्डी तो एंड सो ऑन और लास्ट जाएगा कौन GN और यह उल्टा होता है कि उसके पति सेट की क्वांटिटी होता है यह मेरे पास और यह एलिमेंट आफ हम बोलते हैं तो यह सीरीज होगी और यह सिर्फ यह दो बातें करती है जो कि यह है कि हर एक छोटे से चीफ प्लस व्वे अपने बड़े वाले पिछले वाले

4:39 सेट का नॉर्मल सब ग्रुप होना चाहिए और जो कि स्टेटमेंट घृत बनने के लिए वह यह जो चीफ क्रिएट करते हैं कि वह हमेशा होते हैं तो यह अ है तो यह बात वह बीच और हमें पता है कि एक हाई लेवल ग्रुप है तो उसके लिए सो लेबल्स इस कर रही है और यह दोनों बातें एकजुट कर रही हैं अब हमें जो मेन काम करना है वह यह कि हमें जो इसकी हम और पिछली में है उसके लिए सॉलिड सीरीज बनानी है यानि कि या 120 बननी चाहिए अब देखो यहां पर स्विस कैसे बने यहां पर मेरे पास है मैंने सीरियसली है और इसी वजह से जी नोट जीवन जी तो ऐसे

5:26 करके सेट अप लगेगा तो कहीं न थी ऐप बनेगा ऐप जीवन फर्जी नोट एप्स G2 तो क्यों ना हम इन्हें एलिमेंट को यूज करके एक चीज बनाते हैं देखो कैसे बनाता हूं मैं तुम्हें क्या करता हूं ना हो एक चीज बनाता हूं और वह चीज बनाऊंगा मैं अगले सेट में इनकी जो इमेज है जी की कंसीडर द सीरीज एक सीरीज अपनी तरफ से कंसीडर कर लेते हैं और वह कुछ ऐसी इस कंसीडर ऑल टाइप्स आफ जी कि इक्वल टू आफ जी नोट थे बेस्ट करंट इंडियन मैप आफ जीवन कि कंटेनिंग इन ऐप ऑफ जी 2 एंड टेक ऑफ फिजिशियन ऑफ इंडियन गहन अध्ययन डैंड्रफ

6:13 बोल सकते हो आप इसको है और बैड भी नॉट इंट्रस्टेड क्या होगा इट इज द प्रेसिडेंट एलिमेंट आफ जीसस ओके लिख सकते हैं वत ए वेरी राइम्स ए आईडेंटिटी एलिमेंट हुआ है टर्न ऑफ जी रहे हैं कि आपके तो यह जो चीज अपने कंसीडर कि अब हम यह काम कर रहा है कि इस सीरीज को मुझे एक सो लेवल सीरीज बनाना है ओके इट मींस मैं इसको मार लेता हूं इक्वेशन नंबर सेक्रेट कि आप आओगे सर फसल कौन सी है तो फर्स्ट ऑफिस बात है हमें इस वाली जो सीरियस है इसको मरना पड़ेगा मुझे फर्स्ट वाली सी ठीक

6:59 है फर्स्ट वाली सीरीज कर रही है सेकंड वाली मे कंसीडर की है और अब मुझे काम यह करना है कि विशाल प्रूफ ऑफ डेट ऑफिशल्स टो एडिट के विशाल हुआ था कि भूख दैट और हमें यह कट करना है कि यह जो सींस आपने सेकंड वाली ली है यह सॉलिड सीरियस सीरियस सेकंड इज द कि इस आज सॉल्वेबल सीरीज-2 मुझे यह एक सॉलिड सीरीज बनानी है हैं तो चलिए इसको फोलिकल्स बनाते हैं और अब तो सॉलिड सिरियस कब बनेगी यह सॉल्वेबल सिर्फ तब बनेगी जब मुझे इसके लिए दो कंडीशन स्क्रिप्ट कर दूंगा जैसे कि अ फॉर थिस विल हेव टू शो द बेस्ट

7:47 ए फॉर दिस इज कि बिहार कुश दो तो इसके लिए मुझे क्या शो करना होगा पहली बात तो मुझे शो करनी होगी कि जितने भी को सबस्क्राइब से यानी कि एप्स जी आई प्लस वन जो छोटे वाले हैं वह अपने पिछले वाले के नार्मल सब ग्रुप हो जाए सॉलिड सीरियल की डेफिनेशन है नथिंग एल्स और सेकंडरी मुझे प्रूफ करना होगा आ कि जितने भी क्वेश्चन गुरु बनेंगे यानि कि आप ऑफ चीफ ए वाई जेड प्लस वन कि ऐप आईटीआई प्लस वन यह जो बनेंगे यह सारे क्या होंगे अब बिलीयन होंगे अब यह दोनों बातें आपको इंप्रूव करनी है ठीक है

8:32 तो चलिए बच्चों को करना शुरू करते हैं तो पहली बात को पूरा करने के लिए आपको बनाना है कि इसका नार्मल संघ करता है है तो कोई भी नार्मल सब्जी बनाने के लिए आप एक कंडीशन याद होगी आपको एक्सट्रेक्ट यूनिवर्स वाली तो वहीं कंडीशन यूज करेंगे यहां पर फ्लैट कर लेते हैं तो कोई एलिमेंट है बच्चों एक्स जो कि बिलोंग करता है की तरफ चीफ प्लस वन को ठीक है अब एक से लिया तो अब ऐसी बातें इधर से लीजिए और बिलोंग करता है इसको आफ जी को कोई प्रॉब्लम क्या बनाना है हमें सब्सक्राइब को

9:17 अश्लील करते थे तो वह किसका था तो यह तो इसको बीच-बीच में आ कि चलो कृष्ण है तो इसका मतलब अगर यह एक मेरे पास इसको बिलोंग करता है फूफा जी आई प्लस वन को तो यह बात तो क्लियर है कि कोई ना कोई यह एक्स्ट्रा ऑइल ऐड कीजिए प्लस वन में तो एक्स किसी ना किसी एक्टर पर लगा हुआ एलिमेंट हो गए इन कि कोई ऐप ऑफ जैसा होगा एक्स अमाउंट तो यह है कि यह कोई यह मेरे पास इसलिए जिसको हम लिखते हैं इसका मतलब देर एग्जेक्ट 11 जरूर होगा जो कि

10:02 इसके अंदर का यह चीफ प्लस वन में होगा क्योंकि ऐप चाहिए तो यहां तो इसमें एलिमेंट वही होंगे जिसके पर आप लोग का यह देखिए एक कैसा होगा किसी ना किसी एक जैसा होगा सिमिलरली ए वाई कैसा होगा आ और विक्की भाई क्या होगा आपको अक्षर वाई भी किसी ना किसी एड्रेस आयोग का यह देखिए ऐप को भी होगा इसमें जो B है बी किसका यूं सर डेफिनेटली बिलोंग करता होगा जी को ना तभी तो यह सैफ बर्फ लगा तो भाई यार भाई किसको पैरों की ऐप चाहिए को अब यह कहते हो कि जी इसका है 20 का है तो इन दोनों को मैं इंप्लाइज करूं तो क्या अब ऐसे बोल सकते हो कि बीन वर्ष एबी बिलोंग करता है जी प्लस वन को क्या बोल सकता हूं यह सब को

10:50 क्योंकि अभी पिछले मैंने बोला था कि यह जी आई प्लस वन नार्मल सब है जी का तो ऐसी बातें पर यहां से बोल सकते हैं और यहां पर अपनी जान भी दे सकते हो कि जी आई प्लस वन है नॉर्मल सब ग्रुप जी का तो इसका मतलब यह बाद हम लिख सकते हैं अब यहां से हमारा ऑलमोस्ट काम खत्म हो गया क्यों क्योंकि अब मैं दोनों तरफ लेफ्ट लगा सकता हूं लाइफ ऑफ पी एन वर्ष चीफ शूज कि बिलोंग्स टू की तरफ जेसीआई प्लस वन ओके अब बैक होम और फीचर है हम मान कर चल रहे हैं तो ऐप को तीनों अलग-अलग बिस्किट कर दीजिए यानि कि आफ बीन वर्षा का यह आप आफ ए बकायन बेनेफिट्स सब कुछ बिलोंग करता है इसको आप

11:38 प्लस वन को सब्सक्राइब टो ठीक है ना और यह क्या रहेगा ऐप ऑफ एंड यह क्या रहेगा हैप्पी एंड ऑल बिलॉन्ग टू आफ हिस चीफ डिसीप्लस वन अब कि ऐप भी अ मतलब क्या था अभी हमने बताया कि फिर का मतलब क्या था बच्चों अब आई बाईसा तो इसको वापिस लेते हैं वहीं इन वर्ड्स और हफ्ते का मतलब क्या था एक्स और इसका मतलब क्या था वह तो वहीं इन्वर्स एक्स वाई ब्लॉक कर दिया किसको आईएफ ई प्लस वन को बिलीव इन वाइन अधीक्षक लिमिट आफ किसका था इसका तो यह था और इसका मतलब हुआ कि हमने कर दिया

12:27 सब्सक्राइब नार्मल सब्सक्राइब बटन पर क्लिक करना है और कि नाव टू शो कि जो आफ चीफ प्लस व्वाय सॉरी उड्डयन अध्ययन का यह इसको इसको कैसे करते हैं यह करने के लिए आपको थोड़ा सा यहां पर यूज करूंगा मैं क्योंकि यह कि मुझे पता है

13:13 मैं इसको विल इंप्रूव करने के लिए कहीं ना कहीं जो पहले वाला जो सेट है जो ग्रुप है उसके साथ इसको कंपेयर करके बनाऊंगा पहले वाला मतलब यह जो ई प्लस वन यह था यह विलिन था तो इसकी हेल्प से मैं इसको अभी मैं बताऊंगा कैसे देखिए और अब क्या कीजिए कि भाड़ फिर हम एक मैपिंग डिफाइन करते लाओ ई विल डिफाइन मैटर पिक कि मैंने एक मैपिंग डिफाइन की है और उसका मेरा नाम रख दिया किसका आ पाई ठीक है जो कहां से कहां तक जाएगी पाई जाएगी बच्चों जिसे लेकर

14:00 और आफ चीफ बाय मोड ऑफ हां जी आई प्लस वन तक यह मैंने एक नई नियुक्ति उत्तर नहीं है कि अब यह मैपिंग खुलेगी कैसे जाति से पॉइंट अब जीवन में कोई एक हो सकता है तो मैं मान लें क्योंकि मैं फिर ऐसे खुलेगी कि किसी एक्सप्लेन लगेगी तो यह कंडोम का यह क्वेश्चन है संघ के सेंट मैं इसमें यह तो ऐप को जेड प्लस वन है तो इसको आप खोल सकते हो यह फैक्ट यानी कि इस अफ्रीका या फैक्स

14:45 एडिफिस आफ एक्स अमेज्ड एंड इनटू रफ चीफ प्लस वन m8 अयूब स्क्रीन कि नहीं तो फिर भी आपको थोड़ा सा और एक्सप्लेन कर देता हूं है देखो क्या होता है यह सेट मेरे पास ओके और कि एक सेट मेरे पास की वाला इस मौके पर यहां से यहां तक मैपिंग और कर रखी है में अब हुआ क्या है एक्चुअली हां यह तो है आपका चीफ और यह आपका चीफ प्लस वन ओके और यह अब

15:32 यहां पर लगा लें तो तो सिंपली * को स्विच ऑफ एक्स * की तरफ जी प्लस वन वही बात अगर यहां पर जो छोटी क्लास 8 सीबीएसई करते थे यहां पर और यह तो सब्सक्राइब है इसका एलिमेंट्स किलोमीटर एक्सप्रेस अब यह देखो एक्स एक्स एक्स नहीं है तो ऐड करती थी वह यह है और एक्सप्रेस लगा हुआ तो यह वाइट बन जाएगा तो सिंपल इसलिए जब है तो आपको इसका मतलब यह महफिल मेरे डिफाइन क्योंकि मैं फिर ऐसे ओपन होगी अब जो भी

16:17 मैपिंग हम अलजेब्रा अंदर खुद ड्राइव करते ना वह मैपिंग को विल डिफाइन करना पड़ा जरूरी होता है तो इसका मतलब मैंने जो मैपिंग ली है वहीं मेरी मैपिंग के नीचे विल डिफाइन होनी चाहिए सबसे पहले तो मैं इस मैपिंग को शुरू करता सुनाओ जो पहली कमीशन आपको प्रूफ करनी है कि यह जो पॉइंट है यह क्या है वेल डिफाइंड है ए वाइज well-defined से के लिए आपको क्या करना है यह जो पॉइंट है यह क्या है मैं वन थर्ड पॉइंट पर आप करोगे डेट वाइज कि कुंटू एंड फोर्थ पार्ट पर आप करोगे

17:03 ए वाइज होम वो है और जैसे ही शुरू हो जाएगी तो हम फंडामेंटल थ्योरम तक पहुंच जाएंगे लेस को कैसे जल्दी से शुरू करते हैं क्योंकि बहुत लेंथ थी नहीं है इसकी पूरी प्रोसेस को है सबसे पहले आपको एवरीवन शुरू करना वर्ल्ड इंप्रूव करने के लिए शर्मा लेता हूं कि मेरा कोई एक्स और वाई दवे ना वह बराबर है एक्स इज इक्वल टू क्या है वह अब एक्स इज इक्वल टू यह तो अब शीघ्र ही अब स्कूल में लगा दूंगी चीफ प्लस वन कोई प्रॉब्लम है तो सब्सक्राइब ओपन

17:49 ओपन हो गया तो हमने करें और अश्लील तो अब हम क्या करेंगे इस इन स्पाइट आफ एक्स इज इक्वल टू 5वीं और हम इक्वल टू दिखा देंगे क्या ऐक्सिडेंट में इसको पूरा कंपलीट रिपोर्ट नहीं करूंगा कि आई होप सो कि आप लोग इसको पूरा कंपलीट कर लेंगे और इससे अगेन वेरी वेरी सिंपल सबस्क्राइब करते करते हो कि के आपका जो एलिमेंट है कोई अगर एलिमेंट अगले सेट में एकजुट करता है तो उससे पीछे एक एलिमेंट जरूर होगा जिसकी वजह से वह आया होगा तो मैं मान लेता हूं कि मेरे पास कोई एलिमेंट है और उनको के लिए व है एफ एक्स

18:34 एंड हाफ इंच इसके जो नोट से यह आपको डिस्क्रिप्शन बॉक्स में मिल जाएंगे आपको अच्छा ठीक है तो यह आप वहां से भी देख सकते हो कि जरिए सामने आ जाएगा इसमें कोई प्रॉब्लम हुई बात नहीं है कि आपको ऐप को चीफ एप और जी प्लस वन ठीक है तो सिंपली आई डोंट मैं आपको यह बताना है कि आप अगर कोई एलिमेंट है जिसको बिलोंग करता है तो इसका मतलब इसके पीछे कोई एलिमेंट जरूर ऐसा है जैसे कि जिसकी ऊपर यह आपका फंक्शन फाइन लगा तो यानि कि कि हम * से के यह एलिमेंट यह क्या पायों जोगी को ठीक है यह इसका मतलब यह तो डेफिनेटली सेट करते हैं

19:21 इसके ऊपर यह तो यह पूरी मुझे लगता है कि कुछ ज्यादा करने की जरूरत है कि आपको लगाना है इसके ऊपर और फिर को subscribe Free अलग-अलग क्योंकि अ कि fir एंड एप्स जेड प्लस वन फिर आप इसको लिखोगे f120b प्लस वन और स्प्रिंट यह बन जाएगा बच्चों फेयरफैक्स इनटू फाइव विड्थ सैंपल अब यह थोड़ा सा मैंने इसको बहुत जल्दी जल्दी करा दी है क्योंकि उसकी इतनी आपको बहुत अच्छी समझ है क्योंकि आप पंजाबी

20:06 पढ़ रहे हैं और काफी टाइम से पढ़ रहे हैं तो ऑफ पॉइंट यह है कि वाइफ फंडामेंटल थ्योरम अब हमें फंडामेंटल्स और मिश्री क्या कह दिए कि बाय फंडामेंटल थ्योरम फंडामेंटल थ्योरम कहती है कि कोई भी होमवर्क होते वह आइसोमोरफिक होती है किसी क्वेश्चन ग्रुप के तो यानि कि फंडामेंटल रिसर्च की लिख सकते हैं जी हां स्पाइक कर्नल ऑफ फाइव यह एक क्वेश्चन टिप्पणियां डेफिनेटली आइसोमोरफिक होगा किसके ने अपने दूसरे ग्रुप के डेफो चीफ बर्फ चीफ प्लस वन ओके पिम्स के रूप में भी आपको में से तो यह

20:56 यह क्वेश्चन यह आएगा कि क्या है और अगर यह सब जब यह जो चीफ ने कर्नल ऑफ कर लो अगर मैं इसको कर दूं ईपी प्लस वन तो इसका मतलब यह है कि यह तो शुरू से लेकर चले तभी लेना इक्वेशन पर फंसे था यह लड़की अभी लेने तो अगर यह दोनों में रुक कर दूं तो यह Evion हो जाएगा और यह इसके आइसोमोरफिक है तो यह भिन्न हो जाएगा तो हमारी तरफ हो जाएगी इसका मतलब मुझे आप क्या करना है ना बिट्टू सो नाउ टू यू

21:41 कि नाउ टू शो मुझे यह प्रूफ करना है ठीक है यानि कि आपको और यह कपूर का यू टू शोक कि यह जो कर्नल ऑफ पाई आप लेकर चलूंगी इक्वल टू किसकी है जिस आई प्लस वन के कि आपको प्रूव करना है तभी दो सेट बन गए अब दोनों साइड कैसे फ्रूट है को लिए ट्वीट करने के लिए आपको एक अंडे खा लेना पड़ेगा दूसरा दिखाना पड़ेगा दूसरे लें और बैलेंस दिखाना पड़ेगा तो यह काम अपने शुरू करते हैं जल्दी से तो आप लैटर कर लीजिए सबसे पहले एक पाठ करूंगा दूसरा आप इजीली समझेंगे एक्स बिलोंग करता है मालिक कर्नल ऑफ पाई को मान लिया मैंने अब अगर एक्सेस को फॉलो करते हैं तो आप इस बात पर शुरू की अगर फाइव ऑफ एक्सेल अगर बने का यह डेफिनेटली क्या होगा आईडेंटिटी एलिमेंट किसका

22:27 ए आईडेंटिटी एलिमेंट ऑफ बट एक कहां से कहां जगह फाइल पाथ तरफ चीफ प्लस वन तक अमेज्ड है तो यह 562 रफेल एक से ओपन कैसे होता है यह ऊपर होता है से फैक्स एंड गैस को ऑफ चीफ प्लस वन के रूप में कि अब कोई बताएगा इसका इंटिमेट क्या आएगा और थिस वास हिस कंट्री एलिमेंट का यह क्वेश्चन ग्रुप है तो यह नीचे वाली घंटी एलिमेंट होता है बस ठीक है अगर आप एडवेंचर एलिमेंट रियल में ढूंढोगे तो एक स्टेटमेंट होता तो यह एंटर एंटर करना है एफ जेड प्लस वंश ठीक है और यह स्टेप किसी को नहीं था मैं तो प्लीज आप कमेंट करके पूछ सकते हैं तो आप यह कोई एलिमेंट है किसी

23:13 सेट में मल्टीप्लाई हो रहा है वापिस वहीं आ रहा है तो इसका मतलब यह हो गया कि यह जो एलिमेंट है यह डेफिनेटली इसी गई तो है यह ए पॉजिटिव प्लस वन का अब वो रिएक्शन बिलोंग्स टू जेड प्लस वन इसका मतलब यह जो अंदर वाला एक्स्ट्रा यह किसका है यह वाली तो है इस विडियो पॉइंट इसको आप दे सकते हैं एक क्वेश्चन नंबर यह कि आपकी क्वेश्चन नंबर-14 तक हॉलिडे चुके थे और यह अभी आप वेकेशन नंबर 5 कि सिमिलरली इसको बिल्कुल रिवर्स करेंगे तो बिल्कुल रिवर्स लेकर जाना है तो आपके पास सिक्स क्वेश्चन आ जाए फिर उसमें आप लिखोगे कि एक्सेस इसका लेकर चलोगे जेड प्लस वन का और बिल्कुल उल्टे चले जाना तो एक्स बिलों कर जाएगा किसको कर्नल फाइव को और इससे आपको ही मिलेगा

24:01 और सॉरी इससे आपको यह मिल गया फिक्शन बट आप इसको नहीं देते हैं हम इसे आपको मिल गया एक्स लिया किसका था कर्नल फाई का तो इससे मिलाकर कर्नल 5 घंटे पढ़कर गया कि समय चीफ प्लस वन यह क्वेश्चन नंबर फाइव और इससे आपको मिल जाएगा कि आप लोग कि बिलोंग करता है इसको चीफ प्लस वन को फॉलो करता चैनल को सबस्क्राइब करना न भूलें और सब्सक्राइब करें चैनल को सब्सक्राइब करें और इस समय कहां पर इस

24:49 चैप्टर आप इस पेड़ अब यहां पर मैं इसको लिख सकता हूं कि चीफ ई प्लस हां बन गया वह करना लोग कर लो पाइए किसके गुड है कि इसके को Dr करना है और यह है कि आफ चीफ व्हिप प्लस वन और यह जो यह क्या होता होता है तो इसका मतलब यह हो गया और यह तो हमने कर दिया कि सब्सक्राइब सब्सक्राइब और

25:40 सब्सक्राइब हो कि हम राइट शो लेबल सीरीज और उसी के सॉलिड सीरीज होने से आपकी प्रॉब्लम क्या होगी हेंस प्रूव्ड टो गई और यह आपको प्रूव करना था थोड़ा सा आपको फिर से रिपीट कर रहे हैं और बड़ी ज़िद्दी फॉर मोर इमेजेस आफ मॉडिफिकेशन क्वेश्चसं सॉरी होमवर्क इमेजेस अवेलेबल है कि पुलिस वाले बिल्कुल अब हम अरबी की इमेज अ फॉलो थिस हॉरिबल फ्रॉम ए प्रूफ करना था किसी भी सोशल ग्रुप की जो मर्फी कि Bigg Boss है बिस्वाल पर होते तो मैंने मान लिया कि यह स्कूल पर ग्रुप है और इसकी दोनों बर्फी के बीच बने की व होगी एस जी तो अब मुझे प्रूफ करना है कि जो मेरे पास यह जो एप्स जी है हां जी मेरे पास क्या बन जाएगी 116 बल ग्रुप बन जाए और इसको 100 ग्रुप बनाने के

26:26 लिए उसके पास सॉलिड सोने से पहले जिए सो ललनवा तो उसके पास एकसो लेवल सीरीज होगी वह कंडीशन मैंने यहां पर नोट कर ली वहीं क्वेश्चसं को नाम दे दिया फिर मैंने रुक कर लिया कि जो एप्स जी होगा उसके पास भी रेफर लगे वाले सेट की एक सेटिंग्स हो सकती है से वाली है ना और अब मुझे ग्रुप करना है कि यह जो सीडी सहित 16 बल सीरीज है क्योंकि अगर यह वृद्धि होगी तो मेरी शोरूम हो जाएगी यह सर्विस तब होगी जब यह पहली कंडीशन है और दूसरी फ्रेंड्स यह प्रूफ करेगी तो सबसे पहले कमीशन प्रूफ किया कि यह जो ऐप जेड प्लस वन और मजबूत होगा अफजाई का यह नार्मल सा ग्रुप तब बनेगा जब मैं इसका एक लिमिट लौंग एक एलिमेंट्स करूंगा और उसको बता दूं कि Bigg Boss वापिस तो ऑफिस बारे में इसका लैक्स को बिलोंग करता तो ऑफिस बात है एक्स कैसा होगा इसके ऊपर कैप्लर का या ₹100 कैसा होगा रिएक्शन होगा

27:12 अब इसका निकला 20 का निकला तो वह बीन व से भी तो 10 क्योंकि यह अनुसार गुड्डी है है और इसी को आगे वैरी कैमरे ऐप लगाकर तो यह बन गया फाइबर से कई क्योंकि हमें देता है कि यह और मजबूत बनेगा इसका अब सेकंडरी मुझे प्रूफ करना था यह अबीर बने अब यह बिल बनेगा इसको बिल्डिंग बनाने के लिए किसी नहीं था इसलिए हमें इसको इक्विपमेंट किया कि इसको बिल बनाने के लिए एक नहीं लेकिन थोड़ा कर लो और जो जाएगी जिसे लेकिन यह प्लस एप को ढक प्लस वन उसका नाम था और वह कैसे लग गया अब मुझे काम करने कि मुझे जाना है 512 ताकि हम यूज कर सकते

27:59 हैं जैसे कि फंडामेंटल थ्योरम लगा सकते हैं है और फंडामेंटल थ्योरम यह कहती है कि एक तो हम ऊपर फीमेल ज्योति जैसे यह रोमांटिक इमेज है यह उम्र फीमेल है यह साईट मेरे पास ठीक है तो यह होमोफोंस इमेज़ की तो फॉर्म ऑफ इमेज होती हैं यहां पर मैपिंग राय थी पाई और वह आइसोमोरफिक होती है इसके क्वेश्चन ग्रुप का तो इसका क्वेश्चन ग्रुप कौन सा यह जी बाइक करनाल हां जी माफ करना लोग ही तो यह का पोर्शन ग्रुप बना लिया मैं तो यह क्वेश्चन ग्रुप पर इसके आइसोमोरफिक आया तो यह फंडामेंटल थ्योरम में यूज कर दी यहां पर और इसका फायदा यह हुआ कि इस चूर्ण को प्रूव करने से मुझे मिल गया कि अगर यह जो सेट है यह

28:44 अगर एप्लीकेशन है तो फिर यह बिल इन होगा अब यह बैलेंस अब बनेगा जब यह कर मतलब ही की जगह पर क्या आ जाए ई प्लस बनना चाहिए तो आप मुझे ग्रुप करना है कर्नल उपाय और ई प्लस वन दोनों क्या है बराबर है फिर एक लिमिट लिया दूसरे में दिखाया दूसरे लिमिट यहां पहले में दिखाया कंटेंट करके दोनों बराबर आगे बराबर आते हैं मेरे पास यह शोरूम में अप्लाई करके और इन दोनों को मैंने अप्रूव कर दिया कि यह एक सैफ उसे भैया को जेड प्लस मलिक अपीरियंस सेट है MS Word सब्सक्राइब अगर आपके लिए यूज करें मेरे रिलेटिव तो प्लीज इसको चैनल को सब्सक्राइब करें सपोर्ट करें कमेंट करें लाइक करें और शेयर करें थैंक यू सो मच फॉर वॉचिंग दिस वाइड

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