Qué es la integral y Para qué se usa

0:00 qué tal Amigas y amigos Espero que estén muy bien Este es un vídeo súper importante si tú vas a empezar a ver el tema de integrales o si ya sabes integrar y no sabes qué es una integral o para qué sirve Mejor dicho estás en el vídeo que es no O si quieres aprender de integrales de verdad como es estás en el vídeo que listos en este vídeo vamos a ver tres cositas importantes primero Qué es la integral que tú entiendas que es una integral segundo Para qué sirve una integral para qué vamos a utilizar las integrales y tercero pues vamos a ver un chismecito Aquí vamos a hablar algo importante que es algo que está una un tema que parece como de película que está detrás de las integrales y es algo que parece como de película sí la historia de las

0:46 integrales podrían hacer fácilmente una película con Villano con alguien que parece ser que es como malo el otro que se aprovecha Pero bueno te voy a empezar a hablar de los actores de esta película sí los actores de esta película son tres esa persona es que te invito si tú no las conocías o si tomas bien Si tú no habías escuchado hablar de estas tres personas te invito a Que investigues Porque son unos duros empezamos con el primer actor que se llama Arquímedes de siracusa Mira desde dónde empezó la historia de las integrales él nació en el año 287 antes de Cristo y murió en 2000 en 212 antes de Cristo Sí desde antes de Cristo dos siglos antes de Cristo empieza la historia de las integrales Pero mira lo duros que eran

1:33 estos estos jefes estos si llenan unos duros aquí merecerá matemático físico astrónomo inventor y Bueno aquí podría poner puntos suspensivos Porque si tú investigas esa manera un duro Sí vamos con el segundo actor que bueno este actor estaba como solito allá aparte no había muchas más personas obviamente en una película y muchos actores pero aquí te voy a hablar de los tres actores principales no vamos a hablar del segundo principal que es Isaac Newton espero que ya lo hayas nombrado escuchado nombrar Ya mira todo el tiempo que pasó desde que empezó la historia de esas integrales él nació en 1643 ya cuántos siglos después 18 siglos después mira que Isaac Newton qué hacía él será que era desjuiciado No señores no

2:19 señoras él era astrónomo teólogo alquimista matemático físico y podría poner puntos suspensivos y el tercer actor muy importante que no sé si lo voy a leer bien se llama godfred levnis Bueno espero que lo haya nombrado más o menos bien Él era contemporáneo con Isaac Newton vamos a ver que estos dos actores tienen algo muy importante y ahí es donde yo creo que alguno de los dos era medio Villano Pero bueno los dos son súper importantes en esta historia de las integrales él era contemporáneo ma nació en 1646 Y mira que en este caso él era político él era jurista Era teólogo matemático físico y suspensivos bueno estos son los tres actores importantes en la historia de las

3:05 integrales Pero ahora sí vamos a hablar para qué sirven las integrales obviamente en matemáticas y en todo en la humanidad siempre nos hemos preguntado bueno porque la luna es así porque los objetos caen porque el viento pasa todo nos lo hemos preguntado y algo que no podía pasar sin preguntar era cómo será que podemos Hallar el área debajo de una curva Por ejemplo si aquí tenemos esta función que en este caso Bueno vamos a llamar a esta función F de X Sí esta curvita es la función FX que en este caso si tú observas es una parábola siempre se preguntan bueno y cómo hago para encontrar el área debajo de esa parábola o sea por ejemplo supongamos yo quiero Hallar el área desde cero hasta el número 8 o sea esta parte

3:51 del plano cómo hago para saber cuál área es esa y bueno Tú vas a decir Bueno yo para que quiero Hallar el área debajo de esa figura ya vamos a ver lo importante que es el área debajo de esa figura Entonces cómo haríamos para Hallar el área nosotros general Y supongo que tú también yo también sabemos hallar solamente el área de un cuadrado de un rectángulo de un rombo sí Entonces cómo haremos para Hallar el área de una figura que no es normalita Pues aquí es donde entra el primer actor Ah bueno primero antes de hablar del primer actor vamos a hablar de qué es el área no la idea es que comprendas todo bien y por eso quiero dejarte Claro que es el área el área no es más te lo voy a explicar así Sencillamente Sencillamente no sé si se llegase

4:37 el área no es más sino el número de cuadrados que caben dentro de una figura ya por eso Por ejemplo tú de pronto has escuchado si tú tienes una casa o un lote Generalmente tú vas a escuchar que dice no esa casa tiene 70 voy a escribirlo por acá 70 metros cuadrados Qué quiere decir un área de 70 metros cuadrados la clave está aquí metros cuadrados quiere decir cuadrados de un metro de lado Sí si tenemos un cuadrado Bueno disculpa ese cuadrado tan feo en el que aquí este lado mide un metro y Obviamente todos los lados miden un metro esto sería un cuadrado Perdón esto sería un metro cuadrado Sí por qué Porque es un cuadrado que mide un metro por cada lado si te dicen 70 metros cuadrados qué es

5:22 lo que te están queriendo decir si nosotros nos pusiéramos a poner cuadraditos dentro de esa dentro de esa casa cabrían 70 cuadraditos de un lado de un metro Sí ahora por ejemplo aquí si nosotros vamos a hallar el área de esta figura tenemos que mirar cuál cuadradito vamos a meter dentro de esa figura por eso a veces tú escuchas un centímetro cuadrado un metro cuadrado un kilómetro cuadrado o muchísimas figuras de un cuadrado para eso pues tenemos que mirar cuál sería nuestro cuadrado con el que vamos a medir en este caso la base para mí va a ser este cuadrado que en este caso pues es un cuadrado que mide un cuadrito por cada lado voy a tomar un cuadrito sí en este caso este cuadrito sería un cuadrado de un cuadrito de lado

6:09 o sea un cuadrito al cuadrado Sí si nosotros quisiéramos Hallar el área de esta figura Pues aquí queda muy fácil porque tenemos la cuadrícula Entonces sería 1 2 3 4 5 6 7 y 8 Cuántos cuadritos de estos caben dentro de esta figura caben ocho cuadritos o sea el área de esta figura sería 8 cuadritos de un cuadrado de lado sí obviamente por eso están las fórmulas del área por ejemplo el área del rectángulo Espero que tú ya sepas que se encuentra mediante la fórmula área igual a base por altura Sí para Hallar el área de cualquier rectángulo base por altura Por qué Porque si nosotros multiplicamos la base Aquí Cuál es la base 1 2 3 y 4 cuadritos la altura

6:56 aquí sería 2 cuadritos Obviamente si multiplicamos 4 por 2 nos da 8 cuadritos cuadrados Sí porque 4 y por qué 2 Pues porque aquí mide 4 y si contamos cuatro dos veces Pues nos da 8 listos eso es el área Pero bueno ahora sí para qué sirven las integrales Voy a darte un ejemplo sencillo que espero que con esto que comprendas bien que quieren decir y para qué sirven las integrales Y por qué necesitamos Hallar el área bajo una ninguna función listos supongamos en este caso que tuvo que yo que el que sea Vamos en un carro y vamos a una velocidad de 20 kilómetros por hora sí vamos a 20 kilómetros por

7:42 hora siempre hay despacito 20 kilómetros 20 kilómetros y supongamos que hacemos un recorrido en un tiempo de dos horas sí voy a hacer el dibujo de esto Cómo haríamos para dibujar que vamos a 20 kilómetros por hora y que duramos dos horas Pues para eso necesitaríamos un gráfico sí un plano en el que pues como estamos hablando de tiempo y de velocidad Pues un eje sería el del tiempo que en este caso sería el tiempo en horas y el otros eje sería el de la velocidad que pues sería en kilómetros por hora como haríamos para dibujar esto pues primero que todo Tendremos que ver pues por ejemplo poner aquí una línea cita en la que aquí están 20 kilómetros por hora sí Estos son 20 kilómetros por hora pero Cuánto tiempo duran cuánto tiempo duramos duramos dos horas entonces aquí ponemos el uno y

8:28 aquí ponemos el 2 aquí ahora graficamos esta situación que sería así no Vamos en una línea recta porque vamos a la misma velocidad siempre 20 kilómetros por hora y duramos una hora y dos horas Cómo haríamos para Hallar el área debajo de esta función o debajo de esta línea que el área sería todo esto en este caso obviamente está muy fácil Por qué Pues porque esto es un rectángulo Sí cómo hacemos para Hallar el área de un rectángulo eso ya lo dijimos ya lo dije anteriormente el área se halla base por altura estoy dando un ejemplo muy sencillo para que comprendas Qué es y para qué es que sirve la integral Si queremos Hallar el área de esta figura que tendríamos que hacer multiplicar la base que es esto Serían

9:14 dos horas sí multiplicarlo por la altura que sería esto esto Cuánto es esto es 20 kilómetros por hora sí para Hallar el área de este rectángulo base que es 2 horas por 20 kilómetros por hora que es la altura y Aquí vamos a ver Por qué es tan importante Hallar el área debajo de una función Entonces hallamos el área área es igual a la base Cuál es la base 2 horas por la altura que son 20 kilómetros por hora Si hacemos esta operación primero que todo pues obviamente aquí podemos eliminar las horas con las horas porque hay unas arriba y otras abajo y si multiplicamos los números 2 por 20 es 40 y nos quedó 40 qué 40 kilómetros Qué quiere decir este 40 kilómetros tan importante que

10:02 esa era debajo a la figura mira que en este caso y espero que pues no tuya mentalmente ya lo sabrías No si durante dos horas vamos recorriendo una distancia que sea a 20 kilómetros por hora Cuánta distancia alcanzamos a recorrer Pues en la primera hora serían 20 y en la segunda hora serían 40 kilómetros mira que en este caso estamos hablando de velocidad y tiempo y al multiplicar velocidad y tiempo nos da espacio que eso es el área bajo la figura obviamente pues tú dirías profesor pero para qué me hace este dibujo si yo ya sabía que había recorrido 40 kilómetros Ya lo vamos a ver por eso Este es un ejemplo sencillo pero qué sucede cuando no vamos por ejemplo la misma velocidad sino cuando vamos acelerando como en este caso

10:47 supongamos que ahora la función ya no es una línea recta sino que es otra función en este caso Bueno te lo voy adelantando en este caso pues yo hice el dibujo que quisiera no ver La idea es comprender el tema en este caso este dibujo es el dibujo de una parábola sí que es una parábola que abre hacia arriba vamos a tomar en cuenta solamente desde el 0 hasta el 8 o sea vamos a mirar esta área el área debajo de la curva entre 0 y 8 supongamos que nuevamente vamos acelerando en este caso vamos en nuestro carro pero como Vamos acelerando pues la velocidad va aumentando cada vez más sí como lo vemos acá sí Ahora vamos a mirar supongamos que dentro de las primeras 8 horas u 8 minutos que pasaría si Entonces cómo haríamos para encontrar el área de esta figura porque pues porque

11:34 el área ya no es normalita ya no es un rectángulo ya no es un triángulo Aquí es donde entra nuestro primer actor el señor Arquímedes pues obviamente los matemáticos Desde esa época se estaban preguntando cómo hacemos para hallar esa área y el propuso la siguiente solución lo que hizo fue decir supongamos que más bien en lugar de ver la figura como una figura irregular miremos la como rectángulos en este caso qué pasa con el área de este rectángulo Pues que si la observamos el área de este rectángulo es un poquito más pequeña que el área Que está debajo de la curva entonces lo que propuso Arquímedes fue pues hagamos rectángulos Entonces en este caso hicimos un rectángulo pero aquí me dijo no Pero y si más bien hacemos más rectángulos que espero que es lo que tú

12:21 hayas pensado sí supongamos que ya no hacemos un rectángulo del ancho que queremos en este caso vamos a querer Hallar el área desde cero hasta ocho sino él dijo y Qué pasa si más bien ponemos dos rectángulos sí uno que mida 4 y el otro que mida otros cuatro mira que Obviamente el área de esta nueva figura que está aquí en azul va siendo mucho más cerca al área bajo la curva Obviamente si hacemos por ejemplo otro rectángulo ya no dos rectángulos sino tres rectángulos el área es mucho más cercana al área al área bajo la figura Sí y aquí te lo voy a comprobar mira que el área de la suma inferior sí O más bien la suma de esta área sí que son estos rectángulos los rectángulos inferiores el área cuando había tres

13:07 rectángulos es de 32.49 y el área bajo la curva es de 37 mira que el área es muy similar Pero qué pasa si no hacemos tres rectángulos sino por ejemplo 4 mira que el área de la suma inferior ya va mejorando ya es 33 Qué pasa si ahora hacemos más rectángulo o sea mira que entre más rectángulos hagamos el área va siendo mucho más cercana a la que queremos hallar Por ejemplo si hacemos 20 rectángulos mira que el área va siendo mucho más cercana obviamente en este caso aquí me deja hacer hasta 100 rectángulos Y mira que si hacemos 100 rectángulos el área es casi igual a la que queríamos encontrar entonces Esa fue la idea que dio Arquímedes y bueno para

13:55 concluir cómo haríamos para Hallar el área ya sabemos que sería pues sumar el área de todos esos rectángulos primero que todo acordémonos que la función la llamamos FX sí Entonces cómo haríamos para Bueno recuerda que o Bueno recuerda no te Lo aclaro para poder Hallar el área bajo una función esa función debe ser continua sí continua Qué quiere decir que no tiene saltos sí o que tiene un número finito de discontinuidad Sí por ejemplo supongamos que tenemos una función así Cómo haríamos para Hallar el área bajo la bajo la función supongamos que fuera aquí entre el número 1 y el número 3 para Hallar el área aquí deberíamos tener en cuenta la discontinuidad que por ejemplo si aquí hubiera un salto Pues en esta partecita el área sería

14:42 infinita porque pues no habría un tope digamoslo así que sería la función Entonces en este caso que habríamos pues lo que haríamos sería Buscar más bien el área de esta función de esta parte cita nada más desde aquí hasta aquí supongamos que aquí es el número 1,3 bueno eso no está escala y está todo feo pero quiero aclararte la función debe ser continua o sea una línea cita que vaya derechita en pocas palabras Sí porque si es discontinua Tendremos que mirar por partes listos eso Si tuviera un número finito de discontinuidades No porque si tuviera un número infinito de discontinuidades pues no se podría Hallar el área listos entonces la función debe ser continua en el intervalo en el que queremos Hallar el área listos Entonces qué es lo que

15:28 tenemos que hacer sumar las áreas de los rectángulos Pero cómo haríamos para sumar las áreas de los rectángulos importante que el área de un rectángulo pues es base por altura Entonces vamos a mirar en este rectángulo por ejemplo en el primero la base que sería esta distancia vamos a llamarla Delta x porque Delta x Acuérdate que Delta en matemáticas quiere decir la distancia Sí o sea aquí sería la distancia entre las X cuál es x Pues en este caso sería la distancia desde acá hasta acá esa sería la base Entonces voy poniendo por acá más en resumen base la llamamos Delta X en este caso por ejemplo cuánto rectángulos hay uno dos tres cuatro cinco seis siete y ocho o sea el número de rectángulos es 8 en este caso ahora

16:13 tenemos que multiplicar la base por la altura Cuál sería la altura de este rectángulo pues la distancia desde aquí hasta aquí esta sería la altura que la vamos a llamar F de X sub Y por qué Acuérdate que nosotros cuando queremos graficar una función qué es lo que hacemos hacemos una tabla de valores ponemos valores a la x para buscar los valores de la y o de la función evaluada en esa x qué es lo que encontramos cuando reemplazamos por ejemplo escribimos reemplazamos la x con el número 1 lo que encontramos es la altura de esa función el número 1 cuando reemplazamos la x con el número 5 lo que encontramos es la altura de esa función en el número 5 cuando la x vale 5 sí Entonces en este caso si quisiéramos hallar la altura de este rectángulo pues es exactamente lo que nos da al evaluar

17:00 la función en este punto por ejemplo en el punto cero sí entonces la altura de los rectángulos Pues sería F de X sub Y por qué le pongo sub y pues porque la altura depende de dónde está la función de dónde está el rectángulo No por ejemplo este rectángulo pues ya tiene otra altura Pues que sería evaluar la x en este punto la altura de este rectángulo evaluar la x aquí por ejemplo en el 4 entonces para Hallar el área de los rectángulos pues tenemos que multiplicar base por altura entonces hagámoslo acá si multiplicamos la base que es delta x bueno en este caso yo les hice un ejemplo en el que todas todos los anchos de los rectángulos serían iguales no es obligatorio que los anchos sean iguales Lo que sí es obligatorio es que el ancho del rectángulo sea lo más pequeño

17:47 posible o que haya el número máximo de rectángulo Sí por eso Bueno ahorita más adelante les digo por eso se le llama diferencial de X que es que quiere decir una distancia exageradamente pequeña pero bueno el área es base que es delta x multiplicado por la altura no la voy a multiplicar acá sino acá Acuérdate que la multiplicación es conmutativa Entonces lo puedo multiplicar donde sea no multiplicamos por la altura que es con esto que tendríamos el área de los rectángulos aquí Bueno pongámosle x sub y suponiendo que los anchos son diferentes Entonces qué es lo que vamos a tener que hacer sumar el área de todos los rectángulos o sea lo que vamos a hacer es la suma desde el primero Hasta el nésimo

18:32 rectángulo si son cinco rectángulos sumaríamos cinco Obviamente el número de rectángulos tiene que ser infinito porque tiene que ser muchísimo rectángulos del ancho más pequeño que se pueda como vamos a hacer que esta n sea infinita pues lo que estamos diciendo es que vamos a hallar el límite cuando la n tiende a infinito sí Entonces esto con esta función si nosotros encontráramos el valor de esta función sí o haciendo esta cuenta este límite en este caso el límite de la suma de todos los rectángulos del área de todos los rectángulos allí encontraríamos el área bajo la curva a esto es a lo que se le llama la integral pues al área bajo la curva ahora obviamente siempre en matemáticas hemos

19:18 querido escribir todo más fácilmente Sí entonces volvemos a la película Acuérdate de Newton y lemmins que fueron los otros dos actores principales de la película de una vez te voy contando Newton era el presidente de la Real Sociedad de Londres que era una élite científica sí eran los los en esa época los más duros los matemáticos más duros los físicos más duros Sí él pues era el presidente de esa sociedad en esa época levni fue el primero demostró sus resultados sus estudios él mostró y bueno De una vez te lo digo a esto más bien Sí lemmins para simbolizar lo más pequeño simbolizó la integral de esta forma lo escribió así

20:04 porque una s alargada Pues porque estamos haciendo una suma en este caso pues supongamos que aquí sería el intervalo desde a hasta B Sí porque es un intervalo en el que vamos a mirar el área y pues es muy similar a esto miren sería FX por Delta x Acuérdate que Delta x pues quiere decir debe ser algo muy pequeñito no Entonces está la anotación del emis entregó su trabajo Sí a lo que le llamó el teorema fundamental del cálculo si ya se le llama el teorema fundamental del cálculo que ya ahorita te Lo aclaro un poquito más obviamente te dejo también la espinita para Que investigues mucho más esta fue la notación del omnis pero de uno a este cuento un poco más de la película No Newton era el presidente de la sociedad lemnis fue el que entregó su trabajo

20:51 la integral y De una vez te lo digo mostró que la integral en el trabajo mostró la integral y la derivada ya te voy a decir qué más luego Isaac Newton entregó sus estudios Pero después de un tiempo había como como un rumor de que lemmins no era el que había inventado el cálculo sino que lo había inventado Isaac Newton bueno obviamente lemmins pasó una carta solicitando a la Real Sociedad de de Londres que revisarán ese caso porque él sí había inventado el cálculo Y pues obviamente era el presidente entonces tú sabrás no tú ya sabrás que sucedió desde ahí se dijo que Isaac Newton fue el creador del teorema fundamental del cálculo Pero bueno ya después con la historia y

21:37 observando evidencias y todo parece ser que los dos por su parte inventaron el cálculo sí que pues en este caso estamos hablando de el teorema fundamental del cálculo aquí tenemos la notación que como les decía era una s alargada indicando sumatoria Pues aquí Yo la hago muy fea pero pues aquí está la del computador Cuál era la anotación que utilizaba Isaac Newton para decir para Designar la integral utilizaba esta por ejemplo supongamos que él quisiera hallar la integral a la función x al cuadrado que hacía él él decía con ese simbolito decía voy a hallarle la integral a x al cuadrado otra forma que utilizaba era un rectángulo indicando que iba Hallar el área bajo esa función pues obviamente en el intervalo dado

22:23 listos Entonces eso es lo que nos dice hasta ahora la historia ahora para finalizar te voy a hablar del teorema fundamental del cálculo si te das cuenta en el tiempo del vídeo ya queda muy poquito pero es algo muy fundamental lo que te voy a decir en pocas palabras Qué dice el teorema fundamental del cálculo en pocas palabras dice que la derivada y la integral son inversas ya lo vimos en el primer ejemplo que la integral o sea el bajo la curva Cuando tenemos una función y esa función es la velocidad la integral de la velocidad qué fue lo que nos dio nos dio la distancia y por el teorema fundamental del cálculo sabemos que al contrario también sucede la derivada de la distancia es o del desplazamiento es la velocidad sí

23:09 obviamente dependiendo de la función con el que trabajemos pues la derivada o la integral significa otra cosa vistosa por ejemplo esto para qué te lo voy a decir porque esto te va a servir muchísimo si ya vas a ver integrales porque esta sería una forma como de cómo comprobar si tú por ejemplo te dice tu profesor encuentra la integral o si tú deseas encontrar una integral y quieres saber si quedó bien allá de esa integral ya te voy a decir cómo comprobarlo supongamos que tenemos una función sencilla nuevamente por ejemplo la función x al cuadrado supongamos que queremos derivarla entonces vamos a hacer un paso para derivar por ejemplo Cuál es la derivada de esta función Pues acordémonos que es bajar el

23:55 exponente y restarle uno nos queda uno la derivada de X al cuadrado es 2x pero por el teorema fundamental del cálculo ahora se sabe qué si nosotros esta esta se llama la primitiva no esta función que fue la que derivamos la que la que resultó de la derivada de la primitiva si nosotros le aplicamos una operación que sería la inversa de la derivada encontraríamos la primitiva en este caso esta función se llama integral o sea la derivada y la integral son funciones inversas sí Entonces si tú estás haciendo una integral por ejemplo te dieron esta función y en contraste su integral Cómo haces para saber si quedó bien la derivas Y si encuentras nuevamente la función inicial pues

24:42 entonces ahí ya sabrás que tienes tú respuesta correcta listos y Bueno ya el resto se lo dejo te lo dejo para que lo investigues porque es una historia muy interesante Espero que te haya gustado esta explicación y si es así te invito a que veas el curso completo para que empieces a aprender muchísimo acerca de integrales Aquí también te dejo algunos vídeos que estoy seguro que te van a servir No olvides comentar lo que desees compartir este vídeo con tus compañeros y compañeras suscribirte al Canal darle un buen like a este vídeo y no siendo más Bye bye