0:00 video ini adalah bagian seri video Kula kalkulus rujukan utama pembahasan materinya diambil dari buku akulus pursey 9 berkerujukan yang umum digunakan dalam materi kuliah kalkulus buku ini berisikan 15 chapter dari nol sampai chapter 14 Sekarang kita akan membahas chapter 0 bagian pertama yaitu sistem bilangan real Oke kalau masih ingat waktu kita kecil bilangan yang pertama kali dikenalkan ke kita itu adalah bilangan-bilangan yang digunakan untuk menghitung banyaknya jumlah seperti satu dua tiga empat dan seterusnya bilangan ini adalah bilangan yang secara alami kita butuhkan apapun pekerjaan kita nantinya bilangan ini diambil dari natural yang dalam bahasa Indonesianya disebut sebagai bilangan asli Jadi sekarang kita punya suatu himpunan bilangan yang disebut sebagai himpunan bilangan asli Nah kita tahu
0:52 bilangan asli dijumlahkan dengan bilangan asli pasti Tetap Menjadi suatu bilangan asli tapi gimana dengan pengurangannya bilangan asli kurang bilangan asli bisa jadi keluar dari bilangan asli contohnya misalkan 3 dikurang 5 gitu sehingga kita butuh mengkonstruksi suatu sistem bilangan yang lebih besar dari bilangan asli yang mengcover pengurangannya bilangan ini disebut sebagai bilangan bulat disimbolkan sebagai Z isinya ya adalah bilangan-bilangan asli berikut 0 berikut juga nilai negatif dari bilangan asli tersebut Jadi sekarang kita punya himpunan bilangan yang lebih besar lagi dari bilangan natural yang kita sebut sebagai bilangan bulat Nah kita bisa lihat sekarang penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat itu tetap bilangan bulat juga tapi gimana dengan pembagiannya gimana dengan perbandingannya perbandingan atau Pembagian dua buah bilangan bulat itu belum tentu bilangan bulat maka kita butuh himpunan bilangan yang lebih besar
1:42 lagi yang kita sebut sebagai bilangan rasional Ya seperti namanya bilangan rasional ini kita simpulkan sebagai Q diambil dari question pembagian yang isinya adalah pembagian dua buah bilangan bulat jadi bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam pembagian 2 buah bilangan bulat Contohnya apa aja ya misalkan 3/5 7/2 bahkan bilangan bulat sendiri itu adalah bilangan rasional contohnya misalkan 5 Apakah 5 bilangan rasional jawabannya Iya karena 5 itu bisa dinyatakan sebagai 5/1 sehingga ya 5 bisa kita kategorikan sebagai bilangan rasional Lalu bagaimana dengan maksimal misalkan 0,25 Apakah 0,25 ini bilangan rasional jawabannya Iya karena 0,25 bisa dinyatakan sebagai 25/100 atau 1/4 ya jadi 0,25 bisa kita sebut sebagai bilangan rasional bahkan bilangan-bilangan desimal yang nilainya tak terbatas sekalipun itu bisa kita kategorikan sebagai bilangan rasional contoh misalkan kalau kita punya 0,777 dan seterusnya Nah apakah bilangan ini bilangan rasional Nah untuk
2:48 menunjukkan bilangan ini bilangan rasional berarti kita harus menyatakan dia dalam perbandingan 2 bilangan bulat Gimana caranya idenya itu bisa kita misalkan aja 0,77 ini sebagai a lalu kalau kita kalikan 10 kita akan memperoleh 7,77 dan seterusnya itu adalah 10A sehingga kalau kita coba kurang maka di ruas kiri kita akan memperoleh 7 aja 0,77 sekiannya habis di ruas kanan jadinya 9A sehingga A bisa dinyatakan sebagai 7/9 Nah karena a bisa dinyatakan dalam di bagian dua bilangan bulat ya berarti kita bisa bilang 0,77 ini adalah bagian dari bilangan rasional contoh lain lagi misalkan kalau kita punya 0,131313 dan seterusnya ini adalah bilangan desimal yang nilai desimalnya tak terbatas tapi berulang ide berpikirnya sama kita bisa Nyatakan 0,1313 ini sebagai a lalu lalu kita kalikan dengan 100 Ya ide dikalikan dengan 100 itu adalah biar nanti kalau ini dikurang maka 0,13-nya akan habis yang di ruas kiri Tinggal 13 aja di ruas kanan kita peroleh 99a maka a nya dapat
3:56 dinyatakan sebagai 13/99 karena bisa dinyatakan sebagai Pembagian dua bilangan bulat artinya 0,13 adalah bilangan rasional Oh ya Untuk penulisan aja 0,77 ini untuk memudahkan kita menulis kita bisa Nyatakan sebagai 0,7 bar dan 0,13 13 bisa ditulis sebagai 0,13 bab itu maknanya angka yang sama akan berulang terus sampai tak hingga Jadi intinya bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam Pembagian dua bilangan bulat Nah jadi sekarang kita sudah punya suatu sistem bilangan yang lebih besar lagi dari bilangan bulat yang kita sebut sebagai bilangan rasional Pertanyaan selanjutnya Apakah bilangan rasional sudah cukup untuk memenuhi semua kebutuhan kita kita bisa berangkat dari permasalahan pythagoras misalkan kalau ada suatu segitiga siku-siku dengan panjang sisinya yang satu adalah satu yang satu lagi adalah 2 nah bagian hipotenusnya bisa kita cari menggunakan konsep pythagoras yaitu satu kuadrat tambah 2 kuadrat ya akar kan kita akan memperoleh akar 5 nah akar 5
5:03 ini berapa ya kalau kita Tuliskan dalam bilangan desimalnya √5 bisa dinyatakan sebagai berikut dan apakah ini bisa dinyatakan dalam pembagian dua buah bilangan bulat secara matematis ini bisa kita Tunjukkan bahwa kita tidak akan pernah berhasil menyatakan akar 5 sebagai Pembagian dua buah bilangan bulat maka akar 5 bukanlah bilangan rasional bilangan-bilangan yang bukan bilangan rasional kita sebut sebagai yang namanya bilangan irasional kita notasikan sebagai QC dibaca sebagai Q komplemen yang isinya itu adalah ya bilangan-bilangan yang tidak dapat menyatakan dalam pembagian 22 bilangan bulat isinya itu adalah akar 5 akar 2 akar 7 atau mungkin bilangan-bilangan transidensial seperti P E dan seterusnya bilangan-bilangan ini tidak bisa dinyatakan dalam pembagian 2 buah bilangan bulat Nah jadi ceritanya sekarang ada bilangan-bilangan yang letaknya itu di luar himpunan bilangan rasional nah gabungan dari bilangan-bilangan rasional dan irasional ini kita sebut sebagai yang namanya
5:57 bilangan real jadi Apa itu bilangan real ya the hold number sederhananya Ya semua bilangan itu adalah bilangan real baik dia bulat pecahan desimal bahkan bilangan seperti Pi itu masuk ke dalam bilangan real nah Pertanyaan selanjutnya ada nggak bilangan di luar bilangan real Coba kita amati beberapa kasus berikut kalau misalkan kita punya x² - 9 = 0 maka kita akan memperoleh bahwa x kuadrat itu sama dengan 9 Nah berapa x yang memenuhi mikirnya itu kan berapa ya bilangan yang kalau dikuadratkan jadinya 9 Nah bilangan yang dikuadratkan jadi 9 itu kan bisa aja 3 bisa aja -3 dan 3 atau -3 ini kan adalah anggota dari bilangan bulat kalau misalkan kita punya kasus x² - 2 = 0 itu kan artinya x² = 2 nah Berapa nilai x yang memenuhi ya kita bisa bilang oh berarti yang dikuadratkan jadinya 2 itu ya bisa √2 atau -√2 yang mana Ini adalah suatu bilangan irasional Tapi gimana kalau misalkan kita punya x² + 1 = 0 maka kita bisa Tuliskan x² = -1
6:59 nah Berapa nilai x yang memenuhi secara matematis kita bisa peroleh bahwa X itu adalah plus minus akar -1 tapi akan -1 ini berapa berapa yang dikuadratkan jadi -1 ini kan enggak masuk akal ini enggak ada bilangan real yang kalau dikuadratkan bisa jadi -1 karena - itu plus harusnya jadi nggak ada bilangan yang dikuadratkan jadi -1 nah artinya solusi dari persamaan ini tidak ada di bilangan real sehingga kita butuh konstruksi himpunan bilangan yang lebih besar lagi kita bisa Misalkan akar -1 ini sebagai I yaitu bilangan imajiner himpunan bilangan gabungan antara bilangan real dan bilangan-bilangan yang mengandung imajiner itu disebut sebagai yang namanya bilangan Kompleks jadi sistem bilangan yang paling besar yang kita bisa pahami sampai saat ini adalah bilangan Kompleks ada nggak bilangan yang lebih besar dari bilangan Kompleks jawabannya sampai saat ini Se pemahaman saya sih belum ada karena ya belum ada kebutuhannya kalau misalkan ada suatu saat suatu persamaan atau suatu kasus
7:56 yang membutuhkan bilangan di luar bilangan Kompleks Ya bisa aja dibangun nah untungnya di kalkulus kita hanya fokus di bilangan real aja jadi perhitungan yang kita lakukan nantinya saat kita belajar limit turunan integral dan lain-lain kita hanya akan berfokus di semesta atau domain terbesarnya itu adalah bilangan real jadi ini yang disebut sebagai sistem bilangan real semoga bermanfaat Terima kasih semuanya yang udah support kalau mau belajar kalkulus lebih lanjut silahkan cek kontak di kolom deskripsi
