0:03 في البداية قبل بتكلم على ال domain وعلى ال range عايز كده نتفق مع بعض على بعض الطرق في كتابة ال interval او التمثيل ال inequalities بالنسبة للارقام في ال real numbers احنا كلنا طبعا عارفين ان الاشارة دي او ال notation دي معناها اقل من فلما بقول ان ال x less than y يبقى بننطقع كده ان ال x less than y يبقى دائما النطق بتاعنا بيكون من هذا الاتجاه وهو ان الـ X أقل من الـ Y وان الاشارة دي كده معناها less than بس مش less than or equal ولانا لو عايز اقول less than or equal كنت لازم اغير الـ Notation دي وحط بدلها الـ Notation اللي فيها علامة التساوي تبقى X less than or equal Y ولو عايز اقول ان الـ X أكبر من الـ Y
0:51 فكدت اقول X greater than Y هتبقى بالشكل ده يبقى اتجاه السحمع يكون من الـ X للـ Y او اقول ان X greater than equal Y طبعا اربع حاجات احنا احنا قريدي عارفينهم بس بنحاول ان احنا يعني نركز عليهم تاني او نخب بنا بس منهم تاني طب لو عايز اكتب double inequality يعني عايز اقول مثلا ان P هي greater than A ولسة than C يبقى ال P هي اكبر من A واقل من C يبقى دية عبارة عن حاجتين او دية طلع لي جزئين. وهو ان البي اكبر من الا. وان البي اقل من السي. يبقى ممكن اكتبهم مرة واحدة كده. يبقى دايما لما بنيجي ننطقها بننطقها من الجزء اللي في المنتصف اكبر واقل.
1:41 يبقى دايما بنقول كده ان الاكس اكبر من الواحد واقل من الخمس. ان الاكس اكبر من او تساوي السالب اتنين واقل من التمانية. وهكذا. يبقى دايما ان انا ببدأ انطق من المنتصف ان الاكس او البي زي المثال اللي قدامي اكبر من كزا وا او اند اقل من كزا يبقى واخلص الجزء بتاع الاجبر وبعدين الجزء بتاع الاقل مش هتفرق يعني ده الاول او ده الاول بس في النهاية انا اه يعني ببدأ من هنا واكتبع او انطقع على جزئين اكبر اقل اكبر من او ساوي اقل من كزا وده في النهاية اه بيستخدم في الاخر الاربعة دول برضو بس كأنه بيجمع حاجتين اتنين مع بعض لما اجي اكتب الكلام دوت
2:27 بصورة الانترفال نوتيشن اواجي اعبر عن الكلام دوت في الجيومترق ديسكريبشن يعني اعمله على خط الاعداد الشكل بتاعي بعمل ازاي؟ فلو جينا بصنا مثلا على الانيكوليتي اكس جريتا ورزانور ايكول اي وليس الزانور ايكول بي يبقى هنا انا بقول ان المتغير اكس هو اكبر من او يساوي الفاليو اي واقل من او يساوي الفاليو بي فلما باجي امثل الكلام دوت على خط العداد فبجأ أقول للايه وقدي نقطة البي اللي اتنين للايه او البي بعملهم كولوزد زي ما احنا شايفين ليه لان علامة التساوي ديت بتديني دلالة وهو ان نقطة الايه موجودة معايا ونقطة البي موجودة معايا علشان كده النقطتين كولوزد وكل ما هو ما بينهم فوصلت ما
3:16 بينهم ولما اجي استخدم الانتربال نوتاشن وده مهم جدا عشان كمان شوية لما نجي نتكلم على الدومين وعلى الرنج هنستخدم الانتربال نوتاشن ده باستمرار فلازم نبعارفين ان احنا لعشان نعبر عن من نقطة A لنقطة B والA معاية والB معاية فبستخدم الكلوزد انتربال اللي هي الانتربال المغلقة من الA للB ودي شكل الاقواس الكلوزد اللي هتكون بالشكل اللي قدامي ده طيب لو انا خليتها اكبر من الا واقل من البي حزفت الاكوال اللي كانت موجودة هنا وهنا يبقى اللي يحصل هنا في الشكل في الجيومتريك وانت بتعمل الربريزنتيشن حتتعمل السيركل اوبن زي ما انت شايف كده عند الا وسيركل اوبن زي
4:02 ما انت شايف كده عند البي ده هيدل على ان نقطة الا نفسها مش معاك ونقطة البي نفسها مش معاك ولكن كل ما بينهم موجود معاي فده بيديني نفس اللي انا عايز اقوله بالزبط وهو ان الـ X greater than A وليس الزان B ولما اجا استخدم الـ interval notation فاقول A,B وحط الاقواس بتاعة الـ interval ولكن الاقواس هتكون opened interval يعني هتبقى الاقواس بتاعتي اللي بتعبر عن الـ opened interval وهي الاقواس المفتوحة بالشكل ده وممكن استخدم الاقواس اللي بالشكل ده تبقى كده ولكن دي هتلاقصر استخداما الاتنين بيعبروا على ان ال A مش معايا وال B مش معايا ولكن كل الارقام اللي ما بين ال A وال B بتكون معايا
4:49 طب لو قلت ان ال A ولس ال B ده معناه ان انت هتقفل عند ال A وتفتح عند ال B يبقى تبقى closed A to open P يبقى تبقى دي الانترفال بتاعتنا اللي هي من اول A لغاية ال B بس واضح هنا ان نقطة ال B مش موجودة معانا من ضمن الارقام او من ضمن ال values بتاعت الانترفال اللي عندنا لو عكسنا هتبقى العكس البي هي اللي هتبقى والا هتبقى طب لو قلنا بس يعني قلنا اكس اكبر من او تساوي ال ا ده معناه ان احنا كل القيم اللي اكبر من او تساوي ال ا يبقى بنبدأ من عند ال ا والتساوي يبقى ازا ال ا دي وكل ما هو اكبر منها يبقى في الاتجاه الموجب بنستمر وده معناه ان
5:36 احنا بنقول لغاية الامفينيتي ولما بنيجي نكتبها بصورة الانترفا فبنقول ايه وانفينتي الايه دي كلوزد علشان فيه يساوي يبقى الايه معايا والانفينتي دايما بتكون سواء الانفينتي او الماينس انفينتي دايما بتكون الاقواص بتاعتهم ايه اوبند لان هي مش فاليو ماقدرش ان انا اعرفها كفاليو اعوض بيها فعشان كده هي دايما اوبند طيب ملحوظة في موضوع الانتربال نوتيشن وهو ان دايما انت بتبدأ من القيمة الاصغر للقيمة الاجبر يعني لو انت بقولك اكتب لي الفترة اللي هي ما بين الخمسة والسالب سبعة فلما تيجي تكتبها يبتقول سالب
6:22 سبعة الاول لان دهت القيمة الاصغر وبعدين خمسة يبقى بتكتبها كده الانتربال فروم ماينس سبين تو فايف كلوزد بقى او اوبنت المهم ان انت بتبدأ بي القيمة الاصغر واتروح لقيمة الاربا. عشان كده لو دايما عندك في الانترفال مينس انفينتي دايما هتلاقي هي اللي بدأ في الاول. وتروح بقى لأي حاجة تانية هنا. ودايما لو عندك بوزط في انفينتي هتلاقيها جاية في الاخر وانت بدي بقى اي حاجة تانية زي ما احنا عملنا في المثال ده. لو قلنا اكس اكبر من الايه. يبقى ده احنا هنشيل الكلوز بتاع الايه ونخليه اوبنت. طب لو قلنا اكس اقل من او تساوي البي ده اللي انا كنت لسه بتكلم فيه. ده معناه ان انت كل ما هو اقل من او يساوي البي بيوصل لغاية الماينوس انفناتي فايبدأ من عند
7:12 الماينوس انفناتي عشان دي هتكون دايما هي الاصغر بس زي ما اتفقنا كمان ان الماينوس انفناتي هتلاقي الكوز بتاعها دايما اوبن انما البي هيبقى ده علشان هي فيها تساوي لو قلنا الاكس بقى ليس الزان بي اقل من البي يبقى دايما هتلاقي هنا ده اوبن وهنا هتلاقي الكوز بتاعك ايه اوبن برضه ده كده 8 اشكال كده علشان نحن نبقى فاهمين علاقة مجول اكس اكبر من ثلاثة وي اكبر من سبعة وي اكبر من او يساوي خمسة وي ما بين الخمسة والسبعة وي ما بين السلب تمانية والتلاتة ده كله تعبير بالالكواليتي في الاول وبعد كده لما نجي بقى نطلع ونكتب ونقول احنا عايزين نعبر عن الدومين والرينج باستخدام الانترفال فنبدأ بقى نقول من سلب ما لا
7:59 نهاية لتلاتة من ثلاثة مغلق لخمسة مغلق وهكذا نبدأ ان احنا نستخدم الكلام دوت في حساب وفي كتابة ناتج الدومين وناتج الرنج نتكلم دلوقتي على الابسوليوت فاليو او في ريال نمبر اي مسلا على سبيل المثال فالنوتشن طبعا بتاعتنا اللي احنا عارفينها مستخدم في التعبير عن العدد المطلق او القيمة مطلقة للعدد ده واي ريال نمبرز نقدر نحنا نجيب له الابسوليوت فاليو عن طريق البيس وايس فونشنز اللي قدامنا دي اللي هي هي طلع لقيمة الاي طبعا الانبوت بتاعي هنا هو الاي او العدد اي سيطلع عندي نفس الـ number او نفس العدد اذا كان الـ A مضروب في سالب يعني الـ negative number او سالب العدد في حالة ان كان العدد دوت اقل
8:49 من الصفر يعني هيبقى طبعا اقل من الصفر معنى ان هو سالب فهيتضرب في سالب فمعنى كده ان الـ output اللي يطلع هنا دايما هيكون greater than or equal zero طيب الابسلوت فاليو ده بيعبر عن ايه بيعبر عن الديستنس فروم زا ارجن يعني بيعبر عن المسافة عند نقطة الاصل اللي هي نقطة الصفر يعني لو قلنا مسلا لسبيل المسال ابسلوت فاليو فايف هيبقى ايكوال فايف ده معناه ان فيه من عند النقطة خمسة دي بتبعه خمسة يونتس مسلا ممكن انه الخمس وحدات عن النقطة صفر اللي هي نقطة الاصل ولو قلنا مسلا نفس الكلام مسلا ماينس ثري بنجيب له الابسلوت فهيساوي برضو ثري وهو ان المسافة تلاتة يونتز من عند نقطة الاصل اللي هي برضو الصفر. يبقى مثلا على سبيل المثال لو قلنا الايه يبقى الابسولوت فاليو للايه هي الديستنس
9:36 اللي موجودة ما بين الزير وما بين الايه. وطبعا الدستنس ديت مش ما ما ما بنقولش فيها اتجاه. احنا بنقول بس ان المسافة مقدارها الايه. ازا باي اتجاه بقى قد تكون الايه في الاتجاه ده وقد تكون الايه في الاتجاه التاني. مهم ان هو المسافة مقدارها الايه. وديا بعض الامثلة زي ما بنقول وان بوينت تو هتبقى 1.2. هتبقى 8.35 لان العدد هيتحوض هنا وهيتضرب في سالب. فهيطلع في الاخر القيمة الموجبة. من هنا هلقدر نقول ان الابسوليوت فاليو للاي
10:25 من رؤية المسافة فهي هي زي ما قلنا المسافة في الاتجاه اليمينة وفي الاتجاه الشمال هو بيتكلم على المسافة باليونتس او وحدات كده بغض النظر عن الاشارة او الاتجاه وكمال لو قلنا عندنا two numbers a و b وضربنا الرقمين دول في بعض وجبناهم الابسليوت هيطلع برضو لكي انك جبت الابسليوت للرقم الاول وضربته فيه ابسليوت الرقم التاني فعلى سبيل المثال لو قلنا الابسليوت value ال two times four مسلا فهيبقى equal eight لو ضربناها في فحيساوي برضو لو هيساوي برضو يبقى نفس القيمة بغض النظر على الاشارة يعني لو خلنا دي مسلا من ودي هتبقى اديية زي ما هي فحيطلع لنفس النتج في الاخر لان ده هيساوي سالب
11:11 تمانية اللي هيطلع لالتمانية وده هيساوي الاتنين في الاربعة يتساوي برضو التمانية يبقى بغض النظر على الاشارة عملية الضرب متحققة في عملية في حجاد الابسليوت فاليو وهنا بعض الخصائص ان احنا زي ما قلنا في السلايد اللي فاتت وهو ان الابسليوت فاليو الاي ريل نمبرز هو جريتر زين وإيكوال زيرو طبعا مش هيساوي صفر الا ازا كانت الفاليو سي دي بتساوي صفر فهيطلع صفر اي فاليو تانية للسي سواء كانت بالبالتف او بالنيجاتيف هيطلع رقم جريتر زين الزيرو فمعنى كده ان احنا لو استبعدنا السي بتساوي صفر شلناها فمعنى كده ان هيساوي دايما قيمة موجبة اكبر من الصفر. وقلنا ان الابسوليوت فاليو للرقم بتساوي الابسوليوت فاليو السالب الرقم. وقلنا ان حاصل الضرب برضو متحقق
11:58 في الابسوليوت. وكمان حاصل الاسم عتلاقيه متحقق بس بشرط ان ما يكونش الابسوليوت فاليو للدي بتساوي صفر. يعني لازم المقام لا يساوي الصفر. طيب نقدر نستخدم الجامعة بنفس الطريقة. يعني زي ما عملنا في الضرب. لو قلنا ان الابسوليوت فاليو مثلا لاي بلاس بي. هل هو هو هيساوي الابسليوت فاليو للأي بلاس الابسليوت فاليو للبي ولا الكلام ده هيبقى مصصح في جميع الحالات طبعا لو انت خليت اشارة الاي والبي ليهم نفس الاشارة يعني اما الاتنين موجب او الاتنين سالب فالكلام ده هيكون متحقق زي ما بتقول مثلا تو بلاس ري فهيبقى ايقوى الابسليوت فاليو للفايف اللي هيعتبى ايقوى للفايف ولو جبت الابسليوت فاليو للتو وجمعته على الابسليوت فاليو للثري هيساوي برضو فايف تو بلاس ري ولو
12:47 خلتهم الاتنين بالسالب دي هي تبقى مينس ودي هي تبقى مينس ودي هي تبقى مينس ولكن هنا هيطلع في الاخر الناتج بالموجب وهيطلع الناتج بالموجب والاتنين برضو هيكونوا متساويين ده هيطلع ل2 ده هيطلع ل3 هتجمحهم برضو هيبقى 5 إنما ماذا لو حصل اختلاف في الإشارة؟ يبقى كان عندي الـ A والـ B ليهم opposite signs يعني إشارتهم مختلفة يعني واحد موجب والتاني سالب اللي هيحصل ان انت هتلاقي ان الناتج ده مش هيبقى متساوي يعني لو انت جبت مثلا ال A equal minus 3 والB equal 5 وبدأت تشوف minus 3 plus 5 هيبقى equal 2 والabsolute value لل2 هيبقى equal 2 لو جيت تقول بقى انا عايز اجيب الabsolute value للA الوحده فهتجيب الabsolute value للنجاتف
13:33 3 فهيطلع لك positive 3 وهتجيب الabsolute value لل5 هيطلع 5 لو جمعتهم هيطلع 8 طبعا الاتنين لا تساوي التمانية وده معناه ان لو انت حطيت علامة equal ما بين ال two terms دولة سيبقى الكلام الصح وده اللي بنسميه triangle inequality وهو ان absolute value للاي بلاس البي هو less is than or equal absolute value للاي بلاس الابسلوت value للاي بلاس الابسلوت value للاي بلاس الابسلوت value للاي بلاس الابسلوت value للاي بلاس الابسلوت value للاي بلاس الاب ان لو جبت الرقمين وجبت الكل واحد منهم على حدة الابسلوت فاليو وبعدين جماعتهم هيطلع الرقم اكبر من انت لو جبت الرقمين جماعتهم وبعدين جبت لهم الابسلوت فاليو وده بشرط ان هم كانوا مختلفين في الاشار انما لو كانوا متشابهين في الاشارة فهم هيتساوي هتلاقي ده بيساوي ده يعني الاثنين دول
14:21 مجموحهم زي ما عملنا فيه المثال الاولاني ده وبناء عليه هو ليس الزانور اكوال إمتى يبقى الترمدة أكبر من ده لما أشارتهم تختلف وإمتى يبقى متساويين لما أشارتهم إشارة الـ A и B تكون متشابه هنروح بعد كده لي إيجاد الـ Distance ما بين 2 Numbers يعني أنا عندي عددين عايز أوجد المسافة لما بين العددين دول طبعا لما بوجد المسافة نفس القصة لما كنت أقول Absolute Value للرقم هو المسافة ما بين النقطة الصفر لغاية الرقم ده هي بتساوي القيمة دي. وكنت بقول ان هو مثلا 5 units 3 units and so on. بغض النظر عن الاتجاه او الاشارة اعتبا عاملة ازاي. لو انا جبت برضو 2 numbers زي ال minus 5 وال3 وقلت انا عايز ال
15:07 distance اللي ما بينهم. كأنك لو راحت على خط الاعداد ادي نقطة السلب 5. وقادي نقطة التلاتة المسافة اللي ما بينهم قد ايه كم يونت هتلاقيها تمانية يونتس يبا انت تتحرك كده واحد اتنين تلاتة اربعة اتحرك في اي اتجاه بغض النظر عن الاشارة بتاعت التلاتة والاشارة بتاعت السالب خمسة بغض النظر عن اي حاجة من الحاجات دي انا بتكلم على ان النقطة دولت المسافة ما بينهم تمان وحدات ان قد يكون الرقمين موجودين في الموجب او الرقمين موجودين في السالب او واحد في الموجب واحد في السالب زي اللي قدامنا ده في النهاية انا بحسب مبين الدول مش ب هما إشارتها مجابة ولا إشارتها سالبة فبنال عليه إزاي أجيب الكلام دوت باستخدام الابسليوت فاليو إن أنا هجيب الابسليوت فاليو الحاصل طرح الرقمين دول من بعض طيب أطرح مين ناقص مين أي
15:55 حاجة أنت عايز يعني أنت مثلا قلت عايز تجيب الرقم بتاع الماينس 5 الأول كتبته في الأول وبعدين قلت ناقص الثلاثة فهيطلع لك نيجاتيف 8 اللي هو عهد ديني 8 يبقى فيه 8 يونت زي ما احنا شايفيه ولو رحنا بدأنا ب3 قلنا 3-5 طبعا لان دي-5 والقاعدة بتقول اطرح الرقمين فاكيد السالب ده اللي جاي من الرول نفسه اللي هو السالب ده او السالب ده انما السالب اللي مع الخمسة ده هو عشان هي سالب خمس ففي الحالة دي حيديني 3-5 يعني 8 فحيبقى الابسولود فاليو لها برضو 8 ففي كلتا الحالتين حيطلع نفس القيمة ونفس البعد وما بين النقطتين سواء طرحت البداية نقص النهاية او النهاية نقص البداية. بس بشرط ان انت بعد كده تجيب لها فعيطلع لك الديستنس من الاي للبي لو انت
16:45 قلت مسلا عندي النقطتين او البداية اللي انا عايز اجيب ما بينهم المسافة اللي هم الاي والبي بداية والنهاية. فلو طرحت البي نقص الاي وجبت لهم الابسليوت او طرحت الاي نقص البي وجبت لهم الابسليوت اللي تلحي دوك نفس القيمة وهو ما بين النقطتين دون. طيب لو جالي مثلا حاجة زي كده وقال لي solve the equation دي absolute value x plus 5 equal to 3 geometry طيب أنا علشان أحل حاجة زي كده أو solve equation معناها أوجد قيمة x يبقى هنا مطلوب دلوقتي الـ x دي تبقى بكام علشان تحقق المعادلة دي أو تحقق الـ equation اللي قدامنا دي طيب أولا أولا لو اعتبرتها على أنها فرق بين النقطتين أو مسافة بين النقطتين طيب مسافة بين النقطتين كانت بتقول الفرق ما بين الايه والبي او المسافة بين
17:33 الاي والبي بتجيب لها الابسليون بيجيب لك المسافة اللي موجودة ما بين نقطة الاي لو انت حطيت هنا نقطة الاي وحطيت هنا نقطة البي فبيجيب لك المسافة اللي هنا دي طيب ما احنا نقدر نعتبر ده ان هو فرق برضو او مسافة بين نقطتين اه نعتبر ان احنا عندنا الاكس اللي احنا بندور عليها مش عارفين كمتها كام ومعنا الفايف ولكن الاشارة دي مجابة المفروض ان القاعدة فيها سالب فلو كتبنا هنا سالب يبقى لازم نقول دي ماينس فايف عشان تبقى كد الرول مزبوط على الرول دي مزبوط. ويجينا تبقى لو ضربت السالب في السالب فيرجع لك اكس بلاس فايف زي المسألة ما هي جاي. وتقول ان الكلام ده المفروض انه بيساوي تلاتة. وده يعني ان انت لو حتروحت على خط الاعداد كده. وعملت نقطة السالب خمسة. دي نقطة السالب خمسة.
18:20 وبتقول ان المسافة ما بينها وما بين نقطة الاكس ما هو معنى اكس. نيجاتف نيجاتف فايف يعني المسافة ما بين الاكس والسالب خمسة بتساوي تلاتة. المسافة دي كده. تلاتة يونتز تلاتة وحدات تلاتة ارقام يعني وتقدر تتحرك في الاتجاه التاني كمان برضو نفس المسافة تلاتة تروح برضو عند الاكس يعني انا عندي كمتين اتنين للأكس ممكن اجيب يمين السلب خمسة وشمال السلب خمسة بس البعد ثابت وهو البعد تلاتة فيطلع لقيمة الاكس لو زودت طبعا لو تحركت في الاتجاه الموجة بقى فاعتبقى هنا لو عايز تحرك نقطة دي سلب اربعة سلب تلاتة سلب اتنين يبقى واحد اتنين تلاتة يبقى دي اعتبقى سلب ات او تحرك كده يبقى سالب 6 سالب 7 ودي هتبقى سالب 8 يبقى يبقى انا دلوقتي عندكم امتين اتنين لل اكس وهما نيجاتف 2 و نيجاتف 8 لو انت
19:10 ضفت عليهم الخامسة او جبت الفرق او مسافة بينهم وبين السالب 5 هيطلع لك ثلاث وحدات ولو رحت فعلا هنا في القاعدة بقى وطبقت الاكس دي بسالب 2 فهيطلع لك هنا بوزة بسري هتبقى سري فدي حطها بسالب 2 زائد الخمسة يعني زائد ثلاثة الابسلود فاليو واعتباب ثلاثة طب حط سالب تمانية زائد الخمسة يبقى سالب ثلاثة الابسلود فاليو تطلع برضو ايقوال ثري يبقى علشان احيل الكلام دوت انا اضطريت ان انا ألجأ لي مبين نقطتين النقطتين هنا كانوا هما نقطة الاكس ونقطة السالب خمسة وخليتها سالب خمسة ليه للسبب ايه ان القاعدة نفسها بتقول حاصل طرح النقطتين فعشان اخليها حاصل طرحي خليت الكيمة دي سالب خمسة عشان تبقى سالب في سالب تماموجب زي ما هي جاي. انما لو كان المسألة من الاول جاية بتقول كده اكس ناقص خمسة بساوي تلاتة ما
19:58 كنتش اضطريت ان انا عملت الموضوع ده كنت خلاص هت واتحرك 3 نقاط و3 نقاط يمين وشمال فكاد هتطلع للx الاولانية دي ب2 والx دي كان هتطلع لل8 طيب نقدر نوصف الopen والclosed interval عن طريق الانيكواليتي يعني احنا قلنا في الاول ان احنا عندنا في حاجة اسمها open interval والopen interval قلنا لازم يكون الاسم لاثنين open زي اللي قدامنا دي مثلا دي open interval من الر من السالم الر للر وعشان الكوسين الاثنين open بالمنظر ده او بالمنظر ده زي ما اتفقنا قبل كده فهم في النهاية كده بنقول عليها open interval انما لو كان الكوسين دولة closed كنا نقول عليها closed interval كان يبقى بالشكل ده
20:47 يبقى دي كده closed interval انما الاثنين دول كده open ودي الوحيدة هي اللي closed طيب ماشي نوصف ازاي الفترة او الانترفال اللي هي الـ open اللي من سالب R لـ R اللي هي زي اللي على خط العدد قدامنا كده زي ما وضحنا قبل كده نحن نقدر نوصفها جيومتريك لي من المنظر ده من الـ R أو من السالب الـ R للـ R والاتنين open عشان خاطر هي open internal المسافة دي كده تعبر ازاي عن طريق الـ inequality؟ استرجام الـ absolute value هتبقى بالشكل ده الـ absolute value of X less than R طيب ليه كده الابسولود فاليو اف اكس لسه زين ار بتديني الفترة دي لان الابسولود فاليو اف اكس احنا عرفنا
21:34 ان هي المسافة من عند نقطة الصفر لغاية لغاية مسافة معينة اللي هي ولتكن هنا عتمع الار فلو انت تحركت من الصفر لغاية الار كأنه بيقول الابسولود فاليو اكس بيستوي ار والار ممكن تبقى في الاتجاه ده او في الاتجاه ده لانه بيتكلم على مسافة فالانتجاه ده او الاتجاه ده فمعنى انه بيقول اقل من الار يبقى هو ممكن يبقى الار بس قبل الار على طول يعني عشان كده دي اوبن او يبدأ بقى يقل يقل عن الار يبقى اقل شوية اقل شوية اقل شوية اقل شوية اقل شوية اقل شوية لغاية ما يوصل عند الصف طبعا الكلام ده في الاتجاهين لاتنين فعشان كده هو بيشمل جميع القيم اللي موجودة ما بين السالم ار للار يبقى يبقى الانيكواليتي ده بيشمل جميع القيم اللي موجودة ما بين او او نقدر نقول
22:20 ايه على بعد نقطة الصفر يمين وشمال بمقدار الار بس ما يشملش البعد R بالذات لانه لا يساوي R هو اقل من R لو قولنا يساوي R يبقى كأنه بيقول على بعد R يمين مش مال انما اول لما يقول اقل يبقى كده على البعد R ما بقاش معايا عشان كده هتلاقي انه قطتين لاتنين open لانه open interval وكمان هتلاقي ان جميع القيم بقى اللي اقل من R بقت معاك كل ده اقل من R اقل من R اقل اقل اقل اقل وقت ما يوصل عن صفر نفس الكلام برضو هنا بنفس الطريقة في الاتجاه ده. في الاتجاه ده. وبنتكلم طبعا على البعد من هنا والبعد من هنا. القيمة اللي عندنا اللي حددت هي قيمة الار اللي كانت موجودة عندي. يبقى ده هو هو لما بنقول ان الاكس من
23:05 سالب ار لار طبعا واضح ان ما فيش هنا اكول ما فيش هنا اكول عشان هي اوبن انتورفل بالمنظر ده. كأن الاكس بيلونج تو من النيجاتيف ار للار كاوبن انتورفل. طيب لو احنا حبينا نبعد شوية عن نقطة الزيب دي يعني لو قلنا مسلا عايزين نجيب مسافة من أول C-R إلى C-R برضو كأنترفل أبن برضو ففي الحالة دي كأننا بنجيب بقى فرق ما بين أو مسافة ما بين نقطتين فبقيت بتقول X ناقص C فده معناً أن البعد ما بين النقطة X والنقطة C اللي هو هيكون أقل من الر يبقى لو أنت حطيت مكان نقطة الصفر النقطة C أحتز واحدة C دي هي المركز بتاعك عشان كده هنسميها كمان شوية center او ال middle
23:54 وهي هتتحرك مسافة R يمين وشمال ولكن انت اقل من R فمش هتوصل لغاية R فدائما هتبقى دي open ودي open لان او open interval برضو وهتلاقي ان كل الارقام اللي اقل من R included فهي كده هتبقى كل القيم دي كل القيم اللي باللون ده لغاية من هنا لحوالين C كده المسافة دي R والمسافة دي R ولكن هو النقطة اللي عند ال R في الآخر دي مش معايا والنقطة دي مش معايا لأنها أقل بس مفيش هنا أقل منها وتساوي واضح أن دي كده Open Interval طيب نقدر نطلع هنا مسميات أولا هي Open Interval والسبب أن العلامة دي أقل بس يبقى هم مرتبطين ببعض جالي ال Notation ده أقل بس يبقى على طول أعرف أن
24:39 دي Open Interval أو جات لي Open Interval أعرف أن دي أقل بس طيب تمام تاني حاجة إيه هي ال C وإيه هي ال R السي اللي احنا بنسميها الميد بوينت او بنسميها السنتر اللي هي النقطة دي واعتبعوا عن مسافة R يمين ومسافة R شمال طب المسافة R دي اللي هي ايه دي بنسميها الريدياس اللي هي تعتبر ايه الريدياس احنا عارفين ان الريدياس في السيركل هو نصف الكتر هنا بالنسبالي هو نصف المسافة نصف الانترفل يبقى الانترفل اللي هتبدأ من عند السي بلس الار لغاية السي مينوس الار المسافة دي كلها اتنين R يعني هي R يمين C و R شمال C يعني مسافة كلها اتنين R نصها اللي هي تعتبر الريديس او الR اللي هي اللي احنا بنقول عليها هنا الريديس يبقى انا محتاج اعرف حاجتين في
25:28 المسألة لما يكون عايز اعرف الشكل ده او اطلع على الانترفال بالمنظر ده محتاج ان انا اعرف ال C وال R مجرد ان انت عرفت ال C وال R تقدر تكتبها سواء بالشكل ده او بالشكل ده او تمثلها حتى فيه صورت جيومتريك طيب عشان اجيب ال C وال R اجيبهم ازاي ده اللي احنا هنقوله يبقى لو عندك انترفال ولتكن هي open انترفال من LB أو closed interval يعني كمان احنا بنتكلم على الopen دلوقتي ولكن لو هي closed حتى برضو هتتحسب ال C وال R بنفس الطريقة فهتبدأ تحسب ال C ازاي هتقول هي منتصف النقطة اللي في منتصف المسافة النقطة اللي في منتصف المسافة انت عندك نقطتين وعايز تجيب النقطة اللي في المنتصف بالنسبة له اللي هي الميدل ليهم اللي هي عبارة عن ايه حاصل جمعوهم على عددهم لان
26:16 انت هما نقطتين اتنين فايبقى حاصل جمعوهم على اتنين يبقى كانك بتقول النقطة الاولى زي النقطة التانية على اتنين يبقى لو جبت الاي بلاس البي ودربت الكلام اقواصمت الكلام ده على اتنين ودربته في نص يعني اقواصمته على اتنين فده هيطلع للسي اللي هي الميد بوينت فانت شوف بداية النقطة الاولانية فين بزاية الانترفال فين ونهاية الانترفال فين بتجمحه ومتيسهمه على اتنين بيطلع لك السي طب الار هنطلحها ازاي الار هنطلحها عن طريق نص المسافة ما بين النقطتين دول مش انت اتفقت معايا دلوقتي ان الار هي تعتبر نص المسافة لان المسافة كلها اتنين ار زي ما شفنا في الرسمة دي. تمام لو انت عندك النقطة ايه وعندك النقطة بيه. المسافة ما بينهم بنجيبها ازاي? المسافة ما بينهم
27:01 كنا بنجيبها كده الابسليوت فاليو. بي ناقص الايه? بنطرح او ايه ناقص البي? طيب ما احنا حطيني الابسليوت بنطرح اي حاجة من ايه باي نقطة من النقطة التانية. طلع لي المسافة دي كلها. المسافة دي كلها اتنين ار. انا عايز الار بس خلاص اسم الكلام ده على اتنين او اض فهتلاقي هنا بي ناقص الاي لها النهاية ناقص البداية واستخدمنا هنا دايما استخدمنا هنا بي ناقص الاي ما استخدمناش الاي ناقص الاي لان احنا شلين علامة الابسليوت من هنا طبعا لو انت حطيت علامة الابسليوت هنا كده بدل الاقواس دي من حقك تقول اي ناقص الاي او بي ناقص الاي حيدوك نفس الناتج زي ما شفنا قبل كده في الفرق ما بين نقطتين او البعد ما بين نقطتين انما هنا ببقى انك انت هتستخدم الاقواس على طول فتجيب النقطة الاجبر لها نهاية الانتربل ناقص ب يبقى دايما هتقول بي ناقص الاي تقسم تدرب
27:51 الكلام ده برضو في نص او تقسم على اثنين هيطلع لك الريديس او الار طب ايه اللي يحصل لو كانت closed interval يعني الاقواص بتاعتك بقت closed زي ما احنا شايفين كده والعلامة دي بقى فيها اقل من او تساوي بعلامة التساوي بقت موجودة يبقى على طول النقاط دي هتتحول الى closed تلاقي الpoint تحولت لclosed ولكن مفيش اي اختلاف خالص في حساب ال-C ولا حساب ال-R بنفس الطريقة لو شفنا كده اكزامل مع بعض أولا يقول لي describe the interval أو the closed interval minus 1 to 3 using inequalities طبعا دي ببقى أنها closed interval يبقى على طول الشكل ده يكون قدام علي وهو x minus c absolute value less than or equal r طبعا حطيت or equal علشان خاطر دي كانت ايه closed interval يبقى دي أول حاجة
28:40 تاني حاجة أنا محتاج هنا عشان أكتب الكلام ده ماضي ده the inequalities يعني المثلة بالشكل ده وعشان امثلها بالشكل دوت يبقى انا عايز اعرف السي بكام واعرف الار بكام. دولة الحاجتين المجهولين بالنسبة لي. تفعلة مع بعض وان السي هي عبارة عن مجموعة النقطتين على اتنين. يعني لو قلت سالب واحد زائد التلاتة على اتنين. فهيطلع لي تو اوبر تو ويطلع اقوال وان. ولو جبت الار هتساوي حاصل طرح. يبقى النهاية ناقص البداية. عشان احنا مش هنستخدم الابسلوت فهنقول ثري وبعدين نحط نحط نحط اقواس عشان ما
29:28 نطلغباش على اتنين برضو. فكانك بتقول هيبقى يبقى ده اللي احنا نقدر نعبر عنه الانترفال من سالب واحد الى ثلاثة. يبقى زي ما قلنا اول حاجة عملناها جبنا السي تاني حاجة عملناها جبنا الار وبعدين رحنا كاتبين الانترفال دي في صورة الانيقوالاتيز قلنا ان هي اي فاليو اكس بلونج للريان نمبرز اللي هي الار اللي هي الريان نمبرز حيث او وير او ساتش زاد ان الابسليوت فاليو للاكس ماينس الوار ونماينس الوان اللي هي
30:14 دي السي اقل من او تساوي الار ليه الاتنين. لو جينا عكسنا السؤال جبنا الصورة الصورة الصورة وعايزين نكتبها صورة الانترفل. فطبعا قدامي لازم ببالشكل ده قدام عيني وهو ان انا بعارف ان الاكس ماينوس دية السي اقل من او تسوي الار. لازم افاهم ان هي دي السالب دي في القعدة كان فرق ما بين او مسافة بين نقطتين والاقل من او تساوي دي علشان هي موجودة هنا هي تساوي فانا كتبت هنا تساوي معنا ان هي على طول closed interval يبقى خلاص دبنت ان هي closed interval بس هيزعرف من كام لكام بتبدأ على طول عندك من اول السي ناقص الار وبتنتهي عند السي زائد الار يبقى لو انت روحت وقلت
31:00 هنا فين السي هطلع لك من هنا طبعا ان السي بتساوي واحد وهيطلع لك من هنا ان الار بتساوي اثنين كأنني بالضبط بقول لو رحت عند نقطة الواحد كمركز بالنسبالك وتحركت مسافة مقدارها اثنين ناحية اليمين واثنين ناحية الشمال فهتلاقي نفسك هنا رحت اثنين تلات يبقى تحرك قطوطين تبقى عند الثلاث وهنا تبقى صفر سالب واحد تبقى عند السالب واحد فالانترفال او المسافة دي كلها هي من سالب واحد لثلاث وعلى طول عملت الاقواس كولوزد علشان علامة تساوي اللي هنا دي وانا اضعي اضعي اضعي اضعي اضعي اضعي اضعي اضعي اضعي اضعي اضعي اضعي اضعي اضعي اضعي اضعي اضعي اضعي اضعي اضعي اضعي اضعي اضعي
31:47 اضعي اضعي اضعي اضعي اضعي اضعي اضعي اضعي ا واقول ان هي هتبقى اقل منها وتساوي الاتنين واقمر منها وتساوي السالب اثنين ومن هنا اقدر ازود واحد في الثلاث في الثلاث تيرمز دولاس هزود هنا بلاس وان وهنا بلاس وان وهنا بلاس وان فهتلاقي هنا الواحد ده راح مع ده وهيتبقى لك هنا سالب واحد وهيتبقى لك هنا موجب ثلاثة فهتبقى برضو الفترة من سالب واحد لثلاثة اي طريقة من الطرق ديت هتوصلك لنفس الناتج وهو الانترفال من نيجيتيف وان لثري لو جالي السؤال بالمنظر ده. اكس ماينوس وان مش ليس الزن بقى. انا طبعا عارف لو كانت اقل من هي بقى تبقى اقل من او تساوي بس لو كانت اكبر من ما لهاش قاعدة عندي.
32:34 طيب احلاها ازاي? ما لازم اروح اقول طيب انا دلوقتي هروح للاقل من واجيبه. اذا انت جبت الاقل من. هتتراحق منين علشان توصل للاكبر من. من الاعداد كلها يبقى دايما انت بتتكلم على مين اكبر حاجة عندك ياري النمبرز فيها الاعداد الحقيقة كلها لها من سالب انفنتي انفنتي طيب انت عايز جي الارقام اللي هنا اللي اتحقق اكبر من الاتنين انا مش عارف اجيب دي طب اروح اجيب اللي اقل منها وتساوي الاتنين جبته طلعت شوية الارقام دول اهم عامل ايه اهم شهيلهم منين شهيلهم من الار اطرحهم من الار يعني اقول ار فرق شوية الارقام دول فكده يجيب لي بقية الارقام اللي هي بتكون اكبر من الاتنين يبقى لو جبت ال x-1 وخليتها 0x-1 طبعا لو كانت
33:19 الأكبر من هحولها عشان أعكسها يبقى العكس بتاعها أقل من أو تساوي طب لو هي أكبر من أو تساوي يبقى العكس بتاعها أقل من بس وهكذا لو كانت هي أقل من يبقى العكس بتاعها أقل من أو تساوي أقل من أو تساوي يبقى العكس بتاعها أكبر من يبقى دايما بنعكس الإشارة والتساوي تبقى موجودة في طرف واحد من الطرفين فمعلى كده أن دي أكبر من حد تقلب ليه أقل من أو تساوي أنا كده بجيب بعكس السؤال بجيب بعكس بجيب الحاجات اللي ما تنفعش للسؤال طب وانا عشان انا اقضى راجيب دي بسهولة دي كده بقت زي اللي فاتت بالزبط اهي اكس ماينس وان لسي زين و اقوال تولوه طلع لي سالب واحد وثلاثة الكلوز دي انترفال من ماينس وان لثري فده برضو هيطلع لي كلوز دي انترفال من ماينس وان لثري او معمل اي بقى او مرايح للريان نمبرز وقلو استبعد الفترة دي
34:09 لان الفترة دي هي اللي بتديك اقل من ا الاتنين. فعشان كده هقول اذا الحل بتاع السؤال ده هو عبارة عن كلها مع عدى الفترة دي. من سالب واحد لتلاتة. طيب. جمحنا زي ما قلنا. حلنا السؤال عشان نحله بطريقة سهلة. جبنا العكس بتاع الاليكواليتي وحلناه. فوصلنا منه للفترة من سالب واحد لتلاتة. ورحنا شايلين الفترة دي منين من الار. طبعا العلامة دي معناها برضو زي زي الديفرنس. استبعاد يعني الار مع عدى الفترة دي او الار كده تجتبع برضو بالماينس كده صح برضو كده في النهاية كأنك بتقول من من ماينس انفينيتي لماينس ون بس اوبن يونيون او اتحاد من سري لانفينيتي هي هي كأنك جاب الار كله ومستبعد الفترة
34:59 اللي هي من سالب واحد لتلاتة فايمما تقول لنا نحب دقى من سالب مالا نهاية لغاية قبل السالب واحد اتحاد من بعد الثلاتة لغاية المالا نهاية احنا شفنا المنظر دوت او حاجة شبيهة به في المحاضرة الاولى عرفنا ان ديت عبارة عن ماشين بتقوم بوظيفة معينة بتاخد منك الانبوت اللي هو الانبوت دايما بيبقى جاي من فئة اللي هي الدومين وبعد كده هيطلع للناحية التانية الانبوت اللي هو الاف اف اكس اللي هو حيموسل فئة الرينش اللي هي دايما جاية من فئة تانية اكبر منها شوية اللي هي الكودومين وان
35:44 الكودومين هو سبسط من الكودومين ممكن يكونوا قد بعض بس ممكن يكون الكودومين اكبر ولكن في النهاية الرينج هو الـ output اللي بيطلع من الـ function اللي انت هتطلعه فعليا من الـ function الـ f of x اللي هي الـ output اللي احنا بما بنيجي ننطقها زي ما انا بانطقها دلوقتي f of x فنقول f of x حيث ان الـ f هي الـ name بتاع الـ function ده اسم الـ function اللي هو الـ f والـ x هو الـ independent variable اللي هو الـ input اللي انت بتختاره اللي هو جايبه من الـ domain يبقى باختصار كده أنا عندي الـ function f هتأخذ مني value x وهتطلعلي value f of x اللي هي ناتج الـ function دي اللي احنا
36:31 بنقول عليه الـ y عادة بنقول برضو اللي هو الـ y ده شكل الفنكشن طيب بناء عليه لما يجي اقول لك الدومين بتاع الفنكشن دي هي ايه يبقى انت لازم تبقى عارف القيم اللي هما يجي اعوض بها في الفنكشن تنفع التعوض في الفانكشن. زي ما اتفقنا قبل كده وقلنا المحاضرة اللي فاتت. ان انت لو عندك بتاخد منك وحطيت فيها حديد او حطيت فيها حاجة تانية. مش مش هي الانبوت اللي كانت المفروض تبقى موجودة. في الحالة دي ايه هيحصل? هيطلع لك ارور يا اما الفانكشن هطبوز يا اما حاجة هتحصل. يبقى انا دلوقتي لما باجي اتكلم على الدومين لازم يبقى التصور ده قدامي. انت محتاج تحدد الفئة الكبيرة دي كلها. اللي انا ممكن لما انت
37:18 تحددها لي وتقولي د او مختار منه اي input x وعود به في الـ function يطلع لي value مايقول ليش error مايطلع ليش مشكلة مايبهوص الدنيا طب لو انا لقيت ان فيه اي قيمة ممكن تتعود في الـ function وتعمل مشكلة مع الـ function يبقى انا هستبعدها من الـ domain همشيلكها من الـ domain برا ويجعلها موجودة معي في الفئة بتاعة الـ domain يبقى انت تحدد لي الـ domain بتاع الـ function انت بتحدد لي الفئة اللي انا ممكن اختار منها اي value تنفعت الـ function f على الناحية التانية انت خلاص حددت لي الـ domain يعني حددت لي كل القيم اللي انا ممكن اختار منها values وعود في الـ function طيب لو انا عادت بقى اخد القيم دي كلها من الـ domain وعود بقى في
38:03 الـ function الـ outputs اللي بتطلع دي كلها كده ممكن تبقى فيه نقل ده هيبقى الـ range بناء عليه اللي احنا عايزين نعمله مع بعض في المسائل هو ايجاد الدومين بعد كده هناخد بعض المسائل التانية نوجد فيها الدومين والرنج خلينا نشوف ان احنا لو لو معانا جراف بتاع الفونكشن لو معانا الرسمة بيانيها بتاع الفونكشن على المحاور زي ما احنا شايفين كده مثلا الكيرف اللي بالازرق ده بيمثل الاوتبوت بتاع الفونكشن اف اللي هو الواي ايكوال اف اوف اكس او لو احنا عوضنا بقيم X هيطلع علينا قيم Y يعمل ازاي فبيرسملك في الاخر رسمة زي اللي بلون الازرق ده موضوع الـ Graph بتاع الـ functions هنتكلم فيه ان شاء الله المرة اللي جاية ومحاضرة اللي جاية بس خلينيها دلوقتي ان احنا نبدأ ونقول
38:52 ان انا دلوقتي لو قدامي الـ Graph بتاع الـ functions بالمنظر دوت وعايز اعرف الـ domain واعرف الـ range ازاي اعرف الـ domain واعرف الـ range قال لي لو انت بسيت على محور الـ X هتقدر تعرف الدومين ليه لان المحور ال اكس هو ال ال اللي انت بتاخدها من الدومين فلو انت بسيت على محور ال اكس وشفت كل القيم اللي بتعوض بها في الفونكشن اهو من اول هنا لغاية هنا فين اقل القيمة كتا عندك اللي هي النقطة دي واقبر قيمة كتا عندك بالنسبة لل اكس اللي هي النقطة دي يبقى الانترفال دي كده دي بالنسبة لي هي الدومين و لو جبت نفس الـ function و رح تتبص على الـ output اللي بيطلع اللي هو قيمة الـ Y اللي هو الـ F of X هتلاقي ان اقل قيمة طلعت عندك
39:40 في الجزء ده تاعد دمين ده كان اقل قيمة طلعت عندك اللي هي هنا واعلى قيمة طلعت عندك اللي هي كانت هنا دي كانت اعلى قيمة طلعت عندك وده اللحلة بنسميه range يبقى على محور الواي دايما بنشوف الـ range للنسبة للـ function وعلى محور الـ x دايما بنشوف الـ domain بالنسبة للـ function على اعتبار ان الـ function بتاعتنا دي الـ input بتاعها جاي من الـ x والاود بوت بتاعها هيظهر على الـ y فعشان كده احنا بنجيب الـ domain من الـ x والـ range من على الـ y يبقى لا لا قدامي graph زي اللي قدامي ده كده وعايز اطلع منه الـ domain والـ range يبقى just ان انت هتروح تشوف اقل قيمة كان عند الـ x يا فين واكبر قيمة كتاعة الاكس ايا فين? لو
40:25 اعتبرنا ان النقطة دي اسمها ايه والنقطة دي اسمها بي. يبقى نقدر نقول ان الدومين هنا من الايه للبي. ولو شفنا بعد كده على محور الواي. هنلاقي ان دي كده اعلى نقطة ايه? هزهرت على الواي. كفاليو كاوتبوت. لما لديكم مسلا ان اسمها ايه دي. واقل نقطة ايه زهرت كفاليو بالنسبة لمحور الواي اللي هي هنا. يبقى من خلال الـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
41:12 لكن لو قدامنا الـ Graph فعلا يمكنني يجيلي سؤال مثل هذا يديني الـ Graph بتاع الـ Function ويقول لي طلع لـ Domain و Range بالنسبة للرسمة اللي قدامي دي مثل المثال اللي قدامي ده و الـ Function هي اللي باللون الأزرق اللي قدامي دي وأنا عايز أطلع على الـ Domain و Range عشان أطلع على الـ Domain هروح على محور الـ X هشوف أقل قيمة وصلت لها الـ X هي كام قال لي السالب 5 وأقمر قيمة وصلت لها الـ X هي كام عد كده يبقى عند الـ 4 يبقى لما اجي اكتب ال domain هقول ان ال domain بتاعي هو من minus five يبقى ابدأ من الزغير يبقى من minus five و four بتساخد بالي بقى عند ال four ان ال code بتاعه open ليه لان ال point هنا open يبقى معل كده ان ال 4 مش معي يبقى فيه شكلين اتنين يعبروا على ان الفترة دي هتنتهي اما ان
42:02 يكون الخط كده انتهى بcircle closed بالمنظر ده وده معنا ان انت عطف عند النقطة دي بس ال point دي معاك في ال interval او ان الخط بتاعك يبقى كده وينتهي بنقطة open بالمنظر ده وده معناه ان الخط دوت هينتهي عند النقطة دي بس الpoint دي open علشان مش يتبقى معي في الانترفل والشكل الثاني بقى هي ده اعتبر شكل الانتهاء الانترفل عند النقطة معين في شكل ثاني يعبر على ان الـ function دي ستستمر في هذا الاتجاه يبقى يعمل خط كده وخلاص ما يعملش فيه في نهايته اي point خالص في الحالة دي هو كده بيستمر بقى ياما الـ infinity ياما الـ minus infinity على حسب اتجاهه ورايح فين ويعمل كده ويعمل سهم نفس
42:47 الكلام برضو. يستمر يبقى الاتنين دولار معنام اللهمة الخطوط هتستمر معك في هذا الاتجاه. على حسب بقى الفونكشن بتاعتك كانت ماشية زيان. الخط ده مسلا لو احنا شن البيونت دي بحنا ما كده هيمتد كده الى سالب مالا نهاية في ال اكس وفي الواي. لو نفسي لو احنا عملنا فونكشن كده وسبنا السهم كده يبقى ده هيمتد الى موجب مالا نهاية وهكزا. يبدأ بعض الأشكال بالنسبة للفنكشن لما تكون مرسومة ونقدر نطلع منها الدومين والرنج طب الرنج هنا عمل إزاي؟ قال لي هنا من أول مينوس انفينتي لغاية بوزتيف 6 يبقى من أول مينوس انفينتي إلى 6 الاتنين كلوزد يبقى ده الدومين وده الرنج بالنسبة للفنكشن اللي موجودة قدامي الرسمة اللي
43:34 موجودة قدامي طب المثال تاني بنفس الطريقة أقل point على الـ x هي الـ minus 1 أعلى point على الـ x هي الـ 4 يبقى الـ interval بتاعتك في الدومين هي من minus 1 لـ 4 أقل قيمة على الـ y هي الصفر أعلى قيمة على الـ y هي الـ 3 يبقى الـ range بتاعي هو من 0 إلى 3 يبقى طلعت الدومين طلعت range ده اللي كنت بأتكلم عليه دلوقتي هو شكل ايه؟ السهم ده او شكل السهم ده ده معناه ان الـ function هتستمر في هذا الاتجاه وهتستمر في هذا الاتجاه الى مالة نهاية او الى سالب مالة نهاية يبقى ما تجيش انت بقى عند النقطة دي كده
44:20 وتقوم رايح شايفة عند الكام تقول لي مثلا عند السلب 3 ومن هنا مثلا تقول لي عند التمانية فتقول لي من سلب 3 الى 8 لا غلط لان انا حطيت لك السهم او سبت لك الخط كده ده برضو بيعني ان هو مستمر او سهم كده يعني ان هو مستمر يبقى انا دلوقتي كأن الفونكشن دي مستمرة كده الى ملا نهاية والفونكشن دي مستمرة كده الى سالب ملا نهاية يبقى لما باجه اتكلم على الدومين فانا بتكلم على القيم كلها من سالب ملا نهاية لموجب ملا نهاية وما بتكلم على الرنج باتكلم برضو على القيم كلها من سالب ملا نهاية لموجب ملا نهاية واقدر ان انا طالما الفاليوس بتاعتي سلم مجملة نهاية المجملة نهاية ان انا اعبر عنها على طول بحرف الار اللي هو يمثل عندي الريال نمبر بحط بس
45:08 خطين كده علشان يعني اميز ان ده الريال نمبرز او مجموعة العداد الحقيقية او بكتبه بولد يعني بكتبه كل بولد كده يعني كله يبقى بولد كده او بكتبه كده يعني كله خطوط كده يعني كده او كده او كده كلهم بيعبروا عن الريال نمبر او بنعبر عنه زي ما قلنا في الاسلايد اللي فاتت اللي هي بالشكل ده كل ده كده حاجة واحدة تمام وهو كل الاعداد الحقيقية كتبتها باي طريقة من دول مفيش مشكلة خالص طب هنا في المثال ده نفس الكلام لو بصنا على الاتجاه السهم مستمر وده مستمر اذا لو انت بصيت على محور الـ X هتلاقي ان انت بعندكش نقطة معينة تقف عنده عشان تقول من عندي صالب 4 من
45:56 عندي صالب 5 لا ده انت مستمر الى سالب مالا نهاية هو مستمر من هنا إلى موجب ملا نهاية إذن الدومين بتاعك هو الريل نمبر كلها إنما بالنسبة للرينج إنت عندك من أول سالب 4 دي أقل حاجة تظهر عندك على محور الواي إنما بالنسبة بقى لي أكبر قيمة فأنت مستمر إلى موجب ملا نهاية إذن الدومين هو الريل نمبر كلها إنما الرينج هو من ماينس 4 لإنفينيتي فونكشن تانية
46:49 فففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففففف الـ domain ستبدأ من عند الواحد يقل قيمة على محور الـ X و ستستمر إلى موجب مالا نهاية يبقى من 1 لـ infinity الـ range ستبص على محور الـ Y ستجد نفسك بادئ من عند الصفر يقل قيمة على محور الـ Y و ستستمر إلى موجب مالا نهاية يبقى من 0 لـ infinity نستطيع أن نكتبها بالشكل الثاني ما احنا اتفقنا بقى أننا عندنا 3 أشكال كلهم إكويفلنت البعض لو أنت قلت أن الـ X أكبر من أو تساوي الواحد هو واحد تاني أم جاي عملها كده قال إن من عند الواحد لي ملا نهاية لإنفينيتي على خط كده وقفل
47:36 قفل كلوز للواحد كده هنعرفها من ده هو ده وكمان الانترفل وهو من 1 لإنفينيتي تلاتة دولة زي بعض كتبتها كده كتبتها كده يعني الشكل ده ما هوش مستحب قوي في الكتابة ده ممكن تستخدمه بس عشان يوضح لك أنت وانت بتحسب انما خاصة لما تكون هتحسب اكتر من رنج وتاخد التقطع ما بينهم فبتبقى مفيدة جدا موضوع الديوانج ده انما الافضل يتكتبها بالشكل الاول ده يتكتبها بالشكل التاني ده علشان تكون فورمل شوية يبقى من اكس اكبر من او تساول واحد ده معناه ان كل الاعداد الحقيقية لأكبر من او تساول واحد اللي هي معناها من وان لانفينيتي وهنا نفس الكلام من واي اكبر من او تساول صفر هي هي من زيرو لانفينيتي
48:24 فونكشن ثانية سكوير رود فور ماينوس اكس سكوير ديت عبارة عن هاف او سيركل لو دي عبارة عن سيركل نص كترات نين لو انت كملت السيركل دي لو شلت الجزر دوت وخلت دي تربيه هتلاقيها بقت عبارة عن اكوشن بتاعت سيركل وحناخد امثلة كمان شوية على نفس الجزئية دي بس في النهاية الرسمة دي كده بتاعت البازط في الجزر التربيهي لأربعة نص تربيه هيديك الشكل ده نص الدائرة العلوي ده اللي في الموجب وده لو انت بسيت على الـ domain هتلاقي نفسك من سالب 2 لـ 2 يبقى ده بالنسبة لي عيبه الـ domain يبقى ممكن تكتبه كده من minus 2 لـ 2 وممكن تقول ان الـ x اكبر منه وتساوي السالب 2 واقل منه وتساوي الـ 2 الـ 2 دولات هيتدوك نفس المعنى الـ y لو بسيت هتلاقي ان انت اقل
49:12 قيمة على الـ y هي الصفر واعلى قيمة على الـ y هي الـ 2 اذا نفس الكلام اللي قلنا في الـ domain هيبقى في الـ range اللي هو من صفر الـ 2 او اكبر من او تساوي الصفر واقل من او تساوي الاثنين. وده يكون الرينج وده يكون الدومين بالنسبة للفانكشن اللي قدامنا دي. بكل اللي احنا عملناه دوت كان باستخدام الجراف. احنا كده في الجزئية الاولانية ديت احنا لما بيكون عندنا الجراف بنقدر نطلع منه الدومين والرينج. بعد كده انت لما تتعلم ان انت ترسم الفانكشن ممكن يطلب منك ان انت ترسم الفانكشن وبعد ما ترسم الفانكشن يعني ممكن بعد كده يطلب منك ان انت ترسم الفنكشن وبعد ما ترسم الفنكشن تطلع على
49:58 الـ domain and range من خلال الـ graph اللي انت عملته او يجي لك الـ graph مرسوم ويتطلب منك ان انت تطلع على الـ domain and range على الـ graph زي ما احنا عملنا في الامثلة اللي فاتت في كلتا الاحوال انا بقيت فاهم ان اللي انا بس عايزك تبقى يعني تبقى منتبه ليه ان انا بتكلم على f of x اقوال واي اقوال اف اف اكس. يبقى لما انا عندي الانبوت هو الاكس اللي في الفونكشن اللي اسمها اف واللي بيطلع عندي الاوت بوت هو الاي. عشان كده كان الدومين بيجي من محور الاكس. وكان الرينج بيجي من محور الاي. بالسبب ده عشان انا كنت بيتعامل مع مسائل بالشكل ده. واي اقوال
50:43 اف اف اف اكس. انما لو انا كنت متعمل مع مسائل ففو ايقوال اكس يبقى انا كنت هعكس الدومين مع الرنج وده اللي احنا هنعمله لما هنيجي نوجد الرنج جابريا لما هنيجي نوجد الرنج بادينا هنعكس كأننا هنقول ففو ايقوال اكس رحنا عايزين ايه نوجد الرنج بالطريقة دي خلينا دلوقتي نشوف فقا التعامل مع الـ Equation وإيجاد الـ Domain وبعد ذلك إيجاد الـ Range بالنسبة للـ Equation بالنسبة للـ Domain أحيانا تلاقي المسائل جاية ومحدد فيها الـ Domain فاكرين بعض الأشكال اللي احنا مرت علينا دلوقتي اللي هي كانت بتلاقي
51:29 الشكل كده يعني هنا كده واقف عند النقطة دي ووقف عند النقطة دي على الرغم من أن الـ Graph دوت بتاع الفونكشن ممكن تلقيه مستمر هنا ومستمر هنا كده. بس انت وقفت هنا عند نقطة وقفت هنا عند نقطة فحملت لي دي ودي كلوزد كده او دي اوبن بس ممكن انت وقفت هنا وهنا فانت خلتني ان انا اقف انا كمان هنا واقول ان ده كده المنطقة دي هي الدومين بالنسبة للفونكشن واقول ان الجزء ده كده هو الرنج بالنسبة للفونكشن اللي هو عند اقل حاجة واعلى حاجة. فانت حددت جزئية معينة فده اللي احنا بنسميه الاكسبلسي اي او الاكسبلسي الدومين. ان انت حددت منطقة معينة كدومين نشتغل عليها بالنسبة للفونكشن دي انما لو انت بتتكلم على الامثلة
52:19 اللي مرت علينا دلوقتي اللي كان فيها الفونكشن بتلاقيها كده وفيه هنا سهم وهنا سهم او مرسومة كده وخلاص وانت بتعتبر ان ده كده مستمر يبقى انت بتطلع الدومين في الدمني دومين عادي في المطلق اللي هو بنسميه الامبلاي الدومين وهو ده اللي احنا لما بنجي نحسب بنحسبه اللي هو اللي هو حطيلك الـ X بتبدأ من الواحد وتنتهي عند الـ 4 يبقى أنا بشتغل في الـ interval دي بس يبقى لما باج أرسم
53:05 الـ function هتبقى من 1 الـ 4 وهتلاقي الرسمة بتاعت الـ function بتاعتك في الجزء ده بس اللي هو بدأ من الـ 1 ومنتهي عند الـ 4 إنما باقية الـ function نفسها اللي هو باقية الخط مثلا اللي هي دي عطلها خط مستقيم كده الباقي ده كله انت ايه لا تكير بوطت مش مهتم بي ولا انت اللي هو عنك عناية بي انت كل اللي انت مهتم بي فقط هو الجزء الدومين ده اللي تحدد ده ولما بتيجي حتى تحسب الرينج بتحسبه على الجزء برضو اللي موجود فبتشوف اعلى قيمة واقل قيمة على الواي ويبقى هو دوات الرينج بالنسبة لك طيب هل الفونكشن دي هي هي لو جبناها هي هي ليها امبلاي الدومين وهو ده اللي حصنا هنبدأ نحسبه مع بعض في المسائل قال لي اه لأنها هي X2
53:53 ويبقى الـ domain العام بالنسبة للـ function دي اللي هيبقى عبارة عن إيه؟ اللي الـ domain العام هيبقى عبارة عن call real number وده بسبب ان انت هل فيه اي حاجة تعوق ان انت تعود عنها مكان الـ X وتزود عليها اتنين؟ يعني اي رقم حقيقي تقدر تزود عليه اتنين؟ ما يحصلش مشكلة يعني عادي هو الرقم هتزود عليه اتنين مفيش مشاكل انما ما فيش مثلا جزر سالب ما فيش اسم على الصفر ما فيش حاجة من الحاجات اللي ممكن تعمل لك مشكلة عشان كده انا هنا بالنسبة لي بقول ان الـ X Plus 2 هتبقى كل الارقام متاحة عليه عادي خالص ان انا اختار منها القيمة بتاعت الـ X وما فيش حاجة تعمل لي مشكلة عشان كده هي تعتبر الـ Real Numbers كلها في الـ Domain بتاع الـ Function دي طيب ماشي وعلشان ندي حاجة اعام شوية
54:42 من الـ X Plus 2 لو احنا أخذنا نوع من أنواع الـ function اسمه الـ polynomial وهنمر عليه بقى تاني في أنواع الـ function إن شاء الله المحاضرة اللي جاية بس ناخد عنه دلوقتي نبذة بسيطة علشان خاطر نستخدم منه الـ domain قال للـ polynomial function هي function بتكون من الشكل العام بتاعها بالشكل اللي قدامي ده بيكون عندك an x power n plus an minus 1 x power n minus 1 وهكذا إذا أريد ما توصل لي constant سابت مش مضروف متغير يعني اللي هو يعتبر اكس باور زيرو يعني فخلص بقى عبارة عن رقم سابق في النهاية الان دي هي نان نيجاتف انتجر فممكن تبقى عندك بأي رقم بس ما يكونش سالب بس صحيح لان انتجر بتدل على انه صحيح ونان نيجاتف يعني غير سالب فممكن يبقى
55:32 بثلاتة مثلا فتديك اكس تكييم ممكن يبقى باربعة يبقى اكس باور فور ممكن يبقى بخمسة يبقى اكس باور فايف عن سؤن والان هي الكونستانت اللي قدامها ديت بأي ريال نمبر فممكن يبقى موجة بسالب صفر صحيح كسرة مش مشكلة ونفس الكلام هنا وممكن تلاقي في بعض الاكسات اللي جاية بعد كده مضروبة في صفر فمش موجودة فتلاقي مثلا 3x تكعيب زائد 5x طب والاكس تربية راحت فين قال لي اتضربت في سابة صفر فيطارت وهكذا يعني في النهاية دي اللي نسميها البولونوميا الفونكشن اللي هي الدوال لكثيرات الحدود وهنا نزل بيواخدين بنا ان الباور دوت ما ينفعش يبقى حاجة غير الـ non-negative integer يعني ما ينفعش يبقى رقم
56:21 سالب ما ينفعش يبقى رقم كسر ده يدخلك في انواع فونكشن تاني تجاصد بتتعامل مع النوعية دي طبعا ما ينفعش يبقى عندك هنا زائد log او لغريتمي function زائد sin زائد cosine لأ انت خلاص بتتعمل مع x وفيها بقى power non-negative وانتجر فى x التربيع يستكعيب x power 5 x power 0 مفيش مشكلة يديك كونستان تنوع من انواع البالونميا بس المهم في النهاية ما تروحش لx power 0.5 مثلا power half او x power negative 3 ده كله يدخلك في انواع تانية من function غير البالونميا طب واحنا هستفيد ايه بقى بالبلونوميا الفونكشن قال لي البلونوميا الفونكشن الدومين بتاعها دايما بيكون ال R اللي هي ال Real Number يبقى طالما انت شفت ان
57:09 الفونكشن اللي قدامك في السؤال هي بلونوميا الفونكشن يبقى على طول لما تساعد على الدومين تقول ان الدومين بيساوي ال R مش محتاج اي رسم ولا عمليات حسابية ولا جابرية ولا اي حاجة خالص جس ان انت حددت ان نوع الفونكشن دي هي كذا اذا الدومين بتاعك على طول هيبقى ال R زي المثال ده مثلا ان F of X equal X squared ونوع من أنواع الـ . يعني اللي هي X تربيه X تكعيب X دي لوحدها كده بنسميها الـ . بس احنا تعتبر هي من الـ . ف احنا في الاخر هي دي بالنسبة لـ . وده معناه ان الـ . بالنسبة للسؤال اللي قدامي دوت هو حيساوي الـ . اللي هي من . وان
57:56 اي عدد لما تجيبه من الريال نمبر وتجيب الـ square بتاعه مش يحصل مشكلة سواء كان موجب كان سالب كان صفر كان صحيح كان كاسا مش هتفرق عشان كده الـ boulomia function دايما الـ domain بتاعها هو الـ R الريال نمبر لو الـ function بتاعتك بقت عبارة عن بسط و مقام في الحالة ديت ايه اللي يحصل؟ لنا دلوقتي يعني عايز بس ناخد بعض الملاحظات كده لو انا عندي function اسمها F الـ function دي هاته الـ domain بتاعها هو الـ D الـ F ده الـ domain بتاع الـ function F وعندي function تانية اسمها G الـ domain بتاعها هو الـ domain بتاع الـ G كده عندي 2 functions واحدة اسمها F واحدة اسمها G دي ليها domain ودي ليها domain لو انت جيت ورحت
58:46 جامع الـ 2 functions دولت مع بعض او طارح الـ 2 functions دولت مع بعض او ضارب الاثنين فونكشن دولت في بعض او قاسم الاثنين فونكشن دولت على بعض ايه اللي هيحصل؟ قال لي لازم الدومين بتاع الفونكشن ديت يبقى نفس الكلام برضو يعي لو انت جيت قلت انا حاجم على الفونكشن F زي دل فونكشن G طب الدومين بتاع الفونكشن الجديدة دي اللي هو حاصل الجامعة الفونكشن دي ممكن نسميه H مثلا الدومين بتاع ال H ده هيبقى عامل ازاي؟ قال لي ما انت لازم تشوف اللي ينفع لل F اللي هو domain ال F و domain ال G وتاخد الجزء اللي هو المشترك ما بينهم اللي ينفع للاتنين اللي ينفع للاتنين يبقى كأنك بالزبط هتقول إن ال domain بتاع ال H هو عبارة عن ال domain بتاع ال F تقاطع ال domain بتاع ال G ده اللي انت هتعمله ليه؟
59:35 لأنك لو كان في عندك أي قيم موجودة عند domain ال F بس ما بتعملك مشكلة مع الفونكشن اللي اسمها G وانت استخدمتها في ال H هتعملك مشكلة في ال H فانت لازم لما تيجي تختار domain لفنكشن عبارة عن اكتر من فنكشن يبقى لازم تشوف الجزء اللي ينفع لكله مع بعضه فعشانك انت بتختار التقاطع ما بين الـ domains اللي موجودة عندك نفس الكلام لو قلت طرح لو قلت ضرب هو هو نفس الفكرة الاسمة برضو نفس الفكرة بس الاسمة هتزود عليها حاجة كمان او انت لو جيت قلت مثلا عندي فنكشن اسمها key هي عبارة عن f over g في الحالة ديت الـ domain بتاع الـ K هيبقى هو برضو الـ domain بتاع الـ F تقاطع الـ domain بتاع الـ G زي ما احنا اتفقنا بس بلس هتزود عليه كمان
1:00:22 حاجة او أند حاجة كمان ان لازم الـ Q الى هتخلي الـ G بيسوي صفر تستبعدها من الـ domain بتاعك يبقى لازم تطرح من هنا الـ Q الى الـ values اللي هي X اللي تخلي الـ G بتسوي صفر لجي اوف اكس هنا تساوي صفر. يبقى لازم تشيل كوية من الاكس اللي تخلي جي اوف اكس بتساوي صفر. يبقى اي فاليو هتلاقيها بتخلي المقام بصفر لازم تستبعدها من الدومين. يبقى انت عملت خطوتين في حالة الاسمة. انما في حالة الدرب والجامعة والطرح عملت خطوة واحدة ان انت جبت الدومين ده والدومين ده وجبت ما بينهم التقاطر. في حالة الاسمة لا ده انت لازم تجيب الـ domain ده ودومين ده وتجيب ما بينه متقطع بس تاخد بالك كمان ان الـ domain بتاع المقام ما
1:01:12 ينفعش يبقى فيه رقم يخلي لك المقام بيساوي صفر لازم تستبعده من الـ domain يبقى لو احنا جينا نتعامل مع اي مثال زي المثال ده كده مثلا وعايزين نطلع له الـ domain فده يعتبر باست ومقام فيه هنا function اللي هي واحد تعتبر برونومية اللي بتكاين لك حطيت الـ n بصفر فاصبحت بيساوي الكلام بواحد ومن هنا ستقدر تقول ان المقام او الوضع المقام بتاع الوضع يعتبر كلها المقام بتاعك هو بلونوميا الفونكشن صح اكس تربيع نقص 4 وده برضو الدومين بتاعه هو الار زي ما احنا كنا قلنا من شوية التقطع ما بينه هو الار بس فيه هنا شرط زيادة كمان اللي احنا قلنا عليه دلوقتي وهو ان دي باست ومقام فاحنا
1:01:58 عايزين نستبعد كل القيم اللي تخلي المقام بصفر عايزين نعرف ايه الكويم اللي هتخلي المقام بصفر فانروح نشوف اصفار المقام يبقى اكس سكوير ماينس فور يبقى اكس سكوير ماينس ايقوال فور دي ايقوال زيرو يبقى اكس سكوير ايقوال فور يبقى الاكس ايقوال براس والماينس تو يبقى كويم البلاس والماينس تو مفروض ان هم ما يبقوش موجودين معايا في الدومين لانهم بيتسببوا في ان المقام بتاع الفونكشن جي بيساوي صفر وعندما اقول انا ياخد تقاطع ال R فايقول لي ال R بس اقول له ال R مع عادة الموجب والسالب 2 يبقى روحت زودت بقى الجزء ده كمان زيادة لان ده عبارة عن بسط ومقام هنا كان المثال او الفنكشن دي هو محدد لك لها دومين معين من
1:02:43 4 ال 5 بس في المطلق زي ما قلنا الامبلاي الدومين وده اللي احنا هنحسبه لأ ده انت بتقول كل الريال نمبر تنفع مع عادة نقطة ال 2 ونقطة السالب 2 هم هدول بس اللي احنا لازم نستبعدهم من ال real number لانهم بيتسببوا فيه ان المقام بيساوي صفر احنا عندنا two function الفنكشن الاولى اسمها f والفنكشن التانية اسمها g انت روحت تجيب الدومين بالنسبة للفنكشن الاولى فجيبت الدومين اللي انت هتسميه df ده الدومين بتاع الفنكشن f وجيبت الدومين بتاع الفنكشن g اللي احنا هنسميه dg ده الدومين بتاع الفنكشن التانية اللي هي g وبعدين روح تواخد الفونكشن F والفونكشن G ومكون منهم فونكشن جديدة اسمها ولتكن H فقلت
1:03:32 ال H بتساوي F بلاس G وبعدين السؤال دلوقتي هو إيجاد الدومين بالنسبة للفونكشن H فهتروح تجيب الدومين بالنسبة للفونكشن H فالمفروض ان الدومين بتاع الفونكشن H لابد ان هو يكون جاي من تقاطع الـ domain بتاع الـ function f مع الـ domain بتاع الـ function g والسبب هو ان انت لو اخدت قيم ما كانت مكادش بتمفع للـ function g بس كانت موجودة عند الـ f هتعملك مشكلة في الـ function h دي كله يبال لو انت اخدت قيمة معينة وجيت تعوض بقى في الـ function h وهي كانت بتسبب مشكلة مع الـ g فهتعملك مشكلة في الـ function ككل مش هتطلع لك مشكلة في جزء صحيح وجزء خطأ
1:04:20 لها يبقى كله كده الفنكشن كلها عد بوز هيبقى فيها مشكلة عشان كده علشان اتفادى حدوث مشكلة ممكن تحصل في الفنكشن دي اللي هي المجمعة دي كلها فكان لابد ان انا اروح اشوف الـ domain بتاع الـ F والـ domain بتاع الـ G واجيب ما بينهم الـ intersection دوت اللي هيساوي الـ domain بتاع الـ function H اللي انت كنت طالبه يبقى انا جبت القيم اللي تنفع للـ 2 تنفع للاتنين مع بعض. يعني على سبيل المثال كانت الفنكشن f مسلا ان الدومين بتاعها كان كل الريل نمبر مثلا. فور اكزامبل يعني. والفنكشن g كانت الدومين بتاعها من صفر الانفينيتي مثلا. طيب كلام جميل. رحت انت بتقول ان الفنكشن hd بتسوي f زائد
1:05:07 الجي. جيت تجيب الدومين لله. لو انت قلت الدومين بتاع اله هو الار. هتيجي تعود بالقيم السالب هيعمل لك مشكلة فين في الفونكشن G فبالتالي الفونكشن H دي كلها هتبقى فيها مشكلة عشان كده هنعمل ايه هنروح نجيب الدومين ده والدومين ده كأننا هنكتبهم كده ادي الدومين الاولان اللي هو ال R كل الارقام الموجبة والسالبة والصفر وكل حاجة والدومين التاني اللي هو بتاع الجي اللي هو هنكتبه تحت هنا هيبقى من اول الصفر من اول الصفر وClosed لغاية البوست في انفنيتي اللي هو الجزء ده كده. انما الارقام دي لأ الارقام السوالب دي مش معايا ما تنفعش للجين. يبقى الدومين بتاع اله هو ايه? اللي هو المجموعة الاتنين
1:05:54 بتاع الفونكشن. قال لي يبقى الجزء المشترك الانترسيكشن ما بينه. الانترسيكشن ده. الانترسيكشن دوت اللي هو عبارة عن من صفر لانفنيتي. يبقى لما اجي اقول الدومين بتاع اله اقول من صفر لانفنيتي. عملت ايه? جبت التقاطع بتاع الدومين دي الدومين الاولاني والدومين التاني. جبت التقاطع ما بينهم. يعني اللي ينفع هنا وينفع هنا. اللي يكون مصموح بيه هنا ومصموح بيه هنا. يبقى اي قيمة انت هتجيبها من صفر الانفنيتي. اما تيجي تعود بها في الاف وتعود بها في الجي مش هيحصل لك مش مش هيحصل مشاكل. لانهم قريدي موجودين في الدومين بتاع الاتنين فانكشن دون. نفس الكلام دوت لو انت عملت الاتش بتساوي جي اي اي اف نقس جي او جي نقس اف. او برضو كل
1:06:40 ده يبقى بنفس الطريقة وهو التقاطم. طيب ماشي تمام. الحالة بقى المختلفة شوية عنهم وهو عملية الاسمة. ان الاتش بساوي اف ديفايدد باي جي. في الحالة دي احنا هنطلع الدومين للاتش هو عبارة عن الدومين بتاع الاف تقاطع الدومين بتاع الجي. بس كمان هنزود شرط هنا وهو ان احنا هنستبعد هنستبعد هنستبعد ايه اللي قيم الاكس اللي بتخلي المقام بيساوي صفر هنستبعد قيم دي كده هنستبعدها من الحزبة اللي احنا هنعملها دي تمام يبقى عنقول ان هي عبارة عن الدومين بتاع الاف تقاطع الدومين بتاع الجي وحنستبعد ممكن عطول نقول ان
1:07:26 احنا هنستبعد منها الاكس حيث ان الجي اف اكس بيساوي صفر يبقى اي قيمة هتخلي المقام بصفر هنشيلها معانا من الدومين اللي احنا هنطلعه وده احنا هنشوفه مع بعض في بعض المسائل دلوقتي يبقى ناخد بنا كده واحنا بنحل مسائل الدومين بالنسبة الفونكشن ان احنا هنحاول ما نقسمش على صفر يعني ما نحددش ما تجيش تقول الدومين هو كذا وكذا دي اللي انت حددتها فيه value x منها بتعوض بها في الفونكشن بيطلع لك المقام على صفر اسمه على صفر في الحالة دي يبقى الدومين بتاعك غلط لأنك انت حطيت فيه قيم لا تصلح استخدامها بالنسبة للفنكشن الحاجة الثانية غير
1:08:13 الاسم على الصفر اللي هي الجذر التربيعي للرقم السالب يبقى عندك هنا value negative minus رقم معين جبت الجذر التربيعي ومش الجذر التربيعي بقى بس الـ square root لا وany even root يبقى ده كان تربيعي كان power 4 كان 6 8 10 أي أرقام even يبقى الجزر اللي هو الدرجة التانية او الرابعة او الستة او التامنة او العشرة او اي رقم زوجي اي حاجة تحته سالب يعمل لي رقم كومبليكس على طول رقم مركب عدد تخييلي في الحالة دي هيبقى برر الريل نمبر ففي الحالة دي هيبقى يعمل لي مشكلة مع الفانكشن يبقى انا لازم اخد بالي من الجزئيتين دول لازم اخد بالي من الجزئيتين دول جزئية الاسمع الصفر
1:09:02 وجزئية الجزر اللي من درجة زوجية تحتية عدد سالب. لو بدأنا مع بعض نقول احنا عايزين نطلع الدومين بالنسبة للفنكشن دي. وخلينا ان احنا ناخد امثلة كده شوية امثلة كده ونطلع لهم الدومين بس. مش هنجينا من الانج. بعد كده ناخد بعض الامثلة في الاخر نطلع لهم الدومين والانج. بالنسبة لي انا مثال زي دوت عايز اطلع له الدومين. اول حاجة بفكر فيها ده بست ومقام. يبقى المفروض يبقى البست والمقام الدومين بتاعهم. متقاطع ما بينهم يعني يناسب ده ويناسب ده بما ان طبعا البسط ده هيبقى الار ده ثري وبان الاكس ده هيبقى الار برضو يعني كأن بقول ان التقاطع الار مع الار هيدي لك الار بس لازم اخد بالي من ان المقام
1:09:48 لا يساوي الصفر طيب المقام لا يساوي الصفر يبقى اروح اشوف القيم بتاعت الاكس اللي تخلي المقام بصفر يبقى الـ x تساوي الصفر ده أنا سويت المقام بالصفر قال لي خلاص يبقى قيمة الـ x بتساوي الصفر هي دية اللي حتى تسبب في إن المقام يكون بيساوي صفر إنما أي value تانية للـ x موجبة أو سالبة مش هتخلي المقام بصفر عشان كده يبقى الدومين بتاعي هو كل الـ real number معده الصفر ممكن اكتبها كده R معده الصفر وممكن اكتبها كده R معده الصفر يعني دي طريقة ودي طريقة وممكن واحد تاني يكتبها كده مش انت عندك المحاور بتاعتك اهي او خط الاعداد اهو ده الصفر اللي انت هتستثنيه يعني هتخليه open كده وده كده
1:10:34 مالا نهاية وده كده لغاية سالب مالا نهاية انت خدت كل الارقام اللي موجودة مع ده نقطة الصفر بس هي اللي انت استبعدتها فكأنك بتقول ان اخد الجزء ده كده اللي هو من سالب مالا نهاية لغاية الزيرو بس open وتعمله اتحاد تمام مع الجزء التاني ده اللي هو من اول الصفر لغاية المال نهاية يبقى دا كده يكافئ اكويفلنت الدا يعني اكتب اي شكل من دولة كلهم صح في النهاية انت بتعبر عن الاعداد الحقيقية كلها مع عدى نقطة الصفر بس هي اللي انت بتستبعدها من الاعداد الحقيقية اللي موجودة اه
1:11:20 طيب لو احنا قلنا اكس اوفور اكس سكوير ماينس ون قال لي نفس الكلام هنشوف الدومين بتاع البست قال لي ده الار والدمين بتاع المقام الار برضو يعني اللي اتنين تقطعوا ما بينهم وما الار اللي اتنين اصلا زي بعض نفس الحاجة بس في عندي جزئي مقام مفروض ان هو لا يساوي الصفر وعشان كده انا هروح اساويه بالصفر وبعدنا استبعد النقاط اللي هتطلع بصفر يبقى اكس سكوير ماينس ون ايكوال زيرو يبقى x² equal 1 يبقى x equal plus or minus 1 يبقى نقطتين دولت بالنسبة لي من ضمن الريال نمبر كلها لو عوضت بيهم في الفونكشن الاسمها f عيطلع لي او اتبطت في اسمها على صفر وانا مش عايز اعمل الموضوع ده مش عايز الكلام ده
1:12:08 يظهر عندي فبناء عليه لما جاقول الدومين بتاع الفونكشن ديت هقوله عبارة عن الريال نمبر كلها معدى الموجب والسالب واحد او هقسمها الفترات زي ما احنا اتفقنا ده السالب واحد وده الموجة بواحد يبقى اقول الموجة السالب واحد مش عايزه الموجة بواحد مش عايزه بس كل اللي بعد كده انا عايزه اللي ما بينهم عايزه واللي قبله عايزه واللي بعده عايزه يبقى اجي اقول انا عندي تلات فترات من سالب ملا نهاية لسالب واحد ده تمام ادي اول فترة اتحاد الفترة دي اللي هي من سالب واحد لواحد اتحاد الفترة دي اللي هي من واحد لي ملا نهاية يكون الدمان بالنسبة لي في السؤال ده. مثال ثاني.
1:13:01 في الحالة دي المقام لما نسويه بالصفر يبقى لما نجيب جزر الطرفين هنلقل ان الاس بتساوي الموجب او سالب سالب الجزر التربيعي لسالب اربعة. ده كده وفي الحالة دي لما نجي نقوله الـ domain بتاع الـ function دي هو ايه يبقى في الحالة دي هنقوله الـ real number كله طب ازاي ما استبعدتش ليه اصفار المقام اصفار المقام اعادات تخيلية مش اعادات حقيقية هبقى مش هنستبعدها لان احنا بنتكلم على الـ real number احنا بنختار من الـ real number والـ out-put بيطلع من الـ real number ما ملناش ضعب العداد المركبة خالص لو نختار من الاعداد
1:13:49 المركبة ونستبعد الاعدادين من الكمبليكس نمبر ونختار من الريان نمبر فمثال مثل هذا عندما نعرف ان اللي تحت الجزر يبقى سالب في الحالة ديت لنستبعد حاجة من الار يعني محدش يقول الار فرق موجب او سالب جزر سالب اربعة كده غلط ده كده مش فاهم ان ده اصلا مش موجود جوه الار وهو بيستبعده منه هو مش موجود اصلا جوه الار يعني ده كده غلط عشان احنا نكتب كده. هنقول الار بس. لان الار مش هنستبعد منها حاجة. لان ما فيش حاجة اصلا الريال بتخليلي المقام هنا بصفر. انما انت لو غيرت الموجب دي خليتها سالب زي المسال اللي احنا حلنا قبل كده. هتلاقي ان انت بتقول بقى هنستبعد الموجب او السالب اتنين. دي اعداد ريال. يبقى لازم نستبعدها عشان ما تخليش
1:14:37 المقام بتاعي بيساوي صفر. خلنا ناخد مثال تاني زي اف اف اكس. ايكوال. تو اكس بلاس وان. اوور. X²-X-12 الـ Function ديت احنا عايزين نحسب لها الـ Domain والـ Function ديت كده يعني بالمناسبة لو احنا رسمناها او عملنا الجراف لها لو عملنا المحاور كده هل لقى الـ Function دي 3 اجزاء الجزء الاولاني حاجة زي كده يبدأ من عند بيجي هنا عند نقطة السالب تلاتة
1:15:22 وهنا عند نقطة الموجب اربعة يعني دي كده دي السالب تلاتة هو بيقرب منها جدا بس ما بيقطعش معايا والموجب اربعة هنا نفس الكلام تكملة الرسمة هتلاقي الجزء بقى هنا كده وجزء هنا كده النهاية الفنكشن دي لو بصنا عليها على محور الـ X اللي هو يعتبر الـ domain كل قيم موجودة مع عدة نقطة 2 2 فنكشن غير مقرفة عندهم هي السالب 3 والموجب 4 يبقى كل الـ real number مع عدة نقطة 2 دول لو بصنا على
1:16:10 محور الـ Y اللي هو الـ F of X هلاقي ان الخط اللي في النص ده كده او جزء ده من الفانكشن واخد كل القيم بتاعت ازاي اتعمل معاه واضح ان في عندي باست ومقام فواضح ان في عندي رينج او دومين للباست ودمين للمقام
1:16:57 وانا محتاج اخد الانترسكشن ما بينهم الدومين بالنسبة للباست هو كل الريال نمبر لانه هو بلونوميا الفونكشن والدومين بالنسبة للمقام برضه هو كل الريال نمبر لانه هي برضه بلونوميا الفونكشن بس في عندي اه يعني حاجة ااخد بالي منها وهو ان المقام دوت ما ينفعش ان هو يساوي صفر لازم يبقى نوت equal zero يبقى انت بتقول ان هي ال real number بس ما عادة القيم اللي عتخلي المقام يساوي صفر يبقى انت اول حاجة عتعملها ان انت عتاخد المقام وتسويه بالصفر علشان توجد ال roots لل x اللي تخلي المقام دوت بصفر يبقى انا عايز كده اعمل find ليه ال roots ال x هتطلع بكام هنا علشان
1:17:48 الحزبة دي تساوي صفر دايما المعادلة التربعية او البولونوميا الفونكشن اللي هي من الدرجة التانية اللي بتبقى فيها اعلى حاجة اكس تربيع دي دايما بنسميها كوادراتيك اكوشن والكوادراتيك اكوشن دايما لما تيجي تحلها في عندي فورميولا بتحلها لي مباشرة الفورميولا دي هي اللي يسميها الكوادراتيك فورميولا كوادراتيك فورميولا قلي ديت بتطلع لك الجزور او الروتس اللي انت عايزها بتاعة المعادلة التربعية اللي هو بيقول لك الـ x اللي هي الروتس اللي هتطلع هتكون عبارة عن الاتي مينس بي بلاس و مينس الـ square root لي بي سكوير مينس فور AC
1:18:38 على تو ايه طيب دلوقت انا مش عارف بقى ايه الاي و ايه البي و ايه السي لهم التلات رموز اللي موجودين هنا واللي تحت الجزر دوت اللي هو بنسميه المميز اللي هو ده ده جزر تربيعي وده معناه ان اللي تحت الجزر دوت لو طلع بالسالب بيبقى حيطلع عندي عدد تخيولية قال لي اه احيانا تلاقي الجزور بتاعتها مش في الريال نمبرز بتاعتها في الكمبليكس نمبر فاحنا مش اويرت مش مش مش انترست بالحتة دي مش عايزين احنا عايزين فقط اللي يكون محقق ان اللي تحت الجزر ده يا اما بيساوي صفر ولو ساوي صفر يبقى انت حيطلع عندك جزر واحد بس للفونكشن وروت واحد بس ولو طلع عندك اكبر من او يساوي الصفر اللي تحت الجزر دي اكبر من الصفر يبقى في الحالة دي هيطلع عندك تو روتس
1:19:26 وهو اقصى حاجة اصلا ات مستهيطلع لك تو روتس لان دي معادلة من الدرجة التانية فهيبقى اقصى حاجة فيها تكون تين اتنين لل اكس اكس واحد بكذا و اكس اتنين بكذا فدي الاكوشن او الفورميولا اللي احنا نبقى عارفينها بس دوت طبعا علشان نجيبها لازم اقول لك الاي والبي والسي دولت من اي نقال لي ما هم دول مضروبة في X تربية ده الـ X تربية و B في الـ X و C ده الـ constant بيساوي 0 يبقى هي ديت الـ equation ودي الـ A ودي الـ B ودي الـ C اللي انت هتجيبهم وتعوض بهم هنا علشان تطلع الـ equation اللي قدامي دي طبعاً equations اللي قدامي ديت X square minus X minus 12 ممكن انت على طول تقولي هتبقى X زي الثلاثة في X نقص 4 بتساوي 0 يبقى
1:20:14 عرفنا الحل بتاعها على طول انا مش بكبرك ان انت تحل بالكوادراتيك فورميولا دي بس انا اللي عايز اوصله لك ان انت اي اكوشن حتى لو كانت صعبة وانت مش عايف تحلها فتقدر تحلها باستخدام الكوادراتيك فورميولا دي الحاجة التانية ان احنا هنحتاجها هنحتاج نحل بيها او هنحتاج حتى الجزء اللي تحت الجزر ده خصيصا لازم تبقى عارفه علشان ده هينفعنا في ايجاد المدى اللي هو ايجاد الرنج بعد شوية نطبق القعدة في المعادلة هنا يمكنك أن يقول لي على طول انه X في X والسالب 12 مثل ما اتفقنا 3 في 4 والاشارة السالبة سيضع السالب عند الكبير في الاخر X زي 3
1:21:01 في X ناقص 4 بتساوي 0 ده اللي هيطلعه فهيطلع لهم هنا ان ال x بتساوي سالب 3 وال x بتساوي موجب 4 وده اللي كان واضح هنا على الجراف السالب 3 وال 4 كان فيهم عندهم ايه مشكلة مع الدومين ان هم موجودين في الدومين الفنكشن ما بتقربش نحيتهم خالص طيب خلاص تعال نطبق القاعدة هنا ونشوف الكلام ده هيطلع هو هو ولا فلو انت جبت من هنا هتلاقي الايه بكام الايه هنا بالساوي واحد اللي هو معامل ال x تربية والB هنا بتساوي السالب واحد والD بتساوي السالب اتناشر اللي هو الكونستانت عوض بقى هنا بالA والB والC هيبقى الX بتساوي سالب B سالب
1:21:48 سالب واحد يبقى موجب واحد موجب او ناقص الجزر التربيعي B تربيع اللي هي سالب واحد تربيع يعني موجب واحد ناقص اربعة في الA اللي هي بواحد في اللي هي بسالب 12 دايما الأقواس تعملها علشان تساعدك أن انت ما تغلطش على 2 في 1 يعني 2 الكلام ده هيساوي 1 plus or minus 1 ناقص 4 في سالب 12 4 في 12 بـ 48 وسالب في سالب بموجة بـ 48 و 1 يبقى موجة بـ 49 على 2 طبعا جزر الـ 49 بـ 7 يبقى يساوي واحد
1:22:34 زائد او ناقص سبعة على اتنين مرة هنستخدم الزائد ومرة هنستخدم الناقص علشان نوجد تو روتس بتوع الاكس لان زي ما اتفقنا ان لو اللي تحت الجزر اللي هو المميز ده طلع اكبر من الصفر يبقى يطلع عندي جزرين اتنين اكس واحد واكس اتنين يبقى الاكس واحد هتساوي واحد زائد سبعة على اتنين يبقى يساوي تمانية على اتنين اللي هي هتساوي الاربعة و X 2 ستساوي 1 ناقص 7 على 2 سالب 6 على 2 سالب 3 هم فعلا التوروطس اللي كنت جبتهم بالطريقة العادية او شفتهم على الرسمة في النهاية انت حددت الارقام ان لو انت عوضت بيها في المقام بتاع F
1:23:24 يعني لو انت عوضت بال X هنا سواء عودت عنها بأربعة أو بسالب ثلاثة ده هيؤدي إلى أن الـ out button اللي هو الـ y اللي هيطلع عندك هيبقى عنده اسم على صفر وإحنا مش عايزين الكلام ده يحصل فلما نيجي هنا هنقوله إذن الـ domain بتاعي هيكون عبارة عن كل real number معدها السالب ثلاثة والأربعة لأن السالب ثلاثة والأربعة دول الرقمين اللي هيسببولي مشكلة مع المقام طب خلينا نشوف مثال كمان لو قلنا
1:24:12 عندنا الف فتساوي تبص على الرسمة هتلاقي ان الدومين بتاعك هو الجزء ده كده زائد الجزء ده اللي هو هيبقى من سالب مالا نهاية لسالب اتنين اتحاد من تلاتة لمالا نهاية اللي هما الجزئين دول اللي حتة اللي في النص دي ما بيجيش نحيطها لإيه الفونكشن خالص فميش موجودة في الدومين لو بصيت على هتلاقي ان انت بتبدأ من عند الصفر بالنسبة للواي وبتطلع لفوق مجملة نهاية.
1:24:59 فهتلاقي بتاعك من صفر لملانية. نسخلنا مع الدومين. ده الدومين. بتاع الفنكشن. اللي احنا مفروض عايزين نحسبه بقى جابرين. اول حاجة عمبص عليه عملاقي فيه جزر تربيعي. يبقى هنا في درجة زوجية للجزر اللي هي اتنين. وده معناه ان ما تحت الجزر دوت لازم يكون اكبر من او سوى الصفر لانه موجود في البسط. فعادي ممكن يبقى بصفر. أنا مفروض دلوقتي إن X تربيع ناقص X ناقص الستة لازم تكون أكبر من أو تساوي الصفر بنفس الطريقة بقى اللي قلنا عليها قبل كده بتاعت الكوادراتيك فورميولا أقدر أن أنا أعرف الجزور بتاعت الـ X دي ليه تبقى كم في كم يعني فهتلاقيها عبارة عن X زائد 2 في X ناقص 3 تمام لو أنت حسبتها هتلاقي
1:25:47 X في X 2 في 3 وسالب موجب عشان تبقى X زائد 2 في X ناقص 3 يتلع لك المعادلة دي
…
