C-24Polytechnic MATHS-M4/UNIT-3/NON HOMOGENEOUS D.E with constants/TG/@naveenreddyMATH

Naveenreddy MATH www.youtube.com

Brief Summary

This video serves as an introductory guide to solving higher-order non-homogeneous differential equations with constant coefficients, a key topic in Engineering Mathematics-IV (M4) under the C-24 pattern. It explains the fundamental concepts, highlights the differences between homogeneous and non-homogeneous equations, and outlines the methods for finding solutions using complementary functions and particular integrals.

  • Introduces higher-order non-homogeneous differential equations.
  • Explains the difference between homogeneous and non-homogeneous equations.
  • Outlines methods for finding solutions using complementary functions and particular integrals.

Introduction to Higher Order Non-Homogeneous Equations

The video introduces the topic of higher-order non-homogeneous differential equations with constant coefficients, a key area in Engineering Mathematics-IV (M4) under the C-24 pattern. It builds upon the knowledge of homogeneous differential equations from the second unit, explaining that the methods used for solving homogeneous equations will be applied here. The presenter encourages viewers to subscribe, like, comment, and follow on Instagram and Telegram for more content.

Defining Non-Homogeneous Differential Equations

The presenter defines a higher-order non-homogeneous equation as one in the form aₙ(dⁿy/dxⁿ) + a₁(dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹) + ... + a₀y = X, where X is a function of x. If X is zero, the equation is homogeneous; otherwise, it's non-homogeneous. In this unit, X can take forms like e^(ax), sin(bx), cos(bx), or polynomial expressions. The presenter also reminds the audience that d/dx is represented as 'D', allowing the equation to be written as f(D)y = X, which defines a non-homogeneous differential equation. If f(D)y = 0, it is a homogeneous differential equation, a concept already covered in the second unit.

Methods to Solve Non-Homogeneous Equations

The video outlines that solving f(D)y = X involves finding both the complementary function and the particular integral. The complementary function is similar to what was learned in the second unit, while the particular integral is a new concept. The general solution is the sum of these two. The presenter introduces the formula for the particular integral as 1/f(D) * X. For a quadratic equation like aD² + bD + c, the solution involves factorisation to find two roots. The presenter then introduces the first case where f(D)y = e^(ax), explaining that the particular integral is always 1/f(D) * X.

Case 1: Solving Equations with e^(ax)

The presenter explains the first method for solving non-homogeneous differential equations when f(D)y = e^(ax). The particular integral is given by 1/f(D) * e^(ax). The presenter introduces an alternative formula for the particular integral: e^(ax) * integration of e^(-ax) * X dx, but suggests a simpler method. The presenter advises substituting D = a into the equation. If f(a) ≠ 0, the particular integral is simply 1/f(a) * e^(ax). However, if f(a) = 0, the solution changes based on the degree of the term.

Adjusting Solutions When f(a) = 0

If substituting D = a results in f(a) = 0, the solution is adjusted based on the degree of the term. For 1/(D-a) * e^(ax), the solution is x/1! * e^(ax). For 1/(D-a)² * e^(ax), the solution is x²/2! * e^(ax). Generally, for 1/(D-a)ⁿ * e^(ax), the solution is xⁿ/n! * e^(ax). The presenter provides a general formula for these cases. The presenter also introduces formulas for hyperbolic functions: sinh(x) = (e^(ax) - e^(-ax))/2 and cosh(x) = (e^(ax) + e^(-ax))/2.

Solving Example 1: d²y/dx² - 4dy/dx + 3y = e^(2x)

The presenter begins solving the differential equation d²y/dx² - 4dy/dx + 3y = e^(2x). The presenter identifies that the solution requires finding both the complementary function and the particular integral. The given differential equation is in the form f(D)y = X, where f(D) = D² - 4D + 3 and X = e^(2x). The auxiliary equation is m² - 4m + 3 = 0, which factors to (m-1)(m-3) = 0, giving roots m = 1 and m = 3. Since the roots are real and distinct, the complementary function is C₁e^(x) + C₂e^(3x).

Finding the Particular Integral for Example 1

The presenter calculates the particular integral for the equation. The particular integral is 1/f(D) * X, which is 1/(D² - 4D + 3) * e^(2x). The presenter substitutes D = 2 into the factorised form (D-1)(D-3), resulting in (2-1)(2-3) = -1. Therefore, the particular integral is -e^(2x). The general solution is the sum of the complementary function and the particular integral: y = C₁e^(x) + C₂e^(3x) - e^(2x).

Solving Example 2: 4d²y/dx² + 4dy/dx - 3y = e^(2x)

The presenter solves the differential equation 4d²y/dx² + 4dy/dx - 3y = e^(2x). The equation is in the form f(D)y = X, where f(D) = 4D² + 4D - 3 and X = e^(2x). The auxiliary equation is 4m² + 4m - 3 = 0, which factors to (2m+3)(2m-1) = 0, giving roots m = -3/2 and m = 1/2. Since the roots are real and distinct, the complementary function is C₁e^(-3x/2) + C₂e^(x/2).

Finding the Particular Integral for Example 2

The presenter calculates the particular integral for the equation. The particular integral is 1/f(D) * X, which is 1/(4D² + 4D - 3) * e^(2x). The presenter substitutes D = 2 into the factorised form (2D+3)(2D-1), resulting in (22+3)(22-1) = 7 * 3 = 21. Therefore, the particular integral is e^(2x)/21. The general solution is the sum of the complementary function and the particular integral: y = C₁e^(-3x/2) + C₂e^(x/2) + e^(2x)/21.

Example 3: d²y/dx² + dy/dx + y = e^(4x) and Complex Roots

The presenter solves the differential equation d²y/dx² + dy/dx + y = e^(4x). The equation is rewritten as (D² + D + 1)y = e^(4x), where f(D) = D² + D + 1 and X = e^(4x). The auxiliary equation is m² + m + 1 = 0. Since factorisation is not possible, the quadratic formula is used to find the roots: m = (-1 ± √(-3))/2 = -1/2 ± (√3/2)i. The roots are complex, in the form α ± iβ, where α = -1/2 and β = √3/2.

Finding the Particular Integral and General Solution for Example 3

The presenter finds the complementary function and particular integral for the equation. Since the roots are complex, the complementary function is e^(αx)(C₁cos(βx) + C₂sin(βx)) = e^(-x/2)(C₁cos((√3/2)x) + C₂sin((√3/2)x)). The particular integral is 1/f(D) * X = 1/(D² + D + 1) * e^(4x). Substituting D = 4, the particular integral becomes e^(4x)/(4² + 4 + 1) = e^(4x)/21. The general solution is the sum of the complementary function and the particular integral: y = e^(-x/2)(C₁cos((√3/2)x) + C₂sin((√3/2)x)) + e^(4x)/21.

Example 4: d²y/dx² + 5dy/dx + 6y = e^(-2x) and Handling Zero Denominators

The presenter solves the differential equation d²y/dx² + 5dy/dx + 6y = e^(-2x). The equation is rewritten as (D² + 5D + 6)y = e^(-2x), where f(D) = D² + 5D + 6 and X = e^(-2x). The auxiliary equation is m² + 5m + 6 = 0, which factors to (m+2)(m+3) = 0, giving roots m = -2 and m = -3. Since the roots are real and distinct, the complementary function is C₁e^(-2x) + C₂e^(-3x).

Finding the Particular Integral When a Root Makes the Denominator Zero

The presenter calculates the particular integral for the equation. The particular integral is 1/f(D) * X = 1/(D² + 5D + 6) * e^(-2x). The presenter factors the denominator as (D+2)(D+3). Substituting D = -2 makes the (D+2) term zero, so instead, the presenter substitutes D = -2 into the (D+3) term, resulting in (-2+3) = 1. The particular integral then becomes e^(-2x)/(D+2). Using the formula for when the denominator is zero, the particular integral is x * e^(-2x)/1! = x * e^(-2x). The general solution is the sum of the complementary function and the particular integral: y = C₁e^(-2x) + C₂e^(-3x) + x * e^(-2x).

Example 5: d²y/dx² - 5dy/dx + 6y = 3e^(3x) and Modifying the Question

The presenter solves the differential equation d²y/dx² - 5dy/dx + 6y = 3e^(3x). The presenter modifies the question to ensure a zero denominator case is demonstrated. The equation is rewritten as (D² - 5D + 6)y = 3e^(3x), where f(D) = D² - 5D + 6 and X = 3e^(3x). The auxiliary equation is m² - 5m + 6 = 0, which factors to (m-2)(m-3) = 0, giving roots m = 2 and m = 3. Since the roots are real and distinct, the complementary function is C₁e^(2x) + C₂e^(3x).

Finding the Particular Integral for the Modified Example 5

The presenter calculates the particular integral for the modified equation. The particular integral is 1/f(D) * X = 1/(D² - 5D + 6) * 3e^(3x). The presenter factors the denominator as (D-2)(D-3). Substituting D = 3 makes the (D-3) term zero, so instead, the presenter substitutes D = 3 into the (D-2) term, resulting in (3-2) = 1. The particular integral then becomes 3e^(3x)/(D-3). Using the formula for when the denominator is zero, the particular integral is x * 3e^(3x)/1! = 3x * e^(3x). The general solution is the sum of the complementary function and the particular integral: y = C₁e^(2x) + C₂e^(3x) + 3x * e^(3x).

Example 6: d²y/dx² + 4dy/dx + 4y = e^(-2x) and Real and Equal Roots

The presenter solves the differential equation d²y/dx² + 4dy/dx + 4y = e^(-2x). The equation is rewritten as (D² + 4D + 4)y = e^(-2x), where f(D) = D² + 4D + 4 and X = e^(-2x). The auxiliary equation is m² + 4m + 4 = 0, which factors to (m+2)(m+2) = 0, giving roots m = -2 and m = -2. Since the roots are real and equal, the complementary function is (C₁ + C₂x)e^(-2x).

Finding the Particular Integral for Example 6 with Repeated Roots

The presenter calculates the particular integral for the equation. The particular integral is 1/f(D) * X = 1/(D² + 4D + 4) * e^(-2x). The presenter factors the denominator as (D+2)². Substituting D = -2 makes the (D+2)² term zero. Using the formula for when the denominator is zero and the power is 2, the particular integral is x²/2! * e^(-2x) = (x²/2) * e^(-2x). The general solution is the sum of the complementary function and the particular integral: y = (C₁ + C₂x)e^(-2x) + (x²/2) * e^(-2x).

Example 7: d²y/dx² + 4dy/dx + 4y = 5 + e^(-2x) and Multiple Terms

The presenter solves the differential equation d²y/dx² + 4dy/dx + 4y = 5 + e^(-2x). The equation is rewritten as (D² + 4D + 4)y = 5 + e^(-2x), where f(D) = D² + 4D + 4 and X = 5 + e^(-2x). The auxiliary equation is m² + 4m + 4 = 0, which factors to (m+2)(m+2) = 0, giving roots m = -2 and m = -2. Since the roots are real and equal, the complementary function is (C₁ + C₂x)e^(-2x).

Finding the Particular Integral for Example 7 with Multiple Terms

The presenter calculates the particular integral for the equation. The particular integral is 1/f(D) * X = 1/(D² + 4D + 4) * (5 + e^(-2x)). The presenter splits the equation into two parts: 5/(D²+4D+4) + e^(-2x)/(D²+4D+4). For the first part, the presenter substitutes D = 0, resulting in 5/4. For the second part, the presenter uses the formula for when the denominator is zero, resulting in (x²/2) * e^(-2x). The general solution is the sum of the complementary function and the particular integral: y = (C₁ + C₂x)e^(-2x) + 5/4 + (x²/2) * e^(-2x).

Example 8: d²y/dx² + dy/dx - 6y = e^(3x) + e^(-3x) and Combining Terms

The presenter solves the differential equation d²y/dx² + dy/dx - 6y = e^(3x) + e^(-3x). The equation is rewritten as (D² + D - 6)y = e^(3x) + e^(-3x), where f(D) = D² + D - 6 and X = e^(3x) + e^(-3x). The auxiliary equation is m² + m - 6 = 0, which factors to (m+3)(m-2) = 0, giving roots m = -3 and m = 2. Since the roots are real and distinct, the complementary function is C₁e^(-3x) + C₂e^(2x).

Finding the Particular Integral for Example 8 with Combined Terms

The presenter calculates the particular integral for the equation. The particular integral is 1/f(D) * X = 1/(D² + D - 6) * (e^(3x) + e^(-3x)). The presenter splits the equation into two parts: e^(3x)/((D+3)(D-2)) + e^(-3x)/((D+3)(D-2)). For the first part, the presenter substitutes D = 3, resulting in e^(3x)/(61) = e^(3x)/6. For the second part, the presenter substitutes D = -3, resulting in xe^(-3x)/(-5). The general solution is the sum of the complementary function and the particular integral: y = C₁e^(-3x) + C₂e^(2x) + e^(3x)/6 - (x/5) * e^(-3x).

Example 9: d²y/dx² + 4dy/dx + 5y = cosh(x) and Hyperbolic Functions

The presenter solves the differential equation d²y/dx² + 4dy/dx + 5y = cosh(x). The equation is rewritten as (D² + 4D + 5)y = cosh(x), where f(D) = D² + 4D + 5 and X = cosh(x). The auxiliary equation is m² + 4m + 5 = 0. Since factorisation is not possible, the quadratic formula is used to find the roots: m = (-4 ± √(-4))/2 = -2 ± i. The roots are complex, in the form α ± iβ, where α = -2 and β = 1.

Finding the Particular Integral and General Solution for Example 9

The presenter finds the complementary function and particular integral for the equation. Since the roots are complex, the complementary function is e^(αx)(C₁cos(βx) + C₂sin(βx)) = e^(-2x)(C₁cos(x) + C₂sin(x)). The particular integral is 1/f(D) * X = 1/(D² + 4D + 5) * cosh(x). The presenter uses the formula cosh(x) = (e^(x) + e^(-x))/2 and splits the equation into two parts: e^(x)/(2(D²+4D+5)) + e^(-x)/(2(D²+4D+5)). Substituting D = 1 and D = -1, the particular integral becomes e^(x)/20 + e^(-x)/4. The general solution is the sum of the complementary function and the particular integral: y = e^(-2x)(C₁cos(x) + C₂sin(x)) + e^(x)/20 + e^(-x)/4.

Example 10: d²y/dx² - 6dy/dx + 9y = sinh(x) and Hyperbolic Sine

The presenter solves the differential equation d²y/dx² - 6dy/dx + 9y = sinh(x). The equation is rewritten as (D² - 6D + 9)y = sinh(x), where f(D) = D² - 6D + 9 and X = sinh(x). The auxiliary equation is m² - 6m + 9 = 0, which factors to (m-3)(m-3) = 0, giving roots m = 3 and m = 3. Since the roots are real and equal, the complementary function is (C₁ + C₂x)e^(3x).

Finding the Particular Integral for Example 10 with Hyperbolic Sine

The presenter calculates the particular integral for the equation. The particular integral is 1/f(D) * X = 1/(D² - 6D + 9) * sinh(x). The presenter uses the formula sinh(x) = (e^(x) - e^(-x))/2 and splits the equation into two parts: e^(x)/(2(D²-6D+9)) - e^(-x)/(2(D²-6D+9)). Substituting D = 1 and D = -1, the particular integral becomes e^(x)/8 - e^(-x)/32. The general solution is the sum of the complementary function and the particular integral: y = (C₁ + C₂x)e^(3x) + e^(x)/8 - e^(-x)/32.

Examples 11 and 12: Finding Particular Integrals Directly

The presenter demonstrates finding particular integrals directly for two examples. For d²y/dx² - 9y = e^(3x), the particular integral is 1/(D²-9) * e^(3x). Factoring the denominator as (D-3)(D+3) and substituting D = 3, the particular integral becomes (x/6) * e^(3x). For d²y/dx² - 36y = e^(6x), the particular integral is 1/(D²-36) * e^(6x). Factoring the denominator as (D-6)(D+6) and substituting D = 6, the particular integral becomes (x/12) * e^(6x).

Practice Questions and Concluding Remarks

The presenter provides several practice questions for viewers to solve, covering various cases discussed in the video. The presenter encourages viewers to practice these questions and refers them to the app for more materials. The presenter concludes by mentioning that the next parts of the series will cover the remaining methods to complete the unit.

Summarize any YouTube video in seconds

Get summaries like this one for any video, in your language, with the free Summ app.

Download on the App Store
Get it on Google Play

Transcript

YouTube Transcript Generator

0:02 హాయ్ ఎవరీవన్ వెల్కమ్ టు అవర్ ఛానల్ టుడేస్ వీడియో ఈస్ టిజి పాలిటెక్నిక్ మాథ్స్ m4 వాళ్ళదిసి 24 పాటర్న్ లో యూనిట్త్ర యూనిట్త్ర అంటే హైయర్ ఆర్డర్ నాన్ హోమోజనియస్ డిఫరెన్షియల్ ఈక్వేషన్ విత్ కాన్స్టంట్ కోఎఫిషయంట్స్ ఇది ఆల్రెడీ టోటల్ గా ఆల్రెడీ సెకండ్ యూనిట్ చేసుకున్నాం హైయర్ ఆర్డర్ డిఫరెన్షియల్ విత్ కాన్స్టంట్ ఓకేనా ఇది నాన్ హోమోజినియస్ ఫస్ట్ సెకండ్ యూనిట్ లో చదువుకుంది ఏందంటే హోమోజినియస్ డిఫరెన్షియల్ ఈక్వేషన్స్ ఇక్కడ హోమోజినియస్ నేర్చుకున్నాం ఇక్కడ నేర్చుకునేది ఏంటి హైయర్ ఆర్డర్ నాన్ హోమోజినియస్ డిఫరెన్షియల్ ఈక్వేషన్స్ అక్కడ హోమోజినియస్ ఇక్కడ నాన్ హోమోజిని ఇక్కడికి ఇక్కడికి ఏందంటే అక్కడ చేసిన ఎవ్రీ క్వశ్చన్ కి సొల్యూషన్ ఇక్కడ మళ్ళీ అప్లై చేస్తాం. కొత్తగా అంటే ఆల్రెడీ మీకు సెకండ్ యూనిట్ పర్ఫెక్ట్ గా వచ్చిఉంటే ఇక్కడ అసలు టెన్షన్ే అవసరం లేదు అక్కడ చేసిన ఎవ్రీ క్వశ్చన్ సొల్యూషన్ ఇక్కడ మనం

0:47 మళ్ళీ అప్లై చేస్తాం. ఎలాంటి చేంజెస్ ఉండవు ఓకేనా రైట్ మన చానల్ ఫస్ట్ టైం చూసేవాళ్ళే సబ్స్క్రైబ్ చేయండి లైక్ చేయండి కామెంట్ చేయండి Instagram లో ఫాలో అవ్వండి Instagram ఐడి నవీన్ రెడ్డి అండ్ రెడ్డిటెలిగ్రామ గ్రూప్ నేమ్ నవీన్ రెడ్డి మాథ్స్ మనకు ఛానల్ కాండమని యాప్ కూడా ఉంది యప్ నేమ్ తెలుసుగా నవీన్ రెడ్డి మాథ్స్ ప్లే స్టోర్ లో నుంచి డౌన్లోడ్ చేసుకో రైట్ ఇక్కడ హైయర్ ఆర్డర్ నాన్ హోమోజనియస్ ఈక్వేషన్ అంటే ఫర్ ఎగ్జాంపుల్ వ రైట్ సం హైయర్ ఆర్డర్ లైక్ a d పవర్ ny/ dx పవర్ n + a1 d పవర్ n -y/ dx పవర్ n -1 + a2 d పవర్ n -2y/ dx పవర్ n -2 + అప్ టు సో ఆన్ any = సమ x

1:34 an = సమ x ఇక్కడ x ఉంది కదా ఇక్కడ సమ వాల్యూ ఉంటే ఇక్కడ జీరో ఉంటే దాన్ని హోమోజినియస్ ఈక్వేషన్ అంటాం అంటే x ప్లేస్ లో జీరో వాల్యూ ఉంటే దాన్ని ఏమని కన్సిడర్ చేసుకోవచ్చు హోమోజినిస్ డిఫరెన్షియల్ ఈక్వేషన్ అదర్వైస్ x ప్లేస్ లో మనకి ఇక్కడ మనకున్న థర్డ్ యూనిట్లు ఏమంటే e పవర్ ax sinబx ఆర్ cosబx నెక్స్ట్ వన్ వచ్చేసి xస్క్ xక్యూబ్ సమ 3 4 నెంబర్ ఇలాంటివి ఉంటే వాటిని నాన్ హోమోజనియస్ డిఫరెన్షియల్ ఈక్వేషన్స్ అంట అంటే x ప్లేస్ లో జీో ఉంటే దట్ ఇస్ ద హోమోజనియస్ డిఫరెన్షియల్ x ప్లేస్ లో సం వాల్యూస్ ఎగజస్ట్ అయితే దట్ ఇస్ ద నాన్ హోమోజనియస్ డిఫరెన్షియల్ దీన్ని మనకు ఆల్రెడీ తెలుసు d/ dx వాల్యూ నథింగ్ బట్ ఏమదండి క్పిటల్ అవునా అంటే దీన్ని టోటల్

2:19 గా ఎలా డిఫైన్ చేయొచ్చు a d పవర్ n + a1 d పవర్ n -1+ అప్ టు సో ఆన్ any = x ఓకేనా సో టోటల్లీ విచ్ ఇస్ డిఫైineడ్ f dy = x దిస్ ఇస్ ద నాన్ హోమోజనియస్ డిఫరెన్షియల్ ఈక్వేషన్ నాన్ హోమోజినియస్ డిఫరెన్షియల్ ఈక్వేషన్ అంటే f dy = సమ x సమ వాల్యూ f dy = సం వాల్యూ ఎగజిస్ట్ అయితే దట్ ఇస్ కాల్డ్ యస్ ఏ నాన్ హోమోజనియస్ డిఫరెన్షియల్ ఈక్వేషన్ అదర్వైస్ ఏం తీసుకుంటాం అంటే f dy = 0 ఉందనుకోండి ఇట్ ఈస్ ఏ హోమోజీనియస్ డిఫరెన్షియల్ ఈక్వేషన్

3:06 హోమోజీనియస్ డిఫరెన్షియల్ ఈక్వేషన్ ఇది ఎక్కడ నేర్చుకున్నాం దీన్ని ఆల్రెడీ మనం సెకండ్ యూనిట్ లో నేర్చుకున్నాం టోటల్గా హైయర్ ఆర్డర్ నాన్ హోమోజినియస్ డిఫరెన్షియల్ ఈక్వేషన్ లో సెకండ్ ఇయర్ లో టోటల్ ఈ కాన్సెప్ట్ ఇప్పుడు వచ్చేసింది f dy = 0 ఇస్ హోమోజనియస్ డిఫరెన్షియల్ ఈక్వేషన్ fdy = x ఇట్ ఈస్ ఏ నాన్ హోమోజినియస్ డిఫరెన్షియల్ ఈక్వేషన్ ఓకేనా హోమోజినియస్ ఇది నాన్ హోమోజ ఈ రెండు కూడా ఆల్రెడీ నేర్చుకున్నాం సో నెక్స్ట్ ఏంటి సార్ అంటే ఇప్పుడు ఇందులో చేసిన ఎవ్రీ మెథడ్ ఇందులో వచ్చేస్తది దాని గురించి డిస్కషన్ చేద్దాం రైట్ రబ్ చేస్తున్నా ఓకేనా

3:54 మనం ఏమనుకున్నామఅండి fdy =పల్ x ఉంటే నాన్ హోమోజినియస్ ఈక్వేషన్ మనకు త్రీ మెథడ్స్ ఉన్నాయి ఇందులో నాన్ హోమోజినియస్ ఈక్వేషన్ ఒకటి ఏంటదండి e పవర్ ax sinఆర్ cos ఉంటే ఒకటి x ఉంటే ఒకటి x అంటే పాలినోమియల్ ఈక్వేషన్స్ ఇందులో fdy =x కన్సిడర్ చేస్తే మనం ఓకేనా f dy =x అంటే ఇప్పుడు మనకు ఉన్న ఈక్వేషన్ లో f dy =x కు రెండు సొల్యూషన్స్ ఉంటాయి. దీనికి మనకు ఇక్కడ దీనికి సొల్యూషన్ ఫైండ్ అవుట్ చేయాలంటే ఏమేమ ఉంటాయండి ఒకటి కాంప్లిమెంటరీ ఫంక్షన్ కాంప్లిమెంటరీ ఫంక్షన్ ప్లస్ పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ ఉంటుంది కాంప్లిమెంటరీ ఫంక్షన్ ఉంటుంది అంటే మనకు

4:40 సొల్యూషన్ రావాలంటే కాంప్లిమెంటరీ ఫంక్షన్ ప్లస్ పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ రెండు ఫైండ్ అవుట్ చేయాలి. కొత్తగా ఉన్నాయి కదా సార్ అంటే కాంప్లిమెంటరీ అంటే ఆల్రెడీ సెకండ్ యూనిట్ చేసామా దాన్నే ఇక్కడ చేస్తాం. పర్టికులర్ అనేది కొత్తగా వస్తది. ఇప్పుడు మనక వచ్చే ఆన్సర్ లో కాంప్లిమెంట్ తెలుసు కదా సెకండ్ యూనిట్ లో ద రూట్స్ ఆర్ రియల్ అండ్ ఈక్వల్ ద రూట్స్ ఆర్ రియల్ అండ్ ఈక్వల్ రియల్ అండ్ డిస్టింట్ కాంప్లెక్స్ వాటిని ఇక్కడ కాంప్లిమెంటరీ ఫంక్షన్ గా మనం రాస్తాం. పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ అంటే సో పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ ఈక్వల్ 1/ fd ఇప్లిక్స్ మాక్సిమం మనకు క్వాడ్రటిక్ ఈక్వేషన్స్ ఏముంటాయంటే లైక్ ఇలా a dస్క్ప్బడి cy = సంథింగ్ e పవర్ ax ఉందనుకోండి సో

5:26 దీన్ని ఏం రాయొచ్చు క్వాడ్రటిక్ ఈక్వేషన్ కదా సో మన క్వాడ్రటిక్ ఈక్వేషన్ కాబట్టి ఫాక్టరైజేషన్ చేస్తే ఏంటంటే టూ రూట్స్ వస్తాయి దాన్ని ఇలా రాస్తాం దీన్నే క్పిటల్ x మనకున్న ఫస్ట్ కేస్ ఓకేనా ఇలా పర్టిక్యులర్ ఏంటి పర్టిక్యులర్ ఏంటంటే 1/ fd *ప x అని రాస్తాం. ఇందులోనే నెక్స్ట్ వచ్చేసి ఇందులోనే మనం నెక్స్ట్ పార్ట్ లాగా చూస్తే నెక్స్ట్ పార్ట్ ఏంటంటే ఫస్ట్ మెథడ్ వచ్చేసి కేస్ వన్ లో fdy = e పవర్ ax ఉంటదండి fdy = e పవర్ఎ ఇది ఫస్ట్ మెథడ్ మనం చేస్తున్న ప్రాబ్లమ్స్ ఉన్నాయి కదా మనం చేస్తున్న ప్రాబ్లమ్స్ లో ఇది ఫస్ట్ మెథడ్ fdy = e పవర్ ax అనేది ఫస్ట్ మెథడ్ ఈ ఫస్ట్ మెథడ్ అంటే క్వాడ్రటిక్ ఈక్వేషన్ వస్తాయి దీనికి పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ ఈస్

6:12 ఆల్వేస్ ఏం చేయాలండి 1/ fd *పx మరి ఈ పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ ఫార్ములా అంటే ఇంకోలాగా ఉంటుంది ఇలా వచ్చినప్పుడు పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ ఈ ఫార్ములా ఈస్ e పవర్ ax * ఇటిగ్రేషన్ ఆఫ్ e పవర్ -ax *పఎ dx యాక్చువల్ గా పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ అన్నీ క్వశ్చన్ లోని ఈ ఫార్ములాతో చేయాలి. బట్ మనం మాత్రం ఏం చేస్తాం అంటే ఇఫ్ ఇక్కడ ఈ మెథడ్ వస్తే ఇది చేయాలి ఇది కాకుండా మనం ఏం చేస్తాం ఇప్పుడు d =క్ సంథింగ్ఏ అని సబ్మిట్ చేస్తాం d = అంటే మీకు ప్రాబ్లం చూస్తే ఇంకా క్లారిటీ వస్తది స్టార్టింగ్ ఎక్స్ప్లనేషన్ అప్పుడు కొద్దిగా డౌట్స్ ఉంటాయి కానీ మనం ప్రాబ్లం చేసేటప్పుడు ఫుల్ క్లియర్ అయిపోతాయి d = ఫస్ట్ ఇందులో ఇందులో నేను d =ఏ సబ్ చేస్తాను అప్పుడు పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ = 1/ fఏ అయిద్ది

6:58 కదండ x ప్లేస్ లో ఏముంటది మనకు e పవర్ ax పర్టిక్యులర్ ఇంటిగ్రల్ అంటే 1/ fd * e పవర్ ax ఎప్పుడైతే d ప్లేస్ లో నేను e పవర్ ax సబ్మిట్ చేస్తానో fఏ అయింది గా fఏ నాట్ ఈక్వల్ట జో వచ్చింది అనుకోండి d ప్లేస్ లోఏ సబ్మిట్ చేస్తే నాట్ ఈక్వల్ టు జో వస్తుంది అదే ఆన్సర్ అందులో ఎలాంటి చేంజెస్ చేయం అక్కడికే స్టాప్ చేయొచ్చు కూడా మనం అదే ఆన్సర్ అయితది మనం అక్కడికే సొల్యూషన్ ని కూడా స్టాప్ చేస్తాం. ఎప్పుడైతే ఇది కేస్ వన్ ఇఫ్ fఏ = 0 వచ్చింది అనుకోండి కండిషన్ మారుతది ఫర్ పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ ఈవ/ d -ఏ ఉందనుకోండి e పవర్ x ఇప్పుడుఏ ప్లేస్ లో d ప్లేస్ లోఏ సబ్మిట్ చేస్తే జీరో అయింది అప్పుడు

7:43 సొల్యూషన్ ఈస్ ఇక్కడ ఎన్ని టర్మ్ దీని పవర్ ఎంతవ సో x/1 * e పవర్ x ఆల్సో అదే డిగ్రీ 2 ఉందనుకోండి ఫర్ ఎగ్జాంపుల్ పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ 1/ d -aహోల్స్ ఉందనుకోండి. ఇక్కడ డిగ్రీ ఎంత 2 సో ఆన్సర్ ఏమైద్దండి xస్2/ 2 ఫాక్టరి ఇ పవర్ x ఇన్ కేస్ ఇఫ్ ఇట్ ఇస్ డిగ్రీ 3 1/డి -aహోల్క్యూబ e పవర్ఎ ఎప్పుడైతే నేను ఇక్కడ ఈ d ప్లేస్ లోఏ సబ్మిట్ చేస్తానుఏ మ ఎంత జీరో అయిపోద్ది జీరో వస్తే అప్పుడు ఏం రాయచ్చుండిఎక్యూబ / 3 ఫాక్టరియల్ ఇప పవర్ఎవర్ ఉంటే అట్లా అంటే దీనికి ఇప్పుడు మనకు జనరల్గా ఒక ఫార్ములా వచ్చేసింది ఏంటి ఇప్పుడు పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ ఈక్వల్ 1/ d

8:29 -ఏహోల్పవర్ n e పవర్ ax ఉంటే ద పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ సొల్యూషన్ ఈస్ x పవర్ n/ n ఫాక్టరి * e పవర్ x x పవర్ n/ n ఫాక్టరియ * e పవర్ ax అనేది సొల్యూషన్ అయిద్ది ఓకేనా ఇది జనరల్ ఫార్ములా అన్నిటి కూడా ఫస్ట్ మనం ఏం చేయాలి e పవర్ఎ ఉన్న అన్ని క్వశ్చన్లకు d ప్లేస్ లో ఈ సబ్మిట్ చేస్తాం ఈ సబ్మిట్ చేస్తే నాట్ ఈక్వల్ జో అయిందంటే అక్కడ ఏ ఆన్సర్ వస్తే అదే ఆన్సర్ అండి బట్ అదే ఆన్సర్ జీరో అయితే దాని పవర్ పవర్ 1 ఉంటే x/1 * e పవర్ x ఇఫ్ ఇట్ ఇస్ పవర్ ఈస్ 2 సోవ రైట్ x^/2 * e పవర్ x ఇఫ్ పవర్ ఈస్ 3 x పవర్ n/ఎఫ * e పవర్ x ఓకేనా

9:14 క్వశ్చన్ తో క్లారిటీ వస్తది. మీకు ఇక్కడ చెప్పాల్సిన ఇంకొక ఫార్ములా ఏంటంటే హైపర్బోలిక్ ఫంక్షన్సహఎ ఫార్ములా ఈక్వల్ e పవర్ ax - e పవర్ -ax/2 cos hx = e పవర్ ax + e పవర్ -ax / sin ahx ఫార్ములా ఈస్ e పవర్ ax - e పవర్ -ax/2 cos hx = e పవర్ ax + e పవర్ -ax/2 ఇవి మనకు ఫార్ములాస్ ఓకేనా రైట్ రబ్ చేస్తున్నా మనం ప్రాబ్లమ్స్ లోకి వెళ్దాం అంటే ఎవ్రీ క్వశ్చన్ కి ఏం చేయాలి మనం పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ కనుక్కోవాలి కాంప్లిమెంటరీ కొన్ని టైమ్స్ ఇదే క్వశ్చన్ ఇచ్చి రైట్ ద పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ రైట్ ద

10:00 కాంప్లిమెంటరీ ఫంక్షన్ అడుగుతాడు అంటే మనకు నాన్ హోమోజీనియస్ ఈక్వేషన్ ఇచ్చి సెకండ్ యూనిట్ లాగా చేయమనొచ్చు హోమోజనియస్ ఈక్వేషన్ ఇచ్చి కూడా చేయమనొచ్చు ఓకేనా రైట్ క్వశచన్ చూడండి ఫస్ట్ వన్ సాల్వ్ జస్ట్ సాల్వ్ అంటే మొత్తం చేయాలండి dస్క్ - 4d+3y = e పవర్ 2x ఓకేనా e పవర్ 2x e పవర్ రైట్ ఇక్కడ కొద్దిగా లెంత్ వస్తాయి గివెన్

10:47 సాల్వ్ అన్నాడంటే ఏది మనకు సొల్యూషన్ కంటే ఏమేం కనుక్కోవాలండి ఒకటి కాంప్లిమెంటరీ ఫంక్షన్ ఇంకొకటి ఏం చేయాలి పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ ఈ రెండు కనుక్కోవాలి మనం ఈ రెండు కనుక్కోవాలంటే చూడండి గివెన్ గివెన్ డిఫరెన్షియల్ ఈక్వేషన్ ఈస్ వాట్ dస్క్ - 4d+3ఆవy = e పవర్ 2ఎ సో నెక్స్ట్ ఆక్సిలరీ విచ్ ఇన్ ద ఫామ్ ఆఫ్ విచ్ ఇస్ ఇన్ ది ఫామ్ ఆఫ్ విచ్ ఇస్ ఇన్ ది ఫామ్ ఆఫ్ ఏ ఫామ్ లో ఉందండి f dy =పల్ x ప్లేస్ లో ఉంది అవునా x ప్లేస్ లో ఉంది ఓకేనా రైట్ f d అంటే ఇది x అంటే ఏంటి e

11:33 పవర్ x అంటే f d = వాట్ dస్క్ - 4d+3 ఓకేనా x =వాట్ e పవర్ 2x నెక్స్ట్ ఆక్సిలరీ ఈక్వేషన్ ఈస్ ఆక్సిలరీ ఈక్వేషన్ ఏమైద్దండి ఆల్రెడీ ఆక్సిలరీ ఈక్వేషన్ కాన్సెప్ట్ సెకండ్ యూనిట్ లో చేసాం మీరు మిడ్ ఎగ్జామ్ లో ప్రాపర్ గా చేశారు ఇక్కడ కూడా చేయొచ్చు ఆక్సిజలరీ ఈక్వేషన్ అంటే వి టేక్ mస్2 - 4m+3 =0 ఓన్లీ మీకు కాంప్లిమెంటరీ అంటే ఈ ఆక్సిలరీ ఈక్వేషన్ సొల్యూషన్ రాస్తే సరిపోద్దండి ఎగ్జామ్ లో పర్టికులర్ అంటే ఓన్లీ పర్టికులర్ చేయాలి సాల్వ్ అంటే ఏం చేయాలి రెండు కలిపి చేయాలి. కాంప్లిమెంటరీ అడిగితే కాంప్లిమెంటరీ చేయాలి. పర్టికులర్ అడిగితే పర్టికులర్ చేయాలి రెండు కలిపి అడిగితే ఏం చేయాలి సొల్యూషన్ మొత్తం చేసేయాలండి సాల్వ్ అంటే రైట్ ఇక్కడికి వచ్చేస్తే ఫాక్టరేషన్ 1ఇ 3సి

12:22 మిడిల్ వాల్యూ -4 రూట్స్ ఏమైతాయండి -1 అండ్ -3 ఆర్ రూట్స్ సో mస్క్ -ఎ -3m+3 =0 ఇన్ ఫస్ట్ టర్మ్స్ వ కామన్ ద m1 నెక్స్ట్ టర్మ్ట టర్మ్స్ m 3 m1 =0 m -1 ఆఫ్ m -3 = 0 సో m = ఏమైద్దండి ఒకటి 1 అయిద్ది ఇంకొక m ఏమైది 3 అయిది ఎలా mవ =0 అనుకుంటాం m -3 =0 అంటే ఇక్కడఎ వాల్యూ ఏంటండివఎ వాల్యూ ఎంత అవే ఇక్కడ రాసాం విచ్ ఈస్ m1 m2 అంటే ఇప్పుడు మనకు వచ్చిన రూట్స్ ఏంటండి ద రోడ్స్ ఆర్

13:08 ద రోడ్స్ ఆర్ ద రూట్స్ ఆర్ రియల్ అండ్ డిస్టింట్ మనక వచ్చిన రూట్స్ ఏంటి రియల్ ఎట్ ఏ టైం డిస్టింట్ కూడా సో మనకు రూట్స్ రియల్ డిస్టింట్ వస్తే అప్పుడు ద కాంప్లిమెంటరీ ఫంక్షన్ ఈస్ ద కాంప్లిమెంటరీ ఫంక్షన్ ఈస్ అంటే మనం సెకండ్ యూనిట్ లంచా జనరల్ సొల్యూషన్ ఉం అప్పుడు కాంప్లిమెంటరీ ఫంక్షన్ ఏమైద్దండి cf ఈక్వల్ రియల్ రియల్ అండ్ డిస్టింట్ టూ రూట్స్ వస్తాయి కండిషన్ ఈస్ c1 * eపవర్ m1x + c2 * eపవర్ m2x c1 * e పవర్ m1 వల్యూ 1x + c2 * e పవర్ 3x

13:56 ఓకేనా ఇది కాంప్లిమెంటరీ ఫంక్షన్ c1 e పవర్ x + c2 e పవర్ 3x ఓకేనా వాల్యూస్ వచ్చేసాయి కదా ఎప్పుడైతే ఈ వాల్యూస్ వచ్చాయి ఇది ఈక్వేషన్ వన్ అన్నది ఇది మనం సెకండ్ యూనిట్ లో చేసింది ఆల్రెడీ చేసినవే అంటే ఫర్ ఎగ్జాంపుల్ ఇదే క్వశ్చన్ ఫైవ్ మార్క్స్ కి ఇచ్చి సాల్వ్ అన్నాడు అనుకోండి మనం ఓన్లీ కాంప్లిమెంటరీ సార్ చేసినప్పుడు త్రీ ఆర్ టూ మార్క్స్ ఇస్తారు అంటే మీకు సెకండ్ యూనిట్ నేర్చుకుంటే ఇది వస్తది అన్నట్లు రైట్ నెక్స్ట్ ఇప్పుడు పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ ఈక్వల్ 1/ fd *పx రాయాలండి. 1/ఎఫ్ d అంటే ఏంటండి ఇది dస్క్ - 4d+3ఆఫ యప్ x అంటే e పవర్ 2x వచ్చిందా రైట్ అయితే మీరు ఏ క్వశ్చన్

14:42 చేసినా కూడా మీరు అనొచ్చు ఇక్కడ యాక్చువల్ గా f ఇక్కడ ఈ ఫార్ములా మెథడ్ లో ఉంటే పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ ఈక్వల్ 1/ fd * e పవర్ ax ఫార్మాట్ లో ఉంటే పుట్టి d = a కదా ఎందుకు సార్ d = a నే సబ్మిట్ చేయమంటున్నారు అంటే వల్యూస్ సబ్మిట్ చేస్తే నీకు డైరెక్ట్ ఆన్సర్ వస్తది. కానీ ఇక్కడ ఫాక్టరైజేషన్ చేస్తే ఏమవచ్చినాయి మనకు ప్రతి క్వశ్చన్ కి చేస్తాం కొన్ని క్వశ్చన్లు కాంప్లిమెంట్ కొన్ని పడ dm -1 m -3 నా అంటే విచ్ ఇస్ రిటన్ యస్ d -1 d -3 * p పవర్ 2x ఓకేనా సో ఇప్పుడు d =క్ఏ నథింగ్ బట్ ఇక్కడ వాల్యూ ఎంతండి 2 అంటేఎ కోిషంట్ఏ పవర్టఎ ఉంది కదా అందులోఎ కోిషంట్ ఏట దాన్నే ఇక్కడ రాస్తాను ఇప్పుడు సబ్మిట్

15:29 చేయండి ఇన్ ప్లేస్ ఆఫ్ 2 -1 2 -3 మీరు అనొచ్చు సర్ fడి నాట్ ఈ 0 అవుతుంది అని తెలుస్తుంది ఇక్కడ ఎట్లా తెలుస్తది అంటే ఎప్పుడైతే d -1 d -3 వచ్చిందో 2 సబ్మిట్ చేస్తే ఎట్లా జీరో కాదు ఎప్పుడు తెలుస్తది d -2 d -3 వచ్చిందనుకోట సబ్మిట్ చేస్తే జీరో వస్తది అప్పుడు వేరేలాగా చేయడానికి ఆప్షన్ ఉంటది అంటే ఇన్ ప్లేస్ ఆఫ్ సబ్మిట్ చేసాం ఆన్సర్ ఏమైదండి ఇదివ ఇది మస్వ e పవర్ 2ఎ ఫైనల్ ఆన్సర్ ఈస్ మస్ఈ పవర్టఎ ద జనరల్ సొల్యూషన్ ఈస్ ద జనరల్ సొల్యూషన్ ఈస్ y = ఏమైద్దండి కాంప్లిమెంటరీ ఫంక్షన్ ప్లస్ పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ y = ఓకే y = కాంప్లిమెంటరీ ఫంక్షన్ ఏమైద్దండి కాంప్లిమెంటరీ ఫంక్షన్ ఈస్ y ది ఇక్కడ

16:17 రాసాను దిస్ ఇస్ ద కాంప్లిమెంటరీ ఫంక్షన్ అంటే ఇస్ రిటన్ c1 e పవర్ x+ c2 eపవర్ 3x c1 e పవర్ x+ c2 eపవర్ 3x ప్లస్ పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ వాల్యూ - e పవర్ 2x దిస్ ఇస్ ద ఫైనల్ సొల్యూషన్ ఓన్లీ కొన్ని టైమ్స్ మనకి ఎగ్జామ్ లో పర్టిక్యులర్ ఇంటిగ్రల్ అంటే ఈ పార్ట్ చేయాలండి కాంప్లిమెంటరీ అంటే ఇక్కడ వరకు చేయాలి సాల్వ్ అంటే మొత్తం చేయాలి ఓకేనా రైట్ రైట్ నెక్స్ట్ క్వశ్చన్ కి వెళ్దాం క్లారిటీ వచ్చింది అనుకుంటా నెక్స్ట్ క్వశ్చన్ లో ఇంకొద్దే క్లారిటీ వచ్చేస్తది మీకు రైట్ కొద్దిగా లెంత్ ఫైవ్ మార్క్స్ ఇంత లెన్తీగా వస్తున్నాయి అంటే అన్ని క్వశ్చన్లు సేమ్ మెథడ్ అండి చేయడానికి డిఫరెంట్ ఏమీ ఉండవు. ఆల్ ఆర్ ది సేమ్

17:02 కొన్ని చేయడానికి ప్రాక్టీస్ క్వశ్చన్స్ కూడా ఇస్తారు. వెట్ నెక్స్ట్ వన్ ఈస్ సాల్వ్ 4డి స్క్వర్ప్డి -3వ = ఈ పవర్ 2x ఓకేనా e పవర్ 2x ఈ క్వశ్చన్ చేద్దాం ఈ క్వశ్చన్ లో చేసేటప్పుడు ఫస్ట్ ఏంటిది గివెన్ గివెన్ డిఫరెన్షియల్ ఈక్వేషన్ ఈస్ ఓకేనా డిఫరెన్షియల్ ఈక్వేషన్ వా 4dస్క్ + 4d -

17:50 3y = e పవర్ 2x డిఫరెన్షియల్ ఈక్వేషన్ ఈస్ వాట్ 4dస్క్ + 4d - 3y = e పవర్ 2x సో విచ్ ఇస్ ఇన్ ద ఫామ్ ఆఫ్ విచ్ ఇస్ ఇన్ ది ఫామ్ ఆఫ్ f dy =x fd = వాట్ fd = h ఓకేనా ఇక్కడికి వస్తే f dy =x అంటే f d= వా బ్రాకెట్ 4d^2 + 4d -3 x = వాట్ e పవర్ 2x సో నెక్స్ట్ ఆక్సిలరీ ఈక్వేషన్ ఈస్ ఆక్సిలరీ ఈక్వేషన్ 4mస్2 +

18:40 4m -3 = 0 ఇది ఆల్రెడీ మీకు వచ్చి ఉండాలి ఎందుకంటే సెకండ్ యూనిట్ మొత్తం ఇదే కదా మనం చేసింది. సో 4 త= -2 మిడిల్ వాల్యూ ఈస్ వాట్ 4 ఉంటాయి. -2 4 తీసుకుం దీన్ని ఇప్పుడు మనం ఫాక్టరైజేషన్ చేయాలి ఫాక్టరేషన్ పాసిబుల్ అవుతుందా లేదా అనేది ఇంపార్టెంట్ మీకు త్రీ టైప్స్ ఆఫ్ క్వశ్చన్ చేస్తా ఒకటి ఇంతకుముందుకండి రియల్ అండ్ డిస్టింట్ రూట్స్ వచ్చింది ఇప్పుడు చేసే క్వశ్చన్ ఏంటి ఫాక్టరేషన్ పాసిబుల్ కాలేదు అనుకోండి నెక్స్ట్ మెథడ్ ఏం చేసుకున్నాం వేరే చూ చేసుకోవచ్చు 12 వచ్చే ఛాన్సెస్ ఏమున్నాయండి 1* 12 నెక్స్ట్ 2* 6 3* 4 నాకు తెలిసి ఇంకా వేరే ఆప్షన్స్ అయితే లేవు వేరే ఎందులో లో కూడా మనకు ఆన్సర్స్ రావు అవి సో ఇక్కడ వరకు వస్తే ఇక్కడ ఏం

19:26 తీసుకోవచ్చు 6 2 తీసుకోవచ్చు బట్ నాకు పాజిటివ్ రావాలి దట్స్ ఇట్ అంటే ఇక్కడ ఏం రాయొచ్చు 4mస్క్ -2m + 6m -3 =0 ఇన్ ఫస్ట్ టూ టర్మ్స్ వ కామన్ ద 2m దన్వ గెట్ 2m -1 ఇన్ సెకండ్ ట టర్మ్స్ కామన్ద 3 2m -1 =0 2m+3 ఆఫ్ 2m -1 = 0 ఇక్కడ m వాల్యూ ఏమైద చూడండి 2m+3 = 0 కదా అంటే ఇలా రాస్తాం 2m+3 =0 2m =-3 m =-3/2 అంటే వాల్యూ ఈస్ m =వా -3/2 m1 నెక్స్ట్ ఇది కూడా డైరెక్ట్ ఎందుకు రాస్తున్నా అంటే

20:13 ఎవరీ టైం రఫ్ చేయకుండా కొద్దిగా వీడియో లెంత్ తగ్గుతుంది మీకు కూడా క్లారిటీ వస్తుంది 2m -1 =0 ఓకేనా 2m = 1 m = 1/2 హియర్ ఇంకొక రూట్ ఏంటిదండి m2 = 1/2 వచ్చిన రెండు రూట్స్ కూడా ఏంటిది రియల్ే మనకఏంటిది నాచురల్ నెంబర్స్ హోల్ నెంబర్స్ నెక్స్ట్ ఇంటిజర్స్ప / q ఫామ్ లో ఉన్నవన్నిటిని కూడా రియల్ రూట్స్ లాగానే మనం కన్సిడర్ చేస్తాం. వచ్చిన రూట్స్ ఆల్రెడీ రియల్ కాబట్టి ద రూట్స్ ఆర్ ద రూట్స్ ఆర్ రియల్ అండ్ ఎట్ టైం ఏంటిదండి డిస్టింట్ ద రూట్స్ ఆర్ క్లియర్ దిస్ ద కాంప్లిమెంటరీ ఫంక్షన్ ఈస్ ద కాంప్లిమెంటరీ ఫంక్షన్ ఈస్

21:02 ద కాంప్లిమెంటరీ ఫంక్షన్ ఈస్ ఇప్పుడు y = అంటే మీన్ cf తీసుకుంటాం కాంప్లిమెంటరీ ఫంక్షన్ ఏమని రిప్రసెంట్ చేస్తున్నాం మనం cf కదండ cf = రియల్ అండ్ డిస్టింట్ అంటే c1 e పవర్ m1x+ c2ఈ పవర్ m2x దాన్నే ఇక్కడ రాస్తున్నాం సో కాంప్లిమెంటరీ ఫంక్షన్ ఈ c1 e పవర్ m1 వాల్యూ -3/2 -3/2 *x + c2 eపవర్ 1/2x ఇది ఈక్వేషన్వ ఇక్కడ వరకు చేస్తే మనకి సెకండ్ యూనిట్ ఇందులో హాఫ్ ప్రాబ్లం అయిపోయిందని మీనింగ్ సాల్వ్ అన్నాడు క్వశ్చన్ లో మనకి మనకు ఎగ్జామ్ లో ఓన్లీ కాంప్లిమెంటరీ ఓన్లీ పర్టికులర్ కూడా అడగొచ్చు మనకు ఉన్నాయి మూడు రెండు మెథడ్స్ కాబట్టి ఇక్కడికి క్లోజ్ అండి

21:48 h ఇక్కడ ఇటు సైడ్ నుంచి తీసుకుంటే మనకు ఇక్కడే వచ్చే దాంట్లో పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ సో పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ = 1/f *x ఇది మెథడ్ 1/ fd అంటే ఏంది ఇది రాయాలి. 4dస్క్ప్ 4d -3 దీన్ని సింప్లిఫై చేస్తేనే కదా ఇది వచ్చింది నేను డైరెక్ట్ ఇదే రాసుకుంటున్నా బెనిఫిట్ ఏంటో చెప్తది 2d+3 2d -1 x వాల్యూ ఈ వాట్ క్పిటల్ x ఈస్ e పవర్ 2x ఓకేనా e పవర్ 2x అంటే ఎందుకు సార్ అదే రాసాను అంటే మనం ఇది రాసినా కూడా ఫాక్టరైజేషన్ చేస్తే మనకి ఇక్కడ ఈజీగా ఉంటుంది విచ్ వన్ ఈస్ జీరో విచ్ వన్ నాట్ ఈస్ జీరో అనేది. సో సోపుట్ d = a నథింగ్

22:34 బట్ ఏం సబ్మిట్ చేయాలండి ఇక్కడ 2 సబ్మిట్ చేయండి సో 1/ 2 * 2= +3 ఆఫ 2 -1 e పవర్ 2x eపవర్ 2x/ 4+3 7 * 4 -1 ఎంతండి 3 అంటే ఆన్సర్ ఏమైద్ది పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ ఈక్వల్ e పవర్ 2x/73 3= 21 కంప్లీటెడ్ నెక్స్ట్ ద జనరల్ సొల్యూషన్ ఈస్ ద జనరల్ సొల్యూషన్ ఈస్ y = కాంప్లిమెంటరీ ఫంక్షన్ ప్లస్ పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ ఓకేనా పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ ఈస్ e పవర్ 2x/ 21 ఎట్లా వచ్చింది మనం d ప్లేస్ లో ఇక్కడన్న

23:19 x కోఫిషయంట్ తీసుకొచ్చి సబ్మిట్ చేయాలి ఈ 0 వస్తే ఫార్ములా అప్లై చేస్తాం అది సెకండరీ అది ఇంకా రాలే కదా మనకు ఈ 0 లేదు కాబట్టి ఇలా అంటే ఇప్పుడు y = వాట్ వ టేకెన్ కాంప్లిమెంట్ ఫంక్షన్ ఈస్ వాట్ దిస్ వన్ రైట్ హియర్ c1 e పవర్ -3/2x+ c2 eపవర్ 1/2x+ e పవర్ 2x/ 21 దిస్ వన్ ఇస్ ద రైట్ ఆన్సర్ ఓకేనా కనిపియట్లేదు అనుకుంటే చూసుకోండి ఒకసారి జస్ట్ క్లబ్ చేసి రాయడమే ఇంకేమీ ఉండదు రైట్ ఓకేనా రైట్ నెక్స్ట్ వన్ ఇగ నెక్స్ట్ క్వశ్చన్ కి వెళ్తే ఇవి కామన్ గా ఉండే స్టెప్స్ అండి ఎవరీ టైం రాయకుండా ప్లస్ వీడియో లెంగ్త్ కూడా తగ్గుతుంది.

24:09 ఇవి స్కెల్టన్ అన్నట్టుగా ఫిక్స్డ్ అవి ఎప్పుడు మారవు కూడా నెక్స్ట్ క్వశ్చన్ ఇది కూడా సేమ్ ఉందండి ఇది మీరు చేయండిఅబ్బా చేస్తే ఎందుకంటే మళ్ళీ సేమ్ మెథడ్ గా d^2 - dy = e పవర్ x ఆన్సర్ ఏమవచ్చిందంటే దీనికి ఆ c1 e పవర్ 3x + c2 eపవర్ -2x - e పవర్ x/ 6 ఎందుకు మీకు ఏ చేస్తున్నా అంటే సేమ్ మెథడ్ ఇవి రియల్ అండ్ డిస్టింట్ రూట్స్ే ఇది డైరెక్ట్ x ప్లేస్ లో వన్ సబ్మిట్ చేస్తే సరిపోద్ది. నెక్స్ట్ క్వశ్చన్ ఇది నేను చెప్పేస్తా ఎందుకంటే వేరే రూట్స్ వచ్చేసాయి. తాలు dస్క్వ/ dxస్క్ప్

24:55 dy/ dx +వ = e పవర్ 4x ఓకేనా x కోఎఫిషియంట్ ఎంతండి వన్ కాబట్టిఏ వాల్యూవన్ అయిద్దని మీనింగ్ ఓకేనా అంటే మెథడ్ ఇప్పటి వరకు రియల్ అండ్ డిస్ట్రిక్ట్ వచ్చినాయి రెండు చేసాం. నెక్స్ట్ కాంప్లెక్స్ వచ్చేటి ఒక రెండు చేద్దాం వేరే డిఫరెంట్ డిఫరెంట్ గా చేస్తే మీకు క్లారిటీ వచ్చేస్తది. దీన్ని డైరెక్ట్ రాస్తున్నా వాట్ వి రైట్ d స్క్ప్ d + 1y = e పవర్ 4x f d వల్యూ ఈవా dస్క్ + d+1ఏపఎ వల్యూ e పవర్ 4x ఇదే ఫార్మట్ లో ఉంది కదా ఆక్సిలరీ ఈక్వేషన్ m^2 + m+ 1 =0 సో మనకి ఇది ఫాక్టరేషన్ పాసిబుల్ కాదు సో

25:42 వ యూస్ ఫార్ములా హియర్ m ఈ -బ + ఆర్ - bస్క్ - 4ac /వాట్ 2a డైరెక్ట్ ఇక్కడ సబ్మిట్ సైడ్ కి చేసి రాసేస్తా చూడండి. అంటే వాట్ ఇస్ దబి వాల్యూర్బి వాల్యూ -1ప్లస్ ఆర్ మైనస్ అం రట్బ స్క్ అంటే ఇది కదండీ 1స్క్ -4 ఇస్క్ర్ కోఎఫిషయంట్వసి వాల్యూ 1 / 2 ఇఏ వల్యూ అంటేఎ స్క్ర్ కోిషంట్ ఓకే విచ్ ఇస్ రిటన్ యస్ -1ప్ ఆర్ మైనస్ 1-4 అంటే -3/2 మీకు ఆల్రెడీ చాలాసార్లు చెప్పాను అండర్ రూట్ -3 అంటే దాన్ని ఎలా రిప్రసెంట్ చేయొచ్చు -1ఇ3 3 -1 *

26:28 3 ఆల్రెడీ మనం సెకండ్ యూనిట్ లో చాలా నెంబర్ ఆఫ్ క్వశ్చన్ చేశం. -1 - 3 అంటే హియర్ -1 వల్యూ = 3i అని రాయొచ్చు కదా అంటే m = -1ప్ ఆర్ మైనస్ 3ఐ/2 ఓకేనా దీన్ని ఎలా కంపేర్ చేసుకుంటాం ఆల్ఫాప్స్ ఆర్ మైనస్ ఐ బీట మనక వచ్చిన రూట్స్ ఏంటిది ద రూట్స్ ఆర్ ద రూట్స్ ఆర్ కాంప్లెక్స్ ఆర్ ఇమాజినరీ కాంప్లెక్స్ ఆర్ ఇమాజినరీ ద రూట్స్ ఆర్ కాంప్లెక్స్ ఆర్ ఇమాజినరీ సో కాంప్లిమెంటరీ ఫంక్షన్ ఈస్ కాంప్లిమెంటరీ ఫంక్షన్ ఈస్ c1 మనకి ఎన్ని కాంప్లెక్స్ రూట్స్ ఆర్ ఈవెన్ వచ్చినప్పుడు ఏమైది e పవర్ αx

27:16 e పవర్ αx c1 cos βx + c2 sin βx ఇదే కదా sin ఫస్ట్ రాసికా సెకండ్ రాసిన పెద్దగా ఎఫెక్ట్ ఏం కాదు. c పవర్ఆల్ఫాఎ c1కాస్ బటఎ+ c2సన్ బఎx అదే ఇక్కడ రాస్తాం e పవర్ఆల్ఫా వల్యూఆల్ఫా అంటే ఫస్ట్ ది 1/2 - 1/2x c1 cos బీట వల్యూ 3/2x+ c2 sin 3/2x ఈ వాల్యూస్ వచ్చేస్తాయి ఓకేనా c1 cos 3/2x+ c2 sin 3/2 x వాల్యూస్ వచ్చేస్తాయి ఎక్కడ చేంజెస్ లేవు కదా మనకు సేమ్ సేమ్ వాల్యూస్ వస్తున్నాయి మనకు ఓకేనా సేమ్ వాల్యూస్ వచ్చేసాయిక నెక్స్ట్ ఏం చేయాలంటే

28:02 పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ 1/ fd fడి అంటే ఏంట ఇది కదా d^ప్ d సర్ ఇప్పుడు ఏం రాస్తారు సార్ ఇంతకుముందుకని ఫాక్టరైజేషన్ చేసా ఆ వాల్యూస్ రాసాం. ఇప్పుడు ఫ్యాక్టరైజేషన్ కి పాసిబిలిటీ లేదు కాబట్టి డైరెక్ట్ అదే ఎలాగో జీరో కాదు జీరో అయ్యే ఛాన్సే లేదండి. tప్ 1 * e పవర్ 4x అదేంటి సార్ అంటే మనక ఎప్పుడైనా రూట్స్ రియల్ అండ్ అంటే కాంప్లెక్స్ రూట్స్ వస్తే ఇక్కడ జీరో అయ్యే ఛాన్సెస్ లేదు మనకు రావు కూడా జీరోస్ కావు ఫిక్స్ అది డైరెక్ట్ సబ్మిట్ చేయండి e పవర్ 4x/ ఇన్ ప్లేస్ ఆఫ్ d రైట్ a వల్యూ ఈ హౌ మచ్ 4 సో 4స్క్ + 4+1 సో e పవర్ 4x/ వాట్ వి రైట్ 4స్క్ 16 21 ఓకేనా పర్టికులర్ ఇంటిగ ఇటల్ వచ్చేసింది.

28:48 ద జనరల్ సొల్యూషన్ ఈస్ ఈస్ y = కాంప్లిమెంటరీ ఫంక్షన్ ప్లస్ పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ వాట్ యు రైట్ కాంప్లిమెంటరీ ఫంక్షన్ ప్లస్ పర్టికులర్ y = కాంప్లిమెంటరీ ఫంక్షన్ దిస్ ఇస్ ద కాంప్లిమెంటరీ ఫంక్షన్ e పవర్ -1/2x c1 cos 3/2x c2 sin 3/2x ఓకే ప్లస్ పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ e పవర్ 4x రెండు కలిపి రాస్తూ వచ్చేదే ఫైనల్ ఆన్సర్ దిస్ ఇస్ ద జనరల్ సొల్యూషన్ ఆఫ్ ది దిస్ నానోమోజీనియస్ డిఫరెన్షియల్ ఈక్వేషన్ విత్ కాన్స్టంట్స్ ఓకేనా నెక్స్ట్ క్వశ్చన్ నెక్స్ట్ వన్ చూద్దాం

29:36 ఇప్పటివరకు మనం చేసిన పర్టిక్యులర్ రింగ్ లో టూ టైప్ కేసెస్ అయిపోయినాయి. ఇప్పుడు చేసే కేసులో జీరో వస్తే ఏం చేయాలనేది ఇంపార్టెంట్ మనం ఓకే జీరో వస్తే ఏం చేయాలనేది చేసుకుంటే తర్వాత ఒకటి కాస్ ఒకటిసైన్ డిఫరెంట్ డిఫరెంట్ ఇక్కడ క్వశ్చన్ లో dస్క్ప్ 5dప్ + 6y = e పవర్ -2x d^ + 5d + 6y = e పవర్ -2x

30:28 ఇన్ కేస్ ఇప్పుడు నెగిటివ్ వచ్చిందండి ఇందులో కూడా జీరో అయితే ఏం చేస్తామ అనేది ఇంపార్టెంట్ ఇక్కడ సో డిఫరెన్షియల్ ఈక్వేషన్ ఈస్ d^2 + 5d+ 6y = వ రైట్ e పవర్ -2x ఓకేనా f d వాల్యూ వాట్ వ రైట్ f d వాల్యూ అనేది తీసుకోవాలి ఇక్కడ fడి అంటే ఓకేనా fd = d^ + 5d +6 ఈ క్వశ్చన్ అయితే మనం సెకండ్ యూనిట్ లో చాలా టైం చేసాం. క్ప్లస్ వాల్యూ e పవర్ -2x సో ఆక్సిలరీ ఈక్వేషన్ కావాలి. ఇక్కడ ఆక్సిలరీ ఈక్వేషన్ ఈస్ వాట్ m స్క్ర్ప్ 5m+ 6 =0

31:15 1* 6 6 మిడిల్ వల్యూ ఈ 5 అంటే వ టేక్ 2 3 సో mస్క్ + 2m+ 3m+ 6 =0 m కామన్ తీస్తే m+2 3 కామన్ తీస్తే m+2 = 0 m+2 m +3 =0 m1 = -2 2 అండ్ m2 = -3 m1 = -2 అండ్ m3 = -8 సో వాల్యూస్ ఎప్పుడైతే వచ్చాయో ఈ రూట్స్ ఏంటిది ద రూట్స్ ఆర్ రియల్ అండ్ డిస్టింట్ కదండ ద రూట్స్ ఆర్ వాట్ రియల్ అండ్ డిస్టింట్ వెన్ ద రూట్స్ ఆర్ రియల్ అండ్ డిస్టింట్ ద కాంప్లిమెంటరీ

32:00 ఫంక్షన్ సొల్యూషన్ ఈస్ వాట్ c1 e పవర్ m1x + c2 eపవర్ m2x ఇవి రియల్ అండ్ డిస్టెన్స్ చాలా చేసాం కాబట్టి మీకు ఒక క్లారిటీ అవుతాయి. సో cf ఈక్వల్ c1 e పవర్ వాట్ ఇస్ ద m1 వాల్యూ -2 నా హియర్ వి రైట్ -2x c2ఈపవర్ m2 వల్యూ -3 నా హియర్ వి రైట్ -3x ఓకే c1ఈ పవర్ -2x+ c2ఈ పవర్ -3x హియర్ వరైట్వ/ఎఫడి వల్యూ f దిస్ వన్ బట్ ఫాక్టరైజేషన్ పాసిబుల్ అయితే రైట్ దిస్ వన్ ఓన్లీ ఇన్ ప్లేస్ ఆఫ్ m వి రైట్ ఆ dప్ 2 d+3

32:46 e పవర్ -2x ఒకసారి ఇక్కడ అబ్సర్వ్ చేయండి ఇక్కడ d ప్లేస్ లోఏ ప్లేస్ లో ఇక్కడఏ వాల్యూ ఇదే కదండీ అంటే మనం నార్మల్ గా ఏం చేస్తాం d =ఏ సబ్మిట్ చేస్తాం a వాల్యూ ఎంతండి -2 -2 సబ్మిట్ చేస్తే నాకు ఈ పార్ట్ జీరో అయిద్ది. మైనస్2 నేను సబ్మిట్ చేయగానే ఈ పార్ట్ ఆన్సర్ ఏమైద్దండి జీరో అయిద్ది నాకు ఆ పార్ట్ జీరో కావద్దు జీరో అయితే సంథింగ్ బై జీరో ఇన్ఫినిటీ వస్తది మనకు పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ క్వశన్స్ లో ఎప్పుడు కూడా ఏ వాల్యూ కూడా మనకు ఇన్ఫినిటీ రావద్దు వచ్చిందంటే మనం ఇక్కడ మిస్టేక్ చేస్తున్నామ అని సో దాన్ని మనం అవాయిడ్ చేయాలి బేసికలీ సో అవాయిడ్ చేయడానికి e పవర్ -2x / ఓకే నేను ఇక్కడ ఏం చేస్తున్నా అంటే ఈ ఏదైతే జీరో వస్తుందో దాన్ని

33:32 కాకుండా రిమైనింగ్ వాటిలోనే సబ్మిట్ చేస్తా అంటే -2 +3 t+2 రైట్ e పవర్ -2x / 1 * d+2 అర్థమైందా అంటే ఏదైతే జీరో కావడానికి ఛాన్స్ ఉందో అంటే విచ్ వన్ అంటే ఏది పాసిబిలిటీ ఉందో దాన్ని లీవ్ చేసి రిమైనింగ్ దాంట్లో సబ్మిట్ చేసుకుంటాం ఈ పవర్ -2ఎ/వ ఆఫ్ ఏమైదండి dప్2 అయితదివడిప్2 అయితది ఇప్పుడు ఫార్ములా ఇప్పుడుఏంటిది ఫార్ములా పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ = 1/ d - aహోల్పవర్ n * e పవర్ x అంటే ఫార్ములా ఏంటిదండి n ఫాక్టరి సారీ x పవర్ n/ఎ ఫాక్టరి * e పవర్ x ఇదే కదా

34:18 ఫార్ములా అంటే ఇక్కడ పవర్ ఇక్కడ dప్2హోల్ పవర్ ఎంత ఉందండి 1 ఉంది అంటే ఏంటి x * e పవర్ -2x/వ ఫాక్టోరియల్ అని మీ ఇది మనక వచ్చిన పార్టికులర్ ఫాక్టోరియల్ తెలుస కదా 1 ఫాక్టోరియల్ అంటే 1 అని మీనింగ్ 2 ఫాక్టరి రిటన్ యస్ 2* 1 అని మీనింగ్ 3 ఫాక్టరి మీన్స్ 3* 2* 1 అని మీనింగ్ 4 ఫాక్టరియ రిటన్ యస్ 4* 3* 2* 1 అని అంటే మల్టిపుల్ ఆఫ్ కాన్సక్ేటివ్ నంబర్స్ 5 ఫాక్టరి నథింగ్ బట్ వాట్ వ రైట్ 5* 4* 3* 2* 1 సో ద జనరల్ సొల్యూషన్ ఈస్ y= వాట్ అండి కాంప్లిమెంటరీ ఫంక్షన్ ప్లస్ వరైట్ పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ సో y =

35:04 కాంప్లిమెంటరీ ఫంక్షన్ వాల్యూ దిస్ వన్ హియర్ వ రైట్ c1 eపవర్ -2x + c2 eపవర్ -3x వాట్ అబౌట్ పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ ఈ దిస్ వాల్యూ x e పవర్ -2x/వన్ ఫాక్టరిల్ వాల్యూ నథింగ్ బట్ వాట్వ ఓన్లీ అంటే మనకి ఎప్పుడైనా ఇన్ కేస్ జీరోస్ వస్తే ఈ మెథడ్ షూట్ చేసుకోవాలి నెక్స్ట్ అనదర్ వన్ ఇంకో క్వశన్ కి వెళ్దాం సో నాకు తెలిసి క్లారిటీ వచ్చింది అనుకుంటున్నా అంటే ఎప్పుడైనా రెండు జీరో కాకుండా ఒకటి జీరో అవుతుందా ఒకదాన్ని జీరో చేసి రిమైనింగ్ వాళ్ళని వాల్యూస్ ని యూస్ చేసుకోవాలి.

35:50 నెక్స్ట్ క్వశ్చన్ కి వస్తే ఈ క్వశ్చన్ మీరు ట్రై చేయండి ఇదేంటంటే dస్క్ - d -2y = e పవర్ 4x ఆన్సర్ ఈస్ y = c1 eపవర్ 4x + c2 eపవర్ -3x + x పవర్ 4x/7 అంటే ఇందులో కూడా ఒక ఆన్సర్ మనకు జీరో అవుతుంది జీరో అయ్యేది కాకుండా రిమైనింగ్ వాటిని సింప్లిఫై చేయాలి. ఓకేనా నెక్స్ట్ ఇంకో క్వశ్చన్ ఇది కూడా అదే మెథడ్ అండి బట్ ఇంకొకటి నేను చెప్పేస్తాండి ఇదొకటి చెప్పేస్తా ఇట్లాంటి దాంట్లో ఇంకొకటి చెప్పేద్దాం dస్క్ - 5dప్ 6వ = 3ఈ పవర్ 5x కాన్స్టెంట్ తో మల్టిప్

36:36 ఇంతకుముందుంటే కాన్స్టంట్ లేదు కాబట్టి చేయగలుగుతారు మీరు కాన్స్టెంట్ మల్టిప్లికేషన్ ఉన్నప్పుడు ఏమనా డౌట్ వస్తుంది కాబట్టి నేను చెప్పేస్తా ఓకేనా రైట్ ఇక్కడ చేస్తే సేమ్ ఆఫ్ డిఫరెన్షియల్ ఈక్వేషన్ ఈస్ dస్క్ - 5d+ 6y = 3 పవర్ 5x వచ్చేసిందండి d వాల్యూ d^2 - 5d+6 x వల్యూ ఈస్ 3 * eపవర్ 5x ఆక్సిలరీ ఈక్వేషన్ m^2 - 5m+ 6 = 0 ఆల్రెడీ మీకు ఫాక్టరేషన్ వచ్చు కదా m * 6 ఎంత 6 అయిపోతుంది కోషంట్ మిడిల్ వాల్యూ -5 వ టేక్ -6 +1 సో m^2 -m +6m +6 =0

37:25 సారీ +ఎ -6 ఇన్ ఫస్ట్ టూ టర్మ్స్ వ కామన్ ద m దెన్ వ గెట్ m +1 ఇన్ సెకండ్ టూ టర్మ్స్ వ కామన్ ద 6 అంటే ప్లస్ సారీ రాంగ్ వస్తుంది కదా -2 -3 దీనికి అసలు ఇక్కడ క్వశ్చన్ నేను రాంగ్ రాసాను ఒక్క నిమిషం చూస్తాను ఎందుకంటే మళ్ళీ సేమ్ క్వశ్చన్ అయిపోద్ది. సో మీకు పెద్దగా చెప్పి కూడా యూస్ ఉండకపోవచ్చు. ఇది ఎలాగో జీరో కాదండి డైరెక్ట్ x ప్లేస్ లో దీనికి కూడా ఆన్సర్ రాసేయండి మీరే ఎందుకు సార్ అంటే జీరో కాదా ఆ క్వశ్చన్ జీరో కానప్పుడు నేను చెప్పిన అది మీకు సేమ్ మెథడ్ అయిపోతుంది dస్క్ - 5dప్సిఆవ =

38:11 3 పవర్ 5ఎ కదండ మనక ఎలాగో జీరో అయ్యే ఛాన్సెస్ లేవు మనమే చేసేద్దామా రైట్ ఇదే క్వశ్చన్ను అని రాసుకో p అని రాసుకుంటే -2 -3 సో రాదులేండి అది చూద్దాం మనం కొద్దిగా e పవర్ x అనే కండిషన్ మార్క్ చేస్తా మీ కొరకు ఇంకో క్వశ్చన్ చెప్పుకోవాలి కాబట్టి దీనికైతే మీరు చేసేయొచ్చండి ప్రాబ్లం ఏమ లేదు నేను ఇక్కడ ఏం చేస్తున్నా అంటే ఇక్కడ మనకఏం -2 కదండ -2m -3m అంటే ఇక్కడ -3 అని తీసుకుంటున్నా విచ్ ఇస్ రిటన్ యస్ m కామన్ తీస్తే m -2 3 కామన్ తీస్తే m -2 m -2 m -3 = 0 m1 = 2 అయిద్దండి m2 = 3

38:58 అందుకనే అక్కడ మైనస్ తీసుకున్నా ఈజీగా ఉండడానికి మనం క్వశ్చన్ మాడిఫై చేసాం అంతే ద రూట్స్ ఆర్ రియల్ అండ్ డిస్టింగ్ కాంప్లిమెంటరీ ఫంక్షన్ c1 e పవర్ m1x + c2 e పవర్ m2x సో హియర్ e పవర్ m1 వాల్యూ 2 అండి అంటే c1 e పవర్ 2x + c2 eపవర్ 3x వచ్చేసిందా వచ్చేస్తే 1/ fd fd అంటే ఏం చేయాలి మీకు చాలా సార్లు చెప్పా ఇది ఫాక్టరేషన్ పాసిబుల్ అయితే దీన్నే ఇక్కడ రాసుకోండి అంటే m2 m3 విచ్ ఇస్ రిటన్ యస్ d -2 d -3 3 పవర్ -3x మనం ఏం సబ్మిట్ చేయాలి ఇఫ్ d = a నథింగ్ బట్ ఏంటిదండి -3 d ప్లేస్ లో మనం -3 సబ్మిట్ చేయాలి d ప్లేస్ లో మనం -3

39:44 సబ్మిట్ చేస్తే సారీ ప్లస్ తీసుకో ప్లస్ తోనే వచ్చేస్తది. ఇక్కడ జీరో కావట్లేదు మనకు జీరో కావడం ఇంపార్టెంట్. సోత్రీ ప్లేస్ లో 3 సబ్మిట్ చేస్తే ఇప్పుడు నాకు ఆన్సర్ ఏమవుతుందండి జీరో అయిపోద్ది అంటే ఇది జీరో అవుతుంది కాబట్టి నేను ఇందులోనే సబ్మిట్ చేస్తా ఓకే అప్పుడు ఏమ 3 -2 d -3 పవర్ 3x అంటే 3 e పవర్ 3x/ d -3 ఒకటి ఉంటుంది. మనకు ఫార్ములా ఏంటి పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ ఈవ/ d -ఏహోల్ పవర్ఎఈ పవర్ ax = x పవర్ఎ/ఎ ఫాక్టరి * e పవర్ ax ను ఓకే అదే వాల్యూ ఇక్కడ సబ్మిట్ చేస్తే దీని డిగ్రీ ఎంతండివ కాబట్టి ఇక్కడ n వాల్యూ ఇక్కడ

40:31 ఏముందివన్ ఉంది సో x/వ * 3 * eపవర్ 3x యస్ ఇట్ ఈస్ గా రాస్తాం అంతే కంప్లీటెడ్ ఆన్సర్ ఓకేనా అంటే ఎప్పుడు ఈ రెండిట్లో d -2 ఉంది d -3 రెండు వాల్యూస్ ఉన్నాయి బట్ అందులో జీరో అయ్యే ఛాన్స్ దేనికి ఉంది d -3 మాత్రమే జీరో అయిది. సో దాన్ని లీవ్ చేసి మిగిలిన d ప్లేస్ లో ఏ వాల్యూ సబ్మిట్ చేయాలి. ఎప్పుడైతే రిమైనింగ్ d ప్లేస్ లో ఏ వాల్యూ నేను సబ్మిట్ చేస్తానో 3పవర్ 3x/3 -2 వచ్చింది. బట్ ఇది మాత్రం జీరో అయిద్ది. అంటే దీనికి యక్చువల్గా ఒక ఫార్ములా అప్లై చేయాలి దాన్ని చేయడం మనకు పాసిబిలిటీ లేదు కాబట్టి సింప్లిఫై చేయడానికి ఛాన్స్ లేదు కాబట్టి నేనేం చేస్తున్న d -3 ని పవర్ అను కదా ఈ ఫార్ములా 1/ d -ఏహోల్ పవర్ఎ * e పవర్ఎ లో అప్లై చేశ అప్పుడు x/వ ఫాక్టరి ఇ 3 ఇఈ పవర్ 3x వచ్చింది ద జనరల్ సొల్యూషన్

41:20 ఈస్వ = కాంప్లిమెంటరీ ఫంక్షన్ ప్లస్ పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్వ ఈట కాంప్లిమెంటరీ ఫంక్షన్ c1 e పవర్ 2x+ c2 eపవర్ 3x+ పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ వాల్యూ x * అంటే 3x e పవర్ 3x అయిది ఓకేనా ఇది మనక వచ్చే ఫైనల్ ఆన్సర్ అన్నాడు జీరోస్ మనం ఏం చేసాం వితౌట్ జీరో ఒకటి డైరెక్ట్ సబ్మిట్ చేయగానే అసలు జీరోస్ కాకుండా వచ్చేది ఒకటి ఇంకోటి ఏంటి జీరో కేసెస్ కూడా చేసాం కదా d -2 రెండు జీరోస్ లో ఒకటి జీరో అవుతుందంటే దాన్ని కాకుండా రిమైనింగ్ వాల్యూస్ సింప్లిఫై చేసి చేయాలి మనం ఓకేనా నెక్స్ట్ వన్ కి వెళ్దాం ఇంకో క్వశ్చన్ చూద్దాం ఇంకో దాంట్లో కూడా సేమ్ ఇదే మోడల్ వస్తే స్కిప్ చేస్తా ఎందుకంటే మళ్ళీ మీకు కూడా సేమ్ మోడల్

42:05 చెప్పినట్లు ఉంటుంది కదా అన్ని క్వశ్న్స్ మనకు ఇవి వచ్చాయి కానీ రియల్ అండ్ ఈక్వల్ రూట్స్ రావాలండి రియల్ అండ్ ఈక్వల్ రూట్స్ అనేది ఇంపార్టెంట్ మనకు రియల్ కాంప్లెక్స్ రూల్స్ వస్తే పెద్ద ప్రాబ్లం ఏమ లేదు కాంప్లెక్స్ రాసేస్తాం డైరెక్ట్ డి ప్లేస్ లో ఏ సబ్మిట్ చేస్తే ఎనఫ్ అన్నట్లుగా అక్కడ అసలు మనకు రిస్క్ కూడా ఉండదు.ఈ e పవర్ -2x ఈ క్వశ్చన్ చేయాలండి కన్ఫర్మ్ చేయాల్సిన క్వశ్చన్ ఇది dస్క్ప్ 4dప్ 4వ = e పవర్ -2x ఇంకఎన్ని క్వశ్చన్ ఇంకొకత టుఫో అంతే హార్డ్లీ ఇంకొక త్రీ టు ఫోర్ క్వశ్చన్ చెప్పేస్తే సరిపోతాయి మనక ఎక్కువ అంటే మెథడ్స్ క్లోజ్ అయిపోతాయి అంటే మీరుఇక

42:52 రిమైనింగ్ అన్ని మీరు ఈ మెథడ్ లో వచ్చే ఎవ్రీ క్వశ్చన్ మీరు సాల్వ్ చేసుకునేలా లాగా ఉంటుంది అన్నట్లు రైట్ ఇప్పుడు చూద్దాం ఇగ డిఫరెన్షియల్ ఈక్వేషన్ ఈస్ d^2 + 4d+ 4y =వా e పవర్ -2x dస్క్ + 4d+ 4y= e పవర్ -2x f dy = dస్క్ప్ 4d+ 4 dస్క్ప్ 4d+4ఎ అంటే e పవర్ -2x మనం ఎప్పుడైతే ఆక్సిలరీ ఈక్వేషన్ కన్సిడర్ చేస్తామో దీన్నే కదా mస్2ప్ 4mm+ 4 =0 ఫాక్టరేషన్ 1 ఇఫ 4 మిడ్ వాల్యూ ఆల్సో 4 అంటే వి టేక్ట

43:40 వెయిట్ ఏ సెకండ్ ఇక్కడ దీనికి ఫాక్టరేషన్ మనకు పాసిబుల్ అయింది సో ఫాక్టరేషన్ పాసిబుల్ అవుతుంది కాబట్టి 4ఫ 4ట తీసుకుందాం సో ఇక్కడ ఇంకొక కేస్ వస్తుందని మనకు మీనింగ్ ఇక్కడఏంటి mస్క్ప్ 2mప్ 2m 2m + 4 =0 ఇన్ ఫస్ట్ టూ టర్మ్స్ వ కామన్ ద m దెన్ వాట్ వ గెట్ m+2 ఇన్ సెకండ్ టూ టర్మ్స్ వ కామన్ దట వ గెట్ m+ =0 m+2ఆ m+2 = 0 ఇక్కడ రెండు రూట్స్ కూడా చూడండి m1 = m2 = ఏమవచ్చింది మనకి -2 వచ్చింది అవునా రెండు రూట్స్ కూడా ద రూట్స్ ఆర్ రియల్ అండ్ ఈక్వల్ ద రూట్స్ ఆర్ వాట్ రియల్ అండ్ ఈక్వల్ రూట్స్ వచ్చాయి మనకు ఈ మోడల్ క్వశ్చన్ ఓకేనా ద రూట్స్ ఆర్ రియల్

44:28 ఈక్వల్ కాంప్లిమెంటరీ ఫంక్షన్ ఏమైదండి ఇక్కడ డైరెక్ట్ అక్కడ రాసేద్దాం ద రూట్స్ ఆర్ రియల్ అండ్ ఈక్వల్ ద రూట్స్ ఆర్ రియల్ అండ్ ఈక్వల్ ద కాంప్లిమెంటరీ ఫంక్షన్ cf అనుకుంటాం ఓకేనా బిఫోర్ క్వశన్ c1 రియల్ అండ్ ఈక్వల్ అయితే c1 c1+ c2x e పవర్ mx c1+c2x e పవర్ mx ఇస్ ద కాంప్లిమెంటరీస్ కాంప్లిమెంటరీ వాల్యూస్ c1+c2x e పవర్ m వ వాల్యూ -2 -2x ఓకేనా c1+c2x e పవర్ -2x వచ్చిందండి హియర్

45:16 1/ fd వల్యూ fd వల్యూ నథింగ్ బట్ d+2 m+2 m+2 కదా ఎప్పుడైనా కూడా ఏ క్వశ్చన్ కైనా మనం కన్ఫర్మ్ దేన్ని కన్సిడర్ చేసుకుంటాం ఇక్కడఉన్న వాల్యూను tస్క్ + 4d+ 4 రాస్తే వస్తది. బట్ దాన్ని సింప్లిఫై చేయడానికి మనం యూస్ చేసేది ఏంటి m+2ఎ+2 ఫాక్టరైజేషన్ చేసామా అదే కండిషన్ ఇక్కడ సబ్మిట్ చేస్తాం అంటే వాట్ వి రైట్ d+2హోల్స్క్ర్ప x =వా e పవర్ -2x ఇక్కడ ఏం చేయాలి ఇప్పుడు d = a నథింగ్ బట్ ఎంతదండి -2 ఎప్పుడైతే ఇన్ కేస్ మనం ఇక్కడ -2 సబ్మిట్ చేస్తామో d ప్లేస్ లో -2 +2 వాల్యూ ఏమైద్దండి జీరో అయిది బట్ మనకు ఆన్సర్ జీరో రావు డినామినేటర్ లో వాల్యూ రావాలి అప్పుడు జీరో వస్తుంది

46:02 కాబట్టి అంటే fa a వాల్యూ ఏమవుతుంది జీరో వస్తుంది కాబట్టి ఇప్పుడు ఆన్సర్ ఏం చేసుకుంటాం పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ ఈక్వల్ e పవర్ ax/ dప్ -aహోల్పవర్ n ఫార్ములా ఏంటండి x పవర్ n/n ఫాక్టరి * e పవర్ x అంటే ఇక్కడ ax ఉంది ఇక్కడ డిగ్రీ n కదా ఎప్పుడైతే దీని ప్లేస్ ఆఫ్ d మనం a సబ్మిట్ చేస్తామో a - a వాల్యూ ఏంటిది 0 అయినప్పుడు ఇక్కడ పవర్ ఏంటి n కదా n కాబట్టి విచ్ ఇస్ రిటన్ యస్ x పవర్ n/ఎ ఫాక్టరి * e పవర్ ax లాగా మనం రిప్రసెంట్ ఎనీ క్వశన్ అది బిఫోర్ క్వశ్చన్ కూడా చేసాం అంటే ఇప్పుడు ఏమైద్దండి స్క్వేర్ చూడండి xస్2/ 2 ఫాక్టరి * e పవర్ -2x మీకు మళ్ళీ చెప్తున్నా 1 ఫాక్టరియల్ వాల్యూ ఏంటండి 1 2 ఫాక్టరియల్ వాల్యూ 2* 1 3

46:49 ఫాక్టరియల్ వాల్యూ 3* 2ఇ 1 4 ఫాక్టరియల్ వాల్యూ 4* 3* 2*1 5 ఫాక్టరియల్ వాల్యూ 5* 4* 3* 2*1 ఇలా రాస్తాం ఫాక్టోరియల్ లెన్స్ ఓకేనా రైట్ ఇక్కడ వరకు వస్తే మనకి పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ వాల్యూ వచ్చింది కదా పర్టిక్ులర్ ఇంటిగ్రల్ ఈస్ x^2/2 * eపవర్ -2x ద జనరల్ సొల్యూషన్ ఈస్ జనరల్ సొల్యూషన్ y = ఏమైద్దండి కాంప్లిమెంటరీ ఫంక్షన్ ప్లస్ పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ ఓన్లీ కాంప్లిమెంటరీ అంటే ఇక్కడి వరకు చేయాలండి టోటల్ సాల్వ్ అంటే మొత్తం చేయాలి ఓన్లీ పర్టికులర్ అంటే ఈ పార్ట్ చేస్తే చాలు అంటే క్వశ్చన్స్ డిఫరెంట్ గా అడుగుతూ ఉంటాడు. సో y = ఇప్పుడు సొల్యూషన్ అండి c1+c2x eపవర్ -2x

47:35 + x^/2 e పవర్ -2x దిస్ ఈస్ అవర్ ఆన్సర్ ఇంకేమనా కామన్ తీస్తే e పవర్ -2x కామన్ తీసి కూడా మనం రిప్రసెంట్ చేసుకోవచ్చు అదర్వైస్ లీవ్ ఇట్ ఓకే నెక్స్ట్ వన్ ఇగ నెక్స్ట్ క్వశ్చన్ ఇదండీ ఇది మీరు ట్రై చేయొచ్చు సేమ్ మెథడ్ లో క్వశ్చన్ కాన్స్టంట్ ఉన్న క్వశ్చన్ ఓకేనా సేమ్ ఉంటుంది చేంజెస్ ఏమీ లేవండి చిన్న చేంజెస్ ఏమఉన్నాయి ఇది ట్రై చేయండి మీరు వస్తుంది కూడా ఏంటిది క్వశ్చన్ dస్క్ - 4d+ 4y = 2 * e పవర్ 2x dస్క్ - 4d+ 4y =వా 2 * e పవర్ 2x ఇది చేస్తే చాలు ఇది కూడా సేమ్

48:20 మెథడ్ ఇక్కడ -2 ప్లేస్ లో +2 వస్తుందండి ఇక్కడ d -2 వస్తది d -2 వచ్చినా dప్2 వచ్చినా ఫార్ములా చేంజ్ కాదు ఓకేనా రైట్ నెక్స్ట్ ఇంకొకటి స్క్వేర్ ఉన్న క్వశ్చన్ డిఫరెంట్ ఇది కాదు అంటే ఇది జీరో అయితే చెప్పాను కదా జీరో కాని క్వశ్చన్ dస్క్ప్ 6d+ 9వ = e పవర్ 3x ఒకటేనండి ఒకటి జీరో అయిద్ది ఆర్ వితౌట్ జీరో ఇంతకుముంచి ఇంకా వేరే కండిషన్స్ ఉండవు కన్ఫామ్ ఇందులోనుంచి మనకి యూనిట్ లోత్రీ మెథడ్స్ ఉంటాయిత్రీ మెథడ్స్ కూడా ఎగ్జామ్ లో క్వశ్చన్స్ వస్తాయి ఎవ్రీ మెథడ్ నుంచి క్వశ్చన్ వస్తది మీరు ప్రిపేర్ అయ్యింది వేస్ట్ కాదు ఓకేనా రైట్ నెక్స్ట్ దీన్ని కూడా చూడండి ఇది కూడా రియల్ అండ్ ఈక్వల్ కండిషన్ క్వశ్చనే

49:07 చేంజెస్ ఏమీ ఉండవు అందుకే మొత్తం నేను రబ్ చేయట్లేను మళ్ళీ ఇలాగ యూస్ అవుతుంది ఆ పార్ట్ అంతా మనకు h గివెన్ డిఫరెన్షియల్ ఈక్వేషన్ ఈస్ వాట్ dస్క్ + 6d+ 9y = e పవర్ 3x fd = d^ + 6d + 9 x = e^ 3x ఓకేనా x =వాట్ e^ 3x మనకి ఆక్సిలరీ ఈక్వేషన్ m^ + 6m + 9 = 0 మనకి ఆల్రెడీ తెలుసు 1 * 9 మిడిల్ వాల్యూ = వాట్ 6 ఓకేనా 1* 9 మిడిల్

49:52 వాల్యూ ఏంటిదండి 6 వచ్చింది సో వి టేక్ 3 ఆర్ ది రూట్స్ 9 టేబుల్ ఎందులో వస్తది 33 ఇంకో ఆప్షన్ే లేదు 3+3 వాల్యూ 6 3* 3 9 వచ్చేసా సబ్మిట్ చేస్తే mస్2+ 3m+ 3m+ 9 =0 ఇన్ ఫస్ట్ టూ టర్మ్స్ వ కామన్ ద m+3 ఇన్ సెకండ్ టూ టర్మ్స్ కామన్ద m+3 ఈజ m+3 ఆఫ్ m+3 =0 చూడండి ఇక్కడ m1 వల్యూ -3 3 m2 వాల్యూ కూడా ఏమైద్దండి -3 అంటే రెండు రూట్స్ కూడా సేమ్ వచ్చాయిగా ద రూట్స్ ఆర్ రియల్ అండ్ డిస్టింగ్ ఆల్రెడీ ఫస్ట్ వీడియో మళ్ళీ చెప్తాను ఒకసారి అంతేకాకు కాంప్లిమెంటరీ ఫంక్షన్ ఈ c1+ c2x e పవర్

50:39 m1x ఇక్కడ ఏమైద్దండి c1+ c2x e పవర్ m వల్యూ = హౌ మచ్ -3 -3 నథింగ్ బట్ ఇది m అని కన్సిడర్ చేసుకుంటాం. సో హియర్ వ రైట్ -3x నెక్స్ట్ వి ఫైండ్ ద పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ వాల్యూ సో 1/ fd వాల్యూ ఆల్రెడీ ఇది తీసుకున్న అదే ఆన్సర్ వస్తది బట్ మనం దీనికి ఫస్ట్ ప్రిఫరెన్స్ ఇస్తే ఎందుకంటే జీరో అయిందనుకోండి స్క్వేర్స్ రావాలి కాబట్టి అప్పుడు ఐడెంటిఫై చేయడం ఈజీ అయిపోద్ది కాబట్టి జస్ట్ నేను నేనుఏం చేస్తున్నాను ఇదే కండిషన్ తీసుకుంటాను అంటే విచ్ ఈస్ రిటన్ యస్ ఇన్ ప్లేస్ ఆఫ్ d+3హోల్స్క్ m+3 * m+3 m+ + 3^ కదా d +3^ x వాల్యూ e పవర్ 3x సో ఇక్కడ ఏం సబ్మిట్ చేయాలి

51:27 d = a వల్యూ నథింగ్ బట్ ఏదండి 3 అంటే 3+3స్క్ e పవర్ 3x e పవర్ 3x/ 3+36 అంటే 36 వస్తది మనకు మీరు అనొచ్చు ఇక్కడ ఎప్పుడైతే d ప్లేస్ లో మనం ఏ వాల్యూ సబ్మిట్ చేస్తామో అప్పుడు జీరో వస్తేనే ఫార్ములా d -ఏహోల్ పవర్వ ఉంటే x/వ 1 ఫాక్టరి స్క్వేర్ ఉంటే x^/2 ఫాక్టరి క్యూబ్ ఉంటే xక్/3 ఫాక్టరి ఇవి చేస్తాం లేకపోతే చేయం. ఓకేనా y = కాంప్లిమెంటరీ పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ ఏమైందండి e పవర్ 3x/ 36 ఇస్ ద పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ సో y = కాంప్లిమెంటరీ ఫంక్షన్ వాల్యూ ఈస్ వాట్ c1+ c2x e పవర్ -3x

52:13 + e పవర్ 3x/ 56 ఇస్ ద అవర్ ఫైనల్ ఆన్సర్ ఓకేనా రైట్ నెక్స్ట్ క్వశ్చన్ ఇలాంటి సేమ్ మెథడ్ లో ఉన్న క్వశ్చన్స్ ఇక ప్రాక్టీస్ చేసుకోవచ్చు క్లారిటీ వచ్చి ఉంటుంది మీకు ఇప్పటికి నెక్స్ట్ ఇంకో క్వశ్చన్ ఉందండి ఇది మీరు ట్రై చేయండి. dస్క్ప్ 2d+ 1y = 4 * e పవర్ 3x ఆన్సర్ ఈస్ ఆన్సర్ ఈస్ y = c1+c2x e పవర్ -x + e పవర్ 3x/4 ఓకేనా y = c1+c2x e పవర్ -x+ e పవర్ 3x/4 ఓకే నెక్స్ట్ ఇంకొకటి కాన్స్టెంట్ ఉన్న

52:58 క్వశ్చన్ వేరియబుల్ ఉన్న క్వశ్చన్ చేద్దాం. ఓకేనా ఇప్పటి వరకు మనం చేసిన ఓన్లీ సింగిల్ టర్మ్ చేసాం నెక్స్ట్ ఒకటి కాన్స్టెంట్ అంటే ఒక వేరియబుల్ ఉండాలి ఆ క్వశ్చన్ సాల్వ్ చేద్దాం. మళ్ళీ అదే వస్తాయి కొత్తగా ఏమ ఉండవండి చూడండి ఇది d స్క్వర్ప్ 4dప్ 4వ = 5+ e పవర్ -2x అంటే ఇంతకుముందుకు ఆల్రెడీ చేసామ అది రియల్ అండ్ ఈక్వల్ రూట్స్ క్వశ్చన్ వచ్చింది కదా సేమ్ అదే క్వశ్చన్ మళ్ళీ సాల్వ్ చేయాలి కాంప్లిమెంటరీ ఫంక్షన్ లో మాక్సిమం క్వశ్చన్ రిపీటెడ్ గా ఉంటూఉంటాయి ఇక్కడ కూడా వాల్యూస్ వస్తూనే ఉంటాయి చేంజెస్ ఏమీ ఉండవు ఈ క్వశ్చన్ సాల్వ్ చేద్దాం ఈ క్వశ్చన్ తర్వాత ఏముంటాయి అంటే టూ

53:43 ఫంక్షన్స్ ఒకటి ఉందిసకా ఉంటాయి అవి చెప్పేసుకుంటే దట్స్ ఓవర్ అన్నట్టుగా రైట్ ఇక్కడికి వచ్చేస్తే 5+ e పవర్ -2x వచ్చేస్తుంది. ఇక్కడ డిఫరెన్షియల్ ఈక్వేషన్ ఈస్ dస్క్ప్ 4d+ 4 dస్క్ప్ 4d+ 4y = 5+ e పవర్ -2x సో fd = d^క్ + 4d+ 4x= 5+ e పవర్ -2x d^క్ + 4d+4 x= 5+ e పవర్ -2x ఆక్సిలరీ ఈక్వేషన్ ఈస్ m^ + 4mm+ 4 =0 సో మనకి ఆల్రెడీ బిఫోర్ క్వశ్చన్ లో కూడా 1* 4 4 మిడిల్ వాల్యూ 4 సో స్పిల్టింగ్

54:32 టర్మ్స్ ఆర్ 2 సో m^2 + 2m+ 2m+ 4 =0 ఇన్ ఫస్ట్ టూ టర్మ్స్ వ కామన్ ద m వ గెట్ m+2 ఇన్ సెకండ్ ట టర్మ్స్ వ కామన్ దట m+2 సో m+2 ఆఫ్ m+2 = 0 m1 =వా -2 m2 ఆల్సో -2 ద రూట్స్ ఏంటి రియల్ అండ్ ఈక్వల్ వెన్ ద రూట్స్ ఆర్ రియల్ అండ్ ఈక్వల్ ద కాంప్లిమెంటరీ ఫంక్షన్ కండిషన్ ఈస్ c1+c2x eపవర్ mx వెన్ ద రూట్స్ ఆర్ రియల్ అండ్ ఈక్వల్ ద కాంప్లిమెంటరీ కండిషన్ ఈస్ వాట్ c1+c2x e పవర్ mx సో c1+c2x e పవర్ m వాల్యూ ఈస్ వాట్ హియర్ -2x వచ్చేసింది ఈ

55:17 కామన్ థింగ్ ఫస్ట్ కాన్ చేస్తున్నాం. సో ఇక్కడ మీకు పెద్దగా తప్పు కూడా ఏమనిపియదు బట్ ఇక్కడ వచ్చేసి 1/ఎడి నా fడి ఇస్ వాట్ దిస్ వన్ m+2ఎ+2ఎ+2 ఏమలేదు d+2హోల్స్క్ర్ ఓకే π+ e పవర్ -2x బిఫోర్ అన్ని క్వశ్చన్లకి ఒక్కొక్క టర్మ్ వచ్చింది ఒకే సాల్వ్ చేశ బట్ ఇక్కడ నాన్నకు టూ టర్మ్స్ వచ్చాయి మరి ఎలా సార్ అంటే సింపుల్ టూ టర్మ్స్ సపరేట్ చేయండి π/ d+2స్క్ + e పవర్ -2x/ / d +2స్ దట్స్ ఇట్ ఓకేనా అదే కండిషన్ అప్లై చేస్తాను కొత్తగా ఏమీ ఉండదు. ఎప్పుడైతే ఇది అప్లై చేశానోప ఇక్కడ e పవర్ జ *ఎ ఉన్నట్ల బికాజ్ ఆఫ్ e పవర్ జలూ ఈస్వ ఆల్వేస్ e పవర్ జల్యూస్

56:07 వాట్వ ఓన్లీ సో e పవర్ జో వాల్యూవ అవుతుంది కాబట్టి వరైట్ప అంటే ఇన్ ప్లేస్ ఆఫ్ ఇక్కడ ఏం తీసుకోవచ్చు d =క్ జ సబ్మిట్ చేయండి ఈ క్వశన్ ఇక్కడ d = ఏం సబ్మిట్ చేయండి మ2 సబ్మిట్ చేయాలి ఇక్కడ d = -2 సబ్మిట్ చేస్తే నాకు ఆన్సర్ ఏమవుతుంది ఇది జీరో అవుతుంది సో fఏ = 0 అవుతుంది కాబట్టి కండిషన్ మనం ఏం తీసుకోవచ్చు అంటే కండిషన్ తీసుకోవడానికి ఒక ఆప్షన్ ఉంటుంది కదా మనకు ఆప్షన్ ఏంటి కండిషన్ తీసుకోవడానికి మెయిన్లీ పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ ఈక్వల్ e పవర్ ax/ d -aహోల్పవర్ n = x పవర్ n/n ఫాక్టరి * e పవర్ x మీరు అనొచ్చు ఇక్కడప్ ఉన్నా -a ఉన్న ఎఫెక్ట్ ఏం కాదు. ఇక్కడ పవర్ ఇస్ ద

56:53 ఇంపార్టెంట్ అంటే ఇక్కడ వాల్యూస్ ఏం చేయొచ్చుండి π/ 0+2స్క్ + e పవర్ ఆన్సర్ ఏంటిది x పవర్ ఏంటి డిగ్రీ = 2 అంటే xస్/2 * e పవర్ x e పవర్ -2x దట్స్ ఇట్ 5/4 + x/2 eపవర్ -2x దిస్ ద పర్టికులర్ ద జనరల్ సొల్యూషన్ ఈస్ y= వాట్ కాంప్లిమెంటరీ ఫంక్షన్ + పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ సో లాస్ట్ కి ఏం రాస్తారు ఇన్ ప్లేస్ ఆఫ్ cy వ రైట్ c1+c2x e^ -2x ఇన్ ప్లేస్ ఆఫ్ పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ యు రైట్ 5/4+x^2/2 e పవర్ -2 దట్స్ ఇట్ ఓకేనా నెక్స్ట్ ఇంకొన్ని క్వశ్చన్ చూద్దాం. కొన్ని హోమ వర్క్ చేయడానికి కూడా ఉన్నాయి. బట్ అన్నీ

57:38 క్వశ్చన్ చెప్పుకోవడం అయిపోయినక లాస్ట్ లో ఇస్తే ఒక ఫైవ్ టు సిక్స్ క్వశ్చన్స్ ఇస్తే సాల్వ్ చేసుకో 5 టు సిక్స్ కదా చాలా క్వశ్చన్స్ ఉంటాయి ఇందులో ఈ మెథడ్ లోక 30 40 క్వశ్చన్ చేసుకోవచ్చండి. మీకు వన్స్ మెథడ్ వచ్చిందంటే చాలా ఈజీ ఇది ఫస్ట్ మెథడ్ కన్ఫర్మ్ ఎగ్జామ్ లో క్వశ్చన్ అయితే ఉంటుంది. అది ఎనీ ఎగ్జాంపుల్ రైట్ నెక్స్ట్ ఇగ టూ ఫంక్షన్స్ ఒకటి అయిపోయిందా కాన్స్టెంట్ ఇస్తే ఒకటి అయిపోయింది నెక్స్ట్ అనదర్ క్వశ్చన్ చూద్దాం కాన్స్టంట్ 5 10 సేమ్ ఉంటాయి e పవర్ 3x e పవర్ 4x చాలా క్వశ్చన్స్ ఉన్నాయండి అవి నెక్స్ట్ టూ క్వశ్చన్స్ ఉన్నాయి సాల్వ్ d^ప్ d - 6 y = e పవర్ 3x + e పవర్ -3 - 3x e పవర్ 3x

58:25 + e పవర్ -3x టూ క్వశ్చన్స్ ఉన్నాయి ఇదొకటి చేసేసామంటే రిమైనింగ్ అన్ని మళ్ళీ సేమ్ మెథడ్స్ ఉంటాయి నెక్స్ట్కా ఒకటిసైన్ ఒకటి ఎనఫ్ ఇయర్ మనకు క్వశన్స్ అయిపోతాయి ఈ మెథడ్ అయిపోతుంది ఇగ ఇది e పవర్ ax అనే మెథడ్ లో మనం క్లోజ్ చేయొచ్చు ఇక్కడ ఏమఇచ్చి గివెన్ డిఫరెన్షియల్ ఈక్వేషన్ ఈస్ dస్క్ప్ d -ఆవ ఈ e పవర్ 3x + e పవర్ -3x ఓకేనా e పవర్ 3x + e పవర్ -3x f d వాల్యూ d^2 + d - 6 ఇది x వల్యూ e పవర్ 3x + e పవర్ -3x మనకి

59:12 ఆక్సిలరీ ఈక్వేషన్ mస్2 + m -0 దీన్ని ఇప్పుడు మనం ఫాక్టరైజేషన్ చేయడానికి ట్రై చేద్దాం mస్క్ కోఎఫిషయంట్ 1 -6 అంటే వి టేక్ -6 మిడిల్ వాల్యూ = వాట్ 1 ఓకేనా m^2 + m -6 = 0 -6 మిడిల్ వాల్యూ ఏమైద్దండి 1 అయితది. మిడిల్ వాల్యూ ఎప్పుడైతే వన్ వచ్చిందో నెక్స్ట్ మనం ఏం చేస్తున్నాం అంటే ఇక్కడ ఫాక్టరేషన్లో -6వ ఓకే నెక్స్ట్ చేయడానికి ఆప్షన్ ఏముంది మనకి ఇ చూడండి ఏం చేయొచ్చు ఏం చేస్తే ఈజీగా వస్తది అనేదే ఇంపార్టెంట్ ఇక్కడ ఆన్సర్ వస్తది బట్ -6 అంటే -ప్3 తీసుకోవచ్చు -2

59:59 తీసుకోవచ్చు. -3 +3 -2 వాల్యూ 1 3*-2 -6 సో mస్2 +3m -2m -6 =0 ఇన్ ఫస్ట్ టూ టర్మ్స్ వ కామన్ ద m+3 -2 m +3 =0 m +3 * m -2 = 0 అయితే ఇక్కడ m1 ఏమైద్దండి -3 ప్లస్ ఉంది కాబట్టి మైనస్ m2 వాల్యూ -2 వి గెట్ప్స్ ద రూట్స్ ఆర్ మనక ఏమవచ్చాయి రెండు రూట్స్ వచ్చాయి బట్ అవి డిఫరెంట్ రూట్స్ ద రూట్స్ ఆర్ రియల్ అండ్ డిస్టింట్ ద రూట్స్ ఆర్ రియల్ అండ్ డిస్టింట్ రూట్స్ వచ్చినాయి ద రూట్స్ ఆర్ రియల్ అండ్

1:00:45 డిస్టింట్ అయితే కాంప్లిమెంటరీ ఫంక్షన్ c1 e పవర్ m1x+ c2 e పవర్ m2x ఓకేనా అదే సబ్మిట్ చేయాలి. c1 e పవర్ m1 వల్యూ -3x + c2 e పవర్ m2 వాల్యూ 2x ఓకేనా c1 e పవర్ -3x + c2 e పవర్ 2x వాల్యూస్ వచ్చేసాయి మనకు ఎప్పుడైతే ఈ వాల్యూస్ ఎగ్జిస్ట్ అయ్యాయో నెక్స్ట్ మనం అనదర్ కేటగిరీ చూస్ చేసుకోవాలి అనదర్ కేటగిరీ అంటే కొత్తగా ఏమీ ఉండదు. బట్ ఇక్కడ ఏంటిది పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ 1/ fd ఇన్ ప్లేస్ ఆఫ్ fడి యక్చువల్గా ఇది రాయాలి d స్క్ప్ d -x బట్ మనం ఏం చేస్తున్నాం ఈజీగా ఉండడానికి t+3

1:01:32 t -2 e పవర్ x వల్యూ 3x+ e పవర్ -3x ఎందుకు అదే అప్లై చేశను అంటే ఎప్పుడైతే ఈ వాల్యూస్ మనం కన్సిడర్ చేశమో ఇది ఇది కన్సిడర్ చేసినా కూడా దాంట్లో కన్వర్ట్ చేసుకోవాలి ఇది ఉండం వల్ల మనకు ప్లస్ పాయింట్ ఏంటంటే జీరో అయ్యే ఛాయిస్ ఏదైతే ఉందో అది ఈజీగా ఐడెంటిఫై చేస్తాదా లేదనుకోండి మనకి టఫ్ అయితది మనకు కావాల్సింది ఏంటి ఎప్పుడైతే మనం ఈజీగా ఐడెంటిఫై చేయగలుగుతామో ఆన్సర్ ఈజీగా వస్తుంది. దాని కొరకే అలా సింప్లిఫై చేస్తాం. ఇంకేం వేరే రీజన్స్ ఏమీ ఉండవు. రైట్ ఇక్కడికి వచ్చేసాక సపరేట్ చేద్దాం e పవర్ 3x/ dప్3 d -2 + e పవర్ -3x/

1:02:17 d +3 d -2 ఓకేనా ఫస్ట్ దాంట్లో d = a = 3 సబ్మిట్ చెయ్ సెకండ్ దాంట్లో d = a = హౌ మచ్ -3 సబ్మిట్ చేస్తాం. సబ్మిట్ చేస్తే ఇక్కడ జీరో అయిది 3+3 3-2 జీరో అయ్యే ఛాన్స్ అయితే లేదండి అవునా 3+3 9 అయితది సారీ 6 3-2 1 6 * 1 6 అయితది కానీ జీరో కాదు అంటే వి రైట్ 3+3 3 -1 సారీ 2ప్లస్ అయితే ఇక్కడే ట్రిక్ వచ్చింది ఎప్పుడైతే ఈ -3 ఇందులో సబ్మిట్ చేస్తామో d3 అనేది జీరో అయిద్ది ఇది జీరో కాదు ఇది జీరో గా మనకు టూ టర్మ్స్ ఉన్నప్పుడు ఏం చేయాలి మనం జీరో కాదానే సబ్మిట్ చేయాలి జీరో అయిదాన్ని స్కిప్

1:03:03 చేయండి -3x/ d+3 0 అయితే దాన్ని స్కిప్ చేసి d కదా -3 -2 సో e పవర్ 3x/ 3+3 6 * 1 6 ఓన్లీ సో ఇక్కడ వాల్యూ ఏమైద్దండి -3 - e పవర్ 3x/ 5 * d+3 మనకు ఫార్ములా తెలుసు కదండీ ఇది ఎప్పుడైతే జీరో అవుతుందో దీని పవర్ ఏముందో ఐడెంటిఫై పవర్ వన్ ఉందా సో విచ్ ఇస్ రిటన్ యస్ e పవర్ 3x/6 -1/5 5 * పవర్వ కాబట్టి x / 1 * e పవర్ -3x అవర్ ఫైనల్ ఆన్సర్ ఈస్ e పవర్ 3x/6 - x * e పవర్ -3x/5 ఇస్ అవర్ ఫైనల్ ఆన్సర్ అయిపోతుంది ఓకేనా రైట్ క్లారిటీ వచ్చింది అనుకుంటున్నా

1:03:50 నెక్స్ట్ క్వశ్చన్ కి ఇవిట టర్మ్స్ ఉంటే చేసే క్వశన్స్ మనం ఇగ వేరే క్వశన్స్ కావు ఓన్లీటూ టర్మ్స్ ఉంటే మనం సింప్లిఫై చేయడానికి వచ్చే క్వశన్లు వేరే లేవు నెక్స్ట్ ఇంకో క్వశ్చన్ ఉంది ఇది మీరు ట్రై చేయండి. ఓకేనా టూ టర్మ్స్ ఉన్నా ఇదే మెథడ్ త్రీ టర్మ్స్ ఉన్నా ఇదే మెథడ్ ఫోర్ టర్మ్స్ ఇచ్చినా కూడా ఒక క్వశ్చన్ లో ఇదే మెథడ్ చేయాలి వేరే మెథడ్ అవసరం లేదు మనకు ఓకేనా సో మనకు యప్ లో ప్లేలిస్ట్ లో మనకు m4 లో కూడా టాపిక్ ఉంటుంది చూసుకోండి మెటీరియల్ ఎనఫ్ అది dస్క్ప్ 4d+ 5y = d స్క్ప్ 2d -

1:04:36 8y = e పవర్ -3x e పవర్ -4x ఆన్సర్ ఈస్ y = c1 e పవర్ -4x + c2 eపవర్ 2x - e పవర్ 3x/7 - e x eపవర్ -4x/8 నెక్స్ట్ వన్ dస్క్ప్స్ dస్క్ప్ 4dప్ 5వ ఈక్కాఎకాస్ hఎసన్హఎకాస్

1:05:22 hఎకాసైన్హఎ ఫిగర్ క్లోజ్ అయిపోతుంది లేదా ఇక్కడ క్వశ్చన్ అబ్సర్వ్ చేస్తే cos hx ఉంది. ఈ cos hx ని మనం సింప్లిఫై చేయాలి. మాక్సిమం కాంప్లెక్స్ రూట్స్ క్వశ్చన్ చాలా తక్కువ ఓకేనా కాంప్లెక్స్ రూట్స్ కంటే రియల్ అండ్ ఈక్వల్ రియల్ అండ్ డిస్టింట్ క్వశ్చన్స్ ఎక్కువ ఉన్నాయి. కాంప్లెక్స్ వస్తే ఇంకా ఈజీ మీరు డైరెక్ట్ d ప్లేస్ లో ఏ వాల్యూ సబ్మిట్ చేస్తే ఇక్కడ డిఫరెన్షియల్ ఈక్వేషన్ ఈస్ వాట్ d^ + 4d + 5y = cos hx

1:06:08 ఓకేనా సో d^ + 4d + 5y = వాట్ cos hx వచ్చింది. cos hx వస్తే fdy fd = d^ + 4d + 5x = cos hx ఆక్సిలరీ ఈక్వేషన్ m^2 + 4m+ 5 =0 5 మిడిల్ వాల్యూ 4 ఫాక్టరేషన్ తెలుసు కదా మనకు సెకండ్ యూనిట్ చేస్తున్నాం 5 అంటే వి టేక్వ రాంగ్ రాదు కదా ఫాక్టరేషన్ పాసిబుల్ అవుతుందా కానట్టుంది కదా దీనికి ఫాక్టరేషన్ కాలేదంటే అసలు జీరో అయ్యే ఛాన్స్ కూడా లేదు.ఫై పై టేబుల్ లో 5 * 1 వస్తది బట్ ఇక్కడ మనకు ఆప్షన్ లేదు సో ఫాక్టరైజేషన్ నాట్ పాసిబుల్ సో వ యూస్ ఫార్ములా m = వాట్ -బప్ఆ -అ ట్ఆబిస్క్

1:06:56 - 4ac/ 2a వెన్ యూస్ దిస్ ఫార్ములా వాట్ ఇస్ దబి వాల్యూ -4ప్లస్ ఆర్ మైనస్ 16-20/2 ప్లస్ఆర్ అంటే 4 5= 20 అయితే అర్ 6 -20 అంటే ఏం రాయొచ్చండి అర్ట్ -4 4 -4 ని ఏమని రాయొచ్చు -1*4 నా -1 * 4 దిస్ ఇస్ ద i దిస్ ఇస్ ద 2 సో ఫైనల్ ఆన్సర్ ఏం రాసుకోవచ్చు 2i రాయొచ్చు ఇక్కడ అంటే m = -4 +ఆ -2i/2 వెన్ వ కామన్ దట వ కాన్సల్ -2 +ఆ -ఐ సో విచ్ ఇస్ కంపేరింగ్ విత్ αల్ఫా +ఆర్ -ఐ బఆల్ఫా వల్యూ -2 బీట వల్యూ ఈస్వ ఓకేనాఆల్ఫా వల్యూ -2 బట వల్యూ మస్ ద

1:07:44 రూట్స్ ఆర్ నాట్ రియల్ అండ్ డిస్టింట్ ద రూట్స్ ఆర్ కాంప్లెక్స్ ఆర్ ఇమాజినరీ ఓకేనా ద రూట్స్ ఆర్ వాట్ కాంప్లెక్స్ ఆర్ ఇమాజినరీవెన్ ద రూట్స్ ఆర్ కాంప్లెక్స్ వాట్ ఇస్ ద సొల్ూషన్ a పవర్ αx c1 cosబx + c2 sinబxవెన్ ద రూట్స్ ఆర్వెన్ ద రూట్స్ ఆర్ రియర్లీ కాంప్లెక్స్ ఇమాజిన ద జనరల్ సొల్ూషన్ ఈ కాంప్లిమెంటరీ ఫంక్షన్ ఈస్ వాట్ e పవర్ αx c1 cos βx + c2 sin βx హియర్ వాట్ ఇస్ ద ఆల్ఫా వాల్యూ ఆల్ఫా వాల్యూ మీన్స్ రియల్ వాల్యూ -2 ఇస్ ద αఫా బీట వాల్యూ ఈస్ 1 సో హియర్ వ రైట్ e పవర్ -2x c1 cos x + c2 sinx ఓకే దట్స్ ఇట్

1:08:32 కంప్లీటెడ్ ఎప్పుడైతే ఆన్సర్ వచ్చిందో పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ కనుక్కోవాలి. ఇది ఇంకా ఈజీ అండి ఇక్కడ కనుక్కోవడం చాలా ఈజీగా వచ్చేస్తది. 1/ఎడిఎఫడి అంటే ఇదే రాయాలి ఎందుకు సార్ మీరు ప్రతిసారి ఇది రాసుకుంటాం ఈ ఒక్కసారి క్వశ్చన్ అది ఎందుకు రాస్తున్నాం అంటే ఇక్కడ అసలు ఫాక్టరైజేషన్ే కాలే ఫాక్టరైజేషన్ కాకుండా కాంప్లెక్స్ రూట్స్ వస్తే అది డినామినేటర్ ఎప్పుడు జీరో కాదండి అది ఫిక్స్ సో దట్స్ వై వి టేక్ dస్క్ + 4d+ 5 * cos hx ఇప్పుడు ఏం చేస్తారు సార్ ఇప్పటి వరకు e పవర్x అనే ఇప్పుడు x = a అనుకొని తీసుకున్నాం అయితే మీకు స్టార్టింగ్ లో హైపర్బోలిక్ ఫంక్షన్స్ అని ఉంది ఫార్ములా cos hx = e పవర్ ax + e పవర్ -ax/2 హియర్ వి రైట్ 1/d^2 + 4d+ πr

1:09:19 * e పవర్ x + e పవర్ -x/2 cos hx ఫార్ములా ఏంటి e పవర్ x + e పవర్ -x/2 అయిపోతుంది అదే తీసుకుంటే ఫస్ట్ దానికి e పవర్ ax/2ఆ d^ + 4d+ 5 సెకండ్ వన్ e పవర్ -2x/2ఆ d^ + 4d+1 దట్స్ ఇట్ సపరేట్ సెపరేట్ గా అప్లై చేయడం cos hx అనగానే ఏం చేయాలి e పవర్ ax + e పవర్ -ax/2 sin hx అంటే ఒకటి cot hx అంటేసకా వేరే క్వశన్స్ ఉండవు మనకి ఇక్కడ ఇక్కడ d = వాట్ a వాల్యూ ఎంతండి x కోఎఫిషియంట్ aవ సో ఇక్కడ d = a వాల్యూ హౌ మచ్ -1 సబ్మిట్ చేస్తే e పవర్ x/ 2 1స్క్ + 4+5

1:10:10 + e పవర్ -x/2ఆ -1స్క్ అంటే -1స్ + 4 -1+5 ఓకేనా జీో అయ్యే ఛాన్స్ లేదు జీో అయిందని మనమే మిస్టేక్ చేస్తున్నాం మేడం ఇక్కడ e పవర్ x/ 4+5 9 10 20 వస్తదండి. ప్లేస్ లేదు కదా డైరెక్ట్ రాస్తున్నా e పవర్ -x/ చూడండిప్1ప్5 6 - 4 2 హౌ మచ్ 4 దిస్ ఇస్ ద వర్ ఆన్సర్ అంటే ఇది ఓన్లీ పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ లాస్ట్ కన్ఫర్మ్ మనం ద జనరల్ సొల్యూషన్ ఈక్వల్ట y = కాంప్లిమెంటరీ ఫంక్షన్ ప్లస్ పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ అనేది మషన్ షుడ్లీ మనం మెన్షన్ చేయాలి ఇది ఫిక్స్ మెన్షన్ చేయకపోతే మిస్టేక్ చేస్తున్నాం అని మీనింగ్ ఓకేనా రైట్ క్లారిటీ వచ్చింది అనుకుంటున్నా క్లియర్ అయిపోయి ఉంటది కూడా

1:10:56 మీకు ఈ డౌట్ నెక్స్ట్ రఫ్ చేస్తున్నా ఓకేనా నెక్స్ట్ క్వశ్చన్ చేద్దాం. నెక్స్ట్ క్వశ్చన్ ఒకటి సైన్ లో చేసామంటే ఇక మిగిలిన క్వశ్చన్స్ అన్ని మీరు సాల్వ్ చేయొచ్చు. ఇక్కడ ఒక క్వశ్చన్ ఉంది చూడండి ఇది ఇస్తే మీరు ట్రై చేయండి. సేమే చేంజ్ cos hఎ ఉంటుంది ఈ క్వశ్చన్ ఏంటంటే dస్క్ - 3d+2y = cos h 2x అంటే ఇక్కడ cos h2x ప్లేస్ లో ఏం రాలి e పవర్ 2x+ e పవర్ -2x/2 అని రాస్తే సరిపోతుంది. మనకు ఆన్సర్ ఏమవుతుందంటే y = c1 e పవర్ఎసిటఈ పవర్ 2ఎ+ xపవర్ 2ఎ/2ప్ e పవర్ -2x/ 24 ఇది ఆన్సర్ వస్తుందండి ఓకేనా నెక్స్ట్ క్వశ్చన్సైన్ తీసేద్దాం ఒకటి సాల్వ్

1:11:45 d^ - 6d + 9y = sin hxసక్ చేసి మనం డిగ్రీ టూ ఉన్నాయి ఇంకొక రెండు క్వశ్చన్లు అయితే క్లోజ్ మిగిలిన హోమ వర్క్ లాగే ఇచ్చేస్తా కంప్లీట్ అయిపోతాయి ఓకే ఓకేనా ఇదొకటి చేసి ఇంకొక టూ త్రీ క్వశ్చన్స్ ఆల్మోస్ట్ అంతే మీ ఫ్రెండ్స్ కి షేర్ చేస్తా ఉండమ్మా మీ జూనియర్స్ కి కూడా షేర్ చేస్తా ఉండండి మనది ఆల్రెడీ జూనియర్స్ ఆల్రెడీ వీడియోస్ ఉన్నాయి సో వాళ్ళకి పెద్ద ప్రాబ్లం కాదు ప్రిపరేషన్ లో

1:12:39 రైట్ ఇక్కడ ఈక్వేషన్ ఈస్ dస్క్ - 6d + 9y = sin hx ఓకేనా d^ - 6d + 9y = వాట్ sin hx అనే కండిషన్ కన్సిడర్ చేస్తే ఎప్పుడైతే sin hx d f d^ - 6d+ 9 x ఈ sin hx మీకు హైపర్బోలిక్ ఫంక్షన్ గుర్తుంటే సరిపోతుంది ఆక్సిలరీ ఈక్వేషన్ m^2 - 6m+ 9 =0 1* 9 9 మిడిల్ వాల్యూ ఈస్ -6 వ టేక్ -3 -3 ఓకే m^2 -3m -3m +9 =0 ఇన్ ఫస్ట్ ట టర్మ్స్ వ కామన్ ద m వ గెట్ m -3 సెకండ్ ట టర్మ్స్ -3 m -3 సో సో m -3

1:13:26 m -3 = 0 1 m1 ఏమైదండి 3 అనదర్ m2 ఆల్సో 3 అంటే ద రూట్స్ ఆర్ రియల్ అండ్ ద రూట్స్ ఎలాంటివి అయితాయండి ద రూట్స్ ఆర్ ద రూట్స్ ఆర్ రియల్ అండ్ ఈక్వల్ వెన్ ది కాంప్లిమెంటరీ ఫంక్షన్ ఈస్ వెన్ ద రూట్స్ ఆర్ రియల్ అండ్ ఈక్వల్ ద కాంప్లిమెంటరీ ఫంక్షన్ ఈస్ వాట్ c1 e పవర్ m1x c1 + c2x e పవర్ mx ఓకేనా c1+ c2x e పవర్ mx అయితే అది ఓకేనా రైట్ సో కాంప్లిమెంటరీ ఫంక్షన్ ఈస్ c1+ c2x e పవర్ వాట్ ఇస్ ద m వ వాల్యూ m వల్యూ ఈ 3x రైట్ 3 ఓన్లీ సో పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ =

1:14:14 1/ fd * x వాట్ ఇస్ ద fd హియర్ f d వాల్యూ ఈస్ దిస్ వన్ ఓన్లీనా సో d -3హోల్స్క్ * sin hx మనకి ఇక్కడ sin hx ఫార్ములా sin hx ఫార్ములా ఈస్ వాట్ sin hx = e పవర్ ax - e పవర్ -ax/2 ఇక్కడ మైనస్ ప్లేస్ లో ప్లస్ ఉంటే cos hx మైనస్ ఉంటే sin hx సో ఇక్కడ ఇక్కడ టూ టర్మ్స్ ఉన్నాయి కాబట్టి సపరేట్ అప్లై చేద్దాం సో 1/d -3స్క్ * e పవర్ x+ e పవర్ -x/2 సపరేట్ ఇట్ సో e పవర్ x/2 d -3ోస్క్ -స్ e పవర్ -x/2

1:15:00 d -3హోల్స్క్ర్ లైక్ దిస్ జస్ట్ పుట్ d వాల్యూ d = a = హౌ మచ్వర్ పుట్ d = a = -1 సబ్మ్యూట్ చేస్తే e పవర్ x/2ఆఫ 1-3హోల్స్క్ర్ - e పవర్ -3x/ / 2 వాట్ -1 -3హోల్స్ వచ్చేసిందా సో హియర్ ఆన్సర్ ఏమైద్దండి e పవర్ x/ 2 2స్క్ 4 * 2= 8 - e పవర్ -3x/62= 32 దట్ ఈస్ అవర్ పర్టికులర్ ఇంటిగ్రేషన్ వాల్యూ ఓకేనా రైట్ ఇప్పటి వరకు ఇవి చేసాం కానీ సింగిల్ ఫంక్షన్ ఉంటే చేయలేదండి మనం అది కూడా ఒక మోడల్ dస్క్ -9 dస్క్ - 36

1:15:47 ఇట్ క్వశన్ చేయలే కదా అదిఒక్కటి చేద్దాం చేస్తే ఇ క్లోజ్ మనకి ఫస్ట్ మెథడ్ అయిపోయింది ఇంకొక టూ మెథడ్స్ అయితే యూనిట్ అయిపోద్ది అవఒక టూ వీడియోస్ లో క్లోజ్ చేస్తాను మీకు ఎక్కువ వీడియోస్ కూడా పట్టనివ్వను దీనికి ఇంకో క్వశ్చన్ వచ్చేసి దీనికి ఓన్లీ డైరెక్ట్ పర్టిక్ులర్ ఇంటిగ్రల్ చేద్దాంండి మొత్తం కాకుండా ఎందుకంటే కాంప్లిమెంటరీ చేసి చేసి ఉన్నాం కదా మళ్ళీ కాంప్లిమెంటరీ చేయడం కూడా వేస్ట్ వీటికి ఓన్లీ పర్టిక్ులర్ చెప్పేస్తా ఒకవేళ ఎగ్జామ్ లో కాంప్లిమెంటరీ అడిగితే కాంప్లిమెంటరీ కూడా చేయండి పర్టిక్యులర్ అడిగితే పర్టిక్ులర్ చేయండి యస్ యువర్ విషగా పెద్ద ప్రాబ్లం ఉండద్దు దాంతో మీకు రైట్ చూడండి టూ క్వశ్చన్స్ ఉంటాయి ఇట్లాంటివి ఫైండ్ క్వశ్చన్స్ ఇలా కూడా అడుగుతాడు ఫైండ్ పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ ఆఫ్ dస్క్ - 9y = e పవర్ 3x ఇంకో క్వశ్చన్

1:16:35 ఫైండ్ పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ ఆఫ్ ఆఫ్ dస్క్ - 36y = e పవర్ 6x ఓకేనా ఇవి చాలా క్వశ్చన్స్ ఉన్నాయి మీరు ప్రాక్టీస్ చేయడానికి యక్చువల్లీ మీరు ప్రాక్టీస్ చేస్తాను అంటే ఇప్పుడు మీరు ఇక్కడ ఉన్న దానికంటే ఎక్కువ క్వశ్చన్స్ కూడా ఇవ్వచ్చు సో ఫస్ట్ వన్ మనకఏంటి పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ ఫార్ములా 1/ fd * క్పటల్ x నా fడి వల్యూ dస్క్ - 9 *పఎ వాల్యూ e పవర్ 3x ఇక్కడే వచ్చిన కాదు గొడవ d^క్ - 9 e పవర్ 3x ఉంది. అయితే మీరు అనొచ్చు 3 ఇక్కడ సబ్మిట్ చేస్తే 0 అవుతది కానీ దీన్ని ఫాక్టరైజేషన్ లో d -3 * d+3

1:17:25 * eపవర్ 3x ఓకేనా 1/ d -3 * d+3 e పవర్ 3x ఇప్పుడు ఇప్పుడు d = 3 సబ్మిట్ చేశను ఇక్కడ సబ్మిట్ చేయాలి. e పవర్ 3x/ 3+3 * d -3 e పవర్ 3x/ 6 d -3 నా సో 6 d -3 వస్తే ఇక్కడ ఫార్ములా ఏంటిది 1/ d - aహోల్ పవర్ n * e పవర్ ax ఉంటే పవర్ n కాబట్టి x పవర్ n/ఎ * e పవర్ ax కదా ఇక్కడ పవర్ ఎంతండి 1 సో 1/6 x/1 * e పవర్ 3x ఇస్ అవర్ పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ ఆన్సర్ సేమ్ సిమిలర్ దిస్ వన్ ఆల్సో పర్టికులర్ ఇంటిగ్రల్ ఫార్ములా 1/ fd *x నా హియర్ fd వల్యూ d^ - 36 e పవర్

1:18:16 6x ఇప్పుడు డైరెక్ట్సి సబ్మిట్ చేసామ అనుకో జీరో అయిద్ది. సో నేను డినామినేటర్ ఏం రాస్తున్నా d -6 * d+6వర d -6 * d/6 ఇన్ ప్లేస్ ఆఫ్ 6 ఇక్కడ సబ్మిట్ చేస్తే జీరో అయిది సో దాన్ని ఇక్కడ సబ్మిట్ చేస్తే నాకు 6+6 ఏమైదండి 12 ఇపవర్ 6x/ d -6 ఇప్పుడు ఈ క్వశ్చన్ లో ఈ దీని డిగ్రీ ఎంత d వాల్యూ ఈస్వ సోవ కాబట్టి ఏంచ్చు 1/12 * x పవర్ 1/1 * e పవర్ 6x దట్ ఈస్ అవర్ ఫైనల్ ఆన్సర్ ఓకేనా ఇవి క్వశ్చన్లు ఇంకొన్ని ప్రాక్టీస్ కి ఇస్తా అవి ప్రాక్టీస్ చేయాలబ్బా చేస్తే సరిపోతుంది ఎనఫ్ మీకు ఆన్సర్స్ ఇస్తా క్వశ్చన్స్ కూడా రాస్తా మర్త మీకు క్లారిటీ వచ్చేస్తది ఆన్సర్స్ కూడా సరిపోతాయి. ఎక్కువ చదవాల్సిన పని కూడా

1:19:03 ఉండదు మీకు క్వశ్చన్స్ వచ్చేసిటూ క్వశ్చన్స్ ఉన్నాయన్న d^ - 5d - 6y = ప్రాక్టీస్ పర్పస్ e పవర్ 2x + e పవర్ 3x ఆన్సర్ ఈస్ y = c1 e పవర్ -x + c2 eపవర్ 6x -1/12 e పవర్ 2x + e పవర్ 3x d^ + 6d + 4y = 4+ e పవర్ 2x హియర్ ఆన్సర్ ఈస్ y = c1 e పవర్ -3+ 5x అంటే రూట్స్ ఇలా వచ్చినాయని

1:19:52 మీనింగ్ ఫాక్టరైజేషన్ చేస్తే నెక్స్ట్ స్క్వర్ -y =కా h2x ఒక లాస్ట్ టర్మ్ కి ఇట్లా కూడా రాసుకోవచ్చుండి రిమైనింగ్ క్వశ్చన్స్ d^2 + 36y = sin h3x ఆన్సర్ ఈస్ y = c1 cos 6x + c2 sin 6x + e

1:20:39 పవర్ 3x - e పవర్ -3x/45 ఓకేనా ఈ క్వశ్చన్స్ నెక్స్ట్ ఇంకొన్ని జనరల్ ఫస్ట్ మెథడ్ లో చేయలేదు కదా ఎక్కువ క్వశ్చన్స్ మీరు డైరెక్ట్ ఓన్లీ సింగిల్ క్వశ్చన్ ఇచ్చినప్పుడు మీకు ఏమ ఇవ్వలే ప్రాక్టీస్ కి అవి కూడా కొద్దినే ఉంటాయి లేండి సేమ్ మెథడ్ ఏవి చేసినా కూడా సింగిల్ టైప్ d^ - 2d + 1y = e పవర్ 3x ఆన్సర్ y = c1+c2 x e పవర్ x + e పవర్ 3x/4 అనదర్ వన్ b^2 + 6d+ 9y ఈ 2ee పవర్ -3x y = c1+c2x

1:21:27 eపవర్ -3x + x^ e పవర్ -3x ఆ d^ + 5d + 6y = e పవర్ 2x ఆన్సర్ ఈస్ y = c1+ e పవర్x + c2 eపవర్ 2x -2x -3x x+ e పవర్ 2x/20 ఇలాంటి క్వశ్చన్ మాక్సిమం మీకు మీ దగ్గర ఏ బుక్ ఉన్నా ఓకే లేకపోతే మన యప్ లో చూసుకున్నా కూడా ఎనఫ్ మీకు ఈ క్వశ్చన్స్ే ఓకేనా నెక్స్ట్ పార్ట్ లో పార్ట్ట పార్ట్ త్రీ ఇంకొక టూ పార్ట్స్ లో మనకి యూనిట్ కంప్లీట్ చేద్దాం రైట్ సబ్స్క్రైబ్ చేయడం మర్చిపోవద్దు

Share

YouTube Video Summaries

CCTV Furious! $100 Million Propaganda Video Mocked By 1 Billion Chinese

my note taking system for human thought

Jack Frost Mushrooms 🍄‍🟫 | DoubleBlind

Dr. Jack Kruse Explains How Life Organizes Around Magnetism, Quantum Physics & Ancient Civilizations

Rhinitis Complete Allopathic Treatment In Hindi | Rhinitis Causes, Symptoms And Treatment

China Is Done! Indonesia Kicks Out Chinese Firms: $15 Billion Production Lines Dismantled In 3 Weeks

Browse all summaries →