0:04 तो मेन हेडिंग रहेगा प्राकृत संख्या। ठीक है? इसी को हम लोग क्या लिखते हैं? नेचुरल नंबर प्राकृतिक संख्या भी बुक में लिख के दे देता है। ठीक है? तो उसमें कंफ्यूज नहीं होना है। ठीक? इसी में लिखो। चलो नीचे एक लाइन खींच के लिखना। ठीक है? इसी को बोलते हैं क्या? तो लिख लो धनात्मक पूर्णांक। क्या लिखना? धनात्मक पूर्णांक ऑब्लिक संख्या लिख लिए रहना।
0:51 ठीक है? धनात्मक पूर्णांक ऑब्लिक क्या? संख्या। ठीक? इसी को मैं दोनों लिख दे रहा हूं। ठीक है? पॉजिटिव इंटजर्स या फिर हम लोग क्या बोलते हैं? नंबर्स। ठीक? तो ये भी जब लिखा रहेगा तो इसमें कंफ्यूज मत होना। जैसे दो धनात्मक संख्या। ठीक है? दो धनात्मक पूर्णांक। ऐसा कोई स्टेटमेंट आपके पास है तो याद रखना वह किसके बारे में बात कर रहा है। ठीक है? प्राकृत संख्या। इसी में एक चीज और आता है। लिख ले रहा हूं। इसी को हम लोग बोलते हैं क्रमागत या कहीं-कहीं पे लगातार लिख देता है।
1:37 ठीक? क्या पढ़ रहे हैं हम लोग? क्रमागत या फिर क्या? लगातार संख्या। ठीक? इनहीं को हम लोग कंजक्टिव या कुछ लोग कंजक्यूटिव करके पढ़ते हो। ठीक है? या इसी को आप लिखते हो क्या? सीरियल नंबर्स। यह लगातार और सीरियल नंबर जो आप देख रहे हो ना यह बोलचाल की भाषा में होता है। बाकी आप क्वेश्चन कभी-कभी देखोगे किससे? क्रमागत संख्या से। ठीक है? खास करके ये जो चैप्टर अभी आप पढ़ रहे हो एज इट इज रिपीट होगा जब आप एवरेज में आओगे, औसत में आओगे। दोनों में अंतर बस इतना होता है कि यहां पे केवल हम लोग योग की बात कर रहे होते हैं। उनका सम चेक कर रहे होते हैं। वहां जब पहुंचेंगे तो योग और संख्या दोनों को हम लोग यूज़ करेंगे और उसी को क्या
2:22 बोलेंगे? एवरेज या औसत बोलेंगे। तो प्राकृत संख्या ही धनात्मक पूर्णांक या धनात्मक संख्या है और प्राकृत संख्या ही क्रमागत संख्या या लगातार संख्या है। ठीक है? तो सबसे पहले तो प्राकृत संख्या है क्या? ये क्वेश्चन आते हैं। तो थ्योरिटिकल में यदि लिखे याद रखना प्राकृतिक संख्या या प्राकृत संख्या ये होते क्या हैं? तो गणना उपयोगी संख्याएं हैं। ठीक है? गणना उपयोगी क्या हैं? संख्याएं हैं। इसी गणना को आप गिनती भी बोलते हो। इसी गणना को क्या बोलते हो? गिनती। बाकी आसान शब्दों में हम लोग इसके लिए वर्ड यूज करते हैं। काउंटिंग नंबर्स। क्या यूज करते हैं? काउंटिंग नंबर्स। इसी
3:08 को हिंदी में गणना उपयोगी संख्याएं बोलते हैं। ठीक है? मतलब जिन अंकों का या संख्याओं का हम लोग काउंटिंग में यूज़ करते हैं। ठीक है? गिनती में यूज़ करते हैं। उन्हीं को क्या बोलते हैं? प्राकृत संख्या। तो देखना कभी भी आप काउंटिंग शून्य से स्टार्ट नहीं करते हो। आप काउंटिंग हमेशा कहां से स्टार्ट करते हो? एक से। तो जब इसके आगे हम लोग कंटिन्यू लिखते चले जाएंगे। ठीक है? ध्यान रखना। तो अप टू इनकी संख्या जो होती है वो कितनी होती है? इनफिनिट होती है। लिख सकते हैं। इससे पहले क्लास में या पहले जब मैं फर्स्ट क्लास लिया उसमें क्लियर रखना। आपको मैं बताया हूं कि संख्या जो होते हैं वो क्या होते हैं? अनंत होते हैं। बताया था इनफाइनाइट होते हैं। लेकिन इनको यदि हम लोग कैटेगराइज कर दें कि जैसे सिंगल
3:55 डिजिट, डबल डिजिट, ट्रिपल डिजिट, एक अंक की संख्या, दो अंक की संख्या, तीन अंक की संख्या तो वो इनफाइनाइट नहीं होते हैं। वो काउंटेबल होते हैं। पढ़े थे। यहां पे यदि आप बात करोगे तो सिंगल डिजिट नंबर्स आपको नाइन मिलेंगे। डबल डिजिट में जाओगे तो 90 मिलेंगे। ट्रिपल में जाओगे तो 900 मिलेंगे। ठीक है? फोर डिजिट में जाओगे तो 9000 मिलेंगे। मतलब एक-एक शून्य हम लोग क्या करते जा रहे हैं? बढ़ाते जा रहे हैं। लिख सकते हैं। तो सबसे पहला प्राकृत संख्या होता क्या है? तो लिखना काउंटिंग नंबर्स। क्योंकि क्वेश्चन जब आगे बढ़ोगे वो लिख करके देगा। ठीक है? कि दो धनात्मक संख्याओं का योग इतना है। दो धनात्मक संख्याओं का अंतर इतना है। इस टाइप के क्वेश्चंस आपको मिलेंगे। तो पहले प्रिपेयर रहना। इसमें जीरो इंक्लूडेड नहीं होता है। जीरो इंक्लूड कब होगा? तो जब हम लोग पहली बार पढ़ेंगे पूर्ण संख्या या होल नंबर्स।
4:43 ठीक है? तो अभी हम लोग इनको ले चल। अब देखो इनसे क्वेश्चन आते क्या हैं? तो जैसे मैं अभी आपको बोला कि पहला क्वेश्चन हम लोग से पूछेगा इनके योग के बारे में। किसके बारे में? इनके योग के बारे में जिसको आप लोग सम पढ़ते हो। ठीक है? तो इसके बारे में क्वेश्चन आएंगे। अब योग के बारे में यदि पूछा तो ये इनफाइनाइट रहेगा क्या? बताओ पॉसिबल है कि मैं आपको बोलूं कि अनंत वैल्यूस का ठीक है? अनंत संख्याओं का योग क्या होगा? तो ऐसा संभव नहीं होता है। ठीक है? इसीलिए एक रेंज आपको देता है और रेंज आपको देकर के क्वेश्चन पूछता है कि बताइए इनका योग क्या होगा? जैसे आगे आप पढ़ोगे तो 1 2 3 4 और यही इनफिनिट n के टर्म्स में आ जाता है। ध्यान से सुनना।
5:29 किसके टर्म्स में आ जाता है? n के टर्म्स में। इस n को हम लोग क्या बोलते हैं? बोलो। क्या बोलते हैं? एक वर्ड यूज़ होता है। कौन सा? लास्ट टर्म। या इसी को हम लोग क्या बोलते हैं? अंतिम पद सुने हो? ठीक है? इसी को लास्ट टर्म या क्या बोलते हैं? अंतिम पद। ठीक? अब हम लोग जब प्राकृत संख्या पढ़ रहे होते हैं, तो इस कंडीशन में इसी n को नंबर ऑफ टर्म्स भी बोलते हैं या पदों की क्या बोलते हैं? संख्या। ठीक है? टर्म्स को क्लियर करना, दिक्कत होगी पूछना। मैं यहां पर क्या बोला कि जबजब मैं नेचुरल नंबर्स की बात करूंगा या कंजक्यूटिव नंबर्स की बात करूंगा या पॉजिटिव इंटीजर्स की बात करूंगा तो ये लास्ट टर्म जो होगा या n जो होगा वो अंतिम
6:14 पद या किसके रूप में लिखा जाएगा पदों की संख्या। इसीलिए सीधे-सीधे लिखते हैं कि यदि कोई सीरीज वन से स्टार्ट हो रही है और कौन सा है? ठीक? काउंटिंग नंबर है या फिर नेचुरल नंबर है। तो उस कंडीशन में अंतिम पद ही क्या हो जाता है? पदों की संख्या। जैसे पूछता है एक से 100 तक तो एक से 100 तक मतलब हम लोग n की वैल्यू कितना देख पा रहे हैं? 100 कुछ छूट रहा है क्या? छूटेगा तो वहां पे कोई वैल्यू नहीं छूट रहा है। इसीलिए लास्ट टर्म जो होगा 100 वही हमारे लिए क्या होता है? नंबर ऑफ टर्म्स। लेकिन जैसे-जैसे आगे बढ़ेंगे आप। ठीक है? तो इसमें दो चीज होता है कि हम लोग जब भी इनकी बात कर रहे होते हैं। ठीक है? तो ये प्राकृत संख्या पहले दो भागों में बंट जाते हैं। ठीक? कौन-कौन से दो भाग में? तो
7:01 याद रखना यही दो भाग जो होते हैं एक सम कहलाता है और एक क्या कहलाता है? विषम कहलाता है। ठीक है? सम को हम लोग बोलते हैं इवन नंबर। ठीक? और विषम को हम लोग बोलते हैं ऑड नंबर। ठीक है? विषम को हम लोग क्या बोलते हैं? ऑड नंबर। आगे क्वेश्चंस लेंगे ना। ध्यान रखते चलना। क्या-क्या लिखा मैं? इवन और ऑड। एक्चुअल में यह क्या होता है? अल्टरनेट हम लोग एक-एक नंबर्स को उठाते हैं और दो समूह में बांट देते हैं। जैसे नेचुरल नंबर से मैं एक उठाया और एक को मैं कहां लिख दिया? विषम में। ठीक है? अगला कौन सा है? दो। तो मैं दो को किस में लिख दिया? सम में। अगला फिर से कौन सा? तीन।
7:48 तो तीन किस में आ गया? विषम में। अगला कौन सा? चार। और ऐसे करते-करते दो सीरीज हम लोग को मिल जाते हैं। जहां पर हम लोग बात करते हैं सम और किसका? विषम का। ठीक है? इनको लास्ट में x लिख के रख देते हैं। क्या लिख देते हैं? लास्ट में x बुक में n रहेगा। क्लियर है? मैं समझाने के लिए क्या लिखा हूं इसको? x। इसमें क्या होगा? तो 2 4 6 8 10 और अप टू यहां भी क्या लिखना? x। अब x क्यों लिख रहे हैं? तो ये हम लोग अपने समझ के लिए लिख रहे हैं। ठीक है? n का मतलब मैं अभी आपको बताया कि यही पदों की संख्या है और यही क्या है? अंतिम पद है। लेकिन वो चीज सम और विषम में होगा क्या? आपने तो क्या किया कि जो 100
8:34 संख्याएं थे उनमें से 50 को सम बता दिया और 50 को विषम बता दिया। लेकिन लास्ट टर्म में 50-50 मिलेगा क्या? पॉसिबल है? इस वाले को जब सॉल्व करोगे यहां भी 100 मिलेगा। इस वाले को सॉल्व करोगे यहां पे 99 मिलेगा। समझ पा रहे हो जो बोल रहा हूं उसको दो समूहों में बांटे तो इस वाले में देखना यहां पर 100 दिखेगा और इसको जब आप चेक करोगे तो यह 100 नहीं होगा क्योंकि 100 क्या है सम है इसलिए यहां पे 100 से पहले वाली संख्या 99 दिखेगी तो यहां पे इसका मतलब यह नहीं कि पदों की संख्या 100 होगा या 99 होगा। सबसे पहले वहां हम लोग उनको अंतिम पद या लास्ट टर्म पढ़ते हैं। क्या पढ़ते हैं? अंतिम पद या लास्ट टर्म। तो दोनों केस अलग होते हैं ना। एक केस हमारा कौन सा था? नेचुरल नंबर्स का प्राकृत संख्या का और उनको दो भागों में
9:21 कैटेगराइज किया। कौन-कौन सा? सम और विषम। यहां से बहुत बेसिक क्वेश्चन पूछता है। ठीक? जैसे इनको बोलेगा कि आपके पास दो वैल्यू्यूज हैं। ठीक है? हो सकता है a और कौन सा? B। ठीक है? ध्यान से करना। क्या-क्या है? A और B। इनमें से किसी एक को सम बता देगा और किसी एक को विषम बता देगा। लिख सकते हैं। एक उनमें से सम है और दूसरा क्या है? विषम है तो आपसे पूछेगा कि उनका योग क्या होगा? तो सम और विषम का योग क्या होगा? बताओ मैं एक सम संख्या को एक विषम संख्या से जोड़ूं तो हमेशा क्या मिलेगा? विषम मिलेगा। क्लियर है? ठीक? ज्यादा दिक्कत हुआ तो 2 + 1 कर लेना। और 2 + 1 कितना होता है? ठीक? लिख सकते हैं। मान लो मैं सम और सम
10:07 को जोड़ूं तो क्या मिलेगा? सम। ठीक? ये क्वेश्चन पूछे गए हैं ना ध्यान रखना और इसी में मैं विषम को विषम से जोड़ दूं तो क्या होगा? सम होगा। लिखेंगे विषम विषम क्या होता है? सम। ठीक? अब देखो ये तो प्लस का टर्म्स है। इसी को इंटू में कन्वर्ट कर दें तो यदि मैं मान लो इंटू की बात करूं और पहले बोलूं कि बताओ सम और विषम को मल्टीप्लाई करने पे क्या होगा? तो क्या होगा? सम और विषम को मल्टीप्लाई करने पे सम। जिन लोग को इसमें दिक्कत आ रहा है दो संख्या दोनों में से चूज़ कर लो। एक दो ले लो और एक क्या ले लो? एक ले लो। तो मैं आपको बोलना चाह रहा हूं कि टू का मल्टीप्लाई वन से करो। तो टू का मल्टीप्लाई वन से मतलब क्या हो
10:54 जाएगा? 2 * एकम दो। और दो कैसी संख्या? सम संख्या। तो उसी को मैं बोल रहा हूं कि सम का गुणा मैं लिखा किससे? विषम से। कितना मिला? सम मिला। लिख सकते हैं। अगले में सम और सम का गुणा। तो ये तो हमेशा सम होता है। जैसे दो का दो से गुणा किया तो 2 * 2 = 4 ठीक है? नीचे में विषम विषम दिख रहा है। तो याद रखना विषम में एक और एक आ जाएगा। तो 1 * 1 = 1 होता है। तो दो विषम का गुणनफल हमेशा क्या होता है? विषम होता है। अब देखो क्वेश्चन कैसे पूछा है। ठीक है? क्वेश्चन मैं अभी ओरल बोल रहा हूं। लिख लेना। यदि a और बी क्रमशः P और Q भी लिखता है ना। ठीक है? सम
11:41 और विषम संख्याएं हैं। सम और कैसी संख्याएं हैं? विषम संख्याएं। तो निम्न में से तो निम्न में से कौन सा निम्न में से कौन सा निश्चित रूप से कौन सा निश्चित रूप से सम संख्या होगा। मतलब आपको फाइंड आउट करने बोल रहा है कि कौन सा इसमें इवन नंबर होगा। ठीक है? पहला ऑप्शन रहेगा a * b सेकंड ऑप्शन रहेगा a +
12:29 b क्या लिख लेना सेकंड ऑप्शन में a + b थर्ड ऑप्शन में लिख ले रहे रहना a + b + 2 और फोर्थ ऑप्शन में ab प्लस में क्या लिख लेना वन ठीक है ऐसा दिया रहेगा तो पहले तो देखो देखो उसने कौन सी संख्या की बात कर रखी है। कौन सी संख्या की बात? सम कर रखा। तो जब इनके लिए हम लोग देखेंगे। ठीक है? तो पहला चीज तो ये क्लियर कर लेना कि a को क्या बोला और b को क्या बोला। तो a कौन सी संख्या है? सम इवन नंबर है और b कौन सा है? ऑड नंबर है। तो ऐसे केसेस में आपको सबसे बेहतर होता है कि a को आप एक सम संख्या मान लो। छोटा ही मान
13:15 लेते हैं। कितना मान लिए? दो। B को हम लोग विषम मान लेते हैं। तो B को सपोज एक मानोगे तो एक मान लो या जो भी तीन पांच आप जैसा मानना चाहो। अब सोच के देखो इनको यहां पे रखेंगे तो क्या-क्या मिलेगा? तो सबसे पहले A * b मतलब 2 * 1 = 2 ये इवन नंबर होगा कि नहीं? यदि मैं इसमें लिखूं तो 2 + 1 कितना हो जाएगा? थ्री। ठीक है? अगला देखो यहां पे क्या होगा? नीचे बोलो। 2 + 1 + 2 कितना? 5 यहां पर रखेंगे तो 2 * 1 प्लस कितना? 1 इक्व थ्री। आपको क्या पूछा है इसमें? सम संख्या। तो हम लोग डायरेक्ट आंसर किसको ले सकते हैं? ठीक है? ऑप्शन नंबर ए को लिख
14:03 सकते हैं। ये इस फॉर्मेट में क्वेश्चन पूछता है। यदि प्रीवियस ईयर क्वेश्चन देखोगे तो आपको ऐसा एक क्वेश्चन देखने को मिल जाएगा। इसी को P और Q के टर्म्स में पूछा हुआ है। ठीक है? कि कौन सा सम होगा कौन सा विषम होगा कर लोगे? ठीक। अब दोनों को डेफिनेशन को कल मैं ओरल तरीके से बोला था कि ये दोनों किस तरीके से डिफाइंड होते हैं। पढ़े हैं। एक हम लोग यूनिट डिजिट के अकॉर्डिंग करते हैं। तो इसको पढ़ रहे हैं तो मैं इसको खत्म यहीं पे कर ही देता हूं। ठीक है? उसके बाद हम लोग आगे पढ़ेंगे। ठीक? तो जब हम लोग यहां लिखते हैं सम को लेकर के एक टेबल बना लिए रहना। पहले इन सबको पढ़ाने का कोई मतलब नहीं था ना। अब मतलब निकल रहा है। ठीक है? क्योंकि अब सारे क्वेश्चन देखना। आपको थ्योरिटिकल
14:49 ज्यादा मिल रहे हैं। तो दो कॉलम बना लेना। एक में लिख लेना इवन नंबर। ठीक है? और एक कॉलम बना लेना किसका? ठीक है? ऑड नंबर का। जब तक एवरेज आपका कंप्लीट नहीं हो जाता तब तक ये दोनों को जितना अच्छे से हो सके पढ़ते रहना। तो एक है हमारे पास कौन सा सम संख्या और एक हमारे पास कौन सा है? ठीक है? विषम संख्या। दोनों को दो अलग-अलग तरीकों से डिफाइन करते हैं। पहला लिख लो। चलो यूनिट डिजिट इकाई अंक जो पहला आधार होगा ना डिफाइन करने का। ठीक? पहले आधार में लिख लेना इकाई
15:36 अंक। इसी को हम लोग बोलते हैं क्या? यूनिट डिजिट्स। ठीक है? तो इसके अकॉर्डिंग आप पढ़े हो कि हर वो संख्या जिसका लास्ट डिजिट जो होता है जो यूनिट डिजिट होता है यदि 0 2 4 6 8 हो तो वो क्या है? ठीक है? सम संख्या इवन नंबर है। और उनको छोड़ दिया जाए तो बाकी सब क्या है? विषम है। ठीक है? तो यहां पे छोटे-छोटे डेफिनेशन लिख ले रहा हूं। ऐसी संख्याएं ऐसी संख्याएं ठीक है जिनके अंतिम अंक
16:23 शून्य दो चार छ आठ हो 10 हो मत लिख देना 10 में शून्य होता है क्या कहलाते हैं सम संख्या कहलाते है। ठीक है? इसी को एज इट इज लिखना है। इधर ऐसी संख्याएं और इन सब में लापरवाही नहीं करना है ना? अच्छे से लिखना है। ठीक है? जिनके अंतिम अंक ठीक। 1 3 5 7 9 हो। क्या कहलाते हैं? विषम कहलाते हैं।
17:14 ठीक है? एग्जांपल थोड़ी लगेगा लिख लेना उसमें। सेकंड को अच्छे से मार्क करके रखना। ठीक है? ये सेकंड हर जगह आपका यूज़ होगा। इसको बोलते हैं रूल्स ऑफ डिविजिबिलिटी। ठीक। इसे में लिखना विभाज्यता। क्या लिखते हैं? विभाज्यता। तो ऐसे केस में लिखना ऐसी संख्याएं जो जो दो से
18:01 पूर्णतः दो से पूर्णतः विभाजित हो। कंप्लीटली डिविजिबल हो ना। दो से पूर्णत क्या हो? विभाजित हो। ठीक? इसका मतलब है कि यहां पे हम लोग को शेषफल क्या मिलेगा? ठीक है? क्या मिलेगा शेषफल? जीरो। या जीरो के जगह मैं दो लिख सकता हूं क्या? लिख सकता हूं। यदि इन केस मान लो मैं दो लिख दिया तो भी वैलिड होगा कि नहीं होगा? ठीक। बाकी नियमता कभी भी संख्या के बराबर या संख्या से बड़ी शेषफल कभी भी नहीं होती है। ठीक? इसीलिए दो को क्या लिख देते हैं? जीरो लिख देते हैं। लिख सकते हैं। ठीक? अगला मैं यदि विषम संख्या की बात करूं तो विषम संख्या में लिख के रखना। ऐसी संख्याएं
18:47 क्या लिखोगे? ऐसी संख्याएं जो या जिन्हें लिखना जिन्हें ऐसी संख्याएं जिन्हें दो से विभाजित करने पर दो से विभाजित करने पर सदैव एक शेष छोड़ते हैं। ठीक है? इस केस में हमेशा शेषफल कितना छूटेगा? एक छूटेगा। और जो जो शेषफल एक छोड़ेंगे उनको हम लोग क्या बोल देते हैं? विषम संख्या। इसीलिए शून्य जो होता है नीचे में नोट करके लिखे रहना कि शून्य को
19:33 हम लोग क्या मान लेते हैं? एक सम संख्या मान लेते हैं। शून्य को क्या मान लेते हैं? एक सम संख्या। क्योंकि शून्य जो है वह प्राकृत संख्या का हिस्सा भी नहीं है। फिर भी शून्य की प्रॉपर्टी एक सम संख्या जैसे होती है कि शून्य में लास्ट का डिजिट जीरो होता है और दो से ये कंप्लीटली क्या होता है? डिविजिबल होता है। इसीलिए शून्य हमेशा क्या होता है? एक सम संख्या होता है। ठीक है? तो कर लोगे इसको? देखो छोटा-छोटा चीज है और ऐसी छोटी-छोटी चीजों से क्वेश्चन बनते हैं। कहां से बना? तो उधर जो आप देख रहे हो। ठीक है? तो एक भाग सम और दूसरा कौन सा? विषम लिख सकते हैं। ठीक? अगला देखो हम लोग जब नेचुरल नंबर्स को कैटेगराइज करते हैं तो एक भाग हम लोग किसके रूप में कैटेगराइज
20:19 किए? सम और विषम। यहां से क्वेश्चन क्या बनेगा? तो पदों की संख्या निकालने के लिए बोलेगा नंबर ऑफ टर्म्स के लिए। और क्या बनेगा? उनका योग क्या होगा? दो टाइप के क्वेश्चन कौन-कौन से? तो योग के बेस पर, पदों की संख्या के बेस पर। ठीक है? अभी हाल ही में नगर सेना या आपकारी दोनों में से किसी एक में पूछा है इनके फार्मूलों को जो शॉर्ट ट्रिक फार्मूले होते हैं कि यदि पदों की संख्या n है उस कंडीशन में इनका योग क्या होगा? नेचुरल नंबर्स का योग क्या होता है? सम संख्या का योग क्या होता है? और विषम संख्या का योग क्या होता है? तो अभी मैं बोल दे रहा हूं। ठीक है? इसको लिख करके रख ले रहा हूं। यूज़ हम लोग कल या परसों की क्लास में करेंगे। समझ पा रहे हो? अभी बस मैं बोल रहा हूं। उसको लिख के रखे रहना। तो जब भी आप प्राकृत संख्या
21:04 पढ़ोगे इनका योग होता है n * n + 1 बाय क्या? टू जहां n जो है वो क्या है? पदों की संख्या। ये एक्चुअल में दो लगातार पद होते हैं। दो लगातार पद बोलने का मतलब जैसे मैं अभी लिखा था एक से 100 तक। तो एक से 100 तक लिखूं तो यह योग कैसे हो जाएगा? 100 का गुणा कितना? 101 से और बटे में क्या? दो। ध्यान से करना। कभी भी प्राकृत संख्याओं को आप जब ठीक है? योग निकाल रहे हो तो लास्ट टर्म के अगली टर्म से मल्टीप्लाई करके उसको आधा कर देते हैं। मान लो मैं बोलूं प्रथम 20 प्राकृत संख्याओं का योग क्या होगा? तो सीधे 20 * 21/ 2 लिख सकते हैं। प्रथम 40 बोलूं तो 40
21:51 * 41/ 2 प्रथम 50 बोल दूं तो 50 * 51/2 ऐसे सिंपल-सिंपल क्वेश्चन बनेंगे ना। अब इसी को औसत में पूछेगा जब औसत वाले चैप्टर में आएंगे तो फार्मूला तो सेम रहेगा। योग बटे क्या होता है? संख्या। तो संख्या हम लोग n कंसीडर कर रहे हैं। इसीलिए ऊपर नीचे n और n कैंसिल हो जाता है। और आपको बोल दिया जाता है कि किसी भी सीरीज का यदि नेचुरल नंबर है, प्राकृत संख्या है तो पहली संख्या और आखिरी को जोड़ के आधा कर दो। वही उनका क्या होता है? औसत होता है। और ये केवल इनके लिए एप्लीकेबल नहीं होता है। यह हर उस सीरीज के लिए एप्लीकेबल होता है जो आप समांतर श्रेणी से पढ़ते हो। ठीक है? अरथमैटिक प्रोग्रेशन से पढ़ते हो। जैसे मान लो मैं बोलूं 10 के पहले 10 गुणज जो फर्स्ट
22:39 मल्टीपल ऑफ 10 होते हैं कि 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 लिख सकते हैं। तो इनका योग क्या होगा? तो इस कंडीशन में ये 10 हैं तो डायरेक्ट योग तो आप निकाल नहीं सकते हो। उस समय 10 कॉमन लेके आपको सॉल्व करना पड़ेगा जो आएगा 10 का गुणा करना पड़ेगा। एक तरीका यह होता है। यदि मैं औसत पूछूं तो औसत इनके बहुत सरल हो जाते हैं। कैसे निकालेंगे औसत? तो पहली और आखिरी को चुपचाप जोड़ दो। क्योंकि यहां भी डिफरेंस क्या है? कॉमन है। तो पहला 10 है, आखिरी 100 है। दोनों को जोड़े 110 और आधा कर दिए 55 लिख सकते हैं। यहां से भी योग निकालना आसान होता है। औसत यदि 55 है, संख्या 10 है। मैं क्या बोला? औसत 55 है और संख्या कितनी है? 10 है। तो बताओ
23:24 उनका योग क्या होगा? यदि औसत 55 है और संख्या 10 है, तो योग क्या होगा? 550 सीधा क्या लिखेंगे? 55 * 10 और 55 * 10 मतलब क्या होगा? 550 होगा। तो औसत निकालना भी यदि आप जानते हो तो कई चीजें आपके लिए आसान हो जाती हैं। ठीक है? बाकी अभी हम लोग क्या पढ़ते हैं इसमें? n * n + 1 / 2 जैसे ही सम संख्या में आओगे तो इसको पहले आपको निकालना पड़ेगा n के टर्म्स में। और n कैसे निकालते हैं? तो उसको दो से भाग दे के। जैसे मैं यहां पर बोला कि दो से 100 तक है तो दो से 100 तक है तो 100 पद तो होंगे नहीं क्योंकि बीच में आप 1 3 5 7 इन सबको हटा दिया है तो इसीलिए 100 का आधा करते हैं और 100 का आधा कितना
24:11 हो जाएगा? ठीक है? 50 और उसी 50 को हम लोग यहां पे n बोलते हैं। लेकिन यहां जब आप इनका योग निकालोगे तो याद रखना यह बटे में दो नहीं होता है। ठीक है? ये कितना होता है? n * n + 1 होता है। ध्यान से करना। ऊपर वाले में क्या लिखे हैं? n * n + 1 / 2 और इसमें क्या लिख रहे हैं? n * n + 1 ये किसके लिए है? सम के लिए। और सम का औसत और भी आसान होता है। सम के औसत में लिखता है कि एक के साथ में आप पदों की संख्या को जोड़ दो। वही आपका क्या रहेगा? ठीक है? औसत रहेगा। यहां पे क्वेश्चन कुछ इस तरीके से आते हैं कि आपको बोलेगा कि प्रथम 50 सम संख्याओं का औसत क्या होगा? तो आपको ऑलरेडी वो n की वैल्यू दे रखा है। तभी तो
24:56 वो प्रथम क्या बोला? 50 बोला। और जब प्रथम 50 की बात हो रही है तो सीधे-सीधे उसमें हम लोग को एक जोड़ना है। वही हमारा क्या है? आंसर है। कब के केस में? जब हम लोग औसत पढ़ेंगे। ध्यान से सुनना। ठीक है? तो इसी को मैं क्या लिखा? n * n + 1 मतलब अंतिम पद में जब आप n की वैल्यू निकाल लोगे तो उससे अगली वैल्यू का मल्टीप्लाई कर दो। जैसे दो से 100 था तो 100 को मैं पहले n के टर्म्स में कन्वर्ट किया और 100 किससे डिविज़िबल दो से सीधे-सीधे क्या लिख दिए 50 और उसी 50 का गुणा किससे कर दिए 51 से ठीक है तो डायरेक्ट हमारा क्या आ जाएगा इनका योग आ जाएगा जैसे ही आप विषम में पहुंचोगे तो इनका होता है कौन सा n² ठीक है कौन सा होता है इनका n² तो यहां के
25:42 क्वेश्चन और सरल होते हैं ठीक है जब निकालना पड़ेगा तो उस समय प्लस वन करके हाफ करना क्योंकि यहां पे मैं बोलूं 99 होगा तो 99 कभी भी टू से डिविजिबल नहीं होगा। अभी पढ़े कि वहां पर रिमाइंडर कितना आ जाएगा? एक आ जाएगा। और उस रिमाइंडर को वापस टू से डिवाइड करने के लिए वापस उसमें वन क्या करते हैं? ऐड करते हैं। तो पढ़े होंगे नाइन 10थ में उसमें लिखता है। ठीक है? कि यदि पदों की संख्या विषम हो, नंबर ऑफ टर्म्स जो है वो ऑड हो। तो उस कंडीशन में पहले उस टर्म्स में हम लोग वन ऐड करते हैं और टू से क्या करते हैं? डिवाइड करते हैं। तो 99 में मैं एक ऐड कर देता 100 हो जाता। और उसको आधा करूंगा तो 50 हो जाएगा। तो जाहिर सी बात है सम संख्या में ठीक है 50 सम होंगे तो बाकी 50 क्या होंगे? विषम होंगे। और ये सबसे आसान होता है। सबसे सरल
26:27 होता है। क्योंकि सीधे-सीधे 50 का हम लोग क्या निकाल देंगे? स्क्वायर निकाल देंगे और 50 का स्क्वायर सीधे-सीधे 2500 आ जाएगा। तो यहां के क्वेश्चन बहुत सरल होते हैं ना। और ये तीनों रीसेंट में पूछा हुआ है। ये शॉर्ट ट्रिक फार्मूला होता है। कांसेप्ट कुछ और होता है। ठीक? तो अभी नगर सेना करके इन तीनों को मेंशन करके रख लिए रहना। कौन-कौन सा? n * n + 1 / 2, n² और कौन सा? n * n + 1 ये पहला भाग है जहां पे हम लोग प्राकृत संख्या को दो भाग में बांटे। कौन-कौन सा? सम और विषम लिख सकते हैं। ठीक? अब एक और क्लासिफिकेशन इनका होता है। ठीक है? जिसको हम लोग लिखते हैं लिख करके रखना। पहला भाग
27:12 अभाज्य संख्या या इसी को रूढ़ संख्या बोलते हैं या इसी को हम लोग बोलते हैं क्या? प्राइम नंबर्स। क्या-क्या लिखा? अभाज्य संख्या, रूढ़ संख्या या फिर क्या? प्राइम नंबर्स। यह पहला है ना? जिसको हम लोग क्या लिखते हैं? अभाज्य। दूसरा होता है भाज्य या इसी को हम लोग लिखते हैं क्या? संयुक्त या इसी को हम लोग बोलते हैं क्या? कंपोजिट। यह नाम को अच्छे से क्लियर करके रखना।
27:59 पूछता है कि सबसे छोटी रूढ़ संख्या कौन सी होगी? तो कितने भाग में बांट दिए? दो भाग में। कभी-कभी बुक में देखोगे तो वह तीन भाग में बटा हुआ मिलता है। ठीक है? तीसरा भाग में यूनिट लिखा होता है। यूनिट बोलने का मतलब ना भाज्य ना क्या होता है? अभाज्य। मतलब वो भाज्य के जैसे नहीं होगा और ना ही कैसे होगा? ठीक है? अभाज्य के जैसे। उनको यूनिट में लिख देते हैं। बाकी मेनली हम लोग को पढ़ना किसको-किसको है? भाज्य और किसको? अभाज्य को। तो सबसे पहले आप जब नंबर्स पढ़ते हो तो उनका यह मानना होता है कि संख्याओं की शुरुआत किससे होती है? ठीक है? किससे होती है? अभाज्य संख्याओं से, रूढ़ संख्याओं से या प्राइम नंबर्स से और उन्हीं अभाज्य संख्याओं से मिलकर क्या बनता है? भाज्य संख्या। एक्चुअल में भाज्य क्या है? तो वहां पे
28:46 लिख ले रहना। यह अभाज्य गुणनखंडों का या प्राइम फैक्टर्स आप लिखते हो। अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल होता है। भाज्य संख्याएं क्या होती हैं? अभाज्य संख्याओं का सॉरी अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल होती हैं। उसमें लिखना ठीक है? प्रोडक्ट ऑफ प्राइम फैक्टर्स करके। उसको हम लोग क्या बोलते हैं? भाज्य संख्या। ध्यान से करना। भाज्य संख्या क्या है? पूछे तो बताना कि अभाज्य गुणनखंडों का क्या है? गुणनफल है। ठीक है? प्रोडक्ट ऑफ प्राइम फैक्टर्स लिखते हैं। ठीक? तो हम लोग इन्हीं दोनों के बारे में अब पढ़ना शुरू करते हैं कि अभाज्य किसको
29:32 बोलते हैं और भाज्य किसको बोलते हैं? तो देखो अभाज्य संख्या जब कभी भी आप लिखोगे तो यहां पे बस पहले इनके फैक्टर्स को क्लियर करना। किनको क्लियर करना? फैक्टर्स को। गुणनखंडों को कि गुणनखंड होते क्या हैं? तो एक छोटा सा ठीक है? हेडिंग डाल लो। गुणनखंड मैं बोल दे रहा हूं। उसको लिख ले रहना। दो शब्द मिलेंगे ना। एक शब्द कौन सा? गुणनखंड अच्छे से इनको लिखे रहो। एक चैप्टर पढ़ोगे वहां पर यह काम आएगा। लिखो गुणनखंड। इसी को हिंदी में और बोलते हैं अपवर्तक। क्या बोलते हैं? अपवर्तक या इन्हीं को इंग्लिश में हम लोग बोलते हैं फैक्टर्स।
30:18 ठीक है? क्या-क्या पढ़े? गुणनखंड, अपवर्तक या फैक्टर्स। जब आप महत्तम समापवर्तक पढ़ोगे याद रखना उसी के लिए मोस्ट इंपॉर्टेंट होता है। किसके लिए? ठीक? देखो दो शब्दों से मिलकर बनता है। एक कौन सा? महत्तम और दूसरा समापवर्तक। तो इसको जब हम लोग लिखते हैं तो यह ऐसा होता है। ठीक है? क्या लिखते हैं? समापवर्तक। उसी को मैं क्या लिखा? सम प्लस अपवर्तक। तो यदि आप इनका नॉलेज अच्छे से रखते हो तो मान के चलो एचसीएफ भी आपका आसान होता है। लिख सकते हैं। तो पहले मैं लिखा गुणनखंड, अपवर्तक या फिर क्या? फैक्टर्स। तो इसमें छोटा सा डेफिनेशन लिख ले रहा हूं।
31:03 ऐसी संख्याएं जो दी गई संख्या को जो दी गई संख्या को पूर्णतः विभाजित कर जाए। पूर्णतः विभाजित कर जाए। उस संख्या के या उस संख्या का उस संख्या के अपवर्तक
31:52 कहलाते हैं। और अपवर्तक कहलाते हैं। लिख दिया तो कंफ्यूज मत होना। सर हम लोग तो गुणनखंड लिखे थे करके। ठीक है? मैं इसको इसलिए इस टर्म में लिख दिया क्योंकि सेम डेफिनेशन जब आप एचसीएफ पढ़ोगे। सेम डेफिनेशन आप क्या पढ़ोगे? एचसीएफ। उस समय यही डेफिनेशन रिपीट होगा। मतलब आपके पास कोई एक वैल्यू है। ठीक है? सपोज हम लोग कंसीडर कर लिए कि आपके पास एक वैल्यू कौन सी है? ठीक है? 72 है। कितना मान लिया मैं? 72। ये सबसे अच्छा एग्जांपल है और बार-बार इसको पूछता है कि 72 के कितने फैक्टर्स होते हैं? कितनी सारी संख्याएं जो 72 को विभाजित कर सकती हैं? तो इनके लिए जब हम लोग लिखेंगे ना तो हमेशा दो-दो की कोशिश करते हैं। जैसे मैं बोलूं कि बताओ 72 एक से डिविजिबल
32:38 है क्या? तो होगा। क्या होगा? एक से भाग जाएगा। याद रखना एक एक ऐसी संख्या है जो किसी भी संख्या को क्या कर जाती है? ठीक है? भाग कर जाती है। कितनी बार में भाग करेगा? ठीक है? 72 बार में लिख सकता हूं मैं ऐसा। ठीक? दो भाग करेगा क्या? बताओ। तो दो से भी करेगा। कितनी बार में? 36 बार में। लिख सकते हैं। ठीक है? तीन विभाजित करेगा क्या? कर जाएगा। कितनी बार में? बताओ। 24 बार में कर सकता है। वैसे मान लो मैं चार की बात किया तो करेगा विभाजित कितनी बार में? 18 बार में। पांच कर पाएगा क्या? ठीक है? छह करेगा। कितनी बार में?
33:26 कितनी बार में? 12। अब बताओ आठ करेगा क्या? ठीक। नहीं बोल रहे हो। देखो ठीक। तो ऐसे जो धुरंधर हो थोड़ा सा सुधर जाओ इनमें क्योंकि जब तक आप इनके बारे में नहीं जानोगे आगे चैप्टर्स में क्या परफॉर्म करोगे तो इतनी सारी वैल्यू्यूज हैं जो किसको विभाजित करती हैं 72 को तो मैं बोल सकता हूं कि 72 के कितने गुणनखंड हैं काउंट करो तो कितने सारे हैं ठीक अच्छे से काउंट करो कितने हैं टोटल छह दिख रहे हैं बस कितने दिख रहे हैं 12 तो सबसे पहला चीज आता है कि 72 का गुणनखंड कितना है या कितनी संख्याएं 72 को विभाजित कर सकती हैं। ठीक है? तो 72 को
34:13 कितनी संख्याएं विभाजित कर सकती हैं? 12 लेकिन हर संख्या के पास 12 होगा क्या? बताओ कि हर संख्या 12 संख्याओं से विभाजित होगी कि 12 से कम कि 12 से अधिक। तो याद रखना वो संख्या के ऊपर डिपेंड करेगा कि उसको कितनी संख्या क्या कर पा रही हैं? विभाजित कर पा रही हैं। ठीक है? इसी को दो भाग में हम लोग बांटते हैं। एक भाग होता है लिख करके रखे रहो सम गुणनखंड एक भाग कौन सा होता है सम गुणनखंड ये सब एसएससी में पूछता है ठीक है लेकिन अब जैसे-जैसे आगे बढ़ते जा रहे हो हम लोग का देखना पीएससी व्यापम भी किसको कंसीडर कर रहे हैं जो क्वेश्चन एसएससी में पूछे गए हैं। इसीलिए थोड़ा ध्यान से इन चीजों को पढ़ लेना कि कैसे कुल गुणनखंड निकालते
34:59 हैं? कैसे सम और कैसे विषम। तो अभी तो मैं संख्या छोटा लिया हूं। इसलिए इनको मैं बता दिया कि किससे किससे डिविजिबल है। लेकिन वही आगे चलकर के मान लो संख्या बड़ी हो जाए। जैसे मान लो मैं आपको बोल दिया 3640 संभव है क्या? ऐसी आसानी से लिख पाना कि किससे किससे डिविजिबल है। ठीक है? क्योंकि संख्या बड़ी होगी तो इनको लिख पाना संभव नहीं होता है। और उसी समय हेल्प करते हैं हम लोग को कौन? अभाज्य संख्याएं। क्योंकि कोई भी संख्या जो है वो किससे मिलकर बनी होती है? अभाज्य संख्याओं से। ठीक? अब यह देखो, मैं इसमें लिखा सम गुणनखंड जो इवन फ़ैक्टर्स होंगे, वह कौन-कौन से होंगे? तो, लिख सकते हैं सम गुणनखंड कौन-कौन से हैं इसमें? देखो, दो है, होगा सम संख्या। आगे चार है, छह है, आठ है, 12, 18, 24, 36 और
35:48 72। मतलब एक, तीन और नौ को छोड़ दिया जाए तो बाकी सब क्या है? सम है। तो मैं बोल सकता हूं इनकी संख्या कितनी है? कितनी है इनकी संख्या? नौ। और बाकी जो बचे वो सब क्या है? ठीक है? विषम है। तो इनकी संख्या कितनी? तीन। तो सबसे पहले गुणनखंड को याद रखना कि गुणनखंड है क्या? तो ये वो वैल्यू्यूज होते हैं जो दिए गए नंबर्स को क्या कर जाते हैं? डिवाइड कर जाते हैं। और उसी को हम लोग उन संख्याओं का क्या बोलते हैं? फैक्टर्स गुणनखंड या अपवर्तक। मैं 72 को एग्जांपल दिया। कितनी सारी संख्या इसको विभाजित करती हैं। तो कितनी सारी संख्या? 12। उनमें से सम नौ है और विषम क्या है? तीन। तो जब भी आप डिफाइन करोगे अभाज्य और भाज्य को तो सबसे पहला चीज यही लेना। ठीक? कि ये जो भाज्य संख्याएं हैं सॉरी ये जो
36:35 अभाज्य संख्याएं हैं पहले लिखना केवल केवल दो गुणनखंडों से। कितने गुणनखंडों से? केवल दो गुणनखंडों से विभाजित होते हैं। तो इनके पास भाग देने वाली कितनी संख्या होंगी? कितनी संख्या होंगी? दो संख्या। याद रखना हर वो संख्या जो केवल दो गुणनखंडों से डिविजिबल हो, वह सब के सब क्या होते हैं? अभाज्य होते हैं। अब यह दो कौन-कौन होते हैं? तो एक तो वह स्वयं होता
37:23 है। ठीक है? और एक कौन होता है? स्वयं एक होता है। मैं अभी बोला एक दुनिया में किसी भी संख्या को क्या कर जाता है? ठीक है? विभाजित कर जाता है। देखना आसपास भी ऐसी संख्याएं आपको मिलती हैं। देखो मार्केट में भी बाहर जैसे ही निकलोगे यह लोग दिख जाते हैं। ठीक? अभाज्य संख्या किसको बोलते हैं? हो सकता है इसमें भी कुछ लोग खुशनसीब होंगे। ठीक? हो सकता है खुशनसीब होगे नहीं। देखना दो लोग हमेशा साथ में घूमते हुए दिखते हैं। दिखते हैं। यह कैसे होते हैं? अभाज्य होते हैं। उनको आप कुछ भी कर लो। ठीक? सिवाय नौकरी के। नौकरी ले लोगे तो वो अभाज्य भी टूट जाएगा। समझ पा रहे हो अंतर? क्या बोलना चाह रहा हूं? ठीक? डायरेक्टली ले तो यहां पे कपलों की बात
38:10 होती है। ठीक है? हिम्मत है तो नौकरी लेके उस अभाज्य संख्या को आप किस में कन्वर्ट कर सकते हो? भाज्य में। बाकी आजकल रिजल्ट देख ही रहे हो। कोई नीले ड्रम में है तो कोई घाटी से नीचे है। तो अभाज्य संख्या याद रखने का सबसे अच्छा तरीका होता है कि जैसे ही आप मार्केट में जाओगे देखना ऐसे बहुत सारे लोग दिखते हैं। दिखते हैं लेकिन अंधाधुंध कमेंट मत कर देना। हो सकता है बेचारा उसका भाई हो या फिर वो इंसान हो जो उसकी हर जरूरतों को क्या करता है? पूरा करता है। जैसे होता है कि पिज़्ज़ा खाने का मन कर रहा है। तो एक देखना रहता है। देखे हो कि तुरंत बेचारा क्या लाकर छोड़ देता है? पिज़्ज़ा। ठीक है? समोसा खाने का मन कर रहा है। तो एक ऐसे कररेक्टर होते हैं जो तुरंत क्या करते हैं? होता है कि नहीं होता है? इसमें भी कुछ ऐसे महाशय बैठे
38:58 होंगे। ठीक है? तो उन सब चीजों से थोड़ा सा बाहर निकल जाओ। ठीक है? लाइफ इसमें नहीं है। लाइफ किस में है? एक भाग्य में है। एक के साथ क्या रहना? चलो आगे बढ़े। ठीक। तो यहां पर क्या देखा? यह स्वयं और किससे डिविजिबल होते हैं? एक से। उन्हीं को क्या बोलते हैं? अभाज्य बोलते हैं। लिख सकते हो? याद रखना। सबसे अच्छा एग्जांपल है कौन? अभी देखे हो दुर्गोत्सव चल रहा है। ठीक? बाहर जाओगे बहुत सारे अभाज्य संख्या दिखेंगे। ठीक है? तो उसको याद रखना। अब जो जो ऐसे दिखे वो क्या है? अभाज्य हैं। शादीशुदा को छोड़ कर के। समझ पा रहे हो? क्योंकि उनका जीवन समाप्त हो चुका है। उनको कभी भी इसमें शामिल नहीं करते हैं। वह चाह के भी किस में नहीं आ सकते हैं? भाज्य में। ठीक है? तो थोड़ा सा इन चीजों को ध्यान रखना। ठीक?
39:44 ये किससे किससे डिविजिबल है? दो और एक से। लेकिन जैसे हम लोग भाज्य में जाते हैं। सबसे पहले तो ये वर्ड हटता है। यहां पे क्या लिखे हैं? केवल जो ओनली वर्ड आप यूज़ करते हो वो हटेगा। और उसकी जगह हम लोग लिखेंगे। चलो लिखो। कम से कम। यहां पे एटलीस्ट की बात आती है ना? क्या लिखते हैं? कम से कम कितने गुणनखंड? तो तीन गुणनखंड होते हैं। लिखना कम से कम तीन गुणनखंड होते हैं। कम से कम तीन गुणनखंड होते हैं। अब यह तीन कौन-कौन हो सकते हैं? बताओ।
40:34 तो सबसे पहले तो स्वयं होगा। लिख सकते हैं। चलो लिखो। सबसे पहले किसको? स्वयं को। और फिर एक भी करेगा कि नहीं? ठीक है? तो हम लोग पहले किसको लिख दिए? स्वयं को। और फिर किसको लिख दिए? एक को। और फिर किसको लिख दिए? अन्य से। लिखते हैं। किसी अन्य से। थोड़ा सा इनको ध्यान देते चलना। ठीक है? जिन लोग खास करके अमीन की तैयारी कर रहे हो। पिछली बार यहां से क्वेश्चन पूछा था जो इनके क्लासिफिकेशन है। तो ये स्वयं से एक से और किसी अन्य संख्या से विभाजित होते हैं। तो बुक में लिखा होता है ना कि
41:19 ऐसी संख्याएं जो स्वयं और एक से केवल विभाजित हो उनको क्या बोलते हैं? अभाज्य या रूढ़ संख्या। और ऐसी संख्या जो स्वयं से एक से और किसी अन्य संख्या से विभाजित हो उनको क्या बोलते हैं? भाज्य संख्या। लिख सकते हो? और जिनके पास केवल एक गुणनखंड होता है। क्या बोल रहा हूं? जिनके पास केवल एक गुणनखंड होता है। जैसे इसमें कितना पढ़े हम लोग? दो पढ़े। इसमें कितना पढ़ रहे हैं? देखो, इसमें कितना पढ़ रहे हैं हम लोग? ठीक है? कम से कम कितना? तीन। याद रखना इससे ज्यादा हो सकता है। जैसे अभी मैं 72 के लिए निकाला था। मैं 72 के लिए कितना सारा निकाला? ठीक है? 12 तो वो भी किस में आ जाएगा? भाज्य में। क्यों आएगा? तो याद रखना यहां पे कम से कम यूज़ हुआ है। ठीक है? तीन तो होने ही चाहिए।
42:07 उसके ऊपर आप जितना चाहे ले सकते हो। तो ये अभाज्य होता है और कौन सा होता है? भाज्य। तो प्राकृत संख्या को पहले सम और विषम में बांटते हैं। फिर किस में? अभाज्य और भाज्य में बांटते हैं। लिख सकते हैं। अब देखो हम लोग यहां डिजिट्स की बात करते हैं ना कि कौन-कौन से डिजिट्स इनमें आते हैं। तो एक तरफ लिखना अंक अंकों से फिर हम लोग संख्याओं में आएंगे। एक तरफ क्या लिखना? अंक एक तरफ लिख ले रहे ना गुणनखंड फैक्टर्स ना और एक तरफ लिख ले रहे ना उनकी प्रॉपर्टीज। एक तरफ क्या लिख ले रहे हैं ना उनकी प्रॉपर्टीज विशेषता
42:56 देखो शून्य को तो शामिल करेंगे नहीं क्योंकि हम लोग नेचुरल नंबर्स पढ़ रहे हैं ठीक सबसे पहले आता है कौन सा अंक एक इसके पास केवल एक ही संख्या है जो इसको क्या कर पाता है विभाजित कर पाता है ठीक है और वो कौन होता है स्वयं होता है मत लिख देना कि वहां पे स्वयं और एक से ये केवल किससे डिविजिबल है एक से। तो देखो इसके पास दो गुणनखंड है क्या या तीन है क्या? तो दो और तीन नहीं है। मतलब इसमें लिख करके रखना। ये एग्जाम में पूछा है कि एक कैसी संख्या। तो एक ना भाज्य और ना क्या? अभाज्य। नाइदर नर का स्थिति इसमें आता है कि ना तो इसको हम लोग भाज्य में शामिल करते हैं और ना ही किस में? अभाज्य में। क्योंकि अभाज्य होने
43:41 के लिए केवल दो गुणनखंडों की आवश्यकता होती है। और भाज्य के लिए कम से कम कितना? तीन। ठीक है? अगला दो है लिखो। तो दो के पास ऐसे दो गुणनखंड है। कौन-कौन? एक और दो। ठीक? और दो गुणनखंड होने के कारण सबसे पहले तो यह अभाज्य संख्या है। यह क्या है? अभाज्य संख्या। ठीक है? या इसी को रूढ़ संख्या करके भी लिख के देते हैं। ठीक है? अब इसको जब मैं लिखूंगा अभाज्य संख्या तो यहां पे दो चीज हमेशा पूछता है। पहला लिखो सबसे छोटी क्या लिखना? सबसे छोटी अभाज्य संख्या।
44:28 ठीक? लीस्ट प्राइम नंबर या स्मालेस्ट प्राइम नंबर आप लिखते हो। सबसे छोटी क्या? अभाज्य संख्या। और साथ में लिख के रखना इसको अच्छे से कि ये एकमात्र एकमात्र क्या है? सम अभाज्य संख्या है। ठीक है? ओनली इवन प्राइम नंबर लिखा होता है। एकमात्र सम क्या है? अभाज्य संख्या। मतलब दो को छोड़ दिया जाए तो बाकी सभी सम संख्याएं क्या होती हैं? भाज्य होती हैं क्योंकि याद रखना वो एक और स्वयं से डिविजिबल होती हैं और साथ में किससे डिविजिबल होती हैं? ठीक है? दो से लिख सकते हैं क्योंकि हम लोग दो से ही क्या बनाते हैं? सम संख्या। तो इस कंडीशन में हम लोग लिखते हैं कि ये सबसे छोटी क्या
45:14 है? अभाज्य संख्या। और एक मात्र क्या है? सम अभाज्य। इसके बाद हम लोग तीन को लिखते हैं। तो बताओ तीन किससे किससे डिविजिबल? तो एक और तीन से। इसके पास भी कितने हैं? दो है तो इसको मैं लिख सकता हूं यह भी अभाज्य संख्या है लेकिन कैसी अभाज्य संख्या तो सबसे छोटी विषम अभाज्य संख्या सबसे छोटी क्या विषम अभाज्य संख्या सबसे छोटी विषम अभाज्य संख्या वैसे देखो अगला चार आया
46:00 तो चार किससे किससे एक दो और चार से लिख सकते हैं तो ये पहली हमारे पास कौन सी संख्या है बताओ तो हम लोग लिख सकते हैं इसमें सबसे छोटी सबसे छोटी ठीक है चलो पहले भाज्य संख्या लिख लेते हैं फिर सम भाज्य संख्या लिख देते हैं सबसे छोटी क्या है भाज्य संख्या और साथ ही यह सबसे छोटी सम भाज्य संख्या भी है, कंपोजिट नंबर भी है। लिख सकते हैं इसमें लिख के लिए रहना। ठीक है? लीस्ट कंपोजिट नंबर या क्या लिख सकते हैं हम लोग? स्मालेस्ट कंपोजिट नंबर या इवन कंपोजिट नंबर करके लिख सकते हैं। किसके लिए? चार के लिए। तो ये अच्छे से इन
46:47 चारों को याद रखना। एक का क्या लिखे? ना भाज्य ना अभाज्य। दो का क्या लिखें? सबसे छोटी अभाज्य संख्या और एक मात्र सम अभाज्य संख्या। तीन के लिए लिखे सबसे छोटी विषम अभाज्य संख्या और चार के लिए क्या लिख रहे हैं? सबसे छोटी भाज्य संख्या। देखो पांच की बात करूं तो सीधे-सीधे अभाज्य संख्या लिखते हैं क्योंकि ये किससे डिविजिबल है? एक और पांच से। इसमें बस इतना लिख लेना और कुछ प्रॉपर्टी इसका नहीं होता है। कि यह कौन सी संख्या है? अभाज्य संख्या है। ठीक है? अगला हम लोग जब लिखेंगे तो यह छह हो जाएगा। लिख सकते हैं। ठीक? और छह होगा तो अभी हम लोग लिखें इसमें इसके पास कितने हैं? एक, दो, तीन और छ। ठीक है? याद रखना
47:37 यह क्वेश्चन आपको देखने को मिल जाएगा अमीन 2017 में। ठीक है? किस में? अमीन 2017 में। ये एक्चुअल में होते क्या हैं? तो इसमें लिखे रहना। इंग्लिश में ही लिखोगे। ठीक है? नहीं तो हिंदी में क्या होता है? कई बार यह वर्ड कंफ्यूजन क्रिएट करता है। तो इसको हम लोग बोलते हैं परफेक्ट नंबर। इसको हम लोग क्या बोलते हैं? परफेक्ट नंबर। पूर्ण संख्या मत लिख देना। नहीं तो पूर्ण संख्या में क्या होता है? हिंदी में भले ही लिखा होता है क्योंकि वहां पे हम लोग सोचना शुरू कर देते हैं कि जीरो को शामिल करते हैं प्राकृत में। और वो समूह क्या बन जाता है? पूर्ण संख्या। इसलिए बोल रहा हूं कि इसको कैसे याद रखना? परफेक्ट नंबर के टर्म्स में। तो एक छोटा सा डेफिनेशन नीचे लिख लो कहीं पर। ठीक है? कहीं पे नोट करके लिख लिया करना।
48:24 जैसे कॉपी जो बनाते रहते हो ना तो कहीं पे छोटा सा एक कॉलम बना लेना जिसमें केवल नोट वगैरह जो स्पेशल कंडीशन होते हैं ना उनको लिख पाओ। ठीक? या फिर कहीं पर रफ कर ले रहा हो बाद में उसको फेयर कर लेना। ठीक है? लिखना। ऐसी संख्याएं ऐसी संख्याएं कहीं पर पीछे या कहीं पर लिख ले रहा हूं। रफ में ऐसी रफली। ठीक है? पीछे का पेज निकाल लो और पीछे जाकर उसमें क्या कर लो? लिख लो। ठीक है? लिखना ऐसी संख्याएं जिनके गुणनखंडों का योग जो सम ऑफ फैक्टर्स लेते हैं ना जिनके गुणनखंडों का योग जिनके गुणनखंडों का योग अब दो चीज होता है नीचे में दो कॉलम लिखना पहला कॉलम लिखो नीचे में लिखो डैश करके पहला कॉलम डैश
49:11 पहला सबहेडिंग उसमें लिखना ठीक है संख्या को छोड़कर एक करके लिखो संख्या को छोड़कर कर संख्या को छोड़कर यदि यदि संख्या के बराबर हो उसी में कंटिन्यू करो यदि संख्या के बराबर हो अब सेकंड में लिखो सेकंड पॉइंट उसी का संख्या को छोड़ेंगे तो संख्या का क्या होगा बराबर होगा और नीचे में लिखो संख्या को शामिल करने पर संख्या को शामिल करने पर संख्या को शामिल करने पर
49:59 संख्या के दो गुने हो। संख्या के दोगुने हो। संख्या के दोगुने हो। परफेक्ट नंबर्स कहलाते हैं। परफेक्ट नंबर्स कहलाते हैं। जैसे देखो छह की प्रॉपर्टी। ठीक है? एक बार में लिखा संख्या को छोड़कर तो छह को छोड़ दूं तो क्या-क्या बचा? एक, दो और तीन। इनको ऐड कर सकते हैं। क्या होगा? एक दो और तीन को जोड़ेंगे तो छह। तो संख्या के बराबर है। यदि मैं संख्या को शामिल कर दूं तो तो छ 3 9 2 11 और एक 12 वो छह का क्या हो जाएगा? दो गुना हो जाएगा। तो ये पूछा है आमीन में ना ध्यान रखना। इसके बाद एक एग्जांपल और उसमें लिख ले रहा हूं। 28
50:45 28 ठीक तो ये दोनों जो है ठीक है एसएससी का पेपर उठा के देखोगे तो बार-बार देखने को मिल जाएंगे एक कौन सा छह और एक कौन सा 28 जैसे 28 के फैक्टर्स बोलूं तो क्या-क्या होगा बताओ 28 किससे किससे भाग जाएगा एक से 28 लिख सकता हूं दो से 14 लिख सकता हूं तीन से तो जाएगा नहीं किससे किस से जाएगा? चार से। कितनी बार? सात। और नहीं होगा। लिख सकते हैं क्योंकि पांच से भाग देगा नहीं। सात उधर आ चुका है। तो इसमें मैं आपको बोला कि आप संख्या को छोड़ो और इनको एक बार जोड़ करके देखो। जोड़ सकते हैं। देखो क्या होगा? 14 7 21
51:31 21 4 25 2 और एक 28 हुआ 28 के बराबर। ठीक? ठीक और यदि 28 को मैं शामिल कर दूं तो 28 28 56 28 का क्या होगा? दो गुना होगा। तो ये दो वैल्यूस हमेशा याद होने चाहिए। ठीक है? एक छ और दूसरा कौन सा? 28। ये दोनों के दोनों क्या है? परफेक्ट नंबर। अब घर जाके 100 के ऊपर लिखना चाहोगे तो लिख लेना। खैर 100 के ऊपर कभी पूछा नहीं है ना पूछेगा वो। क्योंकि उस समय एग्जाम हॉल में उतना बड़ा फैक्टर्स या उतने फैक्टर्स को निकाल पाना संभव नहीं है। इसलिए किसको-किसको पूछता है? छह और किसको? 28 को। तो पिछली बार अमीन में पूछा हुआ था। तो देखो पेपर जब होते हैं ना तो मिलताजुलता कुछ आने के चांसेस बढ़ जाते हैं। हो सकता है आपको अभी देखने को मिल जाए उसी चीज को और क्या लिख करके दे दे 28। ठीक है? तो थोड़ा ध्यान रखना उसको।
52:18 चलो सात के लिए कोई प्रॉपर्टी नहीं। सीधे-सीधे अभाज्य संख्या। आठ के लिए कोई प्रॉपर्टी नहीं। ये सीधे-सीधे क्या होगा? भाज्य संख्या। और नौ के लिए प्रॉपर्टी हम लोग को मिलता है। लिख लो। सात किससे किससे? एक और सात से। आठ एक दो चार और आठ से नौ एक तीन और नौ से कुछ लोग नौ को भी अभाज्य बोल जाते हो याद रखना नौ के पास तीन फैक्टर्स हैं जिसके कारण वो भाज्य होता है और ये सबसे छोटी विषम भाज्य है। सबसे छोटी क्या है? विषम भाज्य संख्या है। ठीक है? और बाकी इसमें जब आप लिखोगे तो सात अभाज्य है
53:08 और आठ क्या है? भाज्य है। लिख सकते हैं। ठीक है? तो ये टेबल हमेशा अच्छे से याद करके रखना। अभी भी बोल रहा हूं पूर्ण संख्या या परफेक्ट नंबर लिखे होने पे कंफ्यूज नहीं होना है। उसी को हम लोग क्या बोल देते हैं? परफेक्ट नंबर। और उसी को क्या बोल देते हैं? पूर्ण संख्या। लिख सकते हो? तो अच्छे से टेबल याद करते चलना ना। भले थ्योरी है लेकिन सही ढंग से इन चीजों को पढ़ना है। यह हो जाएगा इतना। आगे बढ़े। चलो एक कोड मैं आपको दे रहा हूं। इस कोड को आप कल याद करके आओगे। ठीक? तो यह कोड होता है। कुछ लोगों को याद भी होगा। एक से 100 तक एक से 100 तक अभाज्य संख्याओं की संख्या
54:08 याद है किसी को कोड बोलना चाहोगे 10 अंकों का एक कोड दिया जाता है किसी को भी हां 4 चलो कोशिश करो हां बोलो ठीक है 32 हां 32 वन यह कोड हमेशा याद रखना। ठीक है? कैसे याद करते हैं? तो पहले दो ठो को याद रखते हैं। क्या लिखे? डबल फोर फिर दो ठो को याद रखना। डबल टू फिर 32 और 32 वन लिख सकते हैं। तीन भाग में सॉरी चार भाग में याद रख लेना। पहला दो को याद रखोगे डबल फोर। दो-तीन बार बोलोगे ना याद हो जाते हैं। फिर क्या देख रहे हैं? डबल टू फिर
54:55 क्या है? 32 और फिर क्या है? 321 देखो इससे बेनिफिट क्या होता है कि आप यदि इन सारे डिजिट को जोड़ देते हो तो एक से 100 तक का अभाज्य संख्या बता सकते हो। जैसे 4 8 2 10 2 12 3 15 2 17 2 19 3 2 24 और एक 25 लिख सकते हैं टोटल कितने हो गए? 25 अब ये एक्चुअल में है क्या? तो फर्स्ट जो फोर आप देख रहे हो ये वन टू 10 है। कहां से कहां तक है? एक से 10 अभी मैं निकाल के बताया कि वह चार कौन-कौन से होते हैं। तो यह चार दो तीन पांच और क्या होते हैं? सात। नौ को शामिल मत कर देना। ये चार कौन-कौन से होते हैं? 2 3 5 और सात। और किसी भी संख्या के
55:41 बनने में इन चारों का बहुत बड़ा रोल होता है। कोई भी संख्या किससे बनती है? तो याद रखना इन्हीं अभाज्य संख्याओं को गुणा करने पर बनती है। कि जैसे चार कैसे बना? तो यह नहीं कि एक को हम लोग चार बार जोड़ दिए। वहां पर लिखा होता है कि कोई भी संयुक्त संख्या या कोई भी भाज्य संख्या किनहीं अभाज्य संख्याओं के गुणनखंडों से मिलकर बनता है। उनके गुणनफलों का परिणाम होता है। इसीलिए हम लोग चार को पहले लिखते हैं। 2 क्रॉस टू पढ़े होगे देखना। एक रूल हमेशा आपको सिखाया जाता है कि जिसको हम लोग गुणनखंड विधि या एलसीएम विधि बोलते हैं। पढ़े हो? सबसे पहले भाग किससे देते हो? कभी बचपन में एक से भाग दिए? ठीक। आपको पहले ही रोक दिया जाता है कि एक से भाग नहीं देना है। रीज़ वही है क्योंकि सबसे छोटी अभाज्य संख्या कौन सी है? दो। अब
56:28 कितना? ठीक है? दो। तो यहां पे फिर से क्या लिख दिए? एक। तो चार किनसे मिलकर बनी है? दो से। कितनी बार गुणा किए? दो बार। जैसे अभी मैं एग्जांपल के लिए आपको 72 लिख के दिया था। लिख के दिया था। ठीक है? और 72 लिख के दिया। तो मैं आपको यहां पे बोला कि इसको 12 संख्या विभाजित करती हैं। जिसमें से तीन विषम है और नौ क्या है? सम है तो उस कंडीशन में 72 कैसे बना होगा? तो सबसे पहले दो से बना होगा। कितनी बार? 36 बार। फिर दो से बना होगा। कितनी बार? बताओ। 18 बार। फिर किससे बना होगा? दो से कितनी बार? नौ बार। अब तो दो से नहीं बना होगा। तीन से कितनी बार? तीन बार। और फिर तीन से एक बार। लिख सकते हैं? तो जितनी बार में वो संख्या बन के तैयार होती है
57:15 उसी को बोलते हैं अभाज्य गुणनखंडों की संख्या। ध्यान से सुनना। मैं क्या बोला? 72 किससे बना? तो दो के तीन बार गुणा और तीन के दो बार गुणा। और इनके गुणन के फल स्वरूप हम लोग को क्या मिला है? 72 मिला है। तो ऐसी कितनी संख्या जिनका उपयोग करके 72 बना। तो एक दो तीन चार और पांच। तो 72 के अभाज्य गुणनखंडों की संख्या होती है कितनी? पांच कुल गुणनखंड अलग है। ठीक है? अभाज्य गुणनखंड अलग है। अभाज्य गुणनखंड से संख्या बनता है और कुल गुणनखंड बताता है कि उस संख्या को कितनी संख्या विभाजित कर पाता है। तो वहां पे दोनों को मिक्स मत कर देना। पता चला कुल गुणनखंड ही अभाज्य गुणनखंड और अभाज्य गुणनखंड ही कुल गुणनखंड
58:00 है। कभी भी कुल गुणनखंड को जब आप पढ़ते हो ना, तो इनकी सहायता से पढ़ते हो। कल बताऊंगा उन सब चीजों के बारे में कि कैसे रिलेट करते हैं। इसीलिए सबसे पहले यह चार आपको याद होने चाहिए। इसके बाद मैं बोला था कि अगला जो होगा वो 11 से क्या होगा? 20। देखना जब रीजनिंग में आप लोग को मैं सीरीज पढ़ाया रहूंगा। तो यहां पे भी बोला रहूंगा कि अगला जो पेयर होता है वो 11, 13, 17 और किसका होता है? 19 का होता है। वहां पे भी बोला रहूंगा कि कम से कम स्टार्टिंग के 10 अभाज्य संख्या आपको मोह जुबानी क्लियर होना चाहिए। ठीक है? आगे क्या होगा? देखो दो है तो दो का मतलब कहां से कहां तक होगा? 21 से कहां तक? 30। अगला 31 से 40। फिर अगला 41 से 50। तो हम लोग
58:46 बता सकते हैं कि 50 तक कितनी अभाज्य संख्या? बता सकते हैं। 4 8 2 10 12 और तीन 15। ये 50 तक अभाज्य संख्या को बताता है। इसीलिए इन नंबर्स को अच्छे से क्लियर करना और याद रखते चलना। जैसे अभी मैं देखो यहां पे लिखा हुआ हूं। कितने सारे लिख दिया? चार। और इसमें भी कितने हैं? चार। 21 से 30 तक दो होते हैं। ठीक है? एक होता है कौन सा? 23 और एक होता है कौन सा? 29। ये कोई बड़ी चीज नहीं है ना? आसानी से इनको कर सकते हो। अगला 31 से 40 है। तो यहां आपको मिलेगा 31 और क्या मिलेगा? 37। यह मिलेगा। कल मैं बताऊंगा इनको कैसे निकालते हैं और कहां से बताते हैं। अगले में तीन लिखा है। तो तीन कौन-कौन से होंगे। तो एक होता है 41, एक होता है 43 और एक होता है
59:34 47। अभी नहीं लिखे रहो। कल मैं बताऊंगा उसको अच्छे से साफ-साफ लिखना। आज बस देखे रहो कि ऐसा कुछ होता है। अब इनका यूज़ कब पड़ता है? तो याद रखना जब आप पढ़ोगे क्या? औसत पढ़ोगे। एवरेज पढ़ोगे। क्योंकि अभी तो संख्या बता के निकल जाओगे। उस समय जब तक उन संख्याओं को जोड़ोगे नहीं, औसत आएगा नहीं। जैसे नंबर सिस्टम में क्वेश्चन क्या बनेगा? तो आपको बोलेगा कि मान लो मैं बोल दिया कि 20 से लेकर के 40 तक कितनी अभाज्य संख्या? तो आप कंटिन्यू क्या कर दिए? दो और दो चार अभाज्य संख्या। लेकिन जब वही चीज औसत में पढ़ोगे तो वो लिख के देगा कि 20 से 40 तक अभाज्य संख्याओं का औसत क्या होगा? और उस समय केवल चार बता देने से आंसर नहीं आ जाएगा। आपको वो चारों को पहले लिखना पड़ेगा। आपस में जोड़ना पड़ेगा और
1:00:19 फिर उनका औसत बताना पड़ेगा। इसीलिए अच्छे से इस कॉलम को क्लियर करके रखेंगे। ठीक है? तो एक क्वेश्चन बनेगा इन संख्याओं से। कहां से बनेगा? अभाज्य संख्याओं की संख्या से। एक क्वेश्चन में यूज़ किया अभाज्य गुणनखंडों की संख्या। तो बचपन से जो आप कॉलम सॉल्व करते आए हो उन्हीं संख्याओं को काउंट करना ही क्या होता है? अभाज्य गुणनखंड होता है। तो ये दो टाइप के क्वेश्चन हो गए। एक कौन सा? उनकी संख्या बताना। दूसरा कौन सा? अभाज्य गुणनखंडों की संख्या निकालना। और तीसरा होता है किसी भी संख्या को पहचानना कि वो अभाज्य है कि क्या है? भाज्य है। वहां भी इन्हीं का यूज करते हो। मैं अभी भी बोल रहा हूं कल वाली क्लास में कोशिश करना ये 10 जो आप अभाज्य
1:01:05 संख्या देख रहे हो इन 10ों को अच्छे से पढ़ के आने का। ठीक है? मतलब मंडे को जो क्लास हम लोग पढ़ेंगे उसमें ये 10 आपको याद होना चाहिए। अभाज्य संख्या के किसी भी क्वेश्चन में कोई भी दिक्कत नहीं होगा। ठीक है? यदि आपको यह सारे के सारे याद है। ठीक? कर लोगे? तो आज मैं यहीं पे छोड़ रहा हूं। अगली क्लास में हम लोग इनके सारे न्यूमेरिकल करेंगे। तो जो जो मैं यहां पे आज बताया समय है अभी अच्छे से पढ़ लेना, कर लेना और उसके बाद कुछ दिक्कत होगी तो वापस आकर पूछना। ये सारी चीजें याद होनी चाहिए। ठीक है? अभी के रीसेंट टाइम पर आपके न्यूमेरिकल के साथ-साथ जो थ्योरिटिकल होते हैं ना वह पूछता है। तो इन सब को एक बार पढ़ लेना। कल मैं वापस यहीं से कंटिन्यू करूंगा। ठीक? चलो थैंक यू।
1:02:34 हां
