0:01 بسم الله الرحمن الرحيم ماده كالكوس 3 او كالكوس سي التكست بوك او الكتاب المقر كالكس لوسكي ايديشن راح نبدا بارت سي طبعا انت درستو بارت وبارت ب في كالكوس واحد واث حيكون معكم في هذه الماده الاستاذ دكتور طارق سالم والاستاذ دكتور جمال شنن تتعاونوا في تجهيز المحاضرات الالكترونيه ان شاء الله نتوفق معكم وتتفقوا معنا طبعا انت في كالكوس 2 او كالكوس بي انتهيتوا في نهايه شبتر 11 اللي كان تتحدث عن الانفايت سيريز انه الماده كالكولاس
0:46 استكمال ل موضوع الكالكس بشكل عام بالتالي سنبدا بشبت 12 بعنوان الكونك سكشن ما هي الكونك سكشن او بالعربي بسموها القطوع المخروطيه تمام هي عباره عن خلينا نقول اربع اشكال اساسيه او ثلاثه انا بقدر اسميهم لانه في شكل وعباره عن حاله خاصه من شكل اخر طبعا بده يكون عن الكونيك ما كون الكون هو مخروط كونك سكشن قطع مخروطي اذا في شيء بده يقطع المخروط المخروط عباره عن جزئين علوي وسفلي زي ما الاشكال الموجوده عندكم في هذه الصفحه لو كان في عندي بلاين او مستوى بدي يقطع هذا المخروط لو قطعه في بشكل افقي سواء الجزء العلوي او الجزء
1:33 السفلي بتكون عندي دائره بالتالي الدائره هي قطع مخروطي كونك سكشن طبعا انت درسته الدائره بكل تفاصيلها في المرحله المدرسيه وبالتالي مش رح نتطرق لها في هذا السكش في هذا الشابتر لو كان عندي البلين او المستوى اجا قطع المخروط بشكل مائل قطع جزء الجزء العلوي او السفلي بشكل مائل بتكون عندي بشكل مائل والف دوره كامله بتكون عندي جزء مش دائره شبيه بالدائره ولكن انحناءات غير متساويه زي ما كان في الدائره ت هذا بسميه الالبس او القطع الناقص هذا القطع النقص انا بحكي انه الدائره هي عباره عن حاله خاصه منه
2:19 راح نشوف في سكشن 12 اين لما نصل للبس كيف انه هذه حاله خاصه السيركل حاله خاصه من الالبس لو المخروط قطع احد الجزئين سوري المستوى قطع الجزء العلوي للمخروط او الجزء السفلي بشكل مائل بحيث انه ملفش الدوره كامله تكون عندي الشكل شايفينه في اللي هو فوق عن برابولا تكون عندي شكل زي بشبه منحنى واي بتساوي اكس تربيع منحنى واي بتساوي اكس تربيع وهذا ح ندرس في اول سكشن هذا الشكل بسميه برابولا او قطع مكافئ لو البلين قطع المخروط بشكل راسي او عمودي
3:05 بحيث انه قطع الجزئين بتكون عندي هذا الشكل الموجود معي كانه في عندي برابولا الى اعلى وبراوه الى اسفل يعني شبيهه بهذا الكلام الاثنين متكافئين في تماثل بيناتهم كان انعكاس واحد كل واحد انعكاس للاخر تمام هذا بسميه الهايب او القطع الزائد طبعا برضو نح ندرسه في السكشن الثالث خلينا ننتقل للشريحه التاليه و واح حكي عنب او القطوع المكافئه ماه او التعريف خ مع بعضهم مع الم عباره عن مجموعه نقاط مجموعه
3:54 هائ الق منحن البرابولا كل النقاط الموجوده على البرابولا بتبعد ابعاد متساويه عن خط ثابت بسموه الدايركتس او الدليل اطلعوا على الشكل وانت وانا بحكي معكم الشكل الموجود على اليمين ونفس هذا البعد بيكون عن نقطه ثابته بنسميها الفوكس وهدول سواء الدليل او الفوكس مش موجودات على الخط بالتالي لو اخذنا النقطه في الشكل الموجود عليه لو خذنا نقط به اي نقطه اي نقطه على هذا المنحنى اللي يمثل كل هذه النقاط اللي بتحقق الشروط الموجوده في النشن اذا بي تبعد عن الدليل ال او
4:43 الدايركتس نفس المسافه اللي بتبعد ب عن النقطه الثابته اللي هي الفوكس اللي هو افما انه ب هي اي نقطه اذا نرمز لها بالرمز احداثيات هي اكس وواي لانه مجه بتاخذ اي قيم وبالتالي بتتحرك طب نفس الشيء النقطه ز ز موجو على الخط بالتالي ز ز او نقطه الاصل تبعد عن اف نفس المسافه عن ال حسب ما هو موضح بالتالي خلينا نسمي هذه المسافه بي سمول تمام خلينا نشوف احداثيات الاف الاف هي نفس على نفس الخط العمودي الواقع عليه الفيرتكس او نقطه الاصل بالتالي احداثياتها زيرو بالنسبه للاكس لانه وقع الواي اكسس وبي
5:28 تبعد عن او نقطه الاصل المسافه الى اعلى مقدارها ب بالتالي احداثياتها ز بي النقطه كيو اللي هي اي المسافه او النقطه الموجوده على ال وبتبعد مسافه عموديه بتعمل مسافه عموديه مع بي بتعامد هذا المسافه بتتعاد مع الل اللي هي البعد بين بي وبين ال يعني نفس البعد العمودي مع ب وبالتالي الاكس احداثياتها هي نفس احداثيات البي و بالنسبه للاكس اكسس وبالتالي الات از اكس لكنها تنزل الى اسفل بشكل عمودي الى اسفل مقدار الاحداث ال عباره عن سالب شو
6:15 بحكي بساوي سالب خط مستقيم اقطع الوافق وا بتساوي بي اذا المسافتين متساويات ما هي البي اف قانون المسافه معروف الجذر التربيعي اكسوا ناقص اكس ا زائد واوا ناص طبعا مربعات اقواس اذا الجذر التربيعي لاكس ماينص ز الكل تربيع زائد وا ماين الكل تربيع يعني الجذر التربيعي لاكس تربيع زائد وا ماين ب الكل تربيع البيو البي كيو المسافه ذر التربيعي لاكس ناقص اكس تربيع الكل تربيع زائد وا ناقص
7:03 سالب بي الكل تربيع بتالي جذر الواي زائد ب الكل تربيع المسافتين متساويتين حطينا الجذرين هيه متساو ربع الطرفين بروح الجذر يعني اكس تربيع زائد واي ناقص ب الكل تربيع بتساوي وا زائد بي الكل تربيع فكوا التربيع بتكون عند المعادله اكس تربيع زائد واي تربيع زائد بي تربيع ناقص ا واي بي بتساوي واي تربيع زائد بي تربيع زائد 2 واي بي طبعا واي تربيع بتروح مع واي تربيع بي تربيع بتروح مع بي تربيع سالب ا حط على الجهه بطلع عندي المعادله اكس تربيع بساوي 4 وا بي او اكس بالتربيع بساوي فبي واي طيب هل هو الشكل الوحيد للا في اشكال اخرى خل نطلع على الشريحه
7:50 التاليه على اليسار عندي اكس تربيع اللي طلعناها و ففتح الى اعلى تمام عندي الفوكس هو ز بي دايركت اكس واي بتساوي سالب بي زي ما حددنا هناك والبي لازم تكون اكبر من ز ماذا لو كانت البي اقل من ز بد ينعكس زي واي بتساوي اكس تربيع اوبد وا بتساوي سالب اكس تربيع دا اختلفت البي تمام بالتالي اكس تربيع بتساوي ف بي واي مع ي بتساوي اقل من زرا اورا اوب داوند طبعا وا بدها تساوي سالب بي ماشي الدليل هو البي ما هي كميه سالبه
8:36 سالب السالب بصير موجب بطلع الى اعلى الفوكس اف 0 وكميه سالبه يعني الى اسفل ماذا لو بدلنا الاكس مع الواي والواي مع الاكس بصير عندي المعادله على الشكل واي تربيع بتساوي 4 بي اكس لو اخذنا البي اكبر من ز تمام اوبيت على الاكس اكس الموجب وصير عندي الفوكس هو عباره عن ب وز وا دايركتس عباره عن اكس بتساوي سالب ي لانه بصير خط عمودي موازي للواي اكسس هذا في السي في الجراف دي نفس الشي لو كانت بي اقل من زبن اوت اوب ذا ليفت على
9:22 اليسار طبعا اكس بتساوي سالبه والبي كميه سالبه بصير اكس بتساوي كميه موجبه تكون تقطع الاكس اكسس في كميه موجبه خلينا نشوف ازبل على الموضوع الامبل واحد فوسي اكس تربيع بساوي ماين واي راف ارسمها ماشي الحال اكس تربيع بتساوي سالب ث وا بد تكون على الشكل يا اما اي يا اما ي يعني اكس تربيع بتساوي 4 بي وا انا بحكي لانه كميه سالبه عندي ه السالب لانه عندي ساوي سالب ثم مضبوط ولا لا لو بدنا الاكس مع حطينا بدل الاكس سالب اكس بتضل نفس المعادله في عندي ايش تماثل حوالين
10:09 الاكس حوالين الواي اكسس طيب 4 بي بتساوي سالب ث وبالتالي ب بتساوي سالب اثين اوجدت قيمه البي طيب قوللي فايند فوكس الفوكس هو عباره عن 0 بي اذا الفوكس اف 0 بي بدها تساوي ز سالب اثنين اذا موجوده لاسفل الدايركتس وا بتساوي سالبي يعني وا بتساوي اثين رسمناها هي نفس الشكل الموجود في بي اعلى طيب لاحظوا شغله واحده انا بدي احكيلكم اياها اللي هو الدليل الدليل بدلنا على اساس انه الجراف بده يكون اوبنز عكس الاتجاه الموجود في الدليل يعني اذا كان الدليل الى اسفل اوب كان الى
11:00 ا كان على اليسار مبوط و طبعا بساوي سال بطلع بساوي زي ما حكينا خلي نتقل لشريحه التال مال انا شايف انه هذا الاكزا امبل عكس الازاب السابق السابق كان في عنده معادله بوللي اوجد الفوكس دايركتكس وارسم ه معطيني الفوكس والدك وحتى معطيني الراسم قوللي اوجد المعادله شايفين كيف طيب اثنين سهلين انا
11:46 بعتبرهم الفوكس يعني الرسم حتى مش ضروري ممكن اول اول معطيين موجودين ما بكفيني لان من خلالهم بقدر ارسم الفوكس عند خمسه وزير والدليل عند اكس بتساوي سالب خم مادام عند اكس بتساوي سالب خمسه موجود على اليسار ايه تمام معناته انه ال البرابولا ات اوبنز تو ذا رايت زي ما موجود عندي هون طيب انا لزمني انه بصير عندي المعادله شكلها y تربيع بتساوي اربعه بي اكس اما سي او دي في المعاد في الصفحه السابقه واي تربيع بتساوي اربعه بي اكس بدي اوجد قيمه البي طيب هي المسافه اللي بتبعد ببعدها الفوق عن نقطه الاصل هي البي او المسافه
12:31 اللي بتعدها الدليل عن نقطه الاصل هي البي هذه المسافه مقدارها خمس وحدات بالتالي البي بتساوي خم من الشكل الموجود معي ب بتساوي خم وعندي واي تربيع حددنا انها على الشكل 4 باي اكس اذا 4 في 5 اككس بطلع عندي واي تربيع بتساوي 20 اكس هي المعادله المطلوبه طيب موضوعنا هذا عاد بعدين هل كل الرابوز لازم كون عندي الفيرتكس او الراس موجود على نقطه الاصل بحكي لا مش بالضروره مش بالضروره خلينا ننتقل معنات ممكن تكون عندي اي نقطه اخرى نشوف حاجه اسمها ترانسليشن اكس انسحاب محاور قل اذا انسحب المحور اكس الى اكس
13:18 داش والواي الى واي داش بتكون نقطه اصل جديده بتسحب ب مسافه معينه اذا انسحب اكس الى اكس داش سساوي مقدارها ك واي لواي داش مسافه مقدارها اتش اذا تكونت عندي نقطه جديده اللي هي نقطه اصل جديده اسمها اتش وكي بالنسبه لمين بالنسبه للاحداثيات الاصليه اذا عندي المحاور اللي باللون الاسود المحاور باللون الاحمر لو فرضنا وجود نقطه بي اون ذا بلين موجوده على المستوى انذا بلين البي احداثيات اكس وواي بالنسبه للاكس واي كوردين الاصليه يعني عند مسافه افقيه اكس ومسافه عموديه واي طيب البي نفسها هي اكس داش وواي داش
14:03 بالنسبه لمين للاكس داش وواي داش الجداد اللون الاحمر اذا هي تبعد مسافه اكس داش افقيا وواي داش عموديا اكس داش اقل من اكس مضبوط طيب ايش العلاقه بين اكس واكس داش طيب تنسوش في عندي نقطه الاصل اش وكي المسافه بين الواي والواي داش هي اتش افقيا انسحبت المسافه بين اكس واكس انسحبت الخش ماشوف كتمل
14:58 مع طيب نشوف ايش الازف عن اكس ماين اش الكل تربيع بتساوي 4 بي في وا ماين ك طبعا بتساوي ز اكيد هذا ب يكون عندي فيرت اك بتساوي ك ماين خلينا بس شوي شوي نشوفها اكس ماين اش اللي هي اكس داش الواي ماين ك هي واي داش بالتالي معادلتها عباره عن اكس داش تربيع بتساوي 4 بي في واي داش زي المعادلات اللي كانت ل في نقطه اصل ز ز نقطه الاصل اتش وكي تمام وبالتالي نحنا بنحاول بكتبها زي الاصل اكس تربيع بتساوي ف بي واي او اكس داش تربيع بتساوي ف بي واي داش ونحول اكس داش الى اكس والواي داش
15:43 الى واي يعني بكتب اكس داش بتساوي اكس ماينص اتش والواي داش بتساوي واي ماينص كيف بتكون عندي هذه المعادله خلينا نشوف هذه المعادله في الاساس هذه المعادله بتمثل في الرسومات الاربعه الموجوده معي بتمثل اي وبي كانت ال اكبر من ز كانت ال اقل من ز تمام نشوف الاحداثيات ما هو الفوكس الفوكس بحكيلي ه عباره عن اشكي زائد ي لان الفوكس نفس الاتجاه نفس الخط العمودي مع الرتس اتالي نفس احداثيات الاكس اذا الاحداث الاكس
16:29 الوس ب يكون اول احداثي ل ا طب الوا اكوا كوجود معي نشوف الوا كد للفوكس تمام بده يمشي مسافه عموديه مقدارها ك تمام عند المقدار كصل للفيت لكن هو بزيد عن ال كمان اذا بصير عندي ك زائد ب اذا احداثيات الفوس ا زئ طيب معادله واي بتساوي وا هي واي داش بتساوي سالب بي واي داش بتساوي سالب بي مضبوط ايش هي الواي داش واي داش بتساوي واي ماينص كي بتساوي سالب يعني وا بتساوي ك ماينص ي زي ما احنا
17:17 كاتبين نفس الشي داورد لكن ال بد تكون اقل من ز في هذه الحاله سالبه تمام المعادله الثانيه وا ماين الكل تربيع ف بي في اكس ماينص اتش تمامك بكون اكس بتساوي اتش ماين بي نفس التحليل السابق تقريبا ولكن بدلنا الاكس مع الواي تمام بدلنا الاكس مع بترككم انتم تحلوها نفس ايش اللي حكيت طيب المعادله اكس ماينص اش الكل تربيع بتساوي ف بي في واي ماينص ك خليي نمسك فيها هي او الثانيه خلينا ناخذ حده منهم اللي هي فوق الا لو فكينا تربيع وضربنا الفور بي في واي ماينص ك وحللنا المعادلات تمام وطلعنا
18:03 واي لحالها بتكون عندي معادله على الشكل وا بتساوي اطلعوا لتحت اللون السيلفر هذا او السكنه الجر واي بتساوي اي اكس تربيع زائد بي اكس زائد سي تكون معادله بهذا الشكل معادله عامه حيث ان الاي والبي والسي نمبرز ي ما بتساوي ز اكيد لساو ز بصير اذا المعادله وا بتساوي ا زا زئ س ا طبعا لو اخذت المعادله الثانيه بصير بدل واي بتساوي بصير اكس بتساوي اي واي تربيع زائد ي واي زائد سي تمام از كاتبلي ه واي بتساوي اكس تربيع زي مثلا واي بتساوي اكس تربيع لفوق اوب ابد وواي بتساوي سالب اكس
18:50 تربيع بترك لكم التحليل بحلل انه ايش العلاقه بين الا وبين البي اي بتقوللي اي بتساوي واح على ا بي حتطلع مع او بتساوي ح على اهذ مهمه العلاقه مهمه في الحلول حل الاسئله او الامبل زي ما حنشوف في الشريحه التاليه اطلع الابلال بساي اكس تربيع ناقص 6 اكس زئ 4 يعني ايش المطلوب بوجد كل ما يلزم خواص وصفات الليش بتمثل هذ المعادله وما يلزم لرسمها
19:36 كمان تمام يعني معادله برابولا عشان اعرف برابولا بدي اوجد صفات صفات برابولا بدي اعرف ايش ال ايش الفوكس ايش الدليل اليرك والرسم اوجد الوا حتى اعرف ارسم طيب اكيد للاساي اكس تربيع زئ زئ س المعادله العامه تمام بحكيلي ه عارفين اما الى اعلى او الى اسفل يعني هو عباره عن لوك موك
20:21 ماع عند دائما عن او المماس ب يكون مستوي افقي الافقي معناته دي واي باي دي اكس شو بدها تساوي ز تمام خلينا نشتق المعادله وا بتساوي ا اكس تربيع ناقص س اكس زائد ا يعني دي واي با دي اكس بتساوي 4 اكس ناقص س حطها بتساوي ز بطلع عندي اكس بتساوي 3 على ا انا بقول هذ عباره عن الاتش اول احداثي للفيرس الاكس اكس بتساوي اتش هذ الحاله بطلع عنديش طيب عوض عن قيمه 3 على ا في المعادله و بدها تطلع بتساوي سالب نص بالتالي الكس هو عباره عن 3 على ا وسالب نص وبتالي الاتش بتساوي 3 على ا
21:10 والكي بتساوي سالب نص ماشي بدنا نوجد البي حتى نكمل ايش نوجد كل ما هو مطلوب انا بعرف انه البي بتساوي واحد على ا اي ال هي ايه معامل الكوشن لاكس تربيع الا a بدها تساوي معامل الاكس تربيع ا لانه عندي ا اكس تربيع بالتالي تساوي على ا بتساوي على ا في تطلع بتساوي ح على اذا بتساوي تمام اذاو فوس بي بتساوي تف اي بي بتساوي تف اي اذا ايش هو الفوكس الفوكس ونفس احداثيات الفيرتكس من ناحيه الاكس يعني هو 3 على ا
21:58 لكن بزيد عليه بي من ناحيه ايش الاحداثي واي اذا الاحداثي وا هو سالب نص زائد صير عندي عباره عن 3 على ا سالب 3 على ث يعني فو فوق الر بحاجه بسيطه ملاحظه بس ه لما يكون البعد بين الفوكس وبين الفيرتكس قليل جدا قريبات جدا من بعضو والبي نكون ضيقه ضيقه قريبه من بعض خطوطها انحناءات او انحنا حاده شويه لكن لو كانت عندي المسافه بينهم بعيده في مسافه تمام وبالتالي بكون
22:46 عندي ماش هذ الحاله طبعا قريب طلع عندي حسب الشكل شايفين ما هي معادله الدايركت يكون عباره عن ك وا بتساوي ك ماينص بي طبعا الكي موجو معي سالب نص والبي سالب توا بتساوي طبعا وا بتساوي سالب نص ناقص ت بالتالي وا بتساوي سالب خ على 8 يعني رسمت رسم تقريبي خط هو لفوق شويه قريب جدا من النقطه بس عشان للتبيين لا اكثر ولا اقل بالتالي بقدر ارسم عشان اكون دقيق جدا في الرسم اوجد الواي انتر بتحط الاكس بتساوي ز بطلع عندي الواي بتساوي عه حط الواي بتساوي ز حلل المعادله بلع عندي بالمقاس طبعا بطلع عندي الوا الاكس بتساوي واحد
23:32 واثنين يعني بطع الاكس اكسس عند النقطه واحد واثنين بطع الواي اكسس عند النقطه بتساوي اربعه بالتالي بتكون عندي هذا المنحنى نشوف الشريحه هل هذه الطريقه الوحيده الحل انا بقول لا في طريقه اسمها كومبليت سكوير يعني هي نفس المعادله خلينا ناخذها من المثال السابق وا بتساوي ا اكس تربيع ناقص 6 اكس زئ ا اذا بنتج وا بتساوي خذ عامل مشترك بطلع بين قوسين اللي فيهم اكس هي اكس تربيع ناقص 3 اكس وهي زائد اربعه لحالها عشان اكمل مربع للحد اللي بين الاق القوسين معامل الاكس هو سالب ثلا قسم لي اياه على اين بطلع سالب 3 على ا ربعه بصير 9 على ا اذا وا بتساوي 2 في اكس تربيع
24:18 ناقص 3 اكس بضيف 9 على ا سكرنا القوس زائد ا ما اضفته بدي اطرحه اللي اضفته اللي هو 9 على ا داخل قوس القوس كله ضروب في ا بصير 9 على ا انا اضفت وبالتالي بدي اطرح ايه سالب ت على ا كمل 9 4 ناق ت ا حد الثابت هو عباره عن سالب نص حطه عند الوا بصير عندي وا زائد نص تساوي ا في هذا هذا عباره عن مربع كامل هو عباره عن اكس ناقص 3 على ا الكل تربيع قسم على اثنين وخلي الاكس ببدا باكس ناقص 3 على ا الكل تربيع بتساوي نص في وا زائد نص تمام اذا عندي اكس ماينص اتش الكل تربيع بتساوي 4 بي في واي ماين كي مضبوط ولا لا
25:05 اككس ماينص اتش اذا الاتش بتساوي 3 على ا واي ماين ك زائد نص هي عباره عن سالب السالب نص وبالتالي ك بتساوي سالب نص طيب واش هي النص المضروبه في في القوس اللي هو زائد نص هي عباره عن ف بي اذا ف بي بتساوي نص بطلع عندي بي بتساوي واحد على ث اذا اوجدت انا الاتش والكي والبي والتالي بكمل بقيه الحل كما في الصفحه السابقه يعني بدل ما استعمل مشتقه وشغلات من استعملت اكمال مربع انتقل زبل بسيط ان شاء الله موجود عند السالب ا مدلت بتساوي 5 طبعا نبدا على اساس انه بنرسم رسم تقريبي مش بالضروره يكون صحيح 100 في هو عباره
25:53 عن يعني ممكن يكون شكله زي هيك بسع هو اور واي بعرف هذا الحل عند الفيرتكس هي عند السالب اربعه ثنين والداس عند واي بتساوي خم طبعا لما يكون عندي هو حيكون اوبنز عكس الدايركتس وبالتالي وا اوبنز داوند معادلته حتكون اكس ماينص اتش الكل تربيع بتساوي ف بي في واي ماينس كي طبعا الاتش هي عباره عن سالب ارب معطى الكي بتساوي ا البي شو بدها تساوي البي بدها تساوي طبعا سالب وين جبناها لان المسافه العموديه بين الفي وبين الدايركتس هي البي المسافه بين الفي وبين الدليل واي بتساوي
26:39 5 طيب هذه المسافه كم هي عباره عن 2 ناقص 5 ل نزل الى اسفل بالتالي بدها تساوي سالب ثلا عوض عن اتش وكي وبي بسالب 3 ططلع عندي اكس زائد 4 الكل تربيع بتساوي سالب 12 ناقص ا وهي المعادله اذا حابب اكمل واكتبها على الشكل وا بتساوي اكس تربيع زائد بي اكس زائد سي بالتالي بدك تفك التربيع وتضرب سالب 12 في القوس الموجود بالتالي تطلع الناتج تحط الواي لحالها زي ما السطور التاليه اك اقرا اقراوها وان شاء الله الموضوع سهل ثانك يو شكرا لكم حسن استماعكم نلتقي في المحاضره القادمه ان شاء الله يعطيكم العافيه
