0:01 Wie kann Zufall den Aktienmarkt berechenbarer machen? Es klingt fast wie ein Widerspruch in sich. Doch mit ein wenig Mathematik können wir tatsächlich Struktur in den Zufall bringen. Wir können vielleicht nicht genau vorhersagen, was der Markt tun wird, aber wir können Aussagen über den Rahmen dessen treffen, was möglich ist. Dies ist die Geschichte davon, wie Mathematiker begannen, diese Ideen auf Finanzmärkte anzuwenden, und welchen Einfluss das Jahre später haben sollte , als mathematische Modelle eine enorm wichtige Rolle in der Finanzwelt einnahmen. Die Geschichte beginnt vor über hundert Jahren, als ein Doktorand namens Louis Bachelier ein Thema untersuchte, das für einen Mathematiker äußerst unkonventionell
0:47 war: die Mathematik der Spekulation. Und wenn man sich etwas tiefer mit seiner Arbeit befasst, ist er jemand, der meiner Meinung nach große Bewunderung verdient. Wie kam Bachelier dazu, Finanzmärkte zu untersuchen, zu einer Zeit, als die mathematische Finanzwirtschaft kaum existierte? Und was war es an seiner Arbeit, das sie schließlich so wichtig machen sollte? Rückblickend ist es leicht zu übersehen, wie ungewöhnlich dieses Forschungsgebiet war. Wie sich herausstellte, hatte Bacheliers Themenwahl Konsequenzen für die Art und Weise, wie seine Arbeit betrachtet wurde. Um die Geschichte von Bachelier wirklich zu verstehen, ist es jedoch nützlich, etwas Kontext über sein Leben zu haben. Bachelier war, wie man
1:32 vermuten könnte, Franzose und wurde 1870 in Le Havre geboren. Sein Vater war Weinhändler und aus irgendeinem Grund auch venezolanischer Vizekonsul, aber interessanterweise auch ein Amateurwissenschaftler. Und vielleicht noch wichtiger: Die Familie seiner Mutter war im Bankwesen tätig. Wirtschaft und Finanzen waren ihm also bereits vertraut. Seine Erziehung prägte ihn jedoch vor allem dadurch, dass seine Eltern starben, gerade als er die Schule beendete. Als ältester Sohn musste er Verantwortung für das Familienunternehmen sowie für seine jüngeren Geschwister übernehmen, was sein Universitätsstudium offensichtlich auf Eis legte. Und obendrein musste er noch seinen obligatorischen Militärdienst leisten. So kam er erst im Jahr 1892 im Alter
2:18 von 22 Jahren nach Paris und schrieb sich an der Sorbonne-Universität ein. An der Sorbonne hatte er das Glück, einige der besten Mathematiker Frankreichs zu treffen, und schließlich interessierte sich Bachelier dafür, Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Analyse auf die Bewegungen anzuwenden, die er an den Finanzmärkten gesehen hatte. Interessanterweise scheint es auch, dass er während seines Studiums an der Pariser Börse arbeitete, was ihm eine praktische Vertrautheit damit gab, wie Finanzmärkte und die dort gehandelten Instrumente funktionierten. Um 1900 schloss Bachelier seine Doktorarbeit ab , nachdem er sich in einer Position befand, die fast perfekt dazu geeignet war, eine Frage zu untersuchen, mit der sich Mathematiker zuvor noch nicht wirklich befasst hatten. Außerdem
3:04 befand er sich in der glücklichen Lage , dass sein Betreuer einer der größten Mathematiker des späten 19. und frühen 20. Jahrhunderts war: Henri Poincaré. Tatsächlich ist Poincarés Arbeit für vieles, worüber wir auf diesem Kanal sprechen, bemerkenswert relevant. Er ist berühmt für seine Arbeiten zu dynamischen Systemen, einschließlich des Dreikörperproblems , die dazu beitrugen, die Grundlagen für die spätere Chaostheorie zu legen . Man kann also beginnen zu verstehen, wie Bacheliers Hintergrund sein Denken über das, was er erforschen wollte, geprägt haben dürfte. Die Verzögerungen bei seinem Studienbeginn haben ihn vielleicht dazu gebracht, ehrgeiziger zu werden oder etwas anderes zu versuchen, das für alle anderen nicht offensichtlich war. Es ist wirklich interessant, wie viel
3:51 riskanter das damals gewesen wäre, wenn man bedenkt, wie einflussreich seine Arbeit letztendlich werden sollte . Tatsächlich hallt sein Ansatz durch die Zeiten nach und kann in der heutigen Zeit fast schon als orthodox angesehen werden. Und was er tat, war für die damalige Zeit eigentlich ziemlich radikal. Er betrachtete den Aktienmarkt und erkannte, dass er von einer enormen Anzahl von Faktoren beeinflusst wurde, so vielen, dass er tatsächlich praktisch unmöglich vorherzusagen ist. Nun, das ist nicht unbedingt so offensichtlich, wie es klingt. Man kann sich vorstellen, dass die Menschen damals vielleicht eher dazu neigten, zu glauben, dass es Gründe und Erklärungen für Bewegungen gab, die man potenziell vorhersagen könnte. Besonders da
4:38 Informationen viel langsamer verbreitet wurden und der Zugang zu Märkten weitaus begrenzter war als heute. Daher wäre nicht unbedingt zu erwarten gewesen, dass die Märkte so effizient sind, wie wir es heute annehmen. Bacheliers Ansatz bestand darin, anzunehmen, dass der genaue zukünftige Verlauf des Marktes im Wesentlichen unvorhersehbar sei. Anstatt zu versuchen, die nächste Bewegung vorherzusagen, modellierte er sie als zufällig. Um dies zu veranschaulichen: Wenn wir S als den Preis nach einiger Zeit und Bewegung der Aktie nehmen und Epsilon eine nachfolgende Bewegung nach einem Zeitintervall Delta t ist, dann können wir eine Gleichung wie diese schreiben, wobei Epsilon ein zufälliger Zuwachs mit einem Mittelwert von null ist. Unter diesem
5:26 Modell kann der tatsächliche Preis zufällig umherwandern, und wir sind mit dieser Art von Muster bereits vertraut. Aber Bacheliers Ansatz war ein wenig ausgefeilter, als nur einzelne diskrete Zufallsschritte nacheinander zu gehen. Bachelier wollte dies stattdessen als kontinuierliche Preisbewegung betrachten. Dazu entwickelte er die Idee der Wahrscheinlichkeitsstrahlung, bei der er eine Analogie zwischen der Ausbreitung der Wahrscheinlichkeit über mögliche Preise und der Diffusion von Wärme zog. Anstelle der Gleichung für diskrete inkrementelle Zeitschritte verwenden wir nun eine Gleichung wie diese, bei der W für
6:12 normalverteilte Zuwächse steht, die wir dann in Differentialform schreiben können. Was Bachelier erkannte, war, dass die Mathematik zur Beschreibung der Wärmediffusion, wie diese Differentialgleichung, auch die Entwicklung der Wahrscheinlichkeiten für Aktienkurse beschreiben könnte. Und wie es der Zufall will, hat die Wärmeleitungsgleichung eine Gauß- Funktion als Lösung für Wärme, die sich von einer punktförmigen Ausgangskonzentration ausbreitet. Bacheliers Lösung für sein Preisdiffusionsmodell war daher ebenfalls eine Gauß-Funktion, die wir hier mit einem großen N darstellen, mit einem Mittelwert von null und einer Varianz, die durch Sigma zum Quadrat mal T gegeben ist. Wir werden diese
6:58 Lösung hier nicht vollständig herleiten, aber wir können sehen, dass sie sinnvoll ist, wenn wir zu unserer Random Walk zurückkehren. Nach einem Schritt ist die Änderung der Position einfach ein zufälliger Zuwachs. Nach zwei Schritten ist es die Summe dieser beiden Zuwächse. Und nach tausend Schritten ist es die Summe von tausend zufälligen Zuwächsen. Und wenn man all dies über eine große Anzahl unabhängiger Variablen addiert, dann sagt uns der zentrale Grenzwertsatz, dass ihre Summe gegen eine Normalverteilung tendiert. Wenn wir also immer kleinere Schritte immer häufiger machen, nähern wir uns einem kontinuierlichen Zufallsprozess, was zu dieser Normalverteilung führt. Nun
7:43 gibt es eine wirklich coole und nützliche Konsequenz daraus. Und zwar, dass die Varianz dieser Verteilung mit der Zeit wächst. Tatsächlich ist es eine lineare Eigenschaft der Zeit. Und daher wächst auch die Standardabweichung, die die Quadratwurzel der Varianz ist, mit der Zeit. In diesem Modell ist Sigma ein Skalierungsfaktor, der die Größe der zufälligen Bewegungen bestimmt. Die Standardabweichung der endgültigen Preisverteilung hängt von Sigma und der Länge des Zeitintervalls ab. Tatsächlich ist die Lösung also eine Reihe dieser Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die mit fortschreitender Zeit breiter werden und im Grunde nach außen strahlen. Dies ist ein sehr cooles Ergebnis, da es uns Wahrscheinlichkeitsgrenzen liefert, was
8:30 bedeutet, dass wir die Wahrscheinlichkeit kennen, dass der Preis in einen bestimmten Bereich fällt. Und wir können auch sofort sehen, dass uns dies einen Weg eröffnet, das Problem der Optionspreisgestaltung anzugehen. Denn es sagt uns die Wahrscheinlichkeit, dass ein Preis in der Zukunft einen bestimmten Wert übersteigt. Und Henri Poincaré scheint erkannt zu haben, dass in Bacheliers Arbeit einige wirklich interessante Mathematik steckt . Um ihn aus einer Beurteilung von Bacheliers Dissertation zu zitieren: Die Art und Weise, wie Monsieur Bachelier das Gaußsche Gesetz ableitet , ist sehr originell. Er leitet es in einem Kapitel ab, dessen Titel zunächst seltsam erscheinen mag, denn er nennt es Strahlung der Wahrscheinlichkeit. Heute würde man die Variable W, die wir eingeführt haben, als Brownsche Bewegung
9:16 bezeichnen. Interessanterweise wurde die Brownsche Bewegung nur 5 Jahre später von Albert Einstein auf ähnliche Weise behandelt, anscheinend ohne Kenntnis von Bacheliers Arbeit. Daher hätte Bachelier zu der Zeit, als er seine Theorie entwickelte, sie nicht als Beschreibung der Brownschen Bewegung erkannt. Dennoch gibt es viele Ähnlichkeiten zwischen Bacheliers Arbeit und dem, was Einstein tat. Zum Beispiel ist Bacheliers Lösung der von Einstein für die Brownsche Bewegung entwickelten sehr ähnlich. Wenn wir also Einsteins Lösung grafisch darstellen, sehen wir die gleiche Grundform. Im Zeitverlauf ist es eine Gauß-Verteilung, die immer breiter wird, da die Varianz mit der Zeit
10:01 wächst. Bachelier hat uns also dieses wirklich schöne Modell geliefert, das ziemlich nützlich und überraschend einfach ist. Es ist ein Werkzeug, das Erkenntnisse liefert, wenn man analysiert, wo beispielsweise Aktien, die man gekauft hat, in der Zukunft landen könnten. In diesem Sinne hat er Zufälligkeit genutzt, um Vorhersagen darüber zu treffen, wohin sich ein Aktienkurs bewegen könnte, was, wenn man darüber nachdenkt, eine erstaunliche Innovation und für die damalige Zeit extrem weitsichtig war. Und hier ist ein kleines Experiment, das ich durchgeführt habe, bei dem ich Zufallsbewegungen simuliert habe, um zu sehen, ob sie dem Muster folgen, das Bachelier vorhergesagt hatte. Und wie Sie sehen können, folgten sie diesem ziemlich gut. Was wir hier jedoch nicht
10:48 wirklich besprochen haben, ist, wie Bacheliers Ideen in der Realität scheitern. Und obwohl dies eine gute Annäherung ist, sind viele der Ideen aus der Finanzmathematik ziemlich anfällig für extreme Ereignisse, die auf Finanzmärkten häufig vorkommen. Und ein wenig davon können Sie in diesem Diagramm sehen, das ich erstellt habe. Ich habe also einen Random Walk verwendet, um mehrere mögliche Preispfade zu generieren, und diese in Rot dargestellt. Darüber habe ich in Cyan ein weiteres Modell gelegt, das extremere Ereignisse oder eine Wahrscheinlichkeitsverteilung mit dickeren Enden als eine Normalverteilung enthielt, aber mit der gleichen Standardabweichung. Und schließlich habe ich darüber einige
11:33 reale Marktdaten in Schwarz dargestellt . Die roten und cyanfarbenen Verteilungen stimmen also die meiste Zeit mehr oder weniger überein, aber gelegentlich erlaubten die extremeren Werte dem Preispfad, weit außerhalb dessen zu verlaufen, wohin der Gaußsche Random Walk tendiert. Und einen ähnlichen Effekt können wir bei den schwarzen realen Daten sehen. Ich denke, der Punkt dabei ist, dass Bacheliers Modell die meiste Zeit überraschend gut funktioniert, aber echte Marktdaten enthalten mehr extreme Werte, als eine Normalverteilung erklären kann. Es gibt diese Erzählung über Bachelier, er sei ein verkannter Genius gewesen, der erst Jahrzehnte später, in den 1950er und 60er Jahren, entdeckt wurde. Um das etwas genauer zu beleuchten, schauen
12:19 wir uns zunächst an, wie seine Dissertation aufgenommen wurde. Wie wir bereits gesehen haben, kann man wohl sagen, dass sie von seinem Betreuer Henri Poincaré recht wohlwollend aufgenommen wurde, der nicht nur die Originalität des Themas hervorhob, sondern auch einige von Bacheliers Methoden lobte. Ich denke jedoch, man kann auch sagen, dass dies für einen Fachbereich Mathematik recht ungewöhnlich war und nicht wirklich ein Thema, das für reine Mathematiker damals im Mittelpunkt stand. Auf der Wikipedia-Seite zu Bachelier findet sich ein Zitat von Paul Lévy, der beschreibt, dass die Arbeit zu viel Finanzmathematik enthielt. Man kann sich leicht vorstellen, warum reine
13:04 Mathematiker das damals so gesehen haben könnten. Da schwingt eine gewisse Art von Snobismus mit. Heute wird dieses Werk jedoch eindeutig als sehr bedeutsam angesehen. Ein Beispiel dafür ist diese Arbeit zum hundertjährigen Jubiläum der „ Théorie de la Spéculation“. Dies ist im Grunde eine Feier zum 100- jährigen Bestehen von Bacheliers Werk. Und ungeachtet dessen, was man damals darüber dachte, wäre wohl jeder stolz darauf, 100 Jahre später noch für seine Arbeit gewürdigt zu werden. In dieser Arbeit wird Bacheliers Werk als wegweisende Analyse von Aktien und Marktoptionen bezeichnet. Zudem wird die enge Verbindung zur Brownschen Bewegung hervorgehoben, die ebenfalls eine sehr wichtige mathematische Entwicklung des frühen 20.
13:49 Jahrhunderts darstellte. Doch irgendwie geriet dies in Vergessenheit. Oder ist das wirklich der Fall? Eine andere Untersuchung, die sich mit Bacheliers Karriere befasst, betrachtet die Zitationsmuster. Ich denke, es trifft eher zu, dass Bacheliers Arbeit damals durchaus anerkannt wurde, das Problem aber darin bestand, dass es einfach kein großes Publikum dafür gab. Dieser Arbeit zufolge gab es durchaus Zitate zu Bacheliers Werk bis zum Ersten Weltkrieg, und dieses Ereignis, der Erste Weltkrieg, wirkte sich sehr störend auf den wissenschaftlichen Fortschritt aus. Natürlich folgten darauf ein paar turbulente Jahrzehnte und dann der Zweite Weltkrieg. Was ich wirklich interessant finde, ist die Wiederentdeckung des Werkes nach Bacheliers Tod. Wie bereits angemerkt
14:34 wurde, lag es nicht so sehr daran, dass die Leute seine Arbeit nahmen und begannen, sie anzuwenden. Es war vielmehr so, dass sie stark mit dem resonierte, was sich bereits zum Bereich der Finanzmathematik entwickelt hatte. Es ist fast einer dieser Fälle, in denen jemand dieselben Prinzipien entdeckte, die Bachelier hatte, nur eben 50 Jahre später. Und deshalb verlieh diese Wiederentdeckung der Wissenschaft dem Fach ein Gefühl von Legitimität. Tatsächlich verleiht die Art und Weise, wie die Finanzmathematik diese im Grunde gleichen Ideen später genutzt hat, Bacheliers Arbeit eine gewisse Legitimität, anstatt dass einfach jeder sofort auf den Zug aufgesprungen wäre. Es gibt jedoch feine Unterschiede in modernen
15:19 Ansätzen, wie etwa die Verwendung von logarithmischen Normalverteilungen anstelle von arithmetischen Normalverteilungen, was die Realität meist besser abbildet. Insgesamt würde ich also sagen, dass seine Arbeit schon damals zumindest als interessant wahrgenommen wurde, aber anfangs akademisch keine große Wirkung entfaltete, zumindest nicht in seinem damaligen Umfeld. Einstein arbeitete fünf Jahre später an einem ähnlichen Problem zur Brownschen Bewegung. Und natürlich hat Einsteins Arbeit letztlich eine deutlich höhere Bekanntheit erlangt. Doch wofür Einstein wirklich bekannt ist, ist seine Relativitätstheorie und weniger seine Arbeit zur Brownschen Bewegung. In gewisser Weise könnte man also sagen, dass Einstein in dieser Hinsicht auch nicht erfolgreicher war als Bachelier. Ich denke, es ist auch fair
16:07 zu sagen, dass Bachelier trotz einiger Höhen und Tiefen–etwa dem Umstand, dass er laut Wikipedia 1926 aufgrund eines Missverständnisses durch Paul Lévy ausgegrenzt wurde–insgesamt eine solide akademische Karriere hatte. Dennoch finde ich diese Geschichte inspirierend, weil sie für so viele von uns nachvollziehbar ist. Oft haben wir keinen vorgezeichneten Weg oder bekommen Dinge einfach geschenkt. Und oft haben es Menschen, die einen anderen als den offensichtlichen Weg einschlagen, schwerer, Anerkennung zu finden. Manchmal vielleicht sogar nicht einmal zu ihren Lebzeiten. In der Wissenschaft sieht man so oft Leute mit visionären Ideen, für die es anfangs einfach kein Publikum gab, weil sie so andersartig waren. Es zeigt auch, wie sehr Erfolg oft vom Glück abhängt und
16:53 davon, zur richtigen Zeit die richtigen Leute um sich zu haben, die den Wert des eigenen Werks erkennen. Und leider kann diese echte Anerkennung, wie in Bacheliers Fall, manchmal sogar hundert Jahre auf sich warten lassen. Was wir hier noch nicht behandelt haben, ist, wie Bacheliers Modell zur Bewertung von Optionen funktioniert. Das könnte ein Thema für ein anderes Video sein, vorausgesetzt, dieses Video erhält 500 Likes. Haha.
