0:01 matemática 11º revisões 12º ano Ensino Médio são alguns dos níveis que esta aula abrange portanto trigonometria aula 1 vamos falar de razões trigonométricas sumário pré-requisitos Vamos começar com uma breve nota histórica acerca da trigonometria e depois prosseguir com as razões trigonométricas do ângulo agulho para perceber a aula na totalidade oant verá ter conhecimentos elementares de operações numéricas e de equações do primeiro grau Mas mesmo mas mesmo conhecimentos elementares no fim desta aula o estudante deverá saber determinar as razões trigonométricas do ângulo agud Num triângulo retang e dar exemplos da
0:47 utilidade da trigonometria no quotidiano nota histórica a palavra a trigonometria tem origem nas palavras gregas trigonos quer dizer triângulo e metrum que quer dizer medida temos portanto que etimologicamente significa medida de triângulos atualmente a trigonometria aparece frequentemente associada a situações práticas como a medição de terrenos e de distâncias inacessíveis à cartografia à topografia à navegação física entre outras o astrónomo grego e parco de nela é considerado o fundador da trigonometria a ele se deve a introdução
1:34 do sistema sexagimal de medida de amplitude de ângulos pelo que os graus está relacionado com os graus o sistema sexagesimal e a primeira tabela trigonométrica posteriormente matemáticos como P my Euclides arquimed Copérnico e Kepler eiler entre outros deram contributos importantes para o seu desenvolvimento desenvolvimento ocorreu durante muitos séculos até aos dias de hoje vamos agora contar uma pequena história acerca de Tales no século VI Anes de Cristo sacerdote propôs a Tales que era um rico comerciante filósofo matemático e astrónomo a tarefa de medir a pirâmide Queops no Egipto temos portanto aqui uma fotografia
2:19 relativamente recente da pirâmide de Queops o seu aspeto atual percebe-se comparando com a altura das pessoas que é bastante grande Fes desta pirâmide de base quadrangular são neste momento aparentemente aos degraus mas na na na construção original As Faces eram planas havia portanto um revestimento exterior que se foi perdendo ao longo do dos séculos e para termos uma ideia das dimensões da pirâmide os aparelhos atuais apontam para uma altura de 138 M que corresponde a um edifício de 45 andares portanto uma pirâmide muito muito alta das maiores das maiores do mundo senão mesmo a maior
3:04 e que serviu de túmulo a um Faraó importante do Egito e temos portanto temos, portanto, que para medir a pirâmide para Tales medir a pirâmide com os meios técnicos da altura como é que ele fez como é que ele fez atualmente ninguém estranha e a ver uma indicação de que a altura é de 38 M mas na altura antes de Cristo como é que Tales conseguiu medir a altura de uma pirâmide com com altura equivalente a 45 andares Vamos então considerar a pirâmide a pirâmide e um triângulo retângulo em B um triângulo retângulo em B sabemos que
3:50 o que Tales pretende saber é a distância entre a e b Logo o a é o vértice da pirâmide O B é a projeção do vértice na base quadrangular da pirâmide e, portanto, este triângulo Imaginário pode ser formado por exemplo com a sombra que o sol faz na areia porque a pirâmide tem areia à volta se o sol estiver mais ou menos neste local ou nesta direção temos uma sombra com este aspeto e esta sombra à distância de b a c é facilmente mensurável com uma fita métrica basta pôr aqui ao lado de uma fita e medir até aqui à extremidade c não é necessário escavar até ao centro da pirâmide como é óbvio e, portanto, Vamos considerar um triângulo mais pequeno este triângulo mais pequeno pode ser formado por exemplo com uma vara espetada mais ou menos neste local uma
4:37 vara espetada na areia e, portanto, nós temos que a certa altura à medida que se vai martelando na à medida que se vai enterrando na areia a vara a certa altura a vara deixa de prolongar a sombra da pirâmide pant estee processo é é de compreensão muito simples e, portanto, a certa altura a sombra da pirâmide Deixa de ser prolongada pela sombra da cana e temos os dois triângulos alinhados estes dois triângulos matematicamente falando são semelhantes significa que um é uma ampliação do outro e porque é que são semelhantes porque são ambos retângulos e partilham o ângulo de vértice C Portanto tem dois ângulos tem dois ângulos geometricamente iguais logo são triângulos semelhantes um é uma ampliação do outro o que é que diz o que é que diz a teoria O que é que diz a
5:23 geometria diz-nos que se os triângulos são semelhantes vamos ter que lados correspondentes são directamente ionais e que é que são os lados correspondentes ora a hipotenusa é o lado que se opõe ao ângulo reto do Triângulo grande é correspondente ao à hipotenusa do triângulo pequeno portanto triângulos são semelhantes e estes lados são correspondentes ou seja CD é correspondente a ca do mesmo modo do mesmo modo temos que este cateto do Triângulo este cateto do Triângulo portanto os lados adjacentes aou ângulo reto chamam-se catetos a este cateto deste triângulo é correspondente a este cateto do Triângulo mais pequeno assim como o cateto ce é correspondente ao cateto CB
6:11 e serem indiretamente proporcionais significa que a razão entre os lados correspondentes vai dar igual ou seja este cateto a medida deste cateto a dividir pela medida deste cateto de é igual à medida de BC que é a sombra da pirâmide sobre a medida de EC que é a sombra da vara e temos assim que Por simplicidade se considerarmos a vara a medir 1 m Vara em termos práticos podia medir 1,2 1,5 pouca diferena faz nos cálculos mas consideremos Por simplicidade que mede 1 m e que a sua sombra mede 2 m facilmente mensurável a sombra consideremos ainda que a sombra da pirâmide é de 276 m e temos, portanto, que substituindo estes valores nesta equação vamos ter que AB so 1 Portanto o
6:59 de é 1 o BC é 276 vai ser igual a 276 sobre 2 uma vez que o e é 2 e agora conseguimos chegar ao resultado que o AB a medida da altura da pirâmide é portanto 138 M temos assim através de um método simples mas bastante criativo a medição da altura da pirâmide e de uma forma surpreendentemente precisa se as sombras forem muito bem medidas estou certo que conduz-nos a uma altura muito próxima da verdadeira altura de 138 M consegue-se ver já neste exemplo que os triângulos podem ser muito úteis na medição na medição de
7:50 distâncias razões trigonométricas de um ângulo agudo consideremos um triângulo ABC retângulo em C com as seguintes medidas de lados ora aqui temos a medida de BC é a a medida de AC é b e a medida de AB e C temos portanto um triângulo retângulo o lado que se opõe ao ângulo reto chama-se hipotenusa os lados adjacentes ou ângulo reto chamam-se catetos e temos então o ângulo de amplitude Alfa temos o cateto oposto ao Alfa podem pensar que é o que está em frente ao alfa o adjacente é o que está junto do vértice do ângulo portanto precisamente de forma mais precisa o cateto oposto é o que está mais afastado do vértice do
8:37 ângulo e o adjacente é o que está mais próximo e vamos ter então que sendo Alfa a amplitude a amplitude do ângulo formado pelos lados ac e AB temos então que as razões trigonométricas seno Ceno e tangente de Alfa definem-se do modo seguinte o seno vai ser igual igual ao seno do ângulo Alfa de amplitude Alfa a medida do cateto oposto sobre a medida da hipotenusa portanto fica a sobre c o coseno é igual à medida do cateto adjacente ao ângulo portanto B sobre o medida da hipotenusa que é C enquanto que a tangente é a medida do cateto oposto sobre a medida do cateto adjacente são definições é assim que se
9:24 define note-se que como consequência destas definições temos que a tangente de Alfa é seno de Alfa sobre coseno de Alfa de facto se nós dividirmos as fracções a sobre C e B so C este c simplifica com este c e ficamos simplesmente com a sobre B de onde sai que a tangente de Alfa é igual ao seno de Alfa sobre o coseno de Alfa é importante conhecer estas fórmulas decore ou tê-las sempre acessíveis e o modo de o fazer é decorar a palavra socatoa sóc à toa não se trata de nenhuma palavra chinesa ou japonesa trata-se sim de uma palavra capaz de nos fazer fixar estas formas vejamos o s de seno é igual ao cateto oposto sobre a hipotenusa muito
10:10 bem o s de seno é o cateto oposto sobre a hipotenusa o c de coseno é igual ao cateto adjacente sobre a hipotenusa o t de tangente é o cateto oposto sobre o cateto adjacente só que à toa permite-nos então saber estas três fórmulas e garanto-vos de uma forma bastante sólida é normal decorar estas formas é estas formas durante anos só com base na palavra só que à toa no o meu caso particular ao fim de 10 anos enquanto estudante ainda me lembrava da palavra sóc à toa note-se que as definições anteriores não dependem do Triângulo se considerar
10:55 este facto deve-se triângulos rectângulos com o ângulo agudo Alfa serem semelhantes portanto são retângulos vão ter um ângulo reto como tem um ângulo comum vão ter dois ângulos então geométricamente iguais e logo semelhantes consequentemente os seus lados são diretamente proporcionais vamos ver uma ilustração da situação temos aqui três triângulos retângulos semelhantes todos eles com um ângulo comum de amplitude alfa e todos os retângulos portanto são os três semelhantes são ampliações uns dos outros e nós temos que o seno de Alfa se é o cateto oposto sobre a hipotenusa pode ser visto como a medida de CB sobre AB Mas também se Num triângulo geometricamente igual fica de sobre AD ou se formos ao triângulo grande FG sobre a AF Portanto o que acontece é pelo
11:43 facto dos triângulos serem semelhantes os três este cociente vai dar rigorosamente o mesmo valor portanto temos que o seno do ângulo de amplitude O alfa não depende do triângulo retângulo se considerar passa-se o mesmo com o coseno portanto cateto adjacente sobre hip hipotenusa se fizermos no triângulo no segundo triângulo fica cateto adjacente sobre hipotenusa ou no terceiro triângulo dá rigorosamente a mesma coisa e o mesmo cotangente cateto oposto sobre cateto adjacente nos três triângulos dá rigorosamente o mesmo valor portanto as razões trigonométricas não dependem do triângulo retângulo que se considerar vamos ver um exemplo simples para terminar BC neste triângulo rectângulo dão-nos Duas Medidas falta-nos
12:29 uma terceira Mas como é um teorem retângulo conhecemos o teorema Pitágoras que nos assegura que a soma do quadrado dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa ou seja AC Quad mais BC qu é igual a AB a quadrado como sabemos o ac e o AB vamos substituir e ficamos portanto com 4 qu mais BC qu ig a 5 qu e agora resta-nos saber a medida de BC BC qu fica 9 uma vez que 5 qu é 25 4 qu é 16 e 25 - 16 é = 9 de onde sai que BC é igual a mais ou menos 3 temos agora que temos então a conclusão que BC é
13:17 igual a 3 cm já aparece aqui devidamente assinalada Portanto o comprimento de BC é de 3 cm e estamos perante aqui já agora um fato pitagórico porque 3 qu + 4 qu é igual a 5 quadado sempre que este a igualdade acontece com os números inteiros diz que estamos perante um fato pitagórico tem a ver com o teorema de Pitágoras como é óbvio pede-se o seno de Alfa é o cateto oposto sobre a hipotenusa portanto Vai ser 3 sobre 5 coseno de Alfa cateto adjacente que mede 4 sobre a hipotenusa que mede 5 tangente de Alfa cateto oposto sobre cateto adjacente fica portanto 3/4 para saber a amplitude em graus do
14:02 ângulo Alfa podemos utilizar este igualdade sabemos que o coseno de Alfa é 4 sobre 5 e, portanto, qualquer calculadora vai permitir-nos saber o valor da amplitude ou uma aproximação da amplitude do ângulo Alfa Portanto o alfa vai ser o coseno inverso de 45 e vamos ter então que na calculadora em qualquer calculadora científica se chega ao valor aproximado de 36.87 vamos ver como temos aqui uma calculadora científica vamos clicar em second Ceno inverso de 45 E chegamos ao valor aproximado de 36,86 g ou seja 36,87 se arredondarmos
14:48 às centésimas portanto há que garantir que a máquina está em graus neste caso aqui temos clicando no mode tá emr nos outros tipos de máquinas é semelhante normalmente se não for o second é o shift que antecede a tecla Ceno por exemplo para fazer o cálculo as medições de ângulo no local para trabalhos de topografia engenharia etc fazem-se os com grande Rigor através de um aparelho chamado teodolito temos aqui então uma imagem do teodolito é constituído fundamentalmente por um óculo que se desloca horizontalmente e verticalmente horizontalmente através deste eixo de rotação e verticalmente através deste texto de rotação que se vê perfeitamente pode-se puxar para baixo e para cima à Semelhança do que se faz com
15:34 o binóculo e temos então que existe uma anotação dos ângulos dá para ler os ângulos em dois discos que se cham também limpos que são devidamente graduados e protegidos e temos então que este aparelho costuma apoiar-se num tripé e faz medições bastante bastante precisas do que se pretende destinado a efetuar a calcular medidas distâncias mas nem sempre foi assim nem sempre existiu o teodolito o teodolito é um aparelho do século XX ao longo dos séculos foram utilizados aparelhos mais simples Especialmente na navegação marítima para se orientarem em alto mar tais como os astrolábios e os se tantes estes aparelhos faziam medições fazem
16:21 medidas através de medidas angulares a partir dos astros a partir nomeadamente da Estrela Polar entre outros e por isso permitem permitem de uma forma eh não totalmente precisa mas suficientemente precisa de conseguir eh saber a localização a que se encontra por exemplo um navio temos aqui um exemplo de um temos aqui um orifício destinado a espreitar e apontando para o objeto conseguiram-se fazer medições aqui estão algumas ilustrações aqui parece ser um
17:08 terreno estão a efetuar aqui a medição do terreno qualquer qualquer medida que pretendem aqui parece a distância a distância a este a este Marco a ao Edifício e portanto temos aqui um exemplo do que já se fazia no século XVII e 18 é claro que não se alcançava grande Rigor como o que é necessário para o traçado de um túnel ou de uma estrada ou para levantamento cartográfico de uma região não nos podemos esquecer que por exemplo quando é no caso de um túnel em termos práticos O que costuma fazer começa-se a escavar a montanha num lado ao mesmo tempo que se escava no outro e depois no e depois encontram-se as duas obras a meio portanto é claro que tem que estar tudo muito bem calculado por caso contrário caso não se encontrem a meio tem um problema muito grave uma despesa suplementar muito
17:57 grande vamos aqui ver o um pequeno exemplo da medição da altura de um edifício localizado nas proximidades do aeroporto claro tem que se saber a altura do edifício portanto Isto é motivação prática para saber a altura do edifício e portanto temos aqui o teodolito o senhor a medir que o teodolito ponta aponta para o óculo para este vértice do prédio mede 61º a uma distância 32 m do edifício temos portanto aqui uma ilustração com este triângulo 61º 32 M pretendemos saber a altura do edifício Portanto o valor de o temos que saber o valor de B E para este para saber o valor do lado BC do Triângulo sabemos que a tangente relaciona o cateto oposto com o cateto adjacente
18:43 como é dado o cateto adjacente chegamos a este resultado de onde sai que o b é 32 Tang 61 multiplicando portanto o 32 por tangente de 61 fica tá aqui a dividir passa para este lado a multiplicar fica 32 tangente 61 = a b de onde sai que B é 32 tangente 61 e porque ter 32 Tang 61 igual a B é o mesmo que ter V = 32 Tang 61 e agora através de uma calculadora chegamos a uma aproximação que é 57.7 aqui temos então a calculadora 30 32 x tangente de 61 vai dar portanto aproximadamente 57
19:29 P 73 M se arredondarmos se arredondarmos às centésimas se se a altura de medição foi de 1,75 mais mais ou menos a altura dos olhos do da pessoa que mediu temos que somar naturalmente estes 175 cm este 1,75 M aos 57 73 e vamos obter a altura final de 59,4 é esta a altura do edifício obtida a a partir do aparelho chamado teodolito passo seguinte praticar estes conceitos e bem fazendo a parte correspondente à aula um razões
20:15 trigonométricas na ficha de trigonometria portanto os exemplos que foram dados Nesta aula foram exemplos meramente ilustrativos da teoria apresentada e por isso é importante fazer exercícios mais complicados e estes são apresentados nesta ficha de trabalho que serve de esta aula que também tem vídeos naturalmente a explicar a resolução dos mesmos
